Cách nhân số phức dưới dạng hàm mũ. Nhân số phức

Trong khi phép cộng và trừ các số phức thuận tiện hơn khi thực hiện ở dạng đại số, thì phép nhân và chia sẽ dễ thực hiện hơn bằng cách sử dụng dạng lượng giác của số phức.

Chúng ta lấy hai số phức tùy ý được cho dưới dạng lượng giác:

Nhân các số này, chúng ta nhận được:

Nhưng theo công thức lượng giác

Vì vậy, khi nhân các số phức, các môđun của chúng được nhân lên và các đối số

gấp lại. Vì trong trường hợp này, các mô-đun được chuyển đổi riêng biệt và các đối số - riêng biệt, nên việc thực hiện phép nhân ở dạng lượng giác sẽ dễ dàng hơn ở dạng đại số.

Từ đẳng thức (1) các quan hệ sau đây suy ra:

Vì phép chia là phép nghịch đảo của phép nhân nên ta có

Nói cách khác, mô đun của thương bằng tỷ lệ mô đun của số bị chia và số chia, và đối số của thương là hiệu giữa các đối số của số bị chia và số chia.

Bây giờ chúng ta hãy tập trung vào ý nghĩa hình học của phép nhân số phức. Các công thức (1) - (3) cho thấy rằng để tìm tích, trước tiên bạn phải tăng mô đun của số lần mà không thay đổi đối số của nó, sau đó tăng đối số của số kết quả mà không thay đổi mô đun của nó. Phép toán đầu tiên trong số các phép toán này về mặt hình học có nghĩa là tính đồng nhất đối với điểm O với hệ số , và phép toán thứ hai có nghĩa là phép quay tương đối với điểm O một góc bằng Xét ở đây một thừa số là không đổi và biến kia là biến, chúng ta có thể xây dựng kết quả như sau: công thức

Số phức là một số có dạng , trong đó và là số thực, gọi là đơn vị tưởng tượng. Số đó được gọi là phần thực() số phức thì số đó được gọi là phần ảo () số phức.

Số phức được biểu diễn bằng mặt phẳng phức tạp:

Như đã đề cập ở trên, một chữ cái thường biểu thị tập hợp số thực. Nhiều như nhau số phức thường được biểu thị bằng chữ “đậm” hoặc dày. Do đó, chữ cái này phải được đặt trên bản vẽ, biểu thị rằng chúng ta có một mặt phẳng phức.

Dạng đại số của số phức. Cộng, trừ, nhân và chia số phức

Phép cộng số phức

Để cộng hai số phức, bạn cần cộng phần thực và phần ảo của chúng:

z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i*(b 1 + b 2).

Đối với số phức, quy tắc loại một là hợp lệ: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 – tổng không thay đổi khi sắp xếp lại các số hạng.

Trừ số phức

Hành động tương tự như phép cộng, điểm đặc biệt duy nhất là phần trừ phải được đặt trong ngoặc và sau đó dấu ngoặc đơn phải được mở theo cách tiêu chuẩn với sự thay đổi dấu:

z 1 + z 2 = (a 1 – a 2) + i*(b 1 – b 2)

Nhân số phức

Đẳng thức cơ bản của số phức:

Tích của số phức:

z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1).

Giống như tổng, tích các số phức có tính giao hoán, tức là đẳng thức đúng: .

Phép chia số phức

Việc chia số được thực hiện bằng cách nhân mẫu số và tử số với biểu thức liên hợp của mẫu số.

2 Câu hỏi. Mặt phẳng phức tạp. Môđun và đối số của số phức

Mỗi số phức z = a + i*b có thể liên kết với một điểm có tọa độ (a;b), và ngược lại, mỗi điểm có tọa độ (c;d) có thể liên kết với một số phức w = c + i* d. Do đó, sự tương ứng một-một được thiết lập giữa các điểm trên mặt phẳng và tập hợp số phức. Do đó, số phức có thể được biểu diễn dưới dạng các điểm trên mặt phẳng. Mặt phẳng biểu diễn số phức thường được gọi là mặt phẳng phức tạp.

Tuy nhiên, các số phức thường được mô tả dưới dạng vectơ có điểm bắt đầu tại điểm O, cụ thể là số phức z = a + i*b được mô tả dưới dạng vectơ bán kính của một điểm có tọa độ (a;b). Trong trường hợp này, hình ảnh của số phức từ ví dụ trước sẽ như sau:

Ảnh của tổng hai số phức là một vectơ bằng tổng các vectơ biểu thị các số đó và . Nói cách khác, khi cộng các số phức thì các vectơ biểu diễn chúng cũng được cộng vào.

Giả sử số phức z = a + i*b được biểu diễn bằng vectơ bán kính. Khi đó độ dài của vectơ này được gọi là mô-đun số z và được ký hiệu là |z| .

Góc tạo bởi vectơ bán kính của một số với trục được gọi là lý lẽ số và được ký hiệu là arg z. Đối số số không được xác định duy nhất mà nằm trong bội số của . Tuy nhiên, thông thường đối số được chỉ định trong phạm vi từ 0 hoặc trong phạm vi từ -đến. Ngoài ra, số có một đối số không xác định.

Sử dụng mối quan hệ này, bạn có thể tìm thấy đối số của một số phức:

Hơn nữa, công thức đầu tiên là hợp lệ nếu hình ảnh của số nằm trong phần tư thứ nhất hoặc thứ tư, và công thức thứ hai, nếu nó nằm trong phần tư thứ hai hoặc thứ ba. Nếu , thì số phức được biểu thị bằng một vectơ trên trục Oy và đối số của nó bằng /2 hoặc 3*/2.

Hãy lấy một công thức hữu ích khác. Đặt z = a + i*b. Sau đó ,

Chúng ta lấy hai số phức tùy ý được cho dưới dạng lượng giác:

Nhân các số này, chúng ta nhận được:

Nhưng theo công thức lượng giác

Vì vậy, khi nhân các số phức, các môđun của chúng được nhân lên và các đối số

Từ đẳng thức (1) các quan hệ sau đây suy ra:

Vì phép chia là phép nghịch đảo của phép nhân nên ta có

Ta định nghĩa tích của hai số phức tương tự như tích của số thực, đó là: tích được coi là một số được tạo thành từ một số nhân, giống như một thừa số được tạo thành từ một đơn vị.

Vectơ tương ứng với một số phức có mô đun và đối số có thể thu được từ một vectơ đơn vị, có độ dài bằng một và hướng của nó trùng với hướng dương của trục OX, bằng cách kéo dài nó theo hệ số và quay nó theo hướng dương một góc

Tích của một vectơ nhất định với một vectơ là vectơ sẽ thu được nếu áp dụng phép kéo dài và xoay nêu trên cho vectơ, với sự trợ giúp của vectơ này thu được từ một vectơ đơn vị và vectơ sau rõ ràng tương ứng với một đơn vị thực sự.

Nếu mô đun và đối số là số phức tương ứng với vectơ thì tích của các vectơ này rõ ràng sẽ tương ứng với số phức có mô đun và đối số . Do đó, chúng ta đi đến định nghĩa sau đây về tích các số phức:

Tích của hai số phức là một số phức có mô đun bằng tích các mô đun của các thừa số và có đối số bằng tổng các đối số của các thừa số.

Như vậy, khi viết số phức dưới dạng lượng giác, ta sẽ có

Bây giờ chúng ta rút ra quy tắc tính tích cho trường hợp số phức không được đưa ra dưới dạng lượng giác:

Sử dụng ký hiệu trên cho môđun và đối số của thừa số, chúng ta có thể viết

theo định nghĩa của phép nhân (6):

và cuối cùng chúng tôi nhận được

Trường hợp các thừa số là số thực và tích được rút gọn về tích aag của các số này. Trong trường hợp đẳng thức (7) cho

tức là bình phương của đơn vị ảo bằng

Tính tuần tự các lũy thừa số nguyên dương, ta thu được

và nói chung, với bất kỳ sự tích cực tổng thể nào

Quy tắc nhân biểu diễn bằng đẳng thức (7) có thể được phát biểu như sau: số phức phải nhân như đa thức chữ cái, đếm

Nếu a là số phức thì số phức được gọi là liên hợp với a và được ký hiệu là a. Theo công thức (3) ta có từ đẳng thức (7) suy ra

và do đó

nghĩa là tích của các số phức liên hợp bằng bình phương mô đun của mỗi số phức.

Chúng ta cũng hãy lưu ý các công thức hiển nhiên

Từ công thức (4) và (7) suy ra ngay rằng phép cộng và phép nhân số phức tuân theo luật giao hoán, nghĩa là tổng không phụ thuộc vào thứ tự của các số hạng và tích không phụ thuộc vào thứ tự của số phức. các yếu tố. Không khó để xác minh tính đúng đắn của các quy luật tổ hợp và phân phối, được thể hiện bằng các đồng nhất thức sau:

Chúng tôi để việc này cho người đọc thực hiện.

Cuối cùng, lưu ý rằng tích của một số thừa số sẽ có mô đun bằng tích các mô đun của các thừa số và một đối số bằng tổng các đối số của các thừa số. Do đó, tích của các số phức sẽ bằng 0 khi và chỉ khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0.

Tích của hai số phức cũng giống như tích của hai số thực, đó là: tích được coi là số được tạo thành từ số nhân, giống như một thừa số được tạo thành từ một đơn vị. Vectơ tương ứng với một số phức có mô đun r và đối số j có thể thu được từ một vectơ đơn vị có độ dài bằng 1 và có hướng trùng với hướng dương của trục OX, bằng cách kéo dài nó r lần và quay nó theo chiều dương. chiều dương một góc j. Tích của một vectơ a 1 nhất định với vectơ a 2 là vectơ thu được nếu chúng ta áp dụng độ dài và phép quay cho vectơ a 1, với sự trợ giúp của vectơ a 2 thu được từ vectơ đơn vị và vectơ sau hiển nhiên tương ứng với một đơn vị thực. Nếu (r 1 , ? 1), (r 2 , ? 2) là các mô đun và đối số của số phức tương ứng với các vectơ a 1 và a 2 thì tích của các vectơ này hiển nhiên sẽ tương ứng với một số phức có mô đun r 1 r 2 và đối số (j 1 + j 2). Do đó, tích của hai số phức là một số phức có mô đun bằng tích các mô đun của các thừa số và có đối số bằng tổng các đối số của các thừa số.

Trong trường hợp số phức được viết dưới dạng lượng giác, ta có

r 1 (cos? 1 + i sin? 1) * r 2 (cos? 2 + i sin? 2) = r 1 r 2.

Trong trường hợp (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = x + yi, sử dụng ký hiệu mô đun và đối số của thừa số, chúng ta có thể viết:

a 1 = r 1 cos? 1 ; b 1 = r 1 tội lỗi? 1 ; a 2 = r 2 cos? 2 ; b 2 = r 2 tội lỗi? 2 ;

theo định nghĩa của phép nhân:

x = r 1 r 2 cos(? 1 + ? 2); y = r 1 r 2 sin(? 1 + ? 2),

x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - sin? 1 sin? 2) = = r 1 cos? 1 r 2 cos? 2 - r 1 tội lỗi? 1 r 2 tội lỗi? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2

y = r 1 r 2 (sin? 1 cos? 2 + cos? 1 sin? 2) = = r 1 sin? 1 r 2 cos? 2 + r 1 cos? 1 r 2 tội lỗi? 2 = b 1 a 2 + a 1 b 2,

và cuối cùng chúng tôi nhận được:

(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)i.

Trong trường hợp b 1 = b 2 = 0, thừa số là các số thực a 1 và a 2 và tích được rút gọn thành tích a 1 a 2 của các số này. Trong trường hợp

a 1 = a 2 = 0 và b 1 = b 2 = 1,

đẳng thức (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)Tôi đưa ra: i???i = tôi 2 = -1, tức là bình phương của đơn vị ảo là -1. Tính tuần tự lũy thừa nguyên dương i, ta thu được:

tôi 2 = -1; tôi 3 = -i; tôi 4 = 1; tôi 5 = tôi; tôi 6 = -1; ...

và nói chung với mọi k dương:

tôi 4k = 1; tôi 4k+1 = tôi; tôi 4k+2 = -1; tôi 4k+3 = -i

Quy tắc nhân biểu diễn bằng đẳng thức (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I có thể là Công thức như sau: số phức phải nhân như đa thức chữ cái, tính i 2 = -1.

Từ các công thức trên, ngay lập tức suy ra rằng phép cộng và phép nhân số phức tuân theo định luật giao hoán, tức là tổng không phụ thuộc vào thứ tự của các số hạng và tích không phụ thuộc vào thứ tự của các thừa số. Không khó để xác minh tính đúng đắn của các quy luật tổ hợp và phân phối, được thể hiện bằng các đồng nhất thức sau:

(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .

Tích của một số thừa số sẽ có mô đun bằng tích các mô đun của các thừa số và một đối số bằng tổng các đối số của các thừa số. Do đó, tích của các số phức sẽ bằng 0 khi và chỉ khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0.

Ví dụ: cho số phức z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i. Tìm thấy:

a) z 1 + z 2; b) z 1 - z 2; c) z 1 z 2 .

a) z 1 + z 2 = (2 + 3i) + (5 - 7i) = 2 + 3i + 5 - 7i = (2 + 5) + (3i - 7i) = 7 - 4i; b) z 1 - z 2 = (2 + 3i) - (5 - 7i) = 2 + 3i - 5 + 7i = (2 - 5) + (3i + 7i) = - 3 + 10i; c) z 1 z 2 = (2 + 3i)(5 - 7i) = 10 - 17i + 15i - 21i 2 = 10 - 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (- 14i + 15i) = 31 + i (ở đây xét đến i 2 = - 1).

Ví dụ: hãy làm theo các bước sau:

a) (2 + 3i) 2 ; b) (3 - 5i) 2 ; c) (5 + 3i) 3 .

a) (2 + 3i) 2 = 4 + 2Х2Ч3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; b) (3 - 5i) 2 = 9 - 2Х3Ч5i + 25i 2 = 9 - 30i - 25 = - 16 - 30i; c) (5 + 3i) 3 = 125 + 3Х25Ч3i + 3Ч5Ч9i 2 + 27i 3 ; vì i 2 = - 1, và i 3 = - i nên ta được (5 + 3i) 3 = 125 + 225i - 135 - - 27i = - 10 + 198i.

Ví dụ: thực hiện hành động

a) (5 + 3i)(5 - 3i); b) (2 + 5i)(2 - 5i); c) (1 + i)(1 - i).

a) (5 + 3i)(5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; b) (2 + 5i)(2 - 5i) = 2 2 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; c) (1 + i)(1 - i) = 1 2 - i 2 = 1 + 1 = 2.