Khá rộng và miễn phí. Sự chuyển giao ý nghĩa chính thức như vậy từ khoa học tự nhiên sang khoa học nhân văn thường dẫn đến sự thay thế các khái niệm. Trong khi đó, thuật ngữ khá cụ thể này có một ý nghĩa đặc biệt, tuy nhiên, có thể được giải thích tùy theo ngữ cảnh.
Từ "phân nhánh" xuất phát từ thuật ngữ Latin có nghĩa là phân nhánh. Nó được sử dụng trong khoa học tự nhiên khi họ muốn mô tả sự tái cấu trúc về chất của một đối tượng và những biến thái liên quan đến nó.
Khi một hệ thống phát triển, trạng thái của nó phụ thuộc vào một hoặc nhiều tham số có thể thay đổi trơn tru. Nhưng đôi khi một trong những đặc điểm đó có ý nghĩa quan trọng và hệ thống bước vào giai đoạn thay đổi cơ bản về chất.
Thời điểm mà phương thức thay đổi trong hệ thống được xây dựng lại được gọi là điểm phân nhánh. Và khi nói đến sự phân nhánh, chúng tôi muốn nói đến việc tái cấu trúc chính hệ thống.
Điều gì xảy ra nếu hệ thống thay đổi liên tục? Trong trường hợp này, cái gọi là các tầng phân nhánh được quan sát, chúng lần lượt thay thế lẫn nhau.
Việc mô tả những thay đổi mang tính hệ thống này thể hiện một trong những kịch bản chuyển đổi từ đơn giản sang phức tạp, từ chuyển động có trật tự sang hỗn loạn.
Điểm rẽ nhánh như một khoảnh khắc của sự thật
Bằng cách mô tả một hệ thống như một chuỗi các nhánh thay thế cho nhau, có thể tạo ra mô hình phát triển của bất kỳ hệ thống nào ít nhiều phức tạp, bất kể nó thuộc lĩnh vực kiến thức nào.
Điểm phân nhánh có thể được quan sát không chỉ trong các hệ thống sinh học và vật lý mà còn trong các hệ thống kinh tế và xã hội.
Từ quan điểm của cuộc sống hàng ngày, sự chuyển đổi của một hệ thống thông qua điểm phân nhánh có thể được so sánh với hành vi của một người hoặc một sinh vật sống trong tình huống chỉ có thể thực hiện một trong nhiều lựa chọn. Một ví dụ nổi bật ở đây là người hiệp sĩ ở ngã tư đường, người đã dừng lại trầm ngâm trước một phiến đá có khắc dòng chữ.
Hai hoặc thậm chí ba con đường mở ra trước mắt người chiến binh đầy suy tư, mỗi con đường đều có ý nghĩa như nhau đối với người du hành. Con đường mà hiệp sĩ chọn phụ thuộc vào một số
Anh ấy học gì? lý thuyết phân nhánh.
Sự phân nhánh
Sự phân nhánh(từ tiếng Latin Bifurcus - bifurcated) là một quá trình chuyển đổi về chất từ trạng thái cân bằng sang hỗn loạn thông qua một sự thay đổi rất nhỏ liên tiếp (ví dụ, sự nhân đôi của Feigenbaum trong quá trình phân chia nhân đôi) của các điểm tuần hoàn.
Điều cần thiết cần lưu ý là có sự thay đổi về chất trong các thuộc tính của hệ thống, cái gọi là. cú nhảy thảm họa. Thời điểm nhảy (tách ở điểm phân nhánh đôi) xảy ra tại điểm phân nhánh.
Sự hỗn loạn có thể phát sinh thông qua sự phân nhánh, như được chỉ ra bởi Mitchell Feigenbaum. Khi tạo ra phương trình của riêng mình, Feigenbaum chủ yếu phân tích phương trình logistic:
Xn+1=CXn - C(Xn) 2,
Ở đâu VỚI- tham số bên ngoài.
Kết luận đến từ đâu, dưới những hạn chế nhất định, trong tất cả các phương trình như vậy đều có sự chuyển đổi từ trạng thái cân bằng sang trạng thái hỗn loạn.
Ví dụ phân nhánh
Dưới đây là một ví dụ sinh học cổ điển của phương trình này.
Ví dụ: một quần thể gồm các cá thể có kích thước bình thường sống cô lập Xn. Một năm sau, việc đếm số con cái Xn +1. Tăng trưởng dân số được mô tả bằng số hạng đầu tiên ở vế phải của phương trình (СХn), trong đó hệ số C xác định tốc độ tăng trưởng và là thông số xác định. Thiệt hại đối với động vật (do dân số quá đông, thiếu thức ăn, v.v.) được xác định bằng số hạng thứ hai, phi tuyến tính C(Xn) 2.
Kết quả tính toán rút ra kết luận sau:
- Tại VỚI<1 dân số chết dần khi n tăng;
- Trong khu vực 1<С<3 Quy mô dân số đang tiến tới một giá trị không đổi Х0=1-1/С, là miền của các nghiệm cố định, cố định. Khi giá trị C=3điểm phân nhánh trở thành điểm cố định đẩy. Từ thời điểm này trở đi, hàm số không bao giờ hội tụ về một điểm. Trước đó, điểm là một nhân hút cố định;
- Trong phạm vi 3<С
- Khi C > 3,57, các vùng của các giải pháp khác nhau chồng lên nhau (chúng dường như bị sơn đè lên) và hoạt động của hệ thống trở nên hỗn loạn.
Do đó kết luận - trạng thái cuối cùng của các hệ vật lý tiến hóa là trạng thái sự hỗn loạn năng động.
Sự phụ thuộc của quy mô dân số vào tham số VỚI thể hiện trong hình sau.
Hình 1 - Chuyển sang hỗn loạn thông qua phân nhánh, giai đoạn đầu của phương trình Xn+1=CXn - C(Xn) 2
Biến động Xn lấy các giá trị phụ thuộc nhiều vào các điều kiện ban đầu. Khi các phép tính được thực hiện trên máy tính, ngay cả đối với các giá trị ban đầu rất gần của C, các giá trị cuối cùng có thể khác nhau đáng kể. Hơn nữa, các phép tính trở nên không chính xác vì chúng bắt đầu phụ thuộc vào các quá trình ngẫu nhiên trong chính máy tính (tăng điện áp, v.v.).
Do đó, trạng thái của hệ thống tại thời điểm phân nhánh là cực kỳ không ổn định và một tác động vô cùng nhỏ có thể dẫn đến việc lựa chọn một đường chuyển động tiếp theo, và điều này, như chúng ta đã biết, là đặc điểm chính của một hệ thống hỗn loạn (sự phụ thuộc đáng kể vào với điều kiện ban đầu).
Feigenbaum đã thiết lập các định luật phổ quát về sự chuyển đổi sang trạng thái hỗn loạn động khi chu kỳ tăng gấp đôi, điều này đã được xác nhận bằng thực nghiệm cho nhiều loại hệ thống cơ học, thủy động lực học, hóa học và các hệ thống khác. Kết quả nghiên cứu của Feigenbaum là cái gọi là. "".
Hình 2 - Cây Feigenbaum (tính toán dựa trên công thức logic đã được sửa đổi)
Hãy ký hiệu bằng 
giá trị của tham số tại thời điểm đó xảy ra sự nhân đôi. Năm 1971, nhà khoa học người Mỹ M. Feigenbaum đã thiết lập một mô hình thú vị: dãy tạo thành một dãy tăng dần, nhanh chóng hội tụ với điểm tích lũy là 3,5699... Sự chênh lệch về các giá trị tương ứng với hai lần phân nhánh liên tiếp mỗi lần giảm đi một lượng xấp xỉ như nhau nhân tố:
Mẫu số của cấp số =4,6692 bây giờ được gọi là hằng số Feigenbaum.
Khái niệm phân nhánh
Sự phân nhánh trong cuộc sống hàng ngày là gì? Như chúng ta đã biết từ định nghĩa, sự phân nhánh phát sinh trong quá trình chuyển đổi một hệ thống từ trạng thái ổn định và cân bằng rõ ràng sang trạng thái hỗn loạn. Ví dụ về sự chuyển đổi như vậy là khói, nước và nhiều hiện tượng tự nhiên phổ biến khác. Để làn khói bay lên đầu tiên trông giống như một cột có trật tự.
Khói là một ví dụ về sự xuất hiện của sự phân nhánh trong quá trình chuyển đổi hệ thống từ trạng thái ổn định và cân bằng rõ ràng sang trạng thái hỗn loạn Tuy nhiên, sau một thời gian nó bắt đầu có những thay đổi, lúc đầu có vẻ trật tự, nhưng sau đó trở nên hỗn loạn khó đoán. Trên thực tế, sự chuyển đổi đầu tiên từ sự ổn định sang một dạng trật tự rõ ràng nào đó, nhưng đã có tính biến đổi, xảy ra ở điểm phân nhánh đầu tiên. Hơn nữa, số lượng phân nhánh tăng lên, đạt giá trị khổng lồ. Với mỗi lần phân nhánh, hàm nhiễu loạn khói sẽ tiến tới hỗn loạn.
Bằng cách sử dụng lý thuyết phân nhánh có thể dự đoán bản chất của chuyển động xảy ra trong quá trình chuyển đổi hệ thống sang trạng thái khác về chất, cũng như vùng tồn tại của hệ thống và đánh giá tính ổn định của nó.
Thật không may, sự tồn tại của lý thuyết hỗn loạn rất khó dung hòa với khoa học cổ điển. Tất nhiên, các ý tưởng khoa học được kiểm tra dựa trên dự đoán và so sánh với kết quả thực tế. Tuy nhiên, như chúng ta đã biết, sự hỗn loạn là không thể đoán trước được; khi nghiên cứu một hệ thống hỗn loạn, bạn chỉ có thể dự đoán mô hình hành vi của nó. Do đó, với sự trợ giúp của sự hỗn loạn, không những không thể xây dựng một dự báo chính xác mà còn có thể kiểm tra nó. Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là lý thuyết hỗn loạn, được xác nhận cả trong tính toán toán học và trong cuộc sống, là không chính xác.
Hiện tại, chưa có công cụ chính xác về mặt toán học để áp dụng lý thuyết hỗn loạn vào nghiên cứu giá cả thị trường nên không vội vàng áp dụng kiến thức về hỗn loạn. Đồng thời, đây thực sự là lĩnh vực toán học hiện đại hứa hẹn nhất xét theo quan điểm nghiên cứu ứng dụng trên thị trường tài chính.
“Sự kỳ lạ” của một nhân hút hỗn loạn không nằm ở vẻ ngoài khác thường của nó mà nằm ở những đặc tính mới mà nó sở hữu. Điểm thu hút lạ chủ yếu là một vùng hấp dẫn đối với các quỹ đạo từ các vùng xung quanh. Hơn nữa, tất cả các quỹ đạo bên trong nhân hút lạ đều không ổn định về mặt động học.
Nói cách khác, nếu chúng ta tưởng tượng giới hạn được đặt là một “mớ rối” trong không gian pha, thì điểm đặc trưng cho trạng thái của hệ sẽ thuộc về “mớ rối” này và sẽ không đi đến vùng khác của không gian pha. Tuy nhiên, chúng ta không thể nói điểm đó ở đâu trong quả bóng tại một thời điểm nhất định.
Số mũ Lyapunov dương
Một trong những đặc tính nghịch lý này là độ nhạy cảm với dữ liệu ban đầu. Hãy minh họa điều này. Hãy chọn hai điểm gần x"(0) và x"(0), thuộc quỹ đạo của đường hút và xem khoảng cách d(t) = |x"(t) - x"(t) | theo thời gian. Nếu đường thu hút là một điểm kỳ dị thì d(t) = 0. Nếu đường thu hút là một chu trình giới hạn thì d(t) sẽ là hàm tuần hoàn theo thời gian. Giá trị lambda được gọi Số mũ Lyapunov. Số mũ Lyapunov dương đặc trưng cho tốc độ gia tốc trung bình của các quỹ đạo gần vô hạn.
Các giá trị dương của số mũ Lyapunov và độ nhạy của hệ thống với dữ liệu ban đầu cho phép chúng tôi có cái nhìn hoàn toàn khác về vấn đề dự báo. Trước đây, người ta giả định rằng dự báo về hành vi của các hệ thống tất định, trái ngược với hệ thống ngẫu nhiên, có thể được đưa ra vào bất kỳ thời điểm mong muốn nào.
Tuy nhiên, nghiên cứu trong những thập kỷ gần đây đã chỉ ra rằng có một loại hệ thống tất định (thậm chí cả những hệ thống tương đối đơn giản), hành vi của hệ thống này chỉ có thể được dự đoán trong một khoảng thời gian giới hạn. Trong một nhân hút lạ, sau một thời gian, hai quỹ đạo gần nhau ban đầu không còn gần nhau nữa. Cho dù độ thiếu chính xác trong việc xác định trạng thái ban đầu nhỏ đến đâu vẫn tăng theo thời gian và về nguyên tắc, chúng tôi không thể đưa ra “dự báo dài hạn”. Vì vậy, có một tầm dự báo hạn chế khả năng thấy trước của chúng ta.
Cấu trúc fractal
Một đặc điểm thú vị khác của chế độ hỗn loạn là cấu trúc fractal. Cấu trúc hình học của một nhân hút lạ không thể được biểu diễn dưới dạng đường cong hoặc mặt phẳng, hoặc các phần tử hình học của toàn bộ chiều. Chiều của nhân hút lạ là phân số, hay như người ta nói, fractal.
Điểm phân nhánh- thay đổi chế độ vận hành đã thiết lập của hệ thống. Thuật ngữ từ nhiệt động lực học không cân bằng và hiệp lực.
Điểm phân nhánh- một trạng thái quan trọng của hệ thống, trong đó hệ thống trở nên không ổn định trước các biến động và nảy sinh sự không chắc chắn: liệu trạng thái của hệ thống sẽ trở nên hỗn loạn hay liệu nó sẽ chuyển sang một cấp độ trật tự mới, khác biệt hơn và cao hơn. Một thuật ngữ từ lý thuyết tự tổ chức.
Tính chất của điểm phân nhánh
- Không thể đoán trước được. Thông thường điểm phân nhánh có một số nhánh thu hút (chế độ vận hành ổn định), một trong số đó hệ thống sẽ tuân theo. Tuy nhiên, không thể dự đoán trước điểm thu hút mới mà hệ thống sẽ chiếm giữ.
- Điểm phân nhánh có tính chất ngắn hạn và phân tách các chế độ ổn định lâu hơn của hệ thống.
- Hiệu ứng tuyết lở của hàm băm liên quan đến các điểm phân nhánh được lên kế hoạch cố tình đưa ra những thay đổi không thể đoán trước đối với dạng cuối cùng của chuỗi băm khi ngay cả một ký tự đơn trong chuỗi gốc cũng thay đổi.
Xem thêm
Viết bình luận về bài viết “Điểm rẽ nhánh”
Văn học
- // Lebedev S. A. Triết học khoa học: Từ điển các thuật ngữ cơ bản. - M.: Dự án học thuật, 2004. - 320 tr. - (Dòng Gaudeamus).
Đoạn trích đặc trưng cho Điểm phân nhánh
“Cette pauvre armee,” anh đột nhiên nói, “elle a bien diminue depuis Smolensk.” La Fortune est une franche Courtisane, Rapp; je le disais toujours, et je started a l "eprouver. Mais la garde, Rapp, la garde est Còn nguyên vẹn? [Quân đội tội nghiệp! Nó đã suy giảm rất nhiều kể từ Smolensk. Vận may thực sự là một trò đùa, Rapp. Tôi đã luôn nói điều này và đang bắt đầu để trải nghiệm nó. Nhưng người bảo vệ, Rapp, những người bảo vệ còn nguyên vẹn không?] – anh ta nói đầy thắc mắc.“Oui, thưa ngài, [Vâng, thưa ngài],” Rapp trả lời.
Napoleon lấy viên ngậm, cho vào miệng và nhìn đồng hồ. Anh không muốn ngủ; buổi sáng vẫn còn rất xa; và để giết thời gian, không thể ra lệnh được nữa, vì mọi việc đã xong và đang được thực hiện.
– A t on distribue les Biscuit et le riz aux trung đoàn de la garde? [Họ có phân phát bánh quy và cơm cho lính canh không?] - Napoléon nghiêm nghị hỏi.
– Thưa ngài. [Vâng, thưa ngài.]
– Mais le riz à? [Nhưng gạo?]
Rapp trả lời rằng ông đã truyền đạt mệnh lệnh của chủ quyền về lúa gạo, nhưng Napoléon lắc đầu không hài lòng, như thể ông không tin rằng mệnh lệnh của mình sẽ được thực hiện. Người hầu bước vào với một cú đấm. Napoléon ra lệnh mang một ly khác đến cho Rapp và lặng lẽ uống từng ngụm từ ly của mình.
“Tôi không có vị giác cũng như không có khứu giác,” anh nói, ngửi chiếc cốc. “Tôi mệt mỏi vì chứng sổ mũi này rồi.” Họ nói về y học. Dùng thuốc gì mà không khỏi sổ mũi? Corvisar đưa cho tôi những viên ngậm này, nhưng chúng không giúp ích gì. Họ có thể điều trị những gì? Nó không thể được điều trị. Notre Corps est une machine a vivre. Il est tổ chức pour cela, c"est sa tự nhiên; laissez y la vie a son aise, qu"elle s"y protectede elle meme: elle fera plus que si vous la paralysiez en l"encombrant de remedes. Notre corps est comme une montre parfaite qui doit aller un nhất định; l"horloger n"a pas la faculte de l"ouvrir, il ne peut la manier qu"a tatons et les yeux bandes. Notre corps est une machine a vivre, voila tout. [Cơ thể chúng ta là một cỗ máy của cuộc sống. Đây là những gì nó được thiết kế cho. Hãy để sự sống trong anh yên, để cô ấy tự vệ, cô ấy sẽ tự mình làm được nhiều việc hơn là khi bạn can thiệp bằng thuốc. Cơ thể chúng ta giống như một chiếc đồng hồ phải chạy trong một thời gian nhất định; người thợ đồng hồ không thể mở chúng mà chỉ có thể vận hành chúng bằng cách chạm và bịt mắt. Cơ thể chúng ta là một cỗ máy cho sự sống. Chỉ vậy thôi.] - Và như thể đã dấn thân vào con đường của những định nghĩa, những định nghĩa mà Napoléon yêu thích, ông bất ngờ đưa ra một định nghĩa mới. – Bạn có biết không, Rapp, nghệ thuật chiến tranh là gì? – anh hỏi. – Nghệ thuật mạnh hơn kẻ thù ở một thời điểm nhất định. Thì chào nhé. [Chính là nó.]
Hệ thống mở tiêu tán. Điểm phân nhánh.
Các hệ thống mở trong đó quan sát thấy sự tăng entropy được gọi là tiêu tán. Trong những hệ thống như vậy, năng lượng của chuyển động có trật tự biến thành năng lượng của chuyển động hỗn loạn không trật tự, thành nhiệt. Nếu một hệ kín (hệ Hamilton), bị loại khỏi trạng thái cân bằng, luôn có xu hướng quay trở lại mức entropy cực đại, thì trong một hệ mở, dòng entropy thoát ra có thể cân bằng sự tăng trưởng của nó trong chính hệ đó và có khả năng xảy ra một trạng thái dừng xảy ra. Nếu dòng entropy thoát ra vượt quá mức tăng trưởng bên trong của nó, thì các biến động quy mô lớn sẽ xuất hiện và phát triển đến cấp độ vĩ mô, và trong những điều kiện nhất định, các quá trình tự tổ chức và hình thành các cấu trúc có trật tự bắt đầu xảy ra trong hệ thống.
Khi nghiên cứu hệ thống, chúng thường được mô tả bằng hệ phương trình vi phân. Việc biểu diễn nghiệm của các phương trình này dưới dạng chuyển động của một điểm nhất định trong không gian có chiều bằng số lượng biến được gọi là quỹ đạo pha của hệ thống. Hành vi của quỹ đạo pha về mặt độ ổn định cho thấy có một số loại chính của nó, khi tất cả các giải pháp của hệ thống cuối cùng đều tập trung vào một tập hợp con nhất định. Một tập hợp con như vậy được gọi là người thu hút. Người thu hút có một vùng hấp dẫn, một tập hợp các điểm ban đầu, chẳng hạn như khi thời gian tăng lên, tất cả các quỹ đạo pha bắt đầu trong chúng đều có xu hướng chính xác về phía nhân hút này.
Các loại chất hấp dẫn chính là:
điểm giới hạn ổn định
· Chu kỳ ổn định (quỹ đạo có xu hướng đi theo một số đường cong khép kín)
· tori (đến bề mặt mà quỹ đạo tiếp cận)
Chuyển động của một điểm trong những trường hợp như vậy có tính chất tuần hoàn hoặc bán tuần hoàn. Ngoài ra còn có cái gọi là chất thu hút lạ đặc trưng chỉ của các hệ tiêu tán, không giống như các hệ thông thường, chúng không phải là đa tạp con của không gian pha (một điểm, một chu trình, một hình xuyến, một hypertorus) và chuyển động của một điểm trên chúng là không ổn định , bất kỳ hai quỹ đạo nào trên đó luôn phân kỳ, một thay đổi nhỏ trong dữ liệu ban đầu sẽ dẫn đến các đường phát triển khác nhau. Nói cách khác, động lực học của các hệ có lực hút lạ là hỗn loạn.
Các phương trình với các tập hút lạ không hề kỳ lạ chút nào. Một ví dụ về hệ thống như vậy là hệ thống Lorentz, thu được từ các phương trình thủy động lực học trong bài toán đối lưu nhiệt của lớp chất lỏng được làm nóng từ bên dưới.
Cấu trúc của các chất thu hút kỳ lạ rất đáng chú ý. Tài sản độc đáo của họ là cấu trúc tỷ lệ hoặc khả năng tự lặp lại quy mô lớn. Điều này có nghĩa là bằng cách phóng to một phần của đường thu hút chứa vô số đường cong, người ta có thể xác minh sự giống nhau của nó với biểu diễn quy mô lớn của một phần của đường thu hút. Đối với các đối tượng có khả năng lặp lại không ngừng cấu trúc của chính chúng ở cấp độ vi mô, có một tên đặc biệt - fractal.
Theo quy luật, các hệ thống động phụ thuộc vào một tham số nhất định được đặc trưng bởi sự thay đổi trơn tru về bản chất của hành vi khi tham số thay đổi. Tuy nhiên, tham số có thể có một số giá trị tới hạn (phân nhánh), khi đi qua điểm thu hút trải qua quá trình tái cấu trúc về chất và theo đó, động lực của hệ thống thay đổi mạnh, ví dụ, mất ổn định. Theo quy luật, mất ổn định xảy ra thông qua việc chuyển từ điểm ổn định sang chu kỳ ổn định (mất ổn định mềm), thoát khỏi quỹ đạo từ vị trí ổn định (mất ổn định cứng) và hình thành các chu kỳ có thời kỳ kép. Với những thay đổi tiếp theo trong tham số, hình xuyến và sau đó là các lực hút lạ, tức là các quá trình hỗn loạn, có thể xuất hiện.
Ở đây cần phải nói rằng theo nghĩa đặc biệt của từ này hỗn loạn có nghĩa là chuyển động không đều được mô tả bằng các phương trình xác định. Chuyển động không đều hàm ý rằng không thể mô tả nó bằng tổng các chuyển động điều hòa.
Điểm phân nhánh- một trong những khái niệm quan trọng nhất trong lý thuyết tự tổ chức. Đây là một giai đoạn hoặc thời điểm trong lịch sử của một hệ thống khi nó chuyển đổi từ sự chắc chắn mang tính hệ thống này sang sự chắc chắn mang tính hệ thống khác. Các đặc tính chất lượng của nó sau khi đạt đến điểm phân nhánh sẽ dẫn đến một sự thay đổi cơ bản, dẫn đến sự thay đổi về bản chất của chính hệ thống. Cơ chế chuyển đổi hệ thống hoạt động tại những thời điểm như vậy gắn liền với sự phân nhánh của quỹ đạo hệ thống, được xác định bởi sự hiện diện của sự cạnh tranh giữa các chất thu hút.
Điểm phân nhánh- những khoảnh khắc đặc biệt trong quá trình phát triển của các hệ thống sống và phi sống, khi sự phát triển bền vững, khả năng ngăn chặn những sai lệch ngẫu nhiên khỏi hướng chính được thay thế bằng sự bất ổn. Hai hoặc nhiều (thay vì một) trạng thái mới trở nên ổn định. Sự lựa chọn giữa họ được xác định một cách tình cờ, trong các hiện tượng của đời sống xã hội - bằng một quyết định có chủ ý. Sau khi đưa ra lựa chọn, các cơ chế tự điều chỉnh duy trì hệ thống ở một trạng thái (trên một quỹ đạo), việc chuyển sang quỹ đạo khác trở nên khó khăn. Ví dụ, sự tiến hóa của các sinh vật sống và sự xuất hiện của các loài mới hoàn toàn phù hợp với sơ đồ này. Khi điều kiện thay đổi, loài thích nghi tốt trước đây sẽ mất đi sự ổn định và do sự phân nhánh, hai loài mới khác với loài trước và ở một mức độ lớn hơn - khác nhau. Ví dụ về các điểm phân nhánh: đóng băng của nước siêu lạnh; thay đổi cơ cấu chính trị của nhà nước thông qua cách mạng.
Điểm phân nhánh- giai đoạn phát triển của hệ thống khi con đường phát triển ổn định, tuyến tính và có thể dự đoán trước đó của hệ thống trở nên bất khả thi, đây là điểm mất ổn định nghiêm trọng của quá trình phát triển, trong đó hệ thống được xây dựng lại, chọn một trong những con đường khả thi phát triển hơn nữa, nghĩa là xảy ra một quá trình chuyển pha nhất định.
Ví dụ về sự phân nhánh trong các hệ thống khác nhau, những điều sau đây có thể phục vụ: phân nhánh sông - chia lòng sông và thung lũng của nó thành hai nhánh, sau đó không hợp nhất và chảy vào các lưu vực khác nhau; trong y học - sự phân chia một cơ quan hình ống (mạch hoặc phế quản) thành 2 nhánh có cùng cỡ nòng, kéo dài sang hai bên theo cùng một góc; phân nhánh cơ học - đạt được chất lượng mới trong chuyển động của một hệ thống động với một thay đổi nhỏ trong các thông số của nó; trong hệ thống giáo dục - phân chia các lớp cao cấp của một cơ sở giáo dục thành hai khoa; phân chia không gian-thời gian (trong khoa học viễn tưởng) - phân chia thời gian thành nhiều luồng, mỗi luồng có những sự kiện riêng. Trong không gian thời gian song song, các anh hùng có cuộc sống khác nhau.