Ví dụ về nhân các phân số đơn giản với các mẫu số khác nhau. Nhân và chia phân số

Lần trước chúng ta đã học cách cộng và trừ phân số (xem bài “Cộng và trừ phân số”). Phần khó khăn nhất của những hành động đó là đưa phân số về mẫu số chung.

Bây giờ là lúc giải quyết vấn đề nhân và chia. Tin tốt là những thao tác này thậm chí còn đơn giản hơn phép cộng và phép trừ. Đầu tiên, hãy xem xét trường hợp đơn giản nhất, khi có hai phân số dương không có phần nguyên tách biệt.

Để nhân hai phân số, bạn phải nhân tử số và mẫu số của chúng một cách riêng biệt. Số đầu tiên sẽ là tử số của phân số mới và số thứ hai sẽ là mẫu số.

Để chia hai phân số, bạn cần nhân phân số thứ nhất với phân số thứ hai “đảo ngược”.

Chỉ định:

Từ định nghĩa, việc chia phân số sẽ rút gọn thành phép nhân. Để “lật” một phân số, chỉ cần hoán đổi tử số và mẫu số. Vì vậy, xuyên suốt bài học chúng ta sẽ chủ yếu xem xét phép nhân.

Kết quả của phép nhân, một phân số có thể rút gọn có thể phát sinh (và thường phát sinh) - tất nhiên, nó phải được giảm đi. Nếu sau tất cả các lần giảm, phân số không chính xác thì toàn bộ phần sẽ được đánh dấu. Nhưng điều chắc chắn sẽ không xảy ra với phép nhân là quy giản về mẫu số chung: không có phương pháp đan xen, thừa số lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất.

Theo định nghĩa ta có:

Nhân phân số với phần nguyên và phân số âm

Nếu phân số chứa phần nguyên, chúng phải được chuyển đổi thành phần không chính xác - và chỉ sau đó được nhân theo sơ đồ đã nêu ở trên.

Nếu có dấu trừ ở tử số, mẫu số hoặc ở phía trước nó thì có thể lấy ra khỏi phép nhân hoặc loại bỏ hoàn toàn theo nguyên tắc sau:

Cộng với trừ cho ra trừ;
Hai phủ định tạo nên một khẳng định.

Cho đến nay, những quy tắc này chỉ được gặp khi cộng và trừ các phân số âm, khi cần loại bỏ toàn bộ phần. Đối với một tác phẩm, chúng có thể được khái quát hóa để “đốt cháy” một số nhược điểm cùng một lúc:

Chúng tôi gạch bỏ các tiêu cực theo cặp cho đến khi chúng biến mất hoàn toàn. Trong những trường hợp cực đoan, một điểm trừ có thể tồn tại - điểm không có bạn đời;
Nếu không còn điểm trừ nào, thao tác đã hoàn tất - bạn có thể bắt đầu nhân. Nếu dấu trừ cuối cùng không bị gạch bỏ vì không có cặp nào cho nó thì chúng ta đưa nó ra ngoài giới hạn của phép nhân. Kết quả là một phân số âm.

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Chúng tôi chuyển đổi tất cả các phân số thành phân số không chính xác và sau đó loại bỏ các điểm trừ trong phép nhân. Chúng tôi nhân những gì còn lại theo các quy tắc thông thường. Chúng tôi nhận được:

Hãy để tôi nhắc bạn một lần nữa rằng dấu trừ xuất hiện ở phía trước một phân số có phần nguyên được tô sáng đề cập cụ thể đến toàn bộ phân số chứ không chỉ toàn bộ phần của nó (điều này áp dụng cho hai ví dụ cuối).

Cũng chú ý đến số âm: khi nhân, chúng được đặt trong ngoặc đơn. Điều này được thực hiện để tách các dấu trừ khỏi dấu nhân và làm cho toàn bộ ký hiệu chính xác hơn.

Giảm phân số một cách nhanh chóng

Phép nhân là một hoạt động tốn rất nhiều công sức. Các con số ở đây hóa ra khá lớn và để đơn giản hóa vấn đề, bạn có thể thử giảm phân số hơn nữa trước khi nhân. Thật vậy, về bản chất, tử số và mẫu số của phân số là các thừa số thông thường và do đó, chúng có thể được rút gọn bằng cách sử dụng tính chất cơ bản của phân số. Hãy xem các ví dụ:

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Theo định nghĩa ta có:

Trong tất cả các ví dụ, số đã giảm và số còn lại được đánh dấu màu đỏ.

Xin lưu ý: trong trường hợp đầu tiên, số nhân đã giảm hoàn toàn. Ở vị trí của chúng vẫn còn những đơn vị mà nói chung không cần phải viết. Trong ví dụ thứ hai, không thể đạt được mức giảm hoàn toàn nhưng tổng lượng tính toán vẫn giảm.

Tuy nhiên, đừng bao giờ sử dụng kỹ thuật này khi cộng và trừ các phân số! Đúng, đôi khi có những con số tương tự mà bạn chỉ muốn giảm bớt. Đây, nhìn xem:

Bạn không thể làm điều đó!

Lỗi xảy ra do khi cộng tử số của một phân số, tổng xuất hiện chứ không phải tích của các số. Do đó, không thể áp dụng tính chất cơ bản của một phân số, vì tính chất này liên quan cụ thể đến phép nhân các số.

Đơn giản là không có lý do nào khác để giảm phân số, vì vậy lời giải đúng cho bài toán trước sẽ như sau:

Giải pháp đúng:

Như bạn có thể thấy, câu trả lời đúng hóa ra lại không đẹp lắm. Nói chung, hãy cẩn thận.

Một phép toán khác có thể được thực hiện với phân số thông thường là phép nhân. Chúng tôi sẽ cố gắng giải thích các quy tắc cơ bản của nó khi giải bài toán, chỉ ra cách nhân một phân số thông thường với một số tự nhiên và cách nhân chính xác ba phân số thông thường trở lên.

Trước tiên chúng ta hãy viết ra quy tắc cơ bản:

Định nghĩa 1

Nếu chúng ta nhân một phân số thông thường thì tử số của phân số thu được sẽ bằng tích của các tử số của các phân số ban đầu và mẫu số sẽ bằng tích của các mẫu số của chúng. Ở dạng chữ, đối với hai phân số a / b và c / d, điều này có thể được biểu diễn dưới dạng a b · c d = a · c b · d.

Hãy xem một ví dụ về cách áp dụng chính xác quy tắc này. Giả sử chúng ta có một hình vuông có cạnh bằng một đơn vị số. Khi đó diện tích của hình sẽ là 1 hình vuông. đơn vị. Nếu chúng ta chia hình vuông thành các hình chữ nhật bằng nhau có cạnh bằng 1 4 và 1 8 đơn vị số, thì bây giờ chúng ta có 32 hình chữ nhật (vì 8 4 = 32). Theo đó, diện tích của mỗi hình sẽ bằng 1 32 diện tích của toàn bộ hình, tức là. 1 32 mét vuông. đơn vị.

Chúng ta có một mảnh được tô bóng có các cạnh bằng 5 8 đơn vị số và 3 4 đơn vị số. Theo đó, để tính diện tích của nó, bạn cần nhân phân số thứ nhất với phân số thứ hai. Nó sẽ bằng 5 8 · 3 4 mét vuông. đơn vị. Nhưng chúng ta có thể đếm một cách đơn giản xem có bao nhiêu hình chữ nhật trong mảnh này: có 15 hình chữ nhật, nghĩa là tổng diện tích là 15 x 32 đơn vị vuông.

Vì 5 3 = 15 và 8 4 = 32, chúng ta có thể viết đẳng thức sau:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Nó xác nhận quy tắc mà chúng ta đã xây dựng để nhân các phân số thông thường, được biểu thị dưới dạng a b · c d = a · c b · d. Nó hoạt động giống nhau cho cả phân số đúng và phân số không chính xác; Nó có thể được sử dụng để nhân các phân số có mẫu số khác nhau và giống hệt nhau.

Chúng ta hãy xem giải pháp cho một số vấn đề liên quan đến phép nhân các phân số thông thường.

Ví dụ 1

Nhân 7 11 với 9 8.

Giải pháp

Đầu tiên, chúng ta hãy tính tích của các tử số của các phân số được chỉ định bằng cách nhân 7 với 9. Chúng tôi có 63. Sau đó, chúng ta tính tích của các mẫu số và nhận được: 11 · 8 = 88. Hãy soạn hai số và đáp án là: 63 88.

Toàn bộ giải pháp có thể được viết như thế này:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Trả lời: 7 11 · 9 8 = 63 88.

Nếu chúng ta nhận được một phân số có thể rút gọn trong câu trả lời của mình, chúng ta cần hoàn thành phép tính và thực hiện phép rút gọn nó. Nếu chúng ta nhận được một phân số không chính xác, chúng ta cần tách toàn bộ phần ra khỏi nó.

Ví dụ 2

Tính tích của phân số 4 15 và 55 6 .

Giải pháp

Theo quy tắc đã học ở trên, chúng ta cần nhân tử số với tử số và mẫu số với mẫu số. Bản ghi giải pháp sẽ trông như thế này:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Chúng tôi có một phần có thể rút gọn, tức là một số chia hết cho 10.

Hãy rút gọn phân số: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Kết quả là chúng ta thu được một phân số không chính xác, từ đó chúng ta chọn toàn bộ phần và nhận được hỗn số: 22 9 = 2 4 9.

Trả lời: 4 15 55 6 = 2 4 9.

Để dễ tính toán, chúng ta cũng có thể rút gọn các phân số ban đầu trước khi thực hiện phép nhân, mà chúng ta cần rút gọn phân số về dạng a · c b · d. Hãy phân tách các giá trị của các biến thành các thừa số đơn giản và rút gọn các giá trị giống nhau.

Hãy giải thích điều này trông như thế nào khi sử dụng dữ liệu từ một tác vụ cụ thể.

Ví dụ 3

Tính tích 4 15 55 6.

Giải pháp

Hãy viết các phép tính dựa trên quy tắc nhân. Chúng tôi sẽ nhận được:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Vì 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 và 6 = 2 3, nên 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Trả lời: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Một biểu thức số trong đó các phân số thông thường được nhân có tính chất giao hoán, nghĩa là, nếu cần, chúng ta có thể thay đổi thứ tự của các thừa số:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Cách nhân một phân số với một số tự nhiên

Hãy viết ra quy tắc cơ bản ngay lập tức và sau đó cố gắng giải thích nó trong thực tế.

Định nghĩa 2

Để nhân một phân số chung với một số tự nhiên, bạn cần nhân tử số của phân số đó với số đó. Trong trường hợp này, mẫu số của phân số cuối cùng sẽ bằng mẫu số của phân số thông thường ban đầu. Phép nhân một phân số nhất định a b với một số tự nhiên n có thể được viết dưới dạng công thức a b · n = a · n b.

Thật dễ hiểu công thức này nếu bạn nhớ rằng bất kỳ số tự nhiên nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số thông thường có mẫu số bằng một, nghĩa là:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Hãy để chúng tôi giải thích ý tưởng của chúng tôi bằng các ví dụ cụ thể.

Ví dụ 4

Tính tích 2 27 nhân 5.

Giải pháp

Kết quả của việc nhân tử số của phân số ban đầu với hệ số thứ hai, chúng ta nhận được 10. Theo quy tắc đã nêu ở trên, kết quả là chúng ta sẽ nhận được 10 27. Toàn bộ giải pháp được đưa ra trong bài viết này:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Trả lời: 2 27 5 = 10 27

Khi nhân một số tự nhiên với một phân số, chúng ta thường phải viết tắt kết quả hoặc biểu diễn dưới dạng hỗn số.

Ví dụ 5

Điều kiện: tính tích 8 x 5 12.

Giải pháp

Theo quy tắc trên, ta nhân số tự nhiên với tử số. Kết quả là chúng ta có 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Phân số cuối cùng có dấu chia hết cho 2 nên ta cần rút gọn:

BCNN (40, 12) = 4 nên 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Bây giờ tất cả những gì chúng ta phải làm là chọn toàn bộ phần và viết ra câu trả lời có sẵn: 10 3 = 3 1 3.

Trong mục này, bạn có thể thấy toàn bộ lời giải: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

Chúng ta cũng có thể rút gọn phân số bằng cách phân tích tử số và mẫu số, và kết quả sẽ hoàn toàn giống nhau.

Trả lời: 5 12 8 = 3 1 3.

Biểu thức số trong đó một số tự nhiên nhân với một phân số cũng có tính chất dịch chuyển, tức là thứ tự của các thừa số không ảnh hưởng đến kết quả:

a b · n = n · a b = a · n b

Cách nhân ba phân số chung trở lên

Chúng ta có thể mở rộng hoạt động nhân các phân số thông thường với các tính chất tương tự đặc trưng của phép nhân các số tự nhiên. Điều này xuất phát từ chính định nghĩa của các khái niệm này.

Nhờ kiến thức về các tính chất kết hợp và giao hoán, bạn có thể nhân ba hoặc nhiều phân số thông thường. Có thể chấp nhận việc sắp xếp lại các thừa số để thuận tiện hơn hoặc sắp xếp các dấu ngoặc sao cho dễ đếm hơn.

Hãy đưa ra một ví dụ về cách thực hiện việc này.

Ví dụ 6

Nhân bốn phân số chung 1 20, 12 5, 3 7 và 5 8.

Giải pháp: Đầu tiên, hãy ghi lại công việc. Chúng ta nhận được 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Chúng ta cần nhân tất cả các tử số và tất cả các mẫu số với nhau: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Trước khi bắt đầu nhân, chúng ta có thể tự làm mọi việc dễ dàng hơn một chút và phân tích một số số thành thừa số nguyên tố để rút gọn hơn nữa. Điều này sẽ dễ dàng hơn việc giảm phần kết quả đã được chuẩn bị sẵn.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9,280

Trả lời: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9.280.

Ví dụ 7

Nhân 5 số 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Giải pháp

Để thuận tiện, chúng ta có thể nhóm phân số 7 8 với số 8 và số 12 với phân số 5 36, vì chúng ta sẽ thấy rõ các chữ viết tắt trong tương lai. Kết quả là chúng ta sẽ nhận được:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3

Trả lời: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Nhân các phân số thông dụng

Hãy xem một ví dụ.

Đặt $\frac(1)(3)$ một phần của quả táo trên đĩa. Chúng ta cần tìm phần $\frac(1)(2)$ của nó. Phần bắt buộc là kết quả của việc nhân các phân số $\frac(1)(3)$ và $\frac(1)(2)$. Kết quả của phép nhân hai phân số chung là một phân số chung.

Nhân hai phân số thông thường

Quy tắc nhân các phân số thông thường:

Kết quả của phép nhân một phân số với một phân số là một phân số có tử số bằng tích các tử số của các phân số được nhân và mẫu số bằng tích các mẫu số:

Ví dụ 1

Thực hiện phép nhân các phân số chung $\frac(3)(7)$ và $\frac(5)(11)$.

Giải pháp.

Hãy áp dụng quy tắc nhân các phân số thông thường:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Trả lời:$\frac(15)(77)$

Nếu phép nhân các phân số dẫn đến một phân số tối giản hoặc không đúng, bạn cần đơn giản hóa nó.

Ví dụ 2

Nhân các phân số $\frac(3)(8)$ và $\frac(1)(9)$.

Giải pháp.

Ta áp dụng quy tắc nhân phân số thông thường:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Kết quả là chúng ta nhận được một phân số tối giản (dựa trên phép chia cho $3$. Chia tử số và mẫu số của phân số cho $3$, chúng ta nhận được:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Giải pháp ngắn gọn:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Trả lời:$\frac(1)(24).$

Khi nhân các phân số, bạn có thể rút gọn tử số và mẫu số cho đến khi tìm được tích của chúng. Trong trường hợp này, tử số và mẫu số của phân số được phân tách thành các thừa số đơn giản, sau đó các thừa số lặp lại bị hủy bỏ và tìm được kết quả.

Ví dụ 3

Tính tích của các phân số $\frac(6)(75)$ và $\frac(15)(24)$.

Giải pháp.

Hãy sử dụng công thức nhân các phân số thông thường:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Rõ ràng, tử số và mẫu số chứa các số có thể giảm theo cặp thành các số $2$, $3$ và $5$. Hãy phân tích tử số và mẫu số thành các thừa số đơn giản và thực hiện phép rút gọn:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Trả lời:$\frac(1)(20).$

Khi nhân các phân số, ta có thể áp dụng định luật giao hoán:

Nhân một phân số chung với một số tự nhiên

Quy tắc nhân một phân số chung với một số tự nhiên:

Kết quả của phép nhân một phân số với một số tự nhiên là một phân số có tử số bằng tích của tử số của phân số đó với số tự nhiên, mẫu số bằng mẫu số của phân số đó được nhân:

trong đó $\frac(a)(b)$ là phân số thông thường, $n$ là số tự nhiên.

Ví dụ 4

Nhân phân số $\frac(3)(17)$ với $4$.

Giải pháp.

Hãy áp dụng quy tắc nhân một phân số chung với một số tự nhiên:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Trả lời:$\frac(12)(17).$

Đừng quên kiểm tra kết quả của phép nhân bằng khả năng rút gọn của phân số hoặc bằng một phân số không chính xác.

Ví dụ 5

Nhân phân số $\frac(7)(15)$ với số $3$.

Giải pháp.

Hãy áp dụng công thức nhân một phân số với một số tự nhiên:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Bằng cách chia cho số $3$) chúng ta có thể xác định rằng phân số thu được có thể giảm đi:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Kết quả là chúng tôi nhận được một phần không chính xác. Hãy chọn toàn bộ phần:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Giải pháp ngắn gọn:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Phân số cũng có thể được rút gọn bằng cách thay thế các số trong tử số và mẫu số bằng hệ số hóa của chúng thành thừa số nguyên tố. Trong trường hợp này, giải pháp có thể được viết như sau:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Trả lời:$1\frac(2)(5).$

Khi nhân một phân số với một số tự nhiên, bạn có thể sử dụng định luật giao hoán:

Chia phân số

Phép chia là nghịch đảo của phép nhân và kết quả của nó là một phân số mà một phân số đã biết phải được nhân với nhau để thu được tích đã biết của hai phân số.

Chia hai phân số thường

Quy tắc chia phân số thường: Rõ ràng, tử số và mẫu số của phân số thu được có thể được phân tích thành thừa số và rút gọn:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Kết quả là chúng ta nhận được một phần không chính xác, từ đó chúng ta chọn toàn bộ phần:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Trả lời:$1\frac(5)(9).$

§ 87. Phép cộng phân số.

Phép cộng phân số có nhiều điểm tương đồng với phép cộng số nguyên. Phép cộng phân số là một hành động bao gồm thực tế là một số số (thuật ngữ) đã cho được kết hợp thành một số (tổng), chứa tất cả các đơn vị và phân số của đơn vị của các số hạng.

Chúng ta sẽ xem xét tuần tự ba trường hợp:

1. Cộng các phân số cùng mẫu số.
2. Phép cộng các phân số có mẫu số khác nhau.
3. Phép cộng hỗn số.

1. Cộng các phân số cùng mẫu số.

Hãy xem xét một ví dụ: 1/5 + 2/5.

Ta lấy đoạn AB (Hình 17), lấy làm 1 và chia thành 5 phần bằng nhau thì phần AC của đoạn này sẽ bằng 1/5 đoạn AB, và một phần của cùng đoạn CD sẽ bằng 2/5 AB.

Từ hình vẽ, rõ ràng nếu ta lấy đoạn AD thì nó sẽ bằng 3/5 AB; nhưng đoạn AD chính xác là tổng của các đoạn AC và CD. Vì vậy chúng ta có thể viết:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Xem xét các số hạng này và tổng kết quả, chúng ta thấy rằng tử số của tổng có được bằng cách cộng các tử số của các số hạng và mẫu số không thay đổi.

Từ đó ta có quy tắc sau: Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và để nguyên mẫu số.

Hãy xem một ví dụ:

2. Phép cộng các phân số có mẫu số khác nhau.

Hãy cộng các phân số: 3/4 + 3/8 Đầu tiên chúng cần được rút gọn về mẫu số chung nhỏ nhất:

Không thể viết được liên kết trung gian 6/8 + 3/8; chúng tôi đã viết nó ở đây cho rõ ràng.

Như vậy, để cộng các phân số có mẫu số khác nhau, trước tiên bạn phải quy chúng về mẫu số chung nhỏ nhất, cộng các tử số của chúng và gọi mẫu số chung.

Hãy xem xét một ví dụ (chúng tôi sẽ viết các yếu tố bổ sung phía trên các phân số tương ứng):

3. Phép cộng hỗn số.

Hãy cộng các số: 2 3/8 + 3 5/6.

Trước tiên, hãy đưa các phần phân số của các số của chúng ta về mẫu số chung và viết lại chúng:

Bây giờ chúng ta cộng các phần nguyên và phần phân số một cách tuần tự:

§ 88. Phép trừ phân số.

Phép trừ phân số được định nghĩa tương tự như phép trừ số nguyên. Đây là một hành động với sự trợ giúp của nó, với tổng của hai số hạng và một trong số chúng, sẽ tìm thấy một số hạng khác. Chúng ta xét lần lượt ba trường hợp:

1. Phép trừ các phân số cùng mẫu số.
2. Phép trừ các phân số khác mẫu số.
3. Phép trừ hỗn số.

1. Phép trừ các phân số cùng mẫu số.

Hãy xem một ví dụ:

13 / 15 - 4 / 15

Chúng ta lấy đoạn AB (Hình 18), lấy nó làm đơn vị và chia thành 15 phần bằng nhau; thì phần AC của đoạn này sẽ đại diện cho 1/15 của AB và phần AD của cùng đoạn đó sẽ tương ứng với 13/15 AB. Chúng ta dành một đoạn ED khác bằng 4/15 AB.

Chúng ta cần trừ phân số 4/15 từ 13/15. Trong hình vẽ, điều này có nghĩa là đoạn ED phải được trừ khỏi đoạn AD. Do đó đoạn AE sẽ giữ nguyên bằng 9/15 đoạn AB. Vì vậy chúng ta có thể viết:

Ví dụ chúng tôi đưa ra cho thấy rằng tử số của hiệu thu được bằng cách trừ các tử số, nhưng mẫu số vẫn giữ nguyên.

Vì vậy, để trừ các phân số cùng mẫu số, bạn cần trừ tử số của số bị trừ với tử số của số bị trừ và giữ nguyên mẫu số.

2. Phép trừ các phân số khác mẫu số.

Ví dụ. 3/4 - 5/8

Trước tiên, hãy giảm các phân số này xuống mẫu số chung thấp nhất:

Liên kết trung gian 6/8 - 5/8 được viết ở đây cho rõ ràng nhưng từ nay có thể bỏ qua.

Vì vậy, để trừ một phân số từ một phân số, trước tiên bạn phải quy chúng về mẫu số chung nhỏ nhất, sau đó lấy tử số của số bị trừ trừ tử số của số bị trừ và ký hiệu vào mẫu số chung dưới hiệu của chúng.

Hãy xem một ví dụ:

3. Phép trừ hỗn số.

Ví dụ. 10 3/4 - 7 2/3.

Chúng ta hãy giảm các phần phân số của số bị trừ và số bị trừ xuống mẫu số chung thấp nhất:

Chúng ta trừ một tổng từ một tổng và một phần từ một phân số. Nhưng có những trường hợp phần phân số của phần bị trừ lớn hơn phần phân số của phần bị giảm. Trong những trường hợp như vậy, bạn cần lấy một đơn vị từ toàn bộ phần của phần bị trừ, chia nó thành các phần trong đó phần phân số được biểu thị và thêm nó vào phần phân số của phần bị trừ. Và sau đó phép trừ sẽ được thực hiện theo cách tương tự như trong ví dụ trước:

§ 89. Nhân phân số.

Khi nghiên cứu phép nhân phân số, chúng ta sẽ xem xét các câu hỏi sau:

1. Nhân một phân số với một số nguyên.
2. Tìm phân số của một số cho trước.
3. Nhân một số nguyên với một phân số.
4. Nhân một phân số với một phân số.
5. Phép nhân hỗn số.
6. Khái niệm lợi ích.
7. Tìm phần trăm của một số cho trước. Hãy xem xét chúng một cách tuần tự.

1. Nhân một phân số với một số nguyên.

Nhân một phân số với một số nguyên có cùng ý nghĩa như nhân một số nguyên với một số nguyên. Nhân một phân số (số nhân) với một số nguyên (thừa số) có nghĩa là tạo ra tổng các số hạng giống nhau, trong đó mỗi số hạng bằng số bị nhân và số số hạng bằng số nhân.

Điều này có nghĩa là nếu bạn cần nhân 1/9 với 7 thì có thể thực hiện như sau:

Chúng tôi dễ dàng thu được kết quả vì hành động được rút gọn thành phép cộng các phân số có cùng mẫu số. Kể từ đây,

Việc xem xét hành động này cho thấy rằng nhân một phân số với một số nguyên tương đương với việc tăng phân số này lên gấp nhiều lần số đơn vị trong số nguyên. Và vì việc tăng một phân số đạt được bằng cách tăng tử số của nó

hoặc bằng cách giảm mẫu số của nó , thì chúng ta có thể nhân tử số với một số nguyên hoặc chia mẫu số cho nó, nếu phép chia như vậy có thể thực hiện được.

Từ đây ta có quy tắc:

Để nhân một phân số với một số nguyên, bạn nhân tử số với số nguyên đó và giữ nguyên mẫu số, hoặc nếu có thể, hãy chia mẫu số cho số đó, giữ nguyên tử số.

Khi nhân có thể viết tắt, ví dụ:

2. Tìm phân số của một số cho trước. Có nhiều bài toán mà bạn phải tìm hoặc tính một phần của một số cho trước. Sự khác biệt giữa những vấn đề này và những vấn đề khác là chúng đưa ra số lượng của một số đối tượng hoặc đơn vị đo lường và bạn cần tìm một phần của số này, phần này cũng được biểu thị ở đây bằng một phân số nhất định. Để dễ hiểu, trước tiên chúng tôi sẽ đưa ra ví dụ về những vấn đề như vậy, sau đó giới thiệu phương pháp giải chúng.

Nhiệm vụ 1. Tôi có 60 rúp; Tôi dành 1/3 số tiền này để mua sách. Những cuốn sách đó có giá bao nhiêu?

Nhiệm vụ 2.Đoàn tàu phải đi quãng đường giữa thành phố A và B bằng 300 km. Anh ấy đã đi được 2/3 quãng đường này. Đây là bao nhiêu km?

Nhiệm vụ 3. Trong làng có 400 ngôi nhà, 3/4 trong số đó là gạch, còn lại bằng gỗ. Có tổng cộng bao nhiêu ngôi nhà gạch?

Đây là một số trong nhiều vấn đề chúng ta gặp phải khi tìm một phần của một số cho trước. Chúng thường được gọi là các bài toán tìm phân số của một số cho trước.

Giải pháp cho vấn đề 1. Từ 60 chà. Tôi dành 1/3 cho sách; Điều này có nghĩa là để tính giá sách bạn cần chia số 60 cho 3:

Giải quyết vấn đề 2. Vấn đề là bạn cần tìm 2/3 của 300 km. Trước tiên hãy tính 1/3 của 300; điều này đạt được bằng cách chia 300 km cho 3:

300: 3 = 100 (tức là 1/3 của 300).

Để tìm hai phần ba của 300, bạn cần nhân đôi thương số thu được, tức là nhân với 2:

100 x 2 = 200 (tức là 2/3 của 300).

Giải quyết vấn đề 3.Ở đây các bạn cần xác định số ngôi nhà gạch chiếm 3/4 của 400. Trước tiên chúng ta hãy tìm 1/4 của 400,

400: 4 = 100 (tức là 1/4 của 400).

Để tính ba phần tư của 400, thương số thu được phải nhân ba, tức là nhân với 3:

100 x 3 = 300 (tức là 3/4 của 400).

Dựa vào lời giải của các bài toán này, chúng ta có thể rút ra quy tắc sau:

Để tìm giá trị của một phân số từ một số cho trước, bạn cần chia số này cho mẫu số của phân số đó và nhân thương số thu được với tử số của nó.

3. Nhân một số nguyên với một phân số.

Trước đó (§ 26) người ta đã xác định rằng phép nhân các số nguyên nên được hiểu là phép cộng các số hạng giống nhau (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Trong đoạn này (điểm 1), người ta đã xác định rằng nhân một phân số với một số nguyên có nghĩa là tìm tổng các số hạng giống nhau bằng phân số này.

Trong cả hai trường hợp, phép nhân bao gồm việc tìm tổng của các số hạng giống nhau.

Bây giờ chúng ta chuyển sang nhân một số nguyên với một phân số. Ví dụ, ở đây chúng ta sẽ gặp phép nhân: 9 2/3. Rõ ràng là định nghĩa trước đó về phép nhân không áp dụng được cho trường hợp này. Điều này thể hiện rõ ở chỗ chúng ta không thể thay thế phép nhân đó bằng cách cộng các số bằng nhau.

Vì điều này, chúng ta sẽ phải đưa ra một định nghĩa mới về phép nhân, tức là, nói cách khác, trả lời câu hỏi phép nhân với một phân số nên hiểu như thế nào, hành động này nên được hiểu như thế nào.

Ý nghĩa của việc nhân một số nguyên với một phân số được hiểu rõ từ định nghĩa sau: nhân một số nguyên (số nhân) với một phân số (số nhân) có nghĩa là tìm phân số này của số bị nhân.

Cụ thể, nhân 9 với 2/3 có nghĩa là tìm được 2/3 của chín đơn vị. Trong đoạn trước, những vấn đề như vậy đã được giải quyết; vì vậy thật dễ dàng để nhận ra rằng chúng ta sẽ có kết quả là 6.

Nhưng bây giờ một câu hỏi thú vị và quan trọng được đặt ra: tại sao các phép toán dường như khác nhau như vậy, chẳng hạn như tìm tổng của các số bằng nhau và tìm phân số của một số, trong số học lại gọi cùng một từ là “phép nhân”?

Điều này xảy ra vì hành động trước đó (lặp lại số với các số hạng nhiều lần) và hành động mới (tìm phân số của số đó) đưa ra câu trả lời cho các câu hỏi đồng nhất. Điều này có nghĩa là chúng ta tiến hành ở đây từ việc xem xét rằng các câu hỏi hoặc nhiệm vụ đồng nhất được giải quyết bằng cùng một hành động.

Để hiểu điều này, hãy xem xét vấn đề sau: “1 m vải có giá 50 rúp. 4 m vải như vậy sẽ có giá bao nhiêu?

Vấn đề này được giải quyết bằng cách nhân số rúp (50) với số mét (4), tức là 50 x 4 = 200 (rúp).

Chúng ta hãy giải quyết vấn đề tương tự, nhưng trong đó số lượng vải sẽ được biểu thị dưới dạng phân số: “1 m vải có giá 50 rúp. 3/4 m vải như vậy sẽ có giá bao nhiêu?”

Vấn đề này cũng cần được giải quyết bằng cách nhân số rúp (50) với số mét (3/4).

Bạn có thể thay đổi các số trong đó nhiều lần nữa mà không làm thay đổi ý nghĩa của bài toán, ví dụ: lấy 9/10 m hoặc 2 3/10 m, v.v.

Vì những bài toán này có cùng nội dung và chỉ khác nhau về số lượng nên chúng ta gọi các thao tác dùng để giải chúng bằng cùng một từ - phép nhân.

Làm thế nào để nhân một số nguyên với một phân số?

Hãy lấy những con số gặp phải trong vấn đề cuối cùng:

Theo định nghĩa, chúng ta phải tìm 3/4 của 50. Đầu tiên chúng ta hãy tìm 1/4 của 50, sau đó là 3/4.

1/4 của 50 là 50/4;

3/4 của số 50 là .

Kể từ đây.

Hãy xem xét một ví dụ khác: 12 5 / 8 =?

1/8 của số 12 là 12/8,

5/8 của số 12 là .

Kể từ đây,

Từ đây ta có quy tắc:

Để nhân một số nguyên với một phân số, bạn cần nhân số nguyên đó với tử số của phân số đó và lấy tích này làm tử số, đồng thời ký hiệu mẫu số của phân số này làm mẫu số.

Hãy viết quy tắc này bằng cách sử dụng các chữ cái:

Để làm cho quy tắc này hoàn toàn rõ ràng, cần nhớ rằng một phân số có thể được coi là thương số. Do đó, sẽ rất hữu ích khi so sánh quy tắc tìm được với quy tắc nhân một số với thương, được nêu trong § 38

Điều quan trọng cần nhớ là trước khi thực hiện phép nhân, bạn nên làm (nếu có thể) sự giảm bớt, Ví dụ:

4. Nhân một phân số với một phân số. Nhân một phân số với một phân số có ý nghĩa tương tự như nhân một số nguyên với một phân số, tức là khi nhân một phân số với một phân số, bạn cần tìm phân số có trong thừa số của phân số đầu tiên (số bị nhân).

Cụ thể, nhân 3/4 với 1/2 (một nửa) có nghĩa là tìm một nửa của 3/4.

Làm thế nào để nhân một phân số với một phân số?

Hãy lấy một ví dụ: 3/4 nhân với 5/7. Điều này có nghĩa là bạn cần tìm 5/7 của 3/4. Đầu tiên chúng ta hãy tìm 1/7 của 3/4, sau đó là 5/7

1/7 của số 3/4 sẽ được biểu diễn như sau:

5/7 số 3/4 sẽ được biểu diễn như sau:

Như vậy,

Một ví dụ khác: 5/8 nhân với 4/9.

1/9 của 5/8 là ,

4/9 của số 5/8 là .

Như vậy,

Từ những ví dụ này có thể suy ra quy tắc sau:

Để nhân một phân số với một phân số, bạn cần nhân tử số với tử số, mẫu số với mẫu số, rồi lấy tích thứ nhất làm tử số, tích thứ hai làm mẫu số của tích.

Quy tắc này có thể được viết dưới dạng tổng quát như sau:

Khi nhân cần thực hiện các phép rút gọn (nếu có thể). Hãy xem xét các ví dụ:

5. Phép nhân hỗn số. Vì hỗn số có thể dễ dàng được thay thế bằng phân số không thích hợp nên trường hợp này thường được sử dụng khi nhân hỗn số. Điều này có nghĩa là trong trường hợp số nhân, thừa số hoặc cả hai thừa số được biểu thị dưới dạng hỗn số, chúng sẽ được thay thế bằng phân số không chính xác. Ví dụ: hãy nhân các số hỗn hợp: 2 1/2 và 3 1/5. Chúng ta hãy biến mỗi phân số thành một phân số không chính xác và sau đó nhân các phân số thu được theo quy tắc nhân một phân số với một phân số:

Luật lệ.Để nhân các số hỗn hợp, trước tiên bạn phải chuyển chúng thành các phân số không chính xác, sau đó nhân chúng theo quy tắc nhân phân số với phân số.

Ghi chú. Nếu một trong các thừa số là số nguyên thì phép nhân có thể được thực hiện dựa trên luật phân phối như sau:

6. Khái niệm lợi ích. Khi giải các bài toán và thực hiện các phép tính thực tế khác nhau, chúng ta sử dụng tất cả các loại phân số. Nhưng cần phải nhớ rằng nhiều đại lượng không chỉ cho phép chúng có sự phân chia bất kỳ mà còn tự nhiên. Ví dụ: bạn có thể lấy một phần trăm (1/100) của đồng rúp, nó sẽ là một kopeck, hai phần trăm là 2 kopecks, ba phần trăm là 3 kopecks. Bạn có thể lấy 1/10 của một rúp, nó sẽ là "10 kopecks, hoặc một đồng mười kopeck. Bạn có thể lấy một phần tư rúp, tức là 25 kopecks, nửa rúp, tức là 50 kopecks (năm mươi kopecks). Nhưng thực tế họ không lấy nó, chẳng hạn như 2/7 của một đồng rúp vì đồng rúp không được chia thành phần bảy.

Đơn vị trọng lượng, tức là kilôgam, chủ yếu cho phép chia số thập phân, ví dụ 1/10 kg hoặc 100 g. Và các phân số như 1/6, 1/11, 1/13 không phổ biến.

Nói chung, các thước đo (số liệu) của chúng tôi là số thập phân và cho phép chia số thập phân.

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng việc sử dụng cùng một phương pháp chia số lượng (thống nhất) là cực kỳ hữu ích và thuận tiện trong nhiều trường hợp. Kinh nghiệm nhiều năm cho thấy cách chia hợp lý như vậy là cách chia “thứ trăm”. Chúng ta hãy xem xét một số ví dụ liên quan đến các lĩnh vực thực hành đa dạng nhất của con người.

1. Giá sách đã giảm 12/100 so với giá trước đó.

Ví dụ. Giá trước đây của cuốn sách là 10 rúp. Nó giảm 1 rúp. 20 kopecks

2. Ngân hàng tiết kiệm trả cho người gửi tiền 2/100 số tiền gửi tiết kiệm trong năm.

Ví dụ. 500 rúp được gửi vào máy tính tiền, thu nhập từ số tiền này trong năm là 10 rúp.

3. Số học sinh tốt nghiệp của một trường là 5/100 tổng số học sinh.

VÍ DỤ Trường chỉ có 1.200 sinh viên, trong đó có 60 người đã tốt nghiệp.

Phần trăm của một số gọi là phần trăm.

Từ "phần trăm" được mượn từ tiếng Latin và gốc "cent" của nó có nghĩa là một trăm. Cùng với giới từ (pro centum), từ này có nghĩa là “cho một trăm”. Ý nghĩa của cách diễn đạt này xuất phát từ thực tế là ban đầu trong lãi suất của người La Mã cổ đại là tên được đặt cho số tiền mà con nợ trả cho người cho vay “mỗi trăm”. Từ “cent” được nghe bằng những từ quen thuộc như: centner (một trăm kilôgam), centimét (nói centimet).

Ví dụ, thay vì nói rằng trong tháng qua nhà máy đã sản xuất ra 1/100 sản phẩm bị lỗi, chúng ta sẽ nói thế này: trong tháng qua nhà máy đã sản xuất ra 1% sản phẩm bị lỗi. Thay vì nói: nhà máy sản xuất nhiều hơn 4/100 sản phẩm so với kế hoạch đề ra, chúng ta sẽ nói: nhà máy sản xuất vượt kế hoạch 4%.

Các ví dụ trên có thể được diễn đạt khác nhau:

1. Giá sách đã giảm 12% so với giá trước đó.

2. Ngân hàng tiết kiệm trả cho người gửi tiền 2% mỗi năm trên số tiền gửi tiết kiệm.

3. Số học sinh tốt nghiệp của một trường là 5% tổng số học sinh của trường.

Để rút ngắn chữ cái, người ta thường viết ký hiệu % thay vì chữ “phần trăm”.

Tuy nhiên, bạn cần nhớ rằng trong phép tính, dấu % thường không được viết; nó có thể được viết trong câu lệnh bài toán và trong kết quả cuối cùng. Khi thực hiện các phép tính, bạn cần viết một phân số có mẫu số là 100 thay vì một số nguyên có ký hiệu này.

Bạn cần có khả năng thay thế một số nguyên bằng biểu tượng được chỉ định bằng một phân số có mẫu số là 100:

Ngược lại, bạn cần làm quen với việc viết số nguyên có ký hiệu được chỉ định thay vì phân số có mẫu số là 100:

7. Tìm phần trăm của một số cho trước.

Nhiệm vụ 1. Trường được nhận 200 m3. m củi, trong đó củi bạch dương chiếm 30%. Có bao nhiêu củi bạch dương?

Ý nghĩa của bài toán này là củi bạch dương chỉ chiếm một phần trong số củi được chuyển đến trường và phần này được biểu thị bằng phân số 30/100. Điều này có nghĩa là chúng ta có nhiệm vụ tìm một phần của một số. Để giải, chúng ta phải nhân 200 với 30/100 (các bài toán tìm phân số của một số được giải bằng cách nhân số đó với phân số.).

Điều này có nghĩa là 30% của 200 bằng 60.

Phân số 30/100 gặp trong bài toán này có thể giảm đi 10. Có thể thực hiện việc rút gọn này ngay từ đầu; giải pháp cho vấn đề sẽ không thay đổi.

Nhiệm vụ 2. Có 300 trẻ em ở nhiều lứa tuổi khác nhau trong trại. Trẻ em 11 tuổi chiếm 21%, trẻ em 12 tuổi chiếm 61% và cuối cùng là trẻ em 13 tuổi chiếm 18%. Có bao nhiêu trẻ em ở mỗi độ tuổi trong trại?

Trong bài toán này, bạn cần thực hiện ba phép tính, tức là tìm tuần tự số trẻ em 11 tuổi, rồi 12 tuổi và cuối cùng là 13 tuổi.

Điều này có nghĩa là ở đây bạn sẽ cần tìm phân số của số đó ba lần. Hãy làm điều này:

1) Có bao nhiêu đứa trẻ 11 tuổi?

2) Có bao nhiêu đứa trẻ 12 tuổi?

3) Có bao nhiêu đứa trẻ 13 tuổi?

Sau khi giải được bài toán, việc cộng các số tìm được sẽ rất hữu ích; tổng của chúng phải là 300:

63 + 183 + 54 = 300

Cũng cần lưu ý rằng tổng các tỷ lệ phần trăm được đưa ra trong báo cáo bài toán là 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Điều này cho thấy tổng số trẻ em trong trại được lấy là 100%.

3 a d a h a 3. Người công nhân nhận được 1.200 rúp mỗi tháng. Trong số này, ông chi 65% cho thực phẩm, 6% cho căn hộ và sưởi ấm, 4% cho gas, điện và radio, 10% cho nhu cầu văn hóa và 15% tiết kiệm. Bao nhiêu tiền đã được chi cho các nhu cầu được chỉ ra trong nhiệm vụ?

Để giải bài toán này bạn cần tìm phân số của 1.200 5 lần.

1) Đã chi bao nhiêu tiền cho thực phẩm? Bài toán cho biết chi phí này chiếm 65% tổng thu nhập, tức là 65/100 của số 1.200. Hãy thực hiện phép tính:

2) Bạn đã trả bao nhiêu tiền cho một căn hộ có hệ thống sưởi? Lập luận tương tự như phần trên, ta có phép tính sau:

3) Bạn đã trả bao nhiêu tiền cho gas, điện và radio?

4) Bao nhiêu tiền đã được chi cho nhu cầu văn hóa?

5) Người công nhân đã tiết kiệm được bao nhiêu tiền?

Để kiểm tra, việc cộng các số tìm được trong 5 câu hỏi này sẽ rất hữu ích. Số tiền phải là 1.200 rúp. Tất cả thu nhập được coi là 100%, dễ dàng kiểm tra bằng cách cộng các số phần trăm được đưa ra trong báo cáo bài toán.

Chúng tôi đã giải quyết được ba vấn đề. Mặc dù thực tế là những vấn đề này giải quyết những vấn đề khác nhau (cung củi cho trường học, số lượng trẻ em ở các độ tuổi khác nhau, chi phí của người lao động), chúng đều được giải quyết theo cùng một cách. Điều này xảy ra vì trong mọi bài toán cần phải tìm vài phần trăm của các số đã cho.

§ 90. Chia phân số.

Khi nghiên cứu phép chia phân số, chúng ta sẽ xem xét các câu hỏi sau:

1. Chia một số nguyên cho một số nguyên.
2. Chia một phân số cho một số nguyên
3. Chia một số nguyên cho một phân số.
4. Chia một phân số cho một phân số.
5. Phép chia hỗn số.
6. Tìm một số từ phân số đã cho của nó.
7. Tìm một số theo phần trăm của nó.

Hãy xem xét chúng một cách tuần tự.

1. Chia một số nguyên cho một số nguyên.

Như đã chỉ ra trong phần số nguyên, phép chia là hành động bao gồm thực tế là, với tích của hai thừa số (cổ tức) và một trong các thừa số này (số chia), một thừa số khác được tìm thấy.

Chúng ta đã xem xét việc chia một số nguyên cho một số nguyên trong phần về số nguyên. Ở đó, chúng tôi gặp hai trường hợp chia: phép chia không có số dư hoặc “toàn bộ” (150: 10 = 15) và phép chia có số dư (100: 9 = 11 và 1 số dư). Do đó, chúng ta có thể nói rằng trong trường số nguyên, không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được phép chia chính xác vì số bị chia không phải lúc nào cũng là tích của số chia cho số nguyên. Sau khi giới thiệu phép nhân với một phân số, chúng ta có thể xem xét mọi trường hợp chia số nguyên có thể xảy ra (chỉ loại trừ phép chia cho số 0).

Ví dụ, chia 7 cho 12 có nghĩa là tìm một số có tích với 12 sẽ bằng 7. Số đó là phân số 7/12 vì 7/12 12 = 7. Một ví dụ khác: 14: 25 = 14/25, vì 14/25 25 = 14.

Vì vậy, để chia một số nguyên cho một số nguyên, bạn cần tạo một phân số có tử số bằng số bị chia và mẫu số bằng ước số.

2. Chia một phân số cho một số nguyên.

Chia phân số 6/7 cho 3. Theo định nghĩa phép chia ở trên, ở đây chúng ta có tích (6/7) và một trong các thừa số (3); cần phải tìm thừa số thứ hai mà khi nhân với 3 sẽ cho kết quả là 6/7. Rõ ràng, nó phải nhỏ hơn ba lần so với sản phẩm này. Điều này có nghĩa là nhiệm vụ đặt ra trước mắt chúng ta là giảm phân số 6/7 xuống 3 lần.

Chúng ta đã biết rằng việc rút gọn một phân số có thể được thực hiện bằng cách giảm tử số hoặc tăng mẫu số của nó. Vì vậy bạn có thể viết:

Trong trường hợp này tử số 6 chia hết cho 3 nên tử số phải giảm đi 3 lần.

Lấy một ví dụ khác: 5/8 chia cho 2. Ở đây tử số 5 không chia hết cho 2, nghĩa là mẫu số sẽ phải nhân với số này:

Dựa trên điều này, một quy tắc có thể được thực hiện: Để chia một phân số cho một số nguyên, bạn cần chia tử số của phân số đó cho số nguyên đó.(nếu có thể), để cùng mẫu số hoặc nhân mẫu số của phân số với số này, để lại cùng tử số.

3. Chia một số nguyên cho một phân số.

Giả sử cần chia 5 cho 1/2, tức là tìm một số mà sau khi nhân với 1/2 sẽ có kết quả là 5. Rõ ràng, số này phải lớn hơn 5, vì 1/2 là một phân số thích hợp và khi nhân một số thì tích của một phân số thích hợp phải nhỏ hơn tích được nhân. Để làm cho điều này rõ ràng hơn, hãy viết hành động của chúng ta như sau: 5: 1 / 2 = X , có nghĩa là x 1/2 = 5.

Chúng ta phải tìm một số như vậy X , nếu nhân với 1/2 sẽ bằng 5. Vì nhân một số nhất định với 1/2 có nghĩa là tìm được 1/2 của số này, nên do đó, 1/2 của số chưa biết X bằng 5 và toàn bộ số X gấp đôi, tức là 5 2 = 10.

Vậy 5: 1/2 = 5 2 = 10

Hãy kiểm tra:

Hãy xem một ví dụ khác. Giả sử bạn muốn chia 6 cho 2/3. Trước tiên, chúng ta hãy thử tìm kết quả mong muốn bằng cách sử dụng bản vẽ (Hình 19).

Hình 19

Vẽ đoạn AB bằng 6 đơn vị và chia mỗi đơn vị thành 3 phần bằng nhau. Trong mỗi đơn vị, ba phần ba (3/3) toàn bộ đoạn AB lớn hơn 6 lần, tức là đ. 18/3. Sử dụng dấu ngoặc nhỏ, chúng tôi kết nối 18 đoạn kết quả của 2; Sẽ chỉ có 9 phân đoạn. Điều này có nghĩa là phân số 2/3 được chứa trong 6 đơn vị 9 lần, hay nói cách khác, phân số 2/3 nhỏ hơn 9 lần so với 6 đơn vị nguyên. Kể từ đây,

Làm thế nào để có được kết quả này mà không cần bản vẽ chỉ sử dụng phép tính? Hãy lý luận như sau: chúng ta cần chia 6 cho 2/3, tức là chúng ta cần trả lời câu hỏi 2/3 được chứa trong 6 bao nhiêu lần. Trước tiên chúng ta hãy tìm hiểu: 1/3 được chứa trong bao nhiêu lần? Trong một đơn vị có 3 phần ba, trong 6 đơn vị có gấp 6 lần, tức là 18 phần ba; để tìm số này chúng ta phải nhân 6 với 3. Điều này có nghĩa là 1/3 được chứa trong b đơn vị 18 lần và 2/3 được chứa trong b đơn vị không phải là 18 lần mà là một nửa số lần, tức là 18: 2 = 9 Vì vậy, khi chia 6 cho 2/3 chúng ta đã làm như sau:

Từ đây ta rút ra quy tắc chia số nguyên cho phân số. Để chia một số nguyên cho một phân số, bạn cần nhân số nguyên này với mẫu số của phân số đã cho và lấy tích này làm tử số, chia nó cho tử số của phân số đã cho.

Hãy viết quy tắc bằng cách sử dụng các chữ cái:

Để làm cho quy tắc này hoàn toàn rõ ràng, cần nhớ rằng một phân số có thể được coi là thương số. Do đó, sẽ rất hữu ích khi so sánh quy tắc được tìm thấy với quy tắc chia một số cho thương, được nêu trong § 38. Xin lưu ý rằng công thức tương tự đã được lấy ở đó.

Khi chia có thể viết tắt, ví dụ:

4. Chia một phân số cho một phân số.

Giả sử chúng ta cần chia 3/4 cho 3/8. Số thu được từ phép chia có ý nghĩa gì? Nó sẽ trả lời câu hỏi phân số 3/8 có trong phân số 3/4 bao nhiêu lần. Để hiểu vấn đề này, chúng ta hãy vẽ một bản vẽ (Hình 20).

Chúng ta lấy đoạn AB, lấy làm một, chia thành 4 phần bằng nhau và đánh dấu 3 phần như vậy. Đoạn AC sẽ bằng 3/4 đoạn AB. Bây giờ chúng ta chia bốn đoạn thẳng ban đầu làm đôi, khi đó đoạn AB sẽ được chia thành 8 phần bằng nhau và mỗi phần như vậy sẽ bằng 1/8 đoạn AB. Chúng ta nối 3 đoạn như vậy bằng các cung thì mỗi đoạn AD và DC sẽ bằng 3/8 đoạn AB. Hình vẽ cho thấy đoạn bằng 3/8 nằm trong đoạn bằng 3/4 đúng 2 lần; Điều này có nghĩa là kết quả của phép chia có thể được viết như sau:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Hãy xem một ví dụ khác. Giả sử chúng ta cần chia 15/16 cho 3/32:

Chúng ta có thể lý luận như thế này: chúng ta cần tìm một số mà sau khi nhân với 3/32 sẽ có tích bằng 15/16. Hãy viết các phép tính như thế này:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 số chưa biết X là 16/15

1/32 của một số chưa biết X là ,

32/32 số X trang điểm .

Kể từ đây,

Do đó, để chia một phân số cho một phân số, bạn cần nhân tử số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai, rồi nhân mẫu số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và lấy tích thứ nhất làm tử số, và mẫu số thứ hai.

Hãy viết quy tắc bằng cách sử dụng các chữ cái:

Khi chia có thể viết tắt, ví dụ:

5. Phép chia hỗn số.

Khi chia hỗn số, trước tiên chúng phải được chuyển thành phân số không chính xác, sau đó phân số thu được phải được chia theo quy tắc chia phân số. Hãy xem một ví dụ:

Hãy chuyển đổi số hỗn hợp thành phân số không chính xác:

Bây giờ hãy chia:

Như vậy, để chia hỗn số, bạn cần chuyển chúng thành các phân số không chính xác rồi chia theo quy tắc chia phân số.

6. Tìm một số từ phân số đã cho của nó.

Trong số các bài toán phân số khác nhau, đôi khi có những bài trong đó cho trước giá trị của một phần nào đó của một số chưa biết và bạn cần tìm số này. Dạng bài toán này sẽ nghịch đảo với bài toán tìm phân số của một số cho trước; ở đó một số đã được cho và người ta phải tìm một phần nào đó của số này, ở đây một phần của một số đã được cho và người ta phải tìm chính số đó. Ý tưởng này sẽ trở nên rõ ràng hơn nếu chúng ta chuyển sang giải quyết loại vấn đề này.

Nhiệm vụ 1. Trong ngày đầu tiên, những người thợ lắp kính đã lắp kính 50 cửa sổ, chiếm 1/3 tổng số cửa sổ của ngôi nhà đã xây. Có bao nhiêu cửa sổ trong ngôi nhà này?

Giải pháp. Bài toán nói rằng 50 cửa sổ lắp kính chiếm 1/3 tổng số cửa sổ của ngôi nhà, nghĩa là tổng số cửa sổ gấp 3 lần, tức là.

Ngôi nhà có 150 cửa sổ.

Nhiệm vụ 2. Cửa hàng đã bán được 1.500 kg bột mì, bằng 3/8 tổng số bột mì mà cửa hàng có. Nguồn cung cấp bột mì ban đầu của cửa hàng là bao nhiêu?

Giải pháp. Từ điều kiện của bài toán có thể thấy rõ 1.500 kg bột mì bán ra chiếm 3/8 tổng lượng bột tồn kho; điều này có nghĩa là 1/8 số dự trữ này sẽ ít hơn 3 lần, tức là để tính nó, bạn cần giảm 1500 đi 3 lần:

1.500: 3 = 500 (đây là 1/8 số tiền dự trữ).

Rõ ràng, toàn bộ nguồn cung sẽ lớn hơn 8 lần. Kể từ đây,

500 8 = 4.000 (kg).

Lượng bột mì tồn kho ban đầu trong cửa hàng là 4.000 kg.

Từ việc xem xét vấn đề này, có thể rút ra quy tắc sau.

Để tìm một số từ một giá trị cho trước của phân số của nó, chỉ cần chia giá trị này cho tử số của phân số và nhân kết quả với mẫu số của phân số đó.

Chúng ta đã giải được hai bài toán tìm một số khi biết phân số của nó. Những vấn đề như vậy, đặc biệt rõ ràng ở vấn đề cuối cùng, được giải quyết bằng hai hành động: chia (khi tìm thấy một phần) và nhân (khi tìm thấy toàn bộ số).

Tuy nhiên, sau khi chúng ta đã học được phép chia phân số, các bài toán trên có thể được giải bằng một thao tác đó là: chia cho một phân số.

Ví dụ: tác vụ cuối cùng có thể được giải quyết bằng một hành động như sau:

Trong tương lai, chúng ta sẽ giải các bài toán tìm một số từ phân số của nó bằng một thao tác - phép chia.

7. Tìm một số theo phần trăm của nó.

Trong những bài toán này, bạn sẽ cần tìm một số biết một vài phần trăm của số đó.

Nhiệm vụ 1. Vào đầu năm nay, tôi nhận được 60 rúp từ ngân hàng tiết kiệm. thu nhập từ số tiền tôi gửi tiết kiệm một năm trước. Tôi đã gửi bao nhiêu tiền vào ngân hàng tiết kiệm? (Các quầy thu ngân mang lại cho người gửi tiền lợi nhuận 2% mỗi năm.)

Ý nghĩa của vấn đề là tôi gửi một số tiền nhất định vào ngân hàng tiết kiệm và ở đó trong một năm. Sau một năm, tôi nhận được 60 rúp từ cô ấy. thu nhập bằng 2/100 số tiền tôi gửi. Tôi đã bỏ vào bao nhiêu tiền?

Do đó, khi biết một phần số tiền này, được biểu thị bằng hai cách (bằng đồng rúp và phân số), chúng ta phải tìm ra toàn bộ số tiền vẫn chưa được biết. Đây là một bài toán thông thường khi tìm một số biết phân số của nó. Các bài toán sau được giải bằng phép chia:

Điều này có nghĩa là 3.000 rúp đã được gửi vào ngân hàng tiết kiệm.

Nhiệm vụ 2. Ngư dân hoàn thành kế hoạch tháng đạt 64% trong 2 tuần, thu hoạch được 512 tấn cá. Kế hoạch của họ là gì?

Từ điều kiện của vấn đề, có thể thấy các ngư dân đã hoàn thành được một phần kế hoạch. Phần này là 512 tấn, bằng 64% kế hoạch. Chúng tôi không biết theo kế hoạch cần chuẩn bị bao nhiêu tấn cá. Việc tìm ra con số này sẽ là lời giải cho bài toán.

Những vấn đề như vậy được giải quyết bằng cách chia:

Điều này có nghĩa là theo kế hoạch, cần phải chuẩn bị 800 tấn cá.

Nhiệm vụ 3. Tàu đi từ Riga đến Moscow. Khi vượt qua km thứ 276, một hành khách hỏi người soát vé đi ngang qua họ đã đi được bao nhiêu chặng đường. Người soát vé trả lời: “Chúng tôi đã đi được 30% toàn bộ hành trình”. Khoảng cách từ Riga tới Mát-xcơ-va là bao nhiêu?

Từ các điều kiện của vấn đề, rõ ràng 30% quãng đường từ Riga đến Moscow là 276 km. Chúng ta cần tìm toàn bộ khoảng cách giữa các thành phố này, tức là đối với phần này, hãy tìm toàn bộ:

§ 91. Số nghịch đảo. Thay thế phép chia bằng phép nhân.

Lấy phân số 2/3 thay tử số vào vị trí mẫu số ta được 3/2. Chúng ta đã có nghịch đảo của phân số này.

Để có được nghịch đảo của một phân số nhất định, bạn cần đặt tử số của nó thay cho mẫu số và mẫu số thay cho tử số. Bằng cách này, chúng ta có thể nhận được nghịch đảo của bất kỳ phân số nào. Ví dụ:

3/4, đảo ngược 4/3; 5/6, đảo ngược 6/5

Hai phân số có tính chất là tử số của số thứ nhất là mẫu số của số thứ hai, mẫu số của số thứ nhất là tử số của số thứ hai, được gọi là nghịch đảo lẫn nhau.

Bây giờ chúng ta hãy nghĩ xem phân số nào sẽ là nghịch đảo của 1/2. Rõ ràng, nó sẽ là 2/1, hoặc chỉ là 2. Bằng cách tìm phân số nghịch đảo của phân số đã cho, chúng ta thu được một số nguyên. Và trường hợp này không phải cá biệt; ngược lại, mọi phân số có tử số là 1 (một) thì nghịch đảo sẽ là số nguyên, ví dụ:

1/3, đảo ngược 3; 1/5, đảo ngược 5

Vì khi tìm phân số nghịch đảo, chúng ta cũng gặp số nguyên, nên trong phần tiếp theo chúng ta sẽ không nói về phân số nghịch đảo mà nói về số nghịch đảo.

Hãy tìm cách viết nghịch đảo của một số nguyên. Đối với phân số, điều này có thể được giải quyết một cách đơn giản: bạn cần đặt mẫu số vào vị trí của tử số. Theo cách tương tự, bạn có thể lấy số nghịch đảo của một số nguyên, vì bất kỳ số nguyên nào cũng có thể có mẫu số là 1. Điều này có nghĩa là số nghịch đảo của 7 sẽ là 1/7, vì 7 = 7/1; đối với số 10 thì nghịch đảo sẽ là 1/10, vì 10 = 10/1

Ý tưởng này có thể được diễn đạt khác nhau: nghịch đảo của một số đã cho có được bằng cách chia một cho một số đã cho. Tuyên bố này đúng không chỉ với số nguyên mà còn đúng với phân số. Trên thực tế, nếu chúng ta cần viết nghịch đảo của phân số 5/9, thì chúng ta có thể lấy 1 và chia cho 5/9, tức là

Bây giờ hãy chỉ ra một điều tài sản số đối ứng, sẽ hữu ích cho chúng tôi: tích của các số nghịch đảo bằng một. Trong thực tế:

Sử dụng tính chất này, chúng ta có thể tìm số nghịch đảo theo cách sau. Giả sử chúng ta cần tìm nghịch đảo của 8.

Hãy biểu thị nó bằng chữ cái X , thì 8 X = 1, do đó X = 1/8. Chúng ta hãy tìm một số khác nghịch đảo của 12/7 và biểu thị nó bằng chữ cái X , rồi 12/7 X = 1, do đó X = 1: 7/12 hoặc X = 12 / 7 .

Ở đây chúng tôi giới thiệu khái niệm số nghịch đảo nhằm bổ sung một chút thông tin về phép chia phân số.

Khi chia số 6 cho 3/5, chúng ta làm như sau:

Đặc biệt chú ý đến biểu thức và so sánh nó với biểu thức đã cho: .

Nếu chúng ta lấy biểu thức một cách riêng biệt, không có mối liên hệ với biểu thức trước đó, thì không thể giải được câu hỏi nó đến từ đâu: từ việc chia 6 cho 3/5 hoặc nhân 6 với 5/3. Trong cả hai trường hợp, điều tương tự cũng xảy ra. Vì thế chúng ta có thể nói rằng việc chia một số cho một số khác có thể được thay thế bằng cách nhân số bị chia với nghịch đảo của số chia.

Các ví dụ chúng tôi đưa ra dưới đây hoàn toàn xác nhận kết luận này.

VƯỢT QUA NHỮNG CÀO NÀY NÀY! 🙂

Nhân và chia phân số.

Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất “không mấy. »
Và dành cho những người “rất thích. ")

Hoạt động này thú vị hơn nhiều so với phép cộng và phép trừ! Bởi vì nó dễ dàng hơn. Xin nhắc lại, để nhân một phân số với một phân số, bạn cần nhân tử số (đây sẽ là tử số của kết quả) và mẫu số (đây sẽ là mẫu số). Đó là:

Mọi thứ đều cực kỳ đơn giản. Và xin đừng tìm kiếm một mẫu số chung! Ở đây không cần có anh ta...

Để chia một phân số cho một phân số, bạn cần đảo ngược thứ hai(điều này quan trọng!) phân số và nhân chúng, tức là:

Nếu bạn gặp phép nhân hoặc chia với số nguyên và phân số thì không sao. Giống như phép cộng, chúng ta tạo một phân số từ một số nguyên có mẫu số là 1 - và tiếp tục! Ví dụ:

Ở trường trung học, bạn thường phải giải các phân số ba tầng (thậm chí bốn tầng!). Ví dụ:

Làm thế nào tôi có thể làm cho phân số này trông đẹp mắt? Vâng, rất đơn giản! Sử dụng phép chia hai điểm:

Nhưng đừng quên thứ tự phân chia! Không giống như phép nhân, điều này rất quan trọng ở đây! Tất nhiên, chúng tôi sẽ không nhầm lẫn giữa 4:2 hoặc 2:4. Nhưng rất dễ mắc lỗi trong một đoạn ba câu chuyện. Xin lưu ý ví dụ:

Trong trường hợp đầu tiên (biểu thức bên trái):

Trong phần thứ hai (biểu thức bên phải):

Bạn có cảm thấy sự khác biệt? 4 và 1/9!

Điều gì quyết định thứ tự phân chia? Hoặc bằng dấu ngoặc hoặc (như ở đây) với độ dài của các đường ngang. Phát triển mắt của bạn. Và nếu không có dấu ngoặc hoặc dấu gạch ngang, như:

sau đó chia và nhân theo thứ tự từ trái sang phải!

Và một kỹ thuật rất đơn giản và quan trọng khác. Trong những hành động có độ, nó sẽ rất hữu ích cho bạn! Hãy chia một cho bất kỳ phân số nào, ví dụ: cho 15/13:

Cú sút đã bị đảo ngược! Và điều này luôn xảy ra. Khi chia 1 cho bất kỳ phân số nào cũng có kết quả bằng phân số đó, chỉ có điều ngược lại.

Đó là các phép tính với phân số. Sự việc khá đơn giản nhưng lại gây ra quá nhiều lỗi. Hãy tính đến những lời khuyên thiết thực và sẽ có ít lời khuyên hơn (sai lầm)!

1. Điều quan trọng nhất khi làm việc với biểu thức phân số là độ chính xác và sự chú ý! Đây không phải là những lời nói chung chung, không phải là những lời chúc tốt đẹp! Đây là một sự cần thiết cấp thiết! Thực hiện mọi phép tính trong Kỳ thi Thống nhất một cách đầy đủ, tập trung và rõ ràng. Thà viết thêm hai dòng trong bản nháp còn hơn là lộn xộn khi tính toán trong đầu.

2. Trong các ví dụ với các loại phân số khác nhau, chúng ta chuyển sang phân số thông thường.

3. Chúng tôi giảm tất cả các phân số cho đến khi chúng dừng lại.

4. Chúng tôi rút gọn các biểu thức phân số nhiều cấp thành các biểu thức thông thường bằng cách chia cho hai điểm (chúng tôi tuân theo thứ tự chia!).

Dưới đây là những nhiệm vụ mà bạn nhất định phải hoàn thành. Câu trả lời được đưa ra sau tất cả các nhiệm vụ. Sử dụng các tài liệu về chủ đề này và những lời khuyên thiết thực. Ước tính có bao nhiêu ví dụ bạn có thể giải đúng. Đúng ngay lần đầu tiên! Không có máy tính! Và rút ra kết luận đúng đắn.

Hãy nhớ - câu trả lời đúng là nhận được từ lần thứ hai (đặc biệt là lần thứ ba) không được tính! Cuộc sống khắc nghiệt là vậy.

Vì thế, giải quyết trong chế độ thi ! Nhân tiện, đây là sự chuẩn bị cho Kỳ thi Quốc gia Thống nhất. Chúng tôi giải quyết ví dụ, kiểm tra nó, giải quyết vấn đề tiếp theo. Chúng tôi đã quyết định mọi thứ - kiểm tra lại từ đầu đến cuối. Và chỉ Sau đó nhìn vào câu trả lời

Chúng tôi đang tìm kiếm câu trả lời phù hợp với bạn. Có thể nói, tôi cố tình viết chúng ra một cách lộn xộn để tránh bị cám dỗ. Đây là các câu trả lời, được phân tách bằng dấu chấm phẩy.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Bây giờ chúng ta rút ra kết luận. Nếu mọi việc suôn sẻ, tôi mừng cho bạn! Các phép tính cơ bản với phân số không phải là vấn đề của bạn! Bạn có thể làm những việc nghiêm túc hơn. Nếu không.

Vì vậy, bạn có một trong hai vấn đề. Hoặc cả hai cùng một lúc.) Thiếu kiến thức và (hoặc) thiếu chú ý. Nhưng. Cái này tan vấn đề.

Tất cả những ví dụ này (và hơn thế nữa!) được thảo luận trong Phần đặc biệt 555 “Phân số”. Với lời giải thích chi tiết về cái gì, tại sao và như thế nào. Phân tích này giúp ích rất nhiều cho những người còn thiếu kiến thức và kỹ năng!

Đúng, và có điều gì đó về vấn đề thứ hai.) Lời khuyên khá thiết thực, làm thế nào để trở nên chú ý hơn. Vâng, vâng! Lời khuyên có thể áp dụng mọi.

Ngoài kiến thức và sự chú ý, thành công đòi hỏi một tính tự động nhất định. Tôi có thể lấy nó ở đâu? Tôi nghe thấy một tiếng thở dài nặng nề... Vâng, chỉ trong thực tế, không ở đâu khác.

Bạn có thể vào trang web 321start.ru để đào tạo. Trong tùy chọn “Thử” có 10 ví dụ cho mọi người. Với xác minh ngay lập tức. Dành cho người dùng đã đăng ký - 34 ví dụ từ đơn giản đến nghiêm trọng. Đây chỉ là trong phân số.

Nếu bạn thích trang web này.

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Tại đây bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Và ở đây bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Quy tắc 1.

Để nhân một phân số với một số tự nhiên, bạn cần nhân tử số của nó với số đó và giữ nguyên mẫu số.

Quy tắc 2.

Để nhân một phân số với một phân số:

1. tìm tích các tử số và tích các mẫu số của các phân số này

2. Viết tích thứ nhất làm tử số, tích thứ hai làm mẫu số.

Quy tắc 3.

Để nhân các số hỗn hợp, bạn cần viết chúng dưới dạng phân số không chính xác, sau đó sử dụng quy tắc nhân phân số.

Quy tắc 4.

Để chia một phân số cho một phân số khác, bạn phải nhân số bị chia với nghịch đảo của số chia.

Ví dụ 1.

Tính toán

Ví dụ 2.

Tính toán

Ví dụ 3.

Tính toán

Ví dụ 4.

Tính toán

Toán học. Vật liệu khác

Nâng một số lên lũy thừa hợp lý. (

Nâng cao một số lên sức mạnh tự nhiên. (

Phương pháp khoảng tổng quát hóa để giải bất phương trình đại số (Tác giả A.V. Kolchanov)

Phương pháp thay thừa số khi giải bất phương trình đại số (Tác giả A.V. Kolchanov)

Dấu hiệu phân chia (Lungu Alena)

Tự kiểm tra chủ đề 'Nhân và chia các phân số thông thường'

Nhân phân số

Chúng ta sẽ xem xét phép nhân các phân số thông thường theo một số phương án khả thi.

Nhân một phân số chung với một phân số

Đây là trường hợp đơn giản nhất mà bạn cần sử dụng như sau quy tắc nhân phân số.

ĐẾN nhân phân số với phân số, cần thiết:

nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai rồi viết tích của chúng vào tử số của phân số mới;

nhân mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai và viết tích của chúng vào mẫu số của phân số mới;

Trước khi nhân tử số và mẫu số, hãy kiểm tra xem các phân số có thể rút gọn được hay không. Việc giảm phân số trong phép tính sẽ giúp việc tính toán của bạn dễ dàng hơn rất nhiều.

Nhân một phân số với một số tự nhiên

Để làm một phân số nhân với một số tự nhiên Bạn cần nhân tử số của phân số với số này và giữ nguyên mẫu số của phân số.

Nếu kết quả của phép nhân là một phân số không đúng thì đừng quên chuyển nó thành hỗn số, tức là đánh dấu toàn bộ phần đó.

Nhân hỗn số

Để nhân các số hỗn hợp, trước tiên bạn phải biến chúng thành các phân số không chính xác, sau đó nhân theo quy tắc nhân các phân số thông thường.

Một cách khác để nhân một phân số với một số tự nhiên

Đôi khi, khi thực hiện các phép tính, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng một phương pháp khác để nhân một phân số chung với một số.

Để nhân một phân số với một số tự nhiên, bạn cần chia mẫu số của phân số đó cho số đó và giữ nguyên tử số.

Như có thể thấy từ ví dụ, phiên bản quy tắc này sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng nếu mẫu số của phân số chia hết cho một số tự nhiên không có số dư.

Chia một phân số cho một số

Cách nhanh nhất để chia một phân số cho một số là gì? Hãy phân tích lý thuyết, rút ra kết luận và sử dụng các ví dụ để xem cách chia một phân số cho một số bằng cách sử dụng quy tắc ngắn mới.

Thông thường, chia một phân số cho một số tuân theo quy tắc chia phân số. Chúng ta nhân số thứ nhất (phân số) với nghịch đảo của số thứ hai. Vì số thứ hai là số nguyên nên nghịch đảo của nó là một phân số, tử số bằng 1 và mẫu số bằng số đã cho. Về mặt sơ đồ, việc chia một phân số cho một số tự nhiên trông như thế này:

Từ đó chúng tôi kết luận:

Để chia một phân số cho một số, bạn cần nhân mẫu số với số đó và giữ nguyên tử số. Quy tắc có thể được xây dựng ngắn gọn hơn:

Khi chia một phân số cho một số, số đó sẽ đi vào mẫu số.

Chia một phân số cho một số:

Để chia một phân số cho một số, ta viết lại tử số không thay đổi rồi nhân mẫu số với số đó. Chúng ta giảm 6 và 3 xuống 3.

Khi chia một phân số cho một số, ta viết lại tử số và nhân mẫu số với số đó. Chúng ta giảm 16 và 24 xuống 8.

Khi chia một phân số cho một số, số đó thuộc mẫu số nên ta giữ nguyên tử số và nhân mẫu số với ước số. Chúng ta giảm 21 và 35 đi 7.

Nhân và chia phân số

Để nhân hai phân số, bạn phải nhân tử số và mẫu số của chúng một cách riêng biệt. Số đầu tiên sẽ là tử số của phân số mới và số thứ hai sẽ là mẫu số.

Để chia hai phân số, bạn cần nhân phân số thứ nhất với phân số thứ hai “đảo ngược”.

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Theo định nghĩa ta có:

Nhân phân số với phần nguyên và phân số âm

Nếu phân số chứa phần nguyên, chúng phải được chuyển đổi thành phần không chính xác - và chỉ sau đó được nhân theo sơ đồ đã nêu ở trên.

Nếu có dấu trừ ở tử số, mẫu số hoặc ở phía trước nó thì có thể lấy ra khỏi phép nhân hoặc loại bỏ hoàn toàn theo nguyên tắc sau:

Cộng với trừ cho ra trừ;
Hai phủ định tạo nên một khẳng định.

Chúng tôi gạch bỏ các tiêu cực theo cặp cho đến khi chúng biến mất hoàn toàn. Trong những trường hợp cực đoan, một điểm trừ có thể tồn tại - điểm không có bạn đời;
Nếu không còn điểm trừ nào, thao tác đã hoàn tất - bạn có thể bắt đầu nhân. Nếu dấu trừ cuối cùng không bị gạch bỏ vì không có cặp nào cho nó thì chúng ta đưa nó ra ngoài giới hạn của phép nhân. Kết quả là một phân số âm.

Giảm phân số một cách nhanh chóng

Trong tất cả các ví dụ, số đã giảm và số còn lại được đánh dấu màu đỏ.

Bạn không thể làm điều đó!

Đơn giản là không có lý do nào khác để giảm phân số, vì vậy lời giải đúng cho bài toán trước sẽ như sau:

Như bạn có thể thấy, câu trả lời đúng hóa ra lại không đẹp lắm. Nói chung, hãy cẩn thận.

Chia phân số.

Chia một phân số cho một số tự nhiên.

Ví dụ về chia một phân số cho một số tự nhiên

Chia một số tự nhiên cho một phân số.

Ví dụ về chia một số tự nhiên cho một phân số

Phép chia phân số thông thường.

Ví dụ về chia phân số thông thường

Chia hỗn số.

chuyển đổi các phân số hỗn hợp thành các phân số không chính xác;
nhân phân số thứ nhất với nghịch đảo của phân số thứ hai;
giảm phần kết quả;
Nếu bạn nhận được một phân số không chính xác, hãy chuyển phân số không chính xác thành một phân số hỗn hợp.

Ví dụ về chia hỗn số

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

Mọi bình luận tục tĩu sẽ bị xóa và tác giả của chúng sẽ bị đưa vào danh sách đen!

Chào mừng đến với OnlineMSchool.
Tên tôi là Dovzhik Mikhail Viktorovich. Tôi là chủ sở hữu và tác giả của trang web này, tôi đã viết tất cả các tài liệu lý thuyết, đồng thời phát triển các bài tập và máy tính trực tuyến mà bạn có thể sử dụng để nghiên cứu toán học.

Phân số. Nhân và chia phân số.

Nhân một phân số chung với một phân số.

Để nhân các phân số thông thường, bạn cần nhân tử số với tử số (ta lấy tử số của tích) và mẫu số với mẫu số (ta lấy mẫu số của tích).

Công thức nhân phân số:

Trước khi bắt đầu nhân tử số và mẫu số, bạn cần kiểm tra xem phân số có thể rút gọn hay không. Nếu bạn có thể giảm phân số thì bạn sẽ dễ dàng thực hiện các phép tính tiếp theo hơn.

Hãy chú ý! Không cần phải tìm mẫu số chung ở đây!!

Chia một phân số chung cho một phân số.

Chia một phân số thông thường cho một phân số xảy ra như sau: bạn lật phân số thứ hai lại (tức là thay đổi tử số và mẫu số) và sau đó các phân số được nhân lên.

Công thức chia phân số thường:

Nhân một phân số với một số tự nhiên.

Hãy chú ý! Khi nhân một phân số với một số tự nhiên, tử số của phân số đó được nhân với số tự nhiên của chúng ta và mẫu số của phân số đó được giữ nguyên. Nếu kết quả của sản phẩm là một phần không đúng thì hãy nhớ đánh dấu toàn bộ phần đó, biến phần không đúng thành phần hỗn hợp.

Chia các phân số có số tự nhiên.

Nó không đáng sợ như nó có vẻ. Giống như phép cộng, chúng ta chuyển toàn bộ số thành phân số có mẫu số là 1. Ví dụ:

Nhân các phân số hỗn hợp.

Quy tắc nhân phân số (hỗn hợp):

chuyển đổi các phân số hỗn hợp thành các phân số không chính xác;
nhân tử số và mẫu số của phân số;
giảm phân số;
Nếu bạn nhận được một phân số không chính xác, thì chúng tôi chuyển phân số không chính xác thành một phân số hỗn hợp.

Hãy chú ý!Để nhân một phân số hỗn hợp với một phân số hỗn hợp khác, trước tiên bạn cần chuyển chúng sang dạng phân số không chính xác, sau đó nhân theo quy tắc nhân các phân số thông thường.

Cách thứ hai để nhân một phân số với một số tự nhiên.

Có thể thuận tiện hơn khi sử dụng phương pháp thứ hai để nhân một phân số chung với một số.

Hãy chú ý!Để nhân một phân số với một số tự nhiên, bạn phải chia mẫu số của phân số đó cho số đó và giữ nguyên tử số.

Từ ví dụ trên, rõ ràng tùy chọn này sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng mẫu số của một phân số được chia không có phần dư cho một số tự nhiên.

Phân số nhiều tầng.

Ở trường trung học, người ta thường gặp phân số ba tầng (hoặc nhiều hơn). Ví dụ:

Để đưa một phân số về dạng thông thường, hãy dùng phép chia cho 2 điểm:

Hãy chú ý! Khi chia phân số, thứ tự chia rất quan trọng. Hãy cẩn thận, ở đây rất dễ bị nhầm lẫn.

Xin lưu ý Ví dụ:

Khi chia một cho bất kỳ phân số nào, kết quả sẽ là phân số tương tự, chỉ đảo ngược:

Lời khuyên thực tế để nhân và chia phân số:

1. Điều quan trọng nhất khi làm việc với biểu thức phân số là tính chính xác và sự chú ý. Thực hiện mọi phép tính một cách cẩn thận và chính xác, tập trung và rõ ràng. Sẽ tốt hơn nếu bạn viết thêm vài dòng trong bản nháp còn hơn là chìm đắm trong những tính toán trong đầu.

2. Trong các bài tập có các loại phân số khác nhau, hãy chuyển sang loại phân số thông thường.

3. Chúng tôi giảm tất cả các phân số cho đến khi không thể giảm được nữa.

4. Chúng ta chuyển biểu thức phân số nhiều cấp thành biểu thức thông thường bằng phép chia cho 2 điểm.

Bài hát chưa được làm lại “Spring Tango” (Thời điểm đến - chim bay từ phương nam) - âm nhạc. Valery Milyaev Tôi nghe chưa đủ, tôi không hiểu, tôi không hiểu, theo nghĩa là tôi không đoán được, tôi đã viết tất cả các động từ không thể tách rời, tôi không biết về tiền tố nedo. Chuyện xảy ra là […]
Không tìm thấy trang Trong lần đọc cuối cùng lần thứ ba, một gói tài liệu của Chính phủ quy định việc thành lập các khu hành chính đặc biệt (SAR) đã được thông qua. Do rời khỏi Liên minh Châu Âu, Vương quốc Anh sẽ không được đưa vào khu vực VAT Châu Âu và […]
Ủy ban điều tra chung sẽ xuất hiện vào mùa thu Ủy ban điều tra chung sẽ xuất hiện vào mùa thu Cuộc điều tra của tất cả các cơ quan thực thi pháp luật sẽ được đưa về một mái nhà trong lần thử thứ tư Đã vào mùa thu năm 2014, theo Izvestia, Tổng thống Vladimir Putin [ …]
Bằng sáng chế cho một thuật toán Bằng sáng chế cho một thuật toán trông như thế nào Cách chuẩn bị bằng sáng chế cho một thuật toán Việc chuẩn bị các mô tả kỹ thuật về các phương pháp lưu trữ, xử lý và truyền tín hiệu và/hoặc dữ liệu cụ thể cho mục đích cấp bằng sáng chế thường không gây ra bất kỳ khó khăn đặc biệt nào, và […]
ĐIỀU QUAN TRỌNG CẦN BIẾT VỀ DỰ LUẬT MỚI VỀ LƯƠNG TRƯỞNG Ngày 12 tháng 12 năm 1993 Hiến pháp Liên bang Nga (có tính đến những sửa đổi của Luật Liên bang Nga về sửa đổi Hiến pháp Liên bang Nga ngày 30 tháng 12 năm 2008 N 6- FKZ, ngày 30 tháng 12 năm 2008 N 7-FKZ, […]
Những câu chuyện hài hước về lương hưu của một người phụ nữ dành cho người hùng thời đó, đàn ông dành cho người hùng thời đó, đàn ông - đồng ca cho người anh hùng thời đó, phụ nữ - sự cống hiến cho những người về hưu, phụ nữ, các cuộc thi dành cho người về hưu sẽ rất thú vị. : Các bạn thân mến! Chỉ một lát thôi! Cảm giác! Chỉ một […]