Phải làm gì nếu bằng cấp bị trừ. Sức mạnh số: định nghĩa, ký hiệu, ví dụ


Trong bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu nó là gì sức mạnh của một số. Ở đây chúng tôi sẽ đưa ra các định nghĩa về lũy thừa của một số, đồng thời chúng tôi sẽ xem xét chi tiết tất cả các số mũ có thể có, bắt đầu bằng số mũ tự nhiên và kết thúc bằng số vô tỉ. Trong tài liệu, bạn sẽ tìm thấy rất nhiều ví dụ về độ, bao gồm tất cả những điều tinh tế nảy sinh.

Điều hướng trang.

lũy thừa với số mũ tự nhiên, bình phương của một số, lập phương của một số

Hãy bắt đầu với . Nhìn về phía trước, giả sử rằng định nghĩa lũy thừa của một số a với chỉ số tự nhiên n được cho cho a, mà chúng ta sẽ gọi cơ sở bằng cấp, và n, mà chúng ta sẽ gọi số mũ. Chúng tôi cũng lưu ý rằng độ với số mũ tự nhiên được xác định thông qua tích số, vì vậy để hiểu tài liệu bên dưới, bạn cần hiểu biết về phép nhân số.

Sự định nghĩa.

lũy thừa của một số với số mũ tự nhiên n là một biểu thức có dạng an n, giá trị của nó bằng tích của n thừa số, mỗi thừa số bằng a, tức là .
Cụ thể, lũy thừa của một số a có số mũ 1 chính là số a đó, tức là a 1 = a.

Điều đáng nói ngay về các quy định về trình độ đọc. Phương pháp phổ quátđọc mục an n là: “a lũy thừa n”. Trong một số trường hợp, các tùy chọn sau cũng có thể được chấp nhận: “a lũy thừa thứ n” và “sức mạnh thứ n của a”. Ví dụ: hãy lấy lũy thừa 8 12, đây là “tám lũy thừa mười hai”, hoặc “tám lũy thừa mười hai”, hoặc “lũy thừa mười hai của tám”.

Sức mạnh thứ hai của một số, cũng như sức mạnh thứ ba của một số, đều có tên riêng. Sức mạnh thứ hai của một số được gọi là bình phương số, ví dụ: 7 2 được đọc là “bảy bình phương” hoặc “bình phương của số bảy”. Sức mạnh thứ ba của một số được gọi là số lập phương, ví dụ: 5 3 có thể được đọc là “năm lập phương” hoặc bạn có thể nói “khối lập phương của số 5”.

Đã đến lúc mang theo ví dụ về độ với số mũ tự nhiên. Hãy bắt đầu với độ 5 7, ở đây 5 là cơ số và 7 là số mũ. Hãy lấy một ví dụ khác: 4,32 là cơ số và số tự nhiên 9 là số mũ (4,32) 9 .

Xin lưu ý rằng trong ví dụ cuối cùng Cơ số của bậc 4,32 được viết trong ngoặc: để tránh sai lệch, ta sẽ đặt trong ngoặc tất cả các cơ số của bậc khác với số tự nhiên. Ví dụ: chúng tôi đưa ra các mức độ sau với số mũ tự nhiên , các cơ số của chúng không phải là số tự nhiên nên được viết trong ngoặc đơn. Vâng, để hoàn toàn rõ ràng, tại thời điểm này chúng ta sẽ chỉ ra sự khác biệt có trong các bản ghi có dạng (−2) 3 và −2 3. Biểu thức (−2) 3 là lũy thừa của −2 với số mũ tự nhiên là 3 và biểu thức −2 3 (có thể viết là −(2 3) ) tương ứng với số, giá trị của lũy thừa 2 3 .

Lưu ý rằng có một ký hiệu cho lũy thừa của một số a với số mũ n có dạng a^n. Hơn nữa, nếu n là số tự nhiên có nhiều giá trị thì số mũ được lấy trong ngoặc. Ví dụ, 4^9 là một ký hiệu khác cho lũy thừa của 4 9 . Và đây là một số ví dụ khác về cách viết độ bằng ký hiệu “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chủ yếu sử dụng ký hiệu bậc có dạng an .

Một trong những bài toán nghịch đảo với việc nâng lũy ​​thừa với số mũ tự nhiên là bài toán tìm cơ số của lũy thừa bằng cách giá trị đã biếtđộ và chỉ số đã biết. Nhiệm vụ này dẫn đến .

Được biết, tập hợp số hữu tỷ bao gồm các số nguyên và phân số, mỗi số phân số có thể được biểu diễn dưới dạng dương hoặc âm phân số chung. Chúng tôi đã xác định một mức độ với số mũ nguyên là đoạn trước, do đó, để hoàn thành định nghĩa về mức độ với chỉ số hợp lý, bạn cần giải thích lũy thừa của số a với số mũ phân số m/n, trong đó m là số nguyên và n là số tự nhiên. Hãy làm điều này.

Hãy xem xét một mức độ với số mũ phân số có dạng . Để đặc tính quyền lực vẫn có hiệu lực, sự bình đẳng phải được giữ nguyên . Nếu chúng ta tính đến đẳng thức thu được và cách chúng ta xác định , thì sẽ hợp lý khi chấp nhận nó với điều kiện là với m, n và a biểu thức đã cho có ý nghĩa.

Có thể dễ dàng kiểm tra xem tất cả các thuộc tính của một độ có số mũ nguyên đều hợp lệ (điều này được thực hiện trong phần thuộc tính của một độ có số mũ hữu tỉ).

Suy luận trên cho phép chúng ta đưa ra nhận xét sau Phần kết luận: nếu cho m, n và biểu thức a có ý nghĩa thì lũy thừa của a với số mũ phân số m/n được gọi là căn bậc n của a lũy thừa của m.

Tuyên bố này đưa chúng ta đến gần hơn với định nghĩa về mức độ với số mũ phân số. Tất cả những gì còn lại là mô tả ý nghĩa của m, n và a. Tùy thuộc vào các hạn chế đặt trên m, n và a, có hai cách tiếp cận chính.

    Cách dễ nhất là áp đặt một ràng buộc lên a bằng cách lấy a ≥0 đối với m dương và a>0 đối với m âm (vì đối với m<0, độ 0 của m không được xác định). Sau đó chúng tôi nhận được định nghĩa sauđộ với số mũ phân số.

    Sự định nghĩa.

    lũy thừa của số dương a với số mũ phân số m/n, trong đó m là số nguyên và n là số tự nhiên, được gọi là căn bậc n của số a lũy thừa của m, nghĩa là .

    lũy thừa phân số của 0 cũng được xác định với lưu ý duy nhất là chỉ báo phải dương.

    Sự định nghĩa.

    Sức mạnh của số 0 với phân số chỉ số tích cực m/n, trong đó m là số nguyên dương và n là số tự nhiên, được định nghĩa là .
    Khi chưa xác định được bậc, tức là bậc của số 0 với một phân số chỉ số tiêu cực không có ý nghĩa

    Cần lưu ý rằng với định nghĩa về độ có số mũ phân số này, có một lưu ý: đối với một số a âm và một số m và n, biểu thức có ý nghĩa và chúng tôi đã loại bỏ những trường hợp này bằng cách đưa ra điều kiện a ≥0. Ví dụ: các mục có ý nghĩa hoặc , và định nghĩa nêu trên buộc chúng ta phải nói rằng lũy ​​thừa có số mũ phân số có dạng không có ý nghĩa, vì cơ số không được âm.

    Một cách tiếp cận khác để xác định bậc với số mũ phân số m/n là xem xét riêng biệt số mũ chẵn và số lẻ của nghiệm. Cách tiếp cận này đòi hỏi điều kiện bổ sung: lũy thừa của một số có số mũ là , được coi là lũy thừa của một số có số mũ tương ứng phân số không thể rút gọn(Tầm quan trọng của điều kiện này sẽ được giải thích bên dưới). Nghĩa là, nếu m/n là một phân số tối giản thì với mọi số tự nhiên k bậc đầu tiên được thay thế bằng .

    Đối với n chẵn và m dương, biểu thức có ý nghĩa đối với mọi a không âm (căn chẵn của số âm không có ý nghĩa); đối với m âm, số a vẫn phải khác 0 (nếu không sẽ có phép chia). bằng 0). Và đối với n lẻ và m dương, số a có thể là bất kỳ (căn bậc lẻ được xác định cho bất kỳ số thực nào) và đối với m âm, số a phải khác 0 (sao cho không có phép chia cho không).

    Lý do trên dẫn chúng ta đến định nghĩa về mức độ có số mũ phân số.

    Sự định nghĩa.

    Cho m/n là phân số tối giản, m là số nguyên và n là số tự nhiên. Đối với bất kỳ phân số có thể rút gọn nào, độ được thay thế bằng . lũy thừa của một số có số mũ phân số tối giản m/n là

    Hãy để chúng tôi giải thích tại sao một bậc có số mũ phân số rút gọn trước tiên được thay thế bằng một bậc có số mũ tối giản. Nếu chúng ta chỉ định nghĩa mức độ là , và không bảo lưu về tính tối giản của phân số m/n, thì chúng ta sẽ gặp phải các tình huống tương tự như sau: vì 6/10 = 3/5, nên đẳng thức phải đúng , Nhưng , MỘT .

Cấp độ đầu vào

Bằng cấp và các tính chất của nó. Hướng dẫn toàn diện (2019)

Tại sao cần bằng cấp? Bạn sẽ cần chúng ở đâu? Tại sao bạn nên dành thời gian để nghiên cứu chúng?

Để tìm hiểu mọi thứ về bằng cấp, chúng dùng để làm gì, cách sử dụng kiến ​​thức của bạn trong cuộc sống hàng ngàyđọc bài viết này.

Và tất nhiên, kiến ​​thức về bằng cấp sẽ đưa bạn đến gần hơn với hoàn thành thành công Kỳ thi OGE hoặc Unified State và được nhận vào trường đại học mơ ước của bạn.

Đi thôi... (Đi thôi!)

Lưu ý quan trọng! Nếu bạn thấy gobbledygook thay vì công thức, hãy xóa bộ nhớ đệm. Để thực hiện việc này, nhấn CTRL+F5 (trên Windows) hoặc Cmd+R (trên Mac).

CẤP ĐẦU VÀO

Tăng lên quyền lực cũng vậy phép toán như cộng, trừ, nhân hoặc chia.

Bây giờ tôi sẽ giải thích mọi thứ ngôn ngữ con người rất ví dụ đơn giản. Hãy cẩn thận. Các ví dụ là cơ bản nhưng giải thích những điều quan trọng.

Hãy bắt đầu với phép cộng.

Không có gì để giải thích ở đây. Bạn đã biết tất cả mọi thứ: chúng tôi có tám người. Mọi người đều có hai chai cola. Có bao nhiêu cola? Đúng vậy - 16 chai.

Bây giờ nhân.

Ví dụ tương tự với cola có thể được viết khác đi: . Các nhà toán học là những người xảo quyệt và lười biếng. Đầu tiên, họ nhận thấy một số mẫu, sau đó tìm ra cách “đếm” chúng nhanh hơn. Trong trường hợp của chúng tôi, họ nhận thấy rằng mỗi người trong số tám người có cùng số chai cola và đã nghĩ ra một kỹ thuật gọi là phép nhân. Đồng ý, nó được coi là dễ dàng hơn và nhanh hơn.


Vì vậy, để đếm nhanh hơn, dễ dàng hơn và không mắc lỗi, bạn chỉ cần nhớ bảng nhân. Tất nhiên, bạn có thể làm mọi thứ chậm hơn, khó hơn và mắc sai lầm! Nhưng…

Đây là bảng nhân. Lặp lại.

Và một cái khác, đẹp hơn:

Những thủ thuật đếm thông minh nào khác mà các nhà toán học lười biếng nghĩ ra? Phải - nâng một số lên lũy thừa.

Nâng một số lên lũy thừa

Nếu bạn cần nhân một số với chính nó năm lần, thì các nhà toán học nói rằng bạn cần nâng số đó lên lũy thừa thứ năm. Ví dụ, . Các nhà toán học nhớ rằng lũy ​​thừa hai mũ năm là... Và họ giải quyết những vấn đề như vậy trong đầu - nhanh hơn, dễ dàng hơn và không mắc lỗi.

Tất cả những gì bạn cần làm là hãy nhớ những gì được tô màu trong bảng lũy ​​thừa của các con số. Hãy tin tôi, điều này sẽ làm cho cuộc sống của bạn dễ dàng hơn rất nhiều.

Nhân tiện, tại sao nó được gọi là cấp độ thứ hai? quảng trường số và số thứ ba - khối lập phương? Nó có nghĩa là gì? Rất câu hỏi hay. Bây giờ bạn sẽ có cả hình vuông và hình khối.

Ví dụ thực tế số 1

Hãy bắt đầu với bình phương hoặc lũy thừa thứ hai của số.

Hãy tưởng tượng một hồ bơi hình vuông có kích thước một mét x một mét. Hồ bơi ở nhà của bạn. Trời nóng và tôi thực sự muốn bơi. Nhưng... bể bơi không có đáy! Bạn cần lót đáy hồ bơi bằng gạch. Bạn cần bao nhiêu viên gạch? Để xác định được điều này, bạn cần biết diện tích đáy bể bơi.

Bạn có thể tính toán một cách đơn giản bằng cách chỉ ngón tay rằng đáy hồ bơi bao gồm các khối mét theo mét. Nếu bạn có gạch một mét một mét, bạn sẽ cần các mảnh. Thật dễ dàng... Nhưng bạn đã thấy những viên gạch như vậy ở đâu? Gạch rất có thể sẽ có kích thước cm x cm. Và sau đó bạn sẽ bị tra tấn bằng cách “đếm bằng ngón tay”. Sau đó, bạn phải nhân lên. Vì vậy, ở một bên của đáy hồ bơi, chúng ta sẽ lắp những viên gạch (mảnh) và mặt còn lại cũng là những viên gạch. Nhân với và bạn nhận được các ô ().

Bạn có để ý rằng để xác định diện tích đáy bể bơi chúng ta đã nhân số đó với chính nó không? Nó có nghĩa là gì? Vì chúng ta nhân cùng một số nên chúng ta có thể sử dụng kỹ thuật “lũy thừa”. (Tất nhiên, khi bạn chỉ có hai số, bạn vẫn cần nhân chúng hoặc lũy thừa chúng. Nhưng nếu bạn có nhiều lũy thừa thì việc nâng chúng lên lũy thừa sẽ dễ dàng hơn nhiều và cũng ít sai sót hơn trong phép tính . Đối với Kỳ thi Thống nhất, điều này rất quan trọng).
Vì vậy, lũy thừa ba mươi mũ hai sẽ là (). Hoặc chúng ta có thể nói rằng ba mươi bình phương sẽ bằng. Nói cách khác, lũy thừa bậc hai của một số luôn có thể được biểu diễn dưới dạng bình phương. Và ngược lại, nếu bạn nhìn thấy một hình vuông thì nó LUÔN là lũy thừa bậc hai của một số nào đó. Hình vuông là hình ảnh của lũy thừa thứ hai của một số.

Ví dụ thực tế số 2

Đây là một nhiệm vụ dành cho bạn: đếm xem có bao nhiêu ô vuông trên bàn cờ bằng cách sử dụng bình phương của số... Ở một bên của ô và cả mặt kia. Để tính số của chúng, bạn cần nhân tám với tám hoặc... nếu bạn nhận thấy bàn cờ là một hình vuông có một cạnh, thì bạn có thể bình phương tám. Bạn sẽ nhận được các tế bào. () Vì thế?

Ví dụ thực tế số 3

Bây giờ là khối lập phương hoặc lũy thừa thứ ba của một số. Cùng một hồ bơi. Nhưng bây giờ bạn cần tìm hiểu xem sẽ phải đổ bao nhiêu nước vào hồ bơi này. Bạn cần tính toán khối lượng. (Nhân tiện, thể tích và chất lỏng được đo bằng mét khối. Thật bất ngờ, phải không?) Hãy vẽ một cái bể: đáy có kích thước một mét và độ sâu một mét và thử đếm xem có bao nhiêu khối lập phương có kích thước một mét x một mét sẽ vừa với bể bơi của bạn.

Chỉ cần chỉ ngón tay của bạn và đếm! Một, hai, ba, bốn...hai mươi hai, hai mươi ba...Bạn nhận được bao nhiêu? Không bị mất? Đếm bằng ngón tay có khó không? Thế thôi! Lấy một ví dụ từ các nhà toán học. Họ lười biếng nên nhận thấy rằng để tính thể tích của bể bơi, bạn cần nhân chiều dài, chiều rộng và chiều cao của nó với nhau. Trong trường hợp của chúng ta, thể tích của bể sẽ bằng hình khối... Dễ dàng hơn phải không?

Bây giờ hãy tưởng tượng các nhà toán học lười biếng và xảo quyệt như thế nào nếu họ cũng đơn giản hóa điều này. Chúng tôi giảm mọi thứ thành một hành động. Họ nhận thấy rằng chiều dài, chiều rộng và chiều cao bằng nhau và cùng một số được nhân với chính nó... Điều này có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là bạn có thể tận dụng lợi thế của bằng cấp. Vì vậy, những gì bạn từng đếm bằng ngón tay, chúng sẽ thực hiện bằng một hành động: ba lập phương bằng nhau. Nó được viết như thế này: .

Tất cả những gì còn lại là nhớ bảng độ. Tất nhiên, trừ khi bạn lười biếng và xảo quyệt như những nhà toán học. Nếu bạn thích làm việc chăm chỉ và mắc lỗi, bạn có thể tiếp tục đếm bằng ngón tay.

Chà, để cuối cùng thuyết phục bạn rằng bằng cấp được tạo ra bởi những kẻ bỏ cuộc và những kẻ xảo quyệt để giải quyết vấn đề của riêng họ. vấn đề cuộc sống, và không gây rắc rối cho bạn, đây là một vài ví dụ nữa từ cuộc sống.

Ví dụ thực tế số 4

Bạn có một triệu rúp. Vào đầu mỗi năm, cứ mỗi một triệu bạn kiếm được, bạn sẽ kiếm được thêm một triệu nữa. Tức là cứ một triệu bạn sẽ có gấp đôi vào đầu mỗi năm. Bạn sẽ có bao nhiêu tiền trong những năm tới? Nếu bây giờ bạn đang ngồi và “đếm bằng ngón tay”, điều đó có nghĩa là bạn đang rất người đàn ông chăm chỉ và... ngu ngốc. Nhưng rất có thể bạn sẽ đưa ra câu trả lời sau vài giây nữa, vì bạn rất thông minh! Vì vậy, trong năm đầu tiên - hai nhân với hai... vào năm thứ hai - chuyện gì đã xảy ra, với hai lần nữa, vào năm thứ ba... Dừng lại! Bạn nhận thấy rằng số này được nhân với chính nó. Vậy hai mũ năm là một triệu! Bây giờ hãy tưởng tượng rằng bạn có một cuộc thi và người có thể đếm nhanh nhất sẽ nhận được hàng triệu này... Thật đáng để ghi nhớ sức mạnh của các con số, bạn có nghĩ vậy không?

Ví dụ thực tế số 5

Bạn có một triệu. Vào đầu mỗi năm, cứ mỗi một triệu bạn kiếm được, bạn sẽ kiếm được thêm hai triệu nữa. Tuyệt vời phải không? Mỗi triệu đều tăng gấp ba. Bạn sẽ có bao nhiêu tiền trong một năm? Hãy đếm. Năm đầu tiên - nhân với, sau đó kết quả với năm khác... Nó đã nhàm chán rồi, vì bạn đã hiểu mọi thứ rồi: ba được nhân với chính nó lần. Vậy lũy thừa thứ tư nó bằng một triệu. Bạn chỉ cần nhớ rằng lũy ​​thừa ba lũy thừa bốn là hoặc.

Bây giờ bạn biết rằng bằng cách nâng lũy ​​thừa một số, bạn sẽ làm cho cuộc sống của mình dễ dàng hơn rất nhiều. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn những gì bạn có thể làm với bằng cấp và những điều bạn cần biết về chúng.

Các thuật ngữ và khái niệm...để không bị nhầm lẫn

Vì vậy, trước tiên, hãy xác định các khái niệm. Bạn có nghĩ số mũ là gì? Rất đơn giản - đó là con số "đứng đầu" lũy thừa của con số. Không khoa học nhưng rõ ràng, dễ nhớ…

Vâng, đồng thời, những gì cơ sở bằng cấp như vậy? Đơn giản hơn nữa - đây là con số nằm bên dưới, ở chân đế.

Đây là một bản vẽ cho biện pháp tốt.

À, nói chung, để khái quát và ghi nhớ tốt hơn... Độ có cơ số “ ” và số mũ “ ” được đọc là “theo độ” và được viết như sau:

lũy thừa của một số với số mũ tự nhiên

Chắc hẳn bạn đã đoán được: vì số mũ là số tự nhiên. Vâng, nhưng nó là gì số tự nhiên? Tiểu học! Số tự nhiên là những con số dùng để đếm khi liệt kê đồ vật: một, hai, ba... Khi đếm đồ vật, chúng ta không nói: “trừ năm”, “trừ sáu”, “trừ bảy”. Chúng tôi cũng không nói: “một phần ba” hay “không điểm năm”. Đây không phải là số tự nhiên. Bạn nghĩ đây là những con số nào?

Những con số như “trừ năm”, “trừ sáu”, “trừ bảy” đề cập đến toàn bộ số. Nói chung, số nguyên bao gồm tất cả các số tự nhiên, các số đối diện với số tự nhiên (nghĩa là lấy bằng dấu trừ) và số. Zero rất dễ hiểu - đó là khi không có gì cả. Số âm (“trừ”) có nghĩa là gì? Nhưng chúng được phát minh ra chủ yếu để chỉ ra các khoản nợ: nếu bạn có số dư trên điện thoại bằng đồng rúp, điều này có nghĩa là bạn nợ nhà điều hành đồng rúp.

Tất cả các phân số đều số hữu tỉ. Bạn nghĩ chúng phát sinh như thế nào? Rất đơn giản. Vài ngàn năm trước, tổ tiên chúng ta phát hiện ra rằng họ thiếu các số tự nhiên để đo chiều dài, trọng lượng, diện tích, v.v. Và họ đã nghĩ ra số hữu tỉ... Thật thú vị phải không?

Có nhiều hơn nữa số vô tỉ. Những con số này là gì? Nói tóm lại, đó là một phần thập phân vô hạn. Ví dụ: nếu bạn chia chu vi của một hình tròn cho đường kính của nó, bạn sẽ nhận được một số vô tỷ.

Bản tóm tắt:

Chúng ta hãy định nghĩa khái niệm về mức độ có số mũ là số tự nhiên (tức là số nguyên và số dương).

  1. Bất kỳ số nào có lũy thừa bậc một đều bằng chính nó:
  2. Bình phương một số có nghĩa là nhân số đó với chính nó:
  3. Lập phương một số có nghĩa là nhân số đó với chính nó ba lần:

Sự định nghĩa. Nâng số lên bằng cấp tự nhiên- có nghĩa là nhân một số với chính nó:
.

Thuộc tính của độ

Những tài sản này đến từ đâu? Tôi sẽ chỉ cho bạn bây giờ.

Hãy xem: nó là gì Và ?

Theo định nghĩa:

Có tổng cộng bao nhiêu số nhân?

Rất đơn giản: chúng tôi đã thêm số nhân vào các thừa số và kết quả là số nhân.

Nhưng theo định nghĩa, đây là lũy thừa của một số có số mũ, tức là: , đây là điều cần chứng minh.

Ví dụ: Rút gọn biểu thức.

Giải pháp:

Ví dụ:Đơn giản hóa biểu thức.

Giải pháp:Điều quan trọng cần lưu ý là trong quy tắc của chúng tôi nhất thiết chắc chắn phải có những lý do tương tự!
Vì vậy, chúng ta kết hợp sức mạnh với căn cứ, nhưng nó vẫn là một yếu tố riêng biệt:

chỉ dành cho sản phẩm của sức mạnh!

Trong mọi trường hợp bạn không thể viết điều đó.

2. thế thôi lũy thừa của một số

Cũng giống như thuộc tính trước, chúng ta hãy chuyển sang định nghĩa về mức độ:

Hóa ra biểu thức được nhân với chính nó lần, tức là theo định nghĩa, đây là lũy thừa thứ của số:

Về bản chất, điều này có thể được gọi là “lấy chỉ báo ra khỏi dấu ngoặc”. Nhưng tổng cộng bạn không bao giờ có thể làm được điều này:

Chúng ta hãy nhớ các công thức nhân viết tắt: chúng ta muốn viết bao nhiêu lần?

Nhưng xét cho cùng thì điều này không đúng.

Công suất có gốc âm

Cho đến thời điểm này, chúng ta chỉ thảo luận về số mũ nên là gì.

Nhưng cơ sở nên là gì?

Trong quyền hạn của chỉ số tự nhiên cơ sở có thể là bất kỳ số nào. Thật vậy, chúng ta có thể nhân bất kỳ số nào với nhau, dù là dương, âm hay thậm chí.

Hãy cùng nghĩ xem những dấu hiệu nào ("" hoặc "") sẽ có bậc của số dương và số âm?

Ví dụ: số đó là dương hay âm? MỘT? ? Với cái đầu tiên, mọi thứ đều rõ ràng: cho dù chúng ta nhân với nhau bao nhiêu số dương thì kết quả vẫn là số dương.

Nhưng những điều tiêu cực thì thú vị hơn một chút. Chúng tôi nhớ một quy tắc đơn giản từ lớp 6: “trừ cho trừ sẽ thành cộng”. Đó là, hoặc. Nhưng nếu chúng ta nhân lên, nó sẽ hoạt động.

Hãy tự xác định xem các biểu thức sau sẽ có dấu gì:

1) 2) 3)
4) 5) 6)

Bạn đã quản lý được chưa?

Đây là câu trả lời: Trong bốn ví dụ đầu tiên, tôi hy vọng mọi thứ đều rõ ràng? Chúng ta chỉ cần nhìn vào cơ số và số mũ rồi áp dụng quy tắc thích hợp.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Trong ví dụ 5) mọi thứ cũng không đáng sợ như vẻ ngoài của nó: xét cho cùng, cơ số bằng bao nhiêu không quan trọng - mức độ chẵn, có nghĩa là kết quả sẽ luôn dương.

Vâng, ngoại trừ khi cơ số bằng 0. Cơ sở không bằng nhau phải không? Rõ ràng là không, vì (vì).

Ví dụ 6) không còn đơn giản nữa!

6 ví dụ để thực hành

Phân tích giải pháp 6 ví dụ

Nếu bỏ qua sức mạnh thứ tám, chúng ta thấy gì ở đây? Hãy nhớ lại chương trình lớp 7. Vậy bạn có nhớ không? Đây là công thức nhân viết tắt, cụ thể là hiệu bình phương! Chúng tôi nhận được:

Chúng ta hãy xem xét cẩn thận mẫu số. Nó trông rất giống một trong các thừa số của tử số, nhưng có gì sai? Thứ tự của các điều khoản là sai. Nếu chúng bị đảo ngược, quy tắc có thể được áp dụng.

Nhưng làm thế nào để làm điều này? Hóa ra điều đó rất dễ dàng: bậc chẵn của mẫu số sẽ giúp chúng ta ở đây.

Điều kỳ diệu là các điều khoản đã thay đổi vị trí. “Hiện tượng” này áp dụng cho bất kỳ biểu thức nào ở mức độ đồng đều: chúng ta có thể dễ dàng thay đổi dấu trong ngoặc đơn.

Nhưng điều quan trọng cần nhớ là: tất cả các dấu hiệu thay đổi cùng một lúc!

Hãy quay lại ví dụ:

Và một lần nữa công thức:

Trọn chúng ta gọi các số tự nhiên, các số đối của chúng (nghĩa là lấy bằng dấu " ") và số.

trọn số dương , và nó không khác gì tự nhiên, thì mọi thứ trông giống hệt như phần trước.

Bây giờ hãy xem xét các trường hợp mới. Hãy bắt đầu với một chỉ số bằng.

Bất kỳ số nào trong không độ bằng một:

Như mọi khi, chúng ta hãy tự hỏi: tại sao lại như vậy?

Chúng ta hãy xem xét một mức độ nào đó với một cơ sở. Lấy ví dụ và nhân với:

Vì vậy, chúng ta nhân số đó với và chúng ta được kết quả tương tự - . Bạn nên nhân số nào để không có gì thay đổi? Đúng rồi, tiếp tục. Có nghĩa.

Chúng ta có thể làm tương tự với một số tùy ý:

Hãy lặp lại quy tắc:

Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng một.

Nhưng có nhiều ngoại lệ đối với nhiều quy tắc. Và đây nó cũng ở đó - đây là một con số (làm cơ sở).

Một mặt, nó phải bằng bất kỳ mức độ nào - cho dù bạn nhân số 0 với chính nó bao nhiêu, bạn vẫn sẽ nhận được số 0, điều này rõ ràng. Nhưng mặt khác, giống như bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0, nó phải bằng nhau. Vậy bao nhiêu phần trăm điều này là đúng? Các nhà toán học quyết định không tham gia và từ chối nâng số 0 lên lũy thừa bằng không. Nghĩa là, bây giờ chúng ta không chỉ không thể chia cho 0 mà còn nâng nó lên lũy thừa 0.

Hãy tiếp tục. Ngoài số tự nhiên và số, số nguyên còn bao gồm số âm. Để hiểu mức độ âm là gì, chúng ta hãy làm như trong lần trước: nhân một số số bình thường tương tự ở mức độ tiêu cực:

Từ đây thật dễ dàng để thể hiện những gì bạn đang tìm kiếm:

Bây giờ hãy mở rộng quy tắc kết quả đến một mức độ tùy ý:

Vì vậy, hãy xây dựng một quy tắc:

Một số có lũy thừa âm là số nghịch đảo của cùng một số có lũy thừa dương. Nhưng đồng thời Cơ sở không thể rỗng:(vì bạn không thể chia cho).

Hãy tóm tắt:

I. Biểu thức không được xác định trong trường hợp. Nếu thì.

II. Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng một: .

III. Số, không bằng 0, ở mức độ âm là nghịch đảo của cùng một số ở mức độ dương: .

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập:

Vâng, như thường lệ, ví dụ về các giải pháp độc lập:

Phân tích bài toán để tìm lời giải độc lập:

Tôi biết, tôi biết, những con số thật đáng sợ, nhưng trong Kỳ thi Thống nhất, bạn phải chuẩn bị cho bất cứ điều gì! Hãy giải những ví dụ này hoặc phân tích lời giải của chúng nếu bạn không thể giải được và bạn sẽ học cách đối phó với chúng một cách dễ dàng trong kỳ thi!

Hãy tiếp tục mở rộng phạm vi số “phù hợp” làm số mũ.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét số hữu tỉ. Những con số nào được gọi là hợp lý?

Trả lời: mọi thứ có thể được biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên, và.

Để hiểu nó là gì "độ phân số", xét phân số:

Hãy nâng cả hai vế của phương trình lên lũy thừa:

Bây giờ chúng ta hãy nhớ quy tắc về "theo mức độ":

Số nào phải được nâng lên lũy thừa để có được?

Công thức này là định nghĩa của gốc của bậc thứ.

Để tôi nhắc bạn: căn bậc lũy thừa của một số () là một số mà khi nâng lên lũy thừa sẽ bằng.

Nghĩa là, gốc của lũy thừa thứ là phép toán nghịch đảo của việc nâng lên lũy thừa: .

Hóa ra là thế. Rõ ràng điều này trường hợp đặc biệt có thể mở rộng: .

Bây giờ chúng ta cộng tử số: nó là gì? Câu trả lời rất dễ có được bằng cách sử dụng quy tắc công suất:

Nhưng cơ sở có thể là số nào không? Rốt cuộc, gốc không thể được rút ra từ tất cả các số.

Không có!

Hãy nhớ quy tắc: bất kỳ số nào được nâng lên lũy thừa chẵn đều là số dương. Tức là không thể rút ra các nghiệm chẵn từ số âm!

Điều này có nghĩa là những số như vậy không thể được nâng lên lũy thừa phân số với mẫu số chẵn, nghĩa là biểu thức không có ý nghĩa.

Còn cách diễn đạt thì sao?

Nhưng ở đây có một vấn đề phát sinh.

Ví dụ, số có thể được biểu diễn dưới dạng các phân số có thể rút gọn khác, hoặc.

Và hóa ra nó có tồn tại nhưng không tồn tại mà đây chỉ là hai mục khác nhau cùng một số.

Hoặc một ví dụ khác: một lần, sau đó bạn có thể viết nó ra. Nhưng nếu chúng ta viết chỉ số theo cách khác, chúng ta sẽ lại gặp rắc rối: (nghĩa là chúng ta nhận được một kết quả hoàn toàn khác!).

Để tránh những nghịch lý như vậy, chúng ta xem xét chỉ có số mũ cơ số dương với số mũ phân số.

Vì vậy nếu:

  • - số tự nhiên;
  • - số nguyên;

Ví dụ:

Số mũ hữu tỷ rất hữu ích cho việc chuyển đổi các biểu thức có gốc, ví dụ:

5 ví dụ để thực hành

Phân tích 5 ví dụ để đào tạo

Chà, bây giờ đến phần khó nhất. Bây giờ chúng ta sẽ tìm ra nó mức độ với số mũ vô tỷ.

Tất cả các quy tắc và tính chất của độ ở đây hoàn toàn giống với độ có số mũ hữu tỷ, ngoại trừ

Xét cho cùng, theo định nghĩa, số vô tỷ là những số không thể biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên (nghĩa là số vô tỷ đều là số thực ngoại trừ số hữu tỷ).

Khi nghiên cứu các độ với số mũ tự nhiên, số nguyên và số hữu tỉ, mỗi lần chúng ta tạo ra một “hình ảnh”, “sự tương tự” hoặc mô tả nhất định bằng những thuật ngữ quen thuộc hơn.

Ví dụ, độ có số mũ tự nhiên là một số được nhân với chính nó nhiều lần;

...số lũy thừa 0- đây là một số được nhân với chính nó một lần, nghĩa là họ chưa bắt đầu nhân nó, có nghĩa là bản thân số đó thậm chí còn chưa xuất hiện - do đó kết quả chỉ là một “số trống” nhất định , cụ thể là một số;

...độ nguyên âm- hình như có chuyện gì đó xảy ra” quá trình ngược lại", tức là số đó không được nhân với chính nó mà được chia.

Nhân tiện, về khoa học, một tấm bằng với chỉ số phức tạp, nghĩa là, chỉ báo thậm chí không số thực.

Nhưng ở trường, chúng tôi không nghĩ đến những khó khăn như vậy; bạn sẽ có cơ hội hiểu được những khái niệm mới này tại viện.

Ở ĐÂU CHÚNG TÔI CHẮC CHẮN BẠN SẼ ĐI! (nếu bạn học cách giải những ví dụ như vậy :))

Ví dụ:

Hãy tự mình quyết định:

Phân tích các giải pháp:

1. Hãy bắt đầu với quy tắc thông thường để nâng lũy ​​thừa lên lũy thừa:

Bây giờ hãy nhìn vào chỉ số. Anh ấy không nhắc nhở bạn điều gì sao? Chúng ta hãy nhớ lại công thức nhân viết tắt của hiệu các bình phương:

Trong trường hợp này,

Hóa ra là:

Trả lời: .

2. Chúng ta quy đổi các phân số theo số mũ về cùng một dạng: cả số thập phân hoặc cả số thường. Chúng tôi nhận được, ví dụ:

Đáp án: 16

3. Không có gì đặc biệt, chúng ta sử dụng các tính chất thông thường của độ:

CẤP ĐỘ NÂNG CAO

Xác định bằng cấp

Một mức độ là một biểu thức có dạng: , trong đó:

  • — cơ sở bằng cấp;
  • - số mũ.

Độ có chỉ số tự nhiên (n=1, 2, 3,...)

Nâng một số lên lũy thừa tự nhiên n có nghĩa là nhân số đó với chính nó:

Bậc có số mũ là số nguyên (0, ±1, ±2,...)

Nếu số mũ là số nguyên dương con số:

Sự thi công đến mức không:

Biểu thức này là không xác định, bởi vì, một mặt, ở bất kỳ mức độ nào cũng là thế này, và mặt khác, bất kỳ số nào ở mức độ thứ đều là thế này.

Nếu số mũ là số nguyên âm con số:

(vì bạn không thể chia cho).

Một lần nữa về số không: biểu thức không được xác định trong trường hợp này. Nếu thì.

Ví dụ:

Sức mạnh với số mũ hợp lý

  • - số tự nhiên;
  • - số nguyên;

Ví dụ:

Thuộc tính của độ

Để giải quyết vấn đề dễ dàng hơn, chúng ta hãy cố gắng hiểu: những thuộc tính này đến từ đâu? Hãy chứng minh chúng.

Hãy xem: là gì và?

Theo định nghĩa:

Vì vậy, ở phía bên phải của biểu thức này, chúng ta nhận được sản phẩm sau:

Nhưng theo định nghĩa, nó là lũy thừa của một số có số mũ, nghĩa là:

Q.E.D.

Ví dụ : Rút gọn biểu thức.

Giải pháp : .

Ví dụ : Rút gọn biểu thức.

Giải pháp : Điều quan trọng cần lưu ý là trong quy tắc của chúng tôi nhất thiết phải có những lý do tương tự. Vì vậy, chúng ta kết hợp sức mạnh với căn cứ, nhưng nó vẫn là một yếu tố riêng biệt:

Một lưu ý quan trọng khác: quy tắc này - chỉ dành cho sản phẩm của sức mạnh!

Trong mọi trường hợp bạn không thể viết điều đó.

Cũng giống như thuộc tính trước, chúng ta hãy chuyển sang định nghĩa về mức độ:

Hãy tập hợp lại công việc này như thế này:

Hóa ra biểu thức được nhân với chính nó lần, tức là theo định nghĩa, đây là lũy thừa thứ của số:

Về bản chất, điều này có thể được gọi là “lấy chỉ báo ra khỏi dấu ngoặc”. Nhưng tổng cộng bạn không bao giờ có thể làm được điều này: !

Chúng ta hãy nhớ các công thức nhân viết tắt: chúng ta muốn viết bao nhiêu lần? Nhưng xét cho cùng thì điều này không đúng.

Công suất có gốc âm.

Cho đến thời điểm này chúng ta mới chỉ thảo luận xem nó sẽ như thế nào chỉ báođộ. Nhưng cơ sở nên là gì? Trong quyền hạn của tự nhiên chỉ báo cơ sở có thể là bất kỳ số nào .

Thật vậy, chúng ta có thể nhân bất kỳ số nào với nhau, dù là dương, âm hay thậm chí. Hãy cùng nghĩ xem những dấu hiệu nào ("" hoặc "") sẽ có bậc của số dương và số âm?

Ví dụ: số đó là dương hay âm? MỘT? ?

Với cái đầu tiên, mọi thứ đều rõ ràng: cho dù chúng ta nhân với nhau bao nhiêu số dương thì kết quả vẫn là số dương.

Nhưng những điều tiêu cực thì thú vị hơn một chút. Chúng tôi nhớ một quy tắc đơn giản từ lớp 6: “trừ cho trừ sẽ thành cộng”. Đó là, hoặc. Nhưng nếu chúng ta nhân với (), chúng ta nhận được - .

Và cứ như vậy đến vô cùng: với mỗi phép nhân tiếp theo, dấu sẽ thay đổi. Chúng ta có thể xây dựng công thức sau quy tắc đơn giản:

  1. thậm chíđộ, - số tích cực.
  2. Số âm nâng lên số lẻđộ, - số tiêu cực.
  3. Một số dương ở mức độ nào đó là một số dương.
  4. Số không với mọi lũy thừa đều bằng không.

Hãy tự xác định xem các biểu thức sau sẽ có dấu gì:

1. 2. 3.
4. 5. 6.

Bạn đã quản lý được chưa? Dưới đây là câu trả lời:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Trong bốn ví dụ đầu tiên, tôi hy vọng mọi thứ đều rõ ràng? Chúng ta chỉ cần nhìn vào cơ số và số mũ rồi áp dụng quy tắc thích hợp.

Trong ví dụ 5) mọi thứ cũng không đáng sợ như vẻ ngoài của nó: xét cho cùng, cơ số bằng bao nhiêu không quan trọng - mức độ chẵn, có nghĩa là kết quả sẽ luôn dương. Vâng, ngoại trừ khi cơ số bằng 0. Cơ sở không bằng nhau phải không? Rõ ràng là không, vì (vì).

Ví dụ 6) không còn đơn giản nữa. Ở đây bạn cần tìm ra cái nào ít hơn: hoặc? Nếu chúng ta nhớ điều đó, nó sẽ trở nên rõ ràng, nghĩa là cơ số nhỏ hơn 0. Tức là chúng ta áp dụng quy tắc 2: kết quả sẽ âm tính.

Và một lần nữa chúng ta sử dụng định nghĩa về mức độ:

Mọi thứ vẫn như thường lệ - chúng ta viết ra định nghĩa về độ và chia chúng cho nhau, chia chúng thành từng cặp và nhận được:

Trước khi bạn tháo nó ra quy tắc cuối cùng, hãy giải một vài ví dụ.

Tính các biểu thức:

Giải pháp :

Nếu bỏ qua sức mạnh thứ tám, chúng ta thấy gì ở đây? Hãy nhớ lại chương trình lớp 7. Vậy bạn có nhớ không? Đây là công thức nhân viết tắt, cụ thể là hiệu bình phương!

Chúng tôi nhận được:

Chúng ta hãy xem xét cẩn thận mẫu số. Nó trông rất giống một trong các thừa số của tử số, nhưng có gì sai? Thứ tự của các điều khoản là sai. Nếu chúng bị đảo ngược, Quy tắc 3 có thể được áp dụng. Nhưng bằng cách nào? Hóa ra điều đó rất dễ dàng: bậc chẵn của mẫu số sẽ giúp chúng ta ở đây.

Nếu bạn nhân nó lên thì không có gì thay đổi phải không? Nhưng bây giờ nó lại thành ra thế này:

Điều kỳ diệu là các điều khoản đã thay đổi vị trí. “Hiện tượng” này áp dụng cho bất kỳ biểu thức nào ở mức độ đồng đều: chúng ta có thể dễ dàng thay đổi dấu trong ngoặc đơn. Nhưng điều quan trọng cần nhớ là: Tất cả các dấu hiệu thay đổi cùng một lúc! Bạn không thể thay thế nó bằng cách chỉ thay đổi một nhược điểm mà chúng tôi không thích!

Hãy quay lại ví dụ:

Và một lần nữa công thức:

Vì vậy, bây giờ quy tắc cuối cùng:

Chúng ta sẽ chứng minh điều đó như thế nào? Tất nhiên, như thường lệ: hãy mở rộng khái niệm về mức độ và đơn giản hóa nó:

Chà, bây giờ hãy mở ngoặc. Có tổng cộng bao nhiêu chữ cái? lần bằng số nhân - điều này làm bạn nhớ đến điều gì? Đây không gì khác hơn là một định nghĩa về một hoạt động phép nhân: Chỉ có số nhân ở đó. Nghĩa là, theo định nghĩa, đây là lũy thừa của một số có số mũ:

Ví dụ:

Bằng cấp với số mũ vô tỷ

Ngoài thông tin về độ cho mức trung bình, chúng tôi sẽ phân tích độ bằng số mũ vô tỉ. Tất cả các quy tắc và tính chất của độ ở đây hoàn toàn giống với độ có số mũ hữu tỉ, ngoại trừ - xét cho cùng, theo định nghĩa, số vô tỷ là những số không thể biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên (nghĩa là , số vô tỉ đều là số thực trừ số hữu tỉ).

Khi nghiên cứu các độ với số mũ tự nhiên, số nguyên và số hữu tỉ, mỗi lần chúng ta tạo ra một “hình ảnh”, “sự tương tự” hoặc mô tả nhất định bằng những thuật ngữ quen thuộc hơn. Ví dụ, độ có số mũ tự nhiên là một số được nhân với chính nó nhiều lần; một số có lũy thừa bằng 0 dường như là một số được nhân với chính nó lần, nghĩa là họ chưa bắt đầu nhân nó, có nghĩa là bản thân số đó thậm chí còn chưa xuất hiện - do đó kết quả chỉ là một số nhất định “số trống”, tức là một số; một mức độ với số mũ âm nguyên - giống như thể một "quá trình ngược lại" nào đó đã xảy ra, nghĩa là số đó không được nhân với chính nó mà được chia.

Rất khó để tưởng tượng một mức độ với số mũ vô tỷ (cũng như rất khó để tưởng tượng một không gian 4 chiều). Nó khá sạch sẽ đối tượng toán học, mà các nhà toán học tạo ra để mở rộng khái niệm bậc cho toàn bộ không gian số.

Nhân tiện, trong khoa học, mức độ với số mũ phức tạp thường được sử dụng, nghĩa là số mũ thậm chí không phải là số thực. Nhưng ở trường, chúng tôi không nghĩ đến những khó khăn như vậy; bạn sẽ có cơ hội hiểu được những khái niệm mới này tại viện.

Vậy chúng ta sẽ làm gì nếu thấy chỉ số vô lýđộ? Chúng tôi đang cố gắng hết sức để thoát khỏi nó :)

Ví dụ:

Hãy tự mình quyết định:

1) 2) 3)

Câu trả lời:

  1. Hãy nhớ lại sự khác biệt của công thức bình phương. Trả lời: .
  2. Chúng ta quy các phân số về cùng một dạng: cả hai số thập phân hoặc cả hai số thường. Chúng tôi nhận được, ví dụ: .
  3. Không có gì đặc biệt, chúng tôi sử dụng các thuộc tính thông thường của độ:

TỔNG HỢP PHẦN VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢN

Bằng cấpđược gọi là biểu thức có dạng: , trong đó:

Bậc có số mũ là số nguyên

một mức độ có số mũ là số tự nhiên (tức là số nguyên và số dương).

Sức mạnh với số mũ hợp lý

độ, số mũ của nó là số âm và số phân số.

Bằng cấp với số mũ vô tỷ

một mức độ có số mũ là một phần thập phân vô hạn hoặc gốc.

Thuộc tính của độ

Đặc điểm của độ.

  • Số âm nâng lên thậm chíđộ, - số tích cực.
  • Số âm nâng lên số lẻđộ, - số tiêu cực.
  • Một số dương ở mức độ nào đó là một số dương.
  • Số không tương đương với bất kỳ sức mạnh nào.
  • Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng nhau.

BÂY GIỜ BẠN CÓ LỜI...

Bạn thích bài viết như thế nào? Viết bên dưới trong phần bình luận cho dù bạn có thích hay không.

Hãy cho chúng tôi biết về trải nghiệm của bạn khi sử dụng thuộc tính độ.

Có lẽ bạn có thắc mắc. Hoặc gợi ý.

Viết trong các ý kiến.

Và chúc may mắn trong kỳ thi của bạn!

Ở trường chúng ta đều biết quy tắc lũy thừa: bất kỳ số nào có số mũ N đều bằng kết quả của phép nhân số đã cho vào chính mình N lần. Nói cách khác, 7 lũy thừa 3 là 7 nhân với chính nó ba lần, tức là 343. Một quy tắc khác là việc nâng bất kỳ số lượng nào lên lũy thừa 0 sẽ bằng một, và việc tăng số lượng âm là kết quả của việc tăng thông thường lên lũy thừa 0. lũy thừa nếu nó chẵn và kết quả tương tự với dấu trừ nếu nó lẻ.

Các quy tắc cũng đưa ra câu trả lời về cách nâng một số lên mức độ tiêu cực. Để làm điều này, bạn cần tăng giá trị yêu cầu theo mô đun của chỉ báo theo cách thông thường, sau đó chia đơn vị cho kết quả.

Từ những quy định này, có thể thấy rõ rằng việc thực hiện vấn đề thực sự bằng phẫu thuật số lượng lớn sẽ yêu cầu sự sẵn có phương tiện kỹ thuật. Theo cách thủ công, bạn có thể tự nhân một phạm vi số tối đa lên đến hai mươi đến ba mươi, sau đó không quá ba hoặc bốn lần. Đó là chưa kể sau đó chia một cho kết quả. Do đó, đối với những người không có sẵn máy tính kỹ thuật đặc biệt, chúng tôi sẽ cho bạn biết cách nâng số lên lũy thừa âm trong Excel.

Giải quyết vấn đề trong Excel

Để giải quyết các vấn đề trong xây dựng Bằng cấp Excel cho phép bạn sử dụng một trong hai tùy chọn.

Đầu tiên là việc sử dụng công thức có ký hiệu “nắp” tiêu chuẩn. Nhập dữ liệu sau vào các ô của bảng tính:

Theo cách tương tự, bạn có thể nâng giá trị mong muốn lên bất kỳ lũy thừa nào - âm, phân số. Hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi làm thế nào để nâng một số lên lũy thừa âm. Ví dụ:

Bạn có thể sửa =B2^-C2 trực tiếp trong công thức.

Tùy chọn thứ hai là sử dụng hàm “Bằng” được tạo sẵn, hàm này nhận hai đối số bắt buộc - một số và một số mũ. Để bắt đầu sử dụng nó, chỉ cần đặt dấu bằng (=) vào bất kỳ ô trống nào, cho biết phần đầu của công thức và nhập các từ trên. Tất cả những gì còn lại là chọn hai ô sẽ tham gia vào thao tác (hoặc chỉ định con số cụ thể bằng tay) và nhấn phím Enter. Hãy xem xét một vài ví dụ đơn giản.

Công thức

Kết quả

BẰNG ĐỘ(B2;C2)

BẰNG ĐỘ(B3;C3)

0,002915

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp về cách nâng một số lên lũy thừa âm và lên số bình thường với sử dụng Excel. Cuối cùng, để giải quyết vấn đề này, bạn có thể sử dụng cả biểu tượng “nắp” quen thuộc và chức năng tích hợp sẵn của chương trình, rất dễ nhớ. Đây là một điểm cộng nhất định!

Hãy chuyển sang nhiều hơn nữa ví dụ phức tạp. Hãy nhớ lại quy tắc về cách nâng một số lên lũy thừa phân số âm và chúng ta sẽ thấy rằng vấn đề này được giải quyết rất dễ dàng trong Excel.

chỉ số phân số

Nói tóm lại, thuật toán tính một số có số mũ phân số như sau.

  1. Chuyển đổi một phân số thành một phân số đúng hoặc không đúng.
  2. Nâng số của chúng tôi lên tử số của phân số được chuyển đổi kết quả.
  3. Từ số thu được ở đoạn trước, hãy tính căn thức với điều kiện số mũ của căn thức sẽ là mẫu số của phân số thu được ở bước đầu tiên.

Đồng ý rằng ngay cả khi hoạt động với số lượng nhỏ và phân số đúng tính toán tương tự có thể mất rất nhiều thời gian. Thật tốt khi bộ xử lý bảng tính Excel không quan tâm đến số nào được nâng lên lũy thừa bao nhiêu. Hãy thử giải ví dụ sau trên bảng tính Excel:

Sử dụng các quy tắc trên, bạn có thể kiểm tra và đảm bảo rằng phép tính được thực hiện chính xác.

Ở cuối bài viết, chúng tôi sẽ trình bày dưới dạng bảng với các công thức và kết quả một số ví dụ về cách nâng một số lên lũy thừa âm, cũng như một số ví dụ về hoạt động số phân số và bằng cấp.

Bảng ví dụ

Hãy xem các ví dụ sau trong bảng tính Excel của bạn. Để mọi thứ hoạt động chính xác, bạn cần sử dụng tham chiếu hỗn hợp khi sao chép công thức. Cố định số cột chứa số được nâng lên và số hàng chứa chỉ báo. Công thức của bạn nên có khoảng lượt xem tiếp theo: "=$B4^C$3".

Số lượng/Bằng cấp

Xin lưu ý rằng các số dương (thậm chí không phải số nguyên) có thể được tính toán mà không gặp vấn đề gì đối với bất kỳ số mũ nào. Không có vấn đề gì khi nâng bất kỳ số nào lên số nguyên. Nhưng việc nâng số âm lên lũy thừa phân số sẽ là một sai lầm đối với bạn, vì không thể tuân theo quy tắc đã nêu ở đầu bài viết của chúng tôi về việc nâng số âm, bởi vì tính chẵn lẻ là đặc điểm riêng của số TOÀN BỘ.

Bài học và trình bày về chủ đề: "Số mũ có số mũ âm. Định nghĩa và ví dụ giải bài toán"

Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn. Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.

Dụng cụ hỗ trợ giáo dục và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral dành cho lớp 8
Hướng dẫn sử dụng sách giáo khoa Muravin G.K.   

Sách hướng dẫn sử dụng sách của Alimov S.A.

Xác định mức độ với số mũ âm
Các bạn, chúng ta rất giỏi nâng lũy ​​thừa các số.

Ví dụ: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
Câu hỏi đặt ra là điều gì xảy ra nếu bạn nâng một số lên lũy thừa âm? Ví dụ: số $2^(-2)$ sẽ bằng bao nhiêu?
Các nhà toán học đầu tiên hỏi câu hỏi này đã quyết định rằng việc phát minh lại bánh xe là không đáng, và thật tốt là tất cả các tính chất của độ vẫn được giữ nguyên. Tức là khi nhân lũy thừa với cơ sở giống nhau, số mũ cộng lại.
Hãy xem xét trường hợp này: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Chúng tôi thấy rằng tích của những con số như vậy sẽ cho một. Đơn vị trong sản phẩm thu được bằng cách nhân số đối ứng, tức là $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Lý luận như vậy dẫn đến định nghĩa sau đây.
Sự định nghĩa. Nếu $n$ là một số tự nhiên và $a≠0$, thì đẳng thức giữ: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Một nhận dạng quan trọng thường được sử dụng là: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Cụ thể, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Ví dụ về giải pháp

Ví dụ 1.
Tính: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Giải pháp.
Chúng ta hãy xem xét từng thuật ngữ riêng biệt.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Việc còn lại là thực hiện các phép tính cộng và trừ: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Trả lời: $6\frac(1)(4)$.

Ví dụ 2.
Giới thiệu số đã cho như một bằng cấp số nguyên tố$\frac(1)(729)$.

Giải pháp.
Rõ ràng, $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Nhưng 729 không phải là số nguyên tố tận cùng bằng 9. Có thể giả định rằng con số này là lũy thừa của ba. Chia tuần tự 729 cho 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Sáu thao tác đã được thực hiện và điều đó có nghĩa là: $729=3^6$.
Đối với nhiệm vụ của chúng tôi:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Trả lời: $3^(-6)$.

Ví dụ 3. Biểu thị biểu thức dưới dạng lũy ​​thừa: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Giải pháp. Hành động đầu tiên luôn được thực hiện bên trong dấu ngoặc đơn, sau đó là phép nhân $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Trả lời: $a$.

Ví dụ 4. Chứng minh đẳng thức:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2 )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Giải pháp.
Ở phía bên trái, chúng tôi xem xét từng yếu tố trong ngoặc riêng biệt.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Hãy chuyển sang phân số mà chúng ta đang chia.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Hãy thực hiện phép chia.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Chúng tôi đã có được danh tính chính xác, đó là điều chúng tôi cần chứng minh.

Cuối bài chúng ta sẽ viết lại một lần nữa các quy tắc làm việc với lũy thừa, ở đây số mũ là số nguyên.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Vấn đề cần giải quyết độc lập

1. Tính: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Biểu diễn số đã cho dưới dạng lũy ​​thừa của số nguyên tố $\frac(1)(16384)$.
3. Biểu diễn biểu thức dưới dạng lũy ​​thừa:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Chứng minh danh tính:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Nâng lên lũy thừa âm là một trong những yếu tố cơ bản của toán học, thường gặp khi giải các bài toán đại số. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết.

Cách nâng lũy ​​thừa âm - lý thuyết

Khi chúng ta nâng một số lên lũy thừa thông thường, chúng ta nhân giá trị của nó lên nhiều lần. Ví dụ: 3 3 = 3×3×3 = 27. C phần âm nó là cách khác xung quanh. Chế độ xem chung theo công thức nó sẽ như thế này: a -n = 1/a n. Vì vậy, để nâng một số lên lũy thừa âm, bạn cần chia một cho số đã cho, nhưng thành lũy thừa dương.

Cách nâng lên lũy thừa âm - ví dụ về số thường

Hãy ghi nhớ quy tắc trên, hãy giải một vài ví dụ.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Đáp án: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Đáp án -4 -2 = 1/16.

Nhưng tại sao câu trả lời trong ví dụ thứ nhất và thứ hai lại giống nhau? Thực tế là khi một số âm được nâng lên lũy thừa chẵn (2, 4, 6, v.v.), dấu sẽ trở thành dương. Nếu mức độ là số chẵn thì điểm trừ sẽ vẫn còn:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Cách nâng lũy ​​thừa âm - các số từ 0 đến 1

Hãy nhớ lại rằng khi một số từ 0 đến 1 được nâng lên lũy thừa dương, giá trị sẽ giảm khi lũy thừa tăng. Vì vậy, ví dụ, 0,5 2 = 0,25. 0,25

Ví dụ 3: Tính 0,5 -2
Giải: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Đáp án: 0,5 -2 = 4

Phân tích (chuỗi hành động):

  • Chúng tôi dịch số thập phân 0,5 đến phân số 1/2. Cách đó dễ dàng hơn.
    Tăng 1/2 lên lũy thừa âm. 1/(2) -2 . Chia 1 cho 1/(2) 2, ta được 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Ví dụ 4: Tính 0,5 -3
Giải: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Ví dụ 5: Tính -0,5 -3
Giải: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Đáp án: -0,5 -3 = -8

Dựa trên ví dụ thứ 4 và thứ 5, chúng ta có thể rút ra một số kết luận:

  • Đối với số dương trong khoảng từ 0 đến 1 (ví dụ 4), lũy thừa âm, lũy thừa chẵn hay lẻ không quan trọng, giá trị của biểu thức sẽ là dương. Đồng thời, hơn nhiều bằng cấp hơn, giá trị càng lớn.
  • Đối với số âm trong khoảng từ 0 đến 1 (ví dụ 5), lũy thừa âm, lũy thừa chẵn hay lẻ không quan trọng, giá trị của biểu thức sẽ âm. Trong trường hợp này, mức độ càng cao thì giá trị càng thấp.

Cách nâng lên lũy thừa âm - lũy thừa ở dạng phân số

Biểu thức thuộc loại này có dạng sau: a -m/n , trong đó a - số thường xuyên, m là tử số của bậc, n là mẫu số của bậc.

Hãy xem một ví dụ:
Tính: 8 -1/3

Giải pháp (chuỗi hành động):

  • Chúng ta hãy nhớ lại quy tắc nâng một số lên lũy thừa âm. Chúng ta nhận được: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
  • Lưu ý rằng mẫu số có số 8 ở dạng lũy ​​thừa phân số. Dạng tổng quát của việc tính lũy thừa phân số như sau: a m/n = n √8 m.
  • Do đó, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). chúng tôi nhận được căn bậc ba trên 8, bằng 2. Từ đây, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
  • Đáp án: 8 -1/3 = 2

Ở trường, chúng ta đều biết quy tắc lũy thừa: bất kỳ số nào có số mũ N đều bằng kết quả của số này nhân với chính nó N lần. Nói cách khác, 7 lũy thừa 3 là 7 nhân với chính nó ba lần, tức là 343. Một quy tắc khác là việc nâng bất kỳ số lượng nào lên lũy thừa 0 sẽ bằng một, và việc tăng số lượng âm là kết quả của việc tăng thông thường lên lũy thừa 0. lũy thừa nếu nó chẵn và kết quả tương tự với dấu trừ nếu nó lẻ.

Các quy tắc cũng đưa ra câu trả lời về cách nâng một số lên lũy thừa âm. Để làm điều này, bạn cần tăng giá trị yêu cầu theo mô đun của chỉ báo theo cách thông thường, sau đó chia đơn vị cho kết quả.

Từ những quy tắc này, có thể thấy rõ rằng việc thực hiện các nhiệm vụ thực tế liên quan đến số lượng lớn sẽ đòi hỏi phải có sẵn các phương tiện kỹ thuật. Theo cách thủ công, bạn có thể tự nhân một phạm vi số tối đa lên đến hai mươi đến ba mươi, sau đó không quá ba hoặc bốn lần. Đó là chưa kể sau đó chia một cho kết quả. Do đó, đối với những người không có sẵn máy tính kỹ thuật đặc biệt, chúng tôi sẽ cho bạn biết cách nâng số lên lũy thừa âm trong Excel.

Giải quyết vấn đề trong Excel

Để giải quyết các vấn đề liên quan đến lũy thừa, Excel cho phép bạn sử dụng một trong hai tùy chọn.

Đầu tiên là việc sử dụng công thức có ký hiệu “nắp” tiêu chuẩn. Nhập dữ liệu sau vào các ô của bảng tính:

Theo cách tương tự, bạn có thể nâng giá trị mong muốn lên bất kỳ lũy thừa nào - âm, phân số. Hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi làm thế nào để nâng một số lên lũy thừa âm. Ví dụ:

Bạn có thể sửa =B2^-C2 trực tiếp trong công thức.

Tùy chọn thứ hai là sử dụng hàm “Bằng” được tạo sẵn, hàm này nhận hai đối số bắt buộc - một số và một số mũ. Để bắt đầu sử dụng nó, chỉ cần đặt dấu bằng (=) vào bất kỳ ô trống nào, cho biết phần đầu của công thức và nhập các từ trên. Tất cả những gì còn lại là chọn hai ô sẽ tham gia thao tác (hoặc chỉ định các số cụ thể theo cách thủ công) và nhấn phím Enter. Hãy xem xét một vài ví dụ đơn giản.

Công thức

Kết quả

BẰNG ĐỘ(B2;C2)

BẰNG ĐỘ(B3;C3)

0,002915

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp về cách nâng một số lên lũy thừa âm và lũy thừa thông thường bằng Excel. Cuối cùng, để giải quyết vấn đề này, bạn có thể sử dụng cả biểu tượng “nắp” quen thuộc và chức năng tích hợp sẵn của chương trình, rất dễ nhớ. Đây là một điểm cộng nhất định!

Hãy chuyển sang các ví dụ phức tạp hơn. Hãy nhớ lại quy tắc về cách nâng một số lên lũy thừa phân số âm và chúng ta sẽ thấy rằng vấn đề này được giải quyết rất dễ dàng trong Excel.

chỉ số phân số

Nói tóm lại, thuật toán tính một số có số mũ phân số như sau.

  1. Chuyển đổi một phân số thành một phân số đúng hoặc không đúng.
  2. Nâng số của chúng tôi lên tử số của phân số được chuyển đổi kết quả.
  3. Từ số thu được ở đoạn trước, hãy tính căn thức với điều kiện số mũ của căn thức sẽ là mẫu số của phân số thu được ở bước đầu tiên.

Đồng ý rằng ngay cả khi thao tác với những số nhỏ và phân số thích hợp, những phép tính như vậy có thể mất rất nhiều thời gian. Thật tốt khi bộ xử lý bảng tính Excel không quan tâm đến số nào được nâng lên lũy thừa bao nhiêu. Hãy thử giải ví dụ sau trên bảng tính Excel:

Sử dụng các quy tắc trên, bạn có thể kiểm tra và đảm bảo rằng phép tính được thực hiện chính xác.

Ở cuối bài viết của chúng tôi, chúng tôi sẽ trình bày dưới dạng bảng với các công thức và kết quả một số ví dụ về cách nâng một số lên lũy thừa âm, cũng như một số ví dụ về thao tác với số phân số và lũy thừa.

Bảng ví dụ

Hãy xem các ví dụ sau trong bảng tính Excel của bạn. Để mọi thứ hoạt động chính xác, bạn cần sử dụng tham chiếu hỗn hợp khi sao chép công thức. Cố định số cột chứa số được nâng lên và số hàng chứa chỉ báo. Công thức của bạn sẽ trông giống như thế này: “=$B4^C$3.”

Số lượng/Bằng cấp

Xin lưu ý rằng các số dương (thậm chí không phải số nguyên) có thể được tính toán mà không gặp vấn đề gì đối với bất kỳ số mũ nào. Không có vấn đề gì khi nâng bất kỳ số nào lên số nguyên. Nhưng việc nâng số âm lên lũy thừa phân số sẽ là một sai lầm đối với bạn, vì không thể tuân theo quy tắc đã nêu ở đầu bài viết của chúng tôi về việc nâng số âm, bởi vì tính chẵn lẻ là đặc điểm riêng của số TOÀN BỘ.

Một số được nâng lên lũy thừa Họ gọi một số được nhân với chính nó nhiều lần.

lũy thừa của một số có giá trị âm (MỘT) có thể được xác định theo cách tương tự như cách xác định lũy thừa của cùng một số với số mũ dương (MỘT) . Tuy nhiên, nó cũng đòi hỏi định nghĩa bổ sung. Công thức được định nghĩa là:

MỘT = (1/a n)

Tính chất của giá trị âm của lũy thừa của số cũng tương tự như lũy thừa của số mũ dương. trình bày phương trình Một m/a n= một m-n có thể công bằng như

« Không ở đâu, như trong toán học, sự rõ ràng và chính xác của kết luận lại cho phép một người lảng tránh câu trả lời bằng cách nói vòng quanh câu hỏi.».

A. D. Alexandrov

Tại N hơn tôi , và với tôi hơn N . Hãy xem một ví dụ: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Trước tiên, bạn cần xác định con số đóng vai trò định nghĩa về mức độ. b=a(-n) . Trong ví dụ này -N là số mũ b - giá trị số mong muốn, Một - cơ sở của bằng cấp ở dạng tự nhiên giá trị số. Sau đó xác định mô-đun, nghĩa là giá trị tuyệt đối một số âm đóng vai trò là số mũ. Tính lũy thừa của một số tương đối đã cho số tuyệt đối, như một chỉ báo. Giá trị của độ được tìm thấy bằng cách chia một cho số kết quả.

Cơm. 1

Xét lũy thừa của một số có số mũ phân số âm. Hãy tưởng tượng rằng số a là một số dương bất kỳ, các số N Và tôi - số tự nhiên Theo định nghĩa Một , được nâng lên lũy thừa - bằng một chia cho cùng một số với mức độ tích cực(Hình 1). Khi lũy thừa của một số là một phân số thì trong những trường hợp như vậy chỉ sử dụng những số có số mũ dương.

Đáng ghi nhớ số 0 đó không bao giờ có thể là số mũ của một số (quy tắc chia cho số 0).

Sự phổ biến của một khái niệm như một con số đã trở thành những thao tác như tính toán đo lường, cũng như sự phát triển của toán học như một môn khoa học. Sự ra đời của các giá trị âm là do sự phát triển của đại số, mang lại giải pháp chung các bài toán số học, bất kể họ ý nghĩa cụ thể và dữ liệu số ban đầu. Ở Ấn Độ vào thế kỷ thứ 6-11 giá trị âm các con số đã được sử dụng một cách có hệ thống trong quá trình giải quyết vấn đề và được diễn giải theo cách tương tự như ngày nay. TRONG khoa học châu Âu số âm bắt đầu được sử dụng rộng rãi nhờ R. Descartes, người đã đưa ra cách giải thích hình học số âm, như hướng của các đoạn. Chính Descartes là người đã đề xuất việc chỉ định một số lũy thừa để biểu thị dưới dạng công thức hai tầng. MỘT .