Công thức cho các tính chất của một căn số học và tên của chúng. Tính chất của rễ: công thức, bằng chứng, ví dụ

Bài học và trình bày về chủ đề:
"Tính chất của căn bậc hai. Công thức. Ví dụ về cách giải, bài toán có đáp án"

Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn. Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.

Dụng cụ hỗ trợ giáo dục và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral dành cho lớp 8
Sách giáo khoa tương tác “Hình học trong 10 phút” lớp 8
Tổ hợp giáo dục "1C: Trường học. Hình học, lớp 8"

Tính chất của căn bậc hai

Chúng ta tiếp tục nghiên cứu căn bậc hai. Hôm nay chúng ta sẽ xem xét các tính chất cơ bản của rễ. Tất cả các thuộc tính cơ bản đều trực quan và nhất quán với tất cả các thao tác chúng ta đã thực hiện trước đây.

Thuộc tính 1. Căn bậc hai của tích hai số không âm bằng tích căn bậc hai của các số sau: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Đó là thông lệ để chứng minh bất kỳ tính chất nào, hãy làm điều đó.
Đặt $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Sau đó, chúng ta cần chứng minh rằng $x=y*z$.
Hãy bình phương mỗi biểu thức.
Nếu $\sqrt(a*b)=x$, thì $a*b=x^2$.
Nếu $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, sau đó bình phương cả hai biểu thức, chúng ta nhận được: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, nghĩa là $x^2=(y*z)^2$. Nếu bình phương của hai số không âm bằng nhau thì bản thân các số đó cũng bằng nhau, đó là điều cần chứng minh.

Từ thuộc tính của chúng tôi, ví dụ: $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Lưu ý 1. Tính chất này cũng đúng trong trường hợp có nhiều hơn hai thừa số không âm dưới gốc.
Tài sản 2. Nếu $a ≥0$ và $b>0$, thì đẳng thức sau giữ nguyên: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Tức là căn của thương bằng thương của căn.
Bằng chứng.
Hãy sử dụng bảng và chứng minh ngắn gọn tính chất của chúng ta.

Ví dụ về việc sử dụng các tính chất của căn bậc hai

Ví dụ 1.
Tính toán: $\sqrt(81*25*121)$.

Giải pháp.
Tất nhiên, chúng ta có thể lấy một máy tính, nhân tất cả các số dưới căn bậc hai và thực hiện thao tác trích căn bậc hai. Và nếu bạn không có máy tính trong tay thì bạn nên làm gì?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=$495.
Đáp số: 495.

Ví dụ 2. Tính: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Giải pháp.
Hãy biểu thị số căn dưới dạng phân số không chính xác: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Hãy sử dụng thuộc tính 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 đô la.
Trả lời: 3.4.

Ví dụ 3.
Tính toán: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Giải pháp.
Chúng ta có thể đánh giá biểu thức của mình một cách trực tiếp nhưng nó hầu như luôn có thể được đơn giản hóa. Hãy thử làm điều này.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Vì vậy, $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Trả lời: 32.

Các bạn lưu ý rằng không có công thức nào cho phép tính cộng và trừ các biểu thức căn và các biểu thức trình bày dưới đây là không chính xác.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Ví dụ 4.
Tính: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Giải pháp.
Các thuộc tính được trình bày ở trên hoạt động theo cả thứ tự từ trái sang phải và theo thứ tự ngược lại, đó là:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Sử dụng điều này, hãy giải quyết ví dụ của chúng tôi.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Đáp án: a) 16; b) 2.

Tài sản 3. Nếu $а ≥0$ và n là số tự nhiên thì đẳng thức có giá trị: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Ví dụ. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$, v.v.

Ví dụ 5.
Tính toán: $\sqrt(129600)$.

Giải pháp.
Con số đưa ra cho chúng ta khá lớn, hãy chia nó thành thừa số nguyên tố.
Chúng tôi đã nhận được: $129600=5^2*2^6*3^4$ hoặc $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=$360.
Trả lời: 360.

Vấn đề cần giải quyết độc lập

1. Tính toán: $\sqrt(144*36*64)$.
2. Tính: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Tính: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Tính toán:
a) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
b) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

Tính chất của căn bậc hai

Cho đến nay chúng ta đã thực hiện được năm phép tính số học trên các số: cộng, trừ, phép nhân, phép chia và lũy thừa, cũng như trong tính toán, nhiều tính chất khác nhau của các phép toán này đã được sử dụng tích cực, ví dụ a + b = b + a, an-bn = (ab)n, v.v.

Chương này giới thiệu một phép toán mới - lấy căn bậc hai của một số không âm. Để sử dụng thành công, bạn cần làm quen với các thuộc tính của thao tác này, điều mà chúng ta sẽ thực hiện trong phần này.

Bằng chứng. Hãy giới thiệu ký hiệu sau: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Equality" width="120" height="25 id=">!}.

Đây chính xác là cách chúng ta sẽ xây dựng định lý tiếp theo.

(Một công thức ngắn gọn thuận tiện hơn khi sử dụng trong thực tế: căn của một phân số bằng phân số của các căn, hoặc căn của thương bằng thương của các căn.)

Lần này chúng tôi sẽ chỉ đưa ra một bản tóm tắt ngắn gọn về chứng minh, và bạn hãy cố gắng đưa ra những nhận xét thích hợp tương tự như những nhận xét đã hình thành nên bản chất của chứng minh Định lý 1.

Lưu ý 3. Tất nhiên, ví dụ này có thể được giải theo cách khác, đặc biệt nếu bạn có máy tính vi mô trong tay: nhân các số 36, 64, 9, sau đó lấy căn bậc hai của sản phẩm thu được. Tuy nhiên, bạn sẽ đồng ý rằng giải pháp được đề xuất ở trên có vẻ mang tính văn hóa hơn.

Lưu ý 4. Trong phương pháp đầu tiên, chúng tôi đã thực hiện các phép tính “trực tiếp”. Cách thứ hai thanh lịch hơn:
chúng tôi đã nộp đơn công thức a2 - b2 = (a - b) (a + b) và sử dụng tính chất căn bậc hai.

Lưu ý 5. Một số “cái đầu nóng” đôi khi đưa ra “giải pháp” này cho ví dụ 3:

Tất nhiên, điều này không đúng: bạn thấy đấy - kết quả không giống như trong ví dụ 3. Thực tế là không có thuộc tính nào https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Task" width="148" height="26 id=">!} Chỉ có các tính chất liên quan đến phép nhân và chia căn bậc hai. Hãy cẩn thận và thận trọng, đừng mơ tưởng.

Để kết thúc phần này, chúng ta hãy lưu ý thêm một thuộc tính khá đơn giản nhưng đồng thời quan trọng:
nếu a > 0 và n - số tự nhiên, Cái đó

Chuyển đổi biểu thức chứa phép tính căn bậc hai

Cho đến nay chúng ta mới chỉ thực hiện các phép biến đổi biểu thức hợp lý, sử dụng các quy tắc thực hiện các phép tính đa thức và phân số đại số, các công thức nhân rút gọn, v.v. Trong chương này, chúng tôi đã giới thiệu một phép toán mới - phép tính trích căn bậc hai; chúng tôi đã thiết lập điều đó

trong đó, nhớ lại, a, b là các số không âm.

Sử dụng những thứ này công thức, bạn có thể thực hiện nhiều phép biến đổi khác nhau trên các biểu thức có chứa phép toán căn bậc hai. Hãy xem xét một số ví dụ và trong tất cả các ví dụ, chúng ta sẽ giả định rằng các biến chỉ nhận các giá trị không âm.

Ví dụ 3. Nhập số nhân theo dấu căn bậc hai:

Ví dụ 6. Rút gọn biểu thức Giải. Hãy thực hiện các phép biến đổi tuần tự:

Công thức gốc. Tính chất của căn bậc hai.

Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)

Ở bài học trước chúng ta đã biết căn bậc hai là gì. Đã đến lúc tìm ra cái nào tồn tại công thức cho rễ cái gì là tính chất của rễ, và những gì có thể được thực hiện với tất cả điều này.

Công thức của căn, tính chất của căn và quy tắc làm việc với căn- về cơ bản thì điều này giống nhau. Đáng ngạc nhiên là có rất ít công thức tính căn bậc hai. Điều đó chắc chắn làm tôi hạnh phúc! Hay nói đúng hơn, bạn có thể viết rất nhiều công thức khác nhau, nhưng để làm việc thực tế và tự tin với gốc thì chỉ cần ba công thức là đủ. Mọi thứ khác đều bắt nguồn từ ba điều này. Mặc dù nhiều người nhầm lẫn về ba công thức gốc, vâng...

Hãy bắt đầu với cái đơn giản nhất. Đây là:

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Sự thật 1.
$\bullet$ Hãy lấy một số không âm $a$ (nghĩa là $a\geqslant 0$ ). Sau đó (số học) căn bậc hai từ số $a$ được gọi là số không âm $b$ , khi bình phương chúng ta nhận được số $a$ : \[\sqrt a=b\quad \text(giống như )\quad a=b^2\] Từ định nghĩa suy ra rằng $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. Những hạn chế này là điều kiện quan trọng cho sự tồn tại của căn bậc hai và cần được ghi nhớ!
Hãy nhớ lại rằng bất kỳ số nào khi bình phương đều cho kết quả không âm. Tức là, $100^2=10000\geqslant 0$ và $(-100)^2=10000\geqslant 0$ .
$\bullet$ $\sqrt(25)$ bằng bao nhiêu? Chúng tôi biết rằng $5^2=25$ và $(-5)^2=25$ . Vì theo định nghĩa, chúng ta phải tìm một số không âm, nên $-5$ không phù hợp, do đó, $\sqrt(25)=5$ (vì $25=5^2$ ).
Việc tìm giá trị của $\sqrt a$ được gọi là lấy căn bậc hai của số $a$ và số $a$ được gọi là biểu thức căn.
$\bullet$ Dựa trên định nghĩa, biểu thức $\sqrt(-25)$, $\sqrt(-4)$, v.v. không có ý nghĩa.

Sự thật 2.
Để tính toán nhanh, sẽ rất hữu ích khi tìm hiểu bảng bình phương các số tự nhiên từ $1$ đến $20$ : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Sự thật 3.
Bạn có thể thực hiện những phép toán nào với căn bậc hai?
$\viên đạn$ Tổng hoặc hiệu của căn bậc hai KHÔNG BẰNG với căn bậc hai của tổng hoặc hiệu, nghĩa là \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Vì vậy, nếu bạn cần tính toán, ví dụ $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ , thì ban đầu bạn phải tìm các giá trị của $\sqrt(25)$ và $\ sqrt(49)\ ) rồi gấp chúng lại. Kể từ đây, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Nếu không thể tìm thấy các giá trị \(\sqrt a$ hoặc $\sqrt b$ khi thêm $\sqrt a+\sqrt b$, thì biểu thức như vậy sẽ không được chuyển đổi thêm và vẫn giữ nguyên như cũ. Ví dụ: trong tổng $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ chúng ta có thể tìm thấy $\sqrt(49)$ là $7$ , nhưng $\sqrt 2$ không thể được chuyển đổi thành dù sao đi nữa, đó là lý do tại sao $\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. Thật không may, biểu thức này không thể đơn giản hóa hơn nữa$\bullet$ Tích/thương của căn bậc hai bằng căn bậc hai của tích/thương, tức là \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (miễn là cả hai vế của sự bình đẳng đều có ý nghĩa)
Ví dụ: $\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40$.
$\bullet$ Bằng cách sử dụng các thuộc tính này, thật thuận tiện để tìm căn bậc hai của số lớn bằng cách phân tích chúng.
Hãy xem một ví dụ. Hãy tìm $\sqrt(44100)$ . Vì $44100:100=441$ , sau đó $44100=100\cdot 441$ . Theo tiêu chí chia hết, số $441$ chia hết cho $9$ (vì tổng các chữ số của nó là 9 và chia hết cho 9), do đó, $441:9=49$, tức là $441=9\ cdot 49$ . Như vậy chúng ta đã có:\[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Hãy xem một ví dụ khác:
\[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\] \ $\bullet$ Hãy xem cách nhập số dưới dấu căn bậc hai bằng cách sử dụng ví dụ về biểu thức $5\sqrt2$ (ký hiệu ngắn cho biểu thức $5\cdot \sqrt2$). Vì $5=\sqrt(25)$ , sau đó
Cũng lưu ý rằng, ví dụ,
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$

Tại sao lại như vậy? Hãy giải thích bằng ví dụ 1). Như bạn đã hiểu, bằng cách nào đó chúng ta không thể chuyển đổi số $\sqrt2$. Hãy tưởng tượng rằng $\sqrt2$ là một số $a$ . Theo đó, biểu thức $\sqrt2+3\sqrt2$ không gì khác hơn $a+3a$ (một số $a$ cộng với ba số giống nhau $a$). Và chúng ta biết rằng số này bằng bốn số như vậy $a$ , tức là $4\sqrt2$ .

Sự thật 4.
$\bullet$ Người ta thường nói “bạn không thể trích xuất gốc” khi bạn không thể bỏ dấu $\sqrt () \ $ của gốc (căn bản) khi tìm giá trị của một số . Ví dụ: bạn có thể lấy gốc của số $16$ vì $16=4^2$ , do đó $\sqrt(16)=4$ . Nhưng không thể trích xuất gốc của số $3$, tức là tìm $\sqrt3$, vì không có số nào bình phương sẽ cho $3$ .
Những số như vậy (hoặc biểu thức với những số như vậy) là số vô tỉ. Ví dụ, số $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)$ vân vân. là phi lý.
Cũng vô tỷ là các số $\pi$ (số “pi”, xấp xỉ bằng $3.14$), $e$ (số này được gọi là số Euler, nó xấp xỉ bằng $2.7 $) vân vân.
$\bullet$ Xin lưu ý rằng bất kỳ số nào cũng sẽ là số hữu tỷ hoặc số vô tỷ. Và tất cả các số hữu tỉ và số vô tỉ cùng nhau tạo thành một tập hợp gọi là một tập hợp số thực. Tập hợp này được ký hiệu bằng chữ $\mathbb(R)$ .
Điều này có nghĩa là tất cả những con số mà chúng ta hiện biết đều được gọi là số thực.

Sự thật 5.
$\bullet$ Mô đun của một số thực $a$ là một số không âm $|a|$ bằng khoảng cách từ điểm $a$ đến $0$ trên dòng thực sự. Ví dụ: $|3|$ và $|-3|$ bằng 3, vì khoảng cách từ các điểm $3$ và $-3$ đến $0$ là giống nhau và bằng $3 $ .
$\bullet$ Nếu $a$ là số không âm thì $|a|=a$ .
Ví dụ: $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ .
$\bullet$ Nếu $a$ là số âm thì $|a|=-a$ . Ví dụ: $|-5|=-(-5)=5$ ;.
$\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$
Họ nói rằng đối với các số âm, mô đun “ăn” số âm, trong khi các số dương, cũng như số $0$, được mô đun giữ nguyên. Quy tắc này chỉ áp dụng cho số. Nếu dưới dấu hiệu mô đun của bạn có một ẩn số $x$ (hoặc một số ẩn số khác), chẳng hạn như $|x|$ , mà chúng tôi không biết liệu nó là dương, 0 hay âm, thì hãy loại bỏ của mô-đun chúng ta không thể. Trong trường hợp này, biểu thức này vẫn giữ nguyên: $|x|$ . $\bullet$ Các công thức sau giữ: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]\[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( đã cung cấp ) a\geqslant 0\]
Rất thường xuyên mắc phải lỗi sau: họ nói rằng $\sqrt(a^2)$ và $(\sqrt a)^2$ là một và giống nhau. Điều này chỉ đúng nếu $a$ là số dương hoặc bằng 0. Nhưng nếu $a$ là số âm thì điều này là sai. Chỉ cần xem xét ví dụ này là đủ. Hãy thay vì $a$ số $-1$ . Sau đó $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$ , nhưng biểu thức $(\sqrt (-1))^2$ hoàn toàn không tồn tại (xét cho cùng, không thể sử dụng dấu gốc để đặt số âm!). Do đó, chúng tôi lưu ý bạn rằng thực tế là $\sqrt(a^2)$ không bằng $(\sqrt a)^2$ ! Ví dụ: 1)$\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$<0\) ;

, bởi vì $-\sqrt2 \(\phantom(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$ .
$\bullet$ Vì $\sqrt(a^2)=|a|$ , nên \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(biểu thức $2n$ biểu thị số chẵn)
Nghĩa là, khi lấy căn của một số ở một mức độ nào đó thì mức độ này sẽ giảm đi một nửa.
Ví dụ:
1) $\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$

2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (lưu ý rằng nếu mô-đun không được cung cấp, hóa ra gốc của số bằng $-25\ ) ; nhưng chúng tôi nhớ rằng, theo định nghĩa của nghiệm thì điều này không thể xảy ra: khi trích xuất một nghiệm, chúng ta phải luôn nhận được số dương hoặc số 0)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (vì bất kỳ số nào có lũy thừa chẵn đều không âm)
Sự thật 6.<\sqrt b\) , то $a(biểu thức \(2n$ biểu thị số chẵn)
Làm thế nào để so sánh hai căn bậc hai? $\bullet$ Đối với căn bậc hai thì điều đó đúng: if $\sqrt a 1) so sánh \(\sqrt(50)$ và $6\sqrt2$ . Đầu tiên, hãy chuyển biểu thức thứ hai thành<72\) , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
$\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$
. Như vậy, vì $50<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
2) $\sqrt(50)$ nằm giữa những số nguyên nào? Vì $\sqrt(49)=7$ , $\sqrt(64)=8$ và $49 3) Hãy so sánh \(\sqrt 2-1$ và $0.5$ . Giả sử rằng $\sqrt2-1>0.5$ :<0,5\) .
Lưu ý rằng việc thêm một số nhất định vào cả hai vế của bất đẳng thức không ảnh hưởng đến dấu của nó. Nhân/chia cả hai vế của một bất đẳng thức với một số dương cũng không ảnh hưởng đến dấu của nó, nhưng nhân/chia cho một số âm sẽ làm đảo dấu của bất đẳng thức đó!
Bạn có thể bình phương cả hai vế của một phương trình/bất đẳng thức CHỈ KHI cả hai vế đều không âm. Ví dụ, trong bất đẳng thức ở ví dụ trước, bạn có thể bình phương cả hai vế, trong bất đẳng thức $-3<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\bullet$ Cần nhớ rằng \[\begin(căn chỉnh) &\sqrt 2\khoảng 1,4\\ &\sqrt 3\khoảng 1,7 \end(căn chỉnh)\] Biết được ý nghĩa gần đúng của những con số này sẽ giúp ích cho bạn khi so sánh các con số!
$\bullet$ Để trích xuất căn nguyên (nếu có thể trích xuất được) từ một số lớn không có trong bảng bình phương, trước tiên bạn phải xác định xem nó nằm ở “hàng trăm” nào, sau đó – giữa “ hàng chục”, rồi xác định chữ số cuối cùng của số này. Hãy cho thấy cách thức hoạt động của nó bằng một ví dụ.
Hãy lấy $\sqrt(28224)$ . Chúng tôi biết rằng $100^2=10\,000$, $200^2=40\,000$, v.v. Lưu ý rằng $28224$ nằm giữa $10\,000$ và $40\,000$ . Do đó, $\sqrt(28224)$ nằm giữa $100$ và $200$ .
Bây giờ, hãy xác định xem số của chúng ta nằm ở “hàng chục” nào (ví dụ: giữa $120$ và $130$). Cũng từ bảng hình vuông, chúng ta biết rằng $11^2=121$ , $12^2=144$ v.v., sau đó $110^2=12100$ , $120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900$ , $140^2=19600$ , $150^2=22500$ , $160^2=25600$ , $170^2=28900 \ ) . Vì vậy, chúng tôi thấy rằng \(28224$ nằm giữa $160^2$ và $170^2$ . Do đó, số $\sqrt(28224)$ nằm giữa $160$ và $170$ .
Hãy thử xác định chữ số cuối cùng. Chúng ta hãy nhớ những số có một chữ số nào khi bình phương sẽ cho $4$ ở cuối? Đây là $2^2$ và $8^2$ . Do đó, $\sqrt(28224)$ sẽ kết thúc bằng 2 hoặc 8. Hãy kiểm tra điều này. Hãy tìm $162^2$ và $168^2$ :
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$ .

Để giải quyết thỏa đáng Kỳ thi Thống nhất môn toán, trước tiên bạn cần nghiên cứu tài liệu lý thuyết, trong đó giới thiệu cho bạn nhiều định lý, công thức, thuật toán, v.v. Thoạt nhìn, có vẻ như điều này khá đơn giản. Tuy nhiên, việc tìm một nguồn trình bày lý thuyết cho Kỳ thi Thống nhất môn Toán một cách dễ hiểu và dễ hiểu đối với học sinh ở bất kỳ trình độ đào tạo nào trên thực tế là một nhiệm vụ khá khó khăn. Sách giáo khoa ở trường không phải lúc nào cũng có sẵn trong tay. Và việc tìm các công thức cơ bản cho Kỳ thi Thống nhất môn toán có thể khó khăn ngay cả trên Internet.

Tại sao việc nghiên cứu lý thuyết toán học không chỉ quan trọng đối với những học sinh tham gia Kỳ thi Thống nhất?

Bởi vì nó mở rộng tầm nhìn của bạn. Nghiên cứu tài liệu lý thuyết về toán học rất hữu ích cho những ai muốn có câu trả lời cho nhiều câu hỏi liên quan đến kiến thức về thế giới xung quanh. Mọi thứ trong tự nhiên đều có trật tự và có logic rõ ràng. Đây chính xác là những gì được phản ánh trong khoa học, qua đó người ta có thể hiểu được thế giới.
Vì nó phát triển trí thông minh. Bằng cách nghiên cứu các tài liệu tham khảo cho Kỳ thi Thống nhất về toán học, cũng như giải các bài toán khác nhau, một người học cách suy nghĩ và suy luận logic, hình thành suy nghĩ một cách thành thạo và rõ ràng. Anh ta phát triển khả năng phân tích, khái quát hóa và rút ra kết luận.

Chúng tôi mời bạn tự mình đánh giá tất cả những ưu điểm trong cách tiếp cận của chúng tôi trong việc hệ thống hóa và trình bày tài liệu giáo dục.