Ví dụ được đưa ra về cách tính đạo hàm bằng cách sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm phức.
Ở đây chúng tôi đưa ra ví dụ về tính đạo hàm của các hàm sau:
;
;
;
;
.
Nếu một hàm có thể được biểu diễn dưới dạng hàm phức dưới dạng sau:
,
thì đạo hàm của nó được xác định theo công thức:
.
Trong các ví dụ dưới đây, chúng ta sẽ viết công thức này như sau:
.
Ở đâu .
Ở đây, các chỉ số dưới hoặc , nằm dưới dấu đạo hàm, biểu thị các biến dùng để thực hiện phép vi phân.
Thông thường, trong bảng đạo hàm sẽ cho trước đạo hàm của hàm số theo biến x.
Tuy nhiên, x là một tham số hình thức. Biến x có thể được thay thế bằng bất kỳ biến nào khác. Do đó, khi vi phân một hàm số với một biến, chúng ta chỉ cần đổi biến x thành biến u trong bảng đạo hàm.
Ví dụ đơn giản
Ví dụ 1
.
Tìm đạo hàm của hàm phức
Giải pháp
.
Hãy viết hàm đã cho ở dạng tương đương:
;
.
Trong bảng đạo hàm ta thấy:
.
Theo công thức đạo hàm của hàm số phức, ta có:
Đây .
Trả lời
Ví dụ 2
.
Tìm đạo hàm của hàm phức
Tìm đạo hàm
.
.
Theo công thức đạo hàm của hàm số phức, ta có:
Đây .
Ta lấy hằng số 5 ra khỏi dấu đạo hàm và từ bảng đạo hàm ta tìm được:
Ví dụ 3
.
Tìm đạo hàm của hàm phức
Tìm đạo hàm -1
Chúng tôi lấy ra một hằng số
;
đối với dấu của đạo hàm và từ bảng đạo hàm ta tìm được:
.
Từ bảng đạo hàm ta tìm được:
.
Theo công thức đạo hàm của hàm số phức, ta có:
Đây .
Chúng ta áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm phức:
Ví dụ phức tạp hơn Trong các ví dụ phức tạp hơn, chúng ta áp dụng quy tắc đạo hàm một hàm phức nhiều lần. Trong trường hợp này, chúng tôi tính đạo hàm từ cuối. Nghĩa là, chúng ta chia hàm thành các phần thành phần của nó và tìm đạo hàm của các phần đơn giản nhất bằng cách sử dụng bảng dẫn xuất . Chúng tôi cũng sử dụng quy tắc phân biệt tổng
, sản phẩm và phân số. Sau đó, chúng ta thực hiện phép thay thế và áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm phức.
Ví dụ 3
.
Tìm đạo hàm của hàm phức
Ví dụ 4
.
Hãy chọn phần đơn giản nhất của công thức và tìm đạo hàm của nó. .
.
Ở đây chúng tôi đã sử dụng ký hiệu
.
Chúng ta tìm đạo hàm của phần tiếp theo của hàm số ban đầu bằng cách sử dụng kết quả thu được. Ta áp dụng quy tắc lấy vi phân tổng:
.
Theo công thức đạo hàm của hàm số phức, ta có:
Đây .
Một lần nữa chúng ta áp dụng quy tắc lấy vi phân của các hàm phức.
Ví dụ 5
.
Tìm đạo hàm của hàm phức
Tìm đạo hàm của hàm số
Hãy chọn phần đơn giản nhất của công thức và tìm đạo hàm của nó từ bảng đạo hàm. .
.
Chúng tôi áp dụng quy tắc phân biệt các hàm phức tạp.
.
Và định lý về đạo hàm của hàm phức, công thức của hàm này như sau:
Giả sử 1) hàm $u=\varphi (x)$ có tại một điểm nào đó $x_0$ đạo hàm $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) hàm $y=f(u)$ có tại điểm tương ứng $u_0=\varphi (x_0)$ đạo hàm $y_(u)"=f"(u)$. Khi đó hàm phức $y=f\left(\varphi (x) \right)$ tại điểm được đề cập cũng sẽ có đạo hàm bằng tích các đạo hàm của các hàm $f(u)$ và $\varphi ( x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
hoặc, trong ký hiệu ngắn hơn: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
Trong các ví dụ ở phần này, tất cả các hàm đều có dạng $y=f(x)$ (tức là chúng ta chỉ xem xét các hàm của một biến $x$). Theo đó, trong tất cả các ví dụ, đạo hàm $y"$ được lấy theo biến $x$. Để nhấn mạnh rằng đạo hàm được lấy theo biến $x$, $y"_x$ thường được viết thay cho $y "$.
Ví dụ số 1, số 2 và số 3 phác thảo quy trình chi tiết để tìm đạo hàm của các hàm phức. Ví dụ số 4 nhằm mục đích giúp bạn hiểu đầy đủ hơn về bảng đạo hàm và bạn nên làm quen với nó.
Nên sau khi nghiên cứu nội dung ở các ví dụ số 1-3, hãy chuyển sang giải độc lập các ví dụ số 5, số 6 và số 7. Ví dụ #5, #6 và #7 chứa một giải pháp ngắn gọn để người đọc có thể kiểm tra tính đúng đắn của kết quả của mình.
Ví dụ số 1
Tìm đạo hàm của hàm $y=e^(\cos x)$.
Chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm phức $y"$. Vì $y=e^(\cos x)$, nên $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. To tìm đạo hàm $ \left(e^(\cos x)\right)"$ chúng ta sử dụng công thức số 6 từ bảng phái sinh. Để sử dụng công thức số 6, chúng ta cần tính đến điều đó trong trường hợp của chúng ta $u=\cos x$. Giải pháp tiếp theo chỉ đơn giản là thay thế biểu thức $\cos x$ thay vì $u$ vào công thức số 6:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
Bây giờ chúng ta cần tìm giá trị của biểu thức $(\cos x)"$. Chúng ta quay lại bảng đạo hàm, chọn công thức số 10 từ đó. Thay $u=x$ vào công thức số 10, chúng ta có : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Bây giờ chúng ta tiếp tục đẳng thức (1.1), bổ sung nó với kết quả tìm thấy:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$
Vì $x"=1$, chúng ta tiếp tục đẳng thức (1.2):
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
Vì vậy, từ đẳng thức (1.3), chúng ta có: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Đương nhiên, phần giải thích và các đẳng thức trung gian thường được bỏ qua, viết ra kết quả tìm đạo hàm trên một dòng, như trong đẳng thức ( 1.3). Vậy là đã tìm được đạo hàm của hàm phức, việc còn lại là viết đáp án.
Trả lời: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
Ví dụ số 2
Tìm đạo hàm của hàm $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.
Chúng ta cần tính đạo hàm $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Để bắt đầu, chúng tôi lưu ý rằng hằng số (tức là số 9) có thể được lấy ra khỏi dấu đạo hàm:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$
Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang biểu thức $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Để chọn công thức mong muốn từ bảng phái sinh dễ dàng hơn, tôi sẽ trình bày biểu thức được đề cập ở dạng này: $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Bây giờ rõ ràng là cần phải sử dụng công thức số 2 , tức là $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. 4\cdot \) vào công thức này ln x)$ và $\alpha=12$:
Bổ sung đẳng thức (2.1) vào kết quả thu được, ta có:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$
Trong tình huống này, người giải thường mắc lỗi ở bước đầu tiên khi chọn công thức $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ thay vì công thức $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Vấn đề là đạo hàm của hàm ngoài phải có trước. Để hiểu hàm nào sẽ nằm ngoài biểu thức $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, hãy tưởng tượng rằng bạn đang tính giá trị của biểu thức $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ tại một giá trị nào đó $x$. Đầu tiên bạn sẽ tính giá trị của $5^x$, sau đó nhân kết quả với 4, được $4\cdot 5^x$. Bây giờ chúng ta lấy arctang từ kết quả này, thu được $\arctg(4\cdot 5^x)$. Sau đó, chúng ta nâng số kết quả lên lũy thừa thứ mười hai, nhận được $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Hành động cuối cùng, tức là nâng lên lũy thừa 12 sẽ là một hàm bên ngoài. Và chính từ điều này mà chúng ta phải bắt đầu tìm đạo hàm được thực hiện theo đẳng thức (2.2).
Bây giờ chúng ta cần tìm $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Chúng ta sử dụng công thức số 19 của bảng đạo hàm, thay $u=4\cdot \ln x$ vào đó:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Hãy đơn giản hóa biểu thức kết quả một chút, có tính đến $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Đẳng thức (2.2) bây giờ sẽ trở thành:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$
Vẫn còn phải tìm $(4\cdot \ln x)"$. Hãy lấy hằng số (tức là 4) ra khỏi dấu đạo hàm: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Để tìm $(\ln x)"$, chúng ta sử dụng công thức số 8, thay thế $u=x$ vào nó: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Vì $x"=1$, nên $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $. Thay kết quả thu được vào công thức (2.3), ta thu được:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x) $).
Hãy để tôi nhắc bạn rằng đạo hàm của một hàm phức thường được tìm thấy trong một dòng, như được viết ở đẳng thức cuối cùng. Vì vậy, khi chuẩn bị các phép tính tiêu chuẩn hoặc công việc kiểm soát, không nhất thiết phải mô tả giải pháp một cách chi tiết như vậy.
Trả lời: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
Ví dụ số 3
Tìm $y"$ của hàm $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.
Trước tiên, hãy biến đổi một chút hàm $y$, biểu thị căn thức (gốc) dưới dạng lũy thừa: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Bây giờ chúng ta hãy bắt đầu tìm đạo hàm. Vì $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, nên:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$
Chúng tôi sử dụng công thức số 2 từ bảng phái sinh, thay thế $u=\sin(5\cdot 9^x)$ và $\alpha=\frac(3)(7)$ vào đó:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Ta tiếp tục đẳng thức (3.1) sử dụng kết quả thu được:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
Bây giờ chúng ta cần tìm $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Để làm điều này, chúng ta sử dụng công thức số 9 từ bảng đạo hàm, thay $u=5\cdot 9^x$ vào đó:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Bổ sung đẳng thức (3.2) vào kết quả thu được, ta có:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$
Vẫn còn phải tìm $(5\cdot 9^x)"$. Đầu tiên, hãy lấy hằng số (số $5$) bên ngoài dấu đạo hàm, tức là $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Để tìm đạo hàm $(9^x)"$, áp dụng công thức số 5 của bảng đạo hàm, thay $a=9$ và $u=x$ vào đó: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Vì $x"=1$, nên $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Bây giờ chúng ta có thể tiếp tục đẳng thức (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Một lần nữa, chúng ta có thể chuyển từ lũy thừa sang căn thức (tức là căn), viết $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ ở dạng $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Khi đó đạo hàm sẽ được viết dưới dạng:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).
Trả lời: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.
Ví dụ số 4
Chứng minh rằng công thức số 3 và công thức số 4 của bảng đạo hàm là trường hợp đặc biệt của công thức số 2 của bảng này.
Công thức số 2 của bảng đạo hàm chứa đạo hàm của hàm $u^\alpha$. Thay $\alpha=-1$ vào công thức số 2, chúng ta có:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$
Vì $u^(-1)=\frac(1)(u)$ và $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, nên đẳng thức (4.1) có thể được viết lại như sau: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Đây là công thức số 3 của bảng đạo hàm.
Chúng ta quay lại công thức số 2 của bảng đạo hàm. Hãy thay thế $\alpha=\frac(1)(2)$ vào đó:
$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$
Vì $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ và $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, thì đẳng thức (4.2) có thể được viết lại như sau:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
Đẳng thức thu được $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ là công thức số 4 của bảng đạo hàm. Như bạn có thể thấy, công thức số 3 và số 4 của bảng đạo hàm được lấy từ công thức số 2 bằng cách thay thế giá trị $\alpha$ tương ứng.