Hãy tiếp tục nói về giải phương trình. Trong bài viết này chúng ta sẽ đi chi tiết về phương trình hữu tỉ và nguyên tắc giải quyết phương trình hữu tỉ với một biến. Đầu tiên, chúng ta hãy tìm hiểu loại phương trình nào được gọi là hữu tỉ, đưa ra định nghĩa về phương trình hữu tỉ toàn phần và phương trình hữu tỉ phân số, đồng thời đưa ra các ví dụ. Tiếp theo, chúng ta sẽ thu được các thuật toán để giải phương trình hữu tỉ và tất nhiên là xem xét nghiệm ví dụ điển hình với tất cả những lời giải thích cần thiết.
Điều hướng trang.
Dựa trên các định nghĩa đã nêu, chúng tôi đưa ra một số ví dụ về phương trình hữu tỉ. Ví dụ: x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , đều là phương trình hữu tỉ.
Từ các ví dụ được hiển thị, rõ ràng là các phương trình hữu tỉ, cũng như các loại phương trình khác, có thể có một biến hoặc có hai, ba, v.v. các biến. TRONG những điểm sau đây chúng ta sẽ nói về việc giải các phương trình hữu tỉ với một biến. Giải phương trình hai biến và họ một số lượng lớnđáng được quan tâm đặc biệt.
Ngoài việc chia các phương trình hữu tỉ cho số biến chưa biết, chúng còn được chia thành số nguyên và phân số. Hãy đưa ra các định nghĩa tương ứng.
Sự định nghĩa.
Phương trình hữu tỉ được gọi là trọn, nếu cả phần bên trái và bên phải của nó đều là số nguyên biểu thức hợp lý.
Sự định nghĩa.
Nếu ít nhất một trong các phần của phương trình hữu tỉ là biểu thức phân số thì phương trình đó được gọi là hợp lý một phần(hoặc phân số hợp lý).
Rõ ràng là toàn bộ các phương trình không chứa phép chia cho một biến; ngược lại, các phương trình hữu tỉ phân số nhất thiết phải chứa phép chia cho một biến (hoặc một biến ở mẫu số). Vậy 3 x+2=0 và (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5– đây là những phương trình hữu tỉ, cả hai phần của chúng đều là biểu thức toàn phần. A và x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 là ví dụ về phương trình hữu tỉ phân số.
Kết thúc điểm này, chúng ta hãy chú ý đến thực tế là các phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai đã biết cho đến thời điểm này đều là các phương trình hữu tỉ.
Giải toàn bộ phương trình
Một trong những cách tiếp cận chính để giải toàn bộ phương trình là quy chúng về dạng tương đương phương trình đại số. Điều này luôn có thể được thực hiện bằng cách thực hiện các phép biến đổi tương đương sau của phương trình:
- đầu tiên, biểu thức ở vế phải của phương trình số nguyên ban đầu được chuyển sang bên trái Với dấu hiệu ngược lạiđể có số 0 ở vế phải;
- sau đó, ở vế trái của phương trình, kết quả là chế độ xem chuẩn.
Kết quả là phương trình đại số, tương đương với phương trình số nguyên ban đầu. Vì vậy, trong hầu hết trường hợp đơn giản việc giải toàn bộ phương trình được rút gọn thành giải phương trình tuyến tính hoặc phương trình bậc hai, và trong trường hợp chung– Giải phương trình đại số bậc n. Để rõ ràng, chúng ta hãy xem giải pháp cho ví dụ.
Ví dụ.
Tìm nghiệm nguyên của toàn bộ phương trình 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.
Giải pháp.
Chúng ta hãy rút gọn nghiệm của toàn bộ phương trình này thành nghiệm của một phương trình đại số tương đương. Để làm điều này, trước tiên, chúng ta chuyển biểu thức từ bên phải sang bên trái, kết quả là chúng ta thu được phương trình 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Và thứ hai, chúng ta biến đổi biểu thức ở vế trái thành dạng đa thức chuẩn bằng cách hoàn thành điều kiện cần thiết: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Như vậy, việc giải phương trình số nguyên ban đầu được rút gọn thành giải phương trình bậc hai x 2 −5·x−6=0.
Chúng tôi tính toán sự phân biệt của nó D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, nó là dương, có nghĩa là phương trình có hai nghiệm thực mà chúng ta tìm thấy bằng cách sử dụng công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai:
Để hoàn toàn chắc chắn, hãy làm điều đó kiểm tra các nghiệm tìm được của phương trình. Đầu tiên chúng ta kiểm tra căn 6, thay thế nó vào thay x trong phương trình số nguyên ban đầu: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, cũng tương tự, 63=63. Điều này đúng sự bình đẳng về số lượng, do đó, x=6 thực sự là nghiệm của phương trình. Bây giờ chúng ta kiểm tra nghiệm −1, chúng ta có 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, từ đó, 0=0 . Khi x=−1, phương trình ban đầu cũng trở thành một đẳng thức số đúng, do đó, x=−1 cũng là nghiệm của phương trình.
Trả lời:
6 , −1 .
Ở đây cũng cần lưu ý rằng thuật ngữ “bậc của toàn bộ phương trình” gắn liền với việc biểu diễn toàn bộ phương trình dưới dạng phương trình đại số. Hãy đưa ra định nghĩa tương ứng:
Sự định nghĩa.
Sức mạnh của toàn bộ phương trìnhđược gọi là bậc của một phương trình đại số tương đương.
Theo định nghĩa này, toàn bộ phương trình từ ví dụ trước có bậc hai.
Đây có thể là sự kết thúc của việc giải toàn bộ phương trình hữu tỉ, nếu không phải vì một điều…. Như đã biết, việc giải các phương trình đại số có bậc cao hơn bậc hai gắn liền với những khó khăn đáng kể, và đối với các phương trình có bậc cao hơn bậc thứ tư thì không có khó khăn gì. công thức tổng quát rễ. Vì vậy, để giải toàn bộ các phương trình bậc ba, bậc bốn và hơn thế nữa độ cao Thường thì bạn phải dùng đến các phương pháp giải quyết khác.
Trong những trường hợp như vậy, một cách tiếp cận để giải toàn bộ các phương trình hữu tỉ dựa trên phương pháp nhân tử hóa. Trong trường hợp này, thuật toán sau được tuân thủ:
- Đầu tiên, họ đảm bảo rằng có số 0 ở vế phải của phương trình; để làm điều này, họ chuyển biểu thức từ vế phải của toàn bộ phương trình sang trái;
- sau đó, biểu thức thu được ở vế trái được trình bày dưới dạng tích của một số thừa số, điều này cho phép chúng ta chuyển sang một tập hợp nhiều phương trình đơn giản hơn.
Thuật toán đã cho để giải toàn bộ phương trình thông qua nhân tử hóa yêu cầu giải thích chi tiết bằng một ví dụ.
Ví dụ.
Giải toàn bộ phương trình (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .
Giải pháp.
Đầu tiên, như thường lệ, ta chuyển biểu thức từ vế phải sang vế trái của phương trình, không quên đổi dấu, ta được (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Ở đây khá rõ ràng rằng không nên chuyển vế trái của phương trình thu được thành đa thức có dạng chuẩn, vì điều này sẽ cho một phương trình đại số bậc bốn của dạng x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, giải pháp đó thật khó khăn.
Mặt khác, rõ ràng là ở vế trái của phương trình thu được, chúng ta có thể x 2 −10 x+13 , từ đó biểu diễn nó dưới dạng tích. Chúng tôi có (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Phương trình thu được tương đương với toàn bộ phương trình ban đầu, và đến lượt nó, có thể được thay thế bằng một tập hợp hai phương trình bậc hai x 2 −10·x+13=0 và x 2 −2·x−1=0. Tìm nguồn gốc của họ bằng cách công thức đã biết các căn thông qua việc phân biệt không khó, các căn đều bằng nhau. Chúng là các nghiệm mong muốn của phương trình ban đầu.
Trả lời:
Cũng hữu ích để giải toàn bộ phương trình hữu tỉ phương pháp giới thiệu một biến mới. Trong một số trường hợp, nó cho phép bạn chuyển sang các phương trình có bậc thấp hơn bậc của toàn bộ phương trình ban đầu.
Ví dụ.
Tìm nghiệm thực của một phương trình hữu tỉ (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).
Giải pháp.
Nói một cách nhẹ nhàng, việc chuyển toàn bộ phương trình hữu tỉ này thành một phương trình đại số không phải là một ý kiến hay, vì trong trường hợp này chúng ta sẽ cần phải giải một phương trình bậc bốn không có rễ hợp lý. Vì vậy, bạn sẽ phải tìm kiếm một giải pháp khác.
Ở đây dễ thấy rằng bạn có thể giới thiệu một biến y mới và thay thế biểu thức x 2 +3·x bằng biến đó. Sự thay thế này dẫn chúng ta đến toàn bộ phương trình (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , sau khi di chuyển biểu thức −2·(y−4) sang vế trái và phép biến đổi tiếp theo của biểu thức được hình thành ở đó, được rút gọn thành phương trình bậc hai y 2 +4·y+3=0. Các nghiệm của phương trình này y=−1 và y=−3 rất dễ tìm, ví dụ, chúng có thể được chọn dựa trên định lý nghịch đảo với định lý Vieta.
Bây giờ chúng ta chuyển sang phần thứ hai của phương pháp giới thiệu một biến mới, tức là thực hiện một phép thay thế ngược. Sau khi thực hiện phép thế ngược, chúng ta thu được hai phương trình x 2 +3 x=−1 và x 2 +3 x=−3, có thể viết lại thành x 2 +3 x+1=0 và x 2 +3 x+3 =0 . Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta tìm được nghiệm của phương trình đầu tiên. Và thứ hai phương trình bậc hai không có rễ thật, vì biệt thức của nó là âm (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).
Trả lời:
Nói chung, khi giải quyết toàn bộ các phương trình bậc cao, chúng ta phải luôn chuẩn bị sẵn sàng để tìm kiếm phương pháp không chuẩn hoặc tiếp nhận nhân tạođể giải quyết chúng.
Giải phương trình hữu tỉ phân số
Đầu tiên, sẽ rất hữu ích khi hiểu cách giải các phương trình hữu tỉ phân số có dạng , trong đó p(x) và q(x) là các biểu thức hữu tỉ nguyên. Và sau đó chúng ta sẽ chỉ ra cách chuyển nghiệm các phương trình hữu tỉ phân số khác thành nghiệm của các phương trình thuộc loại đã chỉ định.
Một trong những cách tiếp cận để giải phương trình dựa trên phát biểu sau: phân số u/v , trong đó v là một số khác 0 (nếu không chúng ta sẽ gặp , số này không xác định), bằng 0 khi và chỉ khi tử số của nó bằng 0, nghĩa là khi và chỉ khi u=0. Theo phát biểu này, việc giải phương trình được rút gọn thành việc thỏa mãn hai điều kiện p(x)=0 và q(x)≠0.
Kết luận này tương ứng với những điều sau đây thuật toán giải phương trình hữu tỉ phân số. Để giải phương trình hữu tỉ phân số có dạng , bạn cần
- giải toàn bộ phương trình hữu tỉ p(x)=0 ;
- và kiểm tra xem điều kiện q(x)≠0 có thỏa mãn với mỗi nghiệm được tìm thấy hay không, trong khi
- nếu đúng thì nghiệm này là nghiệm của phương trình ban đầu;
- nếu nó không thỏa mãn thì nghiệm này là không liên quan, tức là nó không phải là nghiệm của phương trình ban đầu.
Chúng ta hãy xem một ví dụ về việc sử dụng thuật toán đã công bố khi giải phương trình hữu tỉ phân số.
Ví dụ.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình.
Giải pháp.
Đây là một phương trình hữu tỉ phân số và có dạng , trong đó p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.
Theo thuật toán giải phương trình hữu tỉ dạng phân số này, trước tiên chúng ta cần giải phương trình 3 x−2=0. Cái này phương trình tuyến tính, có nghiệm là x=2/3.
Vẫn còn phải kiểm tra nghiệm này, nghĩa là kiểm tra xem nó có thỏa mãn điều kiện 5 x 2 −2≠0 hay không. Chúng ta thay số 2/3 vào biểu thức 5 x 2 −2 thay vì x và chúng ta nhận được . Điều kiện được đáp ứng nên x=2/3 là nghiệm của phương trình ban đầu.
Trả lời:
2/3 .
Bạn có thể tiếp cận việc giải phương trình hữu tỉ phân số từ một vị trí hơi khác. Phương trình này tương đương với phương trình số nguyên p(x)=0 trên biến x của phương trình ban đầu. Nghĩa là, bạn có thể bám vào điều này thuật toán giải phương trình hữu tỉ phân số :
- giải phương trình p(x)=0 ;
- tìm ODZ của biến x;
- lấy rễ thuộc về khu vực giá trị chấp nhận được, - chúng là các nghiệm mong muốn của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu.
Ví dụ: hãy giải phương trình hữu tỉ phân số bằng thuật toán này.
Ví dụ.
Giải phương trình.
Giải pháp.
Đầu tiên, chúng ta giải phương trình bậc hai x 2 −2·x−11=0. Căn nguyên của nó có thể được tính bằng cách sử dụng công thức căn bậc hai cho hệ số chẵn thứ hai, chúng ta có D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Và .
Thứ hai, chúng ta tìm ODZ của biến x cho phương trình ban đầu. Nó bao gồm tất cả các số mà x 2 +3·x≠0, giống như x·(x+3)≠0, từ đó x≠0, x≠−3.
Việc còn lại là kiểm tra xem các gốc được tìm thấy ở bước đầu tiên có được đưa vào ODZ hay không. Rõ ràng là có. Do đó, phương trình hữu tỉ phân số ban đầu có hai nghiệm.
Trả lời:
Lưu ý rằng cách tiếp cận này có lợi hơn cách tiếp cận đầu tiên nếu ODZ dễ tìm và đặc biệt có lợi nếu nghiệm của phương trình p(x) = 0 là vô tỉ, chẳng hạn, hoặc hữu tỉ, nhưng có tử số khá lớn và /hoặc mẫu số, ví dụ: 127/1101 và −31/59. Điều này là do thực tế là trong những trường hợp như vậy, việc kiểm tra điều kiện q(x)≠0 sẽ đòi hỏi nỗ lực tính toán đáng kể và việc loại trừ các nghiệm ngoại lai bằng cách sử dụng ODZ sẽ dễ dàng hơn.
Trong các trường hợp khác, khi giải phương trình, đặc biệt khi nghiệm của phương trình p(x) = 0 là số nguyên, sẽ có lợi hơn nếu sử dụng thuật toán đầu tiên trong số các thuật toán đã cho. Nghĩa là, nên tìm ngay các nghiệm của toàn bộ phương trình p(x)=0, sau đó kiểm tra xem điều kiện q(x)≠0 có thỏa mãn chúng hay không, thay vì tìm ODZ, sau đó giải phương trình p(x)=0 trên ODZ này . Điều này là do thực tế là trong những trường hợp như vậy, việc kiểm tra thường dễ dàng hơn là tìm DZ.
Chúng ta hãy xem xét giải pháp của hai ví dụ để minh họa các sắc thái cụ thể.
Ví dụ.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình.
Giải pháp.
Đầu tiên, hãy tìm nghiệm nguyên của toàn bộ phương trình (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, được tạo bằng cách sử dụng tử số của phân số. Vế trái của phương trình này là tích, vế phải bằng 0, do đó, theo phương pháp giải phương trình nhân tử hóa, phương trình này tương đương với bộ bốn phương trình 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Ba trong số các phương trình này là tuyến tính và một là phương trình bậc hai; chúng ta có thể giải chúng. Từ phương trình đầu tiên, chúng ta tìm thấy x=1/2, từ phương trình thứ hai - x=6, từ phương trình thứ ba - x=7, x=−2, từ phương trình thứ tư - x=−1.
Với các nghiệm đã tìm được, khá dễ dàng để kiểm tra xem mẫu số của phân số ở vế trái của phương trình ban đầu có biến mất hay không, nhưng ngược lại, việc xác định ODZ không dễ dàng như vậy, vì để làm được điều này, bạn sẽ phải giải một phương trình đại số bậc năm. Vì vậy, hãy từ bỏ tìm ODZủng hộ việc kiểm tra rễ. Để làm điều này, chúng ta thay thế từng cái một thay vì biến x trong biểu thức x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, thu được sau khi thay thế và so sánh chúng với số 0: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=
122+1/32≠0
;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0
;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .
Do đó, 1/2, 6 và −2 là các nghiệm mong muốn của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu, còn 7 và −1 là các nghiệm không liên quan.
Trả lời:
1/2 , 6 , −2 .
Ví dụ.
Tìm nghiệm nguyên của một phương trình hữu tỉ phân số.
Giải pháp.
Đầu tiên chúng ta hãy tìm nghiệm nguyên của phương trình (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Phương trình này tương đương với một tập hợp gồm hai phương trình: bình phương 5·x 2 −7·x−1=0 và tuyến tính x−2=0. Sử dụng công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta tìm được hai nghiệm và từ phương trình thứ hai, chúng ta có x=2.
Việc kiểm tra xem mẫu số có bằng 0 ở các giá trị tìm thấy của x hay không khá khó chịu. Và việc xác định khoảng giá trị cho phép của biến x trong phương trình ban đầu khá đơn giản. Vì vậy, chúng tôi sẽ hành động thông qua ODZ.
Trong trường hợp của chúng ta, ODZ của biến x của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu bao gồm tất cả các số ngoại trừ những số thỏa mãn điều kiện x 2 +5·x−14=0. Các nghiệm của phương trình bậc hai này là x=−7 và x=2, từ đó chúng ta rút ra kết luận về ODZ: nó bao gồm tất cả x sao cho .
Việc còn lại là kiểm tra xem các nghiệm tìm được và x=2 có thuộc phạm vi giá trị chấp nhận được hay không. Do đó, các nghiệm thuộc về, chúng là nghiệm của phương trình ban đầu, và x=2 không thuộc về, do đó, nó là một nghiệm không liên quan.
Trả lời:
Cũng sẽ hữu ích khi xem xét riêng các trường hợp khi trong phương trình hữu tỉ phân số có một số trong tử số, nghĩa là khi p(x) được biểu thị bằng một số nào đó. Đồng thời
- nếu số này khác 0 thì phương trình không có nghiệm, vì một phân số bằng 0 khi và chỉ khi tử số của nó bằng 0;
- nếu số này bằng 0 thì gốc của phương trình là bất kỳ số nào từ ODZ.
Ví dụ.
Giải pháp.
Vì tử số của phân số ở vế trái của phương trình chứa một số khác 0 nên với bất kỳ x nào giá trị của phân số này không thể bằng 0. Do đó, phương trình này không có gốc.
Trả lời:
không có rễ.
Ví dụ.
Giải phương trình.
Giải pháp.
Tử số của phân số ở vế trái của phương trình hữu tỉ phân số này chứa 0, vì vậy giá trị của phân số này bằng 0 đối với bất kỳ x nào mà nó có ý nghĩa. Nói cách khác, nghiệm của phương trình này là bất kỳ giá trị nào của x tính từ ODZ của biến này.
Vẫn còn phải xác định phạm vi giá trị chấp nhận được này. Nó bao gồm tất cả các giá trị của x mà x 4 +5 x 3 ≠0. Nghiệm của phương trình x 4 +5 x 3 =0 là 0 và −5, vì phương trình này tương đương với phương trình x 3 (x+5)=0, và đến lượt nó tương đương với sự kết hợp của hai phương trình x 3 =0 và x +5=0, từ đó có thể nhìn thấy được các nghiệm này. Do đó, phạm vi giá trị chấp nhận được mong muốn là bất kỳ x nào ngoại trừ x=0 và x=−5.
Do đó, một phương trình hữu tỉ phân số có vô số nghiệm, là các số bất kỳ ngoại trừ 0 và trừ 5.
Trả lời:
Cuối cùng, đã đến lúc nói về việc giải các phương trình hữu tỉ phân số kiểu tùy ý. Chúng có thể được viết dưới dạng r(x)=s(x), trong đó r(x) và s(x) là các biểu thức hữu tỉ và ít nhất một trong số chúng là phân số. Nhìn về phía trước, giả sử rằng giải pháp của họ là giải các phương trình có dạng đã quen thuộc với chúng ta.
Người ta biết rằng việc chuyển một số hạng từ phần này của phương trình sang phần khác có dấu ngược lại sẽ dẫn đến một phương trình tương đương, do đó phương trình r(x)=s(x) tương đương với phương trình r(x)−s(x )=0.
Chúng ta cũng biết rằng bất kỳ , giống hệt với biểu thức này, đều có thể xảy ra. Do đó, chúng ta luôn có thể biến đổi biểu thức hữu tỉ ở vế trái của phương trình r(x)−s(x)=0 thành một phân số hữu tỷ giống hệt nhau có dạng .
Vì vậy, chúng ta chuyển từ phương trình hữu tỉ phân số ban đầu r(x)=s(x) sang phương trình và nghiệm của nó, như chúng ta đã tìm ra ở trên, rút gọn thành giải phương trình p(x)=0.
Nhưng ở đây cần phải tính đến một thực tế là khi thay thế r(x)−s(x)=0 bằng , và sau đó bằng p(x)=0, phạm vi giá trị cho phép của biến x có thể mở rộng .
Do đó, phương trình ban đầu r(x)=s(x) và phương trình p(x)=0 mà chúng ta đã tìm ra có thể không bằng nhau, và bằng cách giải phương trình p(x)=0, chúng ta có thể tìm được nghiệm đó sẽ là các nghiệm ngoại lai của phương trình ban đầu r(x)=s(x) . Bạn có thể xác định và không đưa các nghiệm ngoại lai vào câu trả lời bằng cách thực hiện kiểm tra hoặc kiểm tra xem chúng có thuộc ODZ của phương trình ban đầu hay không.
Hãy tóm tắt thông tin này trong thuật toán giải phương trình hữu tỉ phân số r(x)=s(x). Để giải phương trình hữu tỉ phân số r(x)=s(x) , bạn cần
- Nhận số 0 ở bên phải bằng cách di chuyển biểu thức từ bên phải sang dấu ngược lại.
- Thực hiện các phép tính với phân số và đa thức ở vế trái của phương trình, từ đó chuyển nó thành phân số hữu tỉ có dạng.
- Giải phương trình p(x)=0.
- Xác định và loại bỏ các nghiệm ngoại lai, được thực hiện bằng cách thay thế chúng vào phương trình ban đầu hoặc bằng cách kiểm tra xem chúng có thuộc ODZ của phương trình ban đầu hay không.
Để rõ ràng hơn, chúng tôi sẽ hiển thị toàn bộ chuỗi giải phương trình hữu tỉ phân số:
.
Chúng ta hãy xem xét giải pháp của một số ví dụ với phần giải thích chi tiết về quy trình giải pháp để làm rõ khối thông tin nhất định.
Ví dụ.
Giải phương trình hữu tỉ phân số.
Giải pháp.
Chúng ta sẽ hành động theo thuật toán giải vừa thu được. Và đầu tiên chúng ta di chuyển các số hạng từ vế phải của phương trình sang trái, kết quả là chúng ta chuyển sang phương trình.
Ở bước thứ hai, chúng ta cần chuyển biểu thức hữu tỉ phân số ở vế trái của phương trình thu được thành dạng phân số. Để làm điều này, chúng tôi thực hiện một diễn viên phân số hợp lýĐẾN mẫu số chung và đơn giản hóa biểu thức kết quả: . Vì vậy, chúng ta đi đến phương trình.
TRÊN giai đoạn tiếp theo chúng ta cần giải phương trình −2·x−1=0. Chúng ta tìm thấy x=−1/2.
Vẫn còn phải kiểm tra xem số −1/2 tìm thấy có phải là nghiệm ngoại lai của phương trình ban đầu hay không. Để làm điều này, bạn có thể kiểm tra hoặc tìm VA của biến x của phương trình ban đầu. Hãy chứng minh cả hai cách tiếp cận.
Hãy bắt đầu với việc kiểm tra. Chúng ta thay số −1/2 vào phương trình ban đầu thay cho biến x, và chúng ta thu được kết quả tương tự, −1=−1. Phép thay thế mang lại đẳng thức số chính xác, vì vậy x=−1/2 là nghiệm của phương trình ban đầu.
Bây giờ chúng tôi sẽ chỉ ra cách thực hiện điểm cuối cùng của thuật toán thông qua ODZ. Phạm vi giá trị cho phép của phương trình ban đầu là tập hợp tất cả các số ngoại trừ −1 và 0 (tại x=−1 và x=0 mẫu số của phân số biến mất). Căn x=−1/2 tìm thấy ở bước trước thuộc về ODZ, do đó, x=−1/2 là nghiệm của phương trình ban đầu.
Trả lời:
−1/2 .
Hãy xem một ví dụ khác.
Ví dụ.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình.
Giải pháp.
Chúng ta cần giải một phương trình hữu tỉ phân số, chúng ta hãy thực hiện tất cả các bước của thuật toán.
Đầu tiên, chúng ta di chuyển số hạng từ bên phải sang bên trái, chúng ta nhận được .
Thứ hai, chúng ta biến đổi biểu thức ở vế trái: . Kết quả là chúng ta đi đến phương trình x=0.
Gốc của nó là hiển nhiên - nó bằng không.
Ở bước thứ tư, vẫn còn phải tìm hiểu xem liệu nghiệm tìm được có khác với phương trình hữu tỉ phân số ban đầu hay không. Khi thay nó vào phương trình ban đầu, ta thu được biểu thức. Rõ ràng là nó vô nghĩa vì nó chứa phép chia cho 0. Từ đó chúng ta kết luận rằng 0 là một nghiệm ngoại lai. Do đó, phương trình ban đầu không có nghiệm.
7, dẫn đến phương trình. Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng biểu thức ở mẫu số của vế trái phải bằng biểu thức ở vế phải, tức là . Bây giờ chúng ta trừ cả hai vế của bộ ba: . Bằng cách tương tự, từ đâu và hơn thế nữa.
Việc kiểm tra cho thấy cả hai nghiệm được tìm thấy đều là nghiệm của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu.
Trả lời:
Tài liệu tham khảo.
- Đại số: sách giáo khoa cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G.Đại số. lớp 8. 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh cơ sở giáo dục/ A. G. Mordkovich. - Tái bản lần thứ 11, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Đại số: Lớp 9: giáo dục. cho giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2009. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Trình bày và bài học chuyên đề: "Phương trình hữu tỉ. Thuật toán và ví dụ giải phương trình hữu tỉ"
Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn! Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.
Dụng cụ hỗ trợ giáo dục và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral dành cho lớp 8
Sách hướng dẫn sử dụng sách của Makarychev Yu.N. Sách hướng dẫn sử dụng sách của Mordkovich A.G.
Giới thiệu về phương trình vô tỉ
Các bạn ơi, chúng ta đã học cách giải phương trình bậc hai. Nhưng toán học không chỉ giới hạn ở họ. Hôm nay chúng ta sẽ học cách giải các phương trình hữu tỉ. Khái niệm phương trình hữu tỉ về nhiều mặt tương tự như khái niệm số hữu tỉ. Chỉ ngoài số, bây giờ chúng tôi đã giới thiệu một số biến $x$. Và do đó, chúng ta có được một biểu thức trong đó có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và nâng lên lũy thừa số nguyên.Đặt $r(x)$ là biểu hiện hợp lý. Một biểu thức như vậy có thể là một đa thức đơn giản trong biến $x$ hoặc một tỉ số của các đa thức (một phép chia được giới thiệu, như đối với các số hữu tỉ).
Phương trình $r(x)=0$ được gọi là phương trình hữu tỉ.
Bất kỳ phương trình nào có dạng $p(x)=q(x)$, trong đó $p(x)$ và $q(x)$ là các biểu thức hữu tỉ, cũng sẽ là phương trình hữu tỉ.
Hãy xem xét các ví dụ về giải phương trình hữu tỉ.
Ví dụ 1.Giải phương trình: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Giải pháp.
Hãy di chuyển tất cả các biểu thức sang bên trái: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Nếu vế trái của phương trình được biểu diễn số thường xuyên, thì chúng ta sẽ đưa hai phân số về mẫu số chung.
Hãy làm điều này: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Chúng ta có phương trình: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
Một phân số bằng 0 khi và chỉ khi tử số của phân số đó bằng 0 và mẫu số khác 0. Sau đó, chúng ta đánh đồng tử số bằng 0 và tìm nghiệm của tử số.
$3(x^2+2x-3)=0$ hoặc $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Bây giờ chúng ta hãy kiểm tra mẫu số của phân số: $(x-3)*x≠0$.
Tích của hai số bằng 0 khi có ít nhất một trong các số này bằng 0. Khi đó: $x≠0$ hoặc $x-3≠0$.
$x≠0$ hoặc $x≠3$.
Các nghiệm thu được ở tử số và mẫu số không trùng nhau. Vì vậy chúng ta viết cả hai nghiệm của tử số vào đáp án.
Trả lời: $x=1$ hoặc $x=-3$.
Nếu đột nhiên một trong các nghiệm của tử số trùng với gốc của mẫu số thì nên loại trừ. Những rễ như vậy được gọi là ngoại lai!
Thuật toán giải phương trình hữu tỉ:
1. Chuyển tất cả các biểu thức có trong phương trình sang bên trái từ dấu bằng.2. Chuyển phần này của phương trình thành phân số đại số: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Đánh đồng tử số thu được bằng 0, nghĩa là giải phương trình $p(x)=0$.
4. Cân bằng mẫu số bằng 0 và giải phương trình thu được. Nếu căn của mẫu số trùng với căn của tử số thì chúng sẽ bị loại khỏi câu trả lời.
Ví dụ 2.
Giải phương trình: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Giải pháp.
Hãy giải quyết theo các điểm của thuật toán.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Đánh đồng tử số với 0: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Đánh đồng mẫu số bằng 0:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ và $x=-1$.
Một trong các nghiệm $x=1$ trùng với nghiệm của tử số thì ta không ghi nó vào đáp án.
Trả lời: $x=-1$.
Thật thuận tiện khi giải các phương trình hữu tỉ bằng phương pháp đổi biến. Hãy chứng minh điều này.
Ví dụ 3.
Giải phương trình: $x^4+12x^2-64=0$.
Giải pháp.
Hãy giới thiệu sự thay thế: $t=x^2$.
Khi đó phương trình của chúng ta sẽ có dạng:
$t^2+12t-64=0$ - phương trình bậc hai thông thường.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 đô la.
Hãy giới thiệu phép thay thế ngược lại: $x^2=4$ hoặc $x^2=-16$.
Các nghiệm của phương trình đầu tiên là một cặp số $x=±2$. Điều thứ hai là nó không có gốc rễ.
Trả lời: $x=±2$.
Ví dụ 4.
Giải phương trình: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Giải pháp.
Hãy giới thiệu một biến mới: $t=x^2+x+1$.
Khi đó phương trình sẽ có dạng: $t=\frac(15)(t+2)$.
Tiếp theo chúng ta sẽ tiến hành theo thuật toán.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - các nghiệm không trùng nhau.
Hãy giới thiệu một sự thay thế ngược lại.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Hãy giải từng phương trình riêng biệt:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - không rễ.
Và phương trình thứ hai: $x^2+x-2=0$.
Rễ phương trình đã cho sẽ có các số $x=-2$ và $x=1$.
Trả lời: $x=-2$ và $x=1$.
Ví dụ 5.
Giải phương trình: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Giải pháp.
Hãy giới thiệu phép thay thế: $t=x+\frac(1)(x)$.
Sau đó:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ hoặc $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Chúng ta có phương trình: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Các nghiệm của phương trình này là cặp:
$t=-3$ và $t=2$.
Hãy giới thiệu sự thay thế ngược lại:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Chúng tôi sẽ quyết định riêng.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Hãy giải phương trình thứ hai:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Căn nguyên của phương trình này là số $x=1$.
Trả lời: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Vấn đề cần giải quyết độc lập
Giải phương trình:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.
Trong bài viết này tôi sẽ chỉ cho bạn thuật toán giải bảy loại phương trình hữu tỉ, có thể quy về dạng bậc hai bằng cách thay đổi các biến. Trong hầu hết các trường hợp, các phép biến đổi dẫn đến sự thay thế là rất không tầm thường và khá khó để tự mình đoán về chúng.
Đối với mỗi loại phương trình, tôi sẽ giải thích cách thực hiện thay đổi biến trong đó và sau đó hiển thị giải pháp chi tiết trong video hướng dẫn tương ứng.
Bạn có cơ hội tiếp tục tự mình giải các phương trình, sau đó kiểm tra lời giải của mình bằng bài học video.
Vậy hãy bắt đầu.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Lưu ý rằng ở vế trái của phương trình có tích của bốn dấu ngoặc và ở vế phải là một số.
1. Hãy nhóm các dấu ngoặc thành hai để tổng các số hạng tự do bằng nhau.
2. Nhân chúng.
3. Hãy giới thiệu một phép đổi biến.
Trong phương trình của chúng ta, chúng ta sẽ nhóm dấu ngoặc đầu tiên với dấu ngoặc thứ ba và dấu ngoặc thứ hai với dấu ngoặc thứ tư, vì (-1)+(-4)=(-7)+2:
Tại thời điểm này, việc thay thế biến trở nên rõ ràng:
Chúng ta thu được phương trình 
Trả lời: 
2 .
Phương trình loại này tương tự như phương trình trước nhưng có một điểm khác biệt: ở vế phải của phương trình là tích của số và . Và nó được giải quyết theo một cách hoàn toàn khác:
1. Chúng ta nhóm các dấu ngoặc lại thành hai để tích của các số hạng tự do giống nhau.
2. Nhân từng cặp dấu ngoặc.
3. Chúng ta lấy x ra khỏi mỗi yếu tố.
4. Chia cả hai vế của phương trình cho .
5. Chúng tôi giới thiệu một sự thay đổi của biến.
Trong phương trình này, chúng ta nhóm dấu ngoặc đầu tiên với dấu ngoặc thứ tư và dấu ngoặc thứ hai với dấu ngoặc thứ ba, vì:
Lưu ý rằng trong mỗi ngoặc hệ số và số hạng tự do đều giống nhau. Hãy lấy một yếu tố ra khỏi mỗi khung:
Vì x=0 không phải là nghiệm của phương trình ban đầu nên chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho . Chúng tôi nhận được:
Chúng ta nhận được phương trình: 
Trả lời: 
3
. 
Lưu ý rằng mẫu số của cả hai phân số là tam thức vuông, trong đó hệ số dẫn đầu và số hạng tự do là như nhau. Chúng ta hãy lấy x ra khỏi ngoặc, như trong phương trình loại thứ hai. Chúng tôi nhận được:
Chia tử số và mẫu số của mỗi phân số cho x:
Bây giờ chúng ta có thể giới thiệu một biến thay thế:
Chúng ta thu được phương trình cho biến t:
4 .
Lưu ý rằng các hệ số của phương trình đối xứng với hệ số trung tâm. Phương trình này được gọi là có thể trả lại .
Để giải quyết nó,
1. Chia cả hai vế của phương trình cho (Chúng ta có thể làm điều này vì x=0 không phải là nghiệm của phương trình.) Chúng ta nhận được:
2. Hãy nhóm các thuật ngữ theo cách này:
3. Trong mỗi nhóm, hãy lấy ước chung ra khỏi ngoặc:
4. Hãy giới thiệu sự thay thế:
5. Biểu diễn qua t biểu thức:
Từ đây 
Chúng ta nhận được phương trình cho t:
Trả lời:
5. Phương trình thuần nhất.
Các phương trình có cấu trúc đồng nhất có thể gặp khi giải hàm mũ, logarit và phương trình lượng giác, vì vậy bạn cần có khả năng nhận ra nó.
Các phương trình thuần nhất có cấu trúc như sau:
Trong đẳng thức này, A, B và C là các số, hình vuông và hình tròn biểu thị biểu thức giống hệt nhau. Nghĩa là, ở vế trái của một phương trình thuần nhất có tổng các đơn thức có cùng mức độ(V trong trường hợp này bậc của đơn thức là 2) và không có số hạng tự do.
Để quyết định phương trình thuần nhất, chia cả hai vế cho
Chú ý! Khi chia vế phải và vế trái của một phương trình cho một biểu thức chứa ẩn số, bạn có thể bị mất gốc. Vì vậy, cần phải kiểm tra xem nghiệm của biểu thức mà chúng ta chia cả hai vế của phương trình có phải là nghiệm của phương trình ban đầu hay không.
Hãy đi theo cách đầu tiên. Chúng ta nhận được phương trình:
Bây giờ chúng tôi giới thiệu thay thế biến:
Chúng ta hãy đơn giản hóa biểu thức và nhận được phương trình hai phương trình liên quan đến t:
Trả lời: hoặc
7
. 
Phương trình này có cấu trúc như sau:
Để giải nó, bạn cần chọn một hình vuông hoàn chỉnh ở phía bên trái của phương trình.
Để chọn một hình vuông đầy đủ, bạn cần cộng hoặc trừ hai lần tích. Sau đó chúng ta nhận được bình phương của tổng hoặc hiệu. Điều này rất quan trọng để thay thế biến thành công.
Hãy bắt đầu bằng cách tìm gấp đôi sản phẩm. Đây sẽ là chìa khóa để thay thế biến. Trong phương trình của chúng ta, hai lần tích bằng
Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu xem cái nào thuận tiện hơn cho chúng ta - bình phương của tổng hoặc hiệu. Trước tiên chúng ta hãy xem xét tổng các biểu thức:
Tuyệt vời! Biểu thức này chính xác bằng hai lần tích. Sau đó, để có được bình phương của tổng trong ngoặc, bạn cần cộng và trừ tích kép:
Biểu thức số nguyên là một biểu thức toán học được tạo thành từ các số và biến bằng chữ sử dụng các phép tính cộng, trừ và nhân. Số nguyên cũng bao gồm các biểu thức liên quan đến phép chia cho bất kỳ số nào khác 0.
Khái niệm biểu thức phân số
Biểu thức phân số là một biểu thức toán học, ngoài các phép tính cộng, trừ và nhân được thực hiện với các biến số và chữ cái, cũng như phép chia cho một số không bằng 0, còn chứa phép chia thành các biểu thức với các biến chữ cái.
Các biểu thức hữu tỉ đều là các biểu thức toàn phần và phân số. Phương trình hữu tỉ là phương trình trong đó vế trái và vế phải là biểu thức hữu tỉ. Nếu trong một phương trình hữu tỉ, vế trái và vế phải là các biểu thức số nguyên thì phương trình hữu tỉ đó được gọi là số nguyên.
Nếu trong một phương trình hữu tỉ thì vế trái hoặc vế phải là biểu thức phân số, thì phương trình hữu tỉ như vậy được gọi là phân số.
Ví dụ về biểu thức phân số hợp lý
1. x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
Sơ đồ giải phương trình hữu tỉ phân số
1. Tìm mẫu số chung của tất cả các phân số có trong phương trình.
2. Nhân cả hai vế của phương trình với một mẫu số chung.
3. Giải toàn bộ phương trình thu được.
4. Kiểm tra các nghiệm và loại trừ những nghiệm làm cho mẫu số chung biến mất.
Vì chúng ta đang giải các phương trình hữu tỉ phân số nên sẽ có các biến trong mẫu số của phân số. Điều này có nghĩa là chúng sẽ là mẫu số chung. Và ở điểm thứ hai của thuật toán, chúng ta nhân với mẫu số chung, khi đó các nghiệm không liên quan có thể xuất hiện. Khi đó mẫu số chung sẽ bằng 0, nghĩa là việc nhân với nó sẽ vô nghĩa. Vì vậy, cuối cùng cần phải kiểm tra rễ thu được.
Hãy xem một ví dụ:
Giải phương trình hữu tỉ phân số: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Chúng tôi sẽ bám vào sơ đồ chung: Trước tiên chúng ta hãy tìm mẫu số chung của tất cả các phân số. Chúng tôi nhận được x*(x-5).
Nhân mỗi phân số với một mẫu số chung và viết toàn bộ phương trình thu được.
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Chúng ta hãy đơn giản hóa phương trình kết quả. Chúng tôi nhận được:
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
Chúng ta nhận được một phương trình bậc hai rút gọn đơn giản. Chúng tôi giải quyết nó bằng bất kỳ phương pháp đã biết, ta được nghiệm x=-2 và x=5.
Bây giờ chúng tôi kiểm tra các giải pháp thu được:
Thay các số -2 và 5 vào mẫu số chung. Tại x=-2, mẫu số chung x*(x-5) không biến mất, -2*(-2-5)=14. Điều này có nghĩa là số -2 sẽ là nghiệm của phương trình phân số ban đầu.
Khi x=5 mẫu số chung x*(x-5) trở thành bằng 0. Do đó, số này không phải là nghiệm của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu, vì sẽ có phép chia cho số 0.
\(\bullet\) Phương trình hữu tỉ là một phương trình được biểu diễn dưới dạng \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] trong đó \(P(x), \Q(x)\ ) - đa thức (tổng của các lũy thừa khác nhau của X nhân với nhiều số khác nhau).
Biểu thức ở vế trái của phương trình được gọi là biểu thức hữu tỉ.
EA (phạm vi các giá trị có thể chấp nhận) của một phương trình hữu tỉ là tất cả các giá trị của \(x\) mà tại đó mẫu số KHÔNG biến mất, tức là \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Ví dụ: phương trình \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] là các phương trình hữu tỉ.
trong lần đầu tiên phương trình ODZ– tất cả đều là \(x\) sao cho \(x\ne 3\) (viết \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); trong phương trình thứ hai – tất cả đều \(x\) sao cho \(x\ne -1; x\ne 1\) (viết \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); và trong phương trình thứ ba không có hạn chế nào đối với ODZ, nghĩa là ODZ đều là \(x\) (họ viết \(x\in\mathbb(R)\)).
\(\bullet\) Định lý: 1) Tích của hai thừa số bằng 0 khi và chỉ khi một trong hai thừa số đó bằng 0 và thừa số kia không mất ý nghĩa, do đó, phương trình \(f(x)\cdot g(x)=0\ ) tương đương với hệ\[\begin(case) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ \ văn bản(phương trình ODZ)\end(trường hợp)\] 2) Một phân số bằng 0 khi và chỉ khi tử số bằng 0 và mẫu số không bằng 0, do đó, phương trình \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) tương đương với hệ phương trình\[\begin(case) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(case)\]
\(\bullet\) Hãy xem một vài ví dụ.
1) Giải phương trình \(x+1=\dfrac 2x\) .
Chúng ta hãy tìm ODZ của phương trình này - đây là \(x\ne 0\) (vì \(x\) nằm ở mẫu số). Điều này có nghĩa là ODZ có thể được viết như sau: . Hãy chuyển tất cả các số hạng thành một phần và đưa chúng về mẫu số chung:
\[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( trường hợp) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(trường hợp)\] Nghiệm của phương trình đầu tiên của hệ sẽ là \(x=-2, x=1\) . Chúng ta thấy rằng cả hai nghiệm đều khác 0. Do đó, câu trả lời là: \(x\in \(-2;1\)\) . 2) Giải phương trình \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\).
.
\[\begin(case) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right. \\ x\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ x\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(căn chỉnh) \end(đã tập hợp) \right.\\ x\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(gathered) \begin(căn chỉnh) &x=2\\ &x=1 \end(căn chỉnh) \end(tập hợp) \right.\] Thật vậy, mặc dù thực tế rằng \(x=0\) là nghiệm của thừa số thứ hai, nhưng nếu bạn thay thế \(x=0\) vào phương trình ban đầu thì nó sẽ không có ý nghĩa, bởi vì biểu thức \(\dfrac 40\) không được xác định.
Vì vậy, nghiệm của phương trình này là \(x\in \(1;2\)\) .
3) Giải phương trình \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] Trong phương trình của chúng ta \(4x^2-1\ne 0\) , từ đó \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , tức là \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
Hãy chuyển tất cả các số hạng sang bên trái và đưa chúng về mẫu số chung:
\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \quad \begin(case) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) \left[ \begin(gathered) \begin( căn chỉnh) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(aligned)\end(gathered) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(case) \quad \ Mũi tên trái phải \quad x=-3\)
Trả lời: \(x\in \(-3\)\) .
Bình luận. Nếu câu trả lời bao gồm một tập hợp hữu hạn các số thì chúng có thể được viết cách nhau bằng dấu chấm phẩy trong dấu ngoặc nhọn, như minh họa trong các ví dụ trước.
Các bài toán yêu cầu giải phương trình hữu tỉ đều gặp phải hàng năm trong Kỳ thi Thống nhất môn Toán nên khi chuẩn bị thi lấy chứng chỉ, các học viên tốt nghiệp nhất định phải tự ôn lại lý thuyết về chủ đề này. Sinh viên tốt nghiệp học cả cơ bản và cấp độ hồ sơ bài thi. Nắm vững lý thuyết và xử lý được bài tập thực hành về chủ đề “Phương trình hữu tỉ”, học sinh sẽ có thể giải quyết vấn đề bằng bất kỳ số lượng hành động nào và tin tưởng nhận được điểm cạnh tranh dựa trên kết quả vượt qua Kỳ thi Thống nhất.
Làm thế nào để chuẩn bị cho kỳ thi bằng cổng giáo dục Shkolkovo?
Đôi khi bạn có thể tìm thấy một nguồn trình bày đầy đủ lý thuyết cơ bản để giải vấn đề toán học hóa ra là khá khó khăn. Sách giáo khoa có thể đơn giản là không có trong tay. Và tìm công thức cần thiếtđôi khi nó có thể khá khó khăn ngay cả trên Internet.
Cổng thông tin giáo dục Shkolkovo sẽ giúp bạn không cần phải tìm kiếm vật liệu cần thiết và sẽ giúp bạn chuẩn bị tốt để vượt qua bài kiểm tra cấp chứng chỉ.
Tất cả lý thuyết cần thiết về chủ đề “Phương trình hữu tỉ” các chuyên gia của chúng tôi đã chuẩn bị và trình bày một cách tối đa biểu mẫu có thể truy cập. Sau khi nghiên cứu các thông tin được trình bày, học sinh sẽ có thể lấp đầy những lỗ hổng kiến thức.
Vì chuẩn bị thành côngĐẾN Kỳ thi Thống nhất Nhà nước dành cho sinh viên tốt nghiệpđiều cần thiết không chỉ là ôn lại những điều cơ bản tài liệu lý thuyết về chủ đề “Các phương trình hữu tỉ”, nhưng để thực hành hoàn thành các nhiệm vụ về ví dụ cụ thể. Một lựa chọn lớn các nhiệm vụ được trình bày trong phần “Danh mục”.
Đối với mỗi bài tập trên trang web, các chuyên gia của chúng tôi đã viết một thuật toán giải và chỉ ra câu trả lời đúng. Học sinh có thể thực hành giải quyết vấn đề mức độ khác nhau khó khăn tùy theo trình độ đào tạo. Danh sách nhiệm vụ ở phần tương ứng được bổ sung, cập nhật liên tục.
Nghiên cứu tài liệu lý thuyết và trau dồi kỹ năng giải quyết vấn đề về chủ đề “Các phương trình hữu tỉ”, tương tự như trong phần Bài kiểm tra của Nhà nước Thống nhất, có thể được thực hiện trực tuyến. Nếu cần, bất kỳ tác vụ nào được trình bày đều có thể được thêm vào phần “Yêu thích”. Lặp lại lần nữa lý thuyết cơ bản về chủ đề “Các phương trình hữu tỉ”, một học sinh trung học sau này sẽ có thể quay lại bài toán để thảo luận về tiến trình giải bài toán đó với giáo viên trong một bài học đại số.