Hàm lũy thừa được gọi là hàm có dạng y=x n (đọc là y bằng x lũy thừa của n), trong đó n là một số đã cho. Các trường hợp đặc biệt của hàm lũy thừa là các hàm có dạng y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x và nhiều dạng khác. Hãy cho bạn biết thêm về mỗi người trong số họ.
Hàm tuyến tính y=x 1 (y=x)
Đồ thị là đường thẳng đi qua điểm (0;0) hợp một góc 45 độ với chiều dương của trục Ox.
Biểu đồ được trình bày dưới đây.
Các tính chất cơ bản của hàm tuyến tính:
- Hàm số tăng và xác định trên toàn bộ trục số.
- Nó không có giá trị tối đa hoặc tối thiểu.
Hàm bậc hai y=x 2
Đồ thị của hàm số bậc hai là một parabol.
Các tính chất cơ bản của hàm bậc hai:
- 1. Tại x =0, y=0, và y>0 tại x0
- 2. Hàm số bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của nó. Ymin tại x=0; Cũng cần lưu ý rằng hàm không có giá trị tối đa.
- 3. Hàm giảm theo khoảng (-∞;0] và tăng theo khoảng \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]
Đồ thị (Hình 2).
Hình 2. Đồ thị của hàm $f\left(x\right)=x^(2n)$
Tính chất của hàm lũy thừa với số mũ lẻ tự nhiên
Miền định nghĩa là tất cả các số thực.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- hàm số lẻ.
$f(x)$ liên tục trên toàn bộ miền định nghĩa.
Phạm vi là tất cả các số thực.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Hàm tăng trên toàn bộ miền định nghĩa.
$f\left(x\right)0$, cho $x\in (0,+\infty)$.
$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Hàm này lõm đối với $x\in (-\infty ,0)$ và lồi đối với $x\in (0,+\infty)$.
Đồ thị (Hình 3).
Hình 3. Đồ thị của hàm $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Hàm lũy thừa với số mũ nguyên
Đầu tiên, hãy giới thiệu khái niệm độ với số mũ là số nguyên.
Định nghĩa 3
lũy thừa của số thực $a$ với số mũ nguyên $n$ được xác định theo công thức:
Hình 4.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét hàm lũy thừa với số mũ nguyên, các tính chất và đồ thị của nó.
Định nghĩa 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ được gọi là hàm lũy thừa với số mũ là số nguyên.
Nếu bậc lớn hơn 0 thì chúng ta đến trường hợp hàm lũy thừa có số mũ tự nhiên. Chúng tôi đã thảo luận về nó ở trên. Với $n=0$, chúng ta nhận được hàm tuyến tính $y=1$. Chúng tôi sẽ để lại sự xem xét của nó cho người đọc. Vẫn còn phải xem xét các tính chất của hàm lũy thừa với số mũ nguyên âm
Tính chất của hàm lũy thừa với số mũ nguyên âm
Miền định nghĩa là $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Nếu số mũ là số chẵn thì hàm số chẵn; nếu số mũ là số lẻ thì hàm số đó là số lẻ.
$f(x)$ liên tục trên toàn bộ miền định nghĩa.
phạm vi:
Nếu số mũ là số chẵn thì $(0,+\infty)$; nếu số mũ là số lẻ thì $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Đối với số mũ lẻ, hàm giảm xuống dưới dạng $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Đối với số mũ chẵn, hàm giảm xuống $x\in (0,+\infty)$. và tăng khi $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ trên toàn bộ miền định nghĩa
Chúng ta hãy nhớ lại các tính chất và đồ thị của hàm lũy thừa với số mũ nguyên âm.
Với n chẵn, :
Hàm ví dụ:
Mọi đồ thị của các hàm số đó đều đi qua hai điểm cố định: (1;1), (-1;1). Điểm đặc biệt của các hàm thuộc loại này là tính chẵn lẻ của chúng; các đồ thị đối xứng với trục op-amp.
Cơm. 1. Đồ thị hàm số
Với n lẻ, :
Hàm ví dụ:
Mọi đồ thị của các hàm số đó đều đi qua hai điểm cố định: (1;1), (-1;-1). Điểm đặc biệt của các hàm loại này là chúng lẻ; các đồ thị đối xứng với gốc tọa độ.
Cơm. 2. Đồ thị hàm số
Chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa cơ bản.
lũy thừa của số không âm a với số mũ dương hợp lý được gọi là số.
lũy thừa của số dương a với số mũ âm hữu tỉ được gọi là số.
Về sự bình đẳng:
Ví dụ:
; - theo định nghĩa, biểu thức không tồn tại ở mức độ có số mũ hữu tỉ âm; tồn tại vì số mũ là số nguyên, 
Chúng ta hãy chuyển sang xem xét các hàm lũy thừa với số mũ âm hợp lý.
Ví dụ:
Để vẽ đồ thị của hàm này, bạn có thể tạo một bảng. Chúng ta sẽ làm theo cách khác: đầu tiên chúng ta sẽ xây dựng và nghiên cứu biểu đồ mẫu số - chúng ta đã biết nó (Hình 3).
Cơm. 3. Đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số đi qua một điểm cố định (1;1). Khi vẽ đồ thị của hàm số ban đầu, điểm này vẫn giữ nguyên, trong khi nghiệm cũng tiến về 0 thì hàm số tiến về vô cùng. Và ngược lại, khi x tiến tới vô cùng thì hàm số tiến tới 0 (Hình 4).
Cơm. 4. Đồ thị hàm số
Hãy xem xét một hàm khác trong nhóm hàm đang được nghiên cứu.
Điều quan trọng là theo định nghĩa
Chúng ta hãy xem xét đồ thị của hàm ở mẫu số: , đồ thị của hàm này được chúng ta biết đến, nó tăng trong miền định nghĩa và đi qua điểm (1;1) (Hình 5).
Cơm. 5. Đồ thị hàm số
Khi vẽ đồ thị của hàm số ban đầu, điểm (1;1) giữ nguyên, trong khi nghiệm cũng tiến về 0, hàm số tiến về vô cùng. Và ngược lại, khi x tiến tới vô cùng thì hàm số tiến tới 0 (Hình 6).
Cơm. 6. Đồ thị hàm số
Các ví dụ được xem xét giúp hiểu cách biểu đồ diễn ra và các tính chất của hàm đang được nghiên cứu - một hàm có số mũ hữu tỉ âm.
Đồ thị của các hàm thuộc họ này đi qua điểm (1;1), hàm số giảm dần trên toàn miền định nghĩa.
Phạm vi chức năng:
Chức năng không bị giới hạn từ phía trên, nhưng bị giới hạn từ phía dưới. Hàm không có giá trị lớn nhất cũng không có giá trị nhỏ nhất.
Hàm này liên tục và nhận tất cả các giá trị dương từ 0 đến cộng vô cùng.
Hàm lồi hướng xuống (Hình 15.7)
Lấy điểm A và B trên đường cong, kẻ một đoạn qua chúng, toàn bộ đường cong nằm dưới đoạn đó, điều kiện này được thỏa mãn với hai điểm tùy ý trên đường cong nên hàm số lồi hướng xuống. Cơm. 7.
Cơm. 7. Độ lồi của hàm
Điều quan trọng là phải hiểu rằng các hàm của họ này được giới hạn từ dưới lên bằng 0, nhưng không có giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 1 - tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng)