Giải hầu hết các bài toán ở trường phổ thông đòi hỏi phải có kiến thức về tỉ lệ. Kỹ năng đơn giản này sẽ giúp bạn không chỉ thực hiện các bài tập phức tạp trong sách giáo khoa mà còn đi sâu vào bản chất của khoa học toán học. Làm thế nào để thực hiện một tỷ lệ? Hãy tìm ra nó ngay bây giờ.
Ví dụ đơn giản nhất là bài toán đã biết ba tham số và cần tìm tham số thứ tư. Tất nhiên, tỷ lệ là khác nhau, nhưng thường thì bạn cần tìm một số số bằng cách sử dụng tỷ lệ phần trăm. Ví dụ, cậu bé có tổng cộng mười quả táo. Anh đưa phần thứ tư cho mẹ mình. Cậu bé còn lại bao nhiêu quả táo? Đây là ví dụ đơn giản nhất cho phép bạn tạo tỷ lệ. Điều chính là để làm điều này. Ban đầu có mười quả táo. Hãy để nó là 100%. Chúng tôi đã đánh dấu tất cả những quả táo của anh ấy. Anh ấy đã cho một phần tư. 1/4=25/100. Điều này có nghĩa là anh ấy đã rời đi: 100% (ban đầu) - 25% (anh ấy đã cho) = 75%. Con số này cho thấy tỷ lệ phần trăm của số lượng trái cây còn lại so với số lượng có sẵn ban đầu. Bây giờ chúng ta có ba số mà chúng ta có thể giải được tỷ lệ. 10 quả táo - 100%, X táo - 75%, trong đó x là lượng trái cây cần thiết. Làm thế nào để thực hiện một tỷ lệ? Bạn cần hiểu nó là gì. Về mặt toán học nó trông như thế này. Dấu bằng được đặt để bạn hiểu.
10 quả táo = 100%;
x táo = 75%.
Hóa ra 10/x = 100%/75. Đây là tài sản chính của tỷ lệ. Xét cho cùng, x càng lớn thì tỷ lệ phần trăm của số này so với số ban đầu càng lớn. Chúng ta giải tỷ lệ này và tìm được x = 7,5 quả táo. Chúng tôi không biết tại sao cậu bé lại quyết định cho đi một số tiền nguyên. Bây giờ bạn biết làm thế nào để thực hiện một tỷ lệ. Điều chính là tìm ra hai mối quan hệ, một trong số đó chứa ẩn số chưa biết.
Việc giải một tỷ lệ thường chỉ đơn giản là phép nhân rồi chia. Nhà trường không giải thích cho trẻ tại sao lại như vậy. Mặc dù điều quan trọng là phải hiểu rằng các mối quan hệ tỷ lệ là kinh điển toán học, bản chất của khoa học. Để giải các tỷ lệ, bạn cần có khả năng xử lý phân số. Ví dụ: bạn thường cần chuyển đổi phần trăm thành phân số. Tức là ghi 95% sẽ không được. Và nếu bạn viết ngay 95/100, thì bạn có thể giảm đáng kể mà không cần bắt đầu phép tính chính. Cần phải nói ngay rằng nếu tỷ lệ của bạn có hai ẩn số thì không thể giải được. Không có giáo sư sẽ giúp bạn ở đây. Và nhiệm vụ của bạn rất có thể có một thuật toán phức tạp hơn để thực hiện các hành động chính xác.
Hãy xem một ví dụ khác không có tỷ lệ phần trăm. Một người lái xe ô tô mua 5 lít xăng với giá 150 rúp. Anh nghĩ xem mình sẽ phải trả bao nhiêu cho 30 lít nhiên liệu. Để giải quyết vấn đề này, hãy biểu thị bằng x số tiền cần thiết. Bạn có thể tự mình giải quyết vấn đề này rồi kiểm tra đáp án. Nếu bạn chưa hiểu cách tạo tỷ lệ, thì hãy xem. 5 lít xăng là 150 rúp. Như trong ví dụ đầu tiên, chúng ta viết 5l - 150r. Bây giờ chúng ta hãy tìm số thứ ba. Tất nhiên, đây là 30 lít. Đồng ý rằng một cặp 30 l - x rúp là phù hợp trong tình huống này. Hãy chuyển sang ngôn ngữ toán học.
5 lít - 150 rúp;
30 lít - x rúp;
Hãy giải tỷ lệ này:
x = 900 rúp.
Thế là chúng tôi quyết định. Trong nhiệm vụ của bạn, đừng quên kiểm tra tính đầy đủ của câu trả lời. Điều đó xảy ra là nếu quyết định sai lầm, ô tô sẽ đạt tốc độ phi thực tế là 5000 km một giờ, v.v. Bây giờ bạn biết làm thế nào để thực hiện một tỷ lệ. Bạn cũng có thể giải quyết nó. Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp về điều này.
Tỷ lệ dịch từ tiếng Latin (proportio) có nghĩa là tỷ lệ, độ đều nhau của các bộ phận, tức là sự bằng nhau của hai tỷ lệ. Khả năng tính toán tỷ lệ thường rất cần thiết trong các tình huống hàng ngày.
Hướng dẫn
Một ví dụ đơn giản khi bạn cần áp dụng kiến thức về giải tỷ lệ: cách tính 13% tiền lương của bạn - tỷ lệ phần trăm tương tự được chuyển vào Quỹ hưu trí.
Viết hai dòng tỉ lệ. Đầu tiên, hãy chỉ ra tổng số tiền lương, đại diện cho 100%, ví dụ: 15.000 (rúp) = 100%.
Ở dòng bên dưới, hãy cho biết số tiền cần tính bằng dấu “X”, bằng 13%, tức là X = 13%.
Tính chất chính của tỷ lệ là: tích các số hạng cực trị của một tỷ lệ bằng tích các số hạng ở giữa của nó. Điều này có nghĩa là nếu bạn nhân 15.000 với 13 thì số thu được sẽ bằng giá trị của X nhân với 100. Tức là nhân các số hạng của tỷ lệ theo chiều ngang, bạn sẽ nhận được cùng một giá trị.
Để tính X cuối cùng bằng bao nhiêu, hãy nhân 15.000 với 13 và chia cho 100. Bạn sẽ nhận được 13% tiền lương của mình là 1.950 rúp, do đó bạn nhận được 15.000 - 1.950 = 13.050 rúp tiền lương ròng.
Nếu bạn cần lấy 100 gam đường bột cho một chiếc bánh và bạn biết rằng 140 gam vừa với một mặt kính, hãy tính theo tỷ lệ sau:
Tính X bằng bao nhiêu.
X = 100 x 1/140 = 0,7
Tức là bạn sẽ cần 0,7 cốc đường bột.
Sẽ xảy ra trường hợp bạn cần tính tổng, chỉ biết phần trăm. Ví dụ, bạn biết rằng 21 người tại doanh nghiệp, chiếm 5% tổng số nhân viên, có trình độ trung cấp chuyên ngành. Lập tỷ lệ để tính tổng số lao động: X (người) = 100%, 21 = 5%. 21 x 100/5 = 420 người.
Do đó, khi viết dữ liệu có sẵn thành hai dòng, giá trị của số hạng chưa biết phải được tìm như sau: nhân với nhau các số hạng có tỷ lệ bên cạnh và phía trên số chưa biết và chia số kết quả cho giá trị theo đường chéo từ những điều chưa biết.
A = B x C / D- B = A x D / C- C = A x D / B- D = C x B / A
Trong video bài học trước chúng ta đã xem xét cách giải các bài toán liên quan đến tỷ lệ phần trăm bằng cách sử dụng tỷ lệ. Sau đó, tùy theo điều kiện của bài toán, chúng ta cần tìm giá trị của đại lượng này hoặc đại lượng khác.
Lần này các giá trị ban đầu và cuối cùng đã được trao cho chúng tôi. Vì vậy, các bài toán sẽ yêu cầu bạn phải tìm tỷ lệ phần trăm. Chính xác hơn là giá trị này hoặc giá trị kia đã thay đổi bao nhiêu phần trăm. Hãy thử nó.
Nhiệm vụ. Đôi giày thể thao có giá 3.200 rúp. Sau khi tăng giá, chúng bắt đầu có giá 4.000 rúp. Giá giày thể thao đã tăng bao nhiêu phần trăm?
Vì vậy, chúng tôi giải quyết thông qua tỷ lệ. Bước đầu tiên - giá ban đầu là 3.200 rúp. Vì vậy, 3200 rúp là 100%.
Ngoài ra, chúng tôi đã đưa ra mức giá cuối cùng - 4000 rúp. Đây là một tỷ lệ phần trăm chưa biết, vì vậy hãy gọi nó là x. Chúng ta có được cách xây dựng sau:
3200 — 100%
4000 - x%
Vâng, tình trạng của vấn đề được viết ra. Hãy làm một tỷ lệ:
Phân số bên trái triệt tiêu hoàn toàn 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Ngoài ra, bạn có thể rút ngắn nó đi 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Ta được tỉ lệ sau:
Hãy sử dụng tính chất cơ bản của tỷ lệ: tích của các số hạng cực trị bằng tích của các số hạng ở giữa. Chúng tôi nhận được:
8 x = 100 10;
8x = 1000.
Đây là một phương trình tuyến tính thông thường. Từ đây tìm được x:
x = 1000: 8 = 125
Vì vậy, chúng ta có tỷ lệ phần trăm cuối cùng x = 125. Nhưng liệu con số 125 có phải là giải pháp cho vấn đề không? Không, trong mọi trường hợp! Bởi vì nhiệm vụ yêu cầu tìm hiểu xem giá giày thể thao đã tăng bao nhiêu phần trăm.
Bằng bao nhiêu phần trăm - điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm sự thay đổi:
∆ = 125 − 100 = 25
Chúng tôi đã nhận được 25% - đó là mức giá ban đầu đã tăng lên. Đây là câu trả lời: 25.
Bài B2 về tỷ lệ phần trăm số 2
Hãy chuyển sang nhiệm vụ thứ hai.
Nhiệm vụ. Chiếc áo có giá 1800 rúp. Sau khi giảm giá, nó bắt đầu có giá 1.530 rúp. Giá chiếc áo đó giảm đi bao nhiêu phần trăm?
Hãy dịch điều kiện sang ngôn ngữ toán học. Giá gốc là 1800 rúp - đây là 100%. Và giá cuối cùng là 1.530 rúp - chúng tôi biết điều đó, nhưng chúng tôi không biết nó chiếm bao nhiêu phần trăm so với giá trị ban đầu. Do đó, chúng tôi ký hiệu nó bằng x. Chúng ta có được cách xây dựng sau:
1800 — 100%
1530 - x%
Dựa trên hồ sơ nhận được, chúng tôi thực hiện tỷ lệ:
Để đơn giản hóa các phép tính tiếp theo, hãy chia cả hai vế của phương trình này cho 100. Nói cách khác, chúng ta sẽ gạch bỏ hai số 0 khỏi tử số của phân số bên trái và bên phải. Chúng tôi nhận được:
Bây giờ chúng ta hãy sử dụng lại tính chất cơ bản của tỷ lệ: tích của các số hạng cực trị bằng tích của các số hạng ở giữa.
18 x = 1530 1;
18x = 1530.
Tất cả những gì còn lại là tìm x:
x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
Chúng ta nhận được x = 85. Nhưng, như trong bài toán trước, bản thân con số này không phải là đáp án. Hãy quay trở lại tình trạng của chúng ta. Bây giờ chúng ta biết rằng giá mới thu được sau khi giảm là 85% so với giá cũ. Và để tìm ra những thay đổi, bạn cần từ mức giá cũ, tức là. 100%, trừ đi giá mới, tức là. 85%. Chúng tôi nhận được:
∆ = 100 − 85 = 15
Con số này sẽ là câu trả lời: Xin lưu ý: chính xác là 15 và không có trường hợp nào là 85. Chỉ vậy thôi! Vấn đề đã được giải quyết.
Những học sinh chú ý có thể sẽ hỏi: tại sao trong bài toán đầu tiên, khi tìm hiệu, chúng ta lại trừ số ban đầu cho số cuối cùng, còn ở bài toán thứ hai thì làm ngược lại: từ 100% ban đầu chúng ta trừ 85% cuối cùng?
Chúng ta hãy rõ ràng về điểm này. Về mặt hình thức, trong toán học, sự thay đổi về số lượng luôn là hiệu giữa giá trị cuối cùng và giá trị ban đầu. Nói cách khác, trong bài toán thứ hai lẽ ra chúng ta không phải nhận được 15 mà là −15.
Tuy nhiên, điểm trừ này trong mọi trường hợp không nên được đưa vào câu trả lời vì nó đã được tính đến trong các điều kiện của bài toán ban đầu. Nó nói trực tiếp về việc giảm giá. Và mức giảm giá 15% cũng tương đương với mức tăng giá -15%. Đó là lý do tại sao trong lời giải và câu trả lời cho vấn đề, chỉ cần viết 15 - không có bất kỳ điểm trừ nào là đủ.
Vậy đó, tôi hy vọng chúng ta đã giải quyết được việc này. Điều này kết thúc bài học của chúng tôi cho ngày hôm nay. Hẹn gặp lại!
Một phần trăm là một phần trăm của một con số. Khái niệm này được sử dụng khi cần biểu thị mối quan hệ của một phần với tổng thể. Ngoài ra, một số giá trị có thể được so sánh dưới dạng phần trăm, nhưng hãy đảm bảo chỉ ra phần trăm được tính tương ứng với số nguyên nào. Ví dụ: chi phí cao hơn thu nhập 10% hoặc giá vé tàu đã tăng 15% so với mức thuế năm ngoái. Số phần trăm trên 100 có nghĩa là tỷ lệ lớn hơn tổng thể, như thường thấy trong các phép tính thống kê.
Lãi suất là một khái niệm tài chính là khoản thanh toán mà người đi vay phải trả cho người cho vay để cung cấp tiền cho mục đích sử dụng tạm thời. Trong kinh doanh, cụm từ “làm việc vì lợi ích” rất phổ biến. Trong trường hợp này, được hiểu là mức thù lao phụ thuộc vào lợi nhuận hoặc doanh thu (hoa hồng). Không thể làm được nếu không tính toán tỷ lệ phần trăm trong kế toán, kinh doanh và ngân hàng. Để đơn giản hóa việc tính toán, một công cụ tính lãi suất trực tuyến đã được phát triển.
Máy tính cho phép bạn tính toán:
- Phần trăm của giá trị đã đặt.
- Tỷ lệ phần trăm của số tiền (thuế trên tiền lương thực tế).
- Tỷ lệ chênh lệch (VAT từ ).
- Và nhiều hơn nữa...
Khi giải bài toán bằng máy tính tỷ lệ phần trăm, bạn cần thao tác với ba giá trị, một trong số đó không xác định (một biến được tính bằng các tham số đã cho). Kịch bản tính toán nên được lựa chọn dựa trên các điều kiện đã chỉ định.
Ví dụ về tính toán
1. Tính phần trăm của một số
Để tìm một số bằng 25% của 1.000 rúp, bạn cần:
- 1.000×25/100 = 250 chà.
- Hoặc 1.000 × 0,25 = 250 rúp.
Để tính toán bằng máy tính thông thường, bạn cần nhân 1.000 với 25 và nhấn nút %.
2. Định nghĩa số nguyên (100%)
Chúng tôi biết rằng 250 chà. là 25% của một số nhất định. Làm thế nào để tính toán nó?
Hãy thực hiện một tỷ lệ đơn giản:
- 250 chà. - 25%
- Y chà. - 100%
- Y = 250 × 100/25 = 1.000 chà.
3. Tỷ lệ phần trăm giữa hai số
Giả sử lợi nhuận dự kiến là 800 rúp, nhưng chúng tôi đã nhận được 1.040 rúp. Tỷ lệ phần trăm vượt quá là bao nhiêu?
Tỷ lệ sẽ như thế này:
- 800 chà. - 100%
- 1.040 RUB – Y%
- Y = 1.040 × 100/800 = 130%
Vượt kế hoạch lợi nhuận là 30%, tức là hoàn thành 130%.
4. Tính toán không dựa trên 100%
Ví dụ: một cửa hàng gồm ba gian hàng tiếp nhận 100% khách hàng. Ở quầy tạp hóa - 800 người (67%), ở quầy hóa chất gia dụng - 55. Bao nhiêu phần trăm khách hàng đến quầy hóa chất gia dụng?
Tỷ lệ:
- 800 lượt khách – 67%
- 55 khách truy cập - Y%
- Y = 55 × 67/800 = 4,6%
5. Số này nhỏ hơn số kia bao nhiêu phần trăm?
Giá của sản phẩm giảm từ 2.000 xuống 1.200 rúp. Giá của sản phẩm đã giảm bao nhiêu phần trăm hoặc 1.200 nhỏ hơn 2.000 bao nhiêu phần trăm?
- 2 000 - 100 %
- 1.200 – Y%
- Y = 1.200 × 100 / 2.000 = 60% (60% so với hình 1.200 từ 2.000)
- 100% − 60% = 40% (số 1.200 nhỏ hơn 40% so với 2.000)
6. Số này lớn hơn số kia bao nhiêu phần trăm?
Mức lương tăng từ 5.000 lên 7.500 rúp. Lương tăng bao nhiêu phần trăm? 7.500 lớn hơn 5.000 là bao nhiêu phần trăm?
- 5.000 chà. - 100%
- 7.500 chà. - Y%
- Y = 7.500 × 100 / 5.000 = 150% (với số 7.500 là 150% của 5.000)
- 150% − 100% = 50% (số 7.500 lớn hơn 5.000 50%)
7. Tăng số lượng theo một tỷ lệ nhất định
Giá của sản phẩm S là trên 1.000 rúp. bằng 27%. Giá của sản phẩm là bao nhiêu?
- 1.000 chà. – 100%
- S - 100% + 27%
- S = 1.000 × (100 + 27) / 100 = 1.270 chà.
Máy tính trực tuyến giúp việc tính toán trở nên đơn giản hơn nhiều: bạn cần chọn loại phép tính, nhập số và tỷ lệ phần trăm (trong trường hợp tính tỷ lệ phần trăm, số thứ hai), cho biết độ chính xác của phép tính và đưa ra lệnh để bắt đầu hành động.
Hôm nay chúng tôi tiếp tục một loạt video bài học dành riêng cho các bài toán liên quan đến tỷ lệ phần trăm trong Kỳ thi Thống nhất Toán học. Đặc biệt, chúng ta sẽ phân tích hai bài toán rất thực tế trong Kỳ thi Thống nhất và một lần nữa thấy tầm quan trọng của việc đọc kỹ các điều kiện của bài và giải thích nó một cách chính xác.
Vì vậy, nhiệm vụ đầu tiên:
Nhiệm vụ. Chỉ có 95% và 37.500 học sinh tốt nghiệp ở thành phố giải đúng bài B1. Có bao nhiêu người giải đúng bài B1?
Thoạt nhìn, có vẻ như đây là một loại nhiệm vụ nào đó dành cho giới hạn. Giống:
Nhiệm vụ. Có 7 con chim đang đậu trên cây. 3 người trong số họ đã bay đi. Có bao nhiêu con chim đã bay đi?
Tuy nhiên, chúng ta hãy vẫn tính. Chúng ta sẽ giải bằng phương pháp tỉ lệ. Vì vậy, chúng tôi có 37.500 sinh viên - đó là 100%. Và cũng có một số x học sinh nhất định, chiếm 95% số học sinh may mắn giải đúng bài B1. Hãy viết điều này ra:
37 500 — 100%
X - 95%
Bạn cần thực hiện một tỷ lệ và tìm x. Chúng tôi nhận được:
Chúng ta có một tỷ lệ cổ điển trước mắt, nhưng trước khi sử dụng tính chất chính và nhân nó theo chiều ngang, tôi đề xuất chia cả hai vế của phương trình cho 100. Nói cách khác, hãy gạch bỏ hai số 0 trong tử số của mỗi phân số. Hãy viết lại phương trình kết quả:
Theo tính chất cơ bản của tỷ lệ, tích của các số hạng cực trị bằng tích của các số hạng ở giữa. Nói cách khác:
x = 375 95
Đây là những con số khá lớn nên bạn sẽ phải nhân chúng trong một cột. Hãy để tôi nhắc bạn rằng việc sử dụng máy tính trong Kỳ thi Thống nhất môn toán bị nghiêm cấm. Chúng tôi nhận được:
x = 35.625
Tổng số câu trả lời: 35.625 Đây chính xác là có bao nhiêu người trong số 37.500 người ban đầu đã giải đúng câu B1. Như bạn có thể thấy, những con số này khá gần nhau, điều này có lý vì 95% cũng rất gần với 100%. Nói chung, vấn đề đầu tiên đã được giải quyết. Hãy chuyển sang cái thứ hai.
Vấn đề lãi suất số 2
Nhiệm vụ. Chỉ có 80% trong số 45.000 học sinh tốt nghiệp của thành phố giải đúng bài B9. Có bao nhiêu người giải sai bài B9?
Chúng tôi giải quyết theo cùng một sơ đồ. Ban đầu có 45.000 sinh viên tốt nghiệp - đó là 100%. Sau đó, từ con số này, bạn cần chọn x sinh viên tốt nghiệp, những người sẽ chiếm 80% số lượng ban đầu. Chúng tôi thực hiện một tỷ lệ và giải quyết:
45 000 — 100%
x - 80%
Hãy giảm một số 0 trong tử số và mẫu số của phân số thứ 2. Chúng ta hãy viết lại kết quả xây dựng một lần nữa:
Tính chất chính của tỉ lệ: tích của các số hạng cực trị bằng tích của các số hạng ở giữa. Chúng tôi nhận được:
45.000 8 = x 10
Đây là phương trình tuyến tính đơn giản nhất. Hãy biểu thị biến x từ nó:
x = 45.000 8:10
Chúng ta giảm 45.000 và 10 xuống một số 0, mẫu số vẫn là một, vì vậy tất cả những gì chúng ta cần là tìm giá trị của biểu thức:
x = 4500 8
Tất nhiên, bạn có thể làm tương tự như lần trước và nhân các số này trong một cột. Nhưng đừng làm phức tạp cuộc sống của chúng ta, và thay vì nhân trong một cột, hãy phân tích 8 thành thừa số:
x = 4500 2 2 2 = 9000 2 2 = 36.000
Và bây giờ - điều quan trọng nhất mà tôi đã nói ở đầu bài học. Bạn cần phải đọc kỹ các điều kiện nhiệm vụ!
Chúng ta cần biết điều gì? Có bao nhiêu người giải được bài B9 sai. Và chúng tôi vừa tìm thấy những người quyết định đúng. Những con số này hóa ra là 80% số lượng ban đầu, tức là. 36.000 Điều này có nghĩa là để có được câu trả lời cuối cùng, chúng ta cần trừ đi 80% số học sinh ban đầu. Chúng tôi nhận được:
45 000 − 36 000 = 9000
Số kết quả 9000 là đáp án của bài toán. Tổng cộng, ở thành phố này, trong số 45.000 học sinh tốt nghiệp thì có 9.000 người giải sai bài B9. Thế là xong, vấn đề đã được giải quyết.