Tiếp tuyến của một tam giác vuông là gì. Định lý Pytago để tìm cạnh của một tam giác vuông

Các khái niệm sin(), cos(), tang(), cotangent() gắn bó chặt chẽ với khái niệm góc. Để hiểu rõ những điều này, thoạt nhìn, khái niệm phức tạp(điều này gây ra trạng thái kinh hoàng ở nhiều học sinh) và để đảm bảo rằng “ma quỷ không đáng sợ như trong tranh”, chúng ta hãy bắt đầu lại từ đầu và hiểu khái niệm về góc.

Khái niệm góc: radian, độ

Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh. Vectơ đã “quay” so với điểm một lượng nhất định. Vì vậy số đo của góc quay này so với vị trí ban đầu sẽ là góc.

Bạn cần biết thêm điều gì về khái niệm góc? Vâng, tất nhiên, đơn vị góc!

Góc, trong cả hình học và lượng giác, có thể được đo bằng độ và radian.

Một góc (một độ) được gọi là góc ở tâm trong một đường tròn, dựa trên một cung tròn bằng một phần của đường tròn. Do đó, toàn bộ đường tròn bao gồm các “mảnh” cung tròn hoặc góc được mô tả bởi đường tròn bằng nhau.

Tức là hình trên thể hiện một góc bằng, tức là góc này nằm trên một cung tròn có kích thước bằng chu vi.

Góc tính bằng radian là góc ở tâm của đường tròn chắn bởi một cung tròn có chiều dài bằng bán kính của đường tròn. Vâng, bạn đã tìm ra nó? Nếu không, hãy tìm ra nó từ bản vẽ.

Vì vậy, hình vẽ cho thấy một góc bằng radian, nghĩa là góc này nằm trên một cung tròn có chiều dài bằng bán kính của đường tròn (chiều dài bằng chiều dài hoặc bán kính bằng chiều dài cung). Do đó, độ dài cung được tính theo công thức:

Góc ở tâm tính bằng radian ở đâu.

Chà, biết điều này, bạn có thể trả lời có bao nhiêu radian trong góc được mô tả bởi hình tròn không? Có, để làm được điều này bạn cần nhớ công thức tính chu vi. Đây là:

Chà, bây giờ chúng ta hãy so sánh hai công thức này và thấy rằng góc được mô tả bởi đường tròn bằng nhau. Nghĩa là, bằng cách tương quan giá trị theo độ và radian, chúng ta sẽ có được điều đó. Tương ứng, . Như bạn có thể thấy, không giống như "độ", từ "radian" bị lược bỏ vì đơn vị đo thường rõ ràng trong ngữ cảnh.

Có bao nhiêu radian? Đúng vậy!

Hiểu rồi? Sau đó hãy tiếp tục và sửa nó:

Gặp khó khăn? Sau đó nhìn câu trả lời:

Tam giác vuông: sin, cos, tiếp tuyến, cotang của góc

Vì vậy, chúng tôi đã tìm ra khái niệm về một góc. Nhưng sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc là gì? Hãy tìm ra nó. Để làm được điều này, một hình tam giác vuông sẽ giúp chúng ta.

Các cạnh của một tam giác vuông được gọi là gì? Đúng vậy, cạnh huyền và chân: cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông (trong ví dụ của chúng ta đây là cạnh); chân là hai cạnh còn lại và (những cạnh kề với góc vuông), và nếu chúng ta xét hai chân theo góc thì chân đó là chân liền kề, và chân ngược lại. Vì vậy, bây giờ chúng ta hãy trả lời câu hỏi: sin, cosin, tiếp tuyến và côtang của một góc là gì?

Sin của góc- đây là tỷ lệ của chân đối diện (xa) với cạnh huyền.

Trong tam giác của chúng tôi.

Cosin của góc- đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) với cạnh huyền.

Trong tam giác của chúng tôi.

Tiếp tuyến của góc- đây là tỷ lệ của cạnh đối diện (xa) với cạnh kề (gần).

Trong tam giác của chúng tôi.

Cotang của góc- đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) với chân đối diện (xa).

Trong tam giác của chúng tôi.

Những định nghĩa này là cần thiết nhớ! Để dễ nhớ hơn nên chia chân nào thành chân nào, bạn cần hiểu rõ rằng trong đường tiếp tuyến Và cotang chỉ có hai chân ngồi và cạnh huyền chỉ xuất hiện ở xoang Và cô sin. Và sau đó bạn có thể nghĩ ra một chuỗi liên kết. Ví dụ: cái này:

Cosine→chạm→chạm→liền kề;

Cotang→chạm→chạm→liền kề.

Trước hết, bạn cần nhớ rằng sin, cos, tiếp tuyến và côtang là tỷ số của các cạnh của một tam giác không phụ thuộc vào độ dài của các cạnh này (ở cùng một góc). Không tin tôi? Sau đó hãy chắc chắn bằng cách nhìn vào hình ảnh:

Ví dụ, hãy xem xét cosin của một góc. Theo định nghĩa, từ một tam giác: , nhưng chúng ta có thể tính cosin của một góc từ một tam giác: . Bạn thấy đấy, độ dài của các cạnh là khác nhau, nhưng giá trị cosin của một góc là như nhau. Do đó, các giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc.

Nếu bạn hiểu các định nghĩa, hãy tiếp tục và củng cố chúng!

Đối với hình tam giác như trong hình bên dưới, chúng ta tìm thấy.

Vâng, bạn đã nhận được nó? Sau đó hãy tự mình thử: tính toán tương tự cho góc.

Đường tròn đơn vị (lượng giác)

Hiểu các khái niệm về độ và radian, chúng ta đã xét một đường tròn có bán kính bằng. Vòng tròn như vậy được gọi là đơn. Nó sẽ rất hữu ích khi nghiên cứu lượng giác. Vì vậy, chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn một chút.

Như bạn có thể thấy, vòng tròn đã chođược xây dựng trong Hệ thống Descartes tọa độ Bán kính vòng tròn bằng một, trong khi tâm của đường tròn nằm ở gốc tọa độ, vị trí bắt đầu Vectơ bán kính được cố định dọc theo hướng dương của trục (trong ví dụ của chúng tôi, đây là bán kính).

Mỗi điểm trên đường tròn ứng với hai số: tọa độ trục và tọa độ trục. Những số tọa độ này là gì? Và nói chung, chúng có liên quan gì đến chủ đề hiện tại? Để làm được điều này, chúng ta cần nhớ về tam giác vuông đang xét. Trong hình trên, bạn có thể thấy toàn bộ hai hình tam giác vuông. Hãy xem xét một hình tam giác. Nó có hình chữ nhật vì nó vuông góc với trục.

Tam giác bằng bao nhiêu? Đúng vậy. Ngoài ra, chúng ta biết rằng đây là bán kính vòng tròn đơn vị, có nghĩa là . Hãy thay thế giá trị này vào công thức tính cosin của chúng ta. Đây là những gì xảy ra:

Tam giác bằng bao nhiêu? Tất nhiên rồi! Thay giá trị bán kính vào công thức này và nhận được:

Vì vậy, bạn có thể cho biết một điểm thuộc đường tròn có tọa độ như thế nào không? Vâng, không thể nào? Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn nhận ra điều đó và chỉ là những con số? Nó tương ứng với tọa độ nào? Vâng, tất nhiên, tọa độ! Và nó tương ứng với tọa độ nào? Đúng vậy, tọa độ! Vì vậy, thời kỳ.

Vậy thì bằng và bằng bao nhiêu? Đúng vậy, hãy sử dụng các định nghĩa tương ứng của tiếp tuyến và côtang và hiểu được điều đó, a.

Nếu góc lớn hơn thì sao? Ví dụ như trong hình này:

Điều gì đã thay đổi trong trong ví dụ này? Hãy tìm ra nó. Để làm điều này, hãy quay lại với một hình tam giác vuông. Xét một tam giác vuông: góc (giác kề với một góc). Các giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc là gì? Đúng vậy, chúng tôi tuân thủ các định nghĩa thích hợp hàm lượng giác:

Vâng, như bạn có thể thấy, giá trị sin của góc vẫn tương ứng với tọa độ; giá trị cosin của góc - tọa độ; và các giá trị tiếp tuyến, cotang theo các tỉ số tương ứng. Vì vậy, những mối quan hệ này áp dụng cho bất kỳ phép quay nào của vectơ bán kính.

Người ta đã đề cập rằng vị trí ban đầu của vectơ bán kính nằm dọc theo hướng dương của trục. Cho đến nay chúng ta đã xoay vectơ này ngược chiều kim đồng hồ, nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta xoay nó theo chiều kim đồng hồ? Không có gì bất thường, bạn cũng sẽ nhận được một góc có giá trị nhất định, nhưng chỉ có điều nó sẽ âm. Như vậy, khi quay vectơ bán kính ngược chiều kim đồng hồ, ta được góc tích cực, và khi quay theo chiều kim đồng hồ - tiêu cực.

Vì vậy, chúng ta biết rằng toàn bộ một vòng quay của vectơ bán kính quanh một đường tròn là hoặc. Có thể xoay vectơ bán kính tới hoặc tới không? Tất nhiên là bạn có thể! Do đó, trong trường hợp đầu tiên, vectơ bán kính sẽ quay hết một vòng và dừng ở vị trí hoặc.

Trong trường hợp thứ hai, tức là vectơ bán kính sẽ tạo thành ba cuộc cách mạng đầy đủ và dừng ở vị trí hoặc.

Do đó, từ các ví dụ trên, chúng ta có thể kết luận rằng các góc khác nhau bằng hoặc (trong đó là số nguyên bất kỳ) tương ứng với cùng một vị trí của vectơ bán kính.

Hình dưới đây cho thấy một góc. Hình ảnh tương tự tương ứng với góc, v.v. Danh sách này có thể được tiếp tục vô thời hạn. Tất cả các góc này có thể được viết bằng công thức tổng quát hoặc (bất kỳ số nguyên nào)

Bây giờ, khi đã biết định nghĩa của các hàm lượng giác cơ bản và sử dụng vòng tròn đơn vị, hãy thử trả lời các giá trị là gì:

Đây là một vòng tròn đơn vị để giúp bạn:

Gặp khó khăn? Sau đó chúng ta hãy tìm ra nó. Vì vậy, chúng tôi biết rằng:

Từ đây ta xác định được tọa độ các điểm tương ứng với số đo góc nhất định. Chà, hãy bắt đầu theo thứ tự: góc tại tương ứng với một điểm có tọa độ, do đó:

Không tồn tại;

Hơn nữa, tuân theo logic tương tự, chúng ta phát hiện ra rằng các góc tương ứng với các điểm có tọa độ tương ứng. Biết được điều này, người ta dễ dàng xác định được giá trị của các hàm lượng giác trong điểm tương ứng. Hãy tự mình thử trước, sau đó kiểm tra câu trả lời.

Câu trả lời:

Không tồn tại

Vì vậy, chúng ta có thể lập bảng sau:

Không cần phải nhớ tất cả các giá trị này. Chỉ cần nhớ sự tương ứng giữa tọa độ các điểm trên đường tròn đơn vị và giá trị của hàm lượng giác là đủ:

Nhưng các giá trị của hàm lượng giác của các góc trong và được cho trong bảng dưới đây, phải được ghi nhớ:

Đừng sợ, bây giờ chúng tôi sẽ cho bạn xem một ví dụ khá đơn giản để nhớ các giá trị tương ứng:

Để sử dụng phương pháp này, điều quan trọng là phải nhớ các giá trị sin của cả ba số đo góc (), cũng như giá trị của tang của góc. Biết các giá trị này, việc khôi phục toàn bộ bảng khá đơn giản - các giá trị cosin được truyền theo các mũi tên, nghĩa là:

Biết được điều này, bạn có thể khôi phục các giá trị cho. Tử số " " sẽ khớp và mẫu số " " sẽ khớp. Các giá trị cotang được chuyển theo các mũi tên chỉ trong hình. Nếu bạn hiểu điều này và nhớ sơ đồ có các mũi tên thì chỉ cần nhớ tất cả các giá trị trong bảng là đủ.

Tọa độ của một điểm trên đường tròn

Có thể tìm thấy một điểm (tọa độ của nó) trên một đường tròn, biết tọa độ tâm đường tròn, bán kính và góc quay?

Tất nhiên là bạn có thể! Hãy lấy nó ra công thức tổng quátđể tìm tọa độ của một điểm.

Ví dụ: đây là một vòng tròn trước mặt chúng ta:

Chúng ta được cho rằng điểm là tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn bằng nhau. Cần tìm tọa độ của một điểm thu được bằng cách xoay điểm theo độ.

Như có thể thấy từ hình, tọa độ của điểm tương ứng với độ dài của đoạn. Độ dài của đoạn tương ứng với tọa độ tâm của đường tròn, nghĩa là nó bằng nhau. Độ dài của một đoạn có thể được biểu thị bằng định nghĩa cosin:

Sau đó chúng ta có tọa độ điểm đó.

Sử dụng logic tương tự, chúng ta tìm giá trị tọa độ y cho điểm. Như vậy,

Vì vậy, trong cái nhìn tổng quát tọa độ các điểm được xác định theo công thức:

Tọa độ tâm của đường tròn,

Bán kính vòng tròn,

Góc quay của bán kính vectơ.

Như bạn có thể thấy, đối với đường tròn đơn vị mà chúng ta đang xem xét, các công thức này được giảm đáng kể, vì tọa độ của tâm bằng 0 và bán kính bằng 1:

Nào, chúng ta hãy thử các công thức này bằng cách luyện tập tìm điểm trên đường tròn nhé?

1. Tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị thu được bằng cách xoay điểm đó.

2. Tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị thu được bằng cách xoay điểm đó.

3. Tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị thu được bằng cách xoay điểm đó.

4. Điểm là tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn bằng nhau. Cần tìm tọa độ của điểm thu được bằng cách quay vectơ bán kính ban đầu theo.

5. Điểm là tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn bằng nhau. Cần tìm tọa độ của điểm thu được bằng cách quay vectơ bán kính ban đầu theo.

Bạn gặp khó khăn khi tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn?

Hãy giải năm ví dụ này (hoặc giải tốt chúng) và bạn sẽ học cách tìm ra chúng!

Bạn có thể nhận thấy điều đó. Nhưng chúng ta biết điều gì tương ứng với một cuộc cách mạng toàn diện về điểm xuất phát. Như vậy, điểm mong muốn sẽ ở vị trí tương tự như khi bật. Biết được điều này, chúng ta tìm được tọa độ cần thiết của điểm:

2. Đường tròn đơn vị có tâm tại một điểm, nghĩa là chúng ta có thể sử dụng các công thức đơn giản hóa:

Bạn có thể nhận thấy điều đó. Chúng ta biết điều gì tương ứng với hai vòng quay trọn vẹn của điểm xuất phát. Như vậy, điểm mong muốn sẽ ở đúng vị trí như khi quay sang. Biết được điều này, chúng ta tìm được tọa độ cần thiết của điểm:

Sin và cosine là các giá trị bảng. Chúng tôi nhớ lại ý nghĩa của chúng và nhận được:

Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.

3. Đường tròn đơn vị có tâm tại một điểm, nghĩa là chúng ta có thể sử dụng các công thức đơn giản hóa:

Bạn có thể nhận thấy điều đó. Hãy mô tả ví dụ được đề cập trong hình:

Bán kính tạo thành các góc bằng và với trục. Biết rằng bảng giá trị của cosin và sin bằng nhau và đã xác định được cosin ở đây chiếm giá trị âm, và sin dương, ta có:

Thêm chi tiết ví dụ tương tựđược hiểu khi nghiên cứu các công thức rút gọn hàm số lượng giác trong đề tài.

Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.

Góc quay của bán kính vectơ (theo điều kiện)

Để xác định các dấu tương ứng của sin và cosin, chúng ta dựng đường tròn và góc đơn vị:

Như bạn có thể thấy, giá trị nghĩa là dương và giá trị nghĩa là âm. Biết các giá trị dạng bảng của các hàm lượng giác tương ứng, ta thu được:

Hãy thay thế các giá trị thu được vào công thức của chúng tôi và tìm tọa độ:

Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.

5. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sử dụng các công thức ở dạng tổng quát, trong đó

Tọa độ của tâm đường tròn (trong ví dụ của chúng tôi,

Bán kính vòng tròn (theo điều kiện)

Góc quay của bán kính vectơ (theo điều kiện).

Hãy thay thế tất cả các giá trị vào công thức và nhận được:

và - giá trị bảng. Hãy ghi nhớ và thay thế chúng vào công thức:

Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.

CÔNG THỨC TÓM TẮT VÀ CƠ BẢN

Sin của một góc là tỷ lệ của cạnh đối diện (xa) với cạnh huyền.

Cosin của một góc là tỷ lệ của cạnh kề (gần) với cạnh huyền.

Tiếp tuyến của một góc là tỉ số giữa cạnh đối diện (xa) với cạnh kề (gần).

Cotang của một góc là tỉ số giữa cạnh kề (gần) và cạnh đối diện (xa).

Hướng dẫn

Một tam giác được gọi là vuông nếu một trong các góc của nó bằng 90 độ. Nó bao gồm hai chân và một cạnh huyền. Cạnh huyền được gọi là mặt lớn tam giác này. Nó nằm dựa vào một góc vuông. Theo đó, chân được gọi là các cạnh nhỏ hơn của nó. Chúng có thể bằng nhau hoặc có kích cỡ khác nhau. Bình đẳng về hai chân là điều bạn đang làm với một tam giác vuông. Vẻ đẹp của nó là nó kết hợp hai hình: hình chữ nhật và tam giác cân. Nếu hai chân không bằng nhau thì tam giác đó là tùy ý và tuân theo quy luật cơ bản: góc càng lớn thì vật nằm đối diện càng lăn.

Có một số cách để tìm cạnh huyền theo và góc. Nhưng trước khi sử dụng một trong số chúng, bạn nên xác định góc nào và góc nào đã biết. Nếu cho một góc và một cạnh kề với nó thì việc tìm cạnh huyền sẽ dễ dàng hơn bằng cách sử dụng cosin của góc đó. Cô sin góc nhọn(cos a) trong tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh kề với cạnh huyền. Theo đó, cạnh huyền (c) sẽ bằng tỉ số của cạnh kề (b) với cosin của góc a (cos a). Điều này có thể được viết như thế này: cos a=b/c => c=b/cos a.

Nếu có một góc và một chân đối diện, thì bạn nên làm việc. Sin của một góc nhọn (sin a) trong tam giác vuông là tỉ số phía đối diện(a) đến cạnh huyền (c). Ở đây nguyên tắc giống như trong ví dụ trước, chỉ có điều thay vì hàm cosine, hàm sin được lấy. sin a=a/c => c=a/sin a.

Bạn cũng có thể sử dụng hàm lượng giác như . Nhưng việc tìm kiếm giá trị mong muốn sẽ trở nên phức tạp hơn một chút. Tiếp tuyến của góc nhọn (tg a) trong tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối diện (a) với cạnh kề (b). Sau khi tìm được cả hai vế, hãy áp dụng định lý Pytago (bình phương cạnh huyền bằng tổng hình vuông của chân) và cái lớn hơn sẽ được tìm thấy.

Xin lưu ý

Khi làm việc với định lý Pythagore, hãy nhớ rằng bạn đang xử lý một mức độ. Sau khi tìm được tổng bình phương của các chân, bạn cần lấy căn bậc hai để có đáp án cuối cùng.

Nguồn:

làm thế nào để tìm chân và cạnh huyền

Cạnh huyền là cạnh trong tam giác vuông đối diện với góc 90 độ. Để tính chiều dài của nó, chỉ cần biết chiều dài của một trong hai chân và kích thước của một trong các góc nhọn của tam giác là đủ.

Hướng dẫn

Cho một góc hình chữ nhật đã biết và nhọn thì kích thước của cạnh huyền sẽ là tỷ lệ giữa chân với/của góc này, nếu góc này đối diện/liền kề với nó:

h = C1(hoặc C2)/sinα;

h = C1 (hoặc C2)/cosα.

Ví dụ: Cho ABC có cạnh huyền AB và C. Gọi góc B là 60 độ và góc A là 30 độ. Độ dài cạnh huyền AB là 8 cm. Để thực hiện việc này, bạn có thể sử dụng bất kỳ phương pháp nào được đề xuất ở trên:

AB = BC/cos60 = 8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Từ " chân"đến từ từ Hy Lạp"vuông góc" hoặc "thẳng đứng" - điều này giải thích tại sao cả hai cạnh của một tam giác vuông, tạo thành góc 90 độ, được gọi như vậy. Tìm độ dài của bất kỳ chân ov không khó nếu biết giá trị của góc liền kề và bất kỳ tham số nào khác, vì trong trường hợp này, giá trị của cả ba góc sẽ thực sự được biết.

Hướng dẫn

Nếu, ngoài giá trị của góc kề (β), độ dài của giây chân a (b), thì độ dài chân và (a) có thể được định nghĩa là thương số của độ dài đã biết chân và trên góc đã biết: a=b/tg(β). Điều này tuân theo định nghĩa của lượng giác này. Bạn có thể làm mà không cần tiếp tuyến nếu bạn sử dụng định lý. Từ đó suy ra rằng độ dài mong muốn với sin của góc đối diện với tỉ số giữa độ dài đã biết chân và sin của một góc đã biết. Ngược lại với mong muốn chân y góc nhọn có thể được biểu thị thông qua góc đã biết là 180°-90°-β = 90°-β, vì tổng tất cả các góc của bất kỳ tam giác nào cũng phải là 180° và một trong các góc của nó là 90°. Vậy độ dài cần thiết chân và có thể được tính bằng công thức a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

Nếu biết giá trị của góc kề (β) và độ dài cạnh huyền (c) thì độ dài chân và (a) có thể được tính bằng tích của độ dài cạnh huyền và cosin của góc đã biết: a=c∗cos(β). Điều này xuất phát từ định nghĩa cosin là hàm lượng giác. Nhưng bạn có thể sử dụng, như ở bước trước, định lý về sin và sau đó là độ dài của đoạn mong muốn chân a sẽ bằng tích của sin giữa 90° và góc đã biết và tỉ số giữa độ dài cạnh huyền và sin của góc vuông. Và vì sin của 90° bằng 1 nên chúng ta có thể viết nó như thế này: a=sin(90°-β)∗c.

Các tính toán thực tế có thể được thực hiện, ví dụ, bằng cách sử dụng hệ điều hành đi kèm Phần mềm Windows máy tính. Để chạy nó, bạn có thể chọn “Run” từ menu chính trên nút “Start”, gõ lệnh calc và nhấp vào “OK”. Trong phiên bản giao diện đơn giản nhất của chương trình này mở theo mặc định, các hàm lượng giác không được cung cấp, vì vậy sau khi khởi chạy nó, bạn cần nhấp vào phần “Xem” trong menu và chọn dòng “Khoa học” hoặc “Kỹ thuật” ( tùy vào phiên bản sử dụng hệ điều hành).

Video về chủ đề

Từ “kathet” có nguồn gốc từ tiếng Nga từ tiếng Hy Lạp. TRONG bản dịch chính xác nó có nghĩa là một đường thẳng đứng, tức là vuông góc với bề mặt trái đất. Trong toán học, chân là các cạnh tạo thành một góc vuông của một tam giác vuông. Cạnh đối diện với góc này được gọi là cạnh huyền. Thuật ngữ "cathet" cũng được sử dụng trong kiến trúc và công nghệ công việc hàn.

Vẽ tam giác vuông DIA. Gọi hai chân của nó là a và b, và cạnh huyền là c. Tất cả các cạnh và góc của một tam giác vuông đều được xác định lẫn nhau. Tỷ lệ của chân đối diện với một trong các góc nhọn với cạnh huyền được gọi là sin góc đã cho. TRONG tam giác đã cho sinCAB=a/c. Cosine là tỷ lệ với cạnh huyền của cạnh kề, nghĩa là cosCAB=b/c. Các mối quan hệ nghịch đảo được gọi là secant và cosecant.

Sec của góc này có được bằng cách chia cạnh huyền cho cạnh kề, tức là secCAB = c/b. Kết quả là nghịch đảo của cosine, nghĩa là nó có thể được biểu thị bằng công thức secCAB=1/cosSAB.
Cosecant bằng thương của cạnh huyền chia cho cạnh đối diện và là đại lượng nghịch đảo của sin. Nó có thể được tính bằng công thức cosecCAB=1/sinCAB

Cả hai chân được kết nối với nhau và bằng cotang. TRONG trong trường hợp này tiếp tuyến sẽ là tỉ số giữa cạnh a và cạnh b, tức là cạnh đối diện với cạnh kề. Mối quan hệ này có thể được biểu diễn bằng công thức tgCAB=a/b. Tương ứng, mối quan hệ nghịch đảo sẽ có cotang: ctgCAB=b/a.

Mối quan hệ giữa kích thước của cạnh huyền và cả hai chân đã được xác định bởi Pythagoras của Hy Lạp cổ đại. Người ta vẫn sử dụng định lý và tên tuổi của ông. Nó nói rằng bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai chân, tức là c2 = a2 + b2. Theo đó, mỗi chân sẽ bằng căn bậc hai từ sự khác biệt giữa các bình phương của cạnh huyền và chân kia. Công thức này có thể được viết là b=√(c2-a2).

Chiều dài của chân cũng có thể được thể hiện thông qua các mối quan hệ mà bạn đã biết. Theo định lý sin và cosin, chân tương đương với sản phẩm cạnh huyền đối với một trong các chức năng này. Nó có thể được biểu diễn dưới dạng và hoặc cotang. Ví dụ, có thể tìm thấy chân a bằng cách sử dụng công thức a = b*tan CAB. Theo cách tương tự, tùy thuộc vào tiếp tuyến đã cho hoặc , chặng thứ hai được xác định.

Thuật ngữ "cathet" cũng được sử dụng trong kiến trúc. Nó được áp dụng cho thủ đô Ionic và xuyên qua giữa lưng của nó. Nghĩa là, trong trường hợp này, số hạng này vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Trong công nghệ hàn có “chân hàn phi lê”. Như trong các trường hợp khác, đây là khoảng cách ngắn nhất. Đây chúng ta đang nói về về khoảng cách giữa một trong các bộ phận được hàn với ranh giới của đường may nằm trên bề mặt của bộ phận kia.

Video về chủ đề

Nguồn:

chân và cạnh huyền năm 2019 là gì

Trong cuộc sống chúng ta sẽ thường xuyên phải đối mặt với bài toán: ở trường, ở trường đại học, và sau đó giúp con bạn hoàn thành bài tập về nhà. Những người trong một số ngành nghề nhất định sẽ gặp phải toán học hàng ngày. Vì vậy, thật hữu ích khi nhớ hoặc ghi nhớ quy tắc toán học. Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét một trong số đó: tìm cạnh của một tam giác vuông.

Tam giác vuông là gì

Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ tam giác vuông là gì. Tam giác vuông- Cái này hình hình học gồm ba đoạn nối các điểm không nằm trên cùng một đường thẳng và một trong các góc của hình này là 90 độ. Các cạnh tạo thành một góc vuông được gọi là chân, và cạnh đối diện với góc vuông được gọi là cạnh huyền.

Tìm chân của một tam giác vuông

Có một số cách để tìm ra chiều dài của chân. Tôi muốn xem xét chúng chi tiết hơn.

Định lý Pythagore để tìm cạnh của một tam giác vuông

Nếu chúng ta biết cạnh huyền và chân thì chúng ta có thể tìm được độ dài chân nổi tiếng theo định lý Pythagore. Nghe như thế này: “Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai chân”. Công thức: c2=a2+b2, trong đó c là cạnh huyền, a và b là hai chân. Chúng ta biến đổi công thức và nhận được: a2=c2-b2.

Ví dụ. Cạnh huyền là 5 cm và cạnh huyền là 3 cm. Chúng ta biến đổi công thức: c2=a2+b2 → a2=c2-b2. Tiếp theo chúng ta giải: a2=52-32; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Các tỉ số lượng giác để tìm cạnh của tam giác vuông

Bạn cũng có thể tìm thấy một cạnh chưa biết nếu biết bất kỳ cạnh nào khác và bất kỳ góc nhọn nào của một tam giác vuông. Có bốn lựa chọn để tìm một chân bằng các hàm lượng giác: sin, cosin, tiếp tuyến, cotang. Bảng dưới đây sẽ giúp chúng ta giải quyết vấn đề. Hãy xem xét các lựa chọn này.

Tìm chân của tam giác vuông bằng hàm sin

Sin của một góc (sin) là tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh huyền. Công thức: sin=a/c, trong đó a là cạnh đối diện với góc đã cho và c là cạnh huyền. Tiếp theo, chúng ta biến đổi công thức và nhận được: a=sin*c.

Ví dụ. Cạnh huyền là 10 cm và góc A là 30 độ. Dựa vào bảng ta tính sin của góc A bằng 1/2. Sau đó, bằng cách sử dụng công thức được chuyển đổi, chúng ta giải: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Tìm chân của tam giác vuông bằng cosin

Cosin của một góc (cos) là tỷ lệ của cạnh kề với cạnh huyền. Công thức: cos=b/c, trong đó b là cạnh kề với một góc cho trước và c là cạnh huyền. Hãy biến đổi công thức và nhận được: b=cos*c.

Ví dụ. Góc A bằng 60 độ, cạnh huyền bằng 10 cm, ta tính cosin của góc A bằng 1/2. Tiếp theo chúng ta giải: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Tìm chân của tam giác vuông bằng cách sử dụng tiếp tuyến

Tiếp tuyến của một góc (tg) là tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề. Công thức: tg=a/b, trong đó a là cạnh đối diện với góc và b là cạnh kề. Hãy biến đổi công thức và nhận được: a=tg*b.

Ví dụ. Góc A bằng 45 độ, cạnh huyền bằng 10 cm, ta tính tang của góc A bằng Giải: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Tìm chân của tam giác vuông bằng cotang

Góc cotang (ctg) là tỉ số của cạnh kề với cạnh đối diện. Công thức: ctg=b/a, trong đó b là cạnh kề với góc và là cạnh đối diện. Nói cách khác, cotang là một “tiếp tuyến ngược”. Chúng tôi nhận được: b=ctg*a.

Ví dụ. Góc A là 30 độ, cạnh đối diện là 5 cm. Theo bảng thì tiếp tuyến của góc A là √3. Chúng tôi tính toán: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Vậy là bây giờ bạn đã biết cách tìm chân trong một tam giác vuông. Như bạn có thể thấy, nó không khó lắm, điều chính là phải nhớ các công thức.

Hướng dẫn

Video về chủ đề

Xin lưu ý

Khi tính các cạnh của một tam giác vuông, kiến thức về đặc điểm của nó có thể đóng một vai trò:
1) Nếu cạnh của góc vuông nằm đối diện với góc 30 độ thì góc đó bằng một nửa cạnh huyền;
2) Cạnh huyền luôn dài hơn bất kỳ chân nào;
3) Nếu một đường tròn ngoại tiếp một tam giác vuông thì tâm của nó phải nằm ở giữa cạnh huyền.

Hướng dẫn

Hãy cho chúng tôi biết một trong các chân và góc liền kề với nó. Để cụ thể, hãy đặt những cái này ở bên |AB| và góc α. Khi đó chúng ta có thể sử dụng công thức để cosin lượng giác– cosin của tỷ lệ của chân liền kề với . Những thứ kia. trong ký hiệu của chúng tôi cos α = |AB| / |AC|. Từ đó ta tính được độ dài cạnh huyền |AC| = |AB| / cos α.
Nếu chúng ta biết bên |BC| và góc α thì ta sẽ sử dụng công thức tính sin của góc - sin của góc bằng tỷ lệ cạnh đối diện với cạnh huyền: sin α = |BC| / |AC|. Ta thấy độ dài cạnh huyền là |AC| = |BC| / cos α.

Để rõ ràng, chúng ta hãy xem một ví dụ. Cho độ dài của chân |AB|. = 15. Và góc α = 60°. Chúng tôi nhận được |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Hãy xem cách bạn có thể kiểm tra kết quả của mình bằng định lý Pythagore. Để làm được điều này, chúng ta cần tính độ dài của chặng thứ hai |BC|. Sử dụng công thức tính tiếp tuyến của góc tan α = |BC| / |AC|, ta được |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. Tiếp theo, áp dụng định lý Pythagore, ta được 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Kiểm tra đã hoàn tất.

Lời khuyên hữu ích

Sau khi tính cạnh huyền, kiểm tra xem giá trị thu được có thỏa mãn định lý Pythagore hay không.

Nguồn:

Bàn số nguyên tố từ 1 đến 10000

chân là hai cạnh ngắn của một tam giác vuông tạo thành đỉnh có kích thước 90°. Cạnh thứ ba trong một tam giác như vậy được gọi là cạnh huyền. Tất cả các cạnh và góc của tam giác này được kết nối với nhau bằng những mối quan hệ nhất định giúp có thể tính được chiều dài của chân nếu biết một số thông số khác.

Hướng dẫn

Sử dụng định lý Pythagore cho cạnh (A) nếu bạn biết độ dài của hai cạnh còn lại (B và C) của tam giác vuông. Định lý này phát biểu rằng tổng bình phương chiều dài của các chân bằng bình phương cạnh huyền. Từ đó suy ra chiều dài của mỗi cạnh bằng căn bậc hai của độ dài cạnh huyền và cạnh thứ hai: A=√(C²-B²).

Sử dụng định nghĩa hàm lượng giác trực tiếp “sin” cho góc nhọn nếu biết độ lớn của góc (α) nằm đối diện với chân đang tính và độ dài cạnh huyền (C). Điều này nói lên rằng sin của cái này được biết đến chiều dài của chân mong muốn với chiều dài của cạnh huyền. Điều này có nghĩa là độ dài của cạnh mong muốn bằng tích của độ dài cạnh huyền và sin của góc đã biết: A=C∗sin(α). Đối với những điều tương tự số lượng đã biết Bạn cũng có thể sử dụng cosec và tính độ dài cần thiết bằng cách chia độ dài cạnh huyền cho cosec của góc đã biết A=C/cosec(α).

Sử dụng định nghĩa của hàm cosin lượng giác trực tiếp nếu, ngoài độ dài của cạnh huyền (C), độ lớn của góc nhọn (β) liền kề với góc mong muốn cũng đã biết. Cosin của góc này là tỷ lệ giữa độ dài của cạnh huyền và cạnh huyền, và từ đó chúng ta có thể kết luận rằng chiều dài của cạnh huyền bằng tích của chiều dài cạnh huyền và cosin của góc đã biết: A=C∗cos(β). Bạn có thể sử dụng định nghĩa của hàm cát tuyến và tính toán giá trị mong muốn, chia độ dài cạnh huyền cho cát tuyến của góc đã biết A=C/giây(β).

đầu ra công thức cần thiết từ một định nghĩa tương tự cho đạo hàm của tiếp tuyến của hàm lượng giác, nếu ngoài giá trị của góc nhọn (α) nằm đối diện với cạnh mong muốn (A), thì đã biết chiều dài của cạnh thứ hai (B). Tiếp tuyến của góc đối diện với chân mong muốn là tỷ lệ giữa chiều dài của chân này với chiều dài của chân thứ hai. Điều này có nghĩa là giá trị mong muốn sẽ bằng tích của độ dài của cạnh đã biết và tiếp tuyến của góc đã biết: A=B∗tg(α). Từ những đại lượng đã biết này, có thể rút ra một công thức khác nếu chúng ta sử dụng định nghĩa của hàm cotang. Trong trường hợp này, để tính chiều dài của cạnh, cần phải tìm tỷ lệ giữa chiều dài của cạnh đã biết với cotang của góc đã biết: A=B/ctg(α).

Video về chủ đề

Từ “kathet” có nguồn gốc từ tiếng Nga từ tiếng Hy Lạp. Trong bản dịch chính xác, nó có nghĩa là một đường thẳng đứng, nghĩa là vuông góc với bề mặt trái đất. Trong toán học, chân là các cạnh tạo thành một góc vuông của một tam giác vuông. Cạnh đối diện với góc này được gọi là cạnh huyền. Thuật ngữ “ống thông” cũng được sử dụng trong kiến trúc và công nghệ hàn.

Sec của góc này có được bằng cách chia cạnh huyền cho cạnh kề, tức là secCAB = c/b. Kết quả là nghịch đảo của cosine, nghĩa là nó có thể được biểu thị bằng công thức secCAB=1/cosSAB.
Cosecant bằng thương của cạnh huyền chia cho cạnh đối diện và là nghịch đảo của sin. Nó có thể được tính bằng công thức cosecCAB=1/sinCAB

Cả hai chân được kết nối với nhau và bằng cotang. Trong trường hợp này, tiếp tuyến sẽ là tỉ số giữa cạnh a và cạnh b, tức là cạnh đối diện với cạnh kề. Mối quan hệ này có thể được biểu diễn bằng công thức tgCAB=a/b. Theo đó, tỉ số nghịch đảo sẽ là cotang: ctgCAB=b/a.

Mối quan hệ giữa kích thước của cạnh huyền và cả hai chân đã được xác định bởi Pythagoras của Hy Lạp cổ đại. Người ta vẫn sử dụng định lý và tên tuổi của ông. Nó nói rằng bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai chân, tức là c2 = a2 + b2. Theo đó, mỗi chân sẽ bằng căn bậc hai của hiệu giữa bình phương của cạnh huyền và chân kia. Công thức này có thể được viết là b=√(c2-a2).

Chiều dài của chân cũng có thể được thể hiện thông qua các mối quan hệ mà bạn đã biết. Theo định lý sin và cos, một cạnh bằng tích của cạnh huyền và một trong các hàm số này. Nó có thể được biểu diễn dưới dạng và hoặc cotang. Ví dụ, có thể tìm thấy chân a bằng cách sử dụng công thức a = b*tan CAB. Theo cách tương tự, tùy thuộc vào tiếp tuyến đã cho hoặc , chặng thứ hai được xác định.

Trong công nghệ hàn có “chân hàn phi lê”. Như trong các trường hợp khác, đây là khoảng cách ngắn nhất. Ở đây chúng ta đang nói về khoảng cách giữa một trong các bộ phận được hàn với đường viền của đường may nằm trên bề mặt của bộ phận kia.

Video về chủ đề

Nguồn:

chân và cạnh huyền năm 2019 là gì

Sin, cos, tang, cotang của một góc là gì sẽ giúp bạn hiểu được tam giác vuông.

Các cạnh của một tam giác vuông được gọi là gì? Đúng vậy, cạnh huyền và chân: cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông (trong ví dụ của chúng ta đây là cạnh \(AC\)); chân là hai cạnh còn lại \(AB\) và \(BC\) ( kề với góc vuông), và nếu xét hai chân so với góc \(BC\) thì chân \(AB\) là chân liền kề và chân \(BC\) ngược lại. Vì vậy, bây giờ chúng ta hãy trả lời câu hỏi: sin, cosin, tiếp tuyến và côtang của một góc là gì?

Sin của góc– đây là tỷ lệ của chân đối diện (xa) với cạnh huyền.

Trong tam giác của chúng tôi:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosin của góc– đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) với cạnh huyền.

Trong tam giác của chúng tôi:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tiếp tuyến của góc– đây là tỷ lệ của cạnh đối diện (xa) với cạnh kề (gần).

Trong tam giác của chúng tôi:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotang của góc– đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) với chân đối diện (xa).

Trong tam giác của chúng tôi:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Cosine→chạm→chạm→liền kề;

Cotang→chạm→chạm→liền kề.

Ví dụ, hãy xem xét cosin của góc \(\beta \) . Theo định nghĩa, từ một tam giác \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), nhưng chúng ta có thể tính cosin của góc \(\beta \) từ tam giác \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Bạn thấy đấy, độ dài của các cạnh là khác nhau, nhưng giá trị cosin của một góc là như nhau. Do đó, các giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc.

Nếu bạn hiểu các định nghĩa, hãy tiếp tục và củng cố chúng!

Đối với tam giác \(ABC \) ở hình bên dưới, ta tìm được \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

Vâng, bạn đã nhận được nó? Sau đó hãy tự mình thử: tính toán tương tự cho góc \(\beta \) .

Câu trả lời: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Đường tròn đơn vị (lượng giác)

Hiểu các khái niệm về độ và radian, chúng ta đã xem xét một đường tròn có bán kính bằng \(1\) . Vòng tròn như vậy được gọi là đơn. Nó sẽ rất hữu ích khi nghiên cứu lượng giác. Vì vậy, chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn một chút.

Như bạn có thể thấy, vòng tròn này được xây dựng theo hệ tọa độ Descartes. Bán kính của đường tròn bằng 1, trong khi tâm của đường tròn nằm ở gốc tọa độ, vị trí ban đầu của vectơ bán kính được cố định dọc theo hướng dương của trục \(x\) (trong ví dụ của chúng tôi, điều này là bán kính \(AB\)).

Mỗi điểm trên đường tròn tương ứng với hai số: tọa độ dọc theo trục \(x\) và tọa độ dọc theo trục \(y\). Những số tọa độ này là gì? Và nói chung, chúng có liên quan gì đến chủ đề hiện tại? Để làm được điều này, chúng ta cần nhớ về tam giác vuông đang xét. Trong hình trên, bạn có thể thấy toàn bộ hai hình tam giác vuông. Xét tam giác \(ACG\) . Nó có hình chữ nhật vì \(CG\) vuông góc với trục \(x\).

Giá trị của \(\cos \ \alpha \) từ tam giác \(ACG \) là bao nhiêu? Đúng rồi \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Ngoài ra, chúng ta biết rằng \(AC\) là bán kính của đường tròn đơn vị, có nghĩa là \(AC=1\) . Hãy thay thế giá trị này vào công thức tính cosin của chúng ta. Đây là những gì xảy ra:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

\(\sin \ \alpha \) trong tam giác \(ACG \) bằng bao nhiêu? Tất nhiên rồi \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Thay thế giá trị của bán kính \(AC\) vào công thức này và nhận được:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Vì vậy, bạn có thể cho biết điểm \(C\) thuộc đường tròn có tọa độ nào không? Vâng, không thể nào? Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn nhận ra rằng \(\cos \ \alpha \) và \(\sin \alpha \) chỉ là những con số? \(\cos \alpha \) tương ứng với tọa độ nào? Tất nhiên là tọa độ \(x\)! Và \(\sin \alpha \) tương ứng với tọa độ nào? Đúng rồi, phối hợp \(y\)! Vì vậy, điểm \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Vậy \(tg \alpha \) và \(ctg \alpha \) bằng bao nhiêu? Đúng vậy, hãy sử dụng các định nghĩa tương ứng của tiếp tuyến và côtang và hiểu được điều đó \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), MỘT \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Nếu góc lớn hơn thì sao? Ví dụ như trong hình này:

Điều gì đã thay đổi trong ví dụ này? Hãy tìm ra nó. Để làm điều này, hãy quay lại với một hình tam giác vuông. Xét một tam giác vuông \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : góc (giáp kề với góc \(\beta \) ). Giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc là bao nhiêu \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Đúng vậy, chúng ta tuân theo các định nghĩa tương ứng của hàm lượng giác:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\góc ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(mảng) \)

Vâng, như bạn có thể thấy, giá trị sin của góc vẫn tương ứng với tọa độ \(y\) ; giá trị cosin của góc - tọa độ \(x\) ; và các giá trị tiếp tuyến, cotang theo các tỉ số tương ứng. Vì vậy, những mối quan hệ này áp dụng cho bất kỳ phép quay nào của vectơ bán kính.

Người ta đã đề cập rằng vị trí ban đầu của vectơ bán kính nằm dọc theo hướng dương của trục \(x\). Cho đến nay chúng ta đã xoay vectơ này ngược chiều kim đồng hồ, nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta xoay nó theo chiều kim đồng hồ? Không có gì bất thường, bạn cũng sẽ nhận được một góc có giá trị nhất định, nhưng chỉ có điều nó sẽ âm. Như vậy, khi quay vectơ bán kính ngược chiều kim đồng hồ, ta được góc tích cực và khi quay theo chiều kim đồng hồ - tiêu cực.

Vì vậy, chúng ta biết rằng toàn bộ vòng quay của vectơ bán kính xung quanh đường tròn là \(360()^\circ \) hoặc \(2\pi \) . Có thể xoay vectơ bán kính theo \(390()^\circ \) hoặc theo \(-1140()^\circ \) không? Tất nhiên là bạn có thể! Trong trường hợp đầu tiên, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), do đó, vectơ bán kính sẽ quay hết một vòng và dừng ở vị trí \(30()^\circ \) hoặc \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Trong trường hợp thứ hai, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), tức là vectơ bán kính sẽ quay đủ ba vòng và dừng ở vị trí \(-60()^\circ \) hoặc \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Do đó, từ các ví dụ trên, chúng ta có thể kết luận rằng các góc khác nhau \(360()^\circ \cdot m \) hoặc \(2\pi \cdot m \) (trong đó \(m \) là bất kỳ số nguyên nào ), tương ứng với cùng một vị trí của vectơ bán kính.

Hình bên dưới thể hiện góc \(\beta =-60()^\circ \) . Hình ảnh tương tự tương ứng với góc \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) vân vân. Danh sách này có thể được tiếp tục vô thời hạn. Tất cả các góc này có thể được viết bằng công thức tổng quát \(\beta +360()^\circ \cdot m\) hoặc \(\beta +2\pi \cdot m \) (trong đó \(m \) là số nguyên bất kỳ)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Bây giờ, khi đã biết định nghĩa của các hàm lượng giác cơ bản và sử dụng vòng tròn đơn vị, hãy thử trả lời các giá trị là gì:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Đây là một vòng tròn đơn vị để giúp bạn:

Gặp khó khăn? Sau đó chúng ta hãy tìm ra nó. Vì vậy, chúng tôi biết rằng:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(mảng)\)

Từ đây ta xác định được tọa độ các điểm tương ứng với số đo góc nhất định. Nào, hãy bắt đầu theo thứ tự: góc trong \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) tương ứng với một điểm có tọa độ \(\left(0;1 \right) \) , do đó:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- không tồn tại;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Hơn nữa, tuân theo logic tương tự, chúng ta phát hiện ra rằng các góc trong \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) tương ứng với các điểm có tọa độ \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \phải) \), tương ứng. Biết được điều này, người ta dễ dàng xác định được giá trị của các hàm lượng giác tại các điểm tương ứng. Hãy tự mình thử trước, sau đó kiểm tra câu trả lời.

Câu trả lời:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- không tồn tại

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- không tồn tại

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- không tồn tại

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- không tồn tại

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Vì vậy, chúng ta có thể lập bảng sau:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Bạn phải nhớ hoặc có thể xuất nó!! \) !}

Nhưng giá trị của hàm lượng giác của các góc trong và \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)được đưa ra trong bảng dưới đây, bạn phải nhớ:

Đừng sợ, bây giờ chúng tôi sẽ chỉ cho bạn một ví dụ về cách ghi nhớ khá đơn giản các giá trị tương ứng:

Để sử dụng phương pháp này, điều quan trọng là phải nhớ các giá trị sin cho cả ba số đo góc ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), cũng như giá trị tiếp tuyến của góc trong \(30()^\circ \) . Biết các giá trị \(4\) này, việc khôi phục toàn bộ bảng khá đơn giản - các giá trị cosine được chuyển theo các mũi tên, nghĩa là:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(mảng) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), biết được điều này, bạn có thể khôi phục các giá trị cho \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Tử số "\(1 \)" sẽ tương ứng với \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) và mẫu số "\(\sqrt(\text(3)) \)" sẽ tương ứng với \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Các giá trị cotang được chuyển theo các mũi tên chỉ trong hình. Nếu bạn hiểu điều này và nhớ sơ đồ có mũi tên thì chỉ cần nhớ các giá trị \(4\) từ bảng là đủ.

Tọa độ của một điểm trên đường tròn

Có thể tìm được một điểm (tọa độ của nó) trên một đường tròn khi biết tọa độ tâm của đường tròn, bán kính và góc quay của nó không? Tất nhiên là bạn có thể! Hãy rút ra công thức tổng quát để tìm tọa độ của một điểm. Ví dụ: đây là một vòng tròn trước mặt chúng ta:

Chúng ta được cho điểm đó \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn là \(1.5\) . Cần tìm tọa độ của điểm \(P\) thu được bằng cách xoay điểm \(O\) theo \(\delta \) độ.

Như có thể thấy trong hình, tọa độ \(x\) của điểm \(P\) tương ứng với độ dài của đoạn \(TP=UQ=UK+KQ\) . Độ dài của đoạn \(UK\) tương ứng với tọa độ \(x\) của tâm đường tròn, nghĩa là nó bằng \(3\) . Độ dài của đoạn \(KQ\) có thể được biểu thị bằng định nghĩa cosin:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Sau đó, chúng ta có điểm \(P\) tọa độ \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Sử dụng logic tương tự, chúng ta tìm thấy giá trị của tọa độ y cho điểm \(P\) . Như vậy,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Vì vậy, nói chung, tọa độ các điểm được xác định theo công thức:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(mảng) \), Ở đâu

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - tọa độ tâm của đường tròn,

\(r\) - bán kính của hình tròn,

\(\delta \) - góc quay của bán kính vectơ.

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript bị vô hiệu hóa trong trình duyệt của bạn.
Để thực hiện tính toán, bạn phải kích hoạt điều khiển ActiveX!