Các phép biến đổi của biểu thức lượng giác. Bài học “Đơn giản hóa biểu thức lượng giác”

Bài 1

Chủ thể: Lớp 11 (chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất)

Đơn giản hóa biểu thức lượng giác.

Giải các phương trình lượng giác đơn giản. (2 giờ)

Mục tiêu:

  • Hệ thống hóa, khái quát hóa, mở rộng kiến ​​thức, kỹ năng cho học sinh liên quan đến việc sử dụng các công thức lượng giác và giải các phương trình lượng giác đơn giản.

Thiết bị cho bài học:

Cấu trúc bài học:

  1. Thời điểm tổ chức
  2. Thử nghiệm trên máy tính xách tay. Thảo luận về kết quả.
  3. Đơn giản hóa các biểu thức lượng giác
  4. Giải các phương trình lượng giác đơn giản
  5. Làm việc độc lập.
  6. Tóm tắt bài học. Giải thích bài tập về nhà.

1. Thời điểm tổ chức. (2 phút.)

Giáo viên chào khán giả, thông báo chủ đề bài học, nhắc nhở học sinh nhiệm vụ trước đây là nhắc lại các công thức lượng giác và chuẩn bị cho học sinh làm bài kiểm tra.

2. Kiểm tra. (15 phút + 3 phút thảo luận)

Mục đích là kiểm tra kiến ​​thức về các công thức lượng giác và khả năng áp dụng chúng. Mỗi học sinh có một máy tính xách tay trên bàn với một phiên bản của bài kiểm tra.

Có thể có bất kỳ tùy chọn nào, tôi sẽ đưa ra ví dụ về một trong số chúng:

Tôi tùy chọn.

Rút gọn biểu thức:

a) các đẳng thức lượng giác cơ bản

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) công thức cộng

3. sin5x - sin3x;

c) chuyển một sản phẩm thành một tổng

6. 2sin8y cos3y;

d) công thức góc đôi

7. 2sin5x cos5x;

e) công thức tính nửa góc

e) công thức tính ba góc

Và) sự thay thế phổ quát

h) giảm mức độ

16. cos 2 (3x/7);

Học sinh xem câu trả lời của mình trên máy tính xách tay bên cạnh mỗi công thức.

Công việc được máy tính kiểm tra ngay lập tức. Kết quả được hiển thị trên màn hình lớn để mọi người cùng xem.

Ngoài ra, sau khi làm bài xong, câu trả lời đúng sẽ được hiển thị trên máy tính xách tay của học sinh. Mỗi học sinh xem mình đã mắc lỗi ở đâu và mình cần lặp lại những công thức nào.

3. Đơn giản hóa biểu thức lượng giác. (25 phút.)

Mục đích là lặp lại, thực hành và củng cố việc sử dụng các công thức lượng giác cơ bản. Giải bài B7 của Kỳ thi Thống nhất.

TRÊN ở giai đoạn này Nên chia lớp thành các nhóm gồm những người mạnh mẽ (họ làm việc độc lập với các bài kiểm tra tiếp theo) và học sinh yếu người làm việc với giáo viên.

Bài tập dành cho học sinh giỏi (chuẩn bị trước cho học sinh giỏi) cơ sở in). Sự nhấn mạnh chính là các công thức rút gọn và góc đôi, theo Kỳ thi Thống nhất năm 2011.

Rút gọn biểu thức (dành cho học sinh giỏi):

Đồng thời, giáo viên làm việc với học sinh yếu, thảo luận, giải quyết nhiệm vụ trên màn hình dưới sự đọc chính tả của học sinh.

Tính toán:

5) sin(270° - α) + cos (270° + α)

6)

Đơn giản hóa:

Đã đến lúc thảo luận về kết quả làm việc của nhóm mạnh.

Các câu trả lời xuất hiện trên màn hình, đồng thời, bằng cách sử dụng máy quay video, bài làm của 5 học sinh khác nhau cũng được hiển thị (mỗi em một nhiệm vụ).

Nhóm yếu nhìn thấy điều kiện và phương pháp giải quyết. Đang thảo luận và phân tích. sử dụng phương tiện kỹ thuật nó xảy ra nhanh chóng.

4. Giải các phương trình lượng giác đơn giản. (30 phút.)

Mục đích là lặp lại, hệ thống hóa và khái quát hóa cách giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất và ghi lại nghiệm của chúng. Giải bài toán B3.

Bất kỳ phương trình lượng giác nào, cho dù chúng ta giải nó như thế nào, đều dẫn đến phương trình đơn giản nhất.

Khi hoàn thành nhiệm vụ, học sinh chú ý viết nghiệm các phương trình trường hợp đặc biệt và cái nhìn tổng quát và về việc chọn nghiệm trong phương trình cuối cùng.

Giải phương trình:

Viết ra nghiệm dương nhỏ nhất làm câu trả lời của bạn.

5. Làm việc độc lập (10 phút)

Mục đích là để kiểm tra các kỹ năng đã học được, xác định các vấn đề, lỗi và cách loại bỏ chúng.

Công việc đa cấp được cung cấp cho sự lựa chọn của sinh viên.

Tùy chọn "3"

1) Tìm giá trị của biểu thức

2) Rút gọn biểu thức 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Giải phương trình

Tùy chọn cho "4"

1) Tìm giá trị của biểu thức

2) Giải phương trình Viết ra nghiệm dương nhỏ nhất trong câu trả lời của bạn.

Tùy chọn cho "5"

1) Tìm tanα nếu

2) Tìm nghiệm của phương trình Viết ra nghiệm dương nhỏ nhất làm câu trả lời của bạn.

6. Tóm tắt bài học (5 phút)

Giáo viên tóm tắt những gì đã nhắc lại và củng cố trong bài công thức lượng giác, giải các phương trình lượng giác đơn giản.

Bài tập về nhà được giao (chuẩn bị trước trên cơ sở in sẵn) với kiểm tra tại chỗ trong bài học tiếp theo.

Giải phương trình:

9)

10) Trong câu trả lời của bạn, hãy chỉ ra nghiệm dương nhỏ nhất.

Bài 2

Chủ thể: Lớp 11 (chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất)

Các phương pháp giải phương trình lượng giác. Lựa chọn gốc. (2 giờ)

Mục tiêu:

  • Khái quát hóa, hệ thống hóa các kiến ​​thức về giải các loại phương trình lượng giác.
  • Thúc đẩy phát triển tư duy toán học- Kĩ năng quan sát, so sánh, khái quát hóa, phân loại của học sinh.
  • Khuyến khích học sinh vượt qua khó khăn trong quá trình học hoạt động tinh thần, tự chủ, xem xét nội tâm các hoạt động của mình.

Thiết bị cho bài học: KRMu, máy tính xách tay cho mỗi học sinh.

Cấu trúc bài học:

  1. Thời điểm tổ chức
  2. Thảo luận về d/z và bản thân. làm bài từ bài học trước
  3. Ôn lại các phương pháp giải phương trình lượng giác.
  4. Giải phương trình lượng giác
  5. Lựa chọn các nghiệm trong phương trình lượng giác.
  6. Làm việc độc lập.
  7. Tóm tắt bài học. Bài tập về nhà.

1. Thời điểm tổ chức (2 phút)

Giáo viên chào khán giả, thông báo chủ đề bài học và kế hoạch làm việc.

2. a) Phân tích bài tập về nhà(5 phút.)

Mục đích là để kiểm tra việc thực hiện. Một tác phẩm được hiển thị trên màn hình bằng máy quay phim, phần còn lại được thu thập có chọn lọc để giáo viên kiểm tra.

b) Phân tích làm việc độc lập(3 phút.)

Mục đích là để phân tích những sai lầm và chỉ ra cách khắc phục chúng.

Các câu trả lời và giải pháp đều có trên màn hình; học sinh được đưa ra bài tập trước. Phân tích tiến hành nhanh chóng.

3. Ôn tập các phương pháp giải phương trình lượng giác (5 phút)

Mục đích là nhắc lại các phương pháp giải phương trình lượng giác.

Hỏi học sinh biết các phương pháp giải phương trình lượng giác. Nhấn mạnh rằng có những phương pháp được gọi là cơ bản (thường được sử dụng):

và có phương pháp áp dụng:

Cũng cần nhắc lại rằng một phương trình có thể được giải theo nhiều cách khác nhau.

4. Giải phương trình lượng giác (30 phút)

Mục tiêu là khái quát, củng cố kiến ​​thức, kỹ năng về chủ đề này, chuẩn bị cho giải C1 kỳ thi Thống nhất.

Tôi cho rằng nên giải phương trình cho từng phương pháp cùng với học sinh.

Học sinh đưa ra giải pháp, giáo viên viết nó ra máy tính bảng và toàn bộ quá trình được hiển thị trên màn hình. Điều này sẽ cho phép bạn nhớ lại nhanh chóng và hiệu quả những tài liệu đã được học trước đó trong bộ nhớ của mình.

Giải phương trình:

1) thay biến 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) phân tích nhân tử 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) phương trình đồng nhất sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) chuyển đổi tổng thành tích cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) chuyển tích thành tổng 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) giảm bậc sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) thay thế lượng giác phổ quát sinx + 5cosx + 5 = 0.

Khi giải phương trình này cần chú ý sử dụng phương pháp này dẫn đến thu hẹp phạm vi định nghĩa, vì sin và cosin được thay thế bằng tg(x/2). Do đó, trước khi viết đáp án, bạn cần kiểm tra xem các số trong tập π + 2πn, n Z có phải là ngựa của phương trình này hay không.

8) giới thiệu góc phụ √3sinx + cosx - √2 = 0

9) nhân với một số lượng giác hàm cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Lựa chọn nghiệm của phương trình lượng giác (20 phút)

Vì trong điều kiện cạnh tranh khốc liệt khi vào đại học, chỉ giải phần đầu của bài thi thôi là chưa đủ nên hầu hết học sinh nên chú ý đến nhiệm vụ của phần thứ hai (C1, C2, C3).

Vì vậy, mục tiêu của giai đoạn này của bài học là ghi nhớ nội dung đã học trước đó và chuẩn bị giải bài C1 của Kỳ thi Thống nhất năm 2011.

có phương trình lượng giác, trong đó cần chọn gốc khi viết đáp án. Điều này là do một số hạn chế, ví dụ: mẫu số của phân số không bằng 0, biểu thức dưới gốc chẵn là không âm, biểu thức dưới dấu logarit là dương, v.v.

Những phương trình như vậy được coi là phương trình tăng độ phức tạp và trong phiên bản của Kỳ thi Thống nhất nằm ở phần thứ hai, cụ thể là C1.

Giải phương trình:

Một phân số bằng 0 nếu khi đó bằng cách sử dụng vòng tròn đơn vị hãy chọn rễ (xem Hình 1)

Hình 1.

ta được x = π + 2πn, n Z

Đáp án: π + 2πn, n Z

Trên màn hình, việc lựa chọn rễ được hiển thị trên một vòng tròn dưới dạng hình ảnh màu.

Tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0 và cung không mất ý nghĩa. Sau đó

Sử dụng vòng tròn đơn vị, chúng ta chọn các nghiệm (xem Hình 2)

Video bài học “Đơn giản hóa biểu thức lượng giác” nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh bài toán lượng giác sử dụng các đẳng thức lượng giác cơ bản. Trong bài học video, các loại nhận dạng lượng giác và ví dụ giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng chúng sẽ được thảo luận. Áp dụng hỗ trợ trực quan, giáo viên dễ dàng đạt được mục tiêu bài học hơn. Trình bày nội dung sinh động thúc đẩy khả năng ghi nhớ điểm quan trọng. Việc sử dụng hiệu ứng hoạt hình và lồng tiếng cho phép bạn thay thế hoàn toàn giáo viên ở giai đoạn giải thích tài liệu. Vì vậy, bằng cách sử dụng phương tiện trực quan này trong bài học toán, giáo viên có thể nâng cao hiệu quả giảng dạy.

Khi bắt đầu bài học video, chủ đề của nó được công bố. Sau đó chúng ta nhớ lại các đồng nhất thức lượng giác đã nghiên cứu trước đó. Màn hình hiển thị các đẳng thức sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, trong đó t≠π/2+πk với kϵZ, ctg t=cos t/sin t, đúng với t≠πk, trong đó kϵZ, tg t· ctg t=1, với t≠πk/2, trong đó kϵZ, được gọi là các đẳng thức lượng giác cơ bản. Cần lưu ý rằng những đồng nhất thức này thường được sử dụng để giải các bài toán cần chứng minh đẳng thức hoặc đơn giản hóa biểu thức.

Dưới đây chúng ta xem xét các ví dụ về việc áp dụng các đồng nhất thức này để giải quyết vấn đề. Đầu tiên, đề xuất xem xét giải bài toán đơn giản biểu thức. Trong ví dụ 1, cần đơn giản hóa biểu thức cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Để giải ví dụ, trước tiên hãy đặt nó ra khỏi ngoặc số nhân chung cos 2 t. Kết quả của phép biến đổi trong ngoặc đơn này là thu được biểu thức 1- cos 2 t, giá trị của biểu thức này theo đồng nhất thức chính của lượng giác bằng sin 2 t. Sau khi chuyển đổi biểu thức, rõ ràng là có thể loại bỏ một thừa số chung khác sin 2 t khỏi ngoặc, sau đó biểu thức có dạng sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Từ cùng một đẳng thức cơ bản, chúng ta suy ra giá trị của biểu thức trong ngoặc bằng 1. Nhờ sự đơn giản hóa, chúng ta thu được cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

Trong ví dụ 2, biểu thức cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) cần được đơn giản hóa. Vì tử số của cả hai phân số đều chứa giá trị biểu thức nên nó có thể được lấy ra khỏi ngoặc làm thừa số chung. Các phân số trong ngoặc sau đó được giảm xuống mẫu số chung nhân (1- sint)(1+ sint). Sau khi mang điều khoản tương tự tử số vẫn là 2 và mẫu số vẫn là 1 - sin 2 t. Bên phải màn hình là phần nhắc nhở về lượng giác cơ bản tội lỗi danh tính 2 t+cos 2 t=1. Sử dụng nó, chúng ta tìm được mẫu số của phân số cos 2 t. Sau khi giảm phân số, chúng ta thu được dạng đơn giản của biểu thức cost/(1-sint)+ cost/(1+ sint)=2/cost.

Tiếp theo, chúng ta xem xét các ví dụ về chứng minh đồng nhất thức sử dụng kiến ​​thức thu được về đồng nhất thức cơ bản của lượng giác. Ở ví dụ 3, cần chứng minh đẳng thức (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Phía bên phải của màn hình hiển thị ba danh tính cần thiết cho việc chứng minh - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t và tg t=sin t/cos t với các hạn chế. Để chứng minh đẳng thức, trước tiên hãy mở dấu ngoặc, sau đó tạo thành tích phản ánh biểu thức của đẳng thức lượng giác chính tg t·ctg t=1. Sau đó, theo đẳng thức từ định nghĩa cotang, ctg 2 t được biến đổi. Kết quả của các phép biến đổi là thu được biểu thức 1-cos 2 t. Sử dụng danh tính chính, chúng tôi tìm thấy ý nghĩa của biểu thức. Vì vậy, người ta đã chứng minh rằng (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Trong ví dụ 4, bạn cần tìm giá trị của biểu thức tg 2 t+ctg 2 t nếu tg t+ctg t=6. Để tính biểu thức, trước tiên hãy bình phương cạnh phải và cạnh trái của đẳng thức (tg t+ctg t) 2 =6 2. Công thức nhân rút gọn được gọi lại ở phía bên phải màn hình. Sau khi mở dấu ngoặc ở phía bên trái của biểu thức, tổng tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t được hình thành, để biến đổi mà bạn có thể áp dụng một trong các đẳng thức lượng giác tg t·ctg t=1 , hình thức của nó được gọi lại ở phía bên phải màn hình. Sau khi biến đổi, thu được đẳng thức tg 2 t+ctg 2 t=34. Vế trái của đẳng thức trùng với điều kiện của bài toán nên đáp án là 34. Bài toán đã được giải.

Video bài học “Đơn giản hóa biểu thức lượng giác” được khuyến khích sử dụng trong truyền thống bài học ở trường toán học. Tài liệu này cũng sẽ hữu ích cho giáo viên thực hiện học từ xa. Nhằm phát triển kỹ năng giải các bài toán lượng giác.

GIẢI MÃ VĂN BẢN:

“Đơn giản hóa các biểu thức lượng giác.”

Bình đẳng

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sin bình phương te cộng cosin bình phương te bằng một)

2)tgt =, với t ≠ + πk, kϵZ (tiếp tuyến te bằng tỷ số giữa sin te và cosin te với te không bằng pi hai cộng pi ka, ka thuộc zet)

3)ctgt = , với t ≠ πk, kϵZ (cotang te bằng tỉ số giữa cosin te và sin te với te không bằng pi ka, ka thuộc zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 với t ≠ , kϵZ (tích của tiếp tuyến te với cotang te bằng 1 khi te không bằng đỉnh ka, chia cho hai, ka thuộc zet)

được gọi là các đồng nhất thức lượng giác cơ bản.

Chúng thường được sử dụng trong việc đơn giản hóa và chứng minh các biểu thức lượng giác.

Hãy xem các ví dụ về cách sử dụng các công thức này để đơn giản hóa các biểu thức lượng giác.

VÍ DỤ 1. Rút gọn biểu thức: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (biểu thức a cosin bình phương te trừ cosin cấp bốn te cộng sin cấp bốn te).

Giải pháp. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(chúng ta lấy ra thừa số chung cos bình phương te, trong ngoặc chúng ta nhận được sự khác biệt giữa đơn vị và bình phương cosine te, bằng với sin bình phương te theo đẳng thức thứ nhất. Chúng ta nhận được tổng của sin te bậc bốn của tích cosin bình phương te và sin bình phương te Chúng ta lấy thừa số chung sin bình phương te bên ngoài dấu ngoặc, trong ngoặc chúng ta nhận được tổng các bình phương của cosin và sin, về cơ bản là nhận dạng lượng giác bằng một. Kết quả là chúng ta thu được bình phương của sin te).

VÍ DỤ 2. Rút gọn biểu thức: + .

(biểu thức be là tổng của hai phân số trong tử số của cos thứ nhất te ở mẫu số một trừ sin te, trong tử số của cos thứ hai te ở mẫu số của cái thứ hai cộng sin te).

(Chúng ta hãy lấy thừa số chung cosin te ra khỏi ngoặc, và trong ngoặc chúng ta đưa nó về mẫu số chung, là tích của một trừ sin te với một cộng sin te.

Ở tử số ta được: một cộng sin te cộng một trừ sin te, ta trình bày các số giống nhau, tử số bằng hai sau khi đưa các số giống nhau.

Trong mẫu số, bạn có thể áp dụng công thức nhân viết tắt (chênh lệch bình phương) và nhận được sự khác biệt giữa đơn vị và bình phương của sin te, theo nhận thức lượng giác cơ bản

bằng bình phương cosin te. Sau khi giảm cosine te chúng ta có kết quả cuối cùng: hai chia cho cosine te).

Hãy xem các ví dụ về việc sử dụng các công thức này khi chứng minh biểu thức lượng giác.

VÍ DỤ 3. Chứng minh đẳng thức (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (tích của hiệu giữa bình phương tiếp tuyến te và sin te với bình phương cotang te bằng bình phương của sin te).

Bằng chứng.

Hãy biến đổi bên trái bình đẳng:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sin 2 t

(Chúng ta hãy mở ngoặc; từ hệ thức thu được trước đó, ta biết rằng tích các bình phương của tiếp tuyến te với cotang te bằng 1. Hãy nhớ lại rằng cotang te bằng tỷ lệ cosin te với sin te, có nghĩa là bình phương của cotang bằng tỉ số giữa bình phương cosin te và bình phương của sin te.

Sau khi giảm đi sin bình phương te, chúng ta thu được hiệu giữa đơn vị và cos bình phương te, bằng sin bình phương te). Q.E.D.

VÍ DỤ 4. Tìm giá trị của biểu thức tg 2 t + ctg 2 t nếu tgt + ctgt = 6.

(tổng các bình phương của tiếp tuyến te và cotang te, nếu tổng của tiếp tuyến và cotang là sáu).

Giải pháp. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Bình phương cả hai vế của đẳng thức ban đầu:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (bình phương của tổng tiếp tuyến te và cotang te bằng sáu bình phương). Ta nhắc lại công thức nhân rút gọn: Bình phương tổng của hai đại lượng bằng hình vuông số thứ nhất cộng hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai cộng với bình phương của số thứ hai. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Ta được tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tiếp tuyến bình phương te cộng gấp đôi tích của tiếp tuyến te bằng cotang te cộng cotang bình phương te bằng ba mươi sáu).

Vì tích của tiếp tuyến te và cotang te bằng một nên tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (tổng các bình phương của tiếp tuyến te và cotang te và hai bằng ba mươi sáu),