Đồ thị của hàm lũy thừa với số mũ âm phân số. Hàm lũy thừa, tính chất và đồ thị của chúng

Trên miền định nghĩa của hàm lũy thừa y = x p, các công thức sau đúng:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Tính chất của hàm lũy thừa và đồ thị của chúng

Hàm lũy thừa có số mũ bằng 0, p = 0

Nếu số mũ của hàm lũy thừa y = x p bằng 0, p = 0, thì hàm lũy thừa được xác định cho mọi x ≠ 0 và là hằng số bằng 1:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Hàm lũy thừa với số mũ lẻ tự nhiên, p = n = 1, 3, 5, ...

Xét hàm lũy thừa y = x p = x n với số mũ lẻ tự nhiên n = 1, 3, 5, ... .

Chỉ báo này cũng có thể viết dưới dạng: n = 2k + 1, trong đó k = 0, 1, 2, 3, ... là số nguyên không âm. Dưới đây là các tính chất và đồ thị của các chức năng đó.

Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ lẻ tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
phạm vi: -∞ < y < ∞
Nhiều ý nghĩa: Tính chẵn lẻ:
lẻ, y(-x) = - y(x)Đơn điệu:
tăng đơn điệu Cực đoan:
KHÔNG
lồi:< x < 0 выпукла вверх
tại -∞< x < ∞ выпукла вниз
lúc 0Điểm uốn:
Điểm uốn:
x = 0, y = 0
;
Giới hạn:
Giá trị riêng:
tại x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
tại x = 0, y(0) = 0 n = 0
với x = 1, y(1) = 1 n = 1
Chức năng đảo ngược:
với n = 1, hàm số nghịch đảo của nó: x = y

với n ≠ 1, hàm nghịch đảo là nghiệm bậc n:

Hàm lũy thừa với số mũ chẵn tự nhiên, p = n = 2, 4, 6, ...

Xét hàm lũy thừa y = x p = x n với số mũ chẵn tự nhiên n = 2, 4, 6, ... .

Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ lẻ tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
phạm vi: Chỉ tiêu này cũng có thể viết dưới dạng: n = 2k, trong đó k = 1, 2, 3, ... - tự nhiên. Các thuộc tính và đồ thị của các chức năng như vậy được đưa ra dưới đây.< ∞
Nhiều ý nghĩa:Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ chẵn tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 2, 4, 6, ....
lẻ, y(-x) = - y(x)
0 ≤ y
chẵn, y(-x) = y(x)
tăng đơn điệu với x 0 giảm đơn điệu
KHÔNG với x ≥ 0 tăng đơn điệu
lúc 0 Cực đoan:
tối thiểu, x = 0, y = 0Điểm uốn:
x = 0, y = 0
;
Giới hạn:
lồi xuống Giao điểm với trục tọa độ:
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
tại x = 0, y(0) = 0 n = 0
với x = 1, y(1) = 1 n = 1
tại x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1

với n = 2, căn bậc hai:

Xét hàm lũy thừa y = x p = x n với số mũ âm nguyên n = -1, -2, -3, ... .

Nếu đặt n = -k, trong đó k = 1, 2, 3, ... là số tự nhiên thì có thể biểu diễn dưới dạng:

Đồ thị của hàm lũy thừa y = x n với số mũ nguyên âm cho các giá trị khác nhau của số mũ n = -1, -2, -3, ... .

Số mũ lẻ, n = -1, -3, -5, ...

Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ lẻ tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 1, 3, 5, .... Dưới đây là tính chất của hàm y = x n với số mũ âm lẻ n = -1, -3, -5, ....
phạm vi: x ≠ 0
Nhiều ý nghĩa: Tính chẵn lẻ:
lẻ, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
tăng đơn điệu Cực đoan:
KHÔNG
giảm đơn điệu< 0 : выпукла вверх
tại x
lúc 0 Cực đoan:
tối thiểu, x = 0, y = 0 Cực đoan:
với x > 0: lồi xuống
giảm đơn điệu< 0, y < 0
Dấu hiệu:
x = 0, y = 0
; ; ;
Giới hạn:
tại x = 0, y(0) = 0 n = 0
với x = 1, y(1) = 1 n = 1
với x > 0, y > 0
khi n = -1,< -2 ,

tại n

Số mũ chẵn, n = -2, -4, -6, ...

Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ lẻ tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 1, 3, 5, .... Dưới đây là tính chất của hàm y = x n với số mũ âm lẻ n = -1, -3, -5, ....
phạm vi: Dưới đây là tính chất của hàm y = x n với số mũ âm chẵn n = -2, -4, -6, ....
Nhiều ý nghĩa:Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ chẵn tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 2, 4, 6, ....
lẻ, y(-x) = - y(x)
giảm đơn điệu< 0 : монотонно возрастает
y > 0
tăng đơn điệu Cực đoan:
KHÔNG với x ≥ 0 tăng đơn điệu
lúc 0 Cực đoan:
tối thiểu, x = 0, y = 0 Cực đoan:
với x > 0: lồi xuống Dưới đây là tính chất của hàm y = x n với số mũ âm chẵn n = -2, -4, -6, ....
x = 0, y = 0
; ; ;
Giới hạn:
tại x = 0, y(0) = 0 n = 0
với x = 1, y(1) = 1 n = 1
với x > 0: giảm đơn điệu
khi n = -1,< -2 ,

tại n = -2,

Hàm lũy thừa với số mũ hữu tỷ (phân số)

Xét hàm lũy thừa y = x p với số mũ hữu tỷ (phân số), trong đó n là số nguyên, m > 1 là số tự nhiên. Hơn nữa, n, m không có ước chung.

Mẫu số của chỉ số phân số là số lẻ

Đặt mẫu số của số mũ phân số là số lẻ: m = 3, 5, 7, ... . Trong trường hợp này, hàm lũy thừa x p được xác định cho cả giá trị dương và âm của đối số x.< 0

Chúng ta hãy xem xét các tính chất của các hàm lũy thừa như vậy khi số mũ p nằm trong giới hạn nhất định.

Giá trị p là âm, p

Cho số mũ hữu tỉ (có mẫu số lẻ m = 3, 5, 7, ...) nhỏ hơn 0: .

Đồ thị hàm mũ với số mũ âm hợp lý cho các giá trị khác nhau của số mũ, trong đó m = 3, 5, 7, ... - lẻ.

Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ lẻ tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 1, 3, 5, .... Dưới đây là tính chất của hàm y = x n với số mũ âm lẻ n = -1, -3, -5, ....
phạm vi: x ≠ 0
Nhiều ý nghĩa: Tính chẵn lẻ:
lẻ, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
tăng đơn điệu Cực đoan:
KHÔNG
giảm đơn điệu< 0 : выпукла вверх
tại x
lúc 0 Cực đoan:
tối thiểu, x = 0, y = 0 Cực đoan:
với x > 0: lồi xuống
giảm đơn điệu< 0, y < 0
Dấu hiệu:
x = 0, y = 0
; ; ;
Giới hạn:
Tử số lẻ, n = -1, -3, -5, ...
tại x = 0, y(0) = 0 n = 0
với x = 1, y(1) = 1 n = 1

Chúng tôi trình bày các tính chất của hàm lũy thừa y = x p với số mũ âm hữu tỷ, trong đó n = -1, -3, -5, ... là số nguyên âm lẻ, m = 3, 5, 7 ... là một số nguyên âm số nguyên tự nhiên lẻ.

tại x = -1, y(-1) = (-1) n = -1

Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ lẻ tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 1, 3, 5, .... Dưới đây là tính chất của hàm y = x n với số mũ âm lẻ n = -1, -3, -5, ....
phạm vi: Dưới đây là tính chất của hàm y = x n với số mũ âm chẵn n = -2, -4, -6, ....
Nhiều ý nghĩa:Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ chẵn tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 2, 4, 6, ....
lẻ, y(-x) = - y(x)
giảm đơn điệu< 0 : монотонно возрастает
y > 0
tăng đơn điệu Cực đoan:
KHÔNG với x ≥ 0 tăng đơn điệu
lúc 0 Cực đoan:
tối thiểu, x = 0, y = 0 Cực đoan:
với x > 0: lồi xuống Dưới đây là tính chất của hàm y = x n với số mũ âm chẵn n = -2, -4, -6, ....
x = 0, y = 0
; ; ;
Giới hạn:
Tử số chẵn, n = -2, -4, -6, ...
tại x = 0, y(0) = 0 n = 0
với x = 1, y(1) = 1 n = 1

Tính chất của hàm lũy thừa y = x p với số mũ âm hữu tỷ, trong đó n = -2, -4, -6, ... là số nguyên âm chẵn, m = 3, 5, 7 ... là số nguyên tự nhiên lẻ .< p < 1

tại x = -1, y(-1) = (-1) n = 1< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Giá trị p là dương, nhỏ hơn một, 0

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ lẻ tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
phạm vi: -∞ < y < +∞
Nhiều ý nghĩa: Tính chẵn lẻ:
lẻ, y(-x) = - y(x)Đơn điệu:
tăng đơn điệu Cực đoan:
KHÔNG
giảm đơn điệu< 0 : выпукла вниз
Đồ thị của hàm lũy thừa với số mũ hữu tỉ (0
lúc 0Điểm uốn:
tối thiểu, x = 0, y = 0Điểm uốn:
với x > 0: lồi xuống
giảm đơn điệu< 0, y < 0
Dấu hiệu:
x = 0, y = 0
;
Giới hạn:
Tử số lẻ, n = 1, 3, 5, ...
với x > 0: lồi hướng lên
tại x = -1, y(-1) = -1
với x = 1, y(1) = 1 n = 1

tại x = 0, y(0) = 0

với x = 1, y(1) = 1< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ lẻ tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
phạm vi: Chỉ tiêu này cũng có thể viết dưới dạng: n = 2k, trong đó k = 1, 2, 3, ... - tự nhiên. Các thuộc tính và đồ thị của các chức năng như vậy được đưa ra dưới đây.< +∞
Nhiều ý nghĩa:Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ chẵn tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 2, 4, 6, ....
lẻ, y(-x) = - y(x)
giảm đơn điệu< 0 : монотонно убывает
với x > 0: tăng đơn điệu
tăng đơn điệu tối thiểu tại x = 0, y = 0
KHÔNG lồi hướng lên trên x ≠ 0
lúc 0 Cực đoan:
tối thiểu, x = 0, y = 0Điểm uốn:
với x > 0: lồi xuống với x ≠ 0, y > 0
x = 0, y = 0
;
Giới hạn:
tại x = -1, y(-1) = 1
với x > 0: lồi hướng lên
tại x = -1, y(-1) = -1
với x = 1, y(1) = 1 n = 1

Chỉ số p lớn hơn một, p > 1

Đồ thị của hàm lũy thừa với số mũ hữu tỷ (p > 1) cho các giá trị khác nhau của số mũ, trong đó m = 3, 5, 7, ... - lẻ.

Tử số lẻ, n = 5, 7, 9, ...

Tính chất của hàm lũy thừa y = x p với số mũ hữu tỉ lớn hơn một: .

Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ lẻ tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
phạm vi: -∞ < y < ∞
Nhiều ý nghĩa: Tính chẵn lẻ:
lẻ, y(-x) = - y(x)Đơn điệu:
tăng đơn điệu Cực đoan:
KHÔNG
lồi:< x < 0 выпукла вверх
tại -∞< x < ∞ выпукла вниз
lúc 0Điểm uốn:
tối thiểu, x = 0, y = 0Điểm uốn:
x = 0, y = 0
;
Giới hạn:
Tử số lẻ, n = 1, 3, 5, ...
với x > 0: lồi hướng lên
tại x = -1, y(-1) = -1
với x = 1, y(1) = 1 n = 1

Trong đó n = 5, 7, 9, ... - lẻ tự nhiên, m = 3, 5, 7 ... - lẻ tự nhiên.

Tử số chẵn, n = 4, 6, 8, ...

Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ lẻ tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
phạm vi: Chỉ tiêu này cũng có thể viết dưới dạng: n = 2k, trong đó k = 1, 2, 3, ... - tự nhiên. Các thuộc tính và đồ thị của các chức năng như vậy được đưa ra dưới đây.< ∞
Nhiều ý nghĩa:Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ chẵn tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 2, 4, 6, ....
lẻ, y(-x) = - y(x)
giảm đơn điệu< 0 монотонно убывает
Tính chất của hàm lũy thừa y = x p với số mũ hữu tỉ lớn hơn một: .
tăng đơn điệu tối thiểu tại x = 0, y = 0
KHÔNG với x ≥ 0 tăng đơn điệu
lúc 0 Cực đoan:
tối thiểu, x = 0, y = 0Điểm uốn:
x = 0, y = 0
;
Giới hạn:
tại x = -1, y(-1) = 1
với x > 0: lồi hướng lên
tại x = -1, y(-1) = -1
với x = 1, y(1) = 1 n = 1

Trong đó n = 4, 6, 8, ... - chẵn tự nhiên, m = 3, 5, 7 ... - lẻ tự nhiên.

với x > 0 tăng đơn điệu

Mẫu số của chỉ số phân số là số chẵn

Đặt mẫu số của số mũ phân số là số chẵn: m = 2, 4, 6, ... . Trong trường hợp này, hàm lũy thừa x p không được xác định cho các giá trị âm của đối số. Các thuộc tính của nó trùng với các thuộc tính của hàm lũy thừa có số mũ vô tỷ (xem phần tiếp theo).

Hàm lũy thừa với số mũ vô tỉ

Xét hàm lũy thừa y = x p với số mũ vô tỉ p.< 0

Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ lẻ tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 1, 3, 5, .... Thuộc tính của các hàm như vậy khác với các thuộc tính được thảo luận ở trên ở chỗ chúng không được xác định cho các giá trị âm của đối số x.
phạm vi: Dưới đây là tính chất của hàm y = x n với số mũ âm chẵn n = -2, -4, -6, ....
lẻ, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
KHÔNG với x ≥ 0 tăng đơn điệu
lúc 0 Cực đoan:
tối thiểu, x = 0, y = 0 Cực đoan:
x = 0, y = 0 ;
Đối với các giá trị dương của đối số, các thuộc tính chỉ phụ thuộc vào giá trị của số mũ p và không phụ thuộc vào việc p là số nguyên, số hữu tỉ hay số vô tỷ. y = x p cho các giá trị khác nhau của số mũ p.

Hàm lũy thừa với số mũ âm p

x > 0< p < 1

Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ lẻ tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 1, 3, 5, ....Ý nghĩa riêng:
phạm vi: Với x = 1, y(1) = 1 p = 1
lẻ, y(-x) = - y(x)Đơn điệu:
KHÔNG Hàm lũy thừa với số mũ dương p > 0
lúc 0 Cực đoan:
tối thiểu, x = 0, y = 0Điểm uốn:
x = 0, y = 0
Giới hạn: Chỉ số nhỏ hơn một 0
y = x p cho các giá trị khác nhau của số mũ p.

x ≥ 0

Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ lẻ tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 1, 3, 5, ....Ý nghĩa riêng:
phạm vi: Với x = 1, y(1) = 1 p = 1
lẻ, y(-x) = - y(x)Đơn điệu:
KHÔNG với x ≥ 0 tăng đơn điệu
lúc 0 Cực đoan:
tối thiểu, x = 0, y = 0Điểm uốn:
x = 0, y = 0
Giới hạn: Chỉ số nhỏ hơn một 0
y = x p cho các giá trị khác nhau của số mũ p.

y ≥ 0
lồi lên trên

Với x = 0, y(0) = 0 p = 0 .

Chỉ số lớn hơn một p > 1

Văn học đã qua sử dụng:

TRONG. Bronstein, K.A. Semendyaev, Sổ tay toán học dành cho kỹ sư và sinh viên đại học, “Lan”, 2009.

Xem thêm:

Để sử dụng bản xem trước bản trình bày, hãy tạo tài khoản Google và đăng nhập vào tài khoản đó: https://accounts.google.com

trong đó p là một số thực cho trước Định nghĩa: Hàm lũy thừa là một hàm có dạng y = x p. Các tính chất và đồ thị của hàm lũy thừa phụ thuộc vào các tính chất của lũy thừa với số mũ thực và đặc biệt vào các giá trị​ ​của x và p mà lũy thừa x p có ý nghĩa.

Hàm số y=x 2 n là hàm số chẵn, bởi vì (– x) 2 n = x 2 n Hàm giảm theo khoảng Hàm tăng theo khoảng Hàm lũy thừa: Số mũ p = 2n – số tự nhiên chẵn y = x 2, y = x 4, y = x 6, y = x 8 , ... 1 0 x y y = x 2

y x - 1 0 1 2 y = x 2 y = x 6 y = x 4 Hàm lũy thừa: Số mũ p = 2n – số tự nhiên chẵn y = x 2, y = x 4, y = x 6, y = x 8, . ..

Hàm số y=x 2 n -1 là số lẻ, vì (– x) 2 n -1 = – x 2 n -1 Hàm tăng theo khoảng Hàm lũy thừa: Số mũ p = 2n-1 – số tự nhiên lẻ y = x 3, y = x 5, y = x 7, y = x 9 , … 1 0

Hàm lũy thừa: y x ​​​​- 1 0 1 2 y = x 3 y = x 7 y = x 5 Số mũ p = 2n-1 – số tự nhiên lẻ y = x 3, y = x 5, y = x 7, y = x9 ,...

Hàm số y=x- 2 n là hàm chẵn, vì (– x) -2 n = x -2 n Hàm tăng theo khoảng Hàm giảm theo khoảng Hàm lũy thừa: Số mũ p = -2n – trong đó n là số tự nhiên y = x -2, y = x -4 , y = x -6 , y = x -8 , … 0 1

1 0 1 2 y = x -4 y = x -2 y = x -6 Hàm lũy thừa: Số mũ p = -2n – trong đó n là số tự nhiên y = x -2, y = x -4, y = x - 6, y = x -8, ... y x

Hàm số giảm theo khoảng. Hàm y=x -(2 n -1) là số lẻ, vì (– x) –(2 n -1) = – x –(2 n -1) Hàm giảm theo khoảng Hàm lũy thừa: Số mũ p = -(2n-1) – trong đó n là số tự nhiên y = x - 3, y = x -5, y = x -7, y = x -9, ... 1 0

y = x -1 y = x -3 y = x -5 Hàm lũy thừa: Số mũ p = -(2n-1) – trong đó n là số tự nhiên y = x -3, y = x -5, y = x - 7, y = x -9 , … y x - 1 0 1 2

Hàm lũy thừa: Số mũ p – số thực dương không nguyên y = x 1,3, y = x 0,7, y = x 2,2, y = x 1/3,... 0 1 x y Hàm tăng theo khoảng

y = x 0,7 Hàm lũy thừa: Số mũ p – số thực dương không nguyên y = x 1,3, y = x 0,7, y = x 2,2, y = x 1/3,… y x - 1 0 1 2 y = x 0,5 y = x 0,84

Hàm lũy thừa: Số mũ p – số thực dương không nguyên y = x 1.3, y = x 0.7, y = x 2.2, y = x 1/3,… y x - 1 0 1 2 y = x 1, 5 y = x 3,1 y = x 2,5

Hàm lũy thừa: Số mũ p – số thực âm y= x -1.3, y= x -0.7, y= x -2.2, y = x -1/3,… 0 1 x y Hàm giảm dần trong khoảng

y = x -0.3 y = x -2.3 y = x -3.8 Hàm lũy thừa: Số mũ p – số thực âm không nguyên y= x -1.3, y= x -0.7, y= x -2.2, y = x -1 /3,… y x - 1 0 1 2 y = x -1.3

Về chủ đề: phát triển phương pháp, thuyết trình và ghi chú

Việc sử dụng tích hợp trong quá trình giáo dục như một cách để phát triển khả năng phân tích và sáng tạo....

Cung cấp dữ liệu tham khảo về hàm số mũ - các thuộc tính, đồ thị và công thức cơ bản. Các chủ đề sau đây được xem xét: miền định nghĩa, tập hợp các giá trị, tính đơn điệu, hàm nghịch đảo, đạo hàm, tích phân, khai triển chuỗi lũy thừa và biểu diễn bằng số phức.

Nội dung

Tính chất của hàm số mũ

Hàm mũ y = a x có các tính chất sau trên tập số thực ():
(1.1) xác định và liên tục, với , với tất cả ;
(1.2) cho một ≠ 1 có nhiều ý nghĩa;
(1.3) tăng nghiêm ngặt tại , giảm nghiêm ngặt tại ,
không đổi tại ;
(1.4) Tại ;
Tại ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Các công thức hữu ích khác.
.
Công thức chuyển đổi sang hàm số mũ có cơ số mũ khác:

Khi b = e, ta thu được biểu thức của hàm mũ thông qua hàm mũ:

Giá trị riêng tư

, , , , .

y = a x cho các giá trị khác nhau của cơ số a.

Hình vẽ thể hiện đồ thị của hàm số mũ
y (x) = rìu
cho bốn giá trị cơ sở bằng cấp: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 và một = 1/8 . 1 Có thể thấy rằng đối với a > 0 < a < 1 hàm số mũ tăng đơn điệu. Cơ sở của độ a càng lớn thì sự tăng trưởng càng mạnh. Tại

hàm số mũ giảm đơn điệu. Số mũ a càng nhỏ thì mức giảm càng mạnh.

Tăng dần, giảm dần

	Hàm mũ của hàm số này có tính đơn điệu nghiêm ngặt và do đó không có cực trị. Các thuộc tính chính của nó được trình bày trong bảng. 1	y = a x , a > 0 < a < 1
y = rìu,	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Miền định nghĩa	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Phạm vi giá trị	Đơn điệu	tăng đơn điệu
giảm đơn điệu 0	Số không, y =	Số không, y =
KHÔNG 0	Điểm chặn với trục tọa độ, x = 1	Điểm chặn với trục tọa độ, x = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

y=

Hàm nghịch đảo

Nghịch đảo của hàm mũ cơ số a là logarit cơ số a.
.
Nếu , thì
.

Nếu , thì

Đạo hàm của hàm số mũ

Để đạo hàm một hàm mũ, cơ số của nó phải quy về số e, áp dụng bảng đạo hàm và quy tắc đạo hàm hàm số phức.
Để làm được điều này bạn cần sử dụng tính chất logarit
.

và công thức từ bảng đạo hàm:
.
Cho hàm số mũ:

Chúng tôi mang nó đến cơ sở e:

Hãy áp dụng quy tắc lấy vi phân của hàm số phức. Để làm điều này, hãy giới thiệu biến

Sau đó
.
Vì là một hằng số nên đạo hàm của z theo x bằng
.
Theo quy tắc đạo hàm của hàm phức:
.

Đạo hàm của hàm số mũ

.
Đạo hàm bậc n:
.
Công thức dẫn xuất > > >

Ví dụ về đạo hàm hàm số mũ

Tìm đạo hàm của một hàm số
Điểm chặn với trục tọa độ, x = 3 5x

Giải pháp

Hãy biểu diễn cơ số của hàm số mũ thông qua số e.
3 = e ln 3
Hãy áp dụng quy tắc lấy vi phân của hàm số phức. Để làm điều này, hãy giới thiệu biến
.
Nhập một biến
.
Hãy áp dụng quy tắc lấy vi phân của hàm số phức. Để làm điều này, hãy giới thiệu biến

Từ bảng đạo hàm ta tìm được:
.
Bởi vì 5ln 3 là một hằng số thì đạo hàm của z theo x bằng:
.
Theo quy tắc đạo hàm của hàm phức, ta có:
.

Trả lời

tích phân

Biểu thức sử dụng số phức

Xét hàm số phức z:
f (z) = az
trong đó z = x + iy; 2 = - 1 .
Tôi
Chúng ta hãy biểu thị hằng số phức a theo mô đun r và đối số φ:
Hãy áp dụng quy tắc lấy vi phân của hàm số phức. Để làm điều này, hãy giới thiệu biến


.
a = r e i φ
φ = φ Đối số φ không được xác định duy nhất. Nói chung,
0 + 2 πn trong đó n là một số nguyên. Do đó hàm f(z)
.

cũng không rõ ràng. Ý nghĩa chính của nó thường được xem xét Bạn có quen thuộc với các chức năng y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x v.v. Tất cả các hàm này đều là trường hợp đặc biệt của hàm lũy thừa, tức là hàm y=xp
, trong đó p là một số thực cho trước. Các tính chất và đồ thị của hàm lũy thừa phụ thuộc đáng kể vào các tính chất của lũy thừa với số mũ thực và đặc biệt vào các giá trị mà nó x Và P Các tính chất và đồ thị của hàm lũy thừa phụ thuộc đáng kể vào các tính chất của lũy thừa với số mũ thực và đặc biệt vào các giá trị mà nó bằng cấp có ý nghĩa P
. Chúng ta hãy tiến hành xem xét tương tự các trường hợp khác nhau tùy thuộc vào số mũ

1. P. Chỉ số p=2n

-số tự nhiên chẵn. y=x2n , Ở đâu N

- là số tự nhiên có các số sau

• của cải:
• miền định nghĩa - tất cả các số thực, tức là tập R;
• tập hợp các giá trị - số không âm, tức là y lớn hơn hoặc bằng 0; -số tự nhiên chẵn. chức năng thậm chí, bởi vì=(- x 2n
• x) 2n hàm số đang giảm trên khoảng<0 x và tăng dần trong khoảng

x>0. -số tự nhiên chẵn.Đồ thị của hàm số có dạng giống như, ví dụ, đồ thị của hàm số.

y=x 4 2. Chỉ báo p=2n-1
- số tự nhiên lẻ Trong trường hợp này, hàm năng lượng y=x2n-1

• , là số tự nhiên, có các tính chất sau:
• miền định nghĩa - tập R;
• tập hợp các giá trị - số không âm, tức là y lớn hơn hoặc bằng 0; Trong trường hợp này, hàm năng lượng tập hợp các giá trị - tập R; kỳ lạ vì (-=x) 2n-1
• x2n-1;

x>0. hàm số đang tăng trên toàn bộ trục thực. y=x hàm số đang tăng trên toàn bộ trục thực. 3 .

2n-1 có dạng giống như đồ thị của hàm số chẳng hạn 3.Chỉ báo p=-2n , Ở đâu N-

số tự nhiên. Trong trường hợp này, hàm năng lượng y=x -2n =1/x 2n

• có các tính chất sau:
• miền định nghĩa - tập R, ngoại trừ x=0;
• tập giá trị - số dương y>0; chức năng y chức năng =1/x2n=1/(-x)2n;
• 1/x 2n<0 и убывающей на промежутке x>0.

hàm số đang tăng trên khoảng x chức năng yĐồ thị hàm số y có dạng giống như đồ thị của hàm y chẳng hạn.