Đại học nghiên cứu quốc gia
Khoa Địa chất ứng dụng
Tóm tắt toán cao cấp
Với chủ đề: “Các hàm cơ bản cơ bản,
tính chất và đồ thị của chúng"
Hoàn thành:
Đã kiểm tra:
giáo viên
Sự định nghĩa. Hàm số cho bởi công thức y=a x (trong đó a>0, a≠1) được gọi là hàm mũ có cơ số a.
Chúng ta hãy xây dựng các tính chất chính của hàm số mũ:
1. Miền định nghĩa là tập hợp (R) của mọi số thực.
2. Phạm vi - tập hợp (R+) của tất cả các số thực dương.
3. Với a > 1, hàm số tăng dọc theo toàn bộ trục số; lúc 0<а<1 функция убывает.
4. Là hàm có dạng tổng quát.
, trên khoảng xО [-3;3]
, trên khoảng xО [-3;3] Hàm có dạng y(x)=x n, trong đó n là số ОR, được gọi là hàm lũy thừa. Số n có thể nhận các giá trị khác nhau: cả số nguyên và phân số, cả số chẵn và số lẻ. Tùy theo điều này mà hàm công suất sẽ có dạng khác nhau. Hãy xem xét các trường hợp đặc biệt là hàm lũy thừa và phản ánh các tính chất cơ bản của loại đường cong này theo thứ tự sau: hàm lũy thừa y=x² (hàm có số mũ chẵn - parabol), hàm lũy thừa y=x³ (hàm có số mũ lẻ - parabol bậc ba) và hàm y=√x (x lũy thừa ½) (hàm có số mũ phân số), hàm có số mũ nguyên âm (hyperbola).
Chức năng nguồn y=x²
1. D(x)=R – hàm số được xác định trên toàn bộ trục số;
2. E(y)= và tăng theo khoảng
Chức năng nguồn y=x³
1. Đồ thị của hàm số y=x³ được gọi là parabol bậc ba. Hàm lũy thừa y=x³ có các tính chất sau:
2. D(x)=R – hàm số được xác định trên toàn bộ trục số;
3. E(y)=(-∞;∞) – hàm lấy tất cả các giá trị trong miền định nghĩa của nó;
4. Khi x=0 y=0 – hàm số đi qua gốc tọa độ O(0;0).
5. Hàm tăng trên toàn bộ miền định nghĩa.
6. Hàm số lẻ (đối xứng qua gốc tọa độ).
, trên khoảng xО [-3;3] Tùy thuộc vào hệ số đứng trước x³, hàm số có thể dốc/phẳng và tăng/giảm.
Hàm lũy thừa với số mũ nguyên âm:
Nếu số mũ n là số lẻ thì đồ thị của hàm lũy thừa như vậy được gọi là hyperbol. Hàm lũy thừa với số mũ nguyên âm có các tính chất sau:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) với mọi n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), nếu n là số lẻ; E(y)=(0;∞), nếu n là số chẵn;
3. Hàm số giảm trên toàn miền định nghĩa nếu n là số lẻ; hàm tăng theo khoảng (-∞;0) và giảm theo khoảng (0;∞) nếu n là số chẵn.
4. Hàm số lẻ (đối xứng về gốc tọa độ) nếu n là số lẻ; một hàm số chẵn nếu n là số chẵn.
5. Hàm số đi qua các điểm (1;1) và (-1;-1) nếu n là số lẻ và đi qua các điểm (1;1) và (-1;1) nếu n là số chẵn.
, trên khoảng xО [-3;3] Hàm lũy thừa với số mũ phân số
Hàm lũy thừa có số mũ phân số (hình ảnh) có đồ thị của hàm như trên hình. Hàm lũy thừa với số mũ phân số có các tính chất sau: (hình ảnh)
1. D(x) ОR, nếu n là số lẻ và D(x)= 
, trên khoảng xО 
, trên khoảng xО [-3;3]
Hàm logarit y = log a x có các tính chất sau:
1. Miền định nghĩa D(x)О (0; + ∞).
2. Phạm vi giá trị E(y) О (- ∞; + ∞)
3. Hàm số không chẵn cũng không lẻ (có dạng tổng quát).
4. Hàm tăng trên khoảng (0; + ∞) đối với a > 1, giảm trên (0; + ∞) đối với 0< а < 1.
Đồ thị của hàm y = log a x có thể thu được từ đồ thị của hàm y = a x bằng cách sử dụng phép biến đổi đối xứng qua đường thẳng y = x. Hình 9 thể hiện đồ thị của hàm logarit với a > 1 và Hình 10 với 0< a < 1.
; trên khoảng xО 
; trên khoảng xО Các hàm y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x được gọi là hàm lượng giác.
Các hàm y = sin x, y = tan x, y = ctg x là số lẻ và hàm y = cos x là số chẵn.
Hàm y = sin(x).
1. Miền định nghĩa D(x) ОR.
2. Phạm vi giá trị E(y) О [ - 1; 1].
3. Hàm số tuần hoàn; chu kỳ chính là 2π.
4. Hàm số lẻ.
5. Hàm số tăng theo các khoảng [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] và giảm dần trong các khoảng [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.
Đồ thị của hàm số y = sin(x) được thể hiện trên Hình 11.
Cung cấp dữ liệu tham khảo về hàm số mũ - các thuộc tính, đồ thị và công thức cơ bản. Các chủ đề sau đây được xem xét: miền định nghĩa, tập hợp các giá trị, tính đơn điệu, hàm nghịch đảo, đạo hàm, tích phân, khai triển chuỗi lũy thừa và biểu diễn bằng số phức.
Sự định nghĩa
hàm số mũ là dạng tổng quát của tích của n số bằng a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
của tập số thực x:
y (x) = rìu.
Ở đây a là một số thực cố định, được gọi là cơ sở của hàm số mũ.
Hàm số mũ cơ số a còn được gọi là số mũ cơ sở a.
Việc tổng quát hóa được thực hiện như sau.
Đối với x tự nhiên = 1, 2, 3,...
, hàm số mũ là tích của x thừa số:
.
Hơn nữa, nó có các thuộc tính (1,5-8) (), tuân theo các quy tắc nhân số. Đối với giá trị 0 và âm của số nguyên, hàm số mũ được xác định bằng các công thức (1.9-10). Đối với các giá trị phân số x = m/n số hữu tỉ, , được xác định theo công thức (1.11). Đối với real , hàm số mũ được định nghĩa là giới hạn của chuỗi:
,
đâu là một dãy số hữu tỉ tùy ý hội tụ về x: .
Với định nghĩa này, hàm số mũ được xác định cho tất cả và thỏa mãn các thuộc tính (1,5-8), như đối với x tự nhiên.
Một công thức toán học chặt chẽ về định nghĩa của hàm số mũ và cách chứng minh các tính chất của nó được đưa ra trên trang “Định nghĩa và chứng minh các tính chất của hàm số mũ”.
Tính chất của hàm số mũ
Hàm mũ y = a x có các tính chất sau trên tập số thực ():
(1.1)
xác định và liên tục, với , với tất cả ;
(1.2)
cho một ≠ 1
có nhiều ý nghĩa;
(1.3)
tăng nghiêm ngặt tại , giảm nghiêm ngặt tại ,
không đổi tại ;
(1.4)
Tại ;
Tại ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Các công thức hữu ích khác.
.
Công thức chuyển đổi sang hàm số mũ có cơ số mũ khác:
Khi b = e, ta thu được biểu thức của hàm mũ thông qua hàm mũ:
Giá trị riêng tư
, , , , .
Hình vẽ thể hiện đồ thị của hàm số mũ
y (x) = rìu
cho bốn giá trị cơ sở bằng cấp: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
và một = 1/8
. 1
Có thể thấy rằng đối với a > 0
< a < 1
hàm số mũ tăng đơn điệu. Cơ sở của độ a càng lớn thì sự tăng trưởng càng mạnh. Tại
hàm số mũ giảm đơn điệu. Số mũ a càng nhỏ thì mức giảm càng mạnh.
Tăng dần, giảm dần
| Hàm mũ của hàm số này có tính đơn điệu nghiêm ngặt và do đó không có cực trị. Các thuộc tính chính của nó được trình bày trong bảng. 1 | y = a x , a > 0 < a < 1 | |
| y = rìu, | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Miền định nghĩa | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Phạm vi giá trị | Đơn điệu | tăng đơn điệu |
| giảm đơn điệu 0 | Số không, y = | Số không, y = |
| KHÔNG 0 | Điểm chặn với trục tọa độ, x = 1 | Điểm chặn với trục tọa độ, x = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
y=
Hàm nghịch đảo
Nghịch đảo của hàm mũ cơ số a là logarit cơ số a.
.
Nếu , thì
.
Nếu , thì
Để đạo hàm một hàm mũ, cơ số của nó phải quy về số e, áp dụng bảng đạo hàm và quy tắc đạo hàm hàm số phức.
Để làm được điều này bạn cần sử dụng tính chất logarit
và công thức từ bảng đạo hàm:
.
Cho hàm số mũ:
.
Chúng tôi mang nó đến cơ sở e:
Hãy áp dụng quy tắc lấy vi phân của hàm số phức. Để làm điều này, hãy giới thiệu biến
Sau đó
Từ bảng đạo hàm ta có (thay biến x bằng z):
.
Vì là một hằng số nên đạo hàm của z theo x bằng
.
Theo quy tắc đạo hàm của hàm phức:
.
Đạo hàm của hàm số mũ
.
Đạo hàm bậc n:
.
Công thức dẫn xuất > > >
Ví dụ về đạo hàm hàm số mũ
Tìm đạo hàm của một hàm số
Điểm chặn với trục tọa độ, x = 3 5x
Giải pháp
Hãy biểu diễn cơ số của hàm số mũ thông qua số e.
3 = e ln 3
Sau đó
.
Nhập một biến
.
Sau đó
Từ bảng đạo hàm ta tìm được:
.
Bởi vì 5ln 3 là một hằng số thì đạo hàm của z theo x bằng:
.
Theo quy tắc đạo hàm của hàm phức, ta có:
.
Trả lời
tích phân
Biểu thức sử dụng số phức
Xét hàm số phức z:
f (z) = az
trong đó z = x + iy; 2 = - 1
.
Tôi
Chúng ta hãy biểu thị hằng số phức a theo mô đun r và đối số φ:
Sau đó
.
a = r e i φ
φ = φ Đối số φ không được xác định duy nhất. Nói chung,
0 + 2 πn trong đó n là một số nguyên. Do đó hàm f(z)
.
cũng không rõ ràng. Ý nghĩa chính của nó thường được xem xét
.
Mở rộng loạt
Văn học đã qua sử dụng:
TRONG. Bronstein, K.A. Semendyaev, Sổ tay toán học dành cho kỹ sư và sinh viên đại học, “Lan”, 2009.
Hàm lũy thừa, các tính chất và đồ thị Tài liệu trình diễn Bài-bài Khái niệm về hàm số. Thuộc tính chức năng. Hàm năng lượng, tính chất và đồ thị của nó. Lớp 10 Mọi quyền được bảo lưu. Bản quyền với Bản quyền với
Tiến trình bài học: Lặp lại. Chức năng. Thuộc tính của hàm. Học tài liệu mới. 1. Định nghĩa hàm lũy thừa. Định nghĩa hàm lũy thừa. 2. Tính chất và đồ thị của hàm lũy thừa. Tổng hợp tài liệu đã học. Đếm miệng. Đếm miệng. Tóm tắt bài học. Bài tập về nhà.
Đồ thị của hàm Cho một hàm trong đó xY y x.75 3 0,6 4 0,5 Đồ thị của hàm là tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng tọa độ, các hoành độ của nó bằng các giá trị của đối số, và tọa độ bằng các giá trị tương ứng của hàm. Chức năng. Thuộc tính hàm
Y x Miền định nghĩa và phạm vi giá trị của hàm 4 y=f(x) Miền định nghĩa của hàm: Miền giá trị của hàm: Hàm. Thuộc tính hàm
Hàm chẵn y x y=f(x) Đồ thị của hàm chẵn đối xứng với trục của op-amp. Hàm y=f(x) được gọi ngay cả khi f(-x) = f(x) với bất kỳ x nào từ miền định nghĩa của hàm Hàm. Thuộc tính hàm
Hàm lẻ y x y=f(x) Đồ thị của hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ O(0;0) Hàm y=f(x) được gọi là lẻ nếu f(-x) = -f(x) với mọi x từ định nghĩa hàm vùng Function. Thuộc tính hàm
Định nghĩa hàm lũy thừa Một hàm trong đó p là một số thực cho trước được gọi là hàm lũy thừa. p y=x p P=x y 0 Tiến độ bài học
Hàm lũy thừa x y 1. Miền định nghĩa và dải giá trị của các hàm lũy thừa dạng, trong đó n là số tự nhiên, đều là số thực. 2. Các hàm này đều lẻ. Đồ thị của chúng đối xứng qua gốc tọa độ. Tính chất và đồ thị của hàm số công suất
Hàm lũy thừa có số mũ dương hợp lý Miền định nghĩa là tất cả các số dương và số 0. Phạm vi giá trị của các hàm có số mũ như vậy cũng là tất cả các số dương và số 0. Các hàm này không chẵn cũng không lẻ. . y x Tính chất và đồ thị hàm số lũy thừa
Hàm lũy thừa với số mũ âm hợp lý. Miền định nghĩa và phạm vi giá trị của các hàm đó đều là số dương. Các hàm số không chẵn cũng không lẻ. Các hàm như vậy giảm trong toàn bộ phạm vi định nghĩa của chúng. y x Tính chất và đồ thị hàm số lũy thừa Tiến trình bài học
