8 thuộc tính của hàm. Các tính chất cơ bản của hàm bậc hai

Giới hạn và tính liên tục

bộ

Dưới nhiềuđược hiểu là tập hợp các đối tượng đồng nhất. Các đối tượng tạo thành một tập hợp được gọi là yếu tố hoặc dấu chấm của vô số này. Các bộ được biểu thị bằng chữ in hoa và các phần tử của chúng bằng chữ in thường. Nếu như Một là một phần tử của tập hợp MỘT, thì mục nhập được sử dụng MộtÎ MỘT. Nếu như b không phải là một phần tử của tập hợp MỘT, thì nó được viết như thế này: b Ï MỘT. Tập hợp không chứa một phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng và được ký hiệu như sau: Ø.

Nếu bộ B bao gồm một phần của các phần tử của tập hợp MỘT hoặc trùng với nó thì tập hợp B gọi điện tập hợp con tập hợp và biểu thị BÌ MỘT.

Hai bộ đó được gọi là bình đẳng, nếu chúng bao gồm các phần tử giống nhau.

Sự kết hợp hai bộ MỘT Và B gọi là một bộ C, bao gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong các tập hợp: C=MỘTÈ B.

Bằng cách vượt qua hai bộ MỘT Và B gọi là một bộ C, bao gồm tất cả các phần tử thuộc mỗi bộ sau: C=MỘTÇ B.

Bằng sự khác biệt bộ MỘT Và B gọi là một bộ E MỘT, không thuộc tập hợp B: .

bổ sung bộ MỘTÌ B gọi là một bộ C, bao gồm tất cả các phần tử của tập hợp B, không thuộc về MỘT.

Các tập hợp có các phần tử là số thực được gọi là số:

Đồng thời NÌ ZÌ QÌ R, TÔIÌ R Và R=TÔIÈ Q.

Nhiều X, các phần tử thỏa mãn bất đẳng thức được gọi là đoạn(đoạn) và được ký hiệu là [ Một; b]; bất bình đẳng Một<x<b – khoảng thời gian và được ký hiệu là () ; sự bất bình đẳng và - nửa quãng và được ký hiệu lần lượt là và . Bạn cũng thường xuyên phải xử lý các khoảng vô hạn và nửa khoảng: , , và . Thật thuận tiện khi gọi tất cả trong khoảng thời gian .

Khoảng thời gian, tức là tập hợp các điểm thỏa mãn bất đẳng thức (trong đó ), được gọi là lân cận của điểm Một.

Khái niệm về chức năng. Các thuộc tính cơ bản của hàm

Nếu mỗi phần tử x bộ X một phần tử duy nhất được khớp y bộ Y, sau đó họ nói điều đó trên phim trường Xđược cho chức năng y=f(x). Đồng thời x gọi điện biến độc lập hoặc lý lẽ, MỘT y – biến phụ thuộc hoặc chức năng, MỘT f biểu thị luật tương ứng. Nhiều X gọi điện miền định nghĩa chức năng và một bộ Y – phạm vi giá trị chức năng.

Có một số cách để xác định chức năng.

1) Phương pháp giải tích - hàm số được cho bởi công thức có dạng y=f(x).

2) Phương thức dạng bảng - hàm được xác định bởi một bảng chứa các giá trị đối số và các giá trị hàm tương ứng y=f(x).

3) Phương pháp đồ họa - mô tả đồ thị của hàm số, tức là tập hợp các điểm ( x; y) mặt phẳng tọa độ, các hoành độ biểu thị các giá trị của đối số và các tọa độ biểu thị các giá trị tương ứng của hàm y=f(x).

4) Phương pháp bằng lời nói - một chức năng được mô tả bằng quy tắc cấu tạo của nó. Ví dụ: hàm Dirichlet nhận giá trị 1 nếu x là số hữu tỉ và bằng 0 nếu x- số vô tỉ.

Các thuộc tính chính sau đây của chức năng được phân biệt.

1 Chẵn và lẻ Chức năng y=f(x) được gọi là thậm chí, nếu với bất kỳ giá trị nào x từ miền định nghĩa của nó được thỏa mãn f(–x)=f(x), Và số lẻ, Nếu như f(–x)=–f(x). Nếu không có đẳng thức nào ở trên được thỏa mãn thì y=f(x) được gọi là chức năng chung. Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục Ôi và đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

2 sự đơn điệu Chức năng y=f(x) được gọi là tăng dần (giảm dần) trên khoảng X, nếu giá trị đối số lớn hơn từ khoảng này tương ứng với giá trị hàm lớn hơn (nhỏ hơn). Cho phép x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1. Khi đó hàm số tăng trên khoảng X, Nếu như f(x 2)>f(x 1) và giảm nếu f(x 2)<f(x 1).

Cùng với các hàm tăng và giảm, các hàm không giảm và không tăng cũng được xem xét. Hàm này được gọi không giảm (không tăng), nếu tại x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1 bất đẳng thức đúng f(x 2)≥f(x 1) (f(x 2)≤f(x 1)).

Hàm tăng và hàm giảm cũng như hàm không tăng và không giảm được gọi là hàm đơn điệu.

3 hạn chế Chức năng y=f(x) được gọi là bị chặn trên khoảng X, nếu có một số dương như vậy M>0, cái gì | f(x)|≤M cho bất cứ ai xÎ X. Nếu không thì hàm này được cho là không bị chặn X.

4 tần số Chức năng y=f(x) được gọi là tuần hoàn với một khoảng thời gian T≠0, nếu có x từ miền của hàm f(x+T)=f(x). Trong phần tiếp theo, chúng tôi muốn nói đến chu kỳ là khoảng thời gian dương nhỏ nhất của hàm số.

Hàm này được gọi rõ ràng, nếu nó được cho bởi một công thức có dạng y=f(x). Nếu hàm số được cho bởi phương trình F(x, y)=0, không được phép so với biến phụ thuộc y, thì nó được gọi là ngầm.

Cho phép y=f(x) là hàm của biến độc lập được xác định trên tập hợp X với phạm vi Y. Hãy kết hợp từng cái một yÎ Yý nghĩa duy nhất xÎ X, tại đó f(x)=y.Sau đó, hàm kết quả x=φ (y), được xác định trên tập hợp Y với phạm vi X, gọi điện đảo ngược và được chỉ định y=f –1 (x). Đồ thị của các hàm nghịch đảo lẫn nhau đối xứng qua đường phân giác của phần tư tọa độ thứ nhất và thứ ba.

Hãy để chức năng y=f(bạn) là hàm của một biến bạn, được xác định trên tập hợp bạn với phạm vi Y, và biến bạn lần lượt là một chức năng bạn=φ (x), được xác định trên tập hợp X với phạm vi bạn. Sau đó được đưa ra trên trường quay X chức năng y=f(φ (x)) được gọi là hàm phức tạp(sự kết hợp của các hàm, sự chồng chất của các hàm, hàm của một hàm).

Các hàm cơ bản

Các chức năng cơ bản chính bao gồm:

chức năng điện y=x n; y=x–n Và y=x 1/ N;
hàm số mũ y=một x;
hàm logarit y= nhật ký một x;
hàm lượng giác y= tội lỗi x, y= cos x, y=tg x Và y=ctg x;
hàm lượng giác nghịch đảo y= arcsin x, y=arccos x, y=arctg x Và y=arcctg x.

Từ các hàm cơ bản cơ bản, có thể thu được các hàm mới bằng cách sử dụng các phép toán đại số và xếp chồng các hàm.

Các hàm được xây dựng từ các hàm cơ bản cơ bản sử dụng một số hữu hạn các phép toán đại số và một số hữu hạn các phép toán xếp chồng được gọi là tiểu học.

đại số là một hàm trong đó một số hữu hạn các phép toán đại số được thực hiện trên đối số. Các hàm đại số bao gồm:

· toàn bộ hàm hữu tỷ (đa thức hoặc đa thức)

· hàm phân số hữu tỷ (tỷ lệ của hai đa thức)

· hàm vô tỷ (nếu các phép toán trên đối số có chứa phần gốc).

Mọi hàm phi đại số đều được gọi là siêu việt. Các hàm siêu việt bao gồm các hàm số mũ, logarit, lượng giác và lượng giác nghịch đảo.

Cung cấp dữ liệu tham khảo về hàm số mũ - các thuộc tính, đồ thị và công thức cơ bản. Các chủ đề sau đây được xem xét: miền định nghĩa, tập hợp các giá trị, tính đơn điệu, hàm nghịch đảo, đạo hàm, tích phân, khai triển chuỗi lũy thừa và biểu diễn bằng số phức.

Sự định nghĩa

hàm số mũ là dạng tổng quát của tích của n số bằng a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
của tập số thực x:
y (x) = a x.
Ở đây a là một số thực cố định, được gọi là cơ sở của hàm số mũ.
Hàm số mũ cơ số a còn được gọi là số mũ cơ sở a.

Việc tổng quát hóa được thực hiện như sau.
Đối với x tự nhiên = 1, 2, 3,... , hàm số mũ là tích của x thừa số:
.
Hơn nữa, nó có các thuộc tính (1,5-8) (), tuân theo các quy tắc nhân số. Đối với giá trị 0 và âm của số nguyên, hàm số mũ được xác định bằng các công thức (1.9-10). Đối với các giá trị phân số x = m/n số hữu tỉ, , được xác định theo công thức (1.11). Đối với real , hàm số mũ được định nghĩa là giới hạn của chuỗi:
,
đâu là một dãy số hữu tỉ tùy ý hội tụ về x: .
Với định nghĩa này, hàm số mũ được xác định cho tất cả và thỏa mãn các thuộc tính (1,5-8), như đối với x tự nhiên.

Một công thức toán học chặt chẽ về định nghĩa của hàm số mũ và cách chứng minh các tính chất của nó được đưa ra trên trang “Định nghĩa và chứng minh các tính chất của hàm số mũ”.

Tính chất của hàm số mũ

Hàm mũ y = a x có các tính chất sau trên tập số thực ():
(1.1) xác định và liên tục, với , với tất cả ;
(1.2) cho một ≠ 1 có nhiều ý nghĩa;
(1.3) tăng nghiêm ngặt tại , giảm nghiêm ngặt tại ,
không đổi tại ;
(1.4) Tại ;
Tại ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Các công thức hữu ích khác.
.
Công thức chuyển đổi sang hàm số mũ có cơ số mũ khác:

Khi b = e, ta thu được biểu thức của hàm mũ thông qua hàm mũ:

Giá trị riêng tư

, , , , .

Hình vẽ thể hiện đồ thị của hàm số mũ
y (x) = a x
cho bốn giá trị cơ sở bằng cấp: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 và một = 1/8 . 1 Có thể thấy rằng đối với a > 0 < a < 1 hàm số mũ tăng đơn điệu. Cơ sở của độ a càng lớn thì sự tăng trưởng càng mạnh. Tại

hàm số mũ giảm đơn điệu. Số mũ a càng nhỏ thì mức giảm càng mạnh.

Tăng dần, giảm dần

	Hàm mũ của hàm số này là đơn điệu và do đó không có cực trị. Các thuộc tính chính của nó được trình bày trong bảng. 1	y = a x , a > 0 < a < 1
y = rìu,	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Miền định nghĩa	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Phạm vi giá trị	Đơn điệu	tăng đơn điệu
giảm đơn điệu 0	Số không, y =	Số không, y =
KHÔNG 0	Điểm chặn với trục tọa độ, x = 1	Điểm chặn với trục tọa độ, x = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

y=

Hàm nghịch đảo

Nghịch đảo của hàm số mũ cơ số a là logarit cơ số a.
.
Nếu , thì
.

Nếu , thì

Đạo hàm của hàm số mũ

Để đạo hàm một hàm số mũ, cơ số của nó phải quy về số e, áp dụng bảng đạo hàm và quy tắc đạo hàm hàm số phức.
Để làm được điều này bạn cần sử dụng tính chất logarit
.

và công thức từ bảng đạo hàm:
.
Cho hàm số mũ:

Chúng tôi mang nó đến cơ sở e:

Hãy áp dụng quy tắc lấy vi phân của hàm số phức. Để làm điều này, hãy giới thiệu biến

Sau đó
.
Từ bảng đạo hàm ta có (thay biến x bằng z):
.
Vì là một hằng số nên đạo hàm của z theo x bằng
.

Theo quy tắc đạo hàm của hàm phức:

.
Đạo hàm của hàm số mũ
.
Đạo hàm bậc n:

Công thức dẫn xuất > > >

Ví dụ về đạo hàm hàm số mũ
Điểm chặn với trục tọa độ, x = Tìm đạo hàm của một hàm số

3 5x

Giải pháp
Hãy biểu diễn cơ số của hàm số mũ thông qua số e.
Hãy áp dụng quy tắc lấy vi phân của hàm số phức. Để làm điều này, hãy giới thiệu biến
.
3 = e ln 3
.
Hãy áp dụng quy tắc lấy vi phân của hàm số phức. Để làm điều này, hãy giới thiệu biến

Nhập một biến
.
Từ bảng đạo hàm ta tìm được: Từ 5ln 3
.
là một hằng số thì đạo hàm của z theo x bằng:
.

Theo quy tắc đạo hàm của hàm phức, ta có:

Trả lời

Biểu thức sử dụng số phức

Xét hàm số phức z:
f (z) = az
trong đó z = x + iy; 2 = - 1 .
Tôi
Chúng ta hãy biểu thị hằng số phức a theo mô đun r và đối số φ:
Hãy áp dụng quy tắc lấy vi phân của hàm số phức. Để làm điều này, hãy giới thiệu biến

.
a = r e i φ
φ = φ Đối số φ không được xác định duy nhất. Nói chung,
0 + 2 πn trong đó n là một số nguyên. Do đó hàm f(z)
.

cũng không rõ ràng. Ý nghĩa chính của nó thường được xem xét

Mở rộng loạt
Văn học đã qua sử dụng:

TRONG. Bronstein, K.A. Semendyaev, Sổ tay toán học dành cho kỹ sư và sinh viên đại học, “Lan”, 2009. Sự định nghĩa

: Hàm số là sự tương ứng liên kết mỗi số x từ một tập hợp nhất định với một số y.

Chỉ định:

trong đó x là biến độc lập (đối số), y là biến phụ thuộc (hàm). Tập hợp các giá trị của x được gọi là miền xác định của hàm số (ký hiệu là D(f)). Tập hợp các giá trị của y được gọi là phạm vi giá trị của hàm (ký hiệu là E(f)). Đồ thị của hàm số là tập hợp các điểm trong mặt phẳng có tọa độ (x, f(x))

Các phương pháp xác định hàm.
phương pháp phân tích (sử dụng công thức toán học);
phương pháp bảng (dùng bảng);
phương pháp miêu tả (dùng miêu tả bằng lời);

phương pháp đồ họa (dùng đồ thị).

Các tính chất cơ bản của hàm.

1. Chẵn và lẻ
Một hàm được gọi ngay cả khi
– miền định nghĩa của hàm số đối xứng quanh 0

f(-x) = f(x) Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục

0 năm
Hàm được gọi là lẻ nếu
– miền định nghĩa của hàm số đối xứng quanh 0 – với mọi x từ miền định nghĩa

f(-x) = –f(x)

Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

2. Tần số Hàm số f(x) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ nếu với bất kỳ x nào trong miền định nghĩa .

f(x) = f(x+T) = f(x-T)

Đồ thị của hàm tuần hoàn bao gồm các đoạn giống hệt nhau lặp lại không giới hạn.

3. Tính đơn điệu (tăng, giảm)

Hàm số f(x) đang tăng trên tập P nếu với mọi x 1 và x 2 từ tập hợp này sao cho x 1

Hàm số f(x) giảm trên tập P nếu với bất kỳ x 1 và x 2 nào từ tập hợp này, sao cho x 1 f(x 2) .

4. Cực đoan

Điểm X max được gọi là điểm cực đại của hàm f(x) nếu với mọi x từ một lân cận nào đó của X max thì bất đẳng thức f(x) f(X max) được thỏa mãn.

Giá trị Y max = f(X max) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm này.
X max – điểm tối đa

Ở mức tối đa - tối đa

Giá trị Y min =f(X min) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm này.

X phút – điểm tối thiểu
Y phút – tối thiểu

X min , X max – điểm cực trị
Y min , Y max – cực trị.

5. Số 0 của hàm

Số 0 của hàm y = f(x) là giá trị của đối số x mà tại đó hàm trở thành 0: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 – các số 0 của hàm y = f(x).

Nhiệm vụ và bài kiểm tra về chủ đề "Tính chất cơ bản của hàm"

Thuộc tính hàm - Hàm số lớp 9
Bài học: 2 Bài tập: 11 Bài kiểm tra: 1
Tính chất của logarit - Hàm số mũ và logarit lớp 11
Bài học: 2 Bài tập: 14 Bài kiểm tra: 1
Hàm căn bậc hai, tính chất và đồ thị của nó - Hàm căn bậc hai. Tính chất căn bậc hai lớp 8
Bài học: 1 Bài tập: 9 Bài kiểm tra: 1
Hàm lũy thừa, tính chất và đồ thị của chúng - Độ và rễ. hàm số lớp 11
Bài học: 4 Bài tập: 14 Bài kiểm tra: 1
Chức năng - Các chủ đề quan trọng ôn thi Thống nhất môn Toán
Nhiệm vụ: 24

Sau khi nghiên cứu chủ đề này, bạn sẽ có thể tìm thấy miền định nghĩa của các hàm số khác nhau, xác định khoảng đơn điệu của hàm số bằng cách sử dụng đồ thị và kiểm tra hàm số chẵn và số lẻ. Hãy xem xét việc giải quyết các vấn đề tương tự bằng cách sử dụng các ví dụ sau.

Ví dụ.

1. Tìm miền định nghĩa của hàm số.

Giải pháp: miền định nghĩa của hàm được tìm thấy từ điều kiện

Số không của hàm
Số 0 của hàm là giá trị X, tại đó hàm số chuyển sang 0, nghĩa là f(x)=0.

Điểm 0 là giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ồ.

Chức năng tương đương
Một hàm được gọi ngay cả khi đối với bất kỳ X từ miền định nghĩa, đẳng thức f(-x) = f(x) đúng

Hàm chẵn đối xứng qua trục Ồ

Hàm chẵn lẻ lẻ
Một hàm được gọi là lẻ nếu với bất kỳ X từ miền định nghĩa, đẳng thức f(-x) = -f(x) đúng.

Hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.
Hàm số không chẵn cũng không lẻ được gọi là hàm tổng quát.

Chức năng tăng
Hàm f(x) được cho là tăng nếu giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm, tức là.

Hàm giảm dần
Hàm f(x) được gọi là giảm nếu giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm, tức là.

Các khoảng mà hàm số chỉ giảm hoặc chỉ tăng được gọi là khoảng thời gian đơn điệu. Hàm số f(x) có 3 khoảng đơn điệu:

Tìm các khoảng đơn điệu bằng cách sử dụng dịch vụ Khoảng tăng và giảm hàm

Tối đa cục bộ
chấm x 0được gọi là điểm cực đại địa phương nếu với bất kỳ X từ vùng lân cận của một điểm x 0 bất đẳng thức sau đúng: f(x 0) > f(x)

Tối thiểu địa phương
chấm x 0được gọi là điểm cực tiểu cục bộ nếu với bất kỳ X từ vùng lân cận của một điểm x 0 bất đẳng thức giữ: f(x 0)< f(x).

Điểm cực đại cục bộ và điểm cực tiểu cục bộ được gọi là điểm cực trị cục bộ.

điểm cực trị cục bộ.