Trình độ trung cấp

Tam giác bên phải. Hướng dẫn minh họa đầy đủ (2019)

TAM GIÁC CHỮ NHẬT. CẤP ĐẦU VÀO.

Trong các bài toán, góc vuông hoàn toàn không cần thiết - góc dưới bên trái, vì vậy bạn cần học cách nhận biết tam giác vuông ở dạng này,

và trong này

và trong này

Điều gì tốt về một tam giác vuông? À... trước hết, có những điều đặc biệt tên đẹp cho phe của mình.

Chú ý đến bản vẽ!

Hãy nhớ và đừng nhầm lẫn: có hai chân và chỉ có một cạnh huyền(một và duy nhất, duy nhất và dài nhất)!

Chà, chúng ta đã thảo luận về những cái tên, bây giờ là điều quan trọng nhất: Định lý Pythagore.

Định lý Pythagore.

Định lý này là chìa khóa để giải nhiều bài toán liên quan đến tam giác vuông. Pythagoras đã chứng minh điều đó một cách hoàn toàn thời xa xưa, và kể từ đó cô ấy đã mang lại rất nhiều lợi ích cho những người biết đến cô ấy. Và điều tốt nhất về nó là nó rất đơn giản.

Vì thế, Định lý Pythagore:

Bạn có nhớ câu nói đùa: “Quần Pythagore các bên đều bình đẳng!” không?

Hãy vẽ những chiếc quần Pythagore tương tự này và quan sát chúng.

Trông nó không giống một loại quần short nào đó sao? Chà, ở bên nào và chúng bằng nhau ở đâu? Tại sao và trò đùa đến từ đâu? Và trò đùa này có liên quan chính xác đến định lý Pythagore, hay chính xác hơn là với cách chính Pythagoras xây dựng định lý của mình. Và anh ấy đã xây dựng nó như thế này:

"Tổng diện tích hình vuông, được xây dựng trên chân, bằng diện tích hình vuông, được xây dựng trên cạnh huyền."

Nó thực sự nghe có vẻ hơi khác một chút? Và vì vậy, khi Pythagoras vẽ ra phát biểu về định lý của mình, đây chính xác là bức tranh hiện ra.

Trong hình này, tổng diện tích của các hình vuông nhỏ bằng diện tích của hình vuông lớn. Và để trẻ có thể nhớ rõ hơn rằng tổng bình phương của hai chân bằng bình phương cạnh huyền, một người nào đó đã hóm hỉnh nghĩ ra trò đùa về chiếc quần Pythagore này.

Tại sao bây giờ chúng ta đang xây dựng định lý Pythagore?

Pythagoras có đau khổ và nói về hình vuông không?

Bạn thấy đấy, thời cổ đại không có... đại số! Không có dấu hiệu nào và vân vân. Không có chữ khắc. Bạn có thể tưởng tượng được việc những học sinh cổ đại tội nghiệp có thể ghi nhớ mọi thứ bằng lời sẽ khủng khiếp đến thế nào không??! Và chúng ta có thể vui mừng vì đã có được một công thức đơn giản của định lý Pythagore. Hãy lặp lại lần nữa để ghi nhớ tốt hơn:

Bây giờ nó sẽ dễ dàng:

Bình phương cạnh huyền bằng tổng hình vuông của chân.

Vâng, định lý quan trọng nhất về tam giác vuông đã được thảo luận. Nếu bạn quan tâm đến việc nó được chứng minh như thế nào, hãy đọc các cấp độ lý thuyết sau đây và bây giờ chúng ta hãy chuyển sang... rừng tối... lượng giác! Với những từ khủng khiếp sin, cosin, tang và cotang.

Sin, cosin, tiếp tuyến, côtang trong một tam giác vuông.

Trên thực tế, mọi thứ không quá đáng sợ chút nào. Tất nhiên, định nghĩa “thực tế” của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang nên được xem xét trong bài viết. Nhưng tôi thực sự không muốn, phải không? Chúng ta có thể vui mừng: để giải các bài toán về tam giác vuông, bạn chỉ cần điền vào những điều đơn giản sau:

Tại sao mọi thứ chỉ ở góc? Góc ở đâu? Để hiểu điều này, bạn cần biết các câu 1 - 4 được viết bằng chữ như thế nào. Hãy nhìn, hiểu và ghi nhớ!

1.
Trên thực tế nó có vẻ như thế này:

Còn góc thì sao? Có một chân đối diện với góc, tức là một chân đối diện (đối với một góc) không? Tất nhiên là có! Đây là một cái chân!

Còn góc thì sao? Hãy nhìn cẩn thận. Chân nào tiếp giáp với góc? Tất nhiên là chân. Điều này có nghĩa là đối với góc thì chân liền kề và

Bây giờ, hãy chú ý! Hãy xem chúng ta có gì:

Hãy xem nó tuyệt vời thế nào:

Bây giờ chúng ta chuyển sang tiếp tuyến và cotang.

Làm sao tôi có thể viết điều này ra bằng lời bây giờ? Chân liên quan đến góc như thế nào? Tất nhiên là đối diện - nó “nằm” đối diện với góc. Còn chân thì sao? Liền kề góc. Vậy chúng ta có gì?

Hãy xem tử số và mẫu số đã đổi chỗ cho nhau như thế nào?

Và bây giờ các góc lại và thực hiện một cuộc trao đổi:

Bản tóm tắt

Hãy viết ngắn gọn tất cả những gì chúng ta đã học được.

Định lý Pythagore:

Định lý chính về tam giác vuông là định lý Pythagore.

định lý Pythagore

Nhân tiện, bạn có nhớ rõ chân và cạnh huyền là gì không? Nếu chưa hay thì xem hình - ôn lại kiến ​​thức

Rất có thể bạn đã sử dụng định lý Pythagore nhiều lần, nhưng bạn có bao giờ tự hỏi tại sao định lý đó lại đúng không? Làm thế nào tôi có thể chứng minh điều đó? Hãy làm như người Hy Lạp cổ đại. Hãy vẽ một hình vuông có một cạnh.

Hãy xem chúng tôi đã khéo léo chia các cạnh của nó thành các độ dài và!

Bây giờ hãy kết nối các dấu chấm được đánh dấu

Tuy nhiên, ở đây chúng tôi đã lưu ý một điều khác, nhưng chính bạn hãy nhìn vào bức vẽ và nghĩ tại sao lại như vậy.

Diện tích của hình vuông lớn hơn là gì? Phải, . Diện tích nhỏ hơn thì sao? Chắc chắn, . Tổng diện tích của bốn góc vẫn còn. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta lấy hai cái cùng một lúc và tựa chúng vào nhau bằng cạnh huyền. Chuyện gì đã xảy ra thế? Hai hình chữ nhật. Điều này có nghĩa là diện tích của các “vết cắt” bằng nhau.

Bây giờ chúng ta hãy đặt tất cả lại với nhau.

Hãy biến đổi:

Vì vậy, chúng tôi đã đến thăm Pythagoras - chúng tôi đã chứng minh định lý của ông ấy theo cách cổ xưa.

Tam giác vuông và lượng giác

Đối với một tam giác vuông, các mối quan hệ sau giữ:

Sin của một góc nhọn bằng tỷ lệ phía đối diệnđến cạnh huyền

Cosin của một góc nhọn bằng tỉ số chân liền kềđến cạnh huyền.

Tiếp tuyến của góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề.

Cotang của góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh kề với cạnh đối diện.

Và một lần nữa tất cả điều này ở dạng máy tính bảng:

Nó rất thuận tiện!

Dấu hiệu bằng nhau của tam giác vuông

I. Ở hai bên

II. Bằng chân và cạnh huyền

III. Bằng cạnh huyền và góc nhọn

IV. Dọc theo chân và góc nhọn

Một)

b)

Chú ý! Điều rất quan trọng ở đây là đôi chân phải “phù hợp”. Ví dụ: nếu nó diễn ra như thế này:

THÌ TAM GIÁC KHÔNG BẰNG, mặc dù thực tế là chúng có một góc nhọn giống hệt nhau.

Điều cần thiết là trong cả hai hình tam giác, chân liền kề hoặc trong cả hai hình tam giác thì chân đối diện.

Bạn có nhận thấy dấu bằng của các tam giác vuông khác với dấu bằng của các tam giác vuông thông thường như thế nào không? Hãy xem chủ đề “và chú ý đến thực tế là để các tam giác “bình thường” bằng nhau, ba phần tử của chúng phải bằng nhau: hai cạnh và góc xen giữa, hai góc và cạnh ở giữa chúng, hoặc ba cạnh. Nhưng để tam giác vuông bằng nhau thì chỉ cần hai phần tử tương ứng là đủ. Tuyệt vời phải không?

Tình hình cũng gần tương tự với dấu tương tự của các tam giác vuông.

Dấu hiệu tương tự của tam giác vuông

I. Dọc theo góc nhọn

II. Ở hai bên

III. Bằng chân và cạnh huyền

Đường trung bình trong tam giác vuông

Tại sao lại như vậy?

Thay vì một hình tam giác vuông, hãy xem xét toàn bộ hình chữ nhật.

Hãy vẽ một đường chéo và xem xét một điểm - điểm giao nhau của các đường chéo. Bạn biết gì về các đường chéo của hình chữ nhật?

Và điều gì xảy ra sau đó?

Hóa ra là thế

1. - trung vị:

Hãy nhớ sự thật này! Giúp ích rất nhiều!

Điều đáng ngạc nhiên hơn nữa là điều ngược lại cũng đúng.

Có thể thu được điều gì tốt từ việc đường trung tuyến kéo vào cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền? Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh

Hãy nhìn cẩn thận. Chúng ta có: , tức là khoảng cách từ điểm đến cả ba đỉnh của tam giác hóa ra bằng nhau. Nhưng chỉ có một điểm trong tam giác, có khoảng cách từ đó đến cả ba đỉnh của tam giác đều bằng nhau và đây là TRUNG TÂM CỦA VÒNG TRÒN. Vậy chuyện gì đã xảy ra?

Vậy hãy bắt đầu với từ “ngoài ra…” này.

Chúng ta hãy nhìn vào và.

Nhưng tam giác đồng dạng mọi góc độ đều bằng nhau!

Điều tương tự cũng có thể nói về và

Bây giờ chúng ta hãy vẽ nó lại với nhau:

Lợi ích gì có thể được rút ra từ sự giống nhau “bộ ba” này?

Vâng, ví dụ - hai công thức tính chiều cao của tam giác vuông.

Chúng ta hãy viết ra mối quan hệ của các bên tương ứng:

Để tìm chiều cao, chúng ta giải tỷ lệ và nhận được công thức đầu tiên "Chiều cao trong tam giác vuông":

Vì vậy, hãy áp dụng sự tương tự: .

Điều gì sẽ xảy ra bây giờ?

Một lần nữa chúng ta giải tỷ lệ và nhận được công thức thứ hai:

Bạn cần phải nhớ thật kỹ cả hai công thức này và sử dụng công thức nào thuận tiện hơn. Hãy viết chúng lại lần nữa

Định lý Pythagore:

Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông: .

Dấu hiệu bằng nhau của tam giác vuông:

• ở hai phía:
• bằng chân và cạnh huyền: hoặc
• dọc theo chân và góc nhọn liền kề: hoặc
• dọc theo chân và góc nhọn đối diện: hoặc
• bởi cạnh huyền và góc nhọn: hoặc.

Dấu hiệu đồng dạng của tam giác vuông:

• một góc nhọn: hoặc
• từ tỷ lệ của hai chân:
• từ tỷ lệ của chân và cạnh huyền: hoặc.

Sin, cosin, tiếp tuyến, côtang trong một tam giác vuông

• Sin của một góc nhọn của tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh huyền:
• Cosin của một góc nhọn của tam giác vuông là tỷ lệ của cạnh kề với cạnh huyền:
• Tiếp tuyến của góc nhọn của tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh kề:
• Cotang của góc nhọn trong tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh kề với cạnh đối diện: .

Chiều cao của một tam giác vuông: hoặc.

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến vẽ từ đỉnh góc vuông, bằng một nửa cạnh huyền: .

Diện tích của một tam giác vuông:

• qua chân:

định lý Pythagore: Tổng diện tích các hình vuông nằm trên hai chân ( Một Và b), bằng diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền ( c).

Công thức hình học:

Định lý ban đầu được xây dựng như sau:

Công thức đại số:

Nghĩa là, biểu thị độ dài cạnh huyền của tam giác bằng c, và chiều dài của chân qua Một Và b :

Một 2 + b 2 = c 2

Cả hai công thức của định lý đều tương đương, nhưng công thức thứ hai cơ bản hơn; nó không yêu cầu khái niệm diện tích. Nghĩa là, phát biểu thứ hai có thể được xác minh mà không cần biết gì về diện tích và chỉ bằng cách đo độ dài các cạnh của một tam giác vuông.

Định lý Pythagore ngược:

Bằng chứng

TRÊN ngay bây giờ V. văn học khoa học 367 bằng chứng của định lý này đã được ghi lại. Có lẽ định lý Pythagore là định lý duy nhất có số lượng chứng minh ấn tượng như vậy. Sự đa dạng như vậy chỉ có thể được giải thích bằng ý nghĩa cơ bản của định lý đối với hình học.

Tất nhiên, về mặt khái niệm, tất cả chúng có thể được chia thành một số ít lớp. Nổi tiếng nhất trong số đó: chứng minh bằng phương pháp diện tích, chứng minh tiên đề và chứng minh ngoại lai (ví dụ: sử dụng phương trình vi phân).

Qua các tam giác đồng dạng

Chứng minh sau đây của công thức đại số là chứng minh đơn giản nhất, được xây dựng trực tiếp từ các tiên đề. Đặc biệt, nó không sử dụng khái niệm diện tích của hình.

Cho phép ABC có một tam giác vuông có một góc vuông C. Hãy vẽ chiều cao từ C và biểu thị cơ sở của nó bằng H. Tam giác ACH giống hình tam giác ABCở hai góc. Tương tự, tam giác CBH tương tự ABC. Bằng cách giới thiệu ký hiệu

chúng tôi nhận được

Tương đương là gì

Cộng nó lại, chúng ta có được

Chứng minh bằng phương pháp diện tích

Những chứng minh dưới đây, mặc dù bề ngoài có vẻ đơn giản, nhưng lại không hề đơn giản chút nào. Tất cả đều sử dụng tính chất diện tích, chứng minh điều đó bằng chứng khó khăn hơnđịnh lý Pythagore.

Chứng minh bằng tính đẳng thức

1. Hãy sắp xếp bốn bằng nhau tam giác vuông như thể hiện trong Hình 1.
2. Tứ giác có cạnh c là một hình vuông vì tổng của hai góc nhọn 90° và góc mở ra là 180°.
3. Diện tích của toàn bộ hình bằng một mặt, bằng diện tích hình vuông có cạnh (a + b), mặt khác bằng tổng bốn hình vuông hình tam giác và hai hình vuông bên trong.

Q.E.D.

Chứng minh bằng sự tương đương

Bằng chứng tao nhã bằng cách sử dụng hoán vị

Một ví dụ về một bằng chứng như vậy được thể hiện trong hình vẽ bên phải, trong đó một hình vuông dựng trên cạnh huyền được sắp xếp lại thành hai hình vuông dựng trên hai chân.

Chứng minh của Euclid

Vẽ để chứng minh Euclid

Minh họa cho chứng minh của Euclid

Ý tưởng của chứng minh Euclide như sau: chúng ta hãy thử chứng minh rằng một nửa diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền bằng tổng các nửa diện tích các hình vuông dựng trên hai chân, rồi đến diện tích các hình vuông hai ô vuông lớn và hai ô vuông nhỏ bằng nhau.

Chúng ta hãy nhìn vào bản vẽ bên trái. Trên đó, chúng ta dựng các hình vuông trên các cạnh của một tam giác vuông và vẽ một tia s từ đỉnh của góc vuông C vuông góc với cạnh huyền AB, nó cắt hình vuông ABIK, dựng trên cạnh huyền, thành hai hình chữ nhật - BHJI và HAKJ, tương ứng. Hóa ra diện tích của các hình chữ nhật này hoàn toàn bằng diện tích của các hình vuông được xây trên các chân tương ứng.

Chúng ta hãy thử chứng minh rằng diện tích hình vuông DECA bằng diện tích hình chữ nhật AHJK. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng một quan sát phụ trợ: Diện tích của một hình tam giác có cùng chiều cao và đáy. hình chữ nhật đã cho, bằng một nửa diện tích của hình chữ nhật đã cho. Đây là hệ quả của việc xác định diện tích của một hình tam giác bằng một nửa tích của đáy và chiều cao. Từ quan sát này, ta suy ra rằng diện tích của tam giác ACK bằng diện tích của tam giác AHK (không thể hiện trên hình), tam giác này bằng một nửa diện tích của hình chữ nhật AHJK.

Bây giờ chúng ta chứng minh diện tích tam giác ACK cũng bằng một nửa diện tích hình vuông DECA. Điều duy nhất cần phải làm là chứng minh sự đẳng thức của các tam giác ACK và BDA (vì diện tích tam giác BDA bằng một nửa diện tích hình vuông theo tính chất trên). Sự bình đẳng này là hiển nhiên, các hình tam giác có hai cạnh bằng nhau và góc giữa chúng bằng nhau. Cụ thể - AB=AK,AD=AC - sự bằng nhau của các góc CAK và BAD dễ dàng được chứng minh bằng phương pháp chuyển động: ta quay tam giác CAK 90° ngược chiều kim đồng hồ, thì hiển nhiên các cạnh tương ứng của hai tam giác trong câu hỏi sẽ trùng nhau (do góc ở đỉnh của hình vuông là 90°).

Lý giải về sự bằng nhau của diện tích hình vuông BCFG và hình chữ nhật BHJI là hoàn toàn giống nhau.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng diện tích hình vuông xây trên cạnh huyền bao gồm diện tích các hình vuông xây trên các chân. Ý tưởng đằng sau bằng chứng này được minh họa rõ hơn bằng hình ảnh động ở trên.

Bằng chứng của Leonardo da Vinci

Bằng chứng của Leonardo da Vinci

Các yếu tố chính của bằng chứng là tính đối xứng và chuyển động.

Chúng ta hãy xem xét hình vẽ, như có thể thấy từ tính đối xứng, một đoạn CTÔI cắt hình vuông MỘTBHJ thành hai phần giống hệt nhau (vì hình tam giác MỘTBC Và JHTÔI bằng nhau trong xây dựng). Xoay 90 độ ngược chiều kim đồng hồ, ta thấy sự bằng nhau của các hình được tô bóng CMỘTJTÔI Và GDMỘTB . Bây giờ rõ ràng là diện tích của hình chúng ta đã tô bóng bằng tổng của một nửa diện tích các hình vuông dựng trên hai chân và diện tích của hình tam giác ban đầu. Mặt khác, nó bằng một nửa diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền, cộng với diện tích tam giác ban đầu. Bước cuối cùng trong việc chứng minh dành cho người đọc.

Chứng minh bằng phương pháp vi phân

Bằng chứng sau đây sử dụng phương trình vi phân thường được cho là của nhà toán học nổi tiếng người Anh Hardy, người sống ở nửa đầu thế kỷ 20.

Nhìn vào hình vẽ trên hình và quan sát sự thay đổi về mặt Một, chúng ta có thể viết mối quan hệ sau đây cho các gia số cực nhỏ Với Và Một(dùng tam giác đồng dạng):

Chứng minh bằng phương pháp vi phân

Bằng phương pháp tách biến, ta tìm được

Hơn biểu hiện chungđể thay đổi cạnh huyền trong trường hợp tăng cả hai chân

Tích hợp phương trình đã cho và sử dụng điều kiện ban đầu, chúng tôi nhận được

c 2 = Một 2 + b 2 + hằng số.

Vì vậy, chúng tôi đi đến câu trả lời mong muốn

c 2 = Một 2 + b 2 .

Thật dễ dàng để nhìn thấy sự phụ thuộc bậc hai xuất hiện trong công thức cuối cùng nhờ tỷ lệ tuyến tính giữa các cạnh của tam giác và các phần tăng lên, trong khi tổng được liên kết với sự đóng góp độc lập từ phần tăng của các nhánh khác nhau.

Có thể thu được một chứng minh đơn giản hơn nếu chúng ta giả sử rằng một trong hai chân không có sự tăng lên (trong trong trường hợp này chân b). Sau đó, với hằng số tích phân, chúng ta thu được

Các biến thể và khái quát

• Nếu thay vì hình vuông, chúng ta xây dựng các hình tương tự khác ở các cạnh thì sự khái quát hóa sau đây của định lý Pythagore là đúng: Trong một tam giác vuông, tổng diện tích là số liệu tương tựđược xây dựng trên hai chân bằng diện tích của hình được xây dựng trên cạnh huyền.Đặc biệt:
  • Tổng diện tích các tam giác đều có cạnh bằng diện tích tam giác đều, được xây dựng trên cạnh huyền.
  • Tổng diện tích hình bán nguyệt xây dựng trên các chân (như trên đường kính) bằng diện tích hình bán nguyệt xây dựng trên cạnh huyền. Ví dụ này được sử dụng để chứng minh tính chất của các hình giới hạn bởi các cung của hai đường tròn và được gọi là lunulae Hippocrates.

Câu chuyện

Chu-pei 500–200 TCN. Bên trái có dòng chữ: tổng bình phương của chiều cao và đáy bằng bình phương chiều dài cạnh huyền.

Cuốn sách cổ Trung Quốc Chu-pei nói về tam giác Pythagore với các cạnh 3, 4 và 5: Trong cùng một cuốn sách, một bức vẽ được đề xuất trùng khớp với một trong những bức vẽ về hình học Bashara của Ấn Độ giáo.

Cantor (nhà sử học toán học vĩ đại nhất người Đức) tin rằng đẳng thức 32 + 42 = 52 đã được người Ai Cập biết đến vào khoảng năm 2300 trước Công nguyên. e., vào thời vua Amenemhet I (theo giấy cói 6619 của Bảo tàng Berlin). Theo Cantor, những chiếc đàn harpedonaptes, hay còn gọi là "người kéo dây", đã tạo ra các góc vuông bằng cách sử dụng các hình tam giác vuông có cạnh 3, 4 và 5.

Rất dễ dàng để tái tạo phương pháp xây dựng của họ. Chúng ta lấy một sợi dây dài 12 m và buộc một dải màu vào đó ở khoảng cách 3 m. từ một đầu và cách đầu kia 4 mét. Góc vuông sẽ được bao bọc giữa các cạnh dài 3 và 4 mét. Những người theo chủ nghĩa Harpedonaptian có thể phản đối rằng phương pháp xây dựng của họ sẽ trở nên thừa thãi nếu người ta sử dụng, chẳng hạn như một hình vuông bằng gỗ, thứ được tất cả các thợ mộc sử dụng. Thật vậy, người ta biết rằng các bức vẽ của người Ai Cập có chứa một công cụ như vậy, chẳng hạn như các bức vẽ mô tả xưởng mộc.

Người Babylon đã biết nhiều hơn về định lý Pythagore. Trong một văn bản có niên đại từ thời Hammurabi, tức là vào năm 2000 trước Công nguyên. e., đưa ra một phép tính gần đúng về cạnh huyền của một tam giác vuông. Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng ở Mesopotamia, họ có thể thực hiện các phép tính với các hình tam giác vuông, ít nhất là trong một số trường hợp. Một mặt, dựa trên trình độ hiểu biết hiện tại về toán học Ai Cập và Babylon, mặt khác, dựa trên nghiên cứu phê phán các nguồn gốc Hy Lạp, Van der Waerden (nhà toán học người Hà Lan) đã đi đến kết luận sau:

Văn học

bằng tiếng Nga

• Skopets Z. A. Hình thu nhỏ hình học. M., 1990
• Elensky Shch. Theo bước chân của Pythagoras. M., 1961
• Van der Waerden B. L. Khoa học thức tỉnh. Toán học Ai Cập cổ đại, Babylon và Hy Lạp. M., 1959
• Glazer G.I. Lịch sử toán học ở trường. M., 1982
• W. Litzman, “Định lý Pythagore” M., 1960.
  • Một trang web về định lý Pythagore với số lượng lớn các cách chứng minh, tài liệu được lấy từ cuốn sách của V. Litzmann, một số lượng lớn các hình vẽ được trình bày dưới dạng các tệp đồ họa riêng biệt.
• Định lý Pythagore và chương bộ ba Pythagore từ cuốn sách của D. V. Anosov “Một cái nhìn về toán học và điều gì đó từ nó”
• Về định lý Pythagore và phương pháp chứng minh nó G. Glaser, viện sĩ Viện Hàn lâm Giáo dục Nga, Moscow

bằng tiếng Anh

• Định lý Pythagore tại WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, phần về định lý Pythagore, khoảng 70 cách chứng minh và thông tin bổ sung mở rộng (tiếng Anh)

Quỹ Wikimedia.

Hãy chắc chắn rằng tam giác bạn đưa ra là tam giác vuông, vì Định lý Pythagore chỉ áp dụng cho tam giác vuông.

• Trong tam giác vuông, một trong ba góc luôn bằng 90 độ.

Góc vuông trong tam giác vuông được biểu thị bằng biểu tượng hình vuông chứ không phải đường cong biểu thị các góc xiên.Đánh dấu các cạnh của hình tam giác. Dán nhãn các chân là “a” và “b” (hai chân là các cạnh cắt nhau vuông góc) và cạnh huyền là “c” (cạnh huyền là cạnh huyền nhất mặt lớn

tam giác vuông, nằm đối diện với một góc vuông). Xác định cạnh nào của tam giác bạn muốn tìm.

• Định lý Pythagore cho phép bạn tìm bất kỳ cạnh nào của một tam giác vuông (nếu biết hai cạnh còn lại). Xác định cạnh (a, b, c) cần tìm.
• Ví dụ: cho cạnh huyền bằng 5 và cho cạnh huyền bằng 3. Trong trường hợp này, cần phải tìm chân thứ hai. Chúng ta sẽ quay lại ví dụ này sau. Nếu chưa biết hai cạnh còn lại, bạn cần tìm độ dài của một trong hai cạnh chưa biết để có thể áp dụng định lý Pythagore. Để làm điều này, hãy sử dụng cơ bản hàm lượng giác

(nếu bạn được cho giá trị của một trong các góc xiên). Thay thế các giá trị được cung cấp cho bạn (hoặc các giá trị bạn tìm thấy) vào công thức a 2 + b 2 = c 2.

• Hãy nhớ rằng a và b là chân và c là cạnh huyền.

Trong ví dụ của chúng tôi, hãy viết: 3 2 + b 2 = 5 2. Bình phương mỗi cạnh đã biết.

• Hoặc để lại lũy thừa - bạn có thể bình phương các số sau.

Trong ví dụ của chúng tôi, hãy viết: 9 + b² = 25. Cô lập phía chưa biết ở một bên của phương trình. Để làm điều này, chuyển giá trị đã biết

• sang vế bên kia của phương trình. Nếu bạn tìm thấy cạnh huyền, thì trong định lý Pythagore, nó đã bị cô lập ở một vế của phương trình (vì vậy bạn không cần phải làm gì cả). Trong ví dụ của chúng tôi, di chuyển 9 đến bên phải

phương trình để cô lập b2 chưa biết. Bạn sẽ nhận được b2 = 16. Di dời căn bậc hai

• từ cả hai vế của phương trình sau khi ẩn số (bình phương) hiện diện ở một vế của phương trình và số hạng tự do (số) hiện diện ở vế bên kia.

Trong ví dụ của chúng ta, b2 = 16. Lấy căn bậc hai của cả hai vế của phương trình và nhận được b = 4. Như vậy, vế thứ hai là 4. Sử dụng định lý Pythagore trong cuộc sống hàng ngày , vì nó có thể được sử dụng trong các tình huống thực tế.

• Để làm được điều này, hãy học cách nhận biết các tam giác vuông trong cuộc sống hàng ngày - trong mọi tình huống trong đó hai vật thể (hoặc đường thẳng) cắt nhau vuông góc và một vật thể thứ ba (hoặc đường thẳng) nối (theo đường chéo) đỉnh của hai vật thể đầu tiên (hoặc đường thẳng), bạn có thể sử dụng định lý Pythagore để tìm cạnh chưa biết (nếu biết hai cạnh còn lại). Ví dụ: cho một cầu thang tựa vào một tòa nhà. Phần dưới cùng Cầu thang nằm cách chân tường 5 mét. Phần trên
  • Cầu thang nằm cách mặt đất 20 mét (lên tường). Chiều dài của cầu thang là bao nhiêu?
    • “Cách chân tường 5m” có nghĩa là a = 5; “Nằm cách mặt đất 20 mét” có nghĩa là b = 20 (nghĩa là bạn có hai chân của một tam giác vuông, vì bức tường của tòa nhà và bề mặt Trái đất cắt nhau vuông góc). Chiều dài của cầu thang là chiều dài của cạnh huyền, chưa biết.
    • a2 + b2 = c2
    • (5)2 + (20) 2 = c 2
    • 25 + 400 = c2
    • 425 = c2
    • c = √425

c = 20,6. Như vậy, chiều dài gần đúng của cầu thang là 20,6 mét.

ĐO DIỆN TÍCH CỦA HÌNH HÌNH HỌC.

__________
1 § 58. ĐỊNH NGHĨA PYTHAGORE 1.
_________

Pythagoras là một nhà khoa học người Hy Lạp sống cách đây khoảng 2500 năm (564-473 trước Công nguyên). Cho chúng ta một tam giác vuông có các cạnh, b Và Với MỘT

(bản vẽ 267). Cho chúng ta một tam giác vuông có các cạnh 2 , b Hãy xây dựng các hình vuông trên các cạnh của nó. Diện tích các hình vuông này lần lượt bằng nhau Với 2 và Với 2 2. Hãy chứng minh điều đó 2 = một 2 .

+b

Hãy dựng hai hình vuông MKOR và M"K"O"R" (hình 268, 269), lấy cạnh của mỗi hình vuông bằng tổng các cạnh của tam giác vuông ABC. Cho chúng ta một tam giác vuông có các cạnh Hãy xây dựng các hình vuông trên các cạnh của nó. Diện tích các hình vuông này lần lượt bằng nhau b Sau khi hoàn thành các cách dựng như hình 268 và 269 ở các hình vuông này, chúng ta sẽ thấy hình vuông MCOR được chia thành hai hình vuông có diện tích Với 2 và bốn hình tam giác vuông bằng nhau, mỗi hình đều bằng tam giác vuông ABC. Hình vuông M"K"O"R" được chia thành một hình tứ giác (được tô màu trong hình 269) và bốn hình tam giác vuông, mỗi hình tam giác này cũng bằng tam giác ABC. Tứ giác được tô bóng là hình vuông vì các cạnh của nó bằng nhau (mỗi cạnh bằng cạnh huyền của tam giác ABC, tức là / 1 + / ) và các góc đều vuông / 2 = 90°, từ đó

Như vậy, tổng diện tích các hình vuông dựng trên các chân (trong hình 268 các hình vuông này được tô bóng) bằng diện tích hình vuông MCOR không tính tổng diện tích của bốn hình tam giác bằng nhau và diện tích ​​hình vuông dựng trên cạnh huyền (trong hình 269 hình vuông này cũng được tô bóng) bằng diện tích hình vuông M"K"O"R", bằng bình phương MCOR, không tính tổng diện tích của bốn hình tam giác đồng dạng. Do đó, diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền của một tam giác vuông bằng tổng diện tích các hình vuông dựng trên hai chân.

Chúng ta nhận được công thức Với 2 2. Hãy chứng minh điều đó 2 = một 2 ở đâu Với- cạnh huyền, Cho chúng ta một tam giác vuông có các cạnh Và b- chân của một tam giác vuông.

Định lý Pythagore thường được phát biểu ngắn gọn như sau:

Bình phương cạnh huyền của một tam giác vuông bằng tổng bình phương của hai chân.

Từ công thức Với 2 2. Hãy chứng minh điều đó 2 = một 2 bạn có thể nhận được công thức sau:

Cho chúng ta một tam giác vuông có các cạnh 2 = Với 2 - b 2 ;
b 2 = Với 2 - Cho chúng ta một tam giác vuông có các cạnh 2 .

Những công thức này có thể được sử dụng để tìm bên chưa biết một tam giác vuông dọc theo hai cạnh đã cho của nó.
Ví dụ:

a) nếu có chân Cho chúng ta một tam giác vuông có các cạnh= 4 cm, b= 3 cm thì bạn có thể tìm được cạnh huyền ( Với):
Với 2 2. Hãy chứng minh điều đó 2 = một 2, tức là Với 2 = 4 2 + 3 2 ; với 2 = 25, từ đó Với= √25 =5 (cm);

b) nếu cho cạnh huyền Với= 17 cm và chân Cho chúng ta một tam giác vuông có các cạnh= 8 cm thì tìm chân khác ( b):

b 2 = Với 2 - Cho chúng ta một tam giác vuông có các cạnh 2, tức là b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, từ đâu b= √225 = 15 (cm).

Kết quả: Nếu hai tam giác vuông ABC và A có 1 B 1 C 1 cạnh huyền Với Và Với 1 bằng nhau và chân b tam giác ABC dài hơn chân b 1 tam giác A 1 B 1 C 1,
sau đó là chân Cho chúng ta một tam giác vuông có các cạnh tam giác ABCít chân hơn Cho chúng ta một tam giác vuông có các cạnh 1 tam giác A 1 B 1 C 1. (Hãy vẽ hình minh họa hệ quả này.)

Trong thực tế, dựa trên định lý Pythagore, chúng ta có được:

Cho chúng ta một tam giác vuông có các cạnh 2 = Với 2 - b 2 ,
Cho chúng ta một tam giác vuông có các cạnh 1 2 = Với 1 2 - b 1 2

Trong các công thức viết, số trừ bằng nhau, số trừ ở công thức thứ nhất lớn hơn số trừ ở công thức thứ hai, do đó hiệu thứ nhất nhỏ hơn công thức thứ hai,
tức là Cho chúng ta một tam giác vuông có các cạnh 2 < Cho chúng ta một tam giác vuông có các cạnh 1 2 . Ở đâu Cho chúng ta một tam giác vuông có các cạnh< Cho chúng ta một tam giác vuông có các cạnh 1 .

Bài tập.

1. Dùng hình vẽ 270, chứng minh định lý Pytago cho tam giác vuông cân.

2. Một cạnh huyền của tam giác vuông là 12 cm, cạnh kia là 5 cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác này.

3. Cạnh huyền của một tam giác vuông là 10 cm, một cạnh là 8 cm. Tính độ dài cạnh còn lại của tam giác này.

4. Cạnh huyền của một tam giác vuông là 37 cm, một cạnh của nó là 35 cm. Tính độ dài cạnh còn lại của tam giác này.

5. Vẽ một hình vuông có diện tích gấp đôi diện tích đã cho.

6. Vẽ một hình vuông có diện tích bằng nửa hình đã cho. Ghi chú. Vẽ các đường chéo trong hình vuông này. Các hình vuông được xây dựng trên một nửa các đường chéo này sẽ là những hình mà chúng ta đang tìm kiếm.

7. Chân của một tam giác vuông lần lượt là 12 cm và 15 cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác này với độ chính xác 0,1 cm.

8. Cạnh huyền của một tam giác vuông là 20 cm, một cạnh của nó là 15 cm. Tính chiều dài cạnh huyền của nó chính xác đến 0,1 cm.

9. Thang phải dài bao nhiêu để có thể tựa vào cửa sổ ở độ cao 6 m, nếu đầu dưới của thang phải cách nhà 2,5 m? (Biểu đồ 271.)

Trang chủ

Các phương pháp chứng minh định lý Pythagore.

G. Glaser,
Viện sĩ Viện Hàn lâm Giáo dục Nga, Moscow

Về định lý Pythagore và phương pháp chứng minh định lý này

Diện tích của một hình vuông được xây dựng trên cạnh huyền của một tam giác vuông bằng tổng diện tích các hình vuông được xây dựng trên hai chân của nó...

Đây là một trong những nổi tiếng nhất định lý hình học thời cổ đại, được gọi là định lý Pythagore. Hầu như tất cả những ai đã từng nghiên cứu về phép đo phẳng đều biết đến nó. Đối với tôi, có vẻ như nếu chúng tôi muốn cho bạn biết nền văn minh ngoài trái đất về sự tồn tại của sự sống thông minh trên Trái đất, thì hình ảnh của nhân vật Pythagore sẽ được gửi vào không gian. Tôi nghĩ rằng nếu những sinh vật biết suy nghĩ có thể chấp nhận thông tin này thì không cần giải mã tín hiệu phức tạp, họ sẽ hiểu rằng có một nền văn minh khá phát triển trên Trái đất.

Nhà triết học và toán học nổi tiếng người Hy Lạp Pythagoras xứ Samos, người được đặt tên theo định lý này, sống cách đây khoảng 2,5 nghìn năm. Những người đã đến với chúng tôi thông tin tiểu sử về Pythagoras còn rời rạc và không đáng tin cậy. Nhiều truyền thuyết gắn liền với tên tuổi của ông. Người ta biết một cách đáng tin cậy rằng Pythagoras đã đi du lịch rất nhiều đến các nước phương Đông, thăm Ai Cập và Babylon. Ở một trong thuộc địa của Hy Lạp miền nam nước Ýông đã sáng lập ra công ty nổi tiếng " trường phái Pythagore", ai đã chơi vai trò quan trọng trong khoa học và đời sống chính trị Hy Lạp cổ đại. Pythagoras là người có công chứng minh định lý hình học nổi tiếng. Dựa trên truyền thuyết lan truyền nhà toán học nổi tiếng(Proclus, Plutarch, v.v.), lâu rồi Người ta tin rằng định lý này chưa được biết đến trước Pythagoras, do đó có tên - định lý Pythagore.

Tuy nhiên, không còn nghi ngờ gì nữa rằng định lý này đã được biết đến từ nhiều năm trước Pythagoras. Vì vậy, 1500 năm trước Pythagoras, người Ai Cập cổ đại đã biết rằng một tam giác có các cạnh 3, 4 và 5 là vuông góc và đã sử dụng tính chất này (tức là định lý nghịch đảo với định lý Pythagore) để dựng các góc vuông khi lập phương trình thửa đất và các công trình xây dựng. Thậm chí ngày nay, những người xây dựng và thợ mộc ở nông thôn, khi đặt nền móng của một túp lều và chế tạo các bộ phận của nó, đều vẽ hình tam giác này để có được một góc vuông. Điều tương tự đã được thực hiện cách đây hàng nghìn năm trong việc xây dựng những ngôi đền tráng lệ ở Ai Cập, Babylon, Trung Quốc và có lẽ ở Mexico. Tác phẩm toán học và thiên văn lâu đời nhất còn tồn tại của Trung Quốc, Chu Bi, được viết khoảng 600 năm trước Pythagoras, chứa đựng, trong số những đề xuất khác liên quan đến tam giác vuông, định lý Pythagore. Thậm chí sớm hơn định lý này đã được người Hindu biết đến. Như vậy, Pythagoras đã không phát hiện ra tính chất này của tam giác vuông; có lẽ ông là người đầu tiên khái quát hóa và chứng minh nó, từ đó chuyển nó từ lĩnh vực thực tiễn sang lĩnh vực khoa học. Chúng tôi không biết anh ấy đã làm điều đó như thế nào. Một số nhà sử học toán học cho rằng chứng minh của Pythagoras không phải là cơ bản mà chỉ là sự xác nhận, kiểm tra tính chất này trên một số loại tam giác cụ thể, bắt đầu bằng tam giác vuông cân, mà rõ ràng là nó được suy ra từ Hình 2. 1.

VỚI Từ xa xưa, các nhà toán học đã tìm ra ngày càng nhiều cách chứng minh mới cho định lý Pythagore, ngày càng có nhiều ý tưởng mới cho việc chứng minh nó. Hơn một trăm năm mươi bằng chứng như vậy - ít nhiều nghiêm ngặt, ít nhiều trực quan - đã được biết đến, nhưng mong muốn tăng số lượng của chúng vẫn còn. Tôi nghĩ rằng việc “khám phá” độc lập các chứng minh của định lý Pythagore sẽ hữu ích cho học sinh hiện đại.

Hãy xem xét một số ví dụ về bằng chứng có thể gợi ý hướng tìm kiếm như vậy.

Chứng minh Pythagore

"Một hình vuông được xây dựng trên cạnh huyền của một tam giác vuông bằng tổng các bình phương được xây dựng trên các cạnh huyền của nó." Chứng minh đơn giản nhất của định lý thu được trong trường hợp đơn giản nhất là tam giác vuông cân. Đây có lẽ là nơi định lý bắt đầu. Trên thực tế, chỉ cần nhìn vào khảm các tam giác vuông cân là đủ để bị thuyết phục về tính đúng đắn của định lý. Ví dụ: đối với DABC: một hình vuông được xây dựng trên cạnh huyền AC, chứa 4 hình tam giác ban đầu và các hình vuông được xây dựng trên hai chân của hai hình. Định lý đã được chứng minh.

Chứng minh dựa trên việc sử dụng khái niệm kích thước bằng nhau của các hình.

Trong trường hợp này, chúng ta có thể xem xét bằng chứng cho thấy một hình vuông được xây dựng trên cạnh huyền của một tam giác vuông đã cho được “tạo thành” từ các hình giống như các hình vuông được xây ở các cạnh. Chúng ta cũng có thể xem xét các chứng minh sử dụng sự sắp xếp lại các tổng của các số và tính đến một số ý tưởng mới.

Trong hình. 2 cho thấy hai hình vuông bằng nhau. Độ dài cạnh của mỗi hình vuông là a + b. Mỗi hình vuông được chia thành các phần bao gồm hình vuông và hình tam giác vuông. Rõ ràng là nếu chúng ta trừ bốn lần diện tích của một tam giác vuông có hai chân a, b khỏi diện tích hình vuông thì chúng ta sẽ còn lại diện tích bằng nhau, tức là c 2 = a 2 + b 2 . Tuy nhiên, những người theo đạo Hindu cổ đại, những người sở hữu lý luận này, thường không viết nó ra mà kèm theo bức vẽ chỉ một từ: “nhìn!” Rất có thể Pythagoras đã đưa ra bằng chứng tương tự.

Bằng chứng bổ sung.

Những cách chứng minh này dựa trên việc phân tích các hình vuông dựng trên cạnh huyền thành các hình từ đó người ta có thể cộng một hình vuông dựng trên cạnh huyền.

Ở đây: ABC là tam giác vuông có góc vuông C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Chứng minh độc lập sự bằng nhau từng cặp của các tam giác thu được bằng cách chia các hình vuông xây trên cạnh huyền và cạnh huyền.

Chứng minh định lý bằng cách sử dụng phân vùng này.

 Dựa trên chứng minh của al-Nayriziyah, một cách phân tách hình vuông thành cặp khác đã được thực hiện số liệu bằng nhau(Hình 5, ở đây ABC là tam giác vuông có góc vuông C).

 Một cách chứng minh khác bằng phương pháp chia các hình vuông thành các phần bằng nhau, gọi là “bánh xe có lưỡi” được trình bày trên Hình 2. 6. Xét: ABC là tam giác vuông có góc vuông C; O là tâm hình vuông có cạnh lớn; các đường chấm đi qua điểm O vuông góc hoặc song song với cạnh huyền.

 Việc phân tách các hình vuông này rất thú vị vì nó là cặp tứ giác bằng nhau có thể được ánh xạ lên nhau chuyển song song. Nhiều cách chứng minh khác của định lý Pythagore có thể được đưa ra bằng cách phân tích hình vuông thành hình.

Bằng chứng bằng phương pháp hoàn thành.

Bản chất của phương pháp này là các hình bằng nhau được thêm vào các hình vuông được xây dựng trên các chân và vào hình vuông được xây dựng trên cạnh huyền sao cho thu được các hình bằng nhau.

Giá trị của định lý Pythagore xuất phát từ kích thước bằng nhau của các lục giác AEDFPB và ACBNMQ. Ở đây CEP, đường thẳng EP chia lục giác AEDFPB thành hai tứ giác bằng nhau, đường thẳng CM chia lục giác ACBNMQ thành hai tứ giác bằng nhau; Xoay mặt phẳng 90° quanh tâm A ánh xạ tứ giác AEPB vào tứ giác ACMQ.

Trong hình. 8. Hình Pythagore được hoàn thiện thành một hình chữ nhật có các cạnh song song với các cạnh tương ứng của các hình vuông được xây ở hai bên. Hãy chia hình chữ nhật này thành hình tam giác và hình chữ nhật. Từ hình chữ nhật thu được, trước tiên chúng ta trừ tất cả các đa giác 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, để lại một hình vuông được tạo trên cạnh huyền. Sau đó, từ cùng một hình chữ nhật, chúng ta trừ các hình chữ nhật 5, 6, 7 và các hình chữ nhật được tô bóng, chúng ta có các hình vuông được xây dựng trên các chân.

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng các số bị trừ trong trường hợp đầu tiên có kích thước bằng các số bị trừ trong trường hợp thứ hai.

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

do đó c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP = ACLF = ACED = b 2 ;

CBML = CBNQ = a 2 ;

OBMP = ABMF = c 2 ;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2 .

Phương pháp chứng minh đại số.

	Cơm. 12 minh họa chứng minh của nhà toán học vĩ đại Ấn Độ Bhaskari (tác giả nổi tiếng Lilavati, X thế kỉ II). Bức vẽ chỉ kèm theo một từ: XEM! Trong số các chứng minh của định lý Pythagore phương pháp đại số Vị trí đầu tiên (có lẽ là lâu đời nhất) là chứng minh sử dụng tính tương tự.
	Hãy mang vào trình bày hiện đại một bằng chứng như vậy thuộc về Pythagoras.

N và hình. 13 ABC – hình chữ nhật, C – góc vuông, CMAB, b 1 – hình chiếu của cạnh b lên cạnh huyền, a 1 – hình chiếu của cạnh a lên cạnh huyền, h – đường cao của tam giác vẽ cạnh huyền.

Từ thực tế là ABC đồng dạng với ACM nên suy ra

b 2 = cb 1 ; (1)

từ thực tế là ABC giống với BCM nên suy ra

a 2 = ca 1 . (2)

Cộng các đẳng thức (1) và (2) theo từng số hạng, chúng ta thu được a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Nếu Pythagoras thực sự đề xuất được một chứng minh như vậy thì ông cũng đã quen thuộc với một số định lý hình học quan trọng nhà sử học hiện đại các nhà toán học thường gán nó cho Euclid.

Chứng minh của Moehlmann (Hình 14). Một mặt, diện tích của một tam giác vuông cho trước bằng diện tích kia, trong đó p là bán chu vi của tam giác, r là bán kính của hình tròn nội tiếp trong đó Chúng tôi có:

từ đó suy ra c 2 = a 2 + b 2.

trong lần thứ hai

Đánh đồng các biểu thức này, chúng ta thu được định lý Pythagore.

Phương pháp kết hợp

Sự bình đẳng của các tam giác

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

So sánh quan hệ (3) và (4), ta thu được

c 1 2 = c 2, hoặc c 1 = c.

Do đó, các hình tam giác - đã cho và được dựng - đều bằng nhau, vì chúng có ba hình tam giác tương ứng các cạnh bằng nhau. Góc C 1 vuông nên góc C tam giác đã cho cũng thẳng.

Bằng chứng cổ xưa của Ấn Độ.

Toán học Ấn Độ cổ đại nhận thấy rằng để chứng minh định lý Pythagore, chỉ cần sử dụng phần bên trong của một bức vẽ cổ của Trung Quốc là đủ. Trong chuyên luận “Siddhanta Hiromani” (“Vương miện tri thức”) được nhà toán học vĩ đại nhất Ấn Độ thế kỷ 19 viết trên lá cọ. Bha-skaras được đặt trong một bản vẽ (Hình 4)

Đặc điểm của bằng chứng Ấn Độ là từ “nhìn!” Như bạn có thể thấy, các hình tam giác vuông được đặt ở đây với cạnh huyền hướng ra ngoài và một hình vuông Với 2 chuyển sang “ghế cô dâu” Với 2 -b 2 . Lưu ý rằng các trường hợp đặc biệt của định lý Pythagore (ví dụ: dựng một hình vuông có diện tích lớn gấp đôi Hình 4 khu vực hình vuông đã cho) được tìm thấy trong chuyên luận cổ xưa của Ấn Độ "Sulva"

Chúng tôi đã giải một hình tam giác vuông và các hình vuông được xây dựng trên các chân của nó, hay nói cách khác, các hình được tạo thành từ 16 hình tam giác vuông cân giống nhau và do đó khớp với một hình vuông. Lily là thế đó. một phần nhỏ của cải ẩn giấu trong viên ngọc của toán học cổ đại - định lý Pythagore.

Bằng chứng cổ xưa của Trung Quốc.

Các chuyên luận toán học của Trung Quốc cổ đại đã đến với chúng ta trong ấn bản của thế kỷ thứ 2. BC Sự thật là vào năm 213 trước Công nguyên. Hoàng đế Trung Quốc Shi Huang Di, cố gắng loại bỏ các truyền thống trước đây, đã ra lệnh đốt tất cả sách cổ. Ở thế kỷ P BC Ở Trung Quốc, giấy được phát minh và đồng thời việc xây dựng lại các cuốn sách cổ cũng bắt đầu. Tác phẩm chính về thiên văn còn sót lại là trong cuốn sách “Toán học” có một bức vẽ (Hình 2, a) chứng minh định lý Pythagore. Chìa khóa của chứng minh này không khó tìm. Thực tế, trong bức vẽ cổ của người Trung Quốc có bốn hình tam giác vuông bằng nhau có các cạnh a, b và cạnh huyền Với xếp chồng lên nhau G) sao cho đường viền bên ngoài của chúng tạo thành Hình 2 một hình vuông có cạnh a+b, và hình bên trong là một hình vuông có cạnh c, dựng trên cạnh huyền (Hình 2, b). Nếu cắt một hình vuông có cạnh c ra và 4 hình tam giác tô bóng còn lại được xếp thành hai hình chữ nhật (Hình 2, V), thì rõ ràng là khoảng trống thu được, một mặt, bằng VỚI 2 , và mặt khác - Với 2 +b 2 , những thứ kia. c 2=  2 +b 2 . Định lý đã được chứng minh. Lưu ý rằng với cách chứng minh này, các cách dựng bên trong hình vuông trên cạnh huyền mà chúng ta thấy trong hình vẽ cổ của Trung Quốc (Hình 2, a) không được sử dụng. Rõ ràng, các nhà toán học Trung Quốc cổ đại đã có một cách chứng minh khác. Chính xác nếu trong một hình vuông có cạnh Với hai hình tam giác được tô bóng (Hình 2, b) cắt bỏ và gắn cạnh huyền vào hai cạnh huyền còn lại (Hình 2, G), thì thật dễ dàng để khám phá ra rằng

Hình kết quả, đôi khi được gọi là "ghế cô dâu", bao gồm hai hình vuông có cạnh Cho chúng ta một tam giác vuông có các cạnh Và b, những thứ kia. c 2 == Một 2 +b 2 .

N và Hình 3 mô phỏng lại một bức vẽ từ chuyên luận “Chu-bi…”. Ở đây định lý Pythagore được xem xét cho Tam giác Ai Cập có chân 3, 4 và cạnh huyền 5 đơn vị đo. Hình vuông ở cạnh huyền chứa 25 ô và hình vuông nội tiếp trên cạnh huyền chứa 16 ô. Rõ ràng phần còn lại chứa 9 ô. Đây sẽ là hình vuông ở cạnh nhỏ hơn.