Bản thân các phương trình với phân số không khó và rất thú vị. Chúng ta hãy xem xét các loại phương trình phân số và cách giải chúng.
Cách giải phương trình có phân số - x ở tử số
Nếu một phương trình phân số được đưa ra, trong đó ẩn số nằm ở tử số, thì lời giải không yêu cầu các điều kiện bổ sung và được giải mà không gặp rắc rối không cần thiết. Dạng tổng quát của phương trình này là x/a + b = c, trong đó x là ẩn số, a, b và c là các số thường.
Tìm x: x/5 + 10 = 70.
Để giải phương trình, bạn cần loại bỏ phân số. Nhân mỗi số hạng trong phương trình với 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x và 5 bị hủy, 10 và 70 nhân với 5 ta được: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.
Tìm x: x/5 + x/10 = 90.
Ví dụ này là phiên bản phức tạp hơn một chút so với ví dụ đầu tiên. Có hai giải pháp khả thi ở đây.
- Cách 1: Loại bỏ phân số bằng cách nhân tất cả các số hạng của phương trình với mẫu số lớn hơn, tức là với 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
- Cách 2: Cộng vế trái của phương trình. x/5 + x/10 = 90. Mẫu số chung là 10. Chia 10 cho 5, nhân với x, ta được 2x. Chia 10 cho 10, nhân với x, ta được x: 2x+x/10 = 90. Do đó 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.
Chúng ta thường gặp các phương trình phân số trong đó x nằm ở hai phía đối diện của dấu bằng. Trong những tình huống như vậy, cần phải di chuyển tất cả các phân số có X sang một bên và các số sang bên kia.
- Tìm x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
- Di chuyển 2x/5 sang phải với dấu ngược lại: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- Chúng ta giảm 5x/5 và được: x = 130.
Cách giải phương trình có phân số - x ở mẫu số
Loại phương trình phân số này yêu cầu viết thêm các điều kiện. Việc chỉ định các điều kiện này là một phần bắt buộc và không thể thiếu của một quyết định đúng đắn. Nếu không thêm chúng, bạn sẽ gặp rủi ro vì câu trả lời (ngay cả khi nó đúng) có thể không được tính.
Dạng tổng quát của phương trình phân số, trong đó x nằm ở mẫu số, là: a/x + b = c, trong đó x là ẩn số, a, b, c là các số thường. Xin lưu ý rằng x có thể không phải là số bất kỳ. Ví dụ: x không thể bằng 0 vì nó không thể chia cho 0. Đây chính xác là điều kiện bổ sung mà chúng ta phải xác định. Đây được gọi là phạm vi giá trị cho phép, viết tắt là ODZ.
Tìm x: 15/x + 18 = 21.
Chúng ta viết ngay ODZ cho x: x ≠ 0. Bây giờ ODZ đã được chỉ định, chúng ta giải phương trình theo sơ đồ chuẩn, loại bỏ các phân số. Nhân tất cả các số hạng của phương trình với x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
Thường có các phương trình trong đó mẫu số không chỉ chứa x mà còn chứa một số phép toán khác với nó, chẳng hạn như phép cộng hoặc phép trừ.
Tìm x: 15/(x-3) + 18 = 21.
Chúng ta đã biết rằng mẫu số không thể bằng 0, nghĩa là x-3 ≠ 0. Chúng ta di chuyển -3 sang vế phải, đổi dấu “-” thành “+” và chúng ta nhận được x ≠ 3. ODZ là được chỉ ra.
Chúng ta giải phương trình, nhân mọi thứ với x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.
Di chuyển dấu X sang phải, số sang trái: 24 = 3x => x = 8.
Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.
Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân
Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.
Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.
Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.
Chúng tôi thu thập những thông tin cá nhân nào:
- Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email, v.v.
Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:
- Thông tin cá nhân chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo cũng như các sự kiện khác và sự kiện sắp tới.
- Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
- Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất về dịch vụ của chúng tôi.
- Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.
Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba
Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.
Ngoại lệ:
- Nếu cần thiết - theo luật pháp, thủ tục tư pháp, thủ tục tố tụng và/hoặc trên cơ sở yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
- Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.
Bảo vệ thông tin cá nhân
Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.
Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty
Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.
Hướng dẫn
Tất nhiên, có lẽ điểm rõ ràng nhất ở đây là. Phân số số không gây nguy hiểm (các phương trình phân số, trong đó tất cả các mẫu số chỉ chứa số, nhìn chung sẽ là tuyến tính), nhưng nếu có một biến trong mẫu số thì điều này phải được tính đến và ghi lại. Thứ nhất, đó là x, biến mẫu số thành 0, không thể được và nói chung cần nêu riêng một thực tế là x không thể bằng số này. Ngay cả khi bạn thành công khi thay thế vào tử số, mọi thứ đều hội tụ một cách hoàn hảo và thỏa mãn các điều kiện. Thứ hai, chúng ta không thể nhân hai vế của phương trình với , nó bằng 0.
Sau đó, phương trình như vậy rút gọn thành việc di chuyển tất cả các số hạng của nó sang bên trái sao cho số 0 vẫn ở bên phải.
Cần phải đưa tất cả các số hạng về một mẫu số chung, nhân các tử số với các biểu thức còn thiếu khi cần thiết.
Tiếp theo, chúng ta giải phương trình thông thường được viết ở tử số. Chúng ta có thể loại bỏ các thừa số chung ra khỏi ngoặc, sử dụng phép nhân viết tắt, đưa các thừa số tương tự, tính nghiệm của phương trình bậc hai thông qua phân biệt, v.v.
Kết quả phải là một phép phân tích nhân tử dưới dạng tích của các dấu ngoặc (x-(căn bậc i)). Điều này cũng có thể bao gồm các đa thức không có nghiệm, ví dụ, một tam thức bậc hai có phân biệt nhỏ hơn 0 (tất nhiên, nếu vấn đề chỉ liên quan đến nghiệm thực, như trường hợp thường gặp nhất).
Bắt buộc phải phân tích mẫu số và tìm các dấu ngoặc đơn đã có trong tử số. Nếu mẫu số chứa các biểu thức như (x-(số)), thì tốt hơn là không nên nhân trực tiếp các dấu ngoặc đơn trong đó khi rút gọn về mẫu số chung mà hãy để chúng là tích của các biểu thức đơn giản ban đầu.
Dấu ngoặc giống nhau ở tử số và mẫu số có thể được rút ngắn bằng cách viết ra trước tiên các điều kiện trên x như đã đề cập ở trên.
Câu trả lời được viết trong dấu ngoặc nhọn, dưới dạng một tập hợp các giá trị x hoặc đơn giản dưới dạng liệt kê: x1=..., x2=..., v.v.
Nguồn:
- phương trình hữu tỉ phân số
Điều mà bạn không thể thiếu trong vật lý, toán học, hóa học. Ít nhất. Hãy tìm hiểu những điều cơ bản để giải quyết chúng.
Hướng dẫn
Cách phân loại tổng quát và đơn giản nhất có thể được chia theo số lượng biến mà chúng chứa và mức độ của các biến này.
Giải phương trình với tất cả các nghiệm của nó hoặc chứng minh rằng không có nghiệm nào.
Bất kỳ phương trình nào cũng không có nhiều hơn nghiệm P, trong đó P là giá trị lớn nhất của một phương trình đã cho.
Nhưng một số gốc rễ này có thể trùng khớp. Vì vậy, ví dụ, phương trình x^2+2*x+1=0, trong đó ^ là biểu tượng cho lũy thừa, được gấp thành bình phương của biểu thức (x+1), nghĩa là thành tích của hai số giống nhau dấu ngoặc, mỗi dấu ngoặc cho x=- 1 làm nghiệm.
Nếu chỉ có một ẩn số trong một phương trình, điều này có nghĩa là bạn sẽ có thể tìm ra nghiệm của nó một cách rõ ràng (thực hoặc phức).
Để làm điều này, rất có thể bạn sẽ cần nhiều phép biến đổi khác nhau: phép nhân viết tắt, tính phân biệt và nghiệm của phương trình bậc hai, chuyển các số hạng từ phần này sang phần khác, rút gọn về mẫu số chung, nhân cả hai phần của phương trình với cùng một biểu thức, bằng một hình vuông, v.v.
Các phép biến đổi không ảnh hưởng đến nghiệm của phương trình là giống hệt nhau. Chúng được sử dụng để đơn giản hóa quá trình giải phương trình.
Bạn cũng có thể sử dụng phương pháp đồ họa thay vì phương pháp phân tích truyền thống và viết phương trình này dưới dạng, sau đó tiến hành nghiên cứu.
Nếu có nhiều hơn một ẩn số trong một phương trình, thì bạn sẽ chỉ có thể biểu diễn một trong số chúng theo phương trình kia, từ đó đưa ra một tập hợp nghiệm. Ví dụ, đây là các phương trình có tham số trong đó ẩn số x và tham số a. Giải một phương trình tham số có nghĩa là mọi a biểu diễn x theo a, nghĩa là xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra.
Nếu phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của ẩn số (xem hình), xin chúc mừng, đây là một phương trình vi phân và bạn không thể làm được nếu không có toán học cao hơn).
Nguồn:
- Chuyển đổi nhận dạng
Để giải quyết vấn đề với ở dạng phân số, bạn cần học cách làm số học với chúng. Chúng có thể là số thập phân, nhưng hầu hết các phân số tự nhiên có tử số và mẫu số đều được sử dụng. Chỉ sau đó, bạn mới có thể chuyển sang giải các bài toán với số lượng phân số.
Bạn sẽ cần
- - máy tính;
- - Kiến thức về tính chất của phân số;
- - Khả năng thực hiện các phép tính với phân số.
Hướng dẫn
Phân số là ký hiệu để chia một số cho một số khác. Thường thì việc này không thể thực hiện được hoàn toàn, đó là lý do vì sao hành động này bị bỏ dở. Số chia hết (xuất hiện ở trên hoặc trước dấu phân số) được gọi là tử số và số thứ hai (ở dưới hoặc sau dấu phân số) được gọi là mẫu số. Nếu tử số lớn hơn mẫu số thì phân số đó được gọi là phân số không chính xác và có thể tách toàn bộ phần ra khỏi nó. Nếu tử số nhỏ hơn mẫu số thì phân số đó được gọi là phân số đúng và phần nguyên của nó bằng 0.
Nhiệm vụđược chia thành nhiều loại. Xác định nhiệm vụ thuộc về ai trong số họ. Tùy chọn đơn giản nhất là tìm phân số của một số được biểu thị dưới dạng phân số. Để giải quyết vấn đề này, chỉ cần nhân số này với một phân số. Ví dụ, 8 tấn khoai tây đã được giao. Trong tuần đầu tiên, 3/4 tổng số đã được bán. Hỏi còn lại bao nhiêu củ khoai tây? Để giải bài toán này, hãy nhân số 8 với 3/4. Hóa ra 8∙3/4=6 t.
Nếu bạn cần tìm một số theo phần của nó, hãy nhân phần đã biết của số đó với phân số nghịch đảo của phân số cho biết tỉ lệ của phần này trong số đó. Chẳng hạn, 8 người trong số họ chiếm 1/3 tổng số sinh viên. Có bao nhiêu trong? Vì 8 người là phần chiếm 1/3 tổng số nên tìm phân số nghịch đảo bằng 3/1 hoặc chỉ 3. Khi đó, được số học sinh của lớp là 8∙3=24 học sinh.
Khi bạn cần tìm phần nào của một số so với một số khác, hãy chia số đại diện cho phần đó cho số nguyên. Ví dụ: nếu quãng đường là 300 km và ô tô đã đi được 200 km thì quãng đường này sẽ là bao nhiêu? Chia một phần của đường dẫn 200 cho đường dẫn đầy đủ 300, sau khi giảm phân số bạn sẽ nhận được kết quả. 200/300=2/3.
Để tìm một phân số chưa biết của một số khi có một phân số đã biết, hãy lấy toàn bộ số đó làm đơn vị quy ước và trừ đi phân số đã biết khỏi nó. Ví dụ, nếu 4/7 bài học đã trôi qua thì liệu còn thời gian không? Lấy toàn bộ bài học làm đơn vị và trừ đi 4/7. Nhận 1-4/7=7/7-4/7=3/7.
Các phương trình chứa một biến ở mẫu số có thể được giải theo hai cách:
Quy đổi phân số về mẫu số chung
Sử dụng tính chất cơ bản của tỷ lệ
Bất kể phương pháp đã chọn, sau khi tìm ra nghiệm của phương trình, cần phải chọn từ các giá trị hợp lệ tìm được, tức là những giá trị không biến mẫu số thành $0$.
1 chiều. Quy đổi phân số về mẫu số chung.
Ví dụ 1
$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$
Giải pháp:
1. Chuyển phân số từ vế phải sang trái
\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]
Để thực hiện điều này một cách chính xác, hãy nhớ rằng khi di chuyển các phần tử sang phần khác của phương trình, dấu ở phía trước biểu thức sẽ thay đổi ngược lại. Điều này có nghĩa là nếu có dấu “+” ở phía trước phân số ở bên phải thì sẽ có dấu “-” ở phía trước nó ở bên trái. phân số.
2. Bây giờ lưu ý rằng các phân số có mẫu số khác nhau, nghĩa là để tạo nên hiệu thì cần phải đưa các phân số về mẫu số chung. Mẫu số chung sẽ là tích của các đa thức có trong mẫu số của các phân số ban đầu: $(2x-1)(x+3)$
Để có được biểu thức giống hệt nhau, tử số và mẫu số của phân số thứ nhất phải được nhân với đa thức $(x+3)$ và phân số thứ hai với đa thức $(2x-1)$.
\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]
Hãy thực hiện một phép biến đổi trong tử số của phân số thứ nhất - nhân các đa thức. Hãy nhớ rằng để làm điều này bạn cần nhân số hạng đầu tiên của số hạng đầu tiên đa thức nhân với từng số hạng của đa thức thứ hai, sau đó nhân số hạng thứ hai của đa thức thứ nhất với mỗi số hạng của đa thức thứ hai rồi cộng kết quả
\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]
Hãy để chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong biểu thức kết quả
\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]
Hãy thực hiện một phép biến đổi tương tự trong tử số của phân số thứ hai - nhân đa thức
$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$
Khi đó phương trình sẽ có dạng:
\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]
Bây giờ các phân số có cùng mẫu số, nghĩa là bạn có thể trừ. Nhắc lại rằng khi trừ tử số của phân số thứ nhất với các phân số có cùng mẫu số thì phải trừ tử số của phân số thứ hai, giữ nguyên mẫu số
\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]
Hãy chuyển đổi biểu thức thành tử số. Để mở dấu ngoặc đứng trước dấu “-”, bạn cần thay đổi tất cả các dấu đứng trước các thuật ngữ trong ngoặc thành ngược lại
\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]
Hãy trình bày các thuật ngữ tương tự
$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $
Khi đó phân số sẽ có dạng
\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]
3. Một phân số bằng $0$ nếu tử số của nó bằng 0. Do đó, chúng ta coi tử số của phân số này là $0$.
\[(\rm 20x+4=0)\]
Hãy giải phương trình tuyến tính:
4. Hãy lấy mẫu rễ. Điều này có nghĩa là cần phải kiểm tra xem mẫu số của các phân số ban đầu có chuyển sang $0$ khi nghiệm được tìm thấy hay không.
Chúng ta hãy đặt điều kiện là các mẫu số không bằng $0$
x$\ne 0,5$ x$\ne -3$
Điều này có nghĩa là tất cả các giá trị biến đều được chấp nhận ngoại trừ $-3$ và $0,5$.
Căn nguyên mà chúng tôi tìm thấy là một giá trị có thể chấp nhận được, có nghĩa là nó có thể được coi là nghiệm của phương trình một cách an toàn. Nếu gốc tìm được không phải là giá trị hợp lệ thì gốc đó sẽ không liên quan và tất nhiên sẽ không được đưa vào câu trả lời.
Trả lời:$-0,2.$
Bây giờ chúng ta có thể tạo một thuật toán để giải phương trình có chứa một biến ở mẫu số
Thuật toán giải phương trình chứa biến ở mẫu số
Di chuyển tất cả các phần tử từ vế phải của phương trình sang trái. Để thu được phương trình giống nhau, cần đổi tất cả các dấu đứng trước các biểu thức ở vế phải sang ngược lại
Nếu ở phía bên trái, chúng ta nhận được một biểu thức có mẫu số khác nhau, thì chúng ta rút gọn chúng thành một biểu thức chung bằng cách sử dụng thuộc tính cơ bản của một phân số. Thực hiện các phép biến đổi bằng cách sử dụng các phép biến đổi nhận dạng và thu được phân số cuối cùng bằng $0$.
Đánh đồng tử số với $0$ và tìm nghiệm của phương trình thu được.
Hãy lấy mẫu rễ, tức là. tìm giá trị hợp lệ của các biến không tạo ra mẫu số $0$.
Phương pháp 2. Chúng ta sử dụng tính chất cơ bản của tỷ lệ
Đặc tính chính của tỷ lệ là tích của các số hạng cực trị của tỷ lệ bằng tích của các số hạng ở giữa.
Ví dụ 2
Chúng tôi sử dụng tính chất này để giải quyết nhiệm vụ này
\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]
1. Hãy tìm và lập phương trình tích của các số hạng cực trị và trung bình của tỉ số.
$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$
\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]
Giải phương trình thu được ta sẽ tìm được nghiệm nguyên của
2. Hãy tìm các giá trị được chấp nhận của biến.
Từ giải pháp trước đó (phương pháp 1), chúng tôi đã nhận thấy rằng mọi giá trị đều được chấp nhận ngoại trừ $-3$ và $0,5$.
Sau đó, sau khi xác định rằng gốc được tìm thấy là một giá trị hợp lệ, chúng tôi phát hiện ra rằng $-0,2$ sẽ là gốc.