Biểu thức logarit, giải ví dụ Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét các vấn đề liên quan đến việc giải logarit. Các nhiệm vụ đặt câu hỏi tìm ý nghĩa của một biểu thức. Cần lưu ý rằng khái niệm logarit được sử dụng trong nhiều nhiệm vụ và việc hiểu ý nghĩa của nó là vô cùng quan trọng. Đối với Kỳ thi Thống nhất, logarit được sử dụng khi giải các phương trình, trong bài toán ứng dụng, còn trong các nhiệm vụ liên quan đến nghiên cứu hàm số.
Hãy để chúng tôi đưa ra ví dụ để hiểu ý nghĩa của logarit:
Nhận dạng logarit cơ bản:
Các tính chất của logarit phải luôn được ghi nhớ:
*Logarit của sản phẩm bằng tổng logarit của các thừa số.
* * *
*Logarit của thương (phân số) bằng hiệu logarit của các thừa số.
* * *
*Logarit bậc tương đương với sản phẩm số mũ theo logarit cơ số của nó.
* * *
* Chuyển sang nền tảng mới
* * *
Thêm tài sản:
* * *
Việc tính logarit có liên quan chặt chẽ đến việc sử dụng tính chất của số mũ.
Hãy liệt kê một số trong số họ:
Bản chất của tài sản này nằm ở chỗ khi chuyển tử số sang mẫu số và ngược lại thì dấu của số mũ thay đổi ngược lại. Ví dụ:
Một hệ quả tất yếu từ tính chất này:
* * *
Khi nâng lũy thừa lên lũy thừa, cơ số vẫn giữ nguyên nhưng số mũ được nhân lên.
* * *
Như bạn đã thấy, khái niệm logarit rất đơn giản. Điều quan trọng là những gì cần thiết thực hành tốt, mang lại một kỹ năng nhất định. Tất nhiên, cần phải có kiến thức về công thức. Nếu kỹ năng chuyển đổi logarit cơ bản chưa được phát triển thì khi giải các bài toán đơn giản, bạn rất dễ mắc sai lầm.
Thực hành, giải các ví dụ đơn giản nhất trong khóa học toán trước, sau đó chuyển sang các ví dụ phức tạp hơn. Trong tương lai, tôi chắc chắn sẽ chỉ ra cách giải các logarit “xấu xí”; những bài này sẽ không xuất hiện trong Kỳ thi Thống nhất nhưng rất đáng quan tâm, đừng bỏ lỡ nhé!
Thế thôi! Chúc bạn may mắn!
Trân trọng, Alexander Krutitskikh
P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn cho tôi biết về trang này trên mạng xã hội.
Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.
Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân
Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.
Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.
Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.
Chúng tôi thu thập những thông tin cá nhân nào:
- Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn e-mail vân vân.
Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:
- Được chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên lạc với bạn và thông báo cho bạn về ưu đãi độc đáo, chương trình khuyến mãi và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
- Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
- Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ như kiểm toán, phân tích dữ liệu và nghiên cứu khác nhauđể cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
- Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.
Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba
Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.
Ngoại lệ:
- Trong trường hợp cần thiết, theo quy định của pháp luật, thủ tục xét xử, V sự thử nghiệm và/hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
- Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.
Bảo vệ thông tin cá nhân
Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.
Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty
Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
Hãy giải thích nó đơn giản hơn. Ví dụ: \(\log_(2)(8)\) bằng sức mạnh, mà \(2\) phải được nâng lên để có được \(8\). Từ đây rõ ràng là \(\log_(2)(8)=3\).
|
Ví dụ: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
bởi vì \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
bởi vì \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
bởi vì \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Lập luận và cơ sở của logarit
Bất kỳ logarit nào cũng có “giải phẫu” sau:
Đối số của logarit thường được viết ở cấp độ của nó và cơ số được viết bằng chỉ số dưới gần với dấu logarit hơn. Và mục này có nội dung như sau: “logarit của 25 cơ số 5.”
Làm thế nào để tính logarit?
Để tính logarit, bạn cần trả lời câu hỏi: cơ số phải được nâng lên lũy thừa bao nhiêu để có được đối số?
Ví dụ, tính logarit: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) \(4\) phải tăng lên lũy thừa bao nhiêu để đạt được \(16\)? Rõ ràng là cái thứ hai. Đó là lý do tại sao:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) \(\sqrt(5)\) phải tăng lên bao nhiêu để có được \(1\)? Sức mạnh nào làm nên số một? Tất nhiên là không!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) \(\sqrt(7)\) phải tăng lên mức nào để đạt được \(\sqrt(7)\)? Thứ nhất, bất kỳ số nào có lũy thừa bậc một đều bằng chính nó.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) \(3\) phải tăng lên bao nhiêu để đạt được \(\sqrt(3)\)? Từ chúng tôi biết nó là gì sức mạnh phân số, và điều đó có nghĩa là căn bậc hai là sức mạnh của \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Ví dụ : Tính logarit \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Giải pháp :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Chúng ta cần tìm giá trị của logarit, hãy ký hiệu nó là x. Bây giờ hãy sử dụng định nghĩa của logarit: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Điều gì kết nối \(4\sqrt(2)\) và \(8\)? Hai, vì cả hai số đều có thể được biểu diễn bằng số hai: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Ở bên trái, chúng ta sử dụng các thuộc tính của độ: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) và \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Căn cứ bằng nhau, ta chuyển sang bình đẳng về chỉ số |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Nhân cả hai vế của phương trình với \(\frac(2)(5)\) |
|
|
Căn nguyên kết quả là giá trị của logarit |
Trả lời : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Tại sao logarit được phát minh?
Để hiểu điều này, hãy giải phương trình: \(3^(x)=9\). Chỉ cần khớp \(x\) để phương trình hoạt động. Tất nhiên là \(x=2\).
Bây giờ hãy giải phương trình: \(3^(x)=8\).Tại sao bằng x? Đó là vấn đề.
Những người thông minh nhất sẽ nói: “X nhỏ hơn hai một chút”. Làm thế nào chính xác để viết số này? Để trả lời câu hỏi này, logarit đã được phát minh. Nhờ anh ấy, câu trả lời ở đây có thể được viết là \(x=\log_(3)(8)\).
Tôi muốn nhấn mạnh rằng \(\log_(3)(8)\), như bất kỳ logarit nào cũng chỉ là một con số. Vâng, nó trông khác thường, nhưng nó ngắn. Bởi vì nếu chúng ta muốn viết nó dưới dạng số thập phân, thì nó sẽ trông như thế này: \(1.892789260714.....\)
Ví dụ : Giải phương trình \(4^(5x-4)=10\)
Giải pháp :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) và \(10\) không thể được đưa về cùng một cơ sở. Điều này có nghĩa là bạn không thể làm gì nếu không có logarit. Hãy sử dụng định nghĩa của logarit: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Hãy lật ngược phương trình sao cho X ở bên trái |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Trước chúng tôi. Hãy di chuyển \(4\) sang phải. Và đừng sợ logarit, hãy coi nó như một con số bình thường. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Chia phương trình cho 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Đây là gốc rễ của chúng tôi. Vâng, có vẻ bất thường nhưng họ không chọn câu trả lời. |
Trả lời : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Logarit thập phân và tự nhiên
Như đã nêu trong định nghĩa logarit, cơ số của nó có thể là bất kỳ số dương, ngoại trừ đơn vị \((a>0, a\neq1)\). Và trong số tất cả các cơ sở có thể có, có hai cơ sở xảy ra thường xuyên đến mức người ta đã phát minh ra một ký hiệu ngắn đặc biệt cho logarit với chúng:
Logarit tự nhiên: logarit có cơ số là số Euler \(e\) (bằng xấp xỉ \(2.7182818…\)) và logarit được viết là \(\ln(a)\).
Đó là, \(\ln(a)\) giống như \(\log_(e)(a)\)
Logarit thập phân: Một logarit có cơ số 10 được viết \(\lg(a)\).
Đó là, \(\lg(a)\) giống như \(\log_(10)(a)\), trong đó \(a\) là một số nào đó.
Nhận dạng logarit cơ bản
Logarit có nhiều tính chất. Một trong số chúng được gọi là “Nhận dạng logarit cơ bản” và trông như thế này:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Thuộc tính này suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Chúng ta hãy xem chính xác công thức này ra đời như thế nào.
Chúng ta hãy nhớ lại một ký hiệu ngắn gọn về định nghĩa logarit:
nếu \(a^(b)=c\), thì \(\log_(a)(c)=b\)
Nghĩa là, \(b\) giống với \(\log_(a)(c)\). Khi đó chúng ta có thể viết \(\log_(a)(c)\) thay vì \(b\) trong công thức \(a^(b)=c\). Hóa ra \(a^(\log_(a)(c))=c\) - danh tính logarit chính.
Bạn có thể tìm thấy các tính chất khác của logarit. Với sự trợ giúp của họ, bạn có thể đơn giản hóa và tính toán các giá trị của biểu thức bằng logarit, vốn rất khó tính toán trực tiếp.
Ví dụ : Tìm giá trị của biểu thức \(36^(\log_(6)(5))\)
Giải pháp :
Trả lời : \(25\)
Làm thế nào để viết một số dưới dạng logarit?
Như đã đề cập ở trên, bất kỳ logarit nào cũng chỉ là một con số. Điều ngược lại cũng đúng: bất kỳ số nào cũng có thể được viết dưới dạng logarit. Ví dụ: chúng ta biết rằng \(\log_(2)(4)\) bằng hai. Sau đó, thay vì hai, bạn có thể viết \(\log_(2)(4)\).
Nhưng \(\log_(3)(9)\) cũng bằng \(2\), có nghĩa là chúng ta cũng có thể viết \(2=\log_(3)(9)\) . Tương tự như vậy với \(\log_(5)(25)\) và với \(\log_(9)(81)\), v.v. Tức là hóa ra
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Do đó, nếu cần, chúng ta có thể viết hai dưới dạng logarit với bất kỳ cơ số nào ở bất kỳ đâu (có thể là trong phương trình, trong biểu thức hoặc trong bất đẳng thức) - chúng ta chỉ cần viết cơ số bình phương làm đối số.
Điều này cũng tương tự với bộ ba – nó có thể được viết là \(\log_(2)(8)\), hoặc \(\log_(3)(27)\), hoặc \(\log_(4)( 64) \)... Ở đây chúng ta viết cơ số trong khối làm đối số:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
Và với bốn:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
Và với trừ một:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
Và với một phần ba:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Bất kỳ số \(a\) nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng logarit với cơ số \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Ví dụ : Tìm ý nghĩa của biểu thức \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Giải pháp :
Trả lời : \(1\)
Logarit của một số N dựa trên MỘT gọi là số mũ X , mà bạn cần xây dựng MỘT để có được số N
Với điều kiện là 
,
,
Từ định nghĩa logarit suy ra rằng 
, tức là
- sự bình đẳng này là cơ bản nhận dạng logarit.
Logarit dựa trên cơ số 10 được gọi là logarit thập phân. Thay vì 
viết 
.
Logarit cơ số e
được gọi là tự nhiên và được chỉ định 
.
Các tính chất cơ bản của logarit.
Logarit của một bằng 0 đối với mọi cơ số.
Logarit của tích bằng tổng logarit của các thừa số.
3) Logarit của thương bằng hiệu của logarit
Nhân tố 
được gọi là mô đun chuyển đổi từ logarit sang cơ số Một
logarit ở cơ số b
.
Sử dụng các thuộc tính 2-5, thường có thể quy đổi logarit của một biểu thức phức tạp thành kết quả của các phép tính số học đơn giản trên logarit.
Ví dụ, 
Những phép biến đổi logarit như vậy được gọi là logarit. Các phép biến đổi nghịch đảo với logarit được gọi là điện thế.
Chương 2. Các yếu tố của toán cao cấp.
1. Giới hạn
Giới hạn của hàm 
là số hữu hạn A nếu, như xx
0
cho mỗi lần xác định trước 
, có một số như vậy 
điều đó ngay khi 
, Cái đó 
.
Một hàm số có giới hạn khác với nó một lượng vô cùng nhỏ: 
, trong đó- b.m.v., tức là 
.
Ví dụ. Hãy xem xét chức năng 
.
Khi phấn đấu 
, chức năng y
có xu hướng bằng không: 
1.1. Các định lý cơ bản về giới hạn.
Giới hạn giá trị không đổi bằng giá trị không đổi này
.
Giới hạn số tiền (chênh lệch) số hữu hạn các hàm số bằng tổng (chênh lệch) các giới hạn của các hàm số này.
Giới hạn của tích của một số hữu hạn các hàm bằng tích các giới hạn của các hàm này.
Giới hạn thương của hai hàm số bằng thương của giới hạn của các hàm số này nếu giới hạn của mẫu số khác 0.
Giới hạn tuyệt vời
,
, Ở đâu 
1.2. Ví dụ tính toán giới hạn
Tuy nhiên, không phải mọi giới hạn đều được tính toán dễ dàng như vậy. Thông thường, việc tính toán giới hạn sẽ dẫn đến việc phát hiện ra sự không chắc chắn về loại: 
hoặc .
.
2. Đạo hàm của hàm số
Hãy để chúng tôi có một chức năng 
, liên tục trên đoạn 
.
Lý lẽ 
có một số tăng 
. Sau đó, chức năng sẽ nhận được một sự gia tăng 
.
Giá trị đối số 
tương ứng với giá trị hàm 
.
Giá trị đối số 
tương ứng với giá trị của hàm.
Kể từ đây, .
Hãy tìm giới hạn của tỉ số này tại 
. Nếu giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm của hàm đã cho.
Định nghĩa 3 Đạo hàm của một hàm số đã cho 
bằng lập luận 
được gọi là giới hạn của tỷ lệ giữa mức tăng của hàm với mức tăng của đối số, khi mức tăng của đối số có xu hướng tùy ý về 0.
Đạo hàm của hàm 
có thể được chỉ định như sau:
;
;
;
.
Định nghĩa 4Thao tác tìm đạo hàm của một hàm số được gọi là sự khác biệt hóa.
2.1. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm.
Chúng ta hãy xem xét chuyển động thẳng của một vật rắn hoặc một điểm vật chất nào đó.
Hãy để vào một thời điểm nào đó 
điểm chuyển động 
đã ở một khoảng cách 
từ vị trí bắt đầu 
.
Sau một thời gian 
cô ấy đã di chuyển một khoảng cách 
. Thái độ 
=
- tốc độ trung bìnhđiểm vật chất 
. Chúng ta hãy tìm giới hạn của tỷ lệ này, có tính đến việc 
.
Vì vậy, định nghĩa tốc độ tức thời chuyển động của một điểm vật chất phụ thuộc vào việc tìm đạo hàm của đường đi theo thời gian.
2.2. Ý nghĩa hình học phái sinh
Chúng ta hãy có một hàm được xác định bằng đồ họa 
.
Cơm. 1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Nếu như 
, sau đó chỉ 
, sẽ di chuyển dọc theo đường cong, tiến đến điểm 
.
Kể từ đây 
, tức là giá trị của đạo hàm cho một giá trị nhất định của đối số 
về số lượng bằng tiếp tuyến của góc tạo bởi tiếp tuyến tại một điểm cho trước với chiều dương của trục 
.
2.3. Bảng công thức vi phân cơ bản.
Chức năng nguồn
|
|
|
|
|
|
|
hàm số mũ
|
|
|
|
|
hàm logarit
|
|
|
|
|
hàm lượng giác
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hàm lượng giác nghịch đảo
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Quy luật phân biệt.
Đạo hàm của 
Đạo hàm của tổng (chênh lệch) của các hàm
Đạo hàm của tích của hai hàm số
Đạo hàm của thương của hai hàm số
2.5. Đạo hàm của hàm phức tạp.
Hãy để chức năng được đưa ra 
sao cho nó có thể được biểu diễn dưới dạng
Và 
, trong đó biến 
là một đối số trung gian, sau đó 
Đạo hàm của một hàm phức bằng tích của đạo hàm của hàm đã cho theo đối số trung gian và đạo hàm của đối số trung gian đối với x.
Ví dụ 1. 
Ví dụ 2. 
3. Hàm vi phân.
Hãy để có 
, khả vi trên một khoảng nào đó 
và để Tại
hàm số này có đạo hàm
,
sau đó chúng ta có thể viết
(1),
Ở đâu 
- một số lượng vô cùng nhỏ,
kể từ khi nào 
Nhân tất cả các số hạng của đẳng thức (1) với 
chúng tôi có:
Ở đâu 
- b.m.v. trật tự cao hơn.
Kích cỡ 
gọi là vi phân của hàm 
và được chỉ định 
.
3.1. Giá trị hình học của vi phân.
Hãy để chức năng được đưa ra 
.
Hình 2. Ý nghĩa hình học của vi phân.
.
Rõ ràng, vi phân của hàm 
bằng với gia số của tọa độ tiếp tuyến tại một điểm cho trước.
3.2. Đạo hàm và vi phân của các mệnh lệnh khác nhau.
Nếu có 
, Sau đó 
được gọi là đạo hàm bậc nhất.
Đạo hàm của đạo hàm cấp một được gọi là đạo hàm bậc hai và được viết 
.
Đạo hàm cấp n của hàm 
được gọi là đạo hàm bậc (n-1) và được viết:
.
Vi phân của vi phân của một hàm số được gọi là vi phân bậc hai hoặc vi phân bậc hai.
.
.
3.3 Giải các bài toán sinh học bằng vi phân.
Nhiệm vụ 1. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng sự phát triển của một quần thể vi sinh vật tuân theo quy luật 
, Ở đâu N
- số lượng vi sinh vật (nghìn), t
– thời gian (ngày).
b) Dân số của đàn sẽ tăng hay giảm trong thời gian này?
Trả lời. Kích thước của thuộc địa sẽ tăng lên.
Nhiệm vụ 2. Nước trong hồ được kiểm tra định kỳ để theo dõi hàm lượng vi khuẩn gây bệnh. Bởi vì t ngày sau khi thử nghiệm, nồng độ vi khuẩn được xác định bằng tỷ lệ
.
Khi nào hồ sẽ có mật độ vi khuẩn tối thiểu và có thể bơi trong đó được không?
Lời giải: Một hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu khi đạo hàm của nó bằng 0.
,
Hãy xác định mức tối đa hoặc tối thiểu sẽ có trong 6 ngày. Để làm điều này, hãy lấy đạo hàm thứ hai.
Trả lời: Sau 6 ngày sẽ có nồng độ vi khuẩn ở mức tối thiểu.
(từ tiếng Hy Lạp λόγος - “từ”, “quan hệ” và ἀριθμός - “số”) b dựa trên Một(log α b) được gọi là số như vậy c, Và b= một c, nghĩa là, bản ghi nhật ký α b=c Và b=ac là tương đương. Logarit có ý nghĩa nếu a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Nói cách khác logarit con số b dựa trên MỘTđược xây dựng dưới dạng số mũ mà một số phải được nâng lên Mộtđể có được số b(logarit chỉ tồn tại với số dương).
Từ công thức này, phép tính x= log α b, tương đương với việc giải phương trình a x = b.
Ví dụ:
log 2 8 = 3 vì 8 = 2 3 .
Chúng tôi nhấn mạnh rằng công thức cụ thể của logarit giúp xác định ngay lập tức giá trị logarit, khi số dưới dấu logarit đóng vai trò là một lũy thừa nhất định của cơ số. Thật vậy, công thức logarit có thể chứng minh rằng nếu b=a c, thì logarit của số b dựa trên Một bằng Với. Cũng rõ ràng là chủ đề logarit có liên quan mật thiết đến chủ đề quyền hạn của một số.
Tính logarit được gọi là logarit. Logarit là phép toán lấy logarit. Khi lấy logarit, tích của các thừa số được chuyển thành tổng các số hạng.
tiềm năng là phép toán nghịch đảo của logarit. Trong quá trình tạo điện thế, một cơ sở nhất định được nâng lên đến mức biểu hiện mà việc tạo điện thế được thực hiện. Trong trường hợp này, tổng các số hạng được chuyển thành tích của các thừa số.
Logarit thực cơ số 2 (nhị phân) được sử dụng khá thường xuyên, e Số Euler e ≈ 2.718 ( logarit tự nhiên) và 10 (thập phân).
TRÊN ở giai đoạn này nên xem xét mẫu logarit nhật ký 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.
Và các mục lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 không có ý nghĩa gì, vì trong mục đầu tiên, một số âm được đặt dưới dấu logarit, trong mục thứ hai - số âmở cơ số và ở cơ số thứ ba - cả số âm dưới dấu logarit và đơn vị trong cơ số.
Điều kiện để xác định logarit.
Cần xem xét riêng các điều kiện a > 0, a ≠ 1, b > 0. theo đó chúng ta nhận được định nghĩa logarit Hãy xem xét lý do tại sao những hạn chế này được thực hiện. Một đẳng thức có dạng x = log α sẽ giúp chúng ta điều này b, được gọi là đẳng thức logarit cơ bản, tuân theo định nghĩa logarit ở trên.
Hãy lấy điều kiện a≠1. Vì một lũy thừa bất kỳ bằng một nên đẳng thức x=log α b chỉ có thể tồn tại khi b=1, nhưng log 1 1 sẽ là số thực bất kỳ. Để loại bỏ sự mơ hồ này, chúng tôi lấy a≠1.
Hãy chứng minh sự cần thiết của điều kiện a>0. Tại a=0 theo công thức logarit chỉ tồn tại khi b=0. Và theo đó thì nhật ký 0 0 có thể là bất kỳ số thực nào khác 0, vì số 0 với bất kỳ lũy thừa nào khác 0 đều bằng 0. Sự mơ hồ này có thể được loại bỏ bằng điều kiện a≠0. Và khi nào Một<0 chúng ta sẽ phải từ chối việc phân tích các giá trị hữu tỷ và vô tỷ của logarit, vì mức độ có số mũ hữu tỷ và vô tỷ chỉ được xác định cho các cơ số không âm. Chính vì lý do này mà điều kiện được quy định a>0.
VÀ điều kiện cuối cùng b>0 suy ra từ sự bất bình đẳng a>0, vì x=log α b, và giá trị bậc với cơ số dương Một luôn tích cực.
Đặc điểm của logarit.
Logaritđặc trưng bởi sự khác biệt đặc trưng, dẫn đến việc chúng được sử dụng rộng rãi để tạo điều kiện thuận lợi đáng kể cho các phép tính tỉ mỉ. Khi chuyển “sang thế giới của logarit”, phép nhân được biến đổi nhiều hơn dễ dàng gấp, phép chia là phép trừ, còn phép lũy thừa và phép trích căn được chuyển tương ứng thành phép nhân và phép chia theo số mũ.
Xây dựng logarit và bảng giá trị của chúng (đối với hàm lượng giác) được xuất bản lần đầu tiên vào năm 1614 bởi nhà toán học người Scotland John Napier. Các bảng logarit, được các nhà khoa học khác mở rộng và chi tiết hóa, được sử dụng rộng rãi trong tính toán khoa học và kỹ thuật, và vẫn còn phù hợp cho đến khi sử dụng máy tính điện tử và máy tính.