Mục đích: Dành cho học chuyên sâu lớp 10, 11

Nhà xuất bản: MIPT Moscow 1996

Định dạng: DjVu, Kích thước tập tin: 8,72 MB

LỚP 11: CHƯƠNG 5-9

LỜI NÓI ĐẦU

Cuốn sách được viết trên cơ sở các bài giảng của các tác giả trong nhiều năm dành cho học sinh các lớp vật lý và toán học tại Viện Vật lý và Công nghệ Mátxcơva, được biên soạn trên cơ sở trường trung học cơ sở số 5 ở Dolgoprudny, cũng như trên dựa trên kinh nghiệm tổ chức các lớp thực hành về phép đo lập thể trong các lớp này.

Xem MỞ ĐẦU đầy đủ......

Cuốn sách có một số đặc điểm mà chúng tôi muốn thu hút sự chú ý của độc giả. Nó bao gồm một số phần của phép đo lập thể, mà trước đây thường thuộc về khóa học lớp 11 (góc nhị diện và đa diện, lý thuyết về khối đa diện). Có một số lý do cho việc này.

Thứ nhất, việc tách các câu hỏi affine của phép đo lập thể khỏi các câu hỏi số liệu (lớp thứ mười - sự song song của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, lớp thứ mười một - khối đa diện, vật thể quay, lý thuyết về diện tích và thể tích) dường như không tự nhiên đối với chúng ta. Những ý tưởng trực quan về các khối hình học và khối lượng của chúng được hình thành trong chúng ta từ thời thơ ấu. Những ý tưởng này, dựa trên kinh nghiệm hàng ngày của chúng ta, thường đủ để giải quyết nhiều vấn đề về số liệu có ý nghĩa. Đối với chúng ta, có vẻ như không cần phải lãng phí thời gian quý báu; chúng ta cần học cách giải quyết vấn đề càng sớm càng tốt, bởi vì công thức của nhiều vấn đề trong số đó rất rõ ràng ngay cả khi các định nghĩa chặt chẽ về thể tích và thể tích vẫn chưa được biết đến.

Thứ hai, đối với chúng tôi, việc học tài liệu mới vào cuối năm lớp 11 là điều không nên làm. Không có gì bí mật rằng tại thời điểm này, đối với hầu hết học sinh, giải pháp cho một nhiệm vụ thuần túy mang tính thực dụng đã được đặt lên hàng đầu - được nhận thành công vào học sinh đã chọn.

Một cuốn sách là một nghĩa trang rộng lớn, nơi không thể đọc được những cái tên bị xóa trên nhiều tấm bia.

Tải giáo trình - Đo lập thể. Dành cho học chuyên sâu lớp 10 và 11 năm 1996

Cm. Trích từ sách giáo khoa.........

§ 1. Trò chơi hình học

Tất cả tác phẩm của tôi đều là trò chơi.

Trò chơi nghiêm túc.

M. K. Escher

Trong khi nghiên cứu phép đo phẳng, bạn đã chơi một trò chơi thú vị có tên là “hình học” trong vài năm. Luật chơi của trò chơi này đã được phát triển qua hàng nghìn năm và cuối cùng chỉ được hình thành vào cuối thế kỷ trước. Điều tự nhiên là họ bắt đầu cuộc thảo luận bằng câu hỏi: hình học là gì? Dù lạ lùng nhưng rất khó để đưa ra câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi này. Hình học có nhiều mặt và chỉ một phần nhỏ của cái thường được gọi là hình học trong toán học hiện đại được học ở trường. Nhưng nó không chỉ có vậy. Ngay cả khi chúng ta hạn chế xem xét phép đo phẳng và phép đo lập thể theo nghĩa truyền thống, nhiệm vụ của chúng ta khó có thể dễ dàng hơn đáng kể. Một mặt, hình học là một lý thuyết tiên đề nghiên cứu các đối tượng có tính chất trừu tượng có mối quan hệ nhất định với nhau. Mặt khác, hình học nghiên cứu kích thước và hình dạng của vật thể thật. Để hiểu hai giả thuyết hình học này liên hệ với nhau như thế nào, chúng ta hãy theo dõi ngắn gọn con đường lịch sử phát triển của nó.

Mọi khoa học tự nhiên đều bắt đầu bằng việc xác lập những sự thật nhất định. Sau đó, khi chúng tích lũy, các định luật và lý thuyết được phát triển để biến khoa học thành một hệ thống mạch lạc. Đây là cách hình học phát triển. Ngay cả ở Ai Cập cổ đại và Babylon, nhiều sự thật có ý nghĩa đã được biết đến, chẳng hạn như định lý Pythagore hay công thức tính thể tích của kim tự tháp. Những kết quả này đã thu được

chúng tôi đã trải nghiệm, tính đúng đắn của chúng đã được xác nhận bằng nhiều thí nghiệm. Số lượng các mẫu hình học được chú ý ngày càng tăng và nhiệm vụ hệ thống hóa kiến ​​thức tích lũy được nảy sinh.

Đến đầu thế kỷ thứ 3. BC đ. Ý tưởng xây dựng một lý thuyết khoa học cuối cùng đã thành hình, theo đó điểm khởi đầu của lý thuyết phải là những điều khoản dựa trên dữ liệu thực nghiệm và do đó không gây ra nghi ngờ. Tất cả các điều khoản khác phải được lấy từ chúng một cách hợp lý (suy diễn). Tòa lâu đài logic đã được dựng lên, chủ yếu nhờ vào công trình của nhà triết học Hy Lạp cổ đại Aristotle (384-322 trước Công nguyên). Ông là người đầu tiên hình thành rõ ràng ý tưởng xây dựng một lý thuyết khoa học. Liên quan đến hình học, nó đã được Euclid (thế kỷ III trước Công nguyên) hiện thực hóa trong tác phẩm “Các yếu tố” của mình. Dựa trên thí nghiệm của những người đi trước, ông đã đưa ra một số phát biểu (tiên đề hoặc định đề) được chấp nhận mà không cần bằng chứng. Từ các tiên đề, các hệ quả logic của chúng - các định lý - đã được suy ra. Do đó hình học đã trở thành một môn khoa học suy diễn. Bản chất của phương pháp ông nội đã được Arthur Conan Doyle truyền tải một cách xuất sắc qua lời nói của người anh hùng yêu thích Sherlock Holmes của ông: “... đơn giản là không thể lừa dối một người biết quan sát và phân tích. Những kết luận của anh ta sẽ không thể sai lầm, giống như các định lý của Euclid... Với một giọt nước... một người biết suy nghĩ logic có thể kết luận về khả năng tồn tại của Đại Tây Dương hoặc Thác Niagara, ngay cả khi anh ta có chưa bao giờ nhìn thấy hoặc nhìn thấy cái này hay cái kia mà tôi chưa từng nghe. Mỗi cuộc đời là một chuỗi nhân quả khổng lồ và chúng ta có thể hiểu được bản chất của nó từng cái một.”

Hệ thống Euclid đã tồn tại hơn hai thiên niên kỷ mà không có bất kỳ thay đổi đáng kể nào. Tuy nhiên, theo quan điểm hiện đại, nó dường như không còn hoàn hảo nữa. Nó không làm nổi bật các khái niệm cơ bản, một số tiên đề không cần thiết, nhiều bằng chứng không chỉ giới hạn ở suy luận logic mà còn thu hút sự cân nhắc về tính rõ ràng.

Vào đầu thế kỷ 19 và 20, sau những nỗ lực không ngừng nghỉ của nhiều nhà toán học, trong số đó phải kể đến Felix Klein (1849-1925) và David Hilbert (1862-1943), một hệ thống hình học đã được xây dựng. thoát khỏi những thiếu sót này. Hệ thống này được dựa trên phương pháp tiên đề.

Bản chất của phương pháp xây dựng một lý thuyết khoa học này như sau. Các khái niệm hoặc đối tượng cơ bản (không xác định) được liệt kê. Tất cả các khái niệm mới xuất hiện đều phải được xác định thông qua các khái niệm cơ bản và khái niệm đã được xác định trước đó. Các tiên đề được hình thành - các mệnh đề được chấp nhận mà không cần bằng chứng. Tất cả các mệnh đề khác phải là hệ quả logic của các tiên đề hoặc các mệnh đề đã được chứng minh trước đó.

Lưu ý rằng các tiên đề hoàn toàn không phải là “sự thật hiển nhiên”. Điều hiển nhiên đối với người này có thể lại có vẻ vô lý đối với người khác. Vì vậy, một khán giả của một trận đấu bóng đá biết rõ luật chơi có thể vô cùng thích thú với những pha hành động hấp dẫn diễn ra trên sân. Bất kỳ ai không quen thuộc với các quy tắc đều có thể coi những gì đang diễn ra trên sân là vô lý và không đáng được quan tâm. Ý nghĩa của các tiên đề là chúng là những thỏa thuận mà chúng ta ký kết khi bắt đầu tạo ra một lý thuyết.

Các khái niệm và tiên đề cơ bản không nhất thiết phải liên quan đến thế giới thực xung quanh chúng ta. Bằng cách xây dựng một lý thuyết trừu tượng, chúng ta sẽ bị phân tâm khỏi ý nghĩa trực quan của các khái niệm cơ bản (nếu nó tồn tại). Ý nghĩa duy nhất được đưa vào các khái niệm cơ bản là: chúng có chính xác những đặc tính được mô tả trong các tiên đề. Vì vậy, người ta thường cho rằng tiên đề là những “định nghĩa ẩn” của các khái niệm cơ bản. Chúng ta hãy nhấn mạnh một lần nữa rằng nhà toán học hoàn toàn không khẳng định rằng các tiên đề là đúng. Anh ta chỉ xây dựng một hệ thống các tuyên bố nhất thiết phải tuân theo chúng, bảo lưu quyền tự do thay đổi các tiên đề (và theo đó, có được một hệ thống hậu quả khác).

Vì vậy, các khái niệm của lý thuyết trừu tượng không có ý nghĩa cụ thể. Nhưng nếu chúng có thể được gán ý nghĩa này (tức là chỉ ra một hệ thống các đối tượng cụ thể và các mối quan hệ giữa chúng) sao cho các tiên đề đã thiết lập được tuân thủ, thì như người ta nói, chúng ta sẽ có được một cách giải thích hoặc một mô hình của một lý thuyết trừu tượng. Cùng một lý thuyết có thể có nhiều mô hình khác nhau.

Bây giờ chúng ta có thể giải thích tính hai mặt của hình học đã được thảo luận ở trên. Cho đến khi chúng ta xác định được ý nghĩa của các khái niệm hình học cơ bản, nghĩa là chúng ta không dùng đến các biểu diễn trực quan như đường thẳng, mặt phẳng, v.v., thì hình học mà chúng ta đã xây dựng là một lý thuyết trừu tượng. Tất cả các kết luận của lý thuyết này sẽ có thể hiểu được đối với một sinh vật tưởng tượng có logic và số học của chúng ta, nhưng hoàn toàn không biết gì về cấu trúc của thế giới xung quanh chúng ta (nhà toán học người Pháp Jacques Adamar gọi sinh vật này là “Homo Arithmeticus”), nhưng như ngay khi chúng ta hình dung điểm là sự lý tưởng hóa dấu vết của một cây bút chì đã gọt trên giấy, đường thẳng là sự lý tưởng hóa của một sợi dây căng, và mặt phẳng là sự lý tưởng hóa của bề mặt nhẵn của một cái bàn, hình học của chúng ta sẽ trở thành một mô hình của lý thuyết trừu tượng Mô hình này không phải là mô hình duy nhất khả thi, nhưng đây là những gì chúng ta nghiên cứu trong khóa học hình học ở trường, vì nó mô tả rất chính xác các đặc tính hình học của các vật thể thực xung quanh chúng ta.

Bây giờ chúng ta hãy quay lại câu hỏi về các quy tắc của shra của chúng ta, tóm tắt những gì đã nói ở trên. Đối tượng nghiên cứu của chúng tôi là một mô hình lý thuyết trừu tượng được xây dựng trên cơ sở phương pháp tiên đề. Mô hình này phản ánh các đặc tính hình học của phần không gian xung quanh chúng ta khi nó được cảm nhận bằng các giác quan của chúng ta. Tất cả các phát biểu liên quan đến mô hình này đều là hệ quả logic của các tiên đề và các phát biểu đã được thiết lập trước đó (tức là chúng đã được chứng minh). Tất cả các khái niệm mới xuất hiện đều được xác định thông qua những khái niệm cơ bản và đã biết trước đó. Trong quá trình chứng minh, chúng ta sử dụng các hình vẽ giúp rút ra kết luận logic đúng đắn (nhưng không thay thế chúng). Việc sử dụng hình vẽ rất thuận tiện vì mô hình đang được nghiên cứu là tự nhiên và quen thuộc với chúng ta; chúng ta có thể “phát hiện” rất nhiều điều trên hình vẽ, sử dụng nó để đoán công thức đúng của phát biểu và sau đó chứng minh điều đó (đó là rõ ràng rằng đây là đặc điểm nhận thức của chúng ta: đối với Homo Arithmeticus, những bức vẽ của chúng ta không thể hiểu được và do đó vô dụng).

Nhưng không có quy tắc nào mà không có ngoại lệ. Chúng ta hãy lưu ý rằng khi xây dựng một môn học hình học ở trường, ý tưởng về phương pháp tiên đề không được duy trì đến cùng. Thay vì trình bày nhất quán về các hệ quả logic của các tiên đề với các chứng minh đầy đủ của chúng, một phong cách gambit được áp dụng, để diễn đạt nó trong ngôn ngữ cờ vua: tính chặt chẽ về mặt logic và sự hài hòa trong cách trình bày ở một số chỗ được cố tình hy sinh để ngắn gọn và rõ ràng. Một số định lý không được chứng minh hoặc chỉ được chứng minh cho những trường hợp đặc biệt đơn giản nhất, không đưa ra định nghĩa chặt chẽ về một số khái niệm, v.v. Điều này là do tất cả các khóa học hình học nghiêm ngặt về mặt logic đều khá khó hiểu và rất đồ sộ.

Cuối cùng, chúng ta sẽ thảo luận vấn đề rất quan trọng của việc chọn tiên đề. Các yêu cầu đối với hệ tiên đề làm cơ sở cho lý thuyết như sau. Đầu tiên, hệ thống tiên đề phải nhất quán, nghĩa là không có phát biểu nào cùng với sự phủ định của nó xuất phát từ nó. Yêu cầu này là quan trọng nhất, nó hoàn toàn cần thiết. Hơn nữa chúng ta sẽ chỉ nói về các hệ thống tiên đề nhất quán. Thứ hai, điều mong muốn là hệ tiên đề phải độc lập, nghĩa là không có tiên đề nào kế thừa các tiên đề khác. Việc đáp ứng yêu cầu này là không cần thiết, nhưng việc cố gắng đảm bảo rằng không có “thêm” nào trong số các tiên đề vẫn là điều tự nhiên. Thứ ba, tôi mong muốn hệ thống tiên đề được hoàn thiện, tức là không thể thêm một tiên đề mới vào hệ thống này để nó không tuân theo các tiên đề hiện có và không mâu thuẫn với chúng (nghĩa là vẫn còn nhiều khái niệm cơ bản trong khi vẫn không thay đổi). Lưu ý rằng các hệ tiên đề của hình học là hoàn chỉnh, nhưng đây là ngoại lệ hơn là quy luật: thông thường trong toán học, các hệ tiên đề hóa ra là không đầy đủ. Cuối cùng, thứ tư, người ta có thể yêu cầu hệ thống tiên đề phải đóng, nghĩa là nó không sử dụng các khái niệm từ lý thuyết khác. Theo quy luật, các hệ tiên đề hình học không đóng, vì chẳng hạn, chúng sử dụng khái niệm số, thường được định nghĩa trong các khóa học về phân tích toán học.

§ 2. Các yếu tố logic và lý thuyết tập hợp

“Tôi sẽ nói như vậy,” March Hare lưu ý. - Bạn nên luôn nói những gì bạn nghĩ.

Đó là việc tôi làm,” Alice vội vàng giải thích. - Ít nhất...Ít nhất tôi luôn nghĩ những gì tôi nói...và nó cũng giống nhau...

“Không giống nhau chút nào,” Blockhead-chic phản đối. - Vậy là bạn sẽ nói điều gì đó hay ho khác, như thể “Tôi thấy thứ tôi ăn” và “Tôi ăn thứ tôi thấy” là một!

L. Carroll. Cuộc phiêu lưu của Alice ở xứ sở thần tiên

Phần này cung cấp thông tin cơ bản về logic và lý thuyết tập hợp. Bạn có thể đã quen thuộc với tài liệu được trình bày ở đây, nhưng do tầm quan trọng của các khái niệm được thảo luận, tốt nhất bạn nên lặp lại chúng một lần nữa. Chúng tôi đề cập đến logic và lý thuyết tập hợp nhiều nhất có thể cho khóa học lập thể của chúng tôi. Ví dụ, có thể tìm thấy phần giới thiệu chi tiết và chặt chẽ hơn về các nhánh toán học này trong cuốn sách [Kutasov và cộng sự, 1981].

Chúng ta hãy gọi một phát biểu là bất kỳ phát biểu nào mà chúng ta có thể nói nó đúng hay sai. Ví dụ về các tuyên bố bao gồm các tuyên bố sau: đội tuyển quốc gia Brazil là nhà vô địch FIFA World Cup 1994; số 100 là số chẵn; tổng các góc của một tam giác là 90°. Hai câu đầu tiên trong số này là đúng và câu cuối cùng là sai. Ví dụ, câu sau đây không phải là câu: học ở trường thì dễ; vì người ta không thể nói chắc chắn nó đúng hay sai. Nhiều định lý (đặc biệt là đau-

1 Chúng ta hãy giải thích ý nghĩa của từ “theo sau” trong định nghĩa này: một phát biểu được suy ra từ một hệ tiên đề nếu trong bất kỳ mô hình nào mà các tiên đề này được thỏa mãn thì phát biểu này cũng đúng; nếu có một mô hình của hệ tiên đề này mà phát biểu này sai thì được coi là nó không tuân theo hệ tiên đề này.

• Bài tập miệng hình học 9-10 LỚP 1983 tải SGK Liên Xô
• Sự khởi đầu của phép đo lập thể CHO LỚP 10 1982 tải về sách giáo khoa Liên Xô

Lập thể trực quan trong lý thuyết, vấn đề, hình vẽ. Bobrovskaya A.V.

R. trên D.: 2013. - 167 tr.

Sách giáo khoa là hướng dẫn thực hành cho khóa học lập thể ở trường trung học. Nó trình bày tài liệu về lý thuyết hình ảnh của các hình không gian trong một phép chiếu song song tùy ý. Cuốn sách chứa các thuật toán để xây dựng hình ảnh của khối đa diện, vật thể tròn và sự kết hợp của chúng, mô tả các trường hợp chính để chứng minh việc thực hiện các bản vẽ và trình bày phân tích chi tiết về khả năng của các bản vẽ chiếu để giải quyết các vấn đề xây dựng các phần của khối đa diện.

Định dạng: Tài liệu lý thuyết được cung cấp với một số lượng lớn các hình ảnh minh họa, nhiều trong số đó được thực hiện “trong động lực học”. Chương đầu tiên trình bày những kiến ​​thức cơ bản về lý thuyết ảnh của các hình phẳng và không gian trong phép chiếu song song, bao gồm các thuật toán xây dựng ảnh của các hình phẳng và không gian. Chương thứ hai được dành để giải quyết các vấn đề về vị trí trong bản vẽ hình chiếu. Ở đây đưa ra các khái niệm về các bài toán vị trí, hình ảnh đầy đủ và không đầy đủ, các kỹ thuật và phương pháp xây dựng các phần của khối đa diện trên các bản vẽ hoàn chỉnh được đưa ra. Chương thứ ba thảo luận về các phương pháp chứng minh việc thực hiện các bản vẽ và cung cấp các ví dụ về giải các bài toán lập thể trên các bản vẽ hình chiếu. Sách được thiết kế dành cho học sinh lớp 10–11, giáo viên toán và sinh viên các trường đại học sư phạm.

pdf Kích cỡ:

26,4 MBXem, tải về: ; drive.google

ma quái
MỤC LỤC
1.1. Cơ sở lý thuyết thiết kế song song.. 5
1.2. Hình ảnh các hình phẳng. 6
1.3. Hình ảnh các hình không gian 11
1.3.1. Lăng kính 11
1.3.2. Kim tự tháp 11
1.3.3. Xi lanh. 16
1.3.4. hình nón. 16
1.3.5. Bóng 20
1.3.6. Sự kết hợp của hình trụ với khối đa diện 20
1.3.7. Sự kết hợp của hình nón với khối đa diện 26
1.3.8. Bóng khoanh tròn 31
1.3.9. Bóng khắc 31
Chương 2. NHIỆM VỤ THI CÔNG BẢN VẼ ĐẦY ĐỦ VÀ CHƯA ĐẦY ĐỦ 42
2.1. Nhiệm vụ vị trí, hình ảnh đầy đủ và không đầy đủ 42
2.2. Nhiệm vụ vị trí cơ bản 46
2.3. Các phương pháp cơ bản để dựng các phần của khối đa diện 54
2.3.1. Phương pháp tiên đề để xây dựng phép lập thể 54
2.3.2. Các tiên đề và định lý lập thể trong việc xây dựng các mặt cắt của khối đa diện
2.3.3. Tính song song của đường thẳng và mặt phẳng trong dựng mặt cắt khối đa diện
2.4. Dựng các phần khối đa diện trên bản vẽ It hoàn chỉnh
2.4.1. Phương pháp theo dõi mặt phẳng cắt 7*
2.4.2. Phương pháp thiết kế bên trong 81
Chương 3. XÂY DỰNG CÁC PHẦN TỔNG HỢP VÀ THÂN TRÒN TRÊN BẢN VẼ HOÀN THÀNH 87
3.1. Chiều cao đa diện 87
3.2. Góc với mặt phẳng 94
3.3. Góc nhị diện. Góc lưỡng diện tuyến tính 97
3.4. Hình dạng các mặt và mặt cắt của khối đa diện 102
3.5. Vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng và mặt phẳng trong không gian phần mềm
3.5.1. Vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian 110
3-5.2. Vuông góc từ một điểm đến một mặt phẳng 112
3.5.3. Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng 114
3.6. Đường vuông góc chung của các đường thẳng cắt nhau 115
3.7. Sự kết hợp của khối đa diện và vật tròn 120
3.7.1. Tổ hợp hình trụ với khối đa diện 120
3.7.2. Tổ hợp hình nón với khối đa diện 122
3.7.3. Hình cầu ngoại tiếp khối đa diện và vật tròn 125
3.7.4. Bóng khắc 129
3.7.5. Sự kết hợp không chuẩn của khối đa diện và thân tròn. 140
3.7.6. Tính các phần tử của khối đa diện
và thân tròn trong bản vẽ hoàn chỉnh 150
Kết luận 161
Tài liệu tham khảo 163

Với những phương tiện trực quan này, tôi dạy các lớp lập thể cho lớp 10-11 để chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất. Rõ ràng, một gia sư toán sử dụng các hình vẽ tương tự ba chiều thực sự sẽ có thể nhanh chóng phát triển ở học sinh những kỹ năng cần thiết khi làm việc với khối đa diện. Các mô hình tạo điều kiện thuận lợi cho việc nhận thức các điều kiện của nhiệm vụ và giúp gia sư phát triển tư duy không gian của học sinh. Ngăn chặn các lỗi liên quan đến việc đọc bản vẽ không chính xác và quá trình tìm kiếm các thuật toán để giải quyết các vấn đề phức tạp được đẩy nhanh.

Di chuột qua ảnh và nhấp vào nó. Nó sẽ mở ở quy mô lớn hơn.

Hãy chú ý đến các ốc vít đặc biệt trên sườn của các mẫu. Chúng đang di chuyển và tôi có thể cố định bất kỳ vị trí nào của bất kỳ phần nào với chúng. Điều này cho phép bạn hoàn thành các mô hình để tuân thủ chính xác các điều kiện của một nhiệm vụ cụ thể.

Chúng ta có thể mô phỏng các mặt cắt, vẽ các đường trên các mặt, hiển thị chiều cao của hình chóp, chiều cao của lăng kính, các hình tam giác apothemic và cạnh, v.v.

Thay vì phải sắp xếp vô số sự lộn xộn và biến dạng của tác vụ tương tự như sổ ghi chép, nó có thể được tái tạo trong thực tế.

Việc gia sư toán sử dụng mô hình thực tế giúp học sinh nhận biết được

• vượt qua đường
• vuông góc với mặt phẳng
• góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• góc giữa các mặt phẳng

Khi giải quyết vấn đề, học sinh có cơ hội

• lấy mô hình
• xoay nó về phía bạn ở một bên thuận tiện
• chèn một mảnh giấy mô phỏng một phần
• vẽ bất kỳ dòng nào trong phần
• chỉ định các đỉnh của phần A, B, C...

Thuận tiện cho gia sư toán sử dụng mô hình

• đưa ra lời giải thích cho các nhiệm vụ
• giới thiệu cho học sinh về các loại khối đa diện và tính chất của chúng
• chỉ ra lỗi trong việc xác định các góc độ khác nhau
• chứng minh các định lý lập thể và rút ra công thức

Trích thư của các thầy cô:

Vera Viktorovna, gia sư toán đã nghỉ hưu
“Bạn có những mô hình lập thể tuyệt vời. Bạn thực sự đã tự làm chúng sao?! Hay họ đã được mua? Bạn có thể vui lòng cho tôi biết tôi có thể đặt mua sách hướng dẫn minh bạch ở đâu không? Có lẽ một trong những gia sư quen thuộc của bạn đã tạo ra chúng? Tôi sẽ rất vui khi sử dụng dịch vụ của họ.”

Tôi không mua bất cứ thứ gì từ bất cứ ai ngoại trừ vật liệu để lắp ráp. Tất cả các mô hình đều do chính tay tôi làm vào mùa hè ở nhà gỗ và theo như tôi biết, không có gia sư toán nào ở Moscow cung cấp bất cứ thứ gì như thế này. Ít nhất không ai có mô hình mở. Khó có khả năng bạn mua được chúng, và chắc chắn cũng không có ai lắp ráp theo yêu cầu. Đây là một nhiệm vụ rất rắc rối. Tôi dành trung bình 5-6 giờ cho mỗi bản sao. Tôi cắt tỉa, làm sạch, điều chỉnh.

Krayuvtseva I.P., giáo viên mới bắt đầu: “Điều này thật tuyệt vời! Tôi thực sự yêu thích các mô hình!!! Bản thân tôi là gia sư toán và dành phần lớn thời gian để chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất. Tôi liên tục gặp khó khăn với các bức vẽ theo phương pháp lập thể. Học sinh không thể tưởng tượng được toàn bộ bức tranh trong một vấn đề. Bạn đã làm cách nào để gắn chặt các xương sườn của các mô hình lại với nhau? Hãy chia sẻ bí quyết sản xuất của bạn nhé.”

Tôi sẽ không tiết lộ bí mật của các thiết kế cho đến cuối cùng. Tôi chỉ có thể nói rằng đối với các gân, một cuộn dây rất cứng đã được sử dụng với đường kính lý tưởng cho các lỗ trên cơ cấu buộc bằng nhựa. Để kết nối các gân bên với đa giác cơ sở, các dây buộc này được cắt đặc biệt tùy thuộc vào các góc của hình ở chân đế. Nhiệm vụ dễ dàng nhất là lắp ráp các đa giác cho các căn cứ. Để làm điều này, tôi tháo cuộn dây ra khỏi một đoạn dây khác (mềm), cắt nó thành những đoạn dài khoảng 1 cm và chỉ cần chèn những đoạn dây cứng đã cắt vào mỗi đoạn từ các phía khác nhau. May mắn thay cho tôi, tất cả các kích cỡ đều phù hợp hoàn hảo với nhau.

Gia sư toán về các mô hình “thế hệ mới nhất”.
Trong mùa hè, tôi bắt đầu cải thiện các phương tiện trực quan. Các đường gân của các mẫu mới nhất được trang bị các thanh trượt đặc biệt có lỗ để bạn có thể luồn dây mềm hoặc sợi dày bắt chước vết cắt. Nhấp vào bức ảnh nhỏ mà bạn nhìn thấy ở bên phải văn bản và nó sẽ mở ra trong một cửa sổ mới ở phiên bản phóng to. Bức ảnh cho thấy một thanh trượt cận cảnh như vậy. Các thanh trượt cho phép gia sư môn toán mô phỏng dấu vết từ bất kỳ phần nào của mặt phẳng có bề mặt của khối đa diện.

Kolpkov Alexander Nikolaevich, gia sư toán ở Moscow.

Sách giáo khoa là hướng dẫn thực hành cho khóa học lập thể ở trường trung học. Nó trình bày tài liệu về lý thuyết hình ảnh của các hình không gian trong một phép chiếu song song tùy ý.
Cuốn sách chứa các thuật toán để xây dựng hình ảnh của khối đa diện, vật thể tròn và sự kết hợp của chúng, mô tả các trường hợp chính để chứng minh việc thực hiện các bản vẽ và trình bày phân tích chi tiết về khả năng của các bản vẽ chiếu để giải quyết các vấn đề xây dựng các phần của khối đa diện. Tài liệu lý thuyết được cung cấp với một số lượng lớn các hình ảnh minh họa, nhiều trong số đó được thực hiện “trong động lực học”.
Chương đầu tiên trình bày những kiến ​​thức cơ bản về lý thuyết ảnh của các hình phẳng và không gian trong phép chiếu song song, bao gồm các thuật toán xây dựng ảnh của các hình phẳng và không gian.
Chương thứ hai được dành để giải quyết các vấn đề về vị trí trong bản vẽ hình chiếu. Ở đây đưa ra sự hiểu biết về các bài toán vị trí, hình ảnh đầy đủ và không đầy đủ, các kỹ thuật và phương pháp xây dựng các phần của khối đa diện trên các bản vẽ hoàn chỉnh được đưa ra.
Chương thứ ba thảo luận về các phương pháp chứng minh việc thực hiện các bản vẽ và cung cấp các ví dụ về giải các bài toán lập thể trên các bản vẽ hình chiếu.
Sách được thiết kế dành cho học sinh lớp 10-11, giáo viên toán và sinh viên các trường đại học sư phạm.

Kim tự tháp.
Chúng tôi mô tả đáy của kim tự tháp dưới dạng đa giác, sau đó chiều cao của kim tự tháp là một đoạn thẳng đứng. Chọn đỉnh của kim tự tháp và vẽ các cạnh bên. Chọn các dòng hiển thị và vô hình. Hình 16 thể hiện một hình chóp SABCD tùy ý, vị trí của chiều cao SO của nó không được xác định bởi điều kiện bài toán.

Tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, vị trí đáy của chiều cao của kim tự tháp, điểm O., được xác định bởi các điều kiện của bài toán. Cụ thể, nếu hình chóp đều thì O là tâm của đáy. Hình 17 thể hiện một kim tự tháp hình tam giác đều. Chúng ta hãy đặc biệt làm nổi bật những hình chóp trong đó tất cả các cạnh hoặc tất cả các mặt đều nghiêng bằng nhau với mặt phẳng của đế, cũng như những hình chóp trong đó một cạnh bên hoặc hai mặt vuông góc với mặt phẳng của đế. Vị trí chiều cao của các kim tự tháp như vậy được nghiên cứu chi tiết trong Chương 3 của sách hướng dẫn này.

Mục lục
Chương 1. THỂ HIỆN HÌNH PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN TRONG HÌNH SONG SONG
1.1. Cơ sở lý thuyết thiết kế song song
1.2. Hình ảnh các hình phẳng
1.3. Hình ảnh các hình không gian
1.3.1. lăng kính
1.3.2. kim tự tháp
1.3.3. Xi lanh
1.3.4. hình nón
1.3.5. Quả bóng
1.3.6. Sự kết hợp của hình trụ với khối đa diện
1.3.7. Sự kết hợp của hình nón với khối đa diện
1.3.8. Bóng khoanh tròn
1.3.9. bóng ghi
Chương 2. VẤN ĐỀ THI CÔNG TRÊN BẢN VẼ ĐẦY ĐỦ VÀ CHƯA ĐẦY ĐỦ
2.1. Nhiệm vụ vị trí, hình ảnh đầy đủ và không đầy đủ
2.2. Nhiệm vụ vị trí cơ bản
2.3. Các phương pháp cơ bản để dựng các phần của khối đa diện
2.3.1. Cách tiếp cận tiên đề để xây dựng phép đo lập thể
2.3.2. Các tiên đề và định lý lập thể trong dựng mặt cắt khối đa diện
2.3.3. Sự song song của đường thẳng và mặt phẳng trong việc dựng các mặt cắt của khối đa diện
2.4. Xây dựng các phần của khối đa diện trên bản vẽ đầy đủ
2.4.1. Phương pháp theo dõi mặt phẳng cắt
2.4.2. Phương pháp “thiết kế nội bộ”
Chương 3. XÂY DỰNG CÁC PHẦN TỔNG HỢP VÀ THÂN TRÒN TRÊN BẢN VẼ HOÀN THÀNH
3.1. Chiều cao đa diện
3.2. Góc với mặt phẳng
3.3. Góc nhị diện. Góc nhị diện tuyến tính
3.4. Hình dạng các mặt và mặt cắt của khối đa diện
3.5. Vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
3.5.1. Vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian
3.5.2. vuông góc từ một điểm đến một mặt phẳng
3.5.3. Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng
3.6. Đường vuông góc chung của đường xiên
3.7. Sự kết hợp của khối đa diện và vật thể tròn
3.7.1. Sự kết hợp của hình trụ với khối đa diện
3.7.2. Sự kết hợp của hình nón với khối đa diện
3.7.3. Hình cầu bao quanh khối đa diện và vật tròn
3.7.4. bóng ghi
3.7.5. Sự kết hợp không chuẩn của khối đa diện và thân tròn
3.7.6. Tính toán các phần tử khối đa diện và hình tròn trong bản vẽ đầy đủ
Phần kết luận
Tài liệu tham khảo.

Tải xuống sách điện tử miễn phí ở định dạng thuận tiện, xem và đọc:
Tải sách Lập thể trực quan trong lý thuyết, bài toán, hình vẽ, Bobrovskaya A.V., 2013 - fileskachat.com, tải xuống nhanh và miễn phí.

MBU "Trường trung học số 7"

Phát triển phương pháp

bằng phép đo lập thể

dành cho học sinh lớp 10-11

Belousova E.N., giáo viên toán

2012, Nalchik

“Các khái niệm và tiên đề cơ bản của phép đo lập thể.

Sự song song của đường thẳng và mặt phẳng"

lập thể là một nhánh của hình học nghiên cứu các tính chất của các hình trong không gian.

Từ "hình lập thể" xuất phát từ các từ tiếng Hy Lạp “στερεοσ” - thể tích, không gian và “μετρεο” - để đo lường.

Các hình đơn giản nhất trong không gian: điểm, đường thẳng, mặt phẳng.

Các tiên đề của phép lập thể và hệ quả của chúng

Tiên đề 1. Qua ba điểm không thẳng hàng có một mặt phẳng đi qua và chỉ có một mặt phẳng đi qua.
Tiên đề 2. Nếu hai điểm của một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều nằm trong mặt phẳng đó. (Một đường thẳng nằm trên một mặt phẳng hoặc một mặt phẳng đi qua một đường thẳng).
Từ Tiên đề 2, nếu một đường thẳng không nằm trong một mặt phẳng cho trước thì nó có nhiều nhất một điểm chung với nó. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng có một điểm chung thì chúng được gọi là cắt nhau.
Tiên đề 3. Nếu hai mặt phẳng khác nhau có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chứa tất cả các điểm chung của các mặt phẳng đó. Trong trường hợp này, họ nói rằng các mặt phẳng cắt nhau theo một đường thẳng. Ví dụ: giao điểm của hai bức tường liền kề, bức tường và trần của một căn phòng.
Một số hệ quả từ các tiên đề Định lý 1. Một mặt phẳng và chỉ một mặt phẳng đi qua đường thẳng a và một điểm A không nằm trên đó.
Định lý 2. Một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng a và b cắt nhau và chỉ có một đường thẳng cắt nhau.
Những đường thẳng song song trong không gian Hai đường thẳng trong không gian được gọi là song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không cắt nhau.
Định lý về đường thẳng song song. Qua bất kỳ điểm nào trong không gian không nằm trên một đường thẳng cho trước sẽ có một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho và hơn nữa chỉ có một đường thẳng đi qua.
Bổ đề về giao điểm của một mặt phẳng bởi các đường thẳng song song. Nếu một trong hai đường thẳng song song cắt một mặt phẳng cho trước thì đường thẳng kia cũng cắt mặt phẳng này.