Công thức cho một đối số bổ sung (phụ trợ)
Hãy xem xét một biểu thức của hình thức
trong đó các số và không bằng 0 cùng một lúc. Hãy nhân và chia từng số hạng cho và lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc:
Thật dễ dàng để kiểm tra điều đó
có nghĩa là, theo Định lý 2, tồn tại một góc thực sao cho
Do đó, sử dụng sin của công thức tính tổng, chúng ta nhận được
trong đó góc như và được gọi là công thức đối số phụ và được sử dụng để giải các phương trình và bất đẳng thức tuyến tính không đồng nhất.
Hàm lượng giác nghịch đảo
định nghĩa
Đến đây chúng ta đã giải được bài toán xác định hàm lượng giác của các góc cho trước. Nhưng nếu bài toán ngược lại thì sao: biết hàm lượng giác bất kỳ, xác định được góc tương ứng.
arcsin
Xét biểu thức ở đâu là một số thực đã biết. Theo định nghĩa, sin là tọa độ giao điểm của tia tạo thành một góc với trục hoành và đường tròn lượng giác. Như vậy, để giải phương trình, bạn cần tìm giao điểm của đường thẳng và đường tròn lượng giác.
Rõ ràng, tại , đường thẳng và đường tròn không có điểm chung nên phương trình không có nghiệm. Nghĩa là không thể tìm được góc có sin lớn hơn 1 về giá trị tuyệt đối.
Ví dụ: khi một đường thẳng và một đường tròn có giao điểm và (xem hình). Do đó, tất cả các góc khác với chúng một số nguyên số vòng quay đầy đủ sẽ có một sin nhất định, tức là , - vô số góc. Làm thế nào để chọn một góc trong vô số sự đa dạng này?
Để xác định duy nhất góc tương ứng với số đó cần phải thỏa mãn thêm một điều kiện: góc này phải thuộc đoạn thẳng. Góc này được gọi là arcsine của số. nhận dạng hàm lượng giác góc
arcsin số thực là số thực có sin bằng. Con số này được chỉ định.
cung cosin
Bây giờ chúng ta hãy xem xét một phương trình có dạng. Để giải nó, cần phải tìm tất cả các điểm trên đường tròn lượng giác có hoành độ, tức là. giao điểm của một đường thẳng. Như trong trường hợp trước, phương trình đang xét không có nghiệm. Và nếu có giao điểm của một đường thẳng và một đường tròn, tương ứng với một tập hợp các góc vô hạn, .
Để xác định duy nhất góc tương ứng với một cosin nhất định, một điều kiện bổ sung được đưa ra: góc này phải thuộc đoạn thẳng; góc như vậy được gọi là cung cosin của số.
cung cosin số thực là số thực có cosin bằng. Con số này được chỉ định.
Arctang và arctang
Chúng ta hãy nhìn vào biểu thức. Để giải, bạn cần tìm trên đường tròn tất cả các điểm giao nhau với đường thẳng, hệ số góc của nó bằng tiếp tuyến của góc nghiêng của đường thẳng với chiều dương của trục hoành. Một đường như vậy, với mọi giá trị thực, cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm. Những điểm này đối xứng qua gốc tọa độ và tương ứng với các góc .
Để xác định rõ ràng một góc với một tiếp tuyến nhất định, nó được chọn từ khoảng.
Arctang Số thực tùy ý là số thực có tang bằng. Con số này được chỉ định.
Để xác định cung tiếp tuyến của một góc, cách suy luận tương tự được sử dụng, với điểm khác biệt duy nhất là giao điểm của đường tròn với đường thẳng được xem xét và góc được chọn từ khoảng đó.
Arccotang Số thực tùy ý là số thực có cotang bằng. Con số này được chỉ định.
Tính chất của hàm lượng giác nghịch đảo
Miền định nghĩa và miền ý nghĩa
Chẵn/lẻ
Chuyển đổi hàm lượng giác nghịch đảo
Để biến đổi các biểu thức chứa hàm lượng giác nghịch đảo, các thuộc tính sau định nghĩa của các hàm này thường được sử dụng:
Đối với bất kỳ số thực nào nó giữ
và ngược lại:
Tương tự với mọi số thực mà nó chứa
và ngược lại:
Đồ thị hàm lượng giác và hàm lượng giác nghịch đảo
Đồ thị hàm số lượng giác
Hãy bắt đầu bằng cách vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa sin trên đường tròn lượng giác. Hãy chia đường tròn lượng giác thành (trong trường hợp này là 16) phần bằng nhau và đặt một hệ tọa độ gần đó, trong đó đoạn trên trục cũng được chia thành các phần bằng nhau. Bằng cách vẽ các đường thẳng song song với trục đi qua các điểm phân chia của đường tròn, tại giao điểm của các đường thẳng này với đường vuông góc được khôi phục từ các điểm phân chia tương ứng trên trục, chúng ta thu được các điểm có tọa độ, theo định nghĩa, bằng các sin của các góc tương ứng. Vẽ một đường cong trơn tru qua các điểm này, chúng ta thu được đồ thị của hàm số. Để thu được đồ thị của hàm số trên toàn bộ trục số, hãy sử dụng tính tuần hoàn của sin: , .
Để thu được đồ thị của hàm số, chúng ta sẽ sử dụng công thức rút gọn. Do đó, đồ thị của hàm thu được từ đồ thị của hàm bằng cách dịch song song sang trái một đoạn có chiều dài.
Sử dụng đồ thị của các hàm lượng giác cung cấp một cách đơn giản khác để thu được các công thức rút gọn. Hãy xem xét một vài ví dụ.
Hãy đơn giản hóa biểu thức. Trên trục, chúng ta biểu thị góc và biểu thị sin và cosin của nó tương ứng. Hãy tìm góc trên trục và khôi phục đường vuông góc với giao điểm với đồ thị hình sin. Rõ ràng từ hình vẽ đó.
Bài tập: Rút gọn biểu thức.
Hãy chuyển sang xây dựng đồ thị của hàm số. Đầu tiên, hãy nhớ rằng đối với một góc, tiếp tuyến là độ dài của đoạn AB. Bằng cách tương tự với việc xây dựng một biểu đồ hình sin, chia hình bán nguyệt bên phải thành các phần bằng nhau và vẽ các giá trị tiếp tuyến thu được, chúng ta thu được biểu đồ như trong hình. Đối với các giá trị khác, đồ thị thu được bằng cách sử dụng thuộc tính chu kỳ tiếp tuyến, .
Các đường chấm chấm trên biểu đồ biểu thị các đường tiệm cận. tiệm cậnĐường cong là một đường thẳng mà đường cong tiến đến gần nhất có thể khi di chuyển đến vô cực nhưng không cắt nó.
Đối với một tiếp tuyến, các tiệm cận là các đường thẳng, sự xuất hiện của nó gắn liền với sự chuyển đổi về 0 tại các điểm này.
Sử dụng lý luận tương tự, thu được đồ thị của hàm. Với nó, các đường tiệm cận là đường thẳng, . Biểu đồ này cũng có thể thu được bằng cách sử dụng công thức rút gọn, tức là biến đổi tính đối xứng quanh trục và dịch chuyển sang phải.
Tính chất của hàm lượng giác
Đồ thị hàm lượng giác nghịch đảo
Đầu tiên chúng ta giới thiệu khái niệm hàm nghịch đảo.
Nếu một hàm số tăng hoặc giảm đơn điệu thì nó tồn tại hàm nghịch đảo. Để xây dựng đồ thị của hàm nghịch đảo, đồ thị phải chịu một phép biến đổi đối xứng đối với đường thẳng. Các hình vẽ cho thấy một ví dụ về cách thu được đồ thị của hàm nghịch đảo.
Vì các hàm arcsine, arccosine, arctangent và arccotang lần lượt là nghịch đảo của các hàm sin, cosin, tiếp tuyến và cotang, nên đồ thị của chúng thu được bằng phép biến đổi được mô tả ở trên. Đồ thị của hàm số ban đầu trong các hình đã được tô màu.
Từ các hình trên, rõ ràng một trong những tính chất chính của hàm lượng giác nghịch đảo: tổng các đồng hàm của cùng một số cho.
Bổ đề. Nếu tổng bình phương của hai số thực bằng một thì một trong hai số này có thể được coi là cosin và số kia là sin của một góc nào đó.
Nói cách khác, nếu MỘT 2 + b 2 = 1 , khi đó có một góc φ , như vậy
MỘT = cos φ; b= tội lỗi φ.
Trước khi chứng minh bổ đề này, chúng ta hãy minh họa nó bằng ví dụ sau:
$$ (\frac(\sqrt3)(2))^2 + (\frac(1)(2)) = \frac(3)(4) + \frac(1)(4) = 1 $$
Do đó tồn tại một góc φ , sao cho \(\frac(\sqrt3)(2) \) = cos φ ; 1/2 = tội lỗi φ .
BẰNG φ trong trường hợp này, bạn có thể chọn bất kỳ góc nào 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 360°, v.v.
Chứng minh bổ đề:
Xét một vectơ \(\vec(0A)\) có tọa độ ( một, b ). Từ MỘT 2 + b 2 = 1 , độ dài của vectơ này là 1. Nhưng trong trường hợp này tọa độ của nó phải bằng vì φ Và tội lỗiφ, Ở đâu φ - góc mà vectơ này tạo thành với trục hoành.
Vì thế, MỘT = cos φ; b=sinφ, đó là điều cần chứng minh.
Bổ đề đã được chứng minh cho phép chúng ta biến đổi biểu thức Một tội lỗi x + b vì x sang hình thức thuận tiện hơn cho việc học tập.
Trước hết, hãy bỏ biểu thức \(\sqrt(a^2 + b^2)\) ra khỏi ngoặc
$$ a sinx + b cosx = \sqrt(a^2 + b^2)(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2))sinx + \frac(b)(\sqrt(a ^2 + b^2))cosx) $$
Từ
$$ (\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 + (\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 = 1 $ $
số đầu tiên \(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) và \(\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) có thể được coi là cosin của một góc nào đó φ và thứ hai - là sin của cùng một góc φ :
$$ \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) = cos\phi, \;\; \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) = sin\phi $$
Nhưng trong trường hợp đó
Một tội lỗi x + b cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\)(cos φ sin x + sin φ cos x) = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ )
Một tội lỗi x + b cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ), trong đó góc φ được xác định từ điều kiện
$$ sin\phi = \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \;\; cos\phi = \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) $$
Ví dụ.
1) \(sin x + cos x = \sqrt2 (\frac(1)(\sqrt2) sin x + \frac(1)(\sqrt2)cos x) = \sqrt2 (cos\frac(\pi)(4 )sin x + sin\frac(\pi)(4)cos x) =\\= \sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4)) \)
Công thức kết quả tội lỗi x+vì x= \(\sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4))\) hữu ích để ghi nhớ.
2) Nếu một trong các số MỘT
Và b
tích cực và tiêu cực khác, sau đó biểu thức
Một tội lỗi x + b vì x Sẽ thuận tiện hơn khi chuyển đổi không phải thành sin của tổng mà thành sin hiệu của hai góc. Vì thế,
$$ 3sinx - 4cosx = \sqrt(9+16)(\frac(3)(\sqrt(9+16))sinx - \frac(4)(\sqrt(9+16))cosx) =\\= 5(sinx\cdot\frac(3)(5) - cosx\cdot\frac(4)(5)) = 5sin(x - \phi), $$
ở đâu dưới φ chúng ta có thể hiểu bất kỳ góc nào thỏa mãn các điều kiện sau:
vì φ = 3/5, tội lỗi φ = 4 / 5
Đặc biệt, người ta có thể đặt φ = arctan 4 / 3 . Sau đó chúng tôi nhận được:
3 sin x - 4 cos x = 5 sin (x - arctan 4/3).
Trong các bài học đại số, giáo viên nói với chúng ta rằng có một lớp phương trình lượng giác nhỏ (trên thực tế là rất lớn) không thể giải được bằng các phương pháp tiêu chuẩn - không thể giải bằng hệ số hóa, cũng không bằng cách thay đổi biến, thậm chí không thể bằng các thuật ngữ đồng nhất. Trong trường hợp này, một cách tiếp cận khác về cơ bản sẽ được áp dụng - phương pháp góc phụ.
Phương pháp này là gì và làm thế nào để áp dụng nó? Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ các công thức tính sin của tổng/chênh lệch và cosin của tổng/chênh lệch:
\[\begin(align)& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end(căn chỉnh)\]
Tôi nghĩ rằng bạn đã biết rõ những công thức này - từ chúng, các công thức đối số kép được rút ra, nếu không có công thức này thì hoàn toàn không có chỗ nào trong lượng giác. Nhưng bây giờ chúng ta hãy xem xét một phương trình đơn giản:
Chia cả hai vế cho 5:
Lưu ý rằng $((\left(\frac(3)(5) \right))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \right))^(2))= 1 $, có nghĩa là chắc chắn tồn tại một góc $\alpha $ mà các số này lần lượt là cosine và sin. Do đó, phương trình của chúng ta sẽ được viết lại như sau:
\[\begin(align)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \right)=1 \\\end(align)\]
Và điều này có thể được giải quyết dễ dàng, sau đó tất cả những gì còn lại là tìm ra góc $\alpha $ bằng bao nhiêu. Cách tìm hiểu cũng như cách chọn đúng số để chia cả hai vế của phương trình (trong ví dụ đơn giản này, chúng ta chia cho 5) - chúng ta sẽ nói về điều này trong bài học video hôm nay:
Hôm nay chúng ta sẽ phân tích cách giải các phương trình lượng giác, hay chính xác hơn là một kỹ thuật duy nhất được gọi là “phương pháp góc phụ”. Tại sao phương pháp này? Đơn giản là vì trong hai hoặc ba ngày qua, khi tôi đang dạy những học sinh mà tôi đã kể về cách giải phương trình lượng giác, và chúng tôi đang kiểm tra, cùng với những phương pháp khác, phương pháp góc phụ, và tất cả học sinh, như một, đều mắc lỗi tương tự. . Nhưng phương pháp này nhìn chung đơn giản và hơn nữa, nó là một trong những kỹ thuật chính trong lượng giác. Vì vậy, nhiều bài toán lượng giác không thể giải được ngoại trừ bằng phương pháp góc phụ.
Vì vậy, bây giờ, trước tiên, chúng ta sẽ xem xét một số nhiệm vụ đơn giản, sau đó chúng ta sẽ chuyển sang các nhiệm vụ nghiêm túc hơn. Tuy nhiên, tất cả những cách này hay cách khác sẽ yêu cầu chúng ta sử dụng phương pháp góc phụ, bản chất mà tôi sẽ nói trong thiết kế đầu tiên.
Giải các bài toán lượng giác đơn giản
Ví dụ số 1
\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]
Hãy biến đổi biểu thức của chúng ta một chút:
\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\left| \left(-1 \right) \right.\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]
Chúng ta sẽ giải quyết nó như thế nào? Thủ thuật tiêu chuẩn là giải $\sin 2x$ và $\cos 2x$ bằng cách sử dụng các công thức góc đôi, sau đó viết lại đơn vị dưới dạng $((\sin )^(2))x((\cos )^(2) )x$, thu được một phương trình thuần nhất, quy nó về dạng tiếp tuyến và giải. Tuy nhiên, đây là một con đường dài và tẻ nhạt, đòi hỏi một khối lượng tính toán lớn.
Tôi khuyên bạn nên suy nghĩ về điều này. Chúng ta có $\sin$ và $\cos$. Chúng ta hãy nhớ lại công thức tính cosin và sin của tổng và hiệu:
\[\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]
\[\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]
\[\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]
Hãy quay lại ví dụ của chúng tôi. Hãy giảm mọi thứ xuống mức sin của sự khác biệt. Nhưng trước tiên, phương trình cần được biến đổi một chút. Hãy tìm hệ số:
$\sqrt(l)$ là cùng một hệ số cần chia cả hai vế của phương trình sao cho trước sin và cos xuất hiện các số tự nó là sin và cosin. Hãy chia:
\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]
Hãy nhìn vào những gì chúng ta có ở bên trái: có tồn tại $\sin $ và $\cos $ sao cho $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$ và $\sin \alpha =\frac(1)(2)$? Rõ ràng là có: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$. Vì vậy chúng ta có thể viết lại biểu thức của mình như sau:
\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]
\[\sin 2x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\frac(1)(2)\]
Bây giờ chúng ta có công thức tính sin của hiệu. Chúng ta có thể viết như thế này:
\[\sin \left(2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6)) \right)=\frac(1)(2) \]
Ở đây chúng ta có cách xây dựng lượng giác cổ điển đơn giản nhất. Hãy để tôi nhắc nhở bạn:
Chúng tôi sẽ viết điều này ra cho biểu thức cụ thể của chúng tôi:
\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(6)=2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(\text(6))+2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(căn chỉnh) \right.\ ]
\[\left[ \begin(align)& 2x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\pi \!\!\text( )n \\& 2x=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+2\text( )\!\!\pi\!\!\text ( )n \\\end(căn chỉnh) \right.\]
\[\left[ \begin(align)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\\end(căn chỉnh) \right.\]
Sắc thái của giải pháp
Vì vậy, bạn nên làm gì nếu gặp một ví dụ tương tự:
- Sửa đổi thiết kế nếu cần thiết.
- Tìm hệ số hiệu chỉnh, lấy nghiệm từ nó và chia cả hai vế của ví dụ cho nó.
- Chúng ta hãy xem các con số nhận được giá trị sin và cosine nào.
- Chúng tôi mở rộng phương trình bằng cách sử dụng công thức tính tổng hoặc hiệu sin hoặc cosin.
- Chúng tôi giải phương trình lượng giác đơn giản nhất.
Về vấn đề này, những sinh viên chú ý có thể sẽ có hai câu hỏi.
Điều gì ngăn cản chúng ta viết ra $\sin $ và $\cos $ ở giai đoạn tìm hệ số hiệu chỉnh? — Đồng nhất thức lượng giác cơ bản đang ngăn cản chúng ta. Thực tế là kết quả $\sin $ và $\cos $, giống như bất kỳ kết quả nào khác có cùng đối số, khi bình phương sẽ cho tổng cộng chính xác là "một". Trong quá trình quyết định, bạn cần phải hết sức cẩn thận và không để mất số “2” trước chữ “X”.
Phương pháp góc phụ là một công cụ giúp biến một phương trình “xấu” thành một phương trình hoàn toàn đầy đủ và “đẹp”.
Ví dụ số 2
\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]
Chúng ta thấy rằng chúng ta có $((\sin )^(2))x$, vì vậy hãy sử dụng các phép tính giảm công suất. Tuy nhiên, trước khi sử dụng chúng, chúng ta hãy lấy chúng ra. Để làm điều này, hãy nhớ cách tìm cosin của một góc đôi:
\[\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos )^(2))x-1=1-2(( \sin )^(2))x\]
Nếu chúng ta viết $\cos 2x$ trong tùy chọn thứ ba, chúng ta sẽ nhận được:
\[\cos 2x=1-2((\sin )^(2))x\]
\[((\sin )^(2))x=\frac(1-((\cos )^(2))x)(x)\]
Tôi sẽ viết nó ra riêng:
\[((\sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]
Điều tương tự có thể được thực hiện với $((\cos )^(2))x$:
\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]
Chúng ta chỉ cần những tính toán đầu tiên. Hãy bắt đầu thực hiện nhiệm vụ:
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]
Bây giờ chúng ta hãy sử dụng các phép tính cosin của hiệu. Nhưng trước tiên, hãy tính toán hiệu chỉnh $l$:
Hãy viết lại có tính đến thực tế này:
\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]
Trong trường hợp này, chúng ta có thể viết rằng $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$, và $\frac(1)(2)=\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$. Hãy viết lại:
\[\sin \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]
\[-\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos x\]
Hãy thêm dấu “trừ” vào ngoặc một cách thông minh. Để thực hiện việc này, hãy lưu ý những điều sau:
\[\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\text( )\!\!\pi\!\!\text( +)\frac(\text( )\!\!\pi\! \!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\]
\[=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\varphi \right)=-\cos \varphi \]
Hãy quay lại biểu thức của chúng ta và nhớ rằng trong vai $\varphi $, chúng ta có biểu thức $-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x $. Vì vậy, hãy viết:
\[-\left(-\cos \left(-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x \right) \right)=\cos x\]
\[\cos \left(2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3) \right)=\cos x\]
Để giải quyết vấn đề này, bạn cần nhớ điều này:
\[\cos \alpha =\cos \beta \]
\[\left[ \begin(align)& \alpha =\beta +2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& \alpha =-\beta +2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(căn chỉnh) \right.\]
Hãy xem ví dụ của chúng tôi:
\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=x+2\text( )\!\ !\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=-x+2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(căn chỉnh) \right.\]
Hãy tính từng phương trình sau:
Và thứ hai:
Hãy viết ra câu trả lời cuối cùng:
\[\left[ \begin(align)& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\ pi\!\!\text( )n \\& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(9)+\frac(2\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )n)(3) \\\end(align) \right.\]
Sắc thái của giải pháp
Trên thực tế, biểu thức này có thể giải bằng nhiều cách khác nhau nhưng phương pháp góc phụ là tối ưu trong trường hợp này. Ngoài ra, lấy thiết kế này làm ví dụ, tôi muốn thu hút sự chú ý của bạn đến một số kỹ thuật và sự kiện thú vị hơn:
- Công thức giảm độ. Những công thức này không cần phải ghi nhớ, nhưng bạn cần biết cách rút ra chúng, đó là những gì tôi đã nói với bạn hôm nay.
- Giải phương trình dạng $\cos \alpha =\cos \beta $.
- Thêm một "số không".
Nhưng đó không phải là tất cả. Cho đến bây giờ, $\sin $ và $\cos $, mà chúng tôi rút ra như một đối số bổ sung, chúng tôi tin rằng chúng phải dương. Vì vậy, bây giờ chúng ta sẽ giải quyết những vấn đề phức tạp hơn.
Phân tích các vấn đề phức tạp hơn
Ví dụ số 1
\[\sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]
Hãy biến đổi thuật ngữ đầu tiên:
\[\sin 3x=\sin \left(2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]
\[=2\left(1-\cos 2x \right)\cdot \sin x\]
Bây giờ hãy thay thế tất cả những điều này vào cấu trúc ban đầu của chúng ta:
\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]
\[\sin 2x\cos x-\operatorname(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]
\[\sin \left(2x-x \right)+2\sin x+4\cos x=5\]
Hãy giới thiệu sửa đổi của chúng tôi:
Chúng tôi viết ra:
\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]
Không có $\alpha $ mà $\sin $ hoặc $\cos $ sẽ bằng $\frac(3)(5)$ và $\frac(4)(5)$ trong bảng lượng giác. Vì vậy, hãy viết nó như thế này và rút gọn biểu thức thành sin của tổng:
\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]
\[\sin \left(x+\varphi \right)=1\]
Đây là trường hợp đặc biệt, cách xây dựng lượng giác đơn giản nhất:
Vẫn còn phải tìm $\varphi $ bằng bao nhiêu. Đây là điểm mà nhiều học sinh mắc sai lầm. Thực tế là $\varphi $ phải tuân theo hai yêu cầu:
\[\left\( \begin(align)& \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5) \\\end(align) \right .\]
Hãy vẽ một radar và xem những giá trị đó xảy ra ở đâu:
Quay trở lại biểu thức của chúng tôi, chúng tôi viết như sau:
Nhưng mục này có thể được tối ưu hóa một chút. Bởi vì chúng tôi biết những điều sau:
\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(2)),\]
thì trong trường hợp của chúng ta, chúng ta có thể viết nó như thế này:
Ví dụ số 2
Điều này sẽ đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc hơn nữa về các kỹ thuật giải các bài toán tiêu chuẩn mà không cần lượng giác. Nhưng để giải ví dụ này chúng ta cũng sử dụng phương pháp góc phụ.\[\]
Điều đầu tiên khiến bạn chú ý là không có độ nào cao hơn độ đầu tiên và do đó không có gì có thể được khai triển theo các công thức phân rã độ. Sử dụng phép tính ngược:
Tại sao tôi lại bỏ ra $5$. Nhìn ở đây:
Chúng ta có thể viết đơn vị bằng đẳng thức lượng giác cơ bản là $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x$:
Kỷ lục đó mang lại cho chúng ta điều gì? Thực tế là dấu ngoặc đầu tiên chứa một hình vuông chính xác. Hãy thu gọn nó và nhận được:
Tôi đề nghị giới thiệu một biến mới:
\[\sin x+\cos x=t\]
Trong trường hợp này chúng ta sẽ nhận được biểu thức:
\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]
\[((t)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]
Tổng cộng chúng tôi nhận được:
\[\left[ \begin(align)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\end(align) \right.\]
Tất nhiên, những sinh viên am hiểu bây giờ sẽ nói rằng những cách xây dựng như vậy có thể dễ dàng giải quyết bằng cách quy chúng về một cấu trúc đồng nhất. Tuy nhiên, chúng ta sẽ giải từng phương trình bằng phương pháp góc phụ. Để làm điều này, trước tiên chúng ta tính toán hiệu chỉnh $l$:
\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]
Hãy chia mọi thứ cho $\sqrt(2)$:
\[\left[ \begin(align)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\ sqrt(2)) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2 ) \\\end(căn chỉnh) \right.\]
Hãy giảm mọi thứ xuống $\cos $:
\[\cos x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\sin x\sin \frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(4))\]
\[\left[ \begin(align)& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) \right) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \ right)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\end(align) \right.\]
Chúng ta hãy xem xét từng biểu thức này.
Phương trình đầu tiên không có nghiệm, và để chứng minh điều này, sự vô tỷ ở mẫu số sẽ giúp chúng ta. Chúng ta hãy lưu ý những điều sau:
\[\sqrt(2)<1,5\]
\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1.5)=\frac(3)(3)=1\]
Tổng cộng, chúng tôi đã chứng minh rõ ràng rằng cần phải có $\cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ bằng số lớn hơn “một” và do đó, cấu trúc này không có gốc.
Hãy giải quyết vấn đề thứ hai:
Hãy giải quyết việc xây dựng này:
Về nguyên tắc, bạn có thể để lại câu trả lời như thế này hoặc có thể viết ra giấy:
Điểm quan trọng
Để kết luận, tôi muốn một lần nữa thu hút sự chú ý của bạn khi làm việc với những lập luận “xấu xí”, tức là. khi $\sin $ và $\cos $ không phải là giá trị bảng. Vấn đề là nếu chúng ta nói rằng trong phương trình $\frac(3)(5)$ là $\cos $ và $\frac(4)(5)$ là $\sin $, thì cuối cùng, sau khi chúng ta quyết định thiết kế, chúng ta cần tính đến cả hai yêu cầu này. Ta được hệ hai phương trình. Nếu không tính đến điều này, chúng ta sẽ gặp phải tình huống sau. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ nhận được hai điểm và thay cho $\varphi $ chúng ta sẽ có hai số: $\arcsin \frac(4)(5)$ và $-\arcsin \frac(4)(5)$, nhưng điều sau là chúng tôi không hài lòng chút nào. Điều tương tự cũng sẽ xảy ra với điểm $\frac(3)(5)$.
Vấn đề này chỉ nảy sinh khi chúng ta đang nói về những cuộc tranh luận “xấu xí”. Khi chúng ta có các giá trị bảng, không có gì giống như vậy.
Tôi hy vọng bài học hôm nay đã giúp các bạn hiểu phương pháp góc phụ là gì và cách áp dụng nó vào các ví dụ có mức độ phức tạp khác nhau. Nhưng đây không phải là bài học duy nhất giải các bài toán bằng phương pháp góc phụ. Vì vậy hãy theo dõi!
Chủ đề bài học: Phương pháp giới thiệu góc phụ khi giải phương trình lượng giác.
Đang cập nhật.
Giáo viên.
Các bạn! Chúng tôi đã được giới thiệu các loại phương trình lượng giác khác nhau và học cách giải chúng. Hôm nay chúng ta sẽ khái quát kiến thức về các phương pháp giải các loại phương trình lượng giác. Để làm điều này, tôi yêu cầu bạn phân loại các phương trình được đề xuất cho bạn (xem các phương trình số 1-10 trong Phụ lục - ở cuối bản tóm tắt ở dạng PDF)
Điền vào bảng: cho biết loại phương trình, cách giải và nối số của phương trình với loại tương ứng.
Sinh viên.Điền vào bảng.
| Loại phương trình | Phương pháp giải | phương trình |
| Động vật nguyên sinh | Công thức gốc | №1 |
| Có thể giảm thành hình vuông | Phương pháp thay thế biến | №2,3 |
| Chế độ xem lượng giác phức tạp | Đơn giản hóa thành dạng đã biết bằng cách sử dụng các công thức lượng giác | №4,5 |
| Đồng nhất mức độ đầu tiên | Chia một số hạng của phương trình cho số hạng cho cosin của một biến | №6 |
| Mức độ thứ hai đồng nhất | Chia số hạng của phương trình cho số hạng cho bình phương cosin của biến | №7 |
Vấn đề hóa.
Trong khi điền vào bảng, học sinh gặp phải một vấn đề. Họ không thể xác định được dạng và cách giải ba phương trình: số 8,9,10.
Giáo viên. Bạn có phân loại được tất cả các phương trình theo dạng và cách giải của chúng không?
Phản hồi của sinh viên. Không, ba phương trình không thể được đặt trong bảng.
Giáo viên. Tại sao?
Phản hồi của sinh viên. Chúng không giống với các loài đã biết. Phương pháp giải quyết không rõ ràng.
Thiết lập mục tiêu.
Giáo viên. Vậy làm thế nào để chúng ta hình thành mục đích của bài học?
Học sinh trả lời. Xác định loại phương trình mới được phát hiện và tìm cách giải chúng.
Giáo viên. Có thể xây dựng chủ đề bài học nếu chúng ta chưa biết loại phương trình đã tìm được và cách giải chúng không?
Phản hồi của sinh viên. Không, nhưng chúng ta có thể làm việc này sau, khi chúng ta tìm ra vấn đề mà chúng ta đang phải đối mặt.
Lập kế hoạch hoạt động.
Giáo viên. Hãy lên kế hoạch cho các hoạt động của chúng ta. Chúng ta thường xác định loại rồi tìm phương pháp giải phương trình lượng giác. Trong tình hình hiện tại của chúng ta, liệu có thể đặt tên cụ thể cho loại phương trình được phát hiện không? Và nói chung, chúng có thuộc cùng một loài không?
Phản hồi của sinh viên. Thật khó để làm được.
Giáo viên. Sau đó hãy suy nghĩ, có thể chúng có điểm chung, hoặc chúng giống với một loại nào đó?
Phản hồi của sinh viên. Vế trái của các phương trình này giống như vế phải của các phương trình đồng nhất, nhưng vế phải của chúng không bằng 0. Điều này có nghĩa là việc chia cho cosine sẽ chỉ làm phức tạp lời giải.
Giáo viên. Có lẽ chúng ta hãy bắt đầu bằng cách tìm một phương pháp giải, sau đó xác định loại phương trình? Đối với bạn, phương trình nào trong 3 phương trình có vẻ đơn giản nhất?
Học sinh trả lời, nhưng không có sự đồng thuận. Có lẽ ai đó sẽ đoán rằng các hệ số trong phương trình số 8 nên được biểu diễn dưới dạng sin và cosin của góc bàn. Và sau đó lớp sẽ xác định phương trình nào có thể giải được trước. Nếu không thì giáo viên gợi ý xét thêm phương trình (xem phương trình số 11 trong Phụ lục - ở cuối phần tóm tắt dưới dạng PDF). Trong đó, các hệ số bằng sin và cosin của một góc đã biết và học sinh cần chú ý điều này.
Giáo viên gợi ý trình tự các điểm hoạt động. ( Nhìn thấy các phương trình trong Phụ lục - ở dạng PDF, ở cuối bản tóm tắt).
- Giải phương trình đầu tiên (№11), thay thế các hệ số bằng các giá trị của sin và cosin của một góc đã biết và áp dụng sin của công thức tính tổng.
- Hãy thử chuyển đổi các phương trình khác sang dạng phương trình đầu tiên và áp dụng phương pháp tương tự. ( xem phương trình số 8,9,12)
- Tổng quát hóa và mở rộng phương pháp cho bất kỳ hệ số nào và xây dựng thuật toán hành động chung (xem phương trình số 10).
- Áp dụng phương pháp này để giải các phương trình khác cùng loại. (xem các phương trình số 12,13, 14).
Thực hiện kế hoạch.
Giáo viên. Được rồi, chúng tôi đã lập một kế hoạch. Hãy bắt đầu thực hiện nó.
Trên bảng đen, học sinh giải phương trình số 11.
Học sinh thứ hai giải phương trình số 8 sau đây, trước tiên chia nó cho một số không đổi và do đó rút gọn tình huống về nghiệm đã tìm được.
Giáo viên gợi ý giải phương trình số 9 và 12 độc lập. Kiểm tra tính đúng đắn của các phép biến đổi và nhiều nghiệm.
Giáo viên. Các bạn ơi, chúng ta có thể gọi góc xuất hiện thay cho hệ số của phương trình là gì và giúp chúng ta đi đến nghiệm?
Phản hồi của sinh viên. Thêm vào. (Tùy chọn: phụ trợ).
Giáo viên. Không phải lúc nào cũng dễ dàng chọn được một góc phụ như vậy. Có thể tìm thấy nó nếu các hệ số không phải là sin và cosin của các góc đã biết? Các hệ số như vậy phải thỏa mãn đồng dạng nào nếu chúng ta muốn biểu diễn chúng dưới dạng sin và cosin của góc phụ?
Trả lời. Nhận dạng lượng giác cơ bản.
Giáo viên. Làm tốt! Phải! Điều này có nghĩa là nhiệm vụ của chúng ta là thu được các hệ số sao cho tổng bình phương của chúng bằng một! Hãy thử tìm một số để chia phương trình sao cho thỏa mãn điều kiện chúng ta đã chỉ định.
Học sinh suy nghĩ và có thể đề xuất chia mọi thứ cho căn bậc hai của tổng bình phương các hệ số của phương trình. Nếu không thì giáo viên sẽ dẫn dắt các em đến ý tưởng này.
Giáo viên. Chúng ta chỉ cần chọn hệ số mới nào để biểu thị bằng sin của góc phụ và hệ số nào biểu thị bằng cosin. Có hai lựa chọn. Sự lựa chọn phụ thuộc vào việc chuyển sang phương trình đơn giản nhất với sin hoặc cosin.
Sinh viên Các em đưa ra cách giải, giáo viên hoàn thiện, chú ý hình thức ghi lý luận và đáp án. Giải phương trình số 10.
Giáo viên. Chúng ta đã khám phá ra phương pháp giải một loại phương trình mới chưa? Chúng ta nên gọi loại này là gì?
Trả lời. Chúng tôi đã làm việc bằng cách tìm kiếm một góc phụ. Có lẽ các phương trình nên được gọi là phương trình có thể giải được bằng các góc phụ?
Giáo viên. Tất nhiên là bạn có thể. Bạn có thể đưa ra một công thức cho loại của họ? Điều này sẽ ngắn hơn.
Trả lời.Đúng. Phương trình với các hệ số A, B và C.
Giáo viên. Hãy khái quát hóa phương pháp cho các hệ số tùy ý.
Giáo viên thảo luận và viết lên bảng các công thức tính sin, cos góc phụ của các hệ số tổng quát. Sau đó, với sự giúp đỡ của họ, giải phương trình số 13 và 14.
Giáo viên. Chúng ta đã nắm vững phương pháp này đủ tốt chưa?
Trả lời. KHÔNG. Cần phải giải các phương trình đó và củng cố khả năng sử dụng phương pháp góc phụ.
Giáo viên. Làm thế nào chúng ta sẽ hiểu rằng chúng ta đã làm chủ được phương pháp?
Trả lời. Nếu chúng ta tự giải một số phương trình.
Giáo viên. Hãy thiết lập một thang đo định tính để làm chủ phương pháp.
Tìm hiểu đặc điểm của các cấp độ và đặt chúng trên thang đo phản ánh mức độ thành thạo kỹ năng này. Phù hợp với đặc điểm cấp độ và điểm số (từ 0 đến 3)
- Tôi có thể giải phương trình với nhiều hệ số khác nhau
- Tôi không thể giải phương trình
- Tôi có thể giải các phương trình phức tạp
- Tôi có thể giải phương trình với hệ số dạng bảng
Giáo viên.(Sau khi học sinh trả lời) Vậy thang đánh giá của chúng tôi như sau:
Sử dụng nguyên tắc tương tự, chúng ta sẽ đánh giá bài làm độc lập về chủ đề này trong bài học tiếp theo.
Bây giờ, hãy giải các phương trình số 1148 g, 1149 g, 1150 g và xác định mức độ nắm vững chủ đề của bạn.
Đừng quên điền nội dung vào bảng và đặt tên đề tài: “Giới thiệu góc phụ khi giải phương trình lượng giác”.
Suy ngẫm về con đường đạt được mục tiêu.
Giáo viên. Các bạn ơi, chúng ta đã đạt được mục tiêu của bài học chưa?
Câu trả lời của sinh viên. Vâng, chúng ta đã học cách nhận biết một loại phương trình mới.
Chúng tôi đã tìm ra phương pháp giải chúng bằng cách sử dụng góc phụ.
Chúng tôi đã học cách áp dụng phương pháp này vào thực tế.
Giáo viên. Chúng ta đã hành động như thế nào? Làm thế nào chúng ta hiểu được những gì chúng ta cần làm?
Trả lời. Chúng tôi đã kiểm tra một số trường hợp đặc biệt của phương trình với các hệ số “có thể nhận biết được” và mở rộng logic này cho bất kỳ giá trị nào của A, B và C.
Giáo viên.Đây là lối suy nghĩ quy nạp: dựa trên nhiều trường hợp, chúng ta rút ra một phương pháp và áp dụng vào những trường hợp tương tự.
Luật xa gần. Chúng ta có thể áp dụng kiểu suy nghĩ này ở đâu? (câu trả lời của học sinh)
Hôm nay bạn đã làm rất tốt trong lớp. Về nhà, đọc phần mô tả phương pháp tính góc phụ trong SGK và giải các câu 1148 (a, b, c), 1149 (a, b, c), 1150 (a, b, c). Tôi hy vọng rằng trong bài học tiếp theo các bạn sẽ có thời gian vui vẻ khi sử dụng phương pháp này để giải các phương trình lượng giác.
Cảm ơn bạn đã làm việc trong lớp!