Chúng ta sẽ bắt đầu nghiên cứu lượng giác với tam giác vuông. Hãy xác định sin và cosin, cũng như tiếp tuyến và cotang là gì góc nhọn. Đây là những điều cơ bản của lượng giác.
Hãy để chúng tôi nhắc nhở bạn rằng góc vuông là một góc bằng 90 độ. Nói cách khác, một nửa góc quay.
Góc nhọn- dưới 90 độ.
góc tù- lớn hơn 90 độ. Khi áp dụng cho một góc độ như vậy, "nghiêng" không phải là một sự xúc phạm mà là một thuật ngữ toán học :-)
Hãy vẽ một hình tam giác vuông. Góc vuông thường được ký hiệu là . Xin lưu ý rằng cạnh đối diện với góc được biểu thị bằng cùng một chữ cái, chỉ nhỏ. Do đó, cạnh đối diện với góc A được gọi là .
Góc được biểu thị bằng ký hiệu tương ứng chữ cái Hy Lạp.
Cạnh huyền của tam giác vuông là cạnh đối diện với góc vuông.
chân- các cạnh đối diện với nhau là góc nhọn.
Chân nằm đối diện với góc gọi là đối diện(so với góc). Chân còn lại nằm trên một cạnh của góc được gọi là liền kề.
xoang góc nhọn trong tam giác vuông là tỉ số phía đối diệnđến cạnh huyền:
Cô sin góc nhọn trong tam giác vuông - tỉ số chân liền kềđến cạnh huyền:
Đường tiếp tuyến góc nhọn trong tam giác vuông - tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh kề:
Một định nghĩa khác (tương đương): tiếp tuyến của một góc nhọn là tỉ số giữa sin của góc và cosin của nó:
cotang góc nhọn trong một tam giác vuông - tỷ lệ của cạnh liền kề với cạnh đối diện (hoặc, tương tự, tỷ lệ cosin với sin):
Lưu ý các mối quan hệ cơ bản của sin, cos, tang và cotang dưới đây. Chúng sẽ hữu ích cho chúng ta khi giải quyết vấn đề.
Hãy chứng minh một số trong số họ.
Được rồi, chúng tôi đã đưa ra định nghĩa và công thức viết ra. Nhưng tại sao chúng ta vẫn cần sin, cos, tang và cotang?
Chúng tôi biết điều đó tổng các góc của một tam giác đều bằng.
Chúng ta biết mối quan hệ giữa các bữa tiệc tam giác bên phải. Đây là định lý Pythagore: .
Hóa ra khi biết hai góc trong một tam giác, bạn có thể tìm được góc thứ ba. Biết hai cạnh của một tam giác vuông, bạn có thể tìm được cạnh thứ ba. Điều này có nghĩa là các góc có tỷ lệ riêng và các cạnh có tỷ lệ riêng. Nhưng bạn phải làm gì nếu trong một tam giác vuông bạn biết một góc (trừ góc vuông) và một cạnh nhưng cần tìm các cạnh còn lại?
Đây là điều mà người xưa đã gặp phải khi lập bản đồ khu vực và bầu trời đầy sao. Rốt cuộc, không phải lúc nào cũng có thể đo trực tiếp tất cả các cạnh của một tam giác.
Sin, cosin và tiếp tuyến - chúng còn được gọi là hàm số góc lượng giác- nêu mối quan hệ giữa các bữa tiệc Và góc tam giác. Biết góc, bạn có thể tìm thấy tất cả các hàm lượng giác của nó bằng các bảng đặc biệt. Và biết các sin, cosin và tiếp tuyến của các góc của một tam giác và một trong các cạnh của nó, bạn có thể tìm thấy phần còn lại.
Chúng ta cũng sẽ vẽ một bảng các giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang cho các góc “tốt” từ đến.
Xin lưu ý hai dấu gạch ngang màu đỏ trong bảng. Ở các giá trị góc thích hợp, tiếp tuyến và cotang không tồn tại.
Chúng ta hãy xem xét một số bài toán lượng giác từ Ngân hàng Nhiệm vụ FIPI.
1. Trong một tam giác, góc là , . Tìm thấy .
Vấn đề được giải quyết trong bốn giây.
Từ , .
2. Trong một tam giác, góc là , , . Tìm thấy .
Hãy tìm nó bằng định lý Pythagore.
Vấn đề đã được giải quyết.
Thông thường trong các bài toán có các hình tam giác có góc và hoặc có góc và. Hãy ghi nhớ các tỷ lệ cơ bản cho chúng!
Đối với một tam giác có các góc và cạnh đối diện thì góc at bằng một nửa cạnh huyền.
Một tam giác có các góc và cân. Trong đó, cạnh huyền lớn hơn chân gấp nhiều lần.
Chúng tôi đã xem xét các vấn đề giải quyết các tam giác vuông - nghĩa là tìm các bên không xác định hoặc các góc. Nhưng đó không phải là tất cả! TRONG Tùy chọn bài kiểm tra trạng thái thống nhất Trong toán học có rất nhiều bài toán liên quan đến sin, cosin, tiếp tuyến hoặc cotang của góc ngoài của một tam giác. Thêm về điều này trong bài viết tiếp theo.
Sin của một góc nhọn của tam giác vuông là tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh huyền.
Chương 5: Giải tam giác
5.1. Tam giác vuông
Các tiên đề 1.4 và 2.1 cho phép gán các số có số đo bằng với số đo của chúng cho các đoạn và góc, tức là để đo các đoạn và góc. Cho đến nay, không có mối liên hệ nào giữa độ lớn của các góc và độ dài của các đoạn. Với sự ra đời của các hình tam giác, có thể kết nối số đo độ của các góc của một hình tam giác và độ dài các cạnh của nó. Hãy xem xét mối quan hệ giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông.
1
Hình 5.1.1.
Tam giác bên phải.
Cosin của một góc nhọn của tam giác vuông là tỷ lệ của cạnh kề với cạnh huyền. Gọi góc (BAC) là góc nhọn mong muốn. Vì vậy, ví dụ đối với góc BAC (Hình 5.1.1)
Định lý 5.1.
Cosin của góc chỉ phụ thuộc vào thước đo độ góc và không phụ thuộc vào vị trí và kích thước của tam giác.
Bằng chứng
Cho ABC và A1B1C1 là hai tam giác vuông có cùng góc tại đỉnh A và A1, bằng α. Hãy dựng tam giác AB2C2 bằng một hình tam giác A1B1C1 như trong hình. 5.1.2. Điều này có thể thực hiện được theo tiên đề 4.1. Vì góc A và A1 bằng nhau nên B2 nằm trên đường thẳng AB. Các đường thẳng BC và B2C2 vuông góc với đường thẳng AC và theo Hệ quả 3.1 thì chúng song song. Theo Định lý 4.13
2
Hình 5.1.2.
Về Định lý 5.1.
Nhưng theo cách xây dựng AC2 = A1C1; AB2 = A1B1, do đó
Q.E.D.
Định lý 5.2.
Định lý Pythagore. Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng hình vuông của chân.
Mô hình 5.2. Chứng minh định lý Pythagore.
Hình 5.1.3 thể hiện một tam giác vuông. BC và AC là hai chân của nó, AB là cạnh huyền. Theo định lý BC2 + AC2 = AB2.
Bằng chứng
Cho tam giác vuông ABC có góc vuông ở đỉnh C.
3
Hình 5.1.3.
Hướng tới việc chứng minh định lý Pythagore.
Hãy vẽ đường cao CD từ đỉnh C. Theo định nghĩa, từ tam giác ACD và từ tam giác ABC. Theo Định lý 5.1 và do đó, . Tương tự từ Δ CDB, từ Δ ACB, do đó AB · BD = BC2. Cộng các đẳng thức thu được và lưu ý rằng AD + BD = AB, chúng ta thu được AC2 + BC2 = AB · AD + AB · BD = AB (AD + BD) = AB2. Định lý đã được chứng minh.
Trong một tam giác vuông, bất kỳ cạnh nào nhỏ hơn cạnh huyền. Cosin của bất kỳ góc nhọn nào đều nhỏ hơn một.
Gọi là đường vuông góc kẻ từ điểm B đến đường thẳng a và A là điểm bất kỳ của đường thẳng này ngoài C. Đoạn AB được gọi là đường nghiêng vẽ từ điểm B đến đường thẳng a. Điểm C được gọi là đáy của độ dốc. Đoạn AC gọi là hình chiếu xiên.
Sử dụng định lý Pythagore, có thể chứng minh rằng nếu một đường thẳng vuông góc và nghiêng được vẽ thành một đường thẳng từ một điểm thì
mọi góc nghiêng đều lớn hơn đường vuông góc,
các đường xiên bằng nhau có các hình chiếu bằng nhau,
Trong hai hình nghiêng, hình nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
Sin của một góc nhọn của tam giác vuông là tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh huyền. Theo định nghĩa
Tiếp tuyến của một góc nhọn của tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề. Xét góc (BAC) của tam giác vuông như hình vẽ. 5.1.1, chúng ta có
Cũng giống như cosin, sin của một góc và tang của một góc chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc.
4
Hình 5.1.4.
Từ những định nghĩa này, chúng ta thu được mối quan hệ sau đây giữa các góc và cạnh của một tam giác vuông: nếu α là góc nhọn của một tam giác vuông thì
chân đối diện với góc α, tương đương với sản phẩm cạnh huyền bởi sin α;
cạnh kề với góc α bằng tích của cạnh huyền và cos α;
cạnh đối diện với góc α bằng tích của cạnh thứ hai với tan α.
Hàm lượng giác của một góc nhọn là các giá trị bằng số của tỉ số tương hỗ của hai cạnh bất kỳ của một tam giác vuông. Tùy thuộc vào tỷ lệ của các cạnh của một tam giác vuông được xem xét, các hàm lượng giác được gọi là: sin (sin), cosin (cos), tiếp tuyến (tg), cotang (ctg), v.v.
xoang Góc nhọn là giá trị bằng số của tỷ số giữa chiều dài của cạnh đối diện với chiều dài của cạnh huyền:
(31)
Cô sin Góc nhọn là giá trị bằng số của tỷ lệ giữa chiều dài của chân liền kề với chiều dài của cạnh huyền:
(32)
Đường tiếp tuyến Góc nhọn là giá trị bằng số của tỷ lệ chiều dài của chân đối diện với chiều dài của chân liền kề:
(33)
cotang Góc nhọn là giá trị bằng số của tỷ số giữa chiều dài của chân liền kề với chiều dài của chân đối diện:
(34)
Chức năng của trò chơi góc nhọn vai trò quan trọng Tuy nhiên, khi giải nhiều bài toán và trắc địa, việc sử dụng chúng bị hạn chế bởi giới hạn thay đổi góc nhọn từ 0 (0-00) đến 90 (30-00). Khi tham chiếu địa hình, hệ thống xác định góc định hướng sử dụng các góc (hướng) có giới hạn đo lên tới 360 (60-00). Vì vậy, cần phải mở rộng khái niệm hàm lượng giác cho các góc có kích thước bất kỳ.
Hàm lượng giác của một góc bất kỳ có thể được biểu diễn thông qua giá trị hàm lượng giác của một góc nhọn (góc 1/4, xem Hình 23). Có tính đến các phép biến đổi như vậy, một “Bảng giá trị tự nhiên của các hàm lượng giác của sin và cosin” đã được biên soạn. (Phụ lục 6). Sử dụng bảng, bạn có thể xác định các hàm lượng giác của sin và cosin mà không giảm góc xuống một phần tư.
Giải tam giác.
Tất cả các loại serif đều có liên quan đến việc giải một hình tam giác. Giải tam giác có nghĩa là xác định các giá trị chưa biết của các phần tử góc và tuyến tính. Để giải một tam giác, bạn cần biết giá trị của ba phần tử bất kỳ của nó, trong đó phải có ít nhất một cạnh.
Trong thực hành công việc địa hình và trắc địa, việc liên kết các yếu tố của đội hình chiến đấu với các serif dẫn đến việc tính góc thứ ba và hai cạnh khác từ hai góc đã biết và một cạnh, hoặc để tính cạnh thứ ba và hai góc từ hai cạnh đã biết và góc giữa chúng.
Việc giải một tam giác được thực hiện bằng cách sử dụng các công thức tính tỷ số của các phần tử của nó, được biết đến từ khóa học lượng giác.
Đánh dấu bằng hình tam giác ABC(Hình 17) xuyên qua 
,
Và
và các góc qua A, B Và VỚI, Hãy viết ra các mối quan hệ cơ bản:
(định lý tổng góc); (35)
(định lý sin); (36)
(định lý cosin); (37)
(định lý tiếp tuyến). (38)