Chúng tôi phát hiện ra rằng có X- một tập hợp mà công thức xác định hàm có ý nghĩa. TRONG phân tích toán học bộ này thường được ký hiệu là D (miền của hàm ). Đổi lại, nhiều Y ký hiệu là E (phạm vi chức năng ) và đồng thời D Và Eđược gọi là tập hợp con R(tập hợp số thực).

Nếu một hàm được đưa ra bởi một công thức, thì trong trường hợp không có sự bảo lưu đặc biệt, phạm vi định nghĩa của nó sẽ được xem xét bộ lớn nhất, theo đó công thức này có ý nghĩa, tức là tập giá trị đối số lớn nhất dẫn đến giá trị thực của hàm . Nói cách khác, tập hợp các giá trị đối số mà “hàm hoạt động” trên đó.

Vì sự hiểu biết chung Ví dụ này chưa có công thức. Hàm được chỉ định dưới dạng cặp quan hệ:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Tìm miền định nghĩa của các hàm này.

Trả lời. Phần tử đầu tiên của cặp là một biến x. Vì đặc tả hàm cũng chứa các phần tử thứ hai của cặp - các giá trị của biến y, thì hàm chỉ có ý nghĩa đối với những giá trị của x tương ứng với giá trị nhất định trò chơi. Nghĩa là, chúng ta lấy tất cả các X của các cặp này theo thứ tự tăng dần và thu được từ chúng miền định nghĩa của hàm:

{2, 4, 5, 6, 7} .

Logic tương tự cũng hoạt động nếu hàm được đưa ra bởi một công thức. Chỉ các phần tử thứ hai theo cặp (nghĩa là các giá trị của i) mới thu được bằng cách thay thế các giá trị x nhất định vào công thức. Tuy nhiên, để tìm miền xác định của một hàm số, chúng ta không cần phải đi qua tất cả các cặp X và Y.

Ví dụ 0. Làm thế nào để tìm miền định nghĩa của hàm số i bằng căn bậc hai của x trừ 5 (biểu thức căn x trừ 5) ()? Bạn chỉ cần giải bất đẳng thức

x - 5 ≥ 0 ,

bởi vì để chúng ta có thể nhận được giá trị thực trò chơi, biểu thức căn thức phải lớn hơn hoặc bằng 0. Ta thu được lời giải: miền định nghĩa của hàm số là tất cả các giá trị của x lớn hơn hoặc bằng 5 (hoặc x thuộc khoảng từ bao gồm 5 đến cộng vô cùng).

Trên hình vẽ trên là một đoạn của trục số. Trên đó, vùng định nghĩa của hàm đang xem xét được tô bóng, trong khi theo hướng “cộng”, việc tô bóng tiếp tục vô thời hạn cùng với chính trục đó.

Nếu bạn sử dụng chương trình máy tính, tạo ra một số loại câu trả lời dựa trên dữ liệu đã nhập, bạn có thể nhận thấy rằng đối với một số giá trị của dữ liệu đã nhập, chương trình sẽ hiển thị thông báo lỗi, nghĩa là với dữ liệu đó, không thể tính được câu trả lời. Thông báo này được cung cấp bởi các tác giả của chương trình nếu biểu thức tính toán câu trả lời khá phức tạp hoặc liên quan đến một số vấn đề hẹp lĩnh vực chủ đề hoặc do tác giả của ngôn ngữ lập trình cung cấp, nếu nói đến chuẩn mực được chấp nhận chung, ví dụ, không thể chia cho 0.

Nhưng trong cả hai trường hợp, không thể tính được câu trả lời (giá trị của một số biểu thức) vì lý do biểu thức đó không có ý nghĩa đối với một số giá trị dữ liệu.

Một ví dụ (chưa hoàn toàn mang tính toán học): nếu chương trình hiển thị tên của tháng dựa trên số tháng trong năm, thì khi nhập “15”, bạn sẽ nhận được thông báo lỗi.

Thông thường, biểu thức đang được tính toán chỉ là một hàm. Vì thế như vậy giá trị không hợp lệ dữ liệu không được bao gồm miền của hàm . Và trong tính toán tay, việc biểu diễn miền của hàm số cũng quan trọng không kém. Ví dụ: bạn tính toán một tham số nhất định của một sản phẩm nhất định bằng công thức là hàm. Đối với một số giá trị của đối số đầu vào, bạn sẽ không nhận được gì ở đầu ra.

Miền định nghĩa của hằng số

Hằng số (hằng số) được xác định với mọi giá trị thực x R số thực. Điều này cũng có thể được viết như sau: miền định nghĩa của hàm này là toàn bộ trục số ]- ∞; + ∞[ .

Ví dụ 1. Tìm miền xác định của hàm số y = 2 .

Giải pháp. Miền định nghĩa của hàm không được chỉ định, có nghĩa là theo định nghĩa trên, miền định nghĩa tự nhiên được ngụ ý. Sự biểu lộ f(x) = 2 được xác định cho mọi giá trị thực x, kể từ đây, chức năng nàyđược xác định trên toàn bộ tập hợp R số thực.

Do đó, trong hình vẽ trên, trục số được tô bóng từ âm vô cực đến cộng vô cực.

Vùng định nghĩa gốc N bằng cấp

Trong trường hợp hàm số được cho bởi công thức và N- số tự nhiên:

Ví dụ 2. Tìm miền xác định của hàm số .

Giải pháp. Như sau định nghĩa, nghiệm của bậc chẵn có ý nghĩa nếu biểu thức căn thức không âm, nghĩa là nếu - 1 ≤ x 1. Do đó, miền định nghĩa của hàm này là [- 1; 1].

Vùng tô bóng của trục số trong hình vẽ trên là miền định nghĩa của hàm này.

Miền chức năng quyền lực

Miền của hàm lũy thừa với số mũ nguyên

Nếu như Một- dương thì miền định nghĩa của hàm số là tập hợp tất cả các số thực, đó là ]- ∞; + ∞[ ;

Nếu như Một- âm thì miền định nghĩa của hàm số là tập hợp ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , tức là toàn bộ dãy số ngoại trừ số 0.

Trong hình vẽ tương ứng ở trên, toàn bộ trục số được tô bóng và điểm tương ứng với số 0 bị đục lỗ (nó không nằm trong miền định nghĩa của hàm).

Ví dụ 3. Tìm miền xác định của hàm số .

Giải pháp. Học kỳ đầu tiên toàn bộ bằng cấp x bằng 3 và bậc của x trong số hạng thứ hai có thể được biểu diễn dưới dạng một - cũng là số nguyên. Do đó, miền định nghĩa của hàm này là toàn bộ trục số, tức là ]- ∞; + ∞[ .

Miền của hàm lũy thừa với số mũ phân số

Trường hợp hàm số được tính theo công thức:

nếu dương thì miền định nghĩa của hàm là tập 0; + ∞[ .

Ví dụ 4. Tìm miền xác định của hàm số .

Giải pháp. Cả hai số hạng trong biểu thức hàm đều là chức năng điện với số mũ phân số dương. Do đó, miền định nghĩa của hàm này là tập hợp - ∞; + ∞[ .

Miền hàm số mũ và logarit

Miền của hàm số mũ

Trong trường hợp hàm được cho bằng công thức thì miền định nghĩa của hàm là toàn bộ trục số, tức là ] - ∞; + ∞[ .

Miền của hàm logarit

Hàm logarit được xác định với điều kiện đối số của nó là dương, nghĩa là miền định nghĩa của nó là tập hợp ]0; + ∞[ .

Hãy tự tìm miền xác định của hàm số rồi xem cách giải

Miền hàm lượng giác

Miền chức năng y= cos( x) - cũng nhiều R số thực.

Miền chức năng y= tg( x) - bộ R số thực khác với số .

Miền chức năng y= ctg( x) - bộ R số thực, ngoại trừ số.

Ví dụ 8. Tìm miền xác định của hàm số .

Giải pháp. Chức năng bên ngoài - logarit thập phân và miền định nghĩa của nó tuân theo các điều kiện của miền định nghĩa hàm logarit không hề. Tức là lập luận của cô ấy phải tích cực. Đối số ở đây là sin của "x". Xoay một chiếc la bàn tưởng tượng quanh một vòng tròn, chúng ta thấy rằng điều kiện sin x> 0 bị vi phạm với “x” bằng 0, "pi", hai, nhân với "pi" và nói chung tương đương với sản phẩm pi và bất kỳ số nguyên chẵn hoặc lẻ nào.

Do đó, miền định nghĩa của hàm này được cho bởi biểu thức

,

Ở đâu k- một số nguyên.

Miền định nghĩa hàm lượng giác nghịch đảo

Miền chức năng y= arcsin( x) - đặt [-1; 1].

Miền chức năng y= arccos( x) - cũng là tập [-1; 1].

Miền chức năng y= arctan( x) - bộ R số thực.

Miền chức năng y= arcctg( x) - cũng nhiều R số thực.

Ví dụ 9. Tìm miền xác định của hàm số .

Giải pháp. Hãy giải bất đẳng thức:

Do đó, chúng ta thu được miền định nghĩa của hàm này - đoạn [- 4; 4].

Ví dụ 10. Tìm miền xác định của hàm số .

Giải pháp. Hãy giải hai bất đẳng thức:

Giải bất đẳng thức thứ nhất:

Giải bất đẳng thức thứ hai:

Vì vậy, chúng ta có được miền định nghĩa của hàm này - đoạn.

phạm vi phân số

Nếu chức năng được đưa ra biểu thức phân số, trong đó biến nằm trong mẫu số của phân số thì miền định nghĩa của hàm số là tập hợp R số thực, ngoại trừ những số này x, tại đó mẫu số của phân số trở thành 0.

Ví dụ 11. Tìm miền xác định của hàm số .

Giải pháp. Bằng cách giải đẳng thức của mẫu số của phân số về 0, chúng ta tìm được miền định nghĩa của hàm này - tập hợp ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập những thông tin cá nhân nào:

• Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn e-mail vân vân.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

• Được chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên lạc với bạn và thông báo cho bạn về ưu đãi độc đáo, chương trình khuyến mãi và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
• Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
• Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ như kiểm toán, phân tích dữ liệu và nghiên cứu khác nhauđể cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
• Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Ngoại lệ:

• Trong trường hợp cần thiết, theo quy định của pháp luật, thủ tục tố tụng, V sự thử nghiệm và/hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
• Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.

Làm thế nào để tìm miền của một hàm? Học sinh trung học cơ sở thường phải giải quyết nhiệm vụ này.

Cha mẹ nên giúp con hiểu rõ vấn đề này.

Chỉ định một chức năng.

Chúng ta hãy nhớ lại các thuật ngữ cơ bản của đại số. Trong toán học, hàm số là sự phụ thuộc của biến này vào biến khác. Có thể nói đây là một định luật toán học chặt chẽ kết nối hai số theo một cách nhất định.

Trong toán học, khi phân tích công thức, các biến số được thay thế bằng các ký hiệu chữ cái. Được sử dụng phổ biến nhất là x (“x”) và y (“y”). Biến x được gọi là đối số và biến y được gọi là biến phụ thuộc hoặc hàm của x.

có nhiều cách khác nhau thiết lập các phụ thuộc biến.

Hãy liệt kê chúng:

1. Loại phân tích.
2. Chế độ xem dạng bảng.
3. Hiển thị đồ họa.

Phương pháp phân tích được thể hiện bằng công thức. Hãy xem các ví dụ: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). Công thức y=2x+3 là điển hình cho hàm tuyến tính. Thay thế vào công thức đã cho giá trị sốđối số, chúng ta nhận được giá trị của y.

Phương pháp bảng là một bảng bao gồm hai cột. Cột đầu tiên được phân bổ cho các giá trị X và cột tiếp theo dữ liệu của trình phát được ghi lại.

Phương pháp đồ họa được coi là trực quan nhất. Đồ thị là sự biểu diễn tập hợp tất cả các điểm trên một mặt phẳng.

Để xây dựng một biểu đồ sử dụng Hệ thống Descartes tọa độ Hệ thống bao gồm hai đường vuông góc. Các phân đoạn đơn vị giống hệt nhau được đặt trên các trục. Việc đếm ngược được thực hiện từ điểm trung tâm giao điểm của đường thẳng.

Biến độc lập chỉ ra đường ngang. Nó được gọi là trục abscissa. Đường thẳng đứng (trục y) hiển thị giá trị số của biến phụ thuộc. Các điểm được đánh dấu tại giao điểm của các đường vuông góc với các trục này. Nối các điểm lại với nhau, ta được đường liền nét. Đó là cơ sở của lịch trình.

Các loại phụ thuộc biến

Sự định nghĩa.

TRONG cái nhìn tổng quát sự phụ thuộc được biểu diễn dưới dạng phương trình: y=f(x). Từ công thức suy ra rằng với mỗi giá trị của số x có số nhất định bạn. Giá trị của trò chơi tương ứng với số x được gọi là giá trị của hàm.

Tất cả các giá trị có thể có mà biến độc lập thu được tạo thành miền định nghĩa của hàm. Theo đó, toàn bộ tập số của biến phụ thuộc xác định khoảng giá trị của hàm. Miền định nghĩa là tất cả các giá trị của đối số mà f(x) có ý nghĩa.

Nhiệm vụ ban đầu trong nghiên cứu định luật toán học bao gồm việc tìm miền định nghĩa. Thuật ngữ này phải được xác định chính xác. TRONG nếu không thì mọi tính toán tiếp theo sẽ vô ích. Rốt cuộc, khối lượng giá trị được hình thành trên cơ sở các phần tử của tập đầu tiên.

Phạm vi của một hàm phụ thuộc trực tiếp vào các ràng buộc. Những hạn chế là do không thể thực hiện một số hoạt động nhất định. Cũng có những giới hạn đối với việc sử dụng các giá trị số.

Trong trường hợp không có hạn chế, miền định nghĩa là toàn bộ không gian số. Biển vô cực có biểu tượng hình số 8 nằm ngang. Toàn bộ tập hợp số được viết như sau: (-∞; ∞).

TRONG một số trường hợp nhất định mảng dữ liệu bao gồm một số tập hợp con. Phạm vi của các khoảng hoặc khoảng trống bằng số phụ thuộc vào loại quy luật thay đổi tham số.

Dưới đây là danh sách các yếu tố ảnh hưởng đến các hạn chế:

• tỷ lệ nghịch đảo;
• gốc số học;
• lũy thừa;
• sự phụ thuộc logarit;
• các dạng lượng giác.

Nếu có một số phần tử như vậy thì việc tìm kiếm các hạn chế sẽ được chia cho từng phần tử. Vấn đề lớn nhấtđại diện cho nhận dạng điểm quan trọng và các khoảng. Giải pháp cho vấn đề sẽ là hợp nhất tất cả các tập hợp con số.

Tập hợp và tập hợp con của số

Về bộ.

Miền định nghĩa được biểu thị bằng D(f) và dấu hợp được biểu thị bằng ký hiệu ∪. Tất cả khoảng sốđược đặt trong dấu ngoặc đơn. Nếu ranh giới của địa điểm không được bao gồm trong tập hợp thì một dấu ngoặc hình bán nguyệt sẽ được đặt. Mặt khác, khi một số được bao gồm trong một tập hợp con, dấu ngoặc vuông sẽ được sử dụng.

Tỷ lệ nghịch đảo được biểu thị bằng công thức y=k/x. Đồ thị của hàm số là một đường cong gồm hai nhánh. Nó thường được gọi là cường điệu.

Vì hàm được biểu thị dưới dạng phân số nên việc tìm miền định nghĩa phụ thuộc vào việc phân tích mẫu số. Người ta biết rằng việc chia cho số 0 bị cấm trong toán học. Giải quyết vấn đề là cân bằng mẫu số bằng 0 và tìm nghiệm.

Đây là một ví dụ:

Cho trước: y=1/(x+4). Tìm miền định nghĩa.

1. Chúng ta đánh đồng mẫu số bằng 0.
   x+4=0
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình.
   x=-4
3. Xác định tập hợp tất cả giá trị có thể lý lẽ.
   D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Trả lời: Phạm vi của một hàm là tất cả mọi thứ số thực, ngoại trừ -4.

Giá trị của một số dưới dấu căn bậc hai không thể âm. Trong trường hợp này, việc xác định hàm bằng nghiệm được giảm xuống thành việc giải bất đẳng thức. Biểu thức căn thức phải lớn hơn 0.

Diện tích xác định gốc có liên quan đến tính chẵn lẻ của chỉ số gốc. Nếu chỉ báo chia hết cho 2 thì biểu thức chỉ có ý nghĩa nếu nó giá trị dương. Số lẻ chỉ báo cho biết khả năng chấp nhận bất kỳ ý nghĩa nào của biểu thức căn bản: cả tích cực và tiêu cực.

Bất đẳng thức được giải theo cách tương tự như phương trình. Chỉ có một sự khác biệt. Sau khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số âm dấu hiệu nên được đảo ngược.

Nếu căn bậc hai nằm trong mẫu số thì phải áp dụng một điều kiện bổ sung. Giá trị số không được bằng 0. Bất bình đẳng chuyển sang phạm trù bất bình đẳng nghiêm ngặt.

Hàm logarit và lượng giác

Dạng logarit có ý nghĩa khi số dương. Do đó, miền xác định của hàm logarit tương tự như hàm căn bậc hai, ngoại trừ số 0.

Hãy xem xét một ví dụ về sự phụ thuộc logarit: y=log(2x-6). Tìm miền định nghĩa.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

Trả lời: (3; +∞).

Miền định nghĩa của y=sin x và y=cos x là tập hợp tất cả các số thực. Có những hạn chế đối với tiếp tuyến và cotang. Chúng liên quan đến phép chia theo cosin hoặc sin của một góc.

Tiếp tuyến của một góc được xác định bằng tỉ số giữa sin và cosin. Hãy để chúng tôi chỉ ra các giá trị góc mà tại đó giá trị tiếp tuyến không tồn tại. Hàm y=tg x có ý nghĩa đối với tất cả các giá trị của đối số ngoại trừ x=π/2+πn, n∈Z.

Miền định nghĩa của hàm y=ctg x là toàn bộ tập hợp số thực, ngoại trừ x=πn, n∈Z. Nếu đối số bằng số π hoặc bội số của π thì sin của góc bằng 0. Tại những điểm này (tiệm cận) cotang không thể tồn tại.

Nhiệm vụ đầu tiên để xác định lĩnh vực định nghĩa bắt đầu từ các bài học ở lớp 7. Khi lần đầu tiên được giới thiệu về phần đại số này, học sinh phải hiểu rõ chủ đề.

Cần lưu ý rằng thuật ngữ này sẽ đồng hành cùng sinh viên và sau đó là sinh viên trong suốt thời gian học tập.

Trong toán học tập vô hạn chức năng. Và mỗi cái đều có đặc điểm riêng.) Để làm việc với nhiều chức năng khác nhau, bạn cần đơn tiếp cận. Mặt khác, đây là loại toán học gì?!) Và có một cách tiếp cận như vậy!

Khi làm việc với bất kỳ chức năng nào, chúng tôi trình bày nó với bộ tiêu chuẩn câu hỏi. Và điều đầu tiên, nhất câu hỏi quan trọng- Cái này miền định nghĩa của hàmĐôi khi vùng này được gọi là tập hợp các giá trị đối số hợp lệ, vùng để chỉ định hàm, v.v.

Miền của một chức năng là gì? Làm thế nào để tìm thấy nó? Những câu hỏi này thường có vẻ phức tạp và khó hiểu... Mặc dù trên thực tế, mọi thứ đều vô cùng đơn giản. Bạn có thể tự mình nhìn thấy bằng cách đọc trang này. Đi thôi?)

Chà, tôi có thể nói gì đây... Chỉ cần tôn trọng.) Vâng! Miền tự nhiên của hàm (được thảo luận ở đây) trận đấu với ODZ của các biểu thức có trong hàm. Theo đó, chúng được tìm kiếm theo các quy tắc tương tự.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một lĩnh vực định nghĩa không hoàn toàn tự nhiên.)

Các hạn chế bổ sung về phạm vi của một chức năng.

Ở đây chúng ta sẽ nói về những hạn chế mà nhiệm vụ áp đặt. Những thứ kia. nhiệm vụ có chứa một số điều kiện bổ sung, được phát minh bởi trình biên dịch. Hoặc các hạn chế xuất hiện từ chính phương pháp xác định hàm.

Về những hạn chế trong nhiệm vụ, mọi thứ đều đơn giản. Thông thường, không cần phải tìm kiếm gì cả, mọi thứ đều đã được nói trong bài tập. Hãy để tôi nhắc bạn rằng những hạn chế được viết bởi tác giả của nhiệm vụ không hủy bỏ hạn chế cơ bản của toán học. Bạn chỉ cần nhớ tính đến các điều kiện của nhiệm vụ.

Ví dụ: nhiệm vụ này:

Tìm miền xác định của hàm:

trên tập số dương.

Chúng tôi đã tìm thấy miền định nghĩa tự nhiên của hàm này ở trên. Khu vực này:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

TRONG cách nói Khi chỉ định một hàm, bạn cần đọc kỹ điều kiện và tìm các hạn chế đối với X ở đó. Đôi khi đôi mắt tìm kiếm công thức, nhưng lời nói lại lướt qua ý thức vâng...) Ví dụ ở bài học trước:

Hàm được xác định bởi điều kiện: mỗi giá trị của đối số tự nhiên x được liên kết với tổng các chữ số tạo nên giá trị của x.

Cần lưu ý ở đây rằng chúng ta đang nói chỉ mộtÔ giá trị tự nhiên X. Sau đó D(f) lập tức ghi lại:

D(f): x ∈ N

Như bạn có thể thấy, phạm vi của một hàm không phải như vậy khái niệm phức tạp. Việc tìm miền này bao gồm việc kiểm tra hàm số, viết hệ bất đẳng thức và giải hệ này. Tất nhiên, có đủ loại hệ thống, đơn giản và phức tạp. Nhưng...

Tôi sẽ mở nó bí mật nhỏ. Đôi khi một hàm mà bạn cần tìm miền định nghĩa trông có vẻ đáng sợ. Tôi muốn tái mặt và khóc.) Nhưng ngay khi tôi viết ra hệ bất đẳng thức... Và đột nhiên, hệ bất đẳng thức này trở nên sơ đẳng! Hơn nữa, thường thì chức năng càng khủng thì hệ thống càng đơn giản...

Đạo đức: mắt sợ, cái đầu quyết định!)

Làm sao ?
Ví dụ về giải pháp

Nếu thiếu thứ gì đó ở đâu đó, có nghĩa là có thứ gì đó ở đâu đó

Chúng ta tiếp tục nghiên cứu phần “Hàm số và Đồ thị” và trạm tiếp theo trong hành trình của chúng ta là. Thảo luận tích cực khái niệm này bắt đầu trong bài viết về bộ và tiếp tục trong bài học đầu tiên về đồ thị hàm số, trong đó tôi đã xem xét các hàm cơ bản và đặc biệt là các miền định nghĩa của chúng. Vì vậy, tôi khuyên những người giả nên bắt đầu với những điều cơ bản của chủ đề, vì tôi sẽ không tập trung vào một số điểm cơ bản nữa.

Người đọc được cho là đã biết lĩnh vực định nghĩa chức năng sau đây: tuyến tính, bậc hai, hàm bậc ba, đa thức, hàm mũ, sin, cosin. Chúng được xác định trên (tập hợp tất cả các số thực). Đối với các tiếp tuyến, cung, cũng vậy, tôi tha thứ cho bạn =) - những đồ thị hiếm hơn không được ghi nhớ ngay lập tức.

Phạm vi định nghĩa tưởng chừng như là một điều đơn giản và một câu hỏi logic được đặt ra: bài viết sẽ nói về cái gì? Trong bài học này tôi sẽ xem xét các vấn đề thường gặp khi tìm miền xác định của hàm số. Hơn nữa, chúng tôi sẽ lặp lại bất đẳng thức một biến, những kỹ năng giải quyết sẽ được yêu cầu trong các nhiệm vụ khác toán cao hơn. Nhân tiện, tài liệu này đều là tài liệu của trường nên sẽ hữu ích không chỉ cho học sinh mà còn cho cả học sinh. Tất nhiên, thông tin không mang tính chất bách khoa, nhưng đây không phải là những ví dụ “chết” xa vời mà là hạt dẻ rang, được lấy từ những công trình thực tế có thật.

Hãy bắt đầu bằng việc đi sâu vào chủ đề. Nói ngắn gọn về điều chính: chúng ta đang nói về hàm một biến. Miền định nghĩa của nó là nhiều ý nghĩa của "x", vì cái gì hiện hữu nghĩa của “người chơi”. Hãy xem xét ví dụ có điều kiện:

Miền định nghĩa của hàm này là hợp của các khoảng:
(dành cho ai quên: - biểu tượng thống nhất). Nói cách khác, nếu bạn lấy bất kỳ giá trị nào của “x” từ khoảng , hoặc từ , hoặc từ , thì với mỗi “x” như vậy sẽ có một giá trị “y”.

Nói một cách đại khái, ở đâu có miền định nghĩa thì ở đó có đồ thị của hàm số. Nhưng nửa quãng và điểm “tse” không được đưa vào vùng định nghĩa và không có biểu đồ ở đó.

Làm thế nào để tìm miền của một hàm? Nhiều người còn nhớ bài đồng dao của trẻ em: “đá, kéo, giấy” và trong trong trường hợp này nó có thể được diễn giải một cách an toàn: “gốc, phân số và logarit”. Vì vậy, nếu bạn đường đời gặp phân số, căn hay logarit thì bạn nên hết sức cảnh giác! Tangent, cotang, arcsine, arccosine ít phổ biến hơn nhiều và chúng ta cũng sẽ nói về chúng. Nhưng trước hết, những phác họa về cuộc đời của loài kiến:

Miền của hàm chứa phân số

Giả sử chúng ta được cho một hàm chứa một số phân số. Như bạn đã biết, bạn không thể chia cho 0: , vì vậy những Các giá trị “X” biến mẫu số về 0 không nằm trong phạm vi của hàm này.

Tôi sẽ không tập trung vào nhiều nhất chức năng đơn giản giống v.v., vì mọi người đều nhìn thấy rõ ràng những điểm không nằm trong phạm vi định nghĩa của họ. Hãy xem xét các phân số có ý nghĩa hơn:

Ví dụ 1

Tìm miền xác định của hàm

Giải pháp: Tử số không có gì đặc biệt nhưng mẫu số phải khác 0. Hãy đặt nó bằng 0 và cố gắng tìm ra những điểm “xấu”:

Phương trình kết quả có hai gốc: . Giá trị dữ liệu không nằm trong phạm vi của chức năng. Thật vậy, thay thế hoặc vào hàm và bạn sẽ thấy mẫu số tiến về 0.

Trả lời: phạm vi định nghĩa:

Mục nhập có nội dung như sau: “Miền định nghĩa là tất cả các số thực ngoại trừ tập hợp bao gồm các giá trị " Hãy để tôi nhắc bạn rằng ký hiệu dấu gạch chéo ngược trong toán học biểu thị phép trừ logic và dấu ngoặc nhọn biểu thị tập hợp. Câu trả lời có thể được viết tương đương như một sự kết hợp của ba khoảng:

Bất cứ ai thích nó.

Tại các điểm chức năng chịu đựng nghỉ giải lao bất tận, và các đường thẳng cho bởi phương trình là tiệm cận đứng cho đồ thị của hàm số này. Tuy nhiên, đây là một chủ đề hơi khác và tôi sẽ không tập trung vào vấn đề này thêm nữa.

Ví dụ 2

Tìm miền xác định của hàm

Nhiệm vụ này chủ yếu là nói và nhiều bạn sẽ gần như ngay lập tức tìm ra lĩnh vực cần xác định. Đáp án có ở cuối bài học.

Liệu một phân số có luôn là “xấu” không? KHÔNG. Ví dụ, một hàm được xác định trên toàn bộ dòng số. Cho dù chúng ta lấy giá trị nào của “x”, mẫu số sẽ không về 0, hơn nữa, nó sẽ luôn dương: . Vì vậy, phạm vi của chức năng này là: .

Mọi chức năng như được xác định và liên tục TRÊN .

Tình hình phức tạp hơn một chút khi mẫu số bị chiếm tam thức bậc hai:

Ví dụ 3

Tìm miền xác định của hàm

Giải pháp: Hãy thử tìm những điểm mà tại đó mẫu số tiến tới 0. Đối với điều này chúng tôi sẽ quyết định phương trình bậc hai:

Người phân biệt đối xử hóa ra là tiêu cực, có nghĩa là rễ thật không, và hàm của chúng ta được xác định trên toàn bộ trục số.

Trả lời: phạm vi định nghĩa:

Ví dụ 4

Tìm miền xác định của hàm

Đây là một ví dụ cho quyết định độc lập. Đáp án và đáp án ở cuối bài. Tôi khuyên bạn đừng lười biếng với những vấn đề đơn giản, vì những hiểu lầm sẽ tích lũy với những ví dụ tiếp theo.

Miền của hàm có gốc

Chức năng với căn bậc hai chỉ được xác định cho những giá trị đó của “x” khi biểu thức căn thức là không âm: . Nếu nghiệm nằm ở mẫu số thì điều kiện rõ ràng là chặt chẽ: . Các phép tính tương tự có giá trị cho mọi nghiệm bậc chẵn dương: , tuy nhiên, gốc đã ở mức 4 trong nghiên cứu chức năng Tôi không nhớ.

Ví dụ 5

Tìm miền xác định của hàm

Giải pháp: biểu thức căn thức phải không âm:

Trước khi tiếp tục giải, hãy để tôi nhắc bạn về các quy tắc cơ bản để giải bất đẳng thức, đã được biết đến ở trường.

Xin lưu ý đặc biệt chú ý! Bây giờ chúng ta đang xét bất đẳng thức với một biến- nghĩa là, đối với chúng tôi chỉ có một chiều dọc theo trục. Xin đừng nhầm lẫn với bất đẳng thức của hai biến, trong đó tất cả về mặt hình học mặt phẳng tọa độ. Tuy nhiên, cũng có những sự trùng hợp thú vị! Vì vậy, đối với bất đẳng thức các phép biến đổi sau là tương đương:

1) Các điều khoản có thể được chuyển từ phần này sang phần khác bằng cách thay đổi (các điều khoản) của chúng dấu hiệu.

2) Cả hai vế của bất đẳng thức đều có thể nhân với một số dương.

3) Nếu nhân cả hai vế của bất đẳng thức với tiêu cực số thì bạn cần thay đổi dấu hiệu của sự bất đẳng thức. Ví dụ, nếu có “nhiều hơn” thì nó sẽ trở thành “ít hơn”; nếu nó “nhỏ hơn hoặc bằng” thì nó sẽ trở thành “lớn hơn hoặc bằng”.

Trong bất đẳng thức, chúng ta chuyển số “ba” sang bên phải bằng cách đổi dấu (quy tắc số 1):

Hãy nhân cả hai vế của bất đẳng thức với –1 (quy tắc số 3):

Hãy nhân cả hai vế của bất đẳng thức với (quy tắc số 2):

Trả lời: phạm vi định nghĩa:

Câu trả lời cũng có thể được viết bằng một cụm từ tương đương: “hàm được xác định tại .”
Về mặt hình học, vùng xác định được mô tả bằng cách tô bóng các khoảng tương ứng trên trục hoành. Trong trường hợp này:

Tôi nhắc bạn một lần nữa ý nghĩa hình học miền định nghĩa – đồ thị của hàm số chỉ tồn tại trong vùng bóng mờ và không có ở .

Trong hầu hết các trường hợp, việc xác định thuần túy phân tích miền định nghĩa là phù hợp, nhưng khi hàm rất phức tạp, bạn nên vẽ trục và ghi chú.

Ví dụ 6

Tìm miền xác định của hàm

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết.

Khi có một nhị thức bình phương hoặc tam thức dưới căn bậc hai, tình huống trở nên phức tạp hơn một chút và bây giờ chúng ta sẽ phân tích chi tiết kỹ thuật giải:

Ví dụ 7

Tìm miền xác định của hàm

Giải pháp: biểu thức căn thức phải hoàn toàn dương, tức là ta cần giải bất đẳng thức. Ở bước đầu tiên, chúng ta thử phân tích tam thức bậc hai:

Phân biệt đối xử là tích cực, chúng tôi tìm kiếm gốc:

Vậy parabol cắt trục x tại hai điểm, nghĩa là một phần của parabol nằm bên dưới trục (bất đẳng thức) và một phần của parabol nằm trên trục (bất đẳng thức chúng ta cần).

Vì hệ số là , nên các nhánh của parabol hướng lên trên. Từ đó suy ra rằng bất đẳng thức được thỏa mãn trên các khoảng (các nhánh của parabol đi lên đến vô cùng) và đỉnh của parabol nằm trên khoảng bên dưới trục x, tương ứng với bất đẳng thức:

! Ghi chú: Nếu bạn không hiểu hết lời giải thích, vui lòng vẽ trục thứ hai và toàn bộ parabol! Nên quay lại bài viết và hướng dẫn Những công thức hot cho môn toán học đường.

Xin lưu ý rằng bản thân các điểm sẽ bị xóa (không được đưa vào lời giải), vì bất đẳng thức của chúng ta là nghiêm ngặt.

Trả lời: phạm vi định nghĩa:

Nói chung, nhiều bất đẳng thức (bao gồm cả bất đẳng thức đang xét) đều được giải quyết bằng phương pháp phổ quát. phương pháp khoảng, được biết đến lần nữa từ chương trình giảng dạy ở trường. Nhưng trong trường hợp nhị thức vuông và tam thức, theo tôi, việc phân tích vị trí của parabol so với trục sẽ thuận tiện hơn và nhanh hơn nhiều. Và chúng ta sẽ phân tích phương pháp chính - phương pháp khoảng - một cách chi tiết trong bài viết. Các số không của hàm. Khoảng thời gian cố định.

Ví dụ 8

Tìm miền xác định của hàm

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Mẫu nhận xét chi tiết về tính logic của lý luận + phương pháp giải thứ hai và một phương pháp khác chuyển đổi quan trọng sự bất bình đẳng, nếu không biết về điều đó học sinh sẽ khập khiễng bằng một chân..., ...hmm... về cái chân, có lẽ, tôi đã rất phấn khích, đúng hơn là bằng một ngón chân. Ngón tay cái.

Có thể xác định hàm căn bậc hai trên toàn bộ trục số không? Chắc chắn. Toàn những gương mặt quen thuộc: . Hoặc một tổng tương tự có số mũ: . Thật vậy, với mọi giá trị của “x” và “ka”: , do đó và .

Nhưng ít hơn ví dụ rõ ràng: . Ở đây phân biệt đối xử là âm (parabol không giao nhau với trục x), trong khi các nhánh của parabol hướng lên trên, do đó có miền định nghĩa: .

Câu hỏi ngược lại: liệu miền định nghĩa của hàm có thể được trống? Có, và một ví dụ nguyên thủy ngay lập tức gợi ý , trong đó biểu thức căn thức âm với bất kỳ giá trị nào của “x” và miền định nghĩa: (icon bộ trống). Một hàm như vậy hoàn toàn không được xác định (tất nhiên, đồ thị cũng chỉ là ảo ảnh).

Với rễ lẻ vân vân. mọi thứ tốt hơn nhiều - ở đây biểu thức căn thức có thể âm. Ví dụ, một hàm được xác định trên toàn bộ dòng số. Tuy nhiên, hàm số có một điểm duy nhất vẫn chưa nằm trong phạm vi định nghĩa vì mẫu số được đặt bằng 0. Vì lý do tương tự cho chức năng điểm bị loại trừ.

Miền của hàm số với logarit

Hàm phổ biến thứ ba là logarit. Để làm mẫu tôi sẽ vẽ logarit tự nhiên, xảy ra ở khoảng 99 ví dụ trong số 100 ví dụ. Nếu một hàm nhất định chứa logarit, thì miền định nghĩa của nó chỉ nên bao gồm các giá trị “x” thỏa mãn bất đẳng thức. Nếu logarit ở mẫu số: , thì thêm vào đó một điều kiện được áp đặt (vì ).

Ví dụ 9

Tìm miền xác định của hàm

Giải pháp: theo phương trình trên ta sẽ soạn và giải hệ:

Giải pháp đồ họa dành cho người giả:

Trả lời: phạm vi định nghĩa:

Tôi sẽ dừng lại ở một lần nữa điểm kỹ thuật– Tôi không có thước đo và các vạch chia dọc theo trục không được đánh dấu. Câu hỏi đặt ra: làm thế nào để vẽ những bức vẽ như vậy vào một cuốn sổ tay trên giấy ca rô? Khoảng cách giữa các điểm có nên đo bằng ô theo đúng tỷ lệ không? Tất nhiên, nó hợp quy hơn và chặt chẽ hơn về tỷ lệ, nhưng một bản vẽ sơ đồ phản ánh cơ bản tình hình cũng khá có thể chấp nhận được.

Ví dụ 10

Tìm miền xác định của hàm

Để giải quyết vấn đề, bạn có thể sử dụng phương pháp của đoạn trước - phân tích vị trí của parabol so với trục x. Đáp án có ở cuối bài học.

Như bạn có thể thấy, trong lĩnh vực logarit, mọi thứ đều rất giống với tình huống có căn bậc hai: hàm (tam thức bình phương từ Ví dụ số 7) được xác định trên các khoảng và hàm (nhị phân bình phương từ Ví dụ số 6) trên khoảng . Thật khó để nói rằng các hàm kiểu được xác định trên toàn bộ dòng số.

Thông tin hữu ích : hấp dẫn chức năng điển hình, nó được xác định trên toàn bộ trục số ngoại trừ điểm. Theo tính chất của logarit, số “hai” có thể nhân bên ngoài logarit, nhưng để hàm số không thay đổi thì chữ “x” phải được đặt dưới dấu mô đun: . Đây là một cái khác cho bạn" ứng dụng thực tế» mô-đun =). Đây là điều bạn cần làm trong hầu hết các trường hợp khi phá dỡ thậm chí bằng cấp, ví dụ: . Ví dụ: nếu cơ số của bậc rõ ràng là dương thì không cần ký hiệu mô đun và chỉ cần sử dụng dấu ngoặc đơn: .

Để tránh sự lặp lại, hãy làm phức tạp nhiệm vụ:

Ví dụ 11

Tìm miền xác định của hàm

Giải pháp: trong hàm này chúng ta có cả nghiệm và logarit.

Biểu thức căn thức phải không âm: , và biểu thức dưới dấu logarit phải hoàn toàn dương: . Vì vậy cần giải hệ:

Nhiều bạn biết rất rõ hoặc đoán bằng trực giác rằng giải pháp hệ thống phải thỏa mãn tới mọi người tình trạng.

Bằng cách kiểm tra vị trí của parabol so với trục, chúng ta đi đến kết luận rằng bất đẳng thức được thỏa mãn bởi khoảng (màu xanh lam):

Bất đẳng thức hiển nhiên tương ứng với nửa khoảng “đỏ”.

Vì phải đáp ứng cả hai điều kiện đồng thời, thì nghiệm của hệ là giao của các khoảng này. " Lợi ích chung» được đáp ứng trong nửa khoảng thời gian.

Trả lời: phạm vi định nghĩa:

Bất đẳng thức điển hình, như được minh họa trong Ví dụ số 8, không khó giải quyết bằng phương pháp giải tích.

Tên miền được tìm thấy sẽ không thay đổi đối với “các chức năng tương tự”, ví dụ: hoặc . Bạn cũng có thể thêm một số hàm liên tục, ví dụ: , hoặc như thế này: , hoặc thậm chí như thế này: . Như người ta nói, căn số và logarit là những thứ cứng đầu. Điều duy nhất là nếu một trong các hàm được “đặt lại” về mẫu số thì miền định nghĩa sẽ thay đổi (mặc dù trong trường hợp chungđiều này không phải lúc nào cũng đúng). Chà, trong lý thuyết matan về lời nói này... ồ... có những định lý.

Ví dụ 12

Tìm miền xác định của hàm

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Sử dụng bản vẽ là khá phù hợp vì chức năng này không phải là đơn giản nhất.

Một vài ví dụ nữa để củng cố tài liệu:

Ví dụ 13

Tìm miền xác định của hàm

Giải pháp: hãy soạn và giải hệ phương trình:

Tất cả các hành động đã được thảo luận trong suốt bài viết. Hãy vẽ khoảng tương ứng với bất đẳng thức trên trục số và theo điều kiện thứ hai loại bỏ hai điểm:

Ý nghĩa hóa ra hoàn toàn không liên quan.

Trả lời: miền định nghĩa

Một cách chơi chữ toán học nhỏ trên một biến thể của ví dụ thứ 13:

Ví dụ 14

Tìm miền xác định của hàm

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Ai bỏ lỡ thì thật là xui xẻo ;-)

Phần cuối cùng của bài học được dành cho các chức năng hiếm hơn nhưng cũng có thể “hoạt động”:

Khu vực định nghĩa chức năng
với các tiếp tuyến, côtang, arcsin, arcsin

Nếu hàm nào đó bao gồm , thì từ miền định nghĩa của nó bị loại trừđiểm ở đâu Z– một tập hợp các số nguyên. Đặc biệt, như đã nêu trong bài viết Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản, hàm có các giá trị sau:

Đó là miền định nghĩa của tiếp tuyến: .

Chúng ta đừng giết quá nhiều:

Ví dụ 15

Tìm miền xác định của hàm

Giải pháp: trong trường hợp này, các điểm sau sẽ không nằm trong phạm vi định nghĩa:

Hãy ném số "hai" của vế trái vào mẫu số của vế phải:

Kết quả là :

Trả lời: phạm vi định nghĩa: .

Về nguyên tắc, đáp án cũng có thể viết dưới dạng hợp số vô hạn khoảng cách, nhưng thiết kế sẽ rất cồng kềnh:

Giải pháp phân tích hoàn toàn phù hợp với biến đổi hình học của đồ thị: nếu đối số của một hàm được nhân với 2 thì đồ thị của nó sẽ co lại về trục hai lần. Lưu ý rằng chu kỳ của hàm đã giảm đi một nửa và điểm dừng tần số tăng gấp đôi. Nhịp tim nhanh.

Câu chuyện tương tự với cotang. Nếu một số hàm bao gồm , thì các điểm sẽ bị loại khỏi miền định nghĩa của nó. Cụ thể, đối với chức năng chụp liên tục tự động, chúng tôi lấy các giá trị sau:

Nói cách khác: