Các công thức lượng giác cơ bản. Bài học số 1
Số lượng công thức được sử dụng trong lượng giác khá lớn (theo “công thức” chúng tôi không có nghĩa là định nghĩa (ví dụ: tgx=sinx/cosx), mà là các đẳng thức giống hệt nhau như sin2x=2sinxcosx). Để giúp việc sử dụng lượng công thức phong phú này dễ dàng hơn và không làm học sinh mệt mỏi với việc nhồi nhét vô nghĩa, cần phải nêu bật những công thức quan trọng nhất trong số đó. Có rất ít trong số họ - chỉ có ba. Tất cả những công thức khác đều tuân theo ba công thức này. Đây là nhận dạng lượng giác cơ bản và các công thức tính sin và cos của tổng và hiệu:
Sin 2 x+cos 2 x=1 (1)
Sin(x±y)=sinxcosy±sinycosx (2)
Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)
Từ ba công thức này hoàn toàn tuân theo tất cả các tính chất của sin và cos (tính tuần hoàn, giá trị chu kỳ, giá trị sin 30 0 = π/6=1/2, v.v.) Từ quan điểm này, rất nhiều thông tin dư thừa, không cần thiết về mặt hình thức là được sử dụng trong chương trình giảng dạy của trường. Vì vậy, các công thức “1-3” thống trị vương quốc lượng giác. Hãy chuyển sang các công thức hệ quả:
1) Sin và cosin nhiều góc
Nếu thay thế giá trị x=y vào (2) và (3), chúng ta sẽ nhận được:
Sin2x=2sinxcosх; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0
Cos2x=cos 2 x-sin 2 x; cos0=cos 2 x+sin 2 x=1
Chúng ta suy ra rằng sin0=0; cos0=1 mà không cần dùng đến cách giải thích hình học của sin và cos. Tương tự, bằng cách áp dụng công thức "2-3" hai lần, chúng ta có thể rút ra biểu thức cho sin3x; cos3x; tội lỗi4x; cos4x, v.v.
Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3 x
Nhiệm vụ cho học sinh: rút ra các biểu thức tương tự của cos3x; tội lỗi4x; cos4x
2) Công thức giảm độ
Giải bài toán nghịch đảo bằng cách biểu diễn lũy thừa của sin và cosin theo cosin và sin nhiều góc.
Ví dụ: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1, do đó: cos 2 x=1/2+cos2x/2
Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x, do đó: sin 2 x=1/2-cos2x/2
Những công thức này được sử dụng rất thường xuyên. Để hiểu rõ hơn về chúng, tôi khuyên bạn nên vẽ biểu đồ bên trái và bên phải của chúng. Đồ thị các bình phương cosin và sin “bọc” xung quanh đồ thị đường thẳng “y=1/2” (đây là giá trị trung bình của cos 2 x và sin 2 x qua nhiều chu kỳ). Trong trường hợp này, tần số dao động tăng gấp đôi so với ban đầu (chu kì của hàm số cos 2 x sin 2 x bằng 2π /2=π) và biên độ dao động giảm đi một nửa (hệ số 1/2 trước cos2x) .
Bài toán: Biểu diễn sin 3 x; cos 3 x; tội lỗi 4 x ; cos 4 x thông qua cosin và sin nhiều góc.
3) công thức khử
Họ sử dụng tính tuần hoàn của các hàm lượng giác, cho phép tính các giá trị của chúng trong bất kỳ phần tư nào của vòng tròn lượng giác từ các giá trị trong quý đầu tiên. Công thức rút gọn là trường hợp rất đặc biệt của công thức “chính” (2-3). Ví dụ: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx
Vậy Cos(x+ π/2) =sinx
Bài tập: rút ra công thức rút gọn của sin(x+ π/2); cos(x+ 3 π/2)
4) Các công thức chuyển đổi tổng hoặc hiệu của cosin và sin thành tích và ngược lại.
Hãy viết công thức tính sin của tổng và hiệu của hai góc:
Sin(x+y) = sinxcosy+sinycosx (1)
Sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx (2)
Hãy cộng vế trái và vế phải của các đẳng thức này:
Sin(x+y) +sin(x-y) = sinxcosy +sinycosx +sinxcosy –sinycosx
Các điều khoản tương tự bị hủy bỏ, vì vậy:
Sin(x+y) +sin(x-y) = 2sinxcosy (*)
a) Khi đọc (*) từ phải sang trái, ta được:
Sinxcosy= 1/2(sin(x+y) + sin(x-y)) (4)
Tích các sin của hai góc bằng một nửa tổng các sin của tổng và hiệu của các góc này.
b) Khi đọc (*) từ trái sang phải, thuận tiện ký hiệu:
x-y = c. Từ đây chúng ta sẽ tìm thấy X Và Tại bởi vì r Và Với, cộng trừ vế trái và vế phải của hai đẳng thức sau:
x = (p+c)/2, y = (p-c)/2, thay (*) thay cho (x+y) và (x-y) các biến mới dẫn xuất r Và Với, hãy tưởng tượng tổng các sin thông qua tích:
sinp + sinc =2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)
Vì vậy, hệ quả trực tiếp của công thức cơ bản tính sin của tổng và hiệu các góc hóa ra là hai hệ thức mới (4) và (5).
c) bây giờ, thay vì cộng vế trái và vế phải của các đẳng thức (1) và (2), chúng ta sẽ trừ chúng với nhau:
sin(x+y) – sin(x-y) = 2sinycosx (6)
Đọc đẳng thức này từ phải sang trái dẫn đến một công thức tương tự như (4), điều này hóa ra không thú vị, bởi vì chúng ta đã biết cách phân tích tích của sin và cosin thành tổng các sin (xem (4)). Đọc (6) từ trái sang phải sẽ đưa ra công thức thu gọn hiệu các sin thành tích:
sinp – sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)
Vì vậy, từ một đồng nhất thức cơ bản sin (x±y) = sinxcosy±sinycosx, chúng ta có ba đồng nhất thức mới (4), (5), (7).
Công việc tương tự được thực hiện với một đẳng thức cơ bản khác cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny đã dẫn đến bốn đẳng thức mới:
Cosxcosy = ½ (cos(x+y) + cos (x-y)); cosp + cosc = 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);
Sinxsiny = ½ (cos(x-y) – cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)
Bài tập: Quy đổi tổng sin và cos thành tích:
Sinx +ấm cúng = ? Giải pháp: nếu bạn cố gắng không suy ra công thức mà nhìn ngay vào câu trả lời trong một số bảng công thức lượng giác, thì bạn có thể không tìm thấy kết quả có sẵn. Học sinh nên hiểu rằng không cần phải ghi nhớ và nhập vào bảng một công thức khác cho sinx+cosy = ..., vì bất kỳ cosin nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng sin và ngược lại, sử dụng các công thức rút gọn, ví dụ: sinx = cos ( π/2 – x), cosy = sin (π/2 – y). Do đó: sinx+cosy = sinx + sin (π/2 – y) = 2sin ((x+π/2 – y)/2)cos((x - π/2 + y)/2.
Công thức lượng giác cơ bản là công thức thiết lập mối liên hệ giữa các hàm lượng giác cơ bản. Sin, cosin, tiếp tuyến và cotang được liên kết với nhau bằng nhiều mối quan hệ. Dưới đây chúng tôi trình bày các công thức lượng giác chính và để thuận tiện, chúng tôi sẽ nhóm chúng theo mục đích. Sử dụng những công thức này, bạn có thể giải hầu hết mọi bài toán trong khóa học lượng giác tiêu chuẩn. Hãy để chúng tôi lưu ý ngay rằng dưới đây chỉ là các công thức chứ không phải kết luận của chúng, sẽ được thảo luận trong các bài viết riêng biệt.
Nhận dạng cơ bản của lượng giác
Nhận dạng lượng giác cung cấp mối quan hệ giữa sin, cos, tiếp tuyến và côtang của một góc, cho phép một hàm được biểu thị theo một hàm khác.
Nhận dạng lượng giác
sin 2 a + cos 2 a = 1 tg α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α
Những đẳng thức này tuân theo trực tiếp từ các định nghĩa của đường tròn đơn vị, sin (sin), cosine (cos), tiếp tuyến (tg) và cotang (ctg).
công thức khử
Công thức rút gọn cho phép bạn chuyển từ làm việc với các góc lớn tùy ý và tùy ý sang làm việc với các góc từ 0 đến 90 độ.
công thức khử
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = tg α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
Công thức rút gọn là hệ quả của tính tuần hoàn của các hàm lượng giác.
Công thức cộng lượng giác
Các công thức cộng trong lượng giác cho phép bạn biểu diễn hàm lượng giác của tổng hoặc hiệu các góc theo hàm lượng giác của các góc này.
Công thức cộng lượng giác
sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = tg α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β
Dựa trên các công thức cộng, các công thức lượng giác cho nhiều góc được rút ra.
Công thức cho nhiều góc: gấp đôi, gấp ba, v.v.
Công thức góc đôi và góc basin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α với t g 2 α = với t g 2 α - 1 2 · với t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 tg α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1
Công thức nửa góc
Các công thức nửa góc trong lượng giác là hệ quả của các công thức góc đôi và thể hiện mối liên hệ giữa hàm số cơ bản của nửa góc và cosin của một góc.
Công thức nửa góc
sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α
Công thức giảm độ
Công thức giảm độsin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
Thường rất bất tiện khi làm việc với các quyền hạn cồng kềnh khi thực hiện các phép tính. Công thức giảm bậc cho phép bạn giảm bậc của hàm lượng giác từ lớn tùy ý xuống bậc đầu tiên. Đây là quan điểm chung của họ:
Tổng quát về các công thức giảm độ
thậm chí n
sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)
cho số lẻ n
sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)
Tổng và hiệu của các hàm lượng giác
Hiệu và tổng của các hàm lượng giác có thể được biểu diễn dưới dạng tích. Phân tích thành thừa số giữa sin và cos rất thuận tiện khi sử dụng khi giải các phương trình lượng giác và đơn giản hóa biểu thức.
Tổng và hiệu của các hàm lượng giác
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2
Sản phẩm của hàm lượng giác
Nếu các công thức tính tổng và hiệu của các hàm cho phép người ta đi đến tích của chúng, thì các công thức tính tích của các hàm lượng giác sẽ thực hiện quá trình chuyển đổi ngược lại - từ tích sang tổng. Các công thức tính tích sin, cosin và sin bằng cosin được xem xét.
Công thức tích các hàm lượng giác
sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin(α - β) + sin(α + β))
Thay thế lượng giác phổ quát
Tất cả các hàm lượng giác cơ bản - sin, cos, tiếp tuyến và cotang - có thể được biểu diễn dưới dạng tiếp tuyến của một nửa góc.
Thay thế lượng giác phổ quát
sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter