Tỉ số của các số nghịch đảo là 1. Số nghịch đảo của một phân số thập phân

Cơ sở giáo dục thành phố "Trường trung học Parkanskaya số 2 được đặt theo tên. DI. Mishchenko

Bài toán lớp 6 theo chủ đề

Được tiến hành bởi giáo viên

toán học và khoa học máy tính

Hạng mục trình độ I

Balan V.M.

Parkans 2011

Tái bút Do giới hạn kích thước tệp tối đa (không quá 3MB), bài thuyết trình được chia thành 2 phần. Bạn phải sao chép tuần tự các slide vào một bài thuyết trình.

Bài toán lớp 6 chủ đề “Số nghịch đảo”

Mục tiêu:

Giới thiệu khái niệm số nghịch đảo.
Học cách xác định các cặp số nghịch đảo.
Ôn lại cách nhân và rút gọn phân số.

Loại bài học : nghiên cứu và củng cố sơ bộ kiến thức mới.

Thiết bị:

máy tính;
thẻ tín hiệu;
sách bài tập, sách bài tập, sách giáo khoa;
dụng cụ vẽ;
trình bày bài học (xemỨng dụng ).

Nhiệm vụ cá nhân:tin đơn vị.

Tiến độ bài học

1. Thời điểm tổ chức.(3 phút)

Xin chào các bạn, ngồi xuống! Hãy bắt đầu bài học của chúng ta! Hôm nay bạn sẽ cần sự chú ý, tập trung và tất nhiên là kỷ luật.(Trang trình bày 1 )

Tôi lấy những từ đó làm đề từ cho bài học hôm nay:

Người ta thường nói rằng những con số thống trị thế giới;

ít nhất là không có nghi ngờ gì

những con số cho thấy nó xử lý như thế nào.

Và những người đàn ông nhỏ bé vui vẻ lao đến trợ giúp tôi: Karandash và Samodelkin. Họ sẽ giúp tôi dạy bài học này.(Trang trình bày 2 )

Nhiệm vụ đầu tiên của bút chì là giải các phép đảo chữ. (Trang trình bày 3 )

Chúng ta hãy cùng nhau nhớ lại đảo chữ cái là gì? (Đảo chữ là sự sắp xếp lại các chữ cái trong một từ để tạo thành một từ khác. Ví dụ: “murmur” - “axe”).

(Trẻ trả lời đảo chữ là gì và giải các từ.)

Làm tốt! Chủ đề bài học hôm nay: “Số nghịch đảo”.

Chúng tôi mở sổ ghi chép, ghi số, công việc tuyệt vời và chủ đề của bài học. (Trang trình bày 4 )

Các bạn ơi, hãy cho tôi biết hôm nay các bạn nên học gì trong lớp?

(Trẻ nêu mục đích của bài học.)

Mục đích bài học của chúng ta:

Tìm hiểu những số nào được gọi là nghịch đảo.
Tìm hiểu cách tìm các cặp số nghịch đảo lẫn nhau.
Ôn lại quy tắc nhân và rút gọn phân số.
Phát triển tư duy logic sinh viên.

2. Chúng tôi làm việc bằng miệng.(3 phút)

Hãy nhắc lại quy tắc nhân phân số. (Trang trình bày 5 )

Bài tập của Samodelkin (trẻ đọc ví dụ và thực hiện phép nhân):

Chúng ta đã sử dụng quy tắc nào?

Bút chì đã chuẩn bị một nhiệm vụ khó khăn hơn (Trang trình bày 6 ):

Giá trị của một sản phẩm như vậy là gì?

Các bạn ơi, chúng ta đã lặp lại các thao tác nhân, rút gọn các phân số rất cần thiết khi học một chủ đề mới.

3. Giải thích tài liệu mới.(15 phút) ( Trang trình bày 7 )

1. Lấy phân số 8/17, đặt mẫu số vào thay tử số và ngược lại. Phân số kết quả là 17/8.

Ta viết: phân số 17/8 được gọi là nghịch đảo của phân số 8/17.

Chú ý! Nghịch đảo của phân số m/n là phân số n/m. (Trang trình bày 8 )

Các bạn ơi, làm thế nào để có được nghịch đảo của một phân số đã cho?(Trẻ trả lời.)

2. Nhiệm vụ của Samodelkin:

Kể tên phân số nghịch đảo của phân số đã cho.(Trẻ em gọi.)

Những phân số như vậy được gọi là nghịch đảo của nhau! (Trang trình bày 9 )

Vậy có thể nói gì về các phân số 8/17 và 17/8?

Đáp án: nghịch đảo nhau (ta viết ra).

3. Điều gì xảy ra nếu bạn nhân hai phân số nghịch đảo của chúng?

(Làm việc với các slide. (Trang trình bày 10 ))

Các bạn! Hãy nhìn và cho tôi biết m và n không thể bằng nhau?

Tôi nhắc lại một lần nữa rằng tích của bất kỳ phân số nghịch đảo nào đều bằng 1. (Trang trình bày 11 )

4. Hóa ra một là con số kỳ diệu!

Chúng ta biết gì về đơn vị?

Những nhận định thú vị về thế giới của các con số đã đến với chúng ta qua nhiều thế kỷ từ trường phái Pythagore, điều mà Boyanji Nadia sẽ cho chúng ta biết (tin nhắn ngắn).

5. Chúng ta đã giải quyết được thực tế là tích của bất kỳ số nào nghịch đảo với nhau đều bằng 1.

Những con số như vậy được gọi là gì?(Sự định nghĩa.)

Hãy kiểm tra xem các phân số có phải là số nghịch đảo hay không: 1,25 và 0,8. (Trang trình bày 12 )

Bạn có thể kiểm tra theo cách khác xem các số có nghịch đảo hay không (phương pháp 2).

Hãy kết luận nhé các bạn:

Làm thế nào để kiểm tra xem các số có đối nhau không?(Trẻ trả lời.)

6. Bây giờ chúng ta hãy xem một số ví dụ về tìm số nghịch đảo (chúng ta xem xét hai ví dụ). (Trang trình bày 13)

4. Hợp nhất.

(10 phút)

1. Làm việc với thẻ tín hiệu. Bạn có thẻ tín hiệu trên bàn của bạn. (Trang trình bày 14)

Màu đỏ - không. Màu xanh lá cây - vâng.

(Ví dụ cuối 0,2 và 5.)

Làm tốt! Biết cách nhận biết các cặp số nghịch đảo.

2. Hãy chú ý đến màn hình! – chúng tôi làm việc bằng miệng. (Trang trình bày 15)

Tìm số chưa biết (ta giải phương trình, 1/3 x = 1 cuối cùng).(Trẻ trả lời.)

Câu hỏi chú ý: Khi nào hai số trong tích bằng 1? 5. Giờ học thể dục.

(2 phút)

Bây giờ hãy tạm rời xa màn hình - hãy thư giãn một chút!
Nhắm mắt lại, nhắm mắt thật chặt, mở mắt thật mạnh. Làm điều này 4 lần.
Chúng ta giữ đầu thẳng, mắt ngước lên, nhìn xuống, nhìn sang trái, nhìn sang phải (4 lần).

Nghiêng đầu về phía sau, hạ thấp về phía trước để cằm tựa vào ngực (2 lần). 6. Chúng tôi tiếp tục củng cố tài liệu mới [3], [4].

Chúng ta đã nghỉ ngơi và bây giờ chúng ta sẽ củng cố tài liệu mới.

Trong SGK số 563, số 564 - trên bảng. (Trang trình bày 16)

7. Tóm tắt bài học, bài tập về nhà. (3 phút)

Bài học của chúng ta sắp kết thúc. Nói cho tôi biết hôm nay chúng ta học được gì mới trong lớp?

Làm thế nào để có được các số nghịch đảo với nhau?
Những số nào được gọi là nghịch đảo?
Cách tìm số nghịch đảo của một hỗn số số thập phân?

Chúng ta đã đạt được mục đích của bài học chưa?

Chúng ta hãy mở nhật ký và ghi lại bài tập về nhà: Số 591(a), 592(a,c), 595(a), mục 16.

Và bây giờ, tôi yêu cầu bạn giải câu đố này (nếu còn thời gian).

Cảm ơn vì bài học! (Trang trình bày 17)

Văn học:

Toán 5-6: sách giáo khoa-người đối thoại. L.N. Shevrin, A.G. Gein, I.O. Korykov, M.V. Volkov, - M.: Giáo dục, 1989.
Toán lớp 6: giáo án theo sách giáo khoa N.Ya. Vilenkina, V.I. Zhokhov. LA Tapilina, T.L. Afanasyeva. – Volgograd: Giáo viên, 2006.
Toán: Sách giáo khoa lớp 6. N.Ya.Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd.- M.: Mnemosyne, 1997.
Cuộc hành trình của Pencil và Samodelkin. Yu. Druzhkov. – M.: Nhà xuất bản Chuồn Chuồn, 2003.

Xem trước:

Để sử dụng bản xem trước bản trình bày, hãy tạo một tài khoản cho chính bạn ( tài khoản) Google và đăng nhập: https://accounts.google.com

Chú thích slide:

1 “Người ta thường nói rằng những con số thống trị thế giới; ít nhất không còn nghi ngờ gì nữa rằng những con số cho thấy nó được quản lý như thế nào." JOHANN WOLFGANG GOETHE

3 ĐỂ TÌM HIỂU CHỦ ĐỀ BÀI HỌC HÔM NAY, BẠN CẦN GIẢI PHƯƠNG PHÁP! 1) SỐ ICHLAS 2) PHÂN BDORB 3) ĐẢO NGƯỢC YTEANBOR 4) INOMZAV BẠN ĐÃ GIẢI QUYẾT NHAU KHÔNG? BÂY GIỜ BỎ LOẠI TỪ THÊM VÀ ĐẶT CÁC THỨ CẦN THỨ THEO ĐÚNG!

4 SỐ ĐẢO NGƯỢC

5 PHÂN SỐ NHÂN TÍNH BẰNG MIỆNG: Làm tốt lắm!

6 VÀ BÂY GIỜ NHIỆM VỤ LÀ PHỨC TẠP HƠN! TÍNH TOÁN: LÀM TỐT!

1 Điều gì xảy ra khi nhân hai phân số nghịch đảo của chúng? Hãy cùng xem (viết cùng tôi): CHÚ Ý! TÍCH CỦA CÁC PHÂN số NGƯỢC NGƯỢC CỦA NHỮNG PHẦN KHÁC LÀ BẰNG MỘT! CHÚNG TÔI BIẾT GÌ VỀ ĐƠN VỊ? NHỚ!

2 HAI SỐ, TÍCH CỦA CHÚNG BẰNG MỘT, GỌI LÀ CÁC SỐ ĐẢO NGƯỢC LỖI: Chúng ta hãy kiểm tra xem chúng có phải là PHÂN số nghịch đảo nhau không: 1,25 VÀ 0,8 CHÚNG TÔI SẼ VIẾT DƯỚI DẠNG PHÂN SỐ THÔNG THƯỜNG: CÁC SỐ ĐẢO NGƯỢC NHAU, có thể kiểm tra bằng cách phép nhân:

3 Hãy chứng minh số nghịch đảo của số đó là 0,75. Chúng tôi viết: , và nghịch đảo của nó Hãy tìm số, nghịch đảo của số Chúng ta viết hỗn sốở dạng phân số không chính xác: Nghịch đảo của số này

4 LÀM VIỆC VỚI THẺ TÍN HIỆU CÓ KHÔNG CÁC SỐ CÓ NGHỈ NGƯỢC KHÔNG?

5 BÀI VIẾT MIỆNG: TÌM MỘT SỐ CHƯA XÁC ĐỊNH:

6 CHÚNG TÔI LÀM VIỆC TRONG SỔ TAY. TRANG SÁCH GIÁO KHOA 8 9 Số 5 63

7 CẢM ƠN VỀ BÀI HỌC?

Xem trước:

Phân tích

bài học toán lớp 6

Cơ sở giáo dục thành phố "Trường trung học Parkanskaya số 2 được đặt theo tên. D.I.

Giáo viên Balan V.M.

Chủ đề bài học: “Số nghịch đảo”.

Bài học được xây dựng dựa trên các bài học trước, kiểm tra kiến thức của học sinh bằng nhiều phương pháp khác nhau nhằm tìm hiểu xem học sinh đã học tài liệu trước đó như thế nào và bài học này sẽ “hoạt động” như thế nào trong các bài học sau.

Các giai đoạn của bài học được trình bày một cách hợp lý, chuyển tiếp suôn sẻ từ giai đoạn này sang giai đoạn khác. Bạn có thể theo dõi tính toàn vẹn và đầy đủ của bài học. Việc đồng hóa vật liệu mới được tiến hành một cách độc lập thông qua việc tạo ra tình huống có vấn đề và quyết định của cô ấy. Tôi tin rằng cấu trúc bài học được lựa chọn là hợp lý, vì nó cho phép chúng ta thực hiện toàn diện tất cả các mục tiêu, mục đích của bài học.

Hiện nay việc sử dụng CNTT trong các bài học được sử dụng rất tích cực nên Balan V.M. sử dụng đa phương tiện để rõ ràng hơn.

Bài học được tổ chức ở lớp 6, trong đó mức độ thực hiện, sở thích nhận thức và trí nhớ không cao lắm, cũng có những kẻ còn lỗ hổng kiến thức thực tế. Vì vậy, ở tất cả các giai đoạn của bài học chúng tôi đã sử dụng nhiều phương pháp khác nhau kích thích học sinh, điều này không khiến các em cảm thấy mệt mỏi với sự đơn điệu của tài liệu.

Để kiểm tra và đánh giá kiến thức của học sinh, người ta sử dụng các slide có sẵn đáp án để tự kiểm tra và kiểm tra lẫn nhau.

Trong giờ học, giáo viên cố gắng tăng cường hoạt động tinh thần học sinh sử dụng các kỹ thuật và phương pháp sau: đảo chữ ở đầu bài, hội thoại, câu chuyện của học sinh “chúng ta biết gì về đơn vị này?”, khả năng hiển thị, làm việc với thẻ tín hiệu.

Vì vậy, tôi tin rằng bài học có tính sáng tạo và thể hiện toàn bộ hệ thống. Các mục tiêu đặt ra trong giờ học đã đạt được.

Giáo viên toán hạng 1 /Kurteva F.I./

Nhờ thực tế là trong hầu hết tất cả trường học hiện đại có thiết bị cần thiếtĐể cho trẻ xem video và các tài nguyên học tập điện tử khác nhau trong giờ học, học sinh có thể quan tâm nhiều hơn đến một môn học hoặc chủ đề cụ thể. Kết quả là thành tích của học sinh và xếp hạng chung của trường được cải thiện.

Không có gì bí mật rằng việc trình bày trực quan trong giờ học giúp ghi nhớ và tiếp thu tốt hơn các định nghĩa, nhiệm vụ và lý thuyết. Nếu điều này đi kèm với giọng nói thì học sinh có cả hình ảnh và trí nhớ thính giác. Vì vậy, video hướng dẫn được coi là một trong những vật liệu hiệu quảđể đào tạo.

Có một số quy tắc và yêu cầu mà các bài học video phải đáp ứng để mang lại hiệu quả và hữu ích nhất có thể cho học sinh ở độ tuổi phù hợp. Nên lựa chọn nền và màu sắc của văn bản phù hợp, cỡ chữ không quá nhỏ để học sinh thị lực kém có thể đọc được nhưng cũng không quá lớn gây khó chịu cho thị lực và gây bất tiện, v.v. Đặc biệt chú ý Các hình ảnh minh họa cũng được chú ý - chúng nên được giữ ở mức độ vừa phải và không làm xao lãng chủ đề chính.

Bài học video “Số nghịch đảo” là một ví dụ tuyệt vời về nguồn tài nguyên giảng dạy như vậy. Nhờ đó, một học sinh lớp 6 có thể hiểu đầy đủ thế nào là số nghịch đảo, cách nhận biết và cách làm việc với chúng.

Bài học bắt đầu với ví dụ đơn giản, trong đó hai phân số thông thường 8/15 và 15/8 được nhân với nhau. Có thể nhớ quy tắc nhân các phân số như đã học trước đó. Nghĩa là, trong tử số, bạn nên viết tích của các tử số và ở mẫu số - tích của các mẫu số. Kết quả của việc giảm bớt, cũng đáng ghi nhớ, chúng ta nhận được một.

Sau đó ví dụ này, người thông báo đưa ra định nghĩa khái quát, hiển thị song song trên màn hình. Nó phát biểu rằng các số mà khi nhân với nhau sẽ cho kết quả bằng một, được gọi là số nghịch đảo. Định nghĩa rất đơn giản dễ nhớ nhưng sẽ khắc sâu vào trí nhớ hơn nếu bạn đưa ra một số ví dụ.

Sau khi xác định khái niệm số nghịch đảo, một chuỗi các tích số được hiển thị trên màn hình, kết quả là một kết quả.

Để đưa ra một ví dụ tổng quát sẽ không phụ thuộc vào một số giá trị số, các biến a và b được sử dụng khác 0. Tại sao? Xét cho cùng, học sinh lớp 6 phải nhận thức rõ rằng mẫu số của bất kỳ phân số nào cũng không thể bằng 0 và để biểu diễn các số nghịch đảo, người ta không thể làm gì nếu không đặt các giá trị này vào mẫu số.

Sau khi suy ra công thức này và nhận xét, người nói bắt đầu xem xét nhiệm vụ đầu tiên. Vấn đề là bạn cần tìm nghịch đảo của một số đã cho phần hỗn hợp. Để giải nó, phân số được viết bằng ở dạng sai, tử số và mẫu số được hoán đổi cho nhau. Kết quả thu được chính là đáp án. Học sinh có thể kiểm tra nó một cách độc lập bằng cách sử dụng định nghĩa về số nghịch đảo.

Video hướng dẫn không giới hạn ở ví dụ này. Tiếp theo nhiệm vụ trước, một nhiệm vụ khác được hiển thị trên màn hình, trong đó bạn cần tìm tích của ba phân số. Nếu học sinh chú ý sẽ thấy hai phân số này nghịch đảo nên tích của chúng sẽ bằng một. Dựa trên tính chất của phép nhân, trước tiên bạn có thể nhân các phân số nghịch đảo của nhau và cuối cùng nhân kết quả, tức là 1, với phân số đầu tiên. Người thông báo giải thích chi tiết, hiển thị toàn bộ quá trình từng bước trên màn hình từ đầu đến cuối. Cuối cùng, một lời giải thích tổng quát về mặt lý thuyết được đưa ra cho tính chất của phép nhân, được dựa vào đó khi giải ví dụ.

Để củng cố kiến thức một cách chắc chắn, bạn nên cố gắng trả lời tất cả các câu hỏi sẽ được trình bày ở cuối bài.

Các số nghịch đảo - hoặc tương hỗ lẫn nhau - là một cặp số mà khi nhân với nhau sẽ bằng 1. Trên thực tế, cái nhìn tổng quát nghịch đảo là những con số. đặc trưng trường hợp đặc biệt số nghịch đảo - một cặp. Ví dụ, nghịch đảo là các con số; .

Cách tìm nghịch đảo của một số

Quy tắc: bạn cần chia 1 (một) cho một số cho trước.

Ví dụ số 1.

Số 8 được cho trước nghịch đảo của nó là 1:8 hoặc (tùy chọn thứ hai thích hợp hơn vì ký hiệu này về mặt toán học chính xác hơn).

Khi tìm số nghịch đảo của phân số chung, thì chia nó cho 1 không thuận tiện lắm, vì việc ghi âm rất cồng kềnh. Trong trường hợp này, việc thực hiện theo cách khác sẽ dễ dàng hơn nhiều: phân số chỉ được lật lại bằng cách thay đổi vị trí của tử số và mẫu số. Nếu được phân số thích hợp, thì sau khi lật phân số thu được là không đúng, tức là. một từ mà toàn bộ một phần có thể được tách ra. Có nên làm điều này hay không, bạn cần phải quyết định trong từng trường hợp cụ thểđặc biệt. Vì vậy, nếu sau đó bạn phải thực hiện một số hành động với phân số nghịch đảo thu được (ví dụ: nhân hoặc chia), thì bạn không nên chọn toàn bộ phần. Nếu phân số thu được là kết quả cuối cùng, thì có lẽ việc cô lập toàn bộ phần là điều nên làm.

Ví dụ số 2.

Cho một phân số. Đảo ngược nó: .

Nếu cần tìm nghịch đảo của một phân số thập phân, bạn nên sử dụng quy tắc thứ nhất (chia 1 cho một số). Trong tình huống này, bạn có thể hành động theo một trong 2 cách. Đầu tiên chỉ cần chia 1 cho số đó thành một cột. Cách thứ hai là tạo thành một phân số có số 1 ở tử số và số thập phân ở mẫu số, sau đó nhân tử số và mẫu số với 10, 100 hoặc một số khác gồm số 1 và số 0 nếu cần thiết để loại bỏ dấu thập phânở mẫu số. Kết quả sẽ là một phân số thông thường, đó là kết quả. Nếu cần, bạn có thể cần rút ngắn nó, chọn toàn bộ một phần từ nó hoặc chuyển nó sang dạng thập phân.

Ví dụ số 3.

Số đã cho là 0,82. Số nghịch đảo là: . Bây giờ hãy giảm phân số và chọn toàn bộ phần: .

Cách kiểm tra xem hai số có nghịch đảo hay không

Nguyên tắc xác minh dựa trên việc xác định số nghịch đảo. Nghĩa là, để đảm bảo rằng các số là nghịch đảo của nhau, bạn cần nhân chúng. Nếu kết quả là một thì các số nghịch đảo lẫn nhau.

Ví dụ số 4.

Cho các số 0,125 và 8. Chúng có nghịch đảo không?

Bài kiểm tra. Cần tìm tích của 0,125 và 8. Để rõ ràng, chúng ta hãy trình bày các số này dưới dạng phân số thông thường: (giảm phân số thứ nhất xuống 125). Kết luận: các số 0,125 và 8 là nghịch đảo.

Tính chất của số nghịch đảo

Bất động sản số 1

Một nghịch đảo tồn tại cho bất kỳ số nào ngoại trừ 0.

Hạn chế này là do bạn không thể chia cho 0 và khi xác định số nghịch đảo bằng 0, nó sẽ phải được chuyển sang mẫu số, tức là. thực sự chia cho nó.

Bất động sản số 2

Tổng của một cặp số nghịch đảo luôn không nhỏ hơn 2.

Về mặt toán học, tính chất này có thể được biểu thị bằng bất đẳng thức: .

Bất động sản số 3

Nhân một số với hai số đối ứng tương đương với việc nhân với một. Hãy biểu diễn tính chất này bằng toán học: .

Ví dụ số 5.

Tìm giá trị của biểu thức: 3.4·0.125·8. Vì các số 0,125 và 8 là nghịch đảo (xem Ví dụ số 4) nên không cần nhân 3,4 với 0,125 rồi nhân với 8. Vì vậy, câu trả lời ở đây sẽ là 3,4.

Hãy đưa ra định nghĩa và cho ví dụ về số nghịch đảo. Chúng ta hãy xem cách tìm nghịch đảo của một số tự nhiên và nghịch đảo của một phân số chung. Ngoài ra, chúng ta viết và chứng minh bất đẳng thức phản ánh tính chất của tổng các số nghịch đảo.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Các số đối nhau. Sự định nghĩa

Sự định nghĩa. số nghịch đảo

Số nghịch đảo là số có tích bằng một.

Nếu a · b = 1 thì ta có thể nói số a là nghịch đảo của số b, cũng như số b là nghịch đảo của số a.

Ví dụ đơn giản nhất về số nghịch đảo là hai đơn vị. Thật vậy, 1 · 1 = 1, do đó a = 1 và b = 1 là những số nghịch đảo lẫn nhau. Một ví dụ khác là các số 3 và 1 3, - 2 3 và - 3 2, 6 13 và 13 6, log 3 17 và log 17 3. Tích của bất kỳ cặp số nào ở trên đều bằng một. Nếu điều kiện này không được đáp ứng, chẳng hạn như đối với các số 2 và 2 3, thì các số này không nghịch đảo lẫn nhau.

Định nghĩa về số nghịch đảo có giá trị cho bất kỳ số nào - số tự nhiên, số nguyên, số thực và số phức.

Cách tìm nghịch đảo của một số đã cho

Hãy xem xét trường hợp chung. Nếu số ban đầu bằng a thì số nghịch đảo của nó sẽ được viết là 1 a hoặc a - 1. Thật vậy, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Đối với số tự nhiên và phân số thông thường, việc tìm nghịch đảo khá đơn giản. Người ta thậm chí có thể nói đó là điều hiển nhiên. Nếu bạn tìm thấy một số nghịch đảo của số vô tỷ hoặc số phức, bạn sẽ phải thực hiện một loạt phép tính.

Hãy xem xét các trường hợp phổ biến nhất để tìm số nghịch đảo trong thực tế.

Nghịch đảo của một phân số chung

Hiển nhiên, nghịch đảo của phân số chung a b là phân số b a. Vì vậy, để tìm nghịch đảo của một phân số, bạn chỉ cần lật phân số đó lại. Tức là hoán đổi tử số và mẫu số.

Theo quy tắc này, bạn có thể viết nghịch đảo của bất kỳ phân số thông thường nào gần như ngay lập tức. Vì vậy, đối với phân số 28 57, số nghịch đảo sẽ là phân số 57 28 và đối với phân số 789 256 - số 256 789.

Nghịch đảo của một số tự nhiên

Bạn có thể tìm nghịch đảo của bất kỳ số tự nhiên nào giống như cách tìm nghịch đảo của một phân số. Chỉ cần biểu diễn số tự nhiên a dưới dạng phân số thông thường a 1 là đủ. Khi đó số nghịch đảo của nó sẽ là số 1 a. Vì số tự nhiên 3 nghịch đảo của nó là phân số 1 3, đối với số 666 thì nghịch đảo là 1 666, v.v.

Cần đặc biệt chú ý tới thiết bị này vì nó số ít, nghịch đảo của nó bằng chính nó.

Không có cặp số nghịch đảo nào khác mà cả hai thành phần đều bằng nhau.

Nghịch đảo của một hỗn số

Hỗn số có dạng a b c. Để tìm số nghịch đảo của nó, bạn cần biểu diễn hỗn số dưới dạng phân số không chính xác, sau đó chọn số nghịch đảo cho phân số thu được.

Ví dụ: hãy tìm số nghịch đảo của 7 2 5. Đầu tiên, hãy tưởng tượng 7 2 5 là một phân số không chính xác: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5.

Đối với phân số không chính xác 37 5, nghịch đảo là 5 37.

Nghịch đảo của một số thập phân

Một số thập phân cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số. Việc tìm số nghịch đảo của một số thập phân có nghĩa là biểu diễn số thập phân dưới dạng phân số và tìm số nghịch đảo của nó.

Ví dụ: có phân số 5, 128. Hãy tìm số nghịch đảo của nó. Đầu tiên, chuyển phân số thập phân thành phân số thông thường: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Đối với phân số thu được, số nghịch đảo sẽ là phân số 125 641.

Hãy xem một ví dụ khác.

Ví dụ. Tìm nghịch đảo của một số thập phân

Hãy tìm số nghịch đảo của phân số thập phân tuần hoàn 2, (18).

Chuyển một phân số thập phân thành phân số thường:

2, 18 = 2 + 18 · 10 - 2 + 18 · 10 - 4 +. . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Sau khi dịch, chúng ta có thể dễ dàng viết số nghịch đảo của phân số 24 11. Con số này rõ ràng sẽ là 11 24.

Đối với một phân số thập phân vô hạn và không tuần hoàn, số nghịch đảo được viết dưới dạng phân số có đơn vị ở tử số và chính phân số đó ở mẫu số. Ví dụ: đối với phân số vô hạn 3, 6025635789. . . số nghịch đảo sẽ là 1 3, 6025635789. . . .

Tương tự như vậy đối với số vô tỉ, tương ứng với không định kỳ phân số vô hạn, số nghịch đảo được viết dưới dạng biểu thức phân số.

Ví dụ: nghịch đảo của π + 3 3 80 sẽ là 80 π + 3 3 và đối với số 8 + e 2 + e thì nghịch đảo sẽ là phân số 1 8 + e 2 + e.

Số nghịch đảo có gốc

Nếu loại của hai số khác với a và 1 a thì không phải lúc nào cũng dễ dàng xác định được các số đó có phải là nghịch đảo hay không. Điều này đặc biệt đúng đối với các số có dấu căn trong ký hiệu của chúng, vì người ta thường loại bỏ gốc trong mẫu số.

Hãy chuyển sang thực hành.

Hãy trả lời câu hỏi: các số 4 - 2 3 và 1 + 3 2 có nghịch đảo nhau không?

Để tìm hiểu xem các số có nghịch đảo hay không, hãy tính tích của chúng.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Tích bằng một, có nghĩa là các số nghịch đảo.

Hãy xem một ví dụ khác.

Ví dụ. Số nghịch đảo có gốc

Viết nghịch đảo của 5 3 + 1.

Chúng ta có thể viết ngay rằng số nghịch đảo bằng phân số 1 5 3 + 1. Tuy nhiên, như chúng tôi đã nói, thông thường người ta loại bỏ gốc ở mẫu số. Để làm điều này, nhân tử số và mẫu số với 25 3 - 5 3 + 1. Chúng tôi nhận được:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Số nghịch đảo có lũy thừa

Giả sử có một số bằng lũy thừa nào đó của số a. Nói cách khác, số a được nâng lên lũy thừa n. Nghịch đảo của số a n là số a - n . Hãy kiểm tra xem nó ra. Thật vậy: a n · a - n = a n 1 · 1 a n = 1 .

Ví dụ. Số nghịch đảo có lũy thừa

Hãy tìm số nghịch đảo của 5 - 3 + 4.

Theo nội dung đã viết ở trên thì số cần tìm là 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Số nghịch đảo với logarit

Đối với logarit của một số a cơ số b, nghịch đảo là số bằng logarit số b cơ số a.

log a b và log b a là hai số nghịch đảo nhau.

Hãy kiểm tra xem nó ra. Từ các tính chất của logarit, suy ra log a b = 1 log b a, có nghĩa là log a b · log b a.

Ví dụ. Số nghịch đảo với logarit

Tìm nghịch đảo của log 3 5 - 2 3 .

Về số lượng, logarit nghịch đảo số 3 cơ số 3 5 - 2 là logarit của số 3 5 - 2 cơ số 3.

Nghịch đảo của số phức

Như đã lưu ý trước đó, định nghĩa về số nghịch đảo không chỉ có giá trị đối với số thực, mà còn đối với những cái phức tạp.

Số phức thường được biểu diễn dưới dạng dạng đại số z = x + i y . Nghịch đảo của số đã cho là một phân số

1 x + i y . Để thuận tiện, bạn có thể rút ngắn biểu thức này bằng cách nhân tử số và mẫu số với x - i y.

Ví dụ. Nghịch đảo của số phức

Cho số phức z = 4 + i. Hãy tìm nghịch đảo của nó.

Nghịch đảo của z = 4 + i sẽ bằng 1 4 + i.

Nhân tử số và mẫu số với 4 - i và nhận được:

1 4 + i = 4 - i 4 + i 4 - i = 4 - i 4 2 - i 2 = 4 - i 16 - (- 1) = 4 - i 17 .

Bên cạnh đó dạng đại số, một số phức có thể được biểu diễn dưới dạng lượng giác hoặc hình thức chứng minh như sau:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e i φ

Theo đó, số nghịch đảo sẽ có dạng:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Hãy đảm bảo điều này:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r e i φ 1 r e i (- φ) = r r e 0 = 1

Hãy xem xét các ví dụ với sự biểu diễn số phứcở dạng lượng giác và hàm mũ.

Hãy tìm số nghịch đảo của 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

Xét r = 2 3, φ = π 6, ta viết số nghịch đảo

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Ví dụ. Tìm nghịch đảo của số phức

Số nào sẽ là nghịch đảo của 2 · e i · - 2 π 5 .

Đáp án: 1 2 e i 2 π 5

Tổng các số nghịch đảo. Bất bình đẳng

Có một định lý về tổng của hai số nghịch đảo lẫn nhau.

Tổng các số nghịch đảo

Tổng của hai số dương và nghịch đảo luôn lớn hơn hoặc bằng 2.

Hãy chứng minh định lý. Như đã biết, đối với bất kỳ số dương a và b là trung bình số học lớn hơn hoặc bằng trung bình hình học. Điều này có thể được viết dưới dạng bất đẳng thức:

a + b 2 ≥ a b

Nếu thay vì số b chúng ta lấy nghịch đảo của a thì bất đẳng thức sẽ có dạng:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Hãy cho đi ví dụ thực tế, minh họa tính chất này.

Ví dụ. Tìm tổng các số nghịch đảo

Hãy tính tổng của các số 2 3 và nghịch đảo của nó.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Theo định lý, số kết quả lớn hơn hai.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter