Cấp độ đầu vào

So sánh các con số. Hướng dẫn toàn diện (2019)

Khi giải các phương trình, bất phương trình cũng như các bài toán với môđun, bạn cần đặt các nghiệm tìm được trên trục số. Như bạn đã biết, rễ được tìm thấy có thể khác nhau. Chúng có thể như thế này: , hoặc chúng có thể như thế này: , .

Theo đó, nếu các con số không hợp lý mà vô tỷ (nếu bạn quên chúng là gì, hãy xem chủ đề) hoặc phức tạp biểu thức toán học, thì việc đặt chúng trên trục số là rất khó khăn. Hơn nữa, bạn không thể sử dụng máy tính trong khi thi và các phép tính gần đúng không đảm bảo 100% rằng số này nhỏ hơn số khác (điều gì sẽ xảy ra nếu có sự khác biệt giữa các số được so sánh?).

Tất nhiên, bạn biết rằng số dương luôn lớn hơn số âm và nếu chúng ta tưởng tượng một trục số thì khi so sánh, số lớn nhất sẽ nằm ở bên phải so với cái nhỏ nhất: ; ; vân vân.

Nhưng mọi chuyện có phải lúc nào cũng dễ dàng như vậy không? Nơi trên tia số chúng ta đánh dấu, .

Làm thế nào chúng có thể được so sánh, ví dụ, với một con số? Đây là sự chà xát...)

Đầu tiên, hãy nói chuyện trong phác thảo chung làm thế nào và những gì để so sánh.

Quan trọng: nên thực hiện các phép biến đổi sao cho dấu bất đẳng thức không thay đổi! Nghĩa là, trong quá trình biến đổi, việc nhân với số âm, Và nó bị cấm vuông nếu một trong các phần âm.

So sánh các phân số

Vậy ta cần so sánh hai phân số: và.

Có một số lựa chọn về cách thực hiện việc này.

Cách 1. Rút gọn phân số về mẫu số chung.

Hãy viết nó dưới dạng một phân số thông thường:

- (như các bạn thấy, tôi cũng đã giảm cả tử số và mẫu số).

Bây giờ chúng ta cần so sánh các phân số:

Bây giờ chúng ta có thể tiếp tục so sánh theo hai cách. Chúng tôi có thể:

1. chỉ cần mang mọi thứ đến mẫu số chung, trình bày cả hai phân số đều không đúng (tử số lớn hơn mẫu số):

   Số nào lớn hơn? Đúng rồi, cái có tử số lớn hơn, tức là cái đầu tiên.

2. "Hãy loại bỏ" (coi như chúng ta đã trừ một phân số cho mỗi phân số và tỷ lệ giữa các phân số với nhau không thay đổi) và so sánh các phân số:

   Chúng tôi cũng đưa chúng đến một mẫu số chung:

   Chúng tôi nhận được kết quả chính xác như trong trường hợp trước - số đầu tiên lớn hơn số thứ hai:

   Chúng ta cũng hãy kiểm tra xem chúng ta đã trừ một chính xác chưa? Hãy tính sự khác biệt của tử số trong phép tính đầu tiên và phép tính thứ hai:
   1)
   2)

Vì vậy, chúng ta đã xem xét cách so sánh các phân số, đưa chúng về mẫu số chung. Hãy chuyển sang một phương pháp khác - so sánh các phân số, đưa chúng về một... tử số chung.

Cách 2. So sánh các phân số bằng cách quy giản về tử số chung.

Vâng, vâng. Đây không phải là một lỗi đánh máy. Phương pháp này hiếm khi được dạy cho bất kỳ ai ở trường, nhưng nó thường rất thuận tiện. Để bạn nhanh chóng hiểu được bản chất của nó, tôi sẽ chỉ hỏi bạn một câu hỏi - "trong trường hợp nào giá trị của một phân số lớn nhất?" Tất nhiên, bạn sẽ nói “khi tử số càng lớn càng tốt và mẫu số càng nhỏ càng tốt”.

Ví dụ, bạn chắc chắn có thể nói rằng đó là sự thật? Nếu chúng ta cần so sánh các phân số sau: ? Tôi nghĩ bạn cũng sẽ đặt dấu hiệu ngay lập tức một cách chính xác, bởi vì trong trường hợp đầu tiên, chúng được chia thành các phần và trong trường hợp thứ hai thành toàn bộ, có nghĩa là trong trường hợp thứ hai, các mảnh trở nên rất nhỏ và theo đó: . Như bạn có thể thấy, mẫu số ở đây khác nhau, nhưng tử số thì giống nhau. Tuy nhiên, để so sánh hai phân số này, bạn không cần phải tìm mẫu số chung. Mặc dù... tìm lại xem dấu so sánh có còn sai không?

Nhưng dấu hiệu là như nhau.

Hãy quay lại nhiệm vụ ban đầu của chúng ta - so sánh và... Chúng ta sẽ so sánh và... Chúng ta hãy quy đổi những phân số này không phải thành mẫu số chung mà thành tử số chung. Để làm điều này một cách đơn giản tử số và mẫu số nhân phân số thứ nhất với Chúng tôi nhận được:

Và. Phân số nào lớn hơn? Đúng vậy, cái đầu tiên.

Cách 3: So sánh phân số bằng phép trừ.

Cách so sánh các phân số bằng phép trừ? Vâng, rất đơn giản. Chúng tôi trừ đi một phân số khác. Nếu kết quả là dương thì phân số thứ nhất (số trừ) lớn hơn phân số thứ hai (trừ) và nếu âm thì ngược lại.

Trong trường hợp của chúng ta, hãy thử trừ phân số thứ nhất khỏi phân số thứ hai: .

Như bạn đã hiểu, chúng ta cũng chuyển đổi sang phân số thông thường và nhận được kết quả tương tự - . Biểu thức của chúng tôi có dạng:

Tiếp theo, chúng ta vẫn sẽ phải dùng đến cách quy giản về mẫu số chung. Câu hỏi đặt ra là: theo cách thứ nhất, chuyển phân số thành phân số không chính xác, hay theo cách thứ hai, như thể “loại bỏ” đơn vị? Nhân tiện, hành động này có lý do hoàn toàn toán học. Nhìn:

Tôi thích lựa chọn thứ hai hơn, vì việc nhân ở tử số khi rút gọn về mẫu số chung trở nên dễ dàng hơn nhiều.

Hãy đưa nó về mẫu số chung:

Điều chính ở đây là đừng nhầm lẫn về số chúng ta đã trừ và ở đâu. Hãy xem xét cẩn thận tiến độ của giải pháp và đừng vô tình nhầm lẫn các dấu hiệu. Chúng ta lấy số thứ hai trừ số thứ nhất và được đáp án phủ định, vậy?.. Đúng vậy, số thứ nhất lớn hơn số thứ hai.

Hiểu rồi? Hãy thử so sánh các phân số:

Dừng lại, dừng lại. Đừng vội đưa về mẫu số chung hay phép trừ. Hãy nhìn xem: bạn có thể dễ dàng chuyển đổi nó thành phân số thập phân. Sẽ mất bao lâu? Phải. Cuối cùng còn gì nữa?

Đây là một tùy chọn khác - so sánh các phân số bằng cách chuyển đổi sang số thập phân.

Cách 4: So sánh phân số bằng phép chia.

Vâng, vâng. Và điều này cũng có thể. Logic rất đơn giản: khi chúng ta chia số lớn hơn với ít hơn, câu trả lời chúng tôi nhận được là con số nhiều hơn một, và nếu chúng ta chia số nhỏ hơnđể biết thêm thì câu trả lời rơi vào khoảng từ đến.

Để nhớ quy tắc này, hãy so sánh hai số nguyên tố, ví dụ, và. Bạn biết còn gì nữa không? Bây giờ chúng ta hãy chia cho. Câu trả lời của chúng tôi là. Theo đó, lý thuyết là đúng. Nếu chúng ta chia cho, những gì chúng ta nhận được sẽ nhỏ hơn một, điều này khẳng định rằng nó thực sự ít hơn.

Hãy thử áp dụng quy tắc này vào phân số thông thường. Hãy so sánh:

Chia phân số thứ nhất cho phân số thứ hai:

Hãy rút ngắn dần dần.

Kết quả thu được ít hơn, đồng nghĩa với việc cổ tức nhỏ hơn số chia, đó là:

Chúng tôi đã sắp xếp mọi thứ những lựa chọn khả thi so sánh các phân số. Bạn thấy họ thế nào 5:

• rút gọn về mẫu số chung;
• rút gọn về tử số chung;
• rút gọn về dạng phân số thập phân;
• phép trừ;
• phân công.

Sẵn sàng để đào tạo? So sánh các phân số một cách tối ưu:

Hãy so sánh các câu trả lời:

1. (- chuyển sang số thập phân)
2. (chia một phân số cho một phân số và rút gọn theo tử số và mẫu số)
3. (chọn phần nguyên và so sánh các phân số theo nguyên tắc tử số giống nhau)
4. (chia một phân số cho một phân số và rút gọn theo tử số và mẫu số).

2. So sánh bằng cấp

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng chúng ta cần so sánh không chỉ các con số mà cả các biểu thức có bậc ().

Tất nhiên, bạn có thể dễ dàng đưa ra một dấu hiệu:

Rốt cuộc, nếu chúng ta thay thế độ bằng phép nhân, chúng ta sẽ nhận được:

Từ ví dụ nhỏ và nguyên thủy này, quy tắc sau:

Bây giờ hãy thử so sánh những điều sau: . Bạn cũng có thể dễ dàng đặt một dấu hiệu:

Bởi vì nếu chúng ta thay thế lũy thừa bằng phép nhân...

Nói chung là bạn hiểu mọi thứ và nó không khó chút nào.

Khó khăn chỉ nảy sinh khi khi so sánh, các mức độ có cơ sở và chỉ số khác nhau. Trong trường hợp này, bạn cần cố gắng dẫn đến điểm chung. Ví dụ:

Tất nhiên, bạn biết rằng điều này, theo đó, biểu thức có dạng:

Hãy mở ngoặc và so sánh những gì chúng ta nhận được:

Một số trường hợp đặc biệt, khi cơ số của bậc () nhỏ hơn một.

Nếu thì có hai độ trở lên là độ có chỉ số nhỏ hơn.

Hãy thử chứng minh quy tắc này. Hãy để nó như vậy.

Hãy giới thiệu một số số tự nhiên làm hiệu giữa và.

Hợp lý phải không?

Và bây giờ chúng ta hãy chú ý một lần nữa đến điều kiện - .

Lần lượt là: . Kể từ đây, .

Ví dụ:

Như bạn hiểu, chúng tôi đã xem xét trường hợp cơ sở của các quyền lực là ngang nhau. Bây giờ chúng ta hãy xem khi nào cơ số nằm trong khoảng từ đến nhưng số mũ bằng nhau. Mọi thứ ở đây rất đơn giản.

Hãy nhớ cách so sánh điều này bằng một ví dụ:

Tất nhiên, bạn đã tính toán một cách nhanh chóng:

Vì vậy, khi gặp các bài toán tương tự để so sánh, hãy ghi nhớ một số ví dụ tương tự đơn giản để bạn có thể tính toán nhanh chóng và dựa vào ví dụ này để đặt dấu hiệu ở dạng phức tạp hơn.

Khi thực hiện các phép biến đổi, hãy nhớ rằng nếu nhân, cộng, trừ hoặc chia thì mọi thao tác phải được thực hiện với cả bên trái và bên phải (nếu nhân với thì phải nhân cả hai).

Ngoài ra, có những trường hợp đơn giản là không có lợi khi thực hiện bất kỳ thao tác nào. Ví dụ, bạn cần so sánh. TRONG trong trường hợp này, không quá khó để nâng lên lũy thừa và sắp xếp dấu hiệu dựa trên điều này:

Hãy luyện tập. So sánh độ:

Sẵn sàng để so sánh câu trả lời? Đây là những gì tôi có:

1. - giống như
2. - giống như
3. - giống như
4. - giống như

3. So sánh số có căn

Đầu tiên chúng ta hãy nhớ rễ là gì? Bạn có nhớ đoạn ghi âm này không?

Căn nguyên của lũy thừa của một số thực là một số mà đẳng thức đó đúng.

Rễ mức độ lẻ tồn tại cho âm và số dương, MỘT rễ chẵn- chỉ dành cho những người tích cực.

Giá trị của gốc thường là vô hạn số thập phân, điều này gây khó khăn cho việc tính toán chính xác nên điều quan trọng là phải có khả năng so sánh các nghiệm.

Nếu bạn đã quên nó là gì và nó được ăn với cái gì - . Nếu bạn nhớ tất cả mọi thứ, hãy học cách so sánh các gốc từng bước.

Giả sử chúng ta cần so sánh:

Để so sánh hai gốc này, bạn không cần thực hiện bất kỳ phép tính nào mà chỉ cần phân tích khái niệm “gốc”. Bạn có hiểu tôi đang nói về điều gì không? Vâng, về điều này: nếu không thì nó có thể được viết dưới dạng lũy ​​thừa thứ ba của một số nào đó, bằng biểu thức căn thức.

Còn gì nữa? hoặc? Tất nhiên, bạn có thể so sánh điều này mà không gặp bất kỳ khó khăn nào. Số chúng ta nâng lên lũy thừa càng lớn thì giá trị càng lớn.

Vì thế. Hãy rút ra một quy luật.

Nếu số mũ của các nghiệm giống nhau (trong trường hợp của chúng ta là như vậy), thì cần phải so sánh các biểu thức căn (và) - số căn càng lớn thì nhiều giá trị hơn rễ với tỷ lệ bằng nhau.

Khó nhớ? Sau đó, hãy giữ một ví dụ trong đầu và... Còn gì nữa?

Số mũ của các căn đều giống nhau vì căn bậc hai là hình vuông. Biểu thức căn của một số () lớn hơn số khác (), nghĩa là quy luật thực sự đúng.

Điều gì sẽ xảy ra nếu các biểu thức căn thức giống nhau nhưng bậc của nghiệm thức lại khác nhau? Ví dụ: .

Cũng khá rõ ràng rằng khi giải nén gốc ở một mức độ lớn hơn bạn sẽ nhận được một số nhỏ hơn. Hãy lấy ví dụ:

Chúng ta hãy biểu thị giá trị của gốc thứ nhất là và giá trị thứ hai - như sau:

Bạn có thể dễ dàng thấy rằng phải có nhiều hơn trong các phương trình này, do đó:

Nếu các biểu thức căn thức giống nhau(trong trường hợp của chúng tôi), và số mũ của các nghiệm là khác nhau(trong trường hợp của chúng tôi đây là và), thì cần phải so sánh số mũ(Và) - chỉ số càng cao thì càng ít biểu thức này .

Hãy thử so sánh các gốc sau:

Hãy so sánh kết quả?

Chúng tôi đã giải quyết vấn đề này thành công :). Một câu hỏi khác được đặt ra: nếu tất cả chúng ta đều khác nhau thì sao? Cả mức độ và biểu hiện triệt để? Không phải mọi thứ đều quá phức tạp, chúng ta chỉ cần… “bỏ đi” tận gốc. Vâng, vâng. Chỉ cần thoát khỏi nó)

Nếu chúng ta có bậc và biểu thức căn thức khác nhau, chúng ta cần tìm bội số chung nhỏ nhất (đọc phần về) cho số mũ của các nghiệm và nâng cả hai biểu thức lên lũy thừa bằng bội số chung nhỏ nhất.

Rằng tất cả chúng ta đều bằng lời nói và lời nói. Đây là một ví dụ:

1. Chúng tôi xem xét các chỉ số của rễ - và. Bội số chung nhỏ nhất của chúng là .
2. Hãy nâng cả hai biểu thức lên lũy thừa:
3. Hãy biến đổi biểu thức và mở dấu ngoặc (chi tiết hơn trong chương):
4. Hãy đếm những gì chúng ta đã làm và đánh dấu:

4. So sánh logarit

Vì vậy, dần dần nhưng chắc chắn, chúng ta đi đến câu hỏi làm thế nào để so sánh logarit. Nếu bạn không nhớ đây là loại động vật nào, tôi khuyên bạn trước tiên nên đọc lý thuyết trong phần này. Bạn đã đọc nó chưa? Sau đó trả lời một số câu hỏi quan trọng:

1. Đối số của logarit là gì và cơ sở của nó là gì?
2. Điều gì quyết định liệu một hàm tăng hay giảm?

Nếu bạn nhớ mọi thứ và thành thạo nó một cách hoàn hảo, hãy bắt đầu!

Để so sánh logarit với nhau, bạn chỉ cần biết 3 kỹ thuật:

• giảm về cùng một cơ sở;
• giảm xuống cùng một lập luận;
• so sánh với số thứ ba

Ban đầu, hãy chú ý đến cơ số của logarit. Bạn có nhớ rằng nếu nhỏ hơn thì hàm số giảm, còn nếu lớn hơn thì hàm số tăng. Đây là những gì chúng tôi sẽ dựa vào để đánh giá.

Hãy xem xét so sánh các logarit đã được rút gọn về cùng cơ số hoặc đối số.

Để bắt đầu, chúng ta hãy đơn giản hóa vấn đề: đưa logarit so sánh vào căn cứ bình đẳng . Sau đó:

1. Hàm for tăng theo khoảng từ, nghĩa là, theo định nghĩa, sau đó (“so sánh trực tiếp”).
2. Ví dụ:- căn cứ giống nhau, ta so sánh các đối số cho phù hợp: , do đó:
3. Hàm tại, giảm trong khoảng từ, theo định nghĩa, có nghĩa là (“so sánh ngược”). - cơ số giống nhau, ta so sánh các đối số cho phù hợp: tuy nhiên, dấu của logarit sẽ là “nghịch đảo”, vì hàm số giảm: .

Bây giờ hãy xem xét các trường hợp có lý do khác nhau nhưng các lập luận đều giống nhau.

1. Cơ sở lớn hơn.
   • . Trong trường hợp này chúng tôi sử dụng “so sánh ngược”. Ví dụ: - các đối số giống nhau, và. Hãy so sánh các cơ số: tuy nhiên, dấu của logarit sẽ là “nghịch đảo”:
2. Cơ sở a nằm trong khoảng trống.
   • . Trong trường hợp này chúng tôi sử dụng “so sánh trực tiếp”. Ví dụ:
   • . Trong trường hợp này chúng tôi sử dụng “so sánh ngược”. Ví dụ:

Hãy viết mọi thứ ra dưới dạng bảng tổng quát:

, trong khi	, trong khi

Theo đó, như bạn đã hiểu, khi so sánh logarit, chúng ta cần dẫn đến cùng một cơ số hoặc đối số. Chúng ta đi đến cùng một cơ số bằng cách sử dụng công thức chuyển từ cơ số này sang cơ số khác.

Bạn cũng có thể so sánh logarit với số thứ ba và dựa vào đó để đưa ra kết luận về số nào ít hơn và số nào nhiều hơn. Ví dụ, hãy nghĩ cách so sánh hai logarit này?

Một gợi ý nhỏ - để so sánh, logarit sẽ giúp bạn rất nhiều, đối số của nó sẽ bằng nhau.

Nghĩ? Chúng ta hãy cùng nhau quyết định.

Chúng tôi có thể dễ dàng so sánh hai logarit này với bạn:

Không biết làm thế nào? Xem ở trên. Chúng tôi vừa giải quyết chuyện này. Sẽ có dấu hiệu gì? Phải:

Đồng ý?

Chúng ta hãy so sánh với nhau:

Bạn sẽ nhận được những điều sau đây:

Bây giờ kết hợp tất cả các kết luận của chúng tôi thành một. Nó có hoạt động không?

5. So sánh các biểu thức lượng giác.

Sin, cos, tang, cotang là gì? Vòng tròn đơn vị dùng để làm gì và làm thế nào để tìm giá trị trên đó hàm lượng giác? Nếu bạn không biết câu trả lời cho những câu hỏi này, tôi khuyên bạn nên đọc lý thuyết về chủ đề này. Và nếu bạn biết thì việc so sánh các biểu thức lượng giác với nhau không hề khó đối với bạn!

Hãy làm mới trí nhớ của chúng ta một chút. Hãy vẽ một đường tròn lượng giác đơn vị và một hình tam giác nội tiếp trong đó. Bạn đã quản lý được chưa? Bây giờ hãy đánh dấu bên nào chúng ta vẽ cosin và bên nào là sin, sử dụng các cạnh của tam giác. (tất nhiên bạn hãy nhớ rằng sin là tỉ số phía đối diện với cạnh huyền và cosin của cạnh kề?). Bạn đã vẽ nó phải không? Tuyệt vời! Công việc cuối cùng là đặt nó xuống nơi chúng ta sẽ có nó, ở đâu, v.v. Bạn đã đặt nó xuống? Phù) Hãy so sánh những gì đã xảy ra với bạn và tôi.

Phù! Bây giờ hãy bắt đầu so sánh!

Giả sử chúng ta cần so sánh và. Vẽ các góc này bằng cách sử dụng các gợi ý trong khung (nơi chúng tôi đã đánh dấu vị trí), đặt các điểm vào vòng tròn đơn vị. Bạn đã quản lý được chưa? Đây là những gì tôi có.

Bây giờ chúng ta hãy thả một đường vuông góc từ các điểm chúng ta đã đánh dấu trên đường tròn lên trục... Điểm nào? Trục nào biểu thị giá trị của sin? Phải, . Đây là những gì bạn sẽ nhận được:

Nhìn vào bức tranh này, cái nào lớn hơn: hay? Tất nhiên, bởi vì điểm ở trên điểm.

Theo cách tương tự, chúng ta so sánh giá trị của cosin. Ta chỉ hạ đường vuông góc với trục... Đúng rồi, . Theo đó, chúng ta xét điểm nào ở bên phải (hoặc cao hơn, như trong trường hợp hàm sin), thì giá trị lớn hơn.

Chắc hẳn bạn đã biết cách so sánh các tiếp tuyến rồi phải không? Tất cả những gì bạn cần biết là tiếp tuyến là gì. Vậy tiếp tuyến là gì?) Đúng vậy, tỉ số giữa sin và cos.

Để so sánh các tiếp tuyến, chúng ta vẽ một góc theo cách tương tự như trường hợp trước. Giả sử chúng ta cần so sánh:

Bạn đã vẽ nó phải không? Bây giờ chúng ta cũng đánh dấu các giá trị của sin trên trục tọa độ. Bạn có để ý không? Bây giờ chỉ ra các giá trị của cosin trên đường tọa độ. Nó có hoạt động không? Hãy so sánh:

Bây giờ hãy phân tích những gì bạn đã viết. - Chúng tôi đoạn dài chia nhỏ. Câu trả lời sẽ chứa một giá trị chắc chắn lớn hơn một. Phải?

Và khi chúng ta chia cái nhỏ cho cái lớn. Câu trả lời sẽ là một số chính xác nhỏ hơn một.

Vậy ý nghĩa là gì biểu thức lượng giác hơn?

Phải:

Như bây giờ bạn đã hiểu, việc so sánh cotang cũng giống như vậy, chỉ có điều ngược lại: chúng ta xem xét các đoạn xác định cosine và sin liên hệ với nhau như thế nào.

Hãy thử tự mình so sánh các biểu thức lượng giác sau:

Ví dụ.

Câu trả lời.

SO SÁNH CÁC SỐ. TRÌNH ĐỘ TRUNG CẤP.

Số nào lớn hơn: hoặc? Câu trả lời là hiển nhiên. Và bây giờ: hay? Không còn rõ ràng nữa phải không? Vì vậy: hoặc?

Thường thì bạn cần biết biểu thức số nào lớn hơn. Ví dụ: để đặt các điểm trên trục theo đúng thứ tự khi giải bất đẳng thức.

Bây giờ tôi sẽ dạy bạn cách so sánh những con số như vậy.

Nếu bạn cần so sánh các số và chúng ta đặt dấu giữa chúng (xuất phát từ từ Latinh So với hoặc viết tắt vs. - chống lại): . Dấu này thay thế dấu bất đẳng thức chưa biết (). Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau cho đến khi thấy rõ dấu nào cần đặt giữa các số.

Bản chất của việc so sánh các số là: chúng ta coi dấu đó như thể nó là một loại dấu bất đẳng thức nào đó. Và với biểu thức chúng ta có thể làm mọi việc chúng ta thường làm với bất đẳng thức:

• thêm bất kỳ số nào vào cả hai vế (và tất nhiên, chúng ta cũng có thể trừ)
• “di chuyển mọi thứ sang một bên”, nghĩa là trừ một trong các biểu thức so sánh khỏi cả hai phần. Thay cho biểu thức bị trừ sẽ vẫn là: .
• nhân hoặc chia cho cùng một số. Nếu số này âm thì dấu bất đẳng thức bị đảo ngược: .
• nâng cả hai bên lên cùng một sức mạnh. Nếu mức độ này bằng nhau thì bạn cần đảm bảo rằng cả hai bên đều có cùng một dấu hiệu; nếu cả hai phần đều dương thì dấu không thay đổi khi lũy thừa, nhưng nếu chúng âm thì dấu sẽ đổi ngược lại.
• trích xuất gốc có cùng mức độ từ cả hai phần. Nếu chúng ta trích xuất một nghiệm ở mức chẵn, trước tiên chúng ta phải đảm bảo rằng cả hai biểu thức đều không âm.
• bất kỳ phép biến đổi tương đương nào khác.

Quan trọng: nên thực hiện các phép biến đổi sao cho dấu bất đẳng thức không thay đổi! Nghĩa là, trong quá trình biến đổi, việc nhân với số âm là điều không mong muốn và bạn không thể bình phương nó nếu một trong các phần âm.

Hãy xem xét một vài tình huống điển hình.

1. lũy thừa.

Ví dụ.

Cái nào nhiều hơn: hoặc?

Giải pháp.

Vì cả hai vế của bất đẳng thức đều dương nên chúng ta có thể bình phương nó để loại bỏ nghiệm:

Ví dụ.

Cái nào nhiều hơn: hoặc?

Giải pháp.

Ở đây chúng ta cũng có thể bình phương nó, nhưng điều này sẽ chỉ giúp chúng ta loại bỏ căn bậc hai. Ở đây cần phải nâng nó lên đến mức cả hai rễ đều biến mất. Điều này có nghĩa là số mũ của bậc này phải chia hết cho cả (bậc của căn bậc nhất) và cho. Do đó, con số này được nâng lên lũy thừa th:

2. Nhân với số liên hợp của nó.

Ví dụ.

Cái nào nhiều hơn: hoặc?

Giải pháp.

Hãy nhân và chia mỗi hiệu cho tổng liên hợp:

Rõ ràng mẫu số ở bên phải lớn hơn mẫu số ở bên trái. Do đó, phân số bên phải nhỏ hơn phân số bên trái:

3. Phép trừ

Chúng ta hãy nhớ điều đó.

Ví dụ.

Cái nào nhiều hơn: hoặc?

Giải pháp.

Tất nhiên, chúng ta có thể bình phương mọi thứ, tập hợp lại và bình phương lại. Nhưng bạn có thể làm điều gì đó thông minh hơn:

Có thể thấy rằng ở vế trái mỗi số hạng nhỏ hơn mỗi số hạng ở vế phải.

Theo đó, tổng tất cả các số hạng ở vế trái nhỏ hơn tổng tất cả các số hạng ở vế phải.

Nhưng hãy cẩn thận! Chúng tôi đã được hỏi thêm những gì...

Phía bên phải lớn hơn.

Ví dụ.

So sánh các số và...

Giải pháp.

Hãy nhớ lại các công thức lượng giác:

Hãy kiểm tra xem quý nào trên vòng tròn lượng giác có điểm và.

4. Phân chia.

Ở đây chúng tôi cũng sử dụng một quy tắc đơn giản: .

Tại hoặc, đó là.

Khi dấu thay đổi: .

Ví dụ.

So sánh: .

Giải pháp.

5. So sánh các số với số thứ ba

Nếu và thì (luật bắc cầu).

Ví dụ.

So sánh.

Giải pháp.

Chúng ta hãy so sánh các số không phải với nhau mà với một số.

Rõ ràng.

Ở phía bên kia, .

Ví dụ.

Cái nào nhiều hơn: hoặc?

Giải pháp.

Cả hai số đều lớn hơn nhưng nhỏ hơn. Hãy chọn một số sao cho nó lớn hơn một nhưng nhỏ hơn số kia. Ví dụ, . Hãy kiểm tra:

6. Làm gì với logarit?

Không có gì đặc biệt. Làm thế nào để thoát khỏi logarit được mô tả chi tiết trong chủ đề. Các quy tắc cơ bản là:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Chúng ta cũng có thể thêm quy tắc về logarit với vì những lý do khác nhau và cùng một lập luận:

Có thể giải thích thế này: đế càng lớn thì mức độ phải nâng lên càng ít để có được thứ tương tự. Nếu cơ số nhỏ hơn thì điều ngược lại là đúng, vì hàm tương ứng giảm đơn điệu.

Ví dụ.

So sánh các số: và.

Giải pháp.

Theo quy định trên:

Và bây giờ là công thức dành cho người nâng cao.

Quy tắc so sánh logarit có thể được viết ngắn gọn hơn:

Ví dụ.

Cái nào nhiều hơn: hoặc?

Giải pháp.

Ví dụ.

So sánh số nào lớn hơn: .

Giải pháp.

SO SÁNH CÁC SỐ. GIỚI THIỆU VỀ NHỮNG ĐIỀU CHÍNH

1. lũy thừa

Nếu cả hai vế của bất đẳng thức đều dương thì chúng có thể bình phương để loại bỏ nghiệm

2. Nhân với số liên hợp của nó

Liên hợp là hệ số bổ sung cho biểu thức hiệu của công thức bình phương: - liên hợp cho và ngược lại, vì .

3. Phép trừ

4. Phân chia

Khi nào hoặc đó là

Khi dấu thay đổi:

5. So sánh với số thứ ba

Nếu và sau đó

6. So sánh logarit

Các quy tắc cơ bản.

Biểu thức, chuyển đổi biểu thức

Biểu thức lũy thừa (biểu thức có lũy thừa) và sự biến đổi của chúng

Trong bài viết này chúng ta sẽ nói về việc chuyển đổi biểu thức bằng lũy ​​thừa. Đầu tiên, chúng ta sẽ tập trung vào các phép biến đổi được thực hiện với bất kỳ loại biểu thức nào, bao gồm cả biểu thức quyền lực, chẳng hạn như mở ngoặc đơn và đưa các thuật ngữ tương tự. Và sau đó chúng ta sẽ phân tích các phép biến đổi vốn có cụ thể trong các biểu thức có độ: làm việc với cơ số và số mũ, sử dụng các thuộc tính của độ, v.v.

Điều hướng trang.

Biểu hiện sức mạnh là gì?

Thuật ngữ “biểu hiện quyền lực” gần như không bao giờ được sử dụng sách giáo khoa trường học toán học, nhưng nó xuất hiện khá thường xuyên trong các bộ sưu tập các bài toán, đặc biệt là những bài dùng để chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất và Kỳ thi Thống nhất chẳng hạn. Sau khi phân tích các nhiệm vụ cần thực hiện bất kỳ hành động nào với biểu thức quyền lực, có thể thấy rõ rằng biểu thức quyền lực được hiểu là các biểu thức chứa quyền hạn trong các mục nhập của chúng. Vì vậy, bạn có thể chấp nhận định nghĩa sau đây cho mình:

Sự định nghĩa.

biểu thức sức mạnh là các biểu thức có chứa độ.

Hãy cho đi ví dụ về biểu thức quyền lực. Hơn nữa, chúng tôi sẽ trình bày chúng theo cách thức phát triển các quan điểm từ mức độ này sang mức độ khác. chỉ số tự nhiênđến một mức độ với số mũ thực sự.

Như đã biết, trước tiên người ta làm quen với lũy thừa của một số có số mũ tự nhiên; ở giai đoạn này, biểu thức lũy thừa đơn giản đầu tiên thuộc loại 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 xuất hiện −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 v.v.

Một lát sau, lũy thừa của một số có số mũ nguyên được nghiên cứu, dẫn đến sự xuất hiện của biểu thức lũy thừa với số nguyên quyền lực tiêu cực, như sau: 3 −2 , , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Ở trường trung học họ quay trở lại với bằng cấp. Ở đó bằng cấp được giới thiệu chỉ số hợp lý, kéo theo sự xuất hiện của các biểu thức lũy thừa tương ứng: , , vân vân. Cuối cùng, độ có số mũ vô tỷ và các biểu thức chứa chúng được xem xét: , .

Vấn đề không chỉ giới hạn ở các biểu thức lũy thừa được liệt kê: hơn nữa biến sẽ thâm nhập vào số mũ và, ví dụ, các biểu thức sau phát sinh: 2 x 2 +1 hoặc . Và sau khi làm quen với , các biểu thức có lũy thừa và logarit bắt đầu xuất hiện, ví dụ x 2·lgx −5·x lgx.

Vì vậy, chúng ta đã giải quyết được câu hỏi biểu thức công suất đại diện cho điều gì. Tiếp theo chúng ta sẽ học cách chuyển đổi chúng.

Các dạng biến đổi chính của biểu thức công suất

Với biểu thức lũy thừa, bạn có thể thực hiện bất kỳ thao tác cơ bản nào biến đổi nhận dạng của biểu thức. Ví dụ: bạn có thể mở rộng dấu ngoặc, thay thế biểu thức sốý nghĩa của chúng, đưa ra điều khoản tương tự vân vân. Đương nhiên, cần phải tuân thủ các quy định đã được chấp nhận thứ tự hành động. Hãy đưa ra ví dụ.

Ví dụ.

Tính giá trị của biểu thức lũy thừa 2 3 ·(4 2 −12) .

Giải pháp.

Theo thứ tự thực hiện các hành động, trước tiên hãy thực hiện các hành động trong ngoặc. Ở đó, trước tiên, chúng tôi thay thế lũy thừa 4 2 bằng giá trị 16 của nó (nếu cần, xem), và thứ hai, chúng tôi tính hiệu 16−12=4. Chúng tôi có 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Trong biểu thức thu được, chúng ta thay lũy thừa 2 3 bằng giá trị 8, sau đó chúng ta tính tích 8·4=32. Đây là giá trị mong muốn.

Vì thế, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Trả lời:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Ví dụ.

Rút gọn biểu thức bằng lũy ​​thừa 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Giải pháp.

Rõ ràng biểu thức này chứa điều khoản tương tự 3·a 4 ·b −7 và 2·a 4 ·b −7 , và chúng ta có thể cho chúng: .

Trả lời:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Ví dụ.

Thể hiện một biểu thức với lũy thừa là tích.

Giải pháp.

Bạn có thể giải quyết nhiệm vụ này bằng cách biểu diễn số 9 dưới dạng lũy ​​thừa của 3 2 và sau đó sử dụng công thức nhân rút gọn sự khác biệt của hình vuông:

Trả lời:

Ngoài ra còn có một số chuyển đổi danh tính, vốn có đặc biệt trong các biểu thức sức mạnh. Chúng tôi sẽ phân tích chúng sâu hơn.

Làm việc với cơ số và số mũ

Có những lũy ​​thừa mà cơ số và/hoặc số mũ không chỉ là số hoặc biến mà còn là một số biểu thức. Ví dụ, chúng ta đưa ra các mục (2+0.3·7) 5−3.7 và (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Khi làm việc với các biểu thức tương tự, bạn có thể thay thế cả biểu thức ở cơ số độ và biểu thức ở số mũ một cách giống hệt nhau biểu thức bình đẳng TRÊN ODZ các biến của nó. Nói cách khác, theo các quy tắc mà chúng ta đã biết, chúng ta có thể biến đổi riêng cơ số của bậc và riêng số mũ. Rõ ràng là kết quả của phép biến đổi này sẽ thu được một biểu thức giống hệt với biểu thức ban đầu.

Những phép biến đổi như vậy cho phép chúng ta đơn giản hóa các biểu thức bằng lũy ​​thừa hoặc đạt được các mục tiêu khác mà chúng ta cần. Ví dụ: trong biểu thức lũy thừa được đề cập ở trên (2+0,3 7) 5−3,7, bạn có thể thực hiện các phép tính với các số ở cơ số và số mũ, điều này sẽ cho phép bạn chuyển sang lũy ​​thừa 4.1 1.3. Và sau khi mở ngoặc và đưa các số hạng tương tự vào cơ số (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) chúng ta thu được biểu thức lũy thừa kiểu đơn giản a 2·(x+1) .

Sử dụng thuộc tính độ

Một trong những công cụ chính để chuyển đổi biểu thức có lũy thừa là các đẳng thức phản ánh . Chúng ta hãy nhớ lại những cái chính. Với mọi số dương a và b và tùy ý số thực r và s các tính chất sau của độ là hợp lệ:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Lưu ý rằng đối với số tự nhiên, số nguyên và cả chỉ số tích cực mức độ hạn chế đối với các số a và b có thể không quá nghiêm ngặt. Ví dụ, đối với số tự nhiên m và n đẳng thức a m ·a n =a m+n không chỉ đúng với a dương mà còn đúng với a âm và với a=0.

Ở trường, khi chuyển đổi các biểu thức sức mạnh, trọng tâm chính là khả năng chọn thuộc tính phù hợp và áp dụng nó một cách chính xác. Trong trường hợp này, cơ số của độ thường dương, điều này cho phép sử dụng các tính chất của độ mà không bị hạn chế. Điều tương tự cũng áp dụng cho phép biến đổi biểu thức chứa biến trong cơ số lũy thừa - diện tích giá trị chấp nhận được các biến thường sao cho cơ sở trên đó chỉ chấp nhận giá trị tích cực, cho phép bạn tự do sử dụng các thuộc tính của độ. Nói chung, bạn cần liên tục tự hỏi liệu có thể sử dụng bất kỳ tài sản nào của bằng cấp trong trường hợp này hay không, bởi vì việc sử dụng tài sản không chính xác có thể dẫn đến việc thu hẹp giá trị giáo dục và những rắc rối khác. Những điểm này được thảo luận chi tiết và có ví dụ trong bài viết. chuyển đổi biểu thức bằng cách sử dụng các thuộc tính của lũy thừa. Ở đây chúng ta sẽ hạn chế xem xét một vài ví dụ đơn giản.

Ví dụ.

Biểu thị biểu thức a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 dưới dạng lũy ​​thừa với cơ số a.

Giải pháp.

Đầu tiên, chúng ta biến đổi thừa số thứ hai (a 2) −3 bằng cách sử dụng tính chất nâng lũy ​​thừa lên lũy thừa: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Biểu thức lũy thừa ban đầu sẽ có dạng a 2,5 ·a −6:a −5,5. Rõ ràng, vẫn sử dụng các tính chất nhân và chia lũy thừa có cùng cơ số, ta có
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Trả lời:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Tính chất của lũy thừa khi biến đổi biểu thức lũy thừa được sử dụng cả từ trái sang phải và từ phải sang trái.

Ví dụ.

Tìm giá trị của biểu thức công suất.

Giải pháp.

Đẳng thức (a·b) r =a r ·b r, được áp dụng từ phải sang trái, cho phép chúng ta chuyển từ biểu thức ban đầu sang tích của dạng và hơn thế nữa. Và khi nhân sức mạnh với trên cùng một cơ sở các chỉ số cộng lại: .

Có thể chuyển đổi biểu thức ban đầu theo cách khác:

Trả lời:

.

Ví dụ.

Cho biểu thức lũy thừa a 1.5 −a 0.5 −6 , hãy nhập một biến mới t=a 0.5 .

Giải pháp.

Hàm mũ a 1,5 có thể được biểu diễn dưới dạng 0,5·3 và sau đó, dựa trên tính chất bậc của lũy thừa (a r) s =a r·s, áp dụng từ phải sang trái, biến nó thành dạng (a 0,5) 3 . Như vậy, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Bây giờ thật dễ dàng để đưa vào một biến mới t=a 0,5, chúng ta nhận được t 3 −t−6.

Trả lời:

t 3 −t−6 .

Chuyển đổi phân số chứa lũy thừa

Biểu thức lũy thừa có thể chứa hoặc biểu diễn các phân số có lũy thừa. Bất kỳ cái cơ bản nào cũng có thể áp dụng đầy đủ cho các phân số đó chuyển đổi phân số, vốn có trong bất kỳ loại phân số nào. Nghĩa là, các phân số chứa lũy thừa có thể được rút gọn, rút ​​gọn thành mẫu số mới, làm việc riêng với tử số và riêng với mẫu số, v.v. Để minh họa những từ này, hãy xem xét giải pháp cho một số ví dụ.

Ví dụ.

Đơn giản hóa biểu thức quyền lực .

Giải pháp.

Biểu thức sức mạnh này là một phân số. Hãy làm việc với tử số và mẫu số của nó. Trong tử số, chúng tôi mở dấu ngoặc và đơn giản hóa biểu thức kết quả bằng cách sử dụng các thuộc tính của lũy thừa và trong mẫu số, chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự:

Và chúng ta cũng hãy đổi dấu của mẫu số bằng cách đặt dấu trừ trước phân số: .

Trả lời:

.

Việc quy đổi các phân số chứa lũy thừa sang mẫu số mới được thực hiện tương tự như quy đổi về mẫu số mới phân số hợp lý. Trong trường hợp này, một thừa số bổ sung cũng được tìm thấy và tử số và mẫu số của phân số được nhân với nó. Khi thực hiện hành động này, cần nhớ rằng việc giảm xuống mẫu số mới có thể dẫn đến việc thu hẹp VA. Để ngăn điều này xảy ra, điều cần thiết là hệ số bổ sung không về 0 đối với bất kỳ giá trị nào của các biến từ các biến ODZ cho biểu thức ban đầu.

Ví dụ.

Quy đổi các phân số về mẫu số mới: a) về mẫu số a, b) đến mẫu số.

Giải pháp.

a) Trong trường hợp này, khá dễ dàng để tìm ra hệ số nhân bổ sung nào giúp đạt được kết quả mong muốn. Đây là hệ số nhân của 0,3, vì 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Lưu ý rằng trong khoảng giá trị cho phép của biến a (đây là tập hợp tất cả các số thực dương), lũy thừa của a 0,3 không triệt tiêu nên ta có quyền nhân tử số và mẫu số của một số đã cho phân số theo hệ số bổ sung này:

b) Nhìn kỹ vào mẫu số, bạn sẽ thấy rằng

và nhân biểu thức này với sẽ cho tổng các lập phương và , tức là , . Và đây là nó mẫu số mới, mà chúng ta cần giảm phân số ban đầu.

Đây là cách chúng tôi tìm thấy một yếu tố bổ sung. Trong phạm vi giá trị cho phép của các biến x và y, biểu thức không biến mất nên ta có thể nhân tử số và mẫu số của phân số với nó:

Trả lời:

MỘT) , b) .

Cũng không có gì mới trong việc rút gọn các phân số chứa lũy thừa: tử số và mẫu số được biểu diễn dưới dạng một số thừa số, và các thừa số giống nhau của tử số và mẫu số đều được rút gọn.

Ví dụ.

Rút gọn phân số: a) , b) .

Giải pháp.

a) Thứ nhất, tử số và mẫu số có thể giảm đi 30 và 45 bằng 15. Rõ ràng cũng có thể thực hiện phép giảm x 0,5 +1 và bằng . Đây là những gì chúng tôi có:

b) Trong trường hợp này, các thừa số giống nhau ở tử số và mẫu số không nhìn thấy được ngay. Để có được chúng, bạn sẽ phải thực hiện các phép biến đổi sơ bộ. Trong trường hợp này, chúng bao gồm việc phân tích mẫu số bằng cách sử dụng công thức hiệu bình phương:

Trả lời:

MỘT)

b) .

Việc chuyển đổi phân số sang mẫu số mới và rút gọn phân số chủ yếu được sử dụng để thực hiện các thao tác với phân số. Các hành động được thực hiện theo các quy tắc đã biết. Khi cộng (trừ) các phân số được quy giản về mẫu số chung, sau đó các tử số được cộng (trừ) nhưng mẫu số vẫn giữ nguyên. Kết quả là một phân số có tử số bằng tích của các tử số và mẫu số bằng tích của các mẫu số. Chia cho một phân số là nhân với nghịch đảo của nó.

Ví dụ.

Thực hiện theo các bước .

Giải pháp.

Đầu tiên, chúng ta trừ các phân số trong ngoặc đơn. Để làm điều này, chúng ta đưa chúng về một mẫu số chung, đó là , sau đó chúng ta trừ các tử số:

Bây giờ chúng ta nhân các phân số:

Rõ ràng, có thể giảm theo lũy thừa x 1/2, sau đó chúng ta có .

Bạn cũng có thể đơn giản hóa biểu thức lũy thừa ở mẫu số bằng cách sử dụng công thức hiệu bình phương: .

Trả lời:

Ví dụ.

Rút gọn biểu thức lũy thừa .

Giải pháp.

Rõ ràng, phân số đã cho có thể giảm đi (x 2,7 +1) 2, điều này cho ra phân số . Rõ ràng là cần phải làm một việc khác với sức mạnh của X. Để làm điều này, chúng tôi chuyển đổi phần kết quả thành một sản phẩm. Điều này cho ta cơ hội lợi dụng tính chất phân chia lũy thừa có cùng cơ sở: . Và khi kết thúc quá trình, chúng ta chuyển từ công việc cuối cùngđến một phân số.

Trả lời:

.

Và chúng ta cũng hãy nói thêm rằng có thể và trong nhiều trường hợp mong muốn sử dụng các số nhân với chỉ số tiêu cực chuyển độ từ tử số sang mẫu số hoặc từ mẫu số sang tử số, đổi dấu số mũ. Những biến đổi như vậy thường đơn giản hóa các hành động tiếp theo. Ví dụ: biểu thức lũy thừa có thể được thay thế bằng .

Chuyển đổi biểu thức có gốc và lũy thừa

Thông thường trong các biểu thức trong đó cần có một số phép biến đổi, cùng với lũy thừa với chỉ số phân số rễ cũng có mặt. Để chuyển đổi biểu hiện tương tựđến dạng mong muốn, trong hầu hết các trường hợp, chỉ cần đi đến gốc hoặc chỉ đến lũy thừa là đủ. Nhưng vì làm việc với quyền hạn sẽ thuận tiện hơn nên chúng thường chuyển từ gốc sang quyền hạn. Tuy nhiên, nên thực hiện quá trình chuyển đổi như vậy khi ODZ của các biến cho biểu thức ban đầu cho phép bạn thay thế gốc bằng lũy ​​thừa mà không cần tham chiếu đến mô-đun hoặc chia ODZ thành nhiều khoảng (chúng ta đã thảo luận chi tiết về điều này trong bài viết chuyển từ căn sang lũy ​​thừa và ngược lại Sau khi làm quen với bậc với số mũ hữu tỉ bậc c được giới thiệu chỉ số vô lý, cho phép chúng ta nói về một mức độ với số mũ thực tùy ý. Ở giai đoạn này trường bắt đầu học hàm số mũ , được tính bằng phương pháp phân tích bởi một lũy thừa, cơ số của nó là một số và số mũ là một biến. Vì vậy, chúng ta phải đối mặt với các biểu thức lũy thừa chứa các số ở cơ số lũy thừa và trong biểu thức lũy thừa có các biến, và đương nhiên nảy sinh nhu cầu thực hiện các phép biến đổi các biểu thức đó.

Cần phải nói rằng việc biến đổi biểu thức loại được chỉ định thường phải được thực hiện khi giải quyết phương trình hàm mũ Và bất đẳng thức hàm mũ và những chuyển đổi này khá đơn giản. Trong phần lớn các trường hợp, chúng dựa trên các đặc tính của mức độ và phần lớn nhằm mục đích giới thiệu một biến số mới trong tương lai. Phương trình sẽ cho phép chúng ta chứng minh chúng 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Thứ nhất, lũy thừa, trong số mũ của nó là tổng của một biến nhất định (hoặc biểu thức có biến) và một số, được thay thế bằng tích. Điều này áp dụng cho số hạng đầu tiên và cuối cùng của biểu thức ở vế trái:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Tiếp theo, cả hai vế của đẳng thức được chia cho biểu thức 7 2 x, biểu thức này chỉ lấy giá trị dương trên ODZ của biến x đối với phương trình ban đầu (đây là kỹ thuật tiêu chuẩn để giải phương trình loại này, chúng ta không nói về nó bây giờ, vì vậy hãy tập trung vào các phép biến đổi tiếp theo của biểu thức với lũy thừa ):

Bây giờ chúng ta có thể hủy phân số bằng lũy ​​thừa, điều này mang lại .

Cuối cùng, tỷ lệ quyền lực với các chỉ số giống nhauđược thay thế bằng lũy ​​thừa quan hệ, dẫn đến phương trình , tương đương . Các phép biến đổi được thực hiện cho phép chúng tôi đưa ra một biến mới, làm giảm giải pháp ban đầu phương trình hàm mũđể giải phương trình bậc hai

I. V. Boykov, L. D. Romanova Tuyển tập các nhiệm vụ chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất. Phần 1. Penza 2003.