Các khoảng số bao gồm các tia, đoạn, khoảng và nửa khoảng.
Các loại khoảng số
| Tên | Hình ảnh | Bất bình đẳng | chỉ định |
|---|---|---|---|
| Chùm tia mở | x > Một | (Một; +∞) | |
| x < Một | (-∞; Một) | ||
| Chùm kín | x ⩾ Một | [Một; +∞) | |
| x ⩽ Một | (-∞; Một] | ||
| Phân đoạn | Một ⩽ x ⩽ b | [Một; b] | |
| Khoảng thời gian | Một < x < b | (Một; b) | |
| Nửa quãng | Một < x ⩽ b | (Một; b] | |
| Một ⩽ x < b | [Một; b) |
trong bảng Một Và b là các điểm biên và x- một biến có thể lấy tọa độ của bất kỳ điểm nào thuộc một khoảng số.
Điểm ranh giới- đây là điểm xác định ranh giới của khoảng số. Một điểm biên có thể thuộc hoặc không thuộc một khoảng số. Trong các hình vẽ, các điểm biên không thuộc khoảng số đang xem xét được biểu thị bằng một vòng tròn mở và những điểm thuộc về chúng được biểu thị bằng một vòng tròn đầy.
Chùm mở và đóng
Chùm tia mở là tập hợp các điểm trên đường thẳng nằm về một phía của điểm biên không nằm trong tập hợp này. Tia được gọi là mở chính xác vì điểm biên không thuộc về nó.
Hãy xem xét một tập hợp các điểm trên đường tọa độ có tọa độ lớn hơn 2 và do đó nằm ở bên phải điểm 2:
Một tập hợp như vậy có thể được xác định bởi bất đẳng thức x> 2. Tia mở được biểu thị bằng dấu ngoặc đơn - (2; +∞), mục này đọc như thế này: tia số mở từ hai đến cộng vô cùng.
Tập hợp mà bất đẳng thức tương ứng x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:
Chùm kín là tập hợp các điểm trên đường thẳng nằm về một phía của điểm biên thuộc một tập hợp cho trước. Trong các hình vẽ, các điểm biên thuộc tập hợp đang xem xét được biểu thị bằng một vòng tròn đầy.
Tia số đóng được xác định bởi các bất đẳng thức không chặt chẽ. Ví dụ, sự bất bình đẳng x 2 và x 2 có thể được mô tả như thế này:
Các tia đóng này được ký hiệu như sau: , nó được đọc như sau: tia số từ hai đến cộng vô cực và tia số từ âm vô cực đến hai. Dấu ngoặc vuông trong ký hiệu chỉ ra rằng điểm 2 thuộc về khoảng số.
Phân đoạn
Phân đoạn là tập hợp các điểm nằm trên một đường thẳng nằm giữa hai điểm biên thuộc một tập hợp cho trước. Các tập hợp như vậy được xác định bởi các bất đẳng thức không chặt chẽ kép.
Xét một đoạn của đường tọa độ có điểm cuối là -2 và 3:
Tập hợp các điểm tạo nên một đoạn cho trước có thể được xác định bằng bất đẳng thức kép -2 x 3 hoặc chỉ định [-2; 3], bản ghi đó có nội dung như sau: một đoạn từ âm hai đến ba.
Khoảng và nửa khoảng
Khoảng thời gian- đây là tập hợp các điểm trên một đường thẳng nằm giữa hai điểm biên không thuộc tập hợp này. Các tập hợp như vậy được xác định bởi các bất đẳng thức nghiêm ngặt kép.
Xét một đoạn của đường tọa độ có điểm cuối là -2 và 3:
Tập hợp các điểm tạo nên một khoảng nhất định có thể được xác định bằng bất đẳng thức kép -2< x < 3 или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.
Nửa quãng là tập hợp các điểm nằm trên một đường thẳng nằm giữa hai điểm biên, một điểm thuộc tập hợp đó còn điểm kia không thuộc tập hợp đó. Các tập hợp như vậy được xác định bởi các bất đẳng thức kép:
Các nửa quãng này được ký hiệu như sau: (-2; 3] và [-2; 3), đọc như sau: nửa quãng từ âm hai đến ba, gồm cả 3, và nửa quãng từ âm hai đến ba. , bao gồm trừ hai.
Khoảng số
Khoảng thời gian, nhịp mở, khoảng thời gian- tập hợp các điểm trên trục số nằm giữa hai số cho trước Một Và b, tức là một tập hợp số x, thỏa mãn điều kiện: Một < x < b . Khoảng không bao gồm các đầu và được ký hiệu là ( Một,b) (Thỉnh thoảng ] Một,b[ ), ngược lại với đoạn [ Một,b] (khoảng đóng), bao gồm cả các đầu, nghĩa là bao gồm các điểm.
Trong bản ghi âm ( Một,b), số Một Và bđược gọi là điểm cuối của khoảng. Khoảng bao gồm tất cả các số thực, khoảng bao gồm tất cả các số nhỏ hơn Một và khoảng - tất cả các số đều lớn Một .
Thuật ngữ khoảng thời gianđược sử dụng trong các thuật ngữ phức tạp:
- khi hội nhập - khoảng tích hợp,
- khi làm rõ gốc của phương trình - khoảng cách nhiệt
- khi xác định sự hội tụ của chuỗi lũy thừa - khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa.
Nhân tiện, trong tiếng Anh từ này khoảng thời gian gọi là một đoạn. Và để biểu thị khái niệm khoảng, thuật ngữ này được sử dụng khoảng mở.
Văn học
- Vygodsky M. Ya. Cẩm nang toán học cao hơn. M.: “Astrel”, “AST”, 2002
Xem thêm
Liên kết
Quỹ Wikimedia.
2010.
Xem “Khoảng số” là gì trong các từ điển khác:
< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Từ lat. quãng, quãng: Trong âm nhạc: Quãng là tỷ lệ độ cao của hai âm; tỷ lệ tần số âm thanh của các âm này. Trong toán học: Khoảng (hình học) là tập hợp các điểm trên một đường thẳng nằm giữa các điểm A và B, ... ... Wikipedia< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Khoảng, khoảng mở, khoảng là tập hợp các điểm trên trục số nằm giữa hai số a và b cho trước, tức là tập hợp các số x thỏa mãn điều kiện: a
Ta nhắc lại định nghĩa của một số tập con cơ bản của số thực. Nếu, thì tập hợp được gọi là một đoạn của dòng số mở rộng R và được ký hiệu là, nghĩa là trong trường hợp một đoạn ... Wikipedia
Dãy Dãy số là dãy các phần tử trong không gian số. Số số... Wikipedia
KÍNH HIỂN VI- (từ tiếng Hy Lạp mikros nhỏ và skopeo tôi nhìn), một dụng cụ quang học để nghiên cứu các vật thể nhỏ không thể nhìn thấy trực tiếp bằng mắt thường. Có những kính hiển vi đơn giản, hay kính lúp, và những kính hiển vi phức tạp, hay kính hiển vi theo đúng nghĩa. Kính lúp.... Bách khoa toàn thư y học lớn
GOST R 53187-2008: Âm học. Giám sát tiếng ồn khu vực đô thị- Thuật ngữ GOST R 53187 2008: Âm học. Quan trắc tiếng ồn khu vực đô thị Tài liệu gốc: 1 Mức âm thanh ước tính hàng ngày. 2 Buổi tối ước tính mức âm thanh tối đa. 3 Mức áp suất âm thanh ước tính ban đêm... Sách tham khảo từ điển thuật ngữ quy chuẩn và tài liệu kỹ thuật
Một đoạn có thể được gọi là một trong hai khái niệm liên quan đến hình học và phân tích toán học. Đoạn là một tập hợp các điểm, để ... Wikipedia
Hệ số tương quan- (Hệ số tương quan) Hệ số tương quan là một chỉ tiêu thống kê về sự phụ thuộc của hai biến ngẫu nhiên. Định nghĩa hệ số tương quan, các loại hệ số tương quan, tính chất của hệ số tương quan, cách tính và ứng dụng... ... Bách khoa toàn thư về nhà đầu tư
Trả lời - Tập hợp (-∞;+∞) gọi là trục số, số nào cũng là điểm trên trục số. Gọi a là một điểm tùy ý trên trục số và δ
Số dương. Khoảng (a-δ; a+δ) được gọi là lân cận δ của điểm a.
Một tập X được giới hạn từ phía trên (từ phía dưới) nếu tồn tại một số c sao cho với mọi x ∈ X thì bất đẳng thức x<с (x>c) đúng. Số c trong trường hợp này được gọi là cận trên (dưới) của tập X. Một tập hợp bị chặn cả trên và dưới được gọi là bị chặn. Giới hạn nhỏ nhất (lớn nhất) của giới hạn trên (dưới) của một tập hợp được gọi là giới hạn trên (dưới) chính xác của tập hợp này.
Khoảng số là một tập hợp các số thực được kết nối, nghĩa là nếu 2 số thuộc tập hợp này thì tất cả các số giữa chúng cũng thuộc tập hợp này. Có một số loại khoảng số không trống khác nhau: Đường thẳng, tia mở, tia đóng, đoạn thẳng, nửa khoảng, khoảng
Dòng số
Tập hợp tất cả các số thực còn được gọi là trục số. Họ viết.
Trong thực tế, không cần phân biệt giữa khái niệm trục tọa độ hoặc trục số theo nghĩa hình học với khái niệm trục số được đưa ra bởi định nghĩa này. Do đó, những khái niệm khác nhau này được biểu thị bằng cùng một thuật ngữ.
Chùm tia mở
Tập hợp các số như vậy gọi là tia số mở. Họ viết 
hoặc tương ứng: 
.
Chùm kín
Tập hợp các số như vậy gọi là trục số đóng. Họ viết 
hoặc tương ứng:.
Một tập hợp các số được gọi là một đoạn số.
Bình luận. Định nghĩa không quy định điều đó. Người ta cho rằng trường hợp này là có thể. Sau đó khoảng số biến thành một điểm.
Khoảng thời gian
Tập hợp các số như vậy được gọi là khoảng số.
Bình luận. Sự trùng hợp giữa các ký hiệu của chùm sáng, đường thẳng và khoảng không phải là ngẫu nhiên. Tia mở có thể được hiểu là một khoảng, một trong hai đầu của nó được đưa đến vô cùng, và một trục số - là một khoảng, cả hai đầu của nó được đưa đến vô cùng.
Nửa quãng
Một tập hợp các số như thế này được gọi là nửa khoảng số.
Họ viết hoặc, tương ứng,
3.Function.Graph của hàm. Các phương pháp xác định hàm.
Trả lời - Nếu cho hai biến x và y thì biến y được gọi là hàm của biến x nếu mối quan hệ giữa các biến này cho phép mỗi giá trị xác định duy nhất giá trị của y.
Ký hiệu F = y(x) có nghĩa là một hàm đang được xem xét cho phép bất kỳ giá trị nào của biến độc lập x (trong số các giá trị mà đối số x thường có thể lấy) để tìm giá trị tương ứng của biến phụ thuộc y.
Các phương pháp xác định hàm.
Hàm có thể được chỉ định bằng một công thức, ví dụ:
y = 3x2 – 2.
Chức năng có thể được chỉ định bởi một biểu đồ. Bằng cách sử dụng biểu đồ, bạn có thể xác định giá trị hàm nào tương ứng với giá trị đối số đã chỉ định. Đây thường là giá trị gần đúng của hàm.
4. Đặc điểm chính của hàm số: tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn.
Trả lời -Định nghĩa tính tuần hoàn. Hàm f được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số như vậy 
, đó f(x+ 
)=f(x), với mọi x 
Đ(f). Đương nhiên, có vô số con số như vậy. Số dương nhỏ nhất ^ T được gọi là chu kỳ của hàm số. Ví dụ. A. y = cos x, T = 2 
. V. y = tg x, T = 
. S. y = (x), T = 1. D. y = 
, hàm số này không tuần hoàn. Định nghĩa chẵn lẻ. Hàm f được gọi ngay cả khi thuộc tính f(-x) = f(x) đúng với mọi x thuộc D(f). Nếu f(-x) = -f(x), thì hàm được gọi là lẻ. Nếu không có mối quan hệ nào được chỉ ra được thỏa mãn thì hàm được gọi là hàm tổng quát. Ví dụ. A. y = cos(x) - chẵn; V. y = tg(x) - lẻ; S. y = (x); y=sin(x+1) – hàm số có dạng tổng quát. Định nghĩa đơn điệu. Hàm f: X -> R được gọi là tăng (giảm) nếu với bất kỳ 
điều kiện được đáp ứng: 
Sự định nghĩa. Hàm X -> R được gọi là đơn điệu trên X nếu nó tăng hoặc giảm trên X. Nếu f là đơn điệu trên một số tập con của X thì nó được gọi là đơn điệu từng phần. Ví dụ. y = cos x - hàm đơn điệu từng phần.
B) Dòng số
Xét trục số (Hình 6):
Xét tập hợp số hữu tỉ
Mỗi số hữu tỷ được biểu diễn bằng một điểm nhất định trên trục số. Vì vậy, các con số được đánh dấu trong hình.
Hãy chứng minh điều đó.
Bằng chứng. Cho có một phân số: . Chúng ta có quyền coi phân số này là không thể rút gọn được. Vì , thì - số chẵn: - lẻ. Thay thế biểu thức của nó, chúng ta tìm thấy: , ngụ ý đó là số chẵn. Ta thu được điều mâu thuẫn chứng minh khẳng định.
Vì vậy, không phải tất cả các điểm trên trục số đều biểu thị số hữu tỷ. Những điểm không biểu diễn số hữu tỉ biểu diễn số gọi là phi lý.
Bất kỳ số nào có dạng , , đều là số nguyên hoặc số vô tỷ.
Khoảng số
Các đoạn số, các khoảng, nửa khoảng và tia được gọi là các khoảng số.
| Bất đẳng thức xác định khoảng số | Chỉ định một khoảng số | Tên khoảng số | Nó đọc như thế này: |
| a `x ` b | [Một; b] | Đoạn số | Phân đoạn từ a đến b |
| Một< x < b | (Một; b) | Khoảng thời gian | Khoảng thời gian từ a đến b |
| một ≤ x< b | [Một; b) | Nửa quãng | Nửa khoảng thời gian từ MộtĐẾN b, bao gồm Một. |
| Một< x ≤ b | (Một; b] | Nửa quãng | Nửa khoảng thời gian từ MộtĐẾN b, bao gồm b. |
| x ≥ một | [Một; +∞) | Chùm tia số | Chùm tia số từ Một lên đến cộng vô cùng |
| x>a | (Một; +∞) | Mở chùm số | Mở chùm số từ Một lên đến cộng vô cùng |
| x ≤ một | (- ∞; Một] | Chùm tia số | Tia số từ âm vô cực đến Một |
| x< a | (- ∞; Một) | Mở chùm số | Mở tia số từ âm vô cực đến Một |
Hãy biểu diễn các số trên đường tọa độ Một Và b, cũng như số x giữa họ.
Tập hợp tất cả các số thỏa mãn điều kiện a `x ` b, gọi điện đoạn số hoặc chỉ là một đoạn. Nó được chỉ định như sau: [ Một; b] - Nó đọc như thế này: một đoạn từ a đến b.
Tập hợp số thỏa mãn điều kiện Một< x < b , gọi điện khoảng thời gian. Nó được chỉ định như sau: ( Một; b)
Nó đọc như thế này: khoảng thời gian từ a đến b.
Tập hợp số thỏa mãn điều kiện a ≤ x< b или Một<x ≤ b, được gọi là nửa quãng. Chỉ định:
Đặt a ≤ x< b обозначается так:[Một; b), đọc như thế này: nửa khoảng thời gian từ MộtĐẾN b, bao gồm Một.
Nhiều Một<x ≤ bđược chỉ ra như sau :( Một; b], đọc như thế này: nửa khoảng thời gian từ MộtĐẾN b, bao gồm b.
Bây giờ chúng ta hãy tưởng tượng chùm tia với một dấu chấm Một, bên phải và bên trái có một bộ số.
Một, thỏa mãn điều kiện x ≥ một, gọi điện chùm tia số.
Nó được chỉ định như sau: [ Một; +∞)-Đọc như sau: một tia số từ Mộtđến cộng vô cùng.
Tập hợp các số ở bên phải của một điểm Một, tương ứng với bất đẳng thức x>a, gọi điện chùm số mở.
Nó được chỉ định như sau: ( Một; +∞)-Đọc như sau: một tia số mở từ Mộtđến cộng vô cùng.
Một, thỏa mãn điều kiện x ≤ một, gọi điện tia số từ âm vô cực đếnMột .
Nó được chỉ định như sau :( - ∞; Một]-Đọc như sau: một tia số từ âm vô cực đến Một.
Tập hợp các số ở bên trái của điểm Một, tương ứng với bất đẳng thức x< a , gọi điện mở tia số từ âm vô cực đếnMột .
Nó được chỉ định như sau: ( - ∞; Một)-Đọc như sau: một tia số mở từ âm vô cực đến Một.
Tập hợp số thực được biểu diễn bằng toàn bộ đường tọa độ. Họ gọi anh ấy trục số. Nó được chỉ định như sau: ( - ∞; + ∞ )
3) Phương trình tuyến tính và bất đẳng thức một biến, nghiệm của chúng:
Phương trình chứa một biến được gọi là phương trình có một biến hoặc phương trình có một biến chưa biết. Ví dụ: phương trình có một biến là 3(2x+7)=4x-1.
Căn nguyên hoặc nghiệm của một phương trình là giá trị của một biến mà tại đó phương trình trở thành một đẳng thức số thực sự. Ví dụ, số 1 là nghiệm của phương trình 2x+5=8x-1. Phương trình x2+1=0 vô nghiệm vì vế trái của phương trình luôn lớn hơn 0. Phương trình (x+3)(x-4) =0 có hai nghiệm: x1= -3, x2=4.
Giải một phương trình có nghĩa là tìm tất cả các nghiệm của nó hoặc chứng minh rằng không có nghiệm nào.
Các phương trình được gọi là tương đương nếu mọi nghiệm của phương trình thứ nhất đều là nghiệm của phương trình thứ hai và ngược lại, mọi nghiệm của phương trình thứ hai đều là nghiệm của phương trình thứ nhất hoặc nếu cả hai phương trình đều không có nghiệm. Ví dụ: các phương trình x-8=2 và x+10=20 là tương đương, bởi vì nghiệm của phương trình thứ nhất x=10 cũng là nghiệm của phương trình thứ hai và cả hai phương trình đều có cùng nghiệm.
Khi giải phương trình, các tính chất sau được sử dụng:
Nếu bạn di chuyển một số hạng trong phương trình từ phần này sang phần khác, thay đổi dấu của nó, bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.
Nếu cả hai vế của một phương trình được nhân hoặc chia cho cùng một số khác 0, bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.
Phương trình ax=b, trong đó x là một biến và a và b là một số số, được gọi là phương trình tuyến tính một biến.
Nếu a¹0 thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Nếu a=0, b=0 thì phương trình được thỏa mãn bởi bất kỳ giá trị nào của x.
Nếu a=0, b¹0 thì phương trình vô nghiệm vì 0x=b không được thực thi cho bất kỳ giá trị nào của biến.
Ví dụ 1. Giải phương trình: -8(11-2x)+40=3(5x-4)
Mở ngoặc ở cả hai vế của phương trình, chuyển tất cả các số hạng có x sang vế trái của phương trình, và các số hạng không chứa x sang vế phải, ta được:
16x-15x=88-40-12
Ví dụ 2. Giải các phương trình:
x3-2x2-98x+18=0;
Những phương trình này không phải là tuyến tính, nhưng chúng tôi sẽ chỉ ra cách giải những phương trình như vậy.
3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Tích bằng 0, nếu một trong các thừa số bằng 0 thì ta được x1=0; x2= .
Trả lời: 0; .
Phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử:
x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), tức là (x-2)(x-3)(x+3)=0. Điều này cho thấy nghiệm của phương trình này là các số x1=2, x2=3, x3=-3.
c) Tưởng tượng 7x là 3x+4x, khi đó ta có: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, do đó x1=-3, x2=- 4.
Trả lời: -3; - 4.
Ví dụ 3. Giải phương trình: ½x+1ç+½x-1ç=3.
Chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa về mô đun của một số: 
Ví dụ: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.
Trong phương trình này, dưới dấu mô đun là các số x-1 và x+1. Nếu x nhỏ hơn –1 thì số x+1 âm, thì ½x+1½=-x-1. Và nếu x>-1 thì ½x+1½=x+1. Tại x=-1 ½x+1½=0.
Như vậy, 
Tương tự như vậy
a) Xét phương trình này½x+1½+½x-1½=3 với x £-1, nó tương đương với phương trình -x-1-x+1=3, -2x=3, x=, số này thuộc tập hợp x £-1.
b) Đặt -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.
c) Xét trường hợp x>1.
x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Số này thuộc tập x>1.
Đáp án: x1=-1,5; x2=1,5.
Ví dụ 4. Giải phương trình:½x+2½+3½x½=2½x-1½.
Chúng ta hãy trình bày một bản ghi ngắn về nghiệm của phương trình, cho thấy dấu của mô đun “trong các khoảng”.
x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]
–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]
0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]
x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)
Trả lời: [-2; 0]
Ví dụ 5. Giải phương trình: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), với mọi giá trị của tham số a.
Thực tế có hai biến trong phương trình này, nhưng coi x là ẩn số và a là tham số. Cần phải giải phương trình biến x với bất kỳ giá trị nào của tham số a.
Nếu a=1 thì phương trình có dạng 0×x=0;
Nếu a=-1 thì phương trình có dạng 0×x=-2; không có một số nào thỏa mãn phương trình này.
Nếu a¹1, a¹-1 thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Trả lời: nếu a=1 thì x là số bất kỳ;
nếu a=-1 thì không có nghiệm;
nếu a¹±1 thì .
B) Bất đẳng thức tuyến tính một biến.
Nếu biến x được cho bất kỳ giá trị số nào, thì chúng ta sẽ nhận được bất đẳng thức số biểu thị một câu lệnh đúng hoặc sai. Ví dụ, hãy cho bất đẳng thức 5x-1>3x+2. Với x=2 ta nhận được 5·2-1>3·2+2 – một mệnh đề đúng (tuyên bố đúng bằng số); với x=0 ta nhận được 5·0-1>3·0+2 – một khẳng định sai. Bất kỳ giá trị nào của một biến mà tại đó một bất đẳng thức đã cho với một biến biến thành một bất đẳng thức số thực sự được gọi là nghiệm của bất đẳng thức. Giải bất đẳng thức với một biến có nghĩa là tìm tập hợp tất cả các nghiệm của nó.
Hai bất đẳng thức có cùng biến x được gọi là tương đương nếu tập nghiệm của các bất đẳng thức này trùng nhau.
Ý tưởng chính của việc giải bất đẳng thức như sau: chúng ta thay thế bất đẳng thức đã cho bằng một bất đẳng thức khác, đơn giản hơn nhưng tương đương với bất đẳng thức đã cho; một lần nữa chúng ta thay thế bất đẳng thức thu được bằng một bất đẳng thức đơn giản hơn tương đương với nó, v.v.
Việc thay thế như vậy được thực hiện trên cơ sở các tuyên bố sau.
Định lý 1. Nếu chuyển bất kỳ hạng tử nào của bất đẳng thức một biến từ phần này của bất đẳng thức sang phần khác trái dấu, mà giữ nguyên dấu của bất đẳng thức thì thu được bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức đã cho.
Định lý 2. Nếu nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức một biến cho cùng một số dương, giữ nguyên dấu của bất đẳng thức đó thì thu được bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức đã cho.
Định lý 3. Nếu nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức một biến cho cùng một số âm, đồng thời đổi dấu của bất đẳng thức đó sang ngược lại thì sẽ thu được bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức đã cho.
Bất đẳng thức có dạng ax+b>0 được gọi là tuyến tính (tương ứng, ax+b>0<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.
Ví dụ 1. Giải bất đẳng thức: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).
Mở ngoặc, chúng ta nhận được 2x-6+5-5x³6x-15,
Khoảng số. Bối cảnh. Sự định nghĩa
Một đẳng thức (phương trình) có một điểm trên trục số (mặc dù điểm này phụ thuộc vào các phép biến đổi được thực hiện và nghiệm được chọn). Lời giải của phương trình sẽ là một tập hợp số (đôi khi bao gồm một số duy nhất). Tuy nhiên, tất cả những điều này trên trục số (hình dung của một tập hợp số thực) sẽ chỉ được hiển thị theo điểm, nhưng cũng có những kiểu quan hệ tổng quát hơn giữa hai số - bất đẳng thức. Trong đó, trục số được chia cho một số nhất định và một phần nhất định bị cắt khỏi nó - các giá trị của một biểu thức hoặc một khoảng số.
Việc thảo luận về chủ đề khoảng số cùng với bất đẳng thức là hợp lý, nhưng điều này không có nghĩa là nó chỉ liên quan đến chúng. Các khoảng số (khoảng, đoạn, tia) là tập hợp các giá trị biến thỏa mãn một bất đẳng thức nhất định. Về bản chất, đây là tập hợp tất cả các điểm trên trục số, bị giới hạn bởi một loại khuôn khổ nào đó. Vì vậy, chủ đề về khoảng số có liên quan chặt chẽ nhất với khái niệm biến. Nơi nào có một biến, hoặc một điểm x tùy ý trên trục số và được sử dụng thì cũng có các khoảng, khoảng số - giá trị x. Thông thường giá trị có thể là bất kỳ giá trị nào, nhưng đây cũng là một khoảng số bao phủ toàn bộ trục số.
Hãy giới thiệu khái niệm khoảng số. Trong số các tập hợp số, tức là các tập hợp có đối tượng là số, cái gọi là khoảng số được phân biệt. Giá trị của chúng là rất dễ hình dung một tập hợp tương ứng với một khoảng số xác định và ngược lại. Do đó, với sự giúp đỡ của họ, việc viết ra nhiều nghiệm của bất đẳng thức sẽ rất thuận tiện. Trong khi đó, tập nghiệm của phương trình sẽ không phải là một khoảng số mà chỉ đơn giản là một số số trên trục số, với các bất đẳng thức, nói cách khác, bất kỳ hạn chế nào đối với giá trị của một biến, các khoảng số sẽ xuất hiện.
Khoảng số là tập hợp tất cả các điểm trên trục số, được giới hạn bởi một số hoặc các số cho trước (các điểm trên trục số).
Một khoảng số thuộc bất kỳ loại nào (một tập hợp các giá trị x được đặt giữa các số nhất định) luôn có thể được biểu thị bằng ba loại ký hiệu toán học: ký hiệu đặc biệt cho các khoảng, chuỗi bất đẳng thức (một bất đẳng thức hoặc bất đẳng thức kép) hoặc về mặt hình học trên một số đường kẻ. Về cơ bản, tất cả các tên gọi này đều có cùng một ý nghĩa. Chúng cung cấp (các) ràng buộc về giá trị của một số đối tượng toán học, biến (một số biến, bất kỳ biểu thức nào có biến, hàm, v.v.).
Từ những điều trên, có thể hiểu rằng vì diện tích của trục số có thể bị giới hạn theo nhiều cách khác nhau (có nhiều loại bất đẳng thức khác nhau) nên các loại khoảng số cũng khác nhau.
Các loại khoảng số
Mỗi loại khoảng số có tên riêng, một ký hiệu đặc biệt. Để biểu thị các khoảng số, dấu ngoặc tròn và vuông được sử dụng. Dấu ngoặc đơn có nghĩa là điểm cuối cùng, điểm xác định ranh giới trên trục số (cuối) của dấu ngoặc đơn này không nằm trong tập hợp các điểm của khoảng này. Dấu ngoặc vuông có nghĩa là phần cuối khớp với khoảng trống. Với vô cực (ở bên này khoảng không bị giới hạn), hãy sử dụng dấu ngoặc đơn. Đôi khi, thay vì dùng dấu ngoặc đơn, bạn có thể viết dấu ngoặc vuông quay ngược lại: (a;b) ⇔]a;b[
| Loại khoảng cách (tên) | Hình ảnh hình học (trên trục số) | chỉ định | Viết bằng cách sử dụng bất đẳng thức (luôn được xâu chuỗi để ngắn gọn) |
|---|---|---|---|
| Khoảng thời gian (mở) | (a;b) | Một< x < b | |
| Đoạn (phần) | a `x ` b | ||
| Nửa quãng (nửa đoạn) | Một< x ≤ b | ||
| Chùm tia | x ≤ b | ||
| Chùm tia mở | (a;+∞) | x>a | |
| Chùm tia mở | (-∞;b) | x< b | |
| Tập hợp tất cả các số (trên một đường tọa độ) | (-∞;+∞) , mặc dù ở đây cần chỉ ra tập sóng mang cụ thể của đại số mà công việc được thực hiện; ví dụ: | x ∈(họ thường nói về tập hợp số thực; để biểu diễn số phức họ sử dụng mặt phẳng phức chứ không phải đường thẳng) | |
| Bình đẳng | hoặc x=a | x = một(trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức không nghiêm ngặt: a ₫ x ₫ a- một khoảng có độ dài 1, trong đó cả hai đầu trùng nhau - một đoạn gồm một điểm) | |
| Bộ trống | ∅ | Tập rỗng cũng là một khoảng - biến x không có giá trị (tập rỗng). Chỉ định: x∈∅⇔x∈( ). |
Tên của các khoảng có thể gây nhầm lẫn: có rất nhiều lựa chọn. Vì vậy, tốt hơn hết là bạn nên chỉ ra chúng một cách chính xác. Trong văn học Anh chỉ có thuật ngữ này được sử dụng khoảng thời gian ("khoảng") - mở, đóng, nửa mở (nửa đóng). Có rất nhiều biến thể.
Các khoảng trong toán học được sử dụng để biểu thị một số lượng rất lớn sự vật: có các khoảng cách ly khi giải phương trình, các khoảng tích phân, các khoảng hội tụ của chuỗi. Khi nghiên cứu một hàm, các khoảng luôn được sử dụng để biểu thị phạm vi giá trị và miền định nghĩa của nó. Khoảng trống là rất quan trọng, ví dụ, có Định lý Bolzano-Cauchy(bạn có thể tìm hiểu thêm trên Wikipedia).
Hệ thống và tập hợp các bất bình đẳng
Hệ bất đẳng thức
Vì vậy, một biến x hoặc giá trị của một biểu thức nào đó có thể được so sánh với một giá trị không đổi nào đó - đây là một bất đẳng thức, nhưng biểu thức này có thể được so sánh với một số đại lượng - một bất đẳng thức kép, một chuỗi các bất đẳng thức, v.v. được hiển thị ở trên - dưới dạng một khoảng và một đoạn. Cả hai đều là hệ bất đẳng thức.
Vì vậy, nếu nhiệm vụ là tìm một tập hợp nghiệm chung cho hai hoặc nhiều bất đẳng thức, thì chúng ta có thể nói về việc giải hệ bất phương trình (giống như với các phương trình - mặc dù chúng ta có thể nói rằng phương trình là một trường hợp đặc biệt).
Khi đó, rõ ràng giá trị của biến được sử dụng trong các bất đẳng thức, tại đó mỗi biến trở thành đúng, được gọi là nghiệm của hệ bất đẳng thức.
Tất cả các bất đẳng thức có trong hệ thống đều được kết hợp bằng dấu ngoặc nhọn - "(". Đôi khi chúng được viết dưới dạng bất bình đẳng kép(như được hiển thị ở trên) hoặc thậm chí chuỗi bất bình đẳng. Ví dụ về một mục điển hình: f x ≤ 30 g x 5 .
Giải pháp cho hệ bất đẳng thức tuyến tính một biến trong trường hợp tổng quát có 4 loại sau: x > a x > b (1) x > a x< b (2) x < a x >b(3)x< a x < b (4) . Здесь предполагается, что b > một.
Bất kỳ hệ thống nào cũng có thể được giải bằng đồ họa bằng cách sử dụng trục số. Nơi nào nghiệm của các bất đẳng thức tạo nên hệ thống giao nhau thì sẽ có nghiệm của chính hệ thống đó.
Hãy để chúng tôi trình bày một giải pháp đồ họa cho từng trường hợp.
(1) x>b (2) aHơn nữa, các hệ bất đẳng thức có thể được phân loại là tương đương nếu chúng có một tập nghiệm chung. Từ đây (như có thể thấy ở trên), các hệ thống phức tạp hơn có thể được đơn giản hóa (ví dụ: sử dụng giải pháp hình học).
Dấu ngoặc nhọn có thể nói một cách đại khái, đại khái là gọi là tương đương với liên từ " VÀ"vì sự bất bình đẳng
Tập hợp các bất đẳng thức
Tuy nhiên, có những trường hợp khác. Vì vậy, ngoài giao điểm của các tập nghiệm, còn có sự kết hợp của chúng: nếu nhiệm vụ là tìm tập hợp tất cả các giá trị như vậy của một biến, mỗi giá trị đó là nghiệm của ít nhất một trong các bất đẳng thức đã cho, thì họ nói rằng cần phải giải tập hợp các bất đẳng thức.
Vì vậy, tất cả các bất đẳng thức trong tổng hợp được thống nhất bởi dấu ngoặc tổng hợp "[". Nếu giá trị của một biến thỏa mãn ít nhất một bất đẳng thức của tổng thể thì biến đó thuộc tập nghiệm của toàn bộ tổng thể. Điều tương tự cũng xảy ra với các phương trình (một lần nữa, chúng có thể được gọi là trường hợp đặc biệt).
Nếu dấu ngoặc nhọn là Và, thì dấu ngoặc tổng hợp, theo điều kiện, theo ngôn ngữ đơn giản, tương đương với liên kết " HOẶC" cho các bất đẳng thức (mặc dù điều này tất nhiên sẽ là logic hoặc, bao gồm cả trường hợp thỏa mãn cả hai điều kiện).
Vì vậy, nghiệm của một tập hợp các bất đẳng thức là giá trị của biến tại đó ít nhất một bất đẳng thức trở thành đúng.
Tập hợp nghiệm, cả tập hợp và hệ bất đẳng thức, có thể được xác định thông qua hai phép toán nhị phân cơ bản để làm việc với các tập hợp - giao và hợp. Tập nghiệm của hệ bất đẳng thức là ngã tư tập hợp các giải pháp cho những bất bình đẳng cấu thành nên nó. Tập nghiệm của một tập bất đẳng thức là sự kết hợp tập hợp các giải pháp cho những bất bình đẳng cấu thành nên nó. Điều này cũng có thể được minh họa. Giả sử chúng ta có một hệ và một tập hợp hai bất đẳng thức. Chúng tôi biểu thị tập hợp các giải pháp đầu tiên MỘT, và biểu thị tập nghiệm của phương trình thứ hai B. Một minh họa tuyệt vời có thể là sơ đồ Euler-Venn.
A ∪ B - nghiệm của hệ bất đẳng thức A ∩ B - nghiệm của hệ bất đẳng thức