Hãy bắt đầu với một số định nghĩa. Đa thức thứ n bậc (hoặc bậc thứ n), chúng ta sẽ gọi một biểu thức có dạng $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^( n) +a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Ví dụ: biểu thức $4x^(14)+87x^2+4x-11$ là một đa thức có bậc là $14$. Nó có thể được ký hiệu như sau: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.
Tỷ số của hai đa thức $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ được gọi là hàm hợp lý hoặc phần hợp lý. Nói chính xác hơn thì đây là hàm hợp lý một biến (tức là biến $x$).
Phân số hữu tỉ gọi điện Chính xác, nếu $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, mức độ ít hơnđa thức ở mẫu số. TRONG nếu không thì(nếu $n ≥ m$) phân số được gọi sai.
Ví dụ số 1
Hãy cho biết phân số nào sau đây là hữu tỉ. Nếu phân số là hữu tỉ thì hãy tìm hiểu xem nó có đúng hay không.
- $\frac(3x^2+5\sin x-4)(2x+5)$;
- $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$;
- $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4) (3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$;
- $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$.
1) Phân số này không hợp lý vì nó chứa $\sin x$. Một phần hợp lý không cho phép điều này.
2) Ta có tỉ số của hai đa thức: $5x^2+3x-8$ và $11x^9+25x^2-4$. Do đó, theo định nghĩa, biểu thức $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$ là một phân số hữu tỉ. Vì bậc của đa thức ở tử số bằng $2$, và bậc của đa thức ở mẫu số bằng $9$, nên phân số đã cho là đúng (vì $2< 9$).
3) Cả tử số và mẫu số của phân số này đều chứa đa thức (được phân tích thành nhân tử). Đối với chúng tôi, việc đa thức tử số và mẫu số được trình bày dưới dạng nào không quan trọng: liệu chúng có được phân tích thành thừa số hay không. Vì chúng ta có tỷ lệ của hai đa thức, nên theo định nghĩa, biểu thức $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x ^6+9x ^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$ là một phân số hữu tỷ.
Để trả lời câu hỏi một phân số đã cho có đúng hay không, người ta phải xác định lũy thừa của các đa thức ở tử số và mẫu số. Hãy bắt đầu với tử số, tức là từ biểu thức $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$. Tất nhiên, để xác định bậc của đa thức này, bạn có thể mở dấu ngoặc. Tuy nhiên, hành động hợp lý sẽ đơn giản hơn nhiều vì chúng ta chỉ quan tâm đến mức độ lớn nhất biến $x$. Từ mỗi dấu ngoặc chúng ta chọn biến $x$ ở mức độ lớn nhất. Từ khung $(2x^3+8x+4)$ chúng ta lấy $x^3$, từ khung $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ chúng ta lấy $(x^4) ^9=x ^(4\cdot9)=x^(36)$ và từ dấu ngoặc $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ chúng ta chọn $x^7$. Khi đó, sau khi mở ngoặc, lũy thừa lớn nhất của biến $x$ sẽ như sau:
$$ x^3\cdot x^(36)\cdot x^7=x^(3+36+7)=x^(46). $$
Bậc của đa thức ở tử số là $46$. Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang mẫu số, tức là vào biểu thức $(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1)$. Bậc của đa thức này được xác định theo cách tương tự như đối với tử số, tức là
$$ x\cdot (x^2)^(15)\cdot x^(10)=x^(1+30+10)=x^(41). $$
Mẫu số chứa đa thức bậc 41. Vì bậc của đa thức ở tử số (tức là 46) không nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số (tức là 41), nên phân số hữu tỉ là $\frac((2x^3+8x+4)(8x ^4+5x^ 3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^( 10)+9x- 1))$ là sai.
4) Tử số của phân số $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$ chứa số $3$, tức là. đa thức không độ. Về hình thức, tử số có thể được viết như sau: $3x^0=3\cdot1=3$. Ở mẫu số, chúng ta có một đa thức có bậc bằng $6\cdot 4=24$. Tỉ số của hai đa thức là một phân số hữu tỉ. Kể từ $0< 24$, то данная дробь является правильной.
Trả lời: 1) phân số không hợp lý; 2) phân số hợp lý (thích hợp); 3) phân số hữu tỉ (không đều); 4) phân số hợp lý (thích hợp).
Bây giờ chúng ta chuyển sang khái niệm phân số cơ bản (chúng còn được gọi là phân số hữu tỉ đơn giản nhất). Có bốn loại phân số hữu tỉ cơ bản:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4,\ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Lưu ý (mong muốn hiểu đầy đủ hơn về văn bản): show\hide
Tại sao lại cần điều kiện $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим phương trình bậc hai$x^2+px+q=0$. Phân biệt của phương trình này là $D=p^2-4q$. Về cơ bản, điều kiện $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет rễ thật. Những thứ kia. biểu thức $x^2+px+q$ không thể phân tích thành thừa số. Chính tính không thể phân tách này khiến chúng tôi quan tâm.
Ví dụ: đối với biểu thức $x^2+5x+10$, chúng ta nhận được: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Vì $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Nhân tiện, đối với kiểm tra này, không nhất thiết hệ số trước $x^2$ phải bằng 1. Ví dụ: với $5x^2+7x-3=0$, chúng ta nhận được: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. Vì $D > 0$, biểu thức $5x^2+7x-3$ có thể phân tích thành thừa số.
Nhiệm vụ như sau: được giao Chính xác biểu diễn một phân số hữu tỉ dưới dạng tổng của các phân số hữu tỉ cơ bản. Tài liệu được trình bày trên trang này được dành để giải quyết vấn đề này. Đầu tiên bạn cần đảm bảo rằng bạn đã hoàn thành điều kiện tiếp theo: đa thức trong mẫu số của một phân số hữu tỷ thực sự được phân tích thành thừa số sao cho việc khai triển này chỉ chứa các dấu ngoặc có dạng $(x-a)^n$ hoặc $(x^2+px+q)^n$ ($p ^2-4q< 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:
- Mỗi dấu ngoặc có dạng $(x-a)$ nằm ở mẫu số tương ứng với một phân số $\frac(A)(x-a)$.
- Mỗi dấu ngoặc có dạng $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$) nằm ở mẫu số tương ứng với tổng của $n$ phân số: $\frac(A_1)(x-a)+ \frac( A_2)((x-a)^2)+\frac(A_3)((x-a)^3)+\ldots+\frac(A_n)((x-a)^n)$.
- Mỗi dấu ngoặc có dạng $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
- Mỗi dấu ngoặc có dạng $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.
Nếu phân số không đúng thì trước khi áp dụng sơ đồ trên, bạn nên chia nó thành tổng của phần nguyên (đa thức) và phân số hữu tỷ thích hợp. Chúng ta sẽ xem xét chính xác việc này được thực hiện như thế nào (xem ví dụ số 2, điểm 3). Một vài từ về ký hiệu chữ cái trong tử số (ví dụ: $A$, $A_1$, $C_2$ và tương tự). Bạn có thể sử dụng bất kỳ chữ cái nào cho phù hợp với sở thích của bạn. Điều quan trọng là những lá thư này phải được nhiều trong tất cả các phân số cơ bản. Để tìm giá trị của các tham số này, hãy sử dụng phương thức hệ số không chắc chắn hoặc phương pháp thay thế các giá trị từng phần (xem ví dụ số 3, số 4 và số 5).
Ví dụ số 2
Phân tích các phân số hữu tỉ đã cho thành các phân số cơ bản (không tìm tham số):
- $\frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5) $;
- $\frac(x^2+10)((x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10))$;
- $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$.
1) Ta có phân số hữu tỉ. Tử số của phân số này chứa đa thức bậc 4 và mẫu số chứa đa thức có bậc bằng $17$ (cách xác định bậc này được giải thích chi tiết trong đoạn số 3 của ví dụ số 1). Vì bậc của đa thức ở tử số nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số nên phân số này đúng. Hãy chuyển sang mẫu số của phân số này. Hãy bắt đầu với dấu ngoặc $(x-5)$ và $(x+2)^4$, hoàn toàn nằm dưới dạng $(x-a)^n$. Ngoài ra, còn có các dấu ngoặc $(x^2+3x+10)$ và $(x^2+11)^5$. Biểu thức $(x^2+3x+10)$ có dạng $(x^2+px+q)^n$, trong đó $p=3$; $q=10$, $n=1$. Vì $p^2-4q=9-40=-31< 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем đầu ra tiếp theo: đa thức trong mẫu số được phân tích thành thừa số sao cho hệ số này chỉ chứa các dấu ngoặc có dạng $(x-a)^n$ hoặc $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:
$$ \frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5 )=\frac(A)(x-5)+\ldots $$
Kết quả có thể được viết như sau:
$$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22 . $$
Khi đó, phân số $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ có thể được biểu diễn dưới dạng khác:
$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\frac((x^3-2x^2 +4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\\ =\frac((x^3-2x^2+ 4x-8)(3x^2+x))(x^3-2x^2+4x-8)+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) =\\ =3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8). $$
Phân số $\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ là một phân số hữu tỷ thích hợp, vì bậc của đa thức ở tử số (tức là 2) nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số (tức là 3). Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào mẫu số của phân số này. Mẫu số chứa một đa thức cần được phân tích thành nhân tử. Đôi khi sơ đồ của Horner rất hữu ích cho việc phân tích nhân tử, nhưng trong trường hợp của chúng ta, nó dễ dàng thực hiện hơn bằng phương pháp nhóm các số hạng “trường học” tiêu chuẩn:
$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\ \ 3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)((x -2)\cdot(x^2+4)) $$
Sử dụng các phương pháp tương tự như trong đoạn trước, chúng tôi nhận được:
$$ \frac(4x^2+x+22)((x-2)\cdot(x^2+4))=\frac(A)(x-2)+\frac(Cx+D)(x ^2+4) $$
Vì vậy, cuối cùng chúng ta có:
$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(A)( x-2)+\frac(Cx+D)(x^2+4) $$
Chủ đề này sẽ được tiếp tục trong phần thứ hai.
Bất kỳ biểu thức phân số nào (mệnh 48) đều có thể được viết dưới dạng , trong đó P và Q là các biểu thức hữu tỷ và Q nhất thiết phải chứa các biến. Một phân số như vậy được gọi là phân số hữu tỉ.
Ví dụ về phân số hợp lý:
Thuộc tính chính của một phân số được thể hiện bằng một đồng nhất thức công bằng trong các điều kiện ở đây - một biểu thức hợp lý hoàn toàn. Điều này có nghĩa là tử số và mẫu số của một phân số hữu tỉ có thể được nhân hoặc chia cho cùng một số khác 0, đơn thức hoặc đa thức.
Ví dụ, tính chất của một phân số có thể được sử dụng để đổi dấu các phần tử của phân số. Nếu nhân tử số và mẫu số của một phân số với -1, ta được như vậy, giá trị của phân số sẽ không thay đổi nếu dấu của tử số và mẫu số đồng thời thay đổi. Nếu bạn chỉ đổi dấu tử số hoặc chỉ mẫu số thì phân số sẽ đổi dấu:
Ví dụ,
60. Rút gọn phân số hữu tỉ.
Rút gọn một phân số có nghĩa là chia cả tử số và mẫu số của phân số đó cho một thừa số chung. Khả năng giảm như vậy là do tính chất cơ bản của phân số.
Để rút gọn một phân số hữu tỉ, bạn cần phân tích tử số và mẫu số. Nếu tử số và mẫu số có các thừa số chung thì phân số có thể rút gọn. Nếu không có các thừa số chung thì việc chuyển đổi một phân số bằng cách rút gọn là không thể.
Ví dụ. Giảm một phần
Giải pháp. chúng tôi có
Việc rút gọn một phân số được thực hiện với điều kiện .
61. Rút gọn các phân số hữu tỉ về mẫu số chung.
Mẫu số chung của một số phân số hữu tỉ là một biểu thức hữu tỉ nguyên được chia cho mẫu số của mỗi phân số (xem đoạn 54).
Ví dụ, mẫu số chung của các phân số là một đa thức vì nó chia hết cho cả hai và cho và đa thức, đa thức và đa thức, v.v. Thông thường, họ lấy một mẫu số chung đến mức bất kỳ mẫu số chung nào khác đều chia hết cho Echosen. Như là mẫu số đơn giản nhấtđôi khi được gọi là mẫu số chung thấp nhất.
Trong ví dụ được thảo luận ở trên, mẫu số chung là Chúng ta có
Rút gọn các phân số đã cho thành mẫu số chungđạt được bằng cách nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với 2. Tử số và mẫu số của phân số thứ hai với Đa thức được gọi là các thừa số bổ sung tương ứng cho phân số thứ nhất và phân số thứ hai. Thừa số bổ sung của một phân số đã cho bằng thương số chia mẫu số chung cho mẫu số của phân số đã cho.
Để quy đổi một số phân số hữu tỉ về mẫu số chung, bạn cần:
1) phân tích mẫu số của từng phân số;
2) tạo mẫu số chung bằng cách bao gồm tất cả các thừa số thu được ở bước 1) của phép khai triển làm thừa số; nếu một hệ số nhất định xuất hiện trong một số phần mở rộng, thì nó được lấy với số mũ bằng số mũ lớn nhất trong số các số có sẵn;
3) tìm các thừa số bổ sung cho từng phân số (đối với mẫu số này, mẫu số chung được chia cho mẫu số của phân số);
4) bằng cách nhân tử số và mẫu số của mỗi phân số với một thừa số bổ sung, đưa phân số đó về mẫu số chung.
Ví dụ. Rút gọn một phân số về mẫu số chung
Giải pháp. Hãy phân tích các mẫu số:
Mẫu số chung phải bao gồm các thừa số sau: và bội số chung nhỏ nhất của các số 12, 18, 24, tức là Điều này có nghĩa là mẫu số chung có dạng
Các yếu tố bổ sung: đối với phân số thứ nhất cho phân số thứ hai cho phân số thứ ba, chúng ta nhận được:
62. Cộng và trừ các phân số hữu tỉ.
Tổng của hai (và nói chung bất kỳ số hữu hạn) các phân số hữu tỉ với cùng mẫu số giống hệt với một phân số có cùng mẫu số và tử số, bằng với số tiền tử số của các phân số được thêm vào:
Tình huống tương tự xảy ra trong trường hợp trừ các phân số cùng mẫu số:
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức
Giải pháp.
Để cộng hoặc trừ các phân số hữu tỷ bằng mẫu số khác nhau Trước tiên, bạn phải quy đổi các phân số về mẫu số chung, sau đó thực hiện các phép tính trên các phân số thu được có cùng mẫu số.
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức
Giải pháp. chúng tôi có
63. Nhân và chia các phân số hữu tỉ.
Tích của hai phân số hữu tỉ (và nói chung là bất kỳ số hữu hạn nào) đều bằng phân số có tử số tương đương với sản phẩm tử số và mẫu số - tích của mẫu số của các phân số được nhân:
Thương của phép chia hai phân số hữu tỉ bằng một phân số có tử số bằng tích của tử số của phân số thứ nhất và mẫu số của phân số thứ hai, mẫu số bằng tích của mẫu số của phân số thứ nhất và tử số của phân số thứ hai:
Các quy tắc nhân và chia đã xây dựng cũng áp dụng cho trường hợp nhân hoặc chia cho một đa thức: chỉ cần viết đa thức này dưới dạng phân số có mẫu số là 1 là đủ.
Với khả năng rút gọn một phân số hữu tỉ thu được bằng cách nhân hoặc chia các phân số hữu tỉ, họ thường cố gắng phân tích các tử số và mẫu số của các phân số ban đầu trước khi thực hiện các phép tính này.
Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân
Giải pháp. chúng tôi có
Áp dụng quy tắc nhân các phân số, ta có:
Ví dụ 2: Thực hiện phép chia
Giải pháp. chúng tôi có
Áp dụng quy tắc chia ta có:
64. Nâng một phần hữu tỉ thành lũy thừa toàn phần.
Để nâng cao một phần hợp lý - để bằng cấp tự nhiên, bạn cần nâng riêng tử số và mẫu số của phân số lên lũy thừa này; biểu thức đầu tiên là tử số và biểu thức thứ hai là mẫu số của kết quả:
Ví dụ 1: Chuyển đổi thành phân số 3.
Giải pháp Giải pháp.
Khi nâng một phân số lên một số nguyên mức độ tiêu cực một danh tính được sử dụng hợp lệ cho tất cả các giá trị của các biến mà .
Ví dụ 2: Chuyển biểu thức thành phân số
65. Biến đổi các biểu thức hợp lý.
Việc biến đổi bất kỳ biểu thức hữu tỉ nào đều bao gồm việc cộng, trừ, nhân và chia các phân số hữu tỉ, cũng như nâng một phân số lên lũy thừa tự nhiên. Bất kỳ biểu thức hữu tỉ nào cũng có thể được chuyển đổi thành một phân số, tử số và mẫu số của chúng là toàn bộ biểu thức hữu tỉ; đây, như một quy luật, là mục tiêu của việc chuyển đổi danh tính biểu thức hợp lý.
Ví dụ. Đơn giản hóa một biểu thức
66. Các phép biến đổi đơn giản nhất của căn số học (căn thức).
Khi chuyển đổi koria số học, các thuộc tính của chúng được sử dụng (xem đoạn 35).
Hãy xem xét một vài ví dụ về việc sử dụng thuộc tính rễ số học cho những phép biến đổi đơn giản nhất của căn thức. Trong trường hợp này, chúng tôi sẽ xem xét tất cả các biến chỉ nhận các giá trị không âm.
Ví dụ 1. Trích xuất root của sản phẩm
Giải pháp. Áp dụng tính chất 1°, ta có:
Ví dụ 2. Bỏ số nhân ở dưới dấu căn
Giải pháp.
Phép biến đổi này được gọi là loại bỏ thừa số ở dưới dấu căn. Mục đích của phép biến đổi là đơn giản hóa biểu thức căn thức.
Ví dụ 3: Đơn giản hóa.
Giải pháp. Theo tính chất 3° mà chúng ta có. Thông thường, họ cố gắng đơn giản hóa biểu thức căn thức để lấy các thừa số ra khỏi dấu corium. chúng tôi có
Ví dụ 4: Đơn giản hóa
Giải pháp. Hãy biến đổi biểu thức bằng cách đưa vào một thừa số dưới dấu căn: Theo tính chất 4° ta có
Ví dụ 5: Đơn giản hóa
Giải pháp. Theo tính chất 5°, chúng ta có quyền chia số mũ của căn thức và số mũ của biểu thức căn thức thành một số tự nhiên. Nếu trong ví dụ đang xem xét, chúng ta chia các chỉ số được chỉ định cho 3, chúng ta sẽ nhận được .
Ví dụ 6. Rút gọn biểu thức:
Giải, a) Theo tính chất 1°, chúng ta thấy rằng để nhân các nghiệm cùng bậc, chỉ cần nhân các biểu thức căn thức và rút ra nghiệm cùng bậc từ kết quả thu được là đủ. Có nghĩa,
b) Trước hết, chúng ta phải quy đổi các căn thức thành một chỉ thị. Theo tính chất 5°, chúng ta có thể nhân số mũ của căn thức và số mũ của biểu thức căn thức với cùng một số tự nhiên. Do đó, Tiếp theo, bây giờ chúng ta có kết quả thu được chia số mũ của căn số và mức độ của biểu thức căn cho 3, chúng ta thu được.
Từ khóa học đại số chương trình giảng dạy ở trường Hãy đi vào chi tiết cụ thể. Trong bài viết này chúng ta sẽ nghiên cứu chi tiết loại đặc biệt biểu thức hợp lý – phân số hợp lý, đồng thời xem xét đặc điểm nào giống nhau chuyển đổi các phân số hợp lý diễn ra.
Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng các phân số hữu tỉ theo nghĩa mà chúng ta định nghĩa dưới đây được gọi là phân số đại số trong một số sách giáo khoa đại số. Nghĩa là, trong bài viết này chúng ta sẽ hiểu phân số hữu tỷ và phân số đại số có cùng một nghĩa.
Như thường lệ, hãy bắt đầu với định nghĩa và ví dụ. Tiếp theo chúng ta sẽ nói về việc đưa một phân số hữu tỉ về mẫu số mới và thay đổi dấu của các phần tử của phân số. Sau này, chúng ta sẽ xem xét cách giảm phân số. Cuối cùng, chúng ta hãy xem việc biểu diễn một phân số hữu tỉ dưới dạng tổng của một số phân số. Chúng tôi sẽ cung cấp tất cả thông tin với các ví dụ mô tả chi tiết các quyết định.
Điều hướng trang.
Định nghĩa và ví dụ về phân số hợp lý
Phân số hữu tỉ được học trong bài đại số lớp 8. Chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa về phân số hữu tỉ được nêu trong sách giáo khoa đại số lớp 8 của Yu.
TRONG định nghĩa này không xác định được liệu các đa thức ở tử số và mẫu số của một phân số hữu tỉ có phải là đa thức hay không chế độ xem chuẩn hay không. Do đó, chúng ta sẽ giả định rằng các ký hiệu cho phân số hữu tỷ có thể chứa cả đa thức chuẩn và đa thức không chuẩn.
Dưới đây là một số ví dụ về phân số hợp lý. Vì vậy, x/8 và 
- phân số hợp lý. Và phân số 
và không phù hợp với định nghĩa đã nêu về phân số hữu tỷ, vì trong phân số thứ nhất, tử số không chứa đa thức, và trong phân số thứ hai, cả tử số và mẫu số đều chứa các biểu thức không phải là đa thức.
Chuyển đổi tử số và mẫu số của một phân số hữu tỉ
Tử số và mẫu số của bất kỳ phân số nào đều tự đủ biểu thức toán học, trong trường hợp phân số hữu tỉ, đây là các đa thức, trong trường hợp cụ thể là đơn thức và số. Do đó, các phép biến đổi giống hệt nhau có thể được thực hiện với tử số và mẫu số của một phân số hữu tỷ, như với bất kỳ biểu thức nào. Nói cách khác, biểu thức ở tử số của một phân số hữu tỷ có thể được thay thế bằng một biểu thức bằng nhau, giống như mẫu số.
Bạn có thể thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau ở tử số và mẫu số của một phân số hữu tỉ. Ví dụ: trong tử số, bạn có thể nhóm và giảm điều khoản tương tự, và ở mẫu số - thay thế tích của một số số bằng giá trị của nó. Và vì tử số và mẫu số của một phân số hữu tỷ là đa thức, nên có thể thực hiện các phép biến đổi đặc trưng của đa thức với chúng, chẳng hạn như rút gọn về dạng chuẩn hoặc biểu diễn dưới dạng tích.
Để rõ ràng, hãy xem xét giải pháp cho một số ví dụ.
Ví dụ.
Chuyển đổi phân số hợp lý 
sao cho tử số chứa đa thức có dạng chuẩn và mẫu số chứa tích của các đa thức.
Giải pháp.
Việc rút gọn các phân số hữu tỉ về mẫu số mới chủ yếu được sử dụng trong việc cộng và trừ các phân số hữu tỉ.
Thay đổi dấu trước một phân số cũng như ở tử số và mẫu số của nó
Tính chất chính của phân số có thể được sử dụng để đổi dấu các phần tử của phân số. Thật vậy, nhân tử số và mẫu số của một phân số hữu tỉ với -1 tương đương với việc đổi dấu của chúng và kết quả là một phân số giống hệt phân số đã cho. Phép biến đổi này phải được sử dụng khá thường xuyên khi làm việc với các phân số hữu tỉ.
Như vậy, nếu đồng thời thay đổi dấu của tử số và mẫu số của một phân số thì bạn sẽ được một phân số bằng phân số ban đầu. Tuyên bố này được trả lời bằng sự bình đẳng.
Hãy đưa ra một ví dụ. Một phân số hữu tỷ có thể được thay thế bằng một phân số có cùng dạng bằng nhau với các dấu của tử số và mẫu số đã thay đổi.
Bạn có thể làm một điều nữa với phân số: chuyển đổi danh tính, trong đó dấu của tử số hoặc mẫu số thay đổi. Hãy nêu quy luật tương ứng. Nếu thay dấu của một phân số bằng dấu của tử số hoặc mẫu số, bạn sẽ được một phân số giống hệt phân số ban đầu. Tuyên bố bằng văn bản tương ứng với các đẳng thức và .
Chứng minh các đẳng thức này không khó. Chứng minh dựa trên tính chất của phép nhân các số. Hãy chứng minh điều đầu tiên: . Sử dụng các phép biến đổi tương tự, đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ, một phân số có thể được thay thế bằng biểu thức hoặc.
Để kết thúc điểm này, chúng tôi trình bày thêm hai đẳng thức hữu ích hơn và . Nghĩa là, nếu bạn chỉ thay đổi dấu của tử số hoặc chỉ mẫu số thì phân số sẽ đổi dấu. Ví dụ, 
Và 
.
Các phép biến đổi được xem xét, cho phép thay đổi dấu của các số hạng của phân số, thường được sử dụng khi biến đổi các biểu thức hữu tỉ phân số.
Giảm phân số hợp lý
Phép biến đổi sau đây của các phân số hữu tỉ, được gọi là phép rút gọn các phân số hữu tỉ, dựa trên cùng một tính chất cơ bản của một phân số. Phép biến đổi này tương ứng với đẳng thức , trong đó a, b và c là một số đa thức và b và c khác 0.
Từ đẳng thức trên, có thể thấy rõ rằng việc giảm một phân số hữu tỉ có nghĩa là loại bỏ số nhân chung trong tử số và mẫu số của nó.
Ví dụ.
Hủy bỏ một phân số hợp lý.
Giải pháp.
Thừa số chung 2 thấy ngay, ta thực hiện phép rút gọn theo nó (khi viết sẽ gạch bỏ các thừa số chung bị rút gọn). chúng tôi có 
. Vì x 2 =x x và y 7 =y 3 y 4 (xem nếu cần), rõ ràng x là thừa số chung của tử số và mẫu số của phân số thu được, cũng như y 3. Hãy giảm bớt bởi các yếu tố sau: 
. Điều này hoàn thành việc giảm.
Ở trên chúng ta đã tiến hành rút gọn các phân số hữu tỉ một cách tuần tự. Hoặc có thể thực hiện phép rút gọn trong một bước, giảm ngay phân số đi 2 x y 3. Trong trường hợp này, giải pháp sẽ như thế này: 
.
Trả lời:
.
Khi giảm các phân số hữu tỷ, vấn đề chính là không phải lúc nào cũng nhìn thấy được thừa số chung của tử số và mẫu số. Hơn nữa, nó không phải lúc nào cũng tồn tại. Để tìm một thừa số chung hoặc xác minh sự vắng mặt của nó, bạn cần phân tích tử số và mẫu số của một phân số hữu tỉ. Nếu không có thừa số chung thì phân số hữu tỉ ban đầu không cần rút gọn, nếu không thì tiến hành rút gọn.
Nhiều sắc thái khác nhau có thể phát sinh trong quá trình rút gọn các phân số hữu tỉ. Những điểm tinh tế chính sẽ được thảo luận trong bài viết rút gọn phân số đại số bằng cách sử dụng các ví dụ và một cách chi tiết.
Kết thúc cuộc trò chuyện về việc rút gọn các phân số hữu tỷ, chúng tôi lưu ý rằng phép biến đổi này giống hệt nhau và khó khăn chính trong việc thực hiện nó nằm ở việc phân tích các đa thức ở tử số và mẫu số.
Biểu diễn một phân số hữu tỉ dưới dạng tổng của các phân số
Khá cụ thể, nhưng trong một số trường hợp, rất hữu ích, là phép biến đổi một phân số hữu tỷ, bao gồm việc biểu diễn nó dưới dạng tổng của một số phân số hoặc tổng của toàn bộ biểu thức và một phân số.
Một phân số hữu tỷ, tử số của nó chứa đa thức biểu thị tổng của một số đơn thức, luôn có thể được viết dưới dạng tổng của các phân số có cùng mẫu số, tử số của chúng chứa các đơn thức tương ứng. Ví dụ, 
. Cách biểu diễn này được giải thích bằng quy tắc cộng và trừ các phân số đại số có cùng mẫu số.
Nói chung, bất kỳ phân số hữu tỷ nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các phân số bằng một tập hợp theo nhiều cách khác nhau. Ví dụ: phân số a/b có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai phân số - một phân số tùy ý c/d và một phân số bằng hiệu giữa các phân số a/b và c/d. Khẳng định này đúng vì đẳng thức đúng 
. Ví dụ: một phân số hữu tỷ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các phân số theo nhiều cách khác nhau: Hãy tưởng tượng phân số ban đầu là tổng của một biểu thức số nguyên và một phân số. Bằng cách chia tử số cho mẫu số với một cột, chúng ta có được đẳng thức 
. Giá trị của biểu thức n 3 +4 với bất kỳ số nguyên n nào cũng là một số nguyên. Và giá trị của một phân số là số nguyên khi và chỉ khi mẫu số của nó là 1, −1, 3 hoặc −3. Các giá trị này tương ứng với các giá trị n=3, n=1, n=5 và n=−1 tương ứng.
Trả lời:
−1 , 1 , 3 , 5 .
Tài liệu tham khảo.
- Đại số: sách giáo khoa cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G.Đại số. lớp 7. 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh cơ sở giáo dục/ A. G. Mordkovich. - Tái bản lần thứ 13, sửa đổi. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 trang.: ốm. ISBN 978-5-346-01198-9.
- Mordkovich A. G.Đại số. lớp 8. Trong 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich. - Tái bản lần thứ 11, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán (sổ tay dành cho thí sinh vào các trường kỹ thuật): Proc. phụ cấp.- M.; Cao hơn trường học, 1984.-351 trang, bệnh.
Sự định nghĩa.Tổng các lũy thừa không âm của một ẩn số X, được lấy với các hệ số bằng số nhất định, được gọi là đa thức.
Đây: 
- số thực.
N- bậc của đa thức.
Các phép toán trên đa thức.
1). Khi cộng (trừ) hai đa thức thì các hệ số được cộng (trừ) độ bằng nhau chưa biết x.
2). Hai đa thức bằng nhau nếu chúng có cùng bậc và hệ số bằng nhau ở cùng lũy thừa của X.
3). Bậc của một đa thức thu được khi nhân hai đa thức bằng tổng các bậc của các đa thức được nhân.
4). Các phép toán tuyến tính trên đa thức có tính chất kết hợp, giao hoán và phân phối.
5) Việc chia một đa thức cho một đa thức có thể được thực hiện bằng cách sử dụng quy tắc “chia cho một góc”.
Sự định nghĩa. Số x=a được gọi là nghiệm của một đa thức nếu sự thay thế của nó thành đa thức biến nó thành 0, tức là.
Định lý Bezout. Phần dư đa thức
bởi nhị thức (x-a) bằng giá trị của đa thức tại x=a, tức là.
Bằng chứng.
Để ở đâu
Thay x=a vào đẳng thức, ta được
1). Khi chia một đa thức cho một nhị thức (x-a), phần dư luôn là một số.
2). Nếu a là nghiệm của một đa thức thì đa thức đó chia hết cho nhị thức (x-a) không có số dư.
3) Khi chia một đa thức bậc n cho một nhị thức (x-a), ta thu được đa thức bậc (n-1).
Định lý cơ bản của đại số.Bất kỳ đa thức bậc nàoN (N>1) có ít nhất một gốc(trình bày không có bằng chứng).
Kết quả.Bất kỳ đa thức bậc nào
N
có chính xác
N
nghiệm và trên trường số phức được phân tích thành tích
N
các yếu tố tuyến tính, tức là
Trong số các nghiệm của đa thức 
có thể có số lặp lại (nhiều gốc). Đối với đa thức có hệ số thực, nghiệm phức chỉ có thể xuất hiện theo cặp liên hợp. Hãy để chúng tôi chứng minh tuyên bố cuối cùng.
Cho phép 
- gốc phức tạpđa thức thì dựa vào tài sản chung do đó có thể phát biểu số phức 
- cũng là một gốc.
Mỗi cặp nghiệm phức liên hợp của một đa thức tương ứng với một tam thức vuông có hệ số thực.
Đây P, q- số thực (xem ví dụ).
Phần kết luận.Chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ đa thức nào dưới dạng tích của thừa số tuyến tính và tam thức bình phương với hệ số thực.
Phân số hợp lý.
Phân số hữu tỉ là tỉ số của hai đa thức.
Nếu như 
thì phân số hữu tỉ được gọi là đúng. Ngược lại thì phân số đó không đúng. Bất kỳ phân số không chính xác nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của đa thức (thương) và một phân số hữu tỷ thực sự bằng cách chia đa thức ở tử số cho đa thức ở mẫu số.
- phân số hợp lý không đúng.
Phân số hữu tỷ không đúng này bây giờ có thể được biểu diễn dưới dạng sau.
Có tính đến những gì đã được trình bày, trong tương lai chúng ta sẽ chỉ xem xét các phân số hữu tỉ thích hợp.
Có cái gọi là phân số hữu tỷ đơn giản - đây là những phân số không thể đơn giản hóa bằng bất kỳ cách nào. Những phân số đơn giản nhất này trông giống như:
Một phân số hữu tỷ thực sự của một dạng phức tạp hơn luôn có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các phân số hữu tỷ đơn giản nhất. Tập hợp các phân số được xác định bởi tập nghiệm của đa thức xuất hiện ở mẫu số của một phân số hữu tỉ tối giản thích hợp. Quy tắc phân tích một phân số thành phân số đơn giản nhất như sau.
Cho phân số hữu tỉ được biểu diễn dưới dạng sau.
Ở đây, tử số của các phân số đơn giản nhất chứa các hệ số chưa biết, hệ số này luôn có thể được xác định bằng phương pháp hệ số chưa xác định. Bản chất của phương pháp là đánh đồng các hệ số có cùng lũy thừa của X đối với đa thức ở tử số của phân số ban đầu và đa thức ở tử số của phân số thu được sau khi rút gọn các phân số đơn giản nhất thành mẫu số chung.
Chúng ta hãy đánh đồng các hệ số của cùng lũy thừa của X.
Giải hệ phương trình tìm hệ số chưa biết, ta thu được.
Vì vậy, phân số này có thể được biểu diễn bằng tập hợp các phân số đơn giản sau.
Bằng cách đưa nó về mẫu số chung, chúng tôi tin chắc về tính đúng đắn của giải pháp cho vấn đề.
Viết chủ đề bài học vào vở
“Các phân số hữu tỉ”.
Nó là gì vậy?
Đây là các biểu thức đại số chứa phép chia cho một biểu thức có biến.
Ví dụ:
- biểu thức phân số.
Một số nguyên, bởi vì nó bằng , tức là toàn bộ biểu thức có hệ số hữu tỷ.
Toàn bộ và biểu thức phân sốđược gọi là các biểu thức hợp lý.
Đây là những người chúng ta sẽ phải làm việc cùng trong tương lai!
Toàn bộ biểu thức có ý nghĩa đối với bất kỳ giá trị nào của biến, nhưng biểu thức phân số... không thể chia cho 0!
Ví dụ:
được xác định cho tất cả các giá trị của biến a và cho tất cả các giá trị của b, ngoại trừ b=3.
Với giá trị nào của biến thì biểu thức
?
Nhớ:
Với mọi giá trị của a, b và c, trong đó và , đẳng thức đúng
Nếu chúng ta nhân một phân số với một số (tức là nhân tử số và mẫu số của phân số đó với cùng một số), chúng ta nhận được phân số bằng nhau, nhưng có mẫu số khác.
Nếu chúng ta chia tử số và mẫu số cho cùng một số thì phân số đó sẽ được rút gọn.
Ví dụ:
1) Hãy rút gọn phân số đó thành phân số có mẫu số là 35у3.
Trước tiên hãy chia mẫu số mới 35y3 thành 7y cũ và chúng ta nhận được hệ số nhân bổ sung là 5y2.
Và sau đó nhân tử số và mẫu số với hệ số bổ sung này:
.
2) Hãy giảm phân số.
Giải pháp:
Nhớ:
Để rút gọn một phân số, bạn cần phân tích tử số và mẫu số rồi chia chúng cho một thừa số bằng nhau, tức là giảm bớt.
Có một số phương pháp để phân tích một biểu thức.
Chúng tôi đã quen thuộc với hai trong số họ cho đến nay:
1 phương pháp
Sắp xếp lại yếu tố chung.
Phương pháp 2
Ứng dụng công thức nhân rút gọn.
Cách đầu tiên và đơn giản nhất để phân tích thành nhân tử là
bỏ thừa số chung ra khỏi ngoặc.
Ac + bc = (a + b)c
Ví dụ 1: 5ab2c3 - 10a2b3c + 15a3bc2 = 5abc(bc2 - 2ab2 + 3a2c)
Luật lệ:
Nếu tất cả các phần tử của đa thức có một thừa số chung (hoặc một số thừa số chung), thì thừa số này (các thừa số này) có thể được loại ra khỏi ngoặc,
trong trường hợp này, chúng tôi chia mỗi số hạng cho một biểu thức mà chúng tôi đặt ngoài ngoặc: 5ab2c3: 5abc = bc2, - 10a2b3c: 5abc = - 2ab2 và cuối cùng, 15a3bc2: 5abc = 3a2c (xem các dấu!!!)
Và chúng ta phải nhớ rằng mức độ có chỉ số thấp hơn được lấy ra khỏi ngoặc.
Riêng mình:
Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc
Kiểm tra:
Đôi khi tất cả các thành viên biểu thức đại số Tôi không có một yếu tố chung, nhưng trong các nhóm thuật ngữ riêng biệt có một yếu tố, ví dụ:
à + ay + bx + bởi.
Đa thức này có thể được phân tích thành nhân tử bằng cách kết hợp các số hạng của nó thành nhóm riêng biệt
(ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b).
Ví dụ:
Sử dụng phương pháp nhóm các số hạng, phân tích biểu thức
3x + xy2 - x2y - 3y
Giải pháp:
3x + xy2 - x2y - 3y = 3(x - y) + xy(y -x) = 3(x - y) - xy(x -y) = (3 - xy)(x - y).
Hãy luyện tập thêm một chút:
1) a3 - ab - a2b + a2 ,
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x.
Giải pháp:
1) a3 - ab - a2b + a2 = a3 - a2b - ab + a2 = a2(a - b) + a(a - b)= (a2+ a)(a - b) = a(a +1)(a - b),
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x = b2(a - y + 1) - x(a - y + 1) = (b2 - x)(a - y + 1).
Và bây giờ là về phương pháp thứ 2.
Nếu các số hạng của biểu thức đại số không có thừa số lặp lại thì bạn có thể thử áp dụng các công thức nhân rút gọn...
Ví dụ
a) Hiệu các bình phương:
0,49x4 - 121y2 = (0,7x2)2 - (11y)2 = (0,7x2 - 11y)(0,7x2 + 11y),
B) Sự khác biệt của hình khối:
1 - 27s3 = 13 - (3s)3 = (1 - 3s)(1 + 3s + 9s2),
B) Bình phương chênh lệch:
4a2 - 12ab + 9b2 = (2a)2 - 22a 3b + (3b)2 = (2a - 3b)2 hoặc (2a - 3b)(2a - 3b),
D) Khối sai phân:
27x6 - 27x4y + 9x2y2 - y3 = (3x2)3 - 3(3x2)2y + 3(3x2)y2 - y3 = (3x2 - y)3 hoặc (3x2 - y)(3x2 - y)(3x2 - y) t .e. ba số nhân bằng nhau!
Thuật toán:
- đầu tiên chúng ta “điều chỉnh” vẻ bề ngoài biểu thức" theo một công thức có thể...
- nếu nó hoạt động, chúng tôi sẽ tiến hành thêm vì nó (công thức) yêu cầu...
- nếu không được thì chúng ta bắt đầu “thử” công thức khác...
- v.v. cho đến khi bạn có thể phân tách biểu thức thành tích của các thừa số!