Bất kể số thực t nào được lấy, nó đều có thể liên kết với một số xác định duy nhất sin t. Đúng, quy tắc so khớp khá phức tạp; như chúng ta đã thấy ở trên, nó như sau.
Để tìm giá trị của sin t bằng số t, bạn cần:
1) Định vị đường tròn số trong mặt phẳng tọa độ sao cho tâm đường tròn trùng với gốc tọa độ và điểm bắt đầu A của đường tròn rơi vào điểm (1; 0);
2) tìm một điểm trên đường tròn tương ứng với số t;
3) tìm tọa độ của điểm này.
Sắc lệnh này là sin t.
Thực ra, chúng ta đang nói về hàm u = sin t, trong đó t là số thực bất kỳ.
Tất cả các chức năng này được gọi hàm lượng giác của đối số t.
Có một số mối quan hệ kết nối các giá trị của các hàm lượng giác khác nhau; chúng ta đã có được một số mối quan hệ sau:
sin 2 t+cos 2 t = 1
Từ hai công thức cuối, dễ dàng có được mối quan hệ nối tg t và ctg t:
Tất cả các công thức này được sử dụng trong trường hợp khi biết giá trị của hàm lượng giác thì cần tính giá trị của các hàm lượng giác khác.
Tuy nhiên, các thuật ngữ “sine”, “cosine”, “tangent” và “cotangent” thực sự quen thuộc, nhưng chúng vẫn được sử dụng theo một cách hiểu hơi khác: trong hình học và vật lý, họ coi sin, cos, tang và cotang ở đầu(không
số, như trong các đoạn trước).
Từ hình học, người ta biết rằng sin (cosine) của một góc nhọn là tỷ lệ giữa hai cạnh huyền của một tam giác vuông và tiếp tuyến (cotangent) của một góc là tỷ lệ giữa các cạnh của một tam giác vuông. Một cách tiếp cận khác đối với các khái niệm sin, cos, tiếp tuyến và cotang đã được phát triển trong các đoạn trước. Trên thực tế, các phương pháp này có mối liên hệ với nhau.
Hãy lấy một góc có số đo độ b o và sắp xếp nó theo mô hình “đường tròn số trong hệ tọa độ chữ nhật” như trong Hình 2. 14
đỉnh của góc tương ứng với tâm
vòng tròn (với gốc của hệ tọa độ),
và một bên của góc tương thích với
tia dương của trục x. Dừng hoàn toàn
giao điểm của cạnh thứ hai của góc với
biểu thị bằng vòng tròn chữ M. Ordina-
Hình 14 b o, và trục hoành của điểm này là cosin của góc b o.
Để tìm sin hoặc cosin của một góc b o, không nhất thiết phải thực hiện những phép tính phức tạp này mọi lúc.
Chỉ cần lưu ý rằng cung AM chiếm cùng một phần chiều dài của vòng tròn số với góc b o tạo từ góc 360°. Nếu độ dài cung AM được ký hiệu bằng chữ t thì ta có:
Như vậy,
Ví dụ,
Người ta tin rằng 30° là số đo độ của một góc và là số đo radian của cùng một góc: 30° = rad. Tất cả:
Đặc biệt, tôi rất vui vì chúng tôi lấy được nó từ đâu.
Vậy 1 radian là gì? Có nhiều thước đo chiều dài của các đoạn: cm, mét, thước, v.v. Ngoài ra còn có nhiều biện pháp khác nhau để chỉ ra độ lớn của các góc. Chúng ta xét các góc ở tâm của đường tròn đơn vị. Góc 1° là góc ở tâm chắn bởi một cung là một phần của đường tròn. Góc 1 radian là góc ở tâm chắn bởi một cung có độ dài 1, tức là trên một cung có chiều dài bằng bán kính đường tròn. Từ công thức, chúng ta thấy rằng 1 rad = 57,3°.
Khi xem hàm u = sin t (hoặc bất kỳ hàm lượng giác nào khác), chúng ta có thể coi biến độc lập t là một đối số bằng số, như trường hợp trong các đoạn trước, nhưng chúng ta cũng có thể coi biến này là thước đo của góc, tức là lập luận góc. Vì vậy, khi nói về một hàm lượng giác, theo một nghĩa nào đó, sẽ không có gì khác biệt nếu coi nó là một hàm của một đối số số hay góc.
Định nghĩa1: Hàm số cho bởi công thức y=sin x được gọi là sin.
Đường cong này được gọi là - sóng hình sin.
Tính chất của hàm y=sin x
2. Phạm vi giá trị hàm: E(y)=[-1; 1]
3. Hàm chẵn lẻ:
y=sin x – lẻ,.
4. Tính tuần hoàn: sin(x+2πn)=sin x, trong đó n là số nguyên.
Hàm này nhận các giá trị tương tự sau một khoảng thời gian nhất định. Thuộc tính này của hàm được gọi là Tính thường xuyên. Khoảng là khoảng thời gian của hàm số.
Đối với hàm y=sin x thì chu kỳ là 2π.
Hàm y=sin x là hàm tuần hoàn, với chu kỳ Т=2πn, n là số nguyên.
Chu kỳ dương nhỏ nhất là T=2π.
Về mặt toán học, điều này có thể được viết như sau: sin(x+2πn)=sin x, trong đó n là số nguyên.
Định nghĩa2: Hàm số cho bởi công thức y=cosx được gọi là cosin.
Tính chất của hàm số y=cos x
1. Miền hàm: D(y)=R
2. Vùng giá trị hàm: E(y)=[-1;1]
3. Hàm chẵn lẻ:
y=cos x – chẵn.
4. Tính tuần hoàn: cos(x+2πn)=cos x, trong đó n là số nguyên.
Hàm y=cos x là hàm tuần hoàn, với chu kỳ Т=2π.
Định nghĩa 3: Hàm số cho bởi công thức y=tan x được gọi là tiếp tuyến.
Tính chất của hàm số y=tg x
1. Miền hàm: D(y) - tất cả các số thực ngoại trừ π/2+πk, k – số nguyên. Bởi vì tại những điểm này tiếp tuyến không được xác định.
3. Hàm chẵn lẻ:
y=tg x – lẻ.
4. Tính tuần hoàn: tg(x+πk)=tg x, trong đó k là số nguyên.
Hàm số y=tg x tuần hoàn với chu kỳ π.
Định nghĩa 4: Hàm số cho bởi công thức y=ctg x được gọi là cotang.
Tính chất của hàm y=ctg x
1. Miền định nghĩa của hàm số: D(y) - tất cả các số thực ngoại trừ πk, k là số nguyên. Bởi vì tại những điểm này cotang không được xác định.
2. Phạm vi hàm: E(y)=R.
Hàm lượng giác của một đối số số.
Hàm lượng giác của đối số sốt là các hàm có dạng y= cos t,
y= tội lỗi, y= tg t, y= ctg t.
Sử dụng các công thức này, thông qua giá trị đã biết của một hàm lượng giác, bạn có thể tìm thấy các giá trị chưa biết của các hàm lượng giác khác.
Giải thích.
1) Lấy công thức cos 2 t + sin 2 t = 1 và sử dụng nó để suy ra công thức mới.
Để làm điều này, chia cả hai vế của công thức cho cos 2 t (với t ≠ 0, nghĩa là t ≠ π/2 + π k). Vì thế:
cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t
Số hạng thứ nhất bằng 1. Chúng ta biết rằng tỉ số của sin và conis là tiếp tuyến, nghĩa là số hạng thứ hai bằng tg 2 t. Kết quả là, chúng tôi nhận được một công thức mới (và bạn đã biết):
2) Bây giờ chia cos 2 t + sin 2 t = 1 cho sin 2 t (với t ≠ π k):
cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---, trong đó t ≠ π k + π k, k– số nguyên
tội lỗi 2 t tội lỗi 2 t tội lỗi 2 t
Tỷ số giữa cosin và sin là cotang. Có nghĩa:
Biết các nguyên tắc cơ bản của toán học và đã học các công thức lượng giác cơ bản, bạn có thể dễ dàng tự mình rút ra hầu hết các đồng thức lượng giác khác. Và điều này thậm chí còn tốt hơn là chỉ ghi nhớ chúng: những gì bạn học thuộc lòng sẽ nhanh chóng bị quên, nhưng những gì bạn hiểu sẽ được ghi nhớ rất lâu, nếu không muốn nói là mãi mãi. Ví dụ, không cần thiết phải ghi nhớ tổng của một và bình phương của tiếp tuyến bằng bao nhiêu. Nếu quên, bạn có thể dễ dàng nhớ lại nếu biết điều đơn giản nhất: tiếp tuyến là tỉ số giữa sin và cos. Ngoài ra, hãy áp dụng quy tắc đơn giản là cộng các phân số có mẫu số khác nhau và nhận được kết quả:
sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t
Theo cách tương tự, bạn có thể dễ dàng tìm thấy tổng của một và bình phương của cotang, cũng như nhiều đẳng thức khác.
Hàm lượng giác của đối số góc.
Trong chức năngTại = vìt, Tại = tội lỗit, Tại = tgt, Tại = ctgt biếnt có thể không chỉ là một đối số bằng số. Nó cũng có thể được coi là thước đo góc - tức là đối số góc.
Sử dụng vòng tròn số và hệ tọa độ, bạn có thể dễ dàng tìm sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của bất kỳ góc nào. Để làm được điều này, phải đáp ứng hai điều kiện quan trọng:
1) đỉnh của góc phải là tâm của đường tròn, đồng thời là tâm của trục tọa độ;
2) một trong các cạnh của góc phải là chùm trục dương x.
Trong trường hợp này, tọa độ của điểm mà đường tròn và cạnh thứ hai của góc giao nhau là sin của góc này, và hoành độ của điểm này là cosin của góc này.
Giải thích. Hãy vẽ một góc có một cạnh là tia dương của trục x, và cạnh thứ hai đi ra từ gốc tọa độ (và từ tâm đường tròn) một góc 30° (xem hình). Khi đó giao điểm của cạnh thứ hai với đường tròn tương ứng là π/6. Chúng ta biết tọa độ và hoành độ của điểm này. Chúng cũng là cosin và sin của góc của chúng ta:
√3 1
--; --
2 2
Và khi biết sin và cosin của một góc, bạn có thể dễ dàng tìm được tiếp tuyến và côtang của nó.
Do đó, vòng tròn số, nằm trong hệ tọa độ, là một cách thuận tiện để tìm sin, cosin, tiếp tuyến hoặc cotang của một góc.
Nhưng có một cách dễ dàng hơn. Bạn không cần phải vẽ một vòng tròn và một hệ tọa độ. Bạn có thể sử dụng các công thức đơn giản và thuận tiện:
Ví dụ: tìm sin và cosin của một góc bằng 60°.
Giải pháp :
π 60 π √3
tội lỗi 60° = tội lỗi --- = tội lỗi -- = --
180 3 2
π 1
cos 60° = cos -- = -
3 2
Giải thích: chúng ta phát hiện ra rằng sin và cosin của một góc 60° tương ứng với các giá trị của một điểm trên đường tròn π/3. Tiếp theo, chúng ta chỉ cần tìm các giá trị của điểm này trong bảng - và từ đó giải quyết ví dụ của chúng ta. Bảng sin và cosin của các điểm chính của vòng tròn số nằm ở phần trước và trên trang “Bảng”.
Trong chương này chúng ta sẽ giới thiệu các hàm lượng giác của một đối số số. Nhiều câu hỏi trong toán học, cơ học, vật lý và các ngành khoa học khác dẫn đến các hàm lượng giác không chỉ về một góc (cung), mà còn về những lập luận có tính chất hoàn toàn khác (độ dài, thời gian, nhiệt độ, v.v.). Từ trước đến nay, đối số của hàm lượng giác được hiểu là góc được đo bằng độ hoặc radian. Bây giờ chúng ta sẽ khái quát hóa các khái niệm về sin, cos, tiếp tuyến, cotang, cát tuyến và cosec bằng cách giới thiệu chúng như các hàm của một đối số bằng số.Sự định nghĩa. Hàm lượng giác của một đối số số là các hàm lượng giác có cùng tên của một góc bằng radian.
Hãy để chúng tôi giải thích định nghĩa này bằng các ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1. Hãy tính giá trị. Ở đây chúng tôi muốn nói đến một số vô tỷ trừu tượng. Theo định nghĩa. Vì thế, .
Ví dụ 2. Hãy tính giá trị. Ở đây, 1,5 có nghĩa là một con số trừu tượng. Theo định nghĩa (xem Phụ lục II).
Ví dụ 3. Tính giá trị Ta thu được tương tự như trên (xem Phụ lục II).
Như vậy, sau này, bằng cách lập luận hàm lượng giác chúng ta sẽ hiểu được góc (cung) hay chỉ là một số, tùy theo bài toán mà chúng ta đang giải. Và trong một số trường hợp, đối số có thể là một đại lượng có thứ nguyên khác, chẳng hạn như thời gian, v.v. Bằng cách gọi một đối số là một góc (cung), chúng ta có thể hiểu nó là số mà nó được đo bằng radian.
Bài học và trình bày chuyên đề: “Hàm lượng giác của một đại số, định nghĩa, nhận dạng”
Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn. Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.
Máy trợ giảng và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral dành cho lớp 10
Bài toán đại số có tham số, lớp 9–11
Môi trường phần mềm "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Những gì chúng ta sẽ nghiên cứu:
1. Định nghĩa đối số số.
2. Công thức cơ bản.
3. Đồng nhất thức lượng giác.
4. Ví dụ và nhiệm vụ giải độc lập.
Định nghĩa hàm lượng giác của một đối số số
Các bạn, chúng ta biết sin, cosin, tang và cotang là gì.Hãy xem liệu có thể tìm giá trị của các hàm lượng giác khác bằng cách sử dụng giá trị của một số hàm lượng giác không?
Chúng ta hãy định nghĩa hàm lượng giác của một phần tử số như sau: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.
Hãy nhớ lại các công thức cơ bản:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Nhân tiện, tên của công thức này là gì?
$tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$, với $t≠\frac(π)(2)+πk$.
$ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$, cho $t≠πk$.
Hãy rút ra các công thức mới.
Nhận dạng lượng giác
Chúng ta biết đẳng thức lượng giác cơ bản: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.Các bạn ơi, hãy chia cả hai vế của đẳng thức cho $cos^2(t)$.
Chúng ta nhận được: $\frac(sin^2(t))(cos^2(t))+\frac(cos^2(t))(cos^2(t))=\frac(1)(cos^ 2(t))$.
Hãy biến đổi: $(\frac(sin(t))(cos(t)))^2+1=\frac(1)(cos^2(t)).$
Chúng ta nhận được đẳng thức: $tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$, với $t≠\frac(π)(2)+πk$.
Bây giờ hãy chia cả hai vế của đẳng thức cho $sin^2(t)$.
Chúng ta nhận được: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2(t))$.
Hãy biến đổi: $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)(sin^2(t)).$
Chúng ta có được một danh tính mới đáng ghi nhớ:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$, cho $t≠πk$.
Chúng tôi quản lý để có được hai công thức mới. Hãy nhớ họ.
Các công thức này được sử dụng nếu, từ một giá trị đã biết nào đó của hàm lượng giác, cần phải tính giá trị của hàm khác.
Giải ví dụ về hàm lượng giác của một đối số số
Ví dụ 1.$cos(t) =\frac(5)(7)$, tìm $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ với mọi t.
Giải pháp:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Khi đó $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49)$.
$sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.
Ví dụ 2.
$tg(t) = \frac(5)(12)$, tìm $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, cho tất cả $0 Giải pháp:
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
Khi đó $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
Chúng ta nhận được $cos^2(t)=\frac(144)(169)$.
Khi đó $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$, nhưng $0
Chúng ta nhận được: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.Vấn đề cần giải quyết độc lập
1. $tg(t) = -\frac(3)(4)$, tìm $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, với mọi $\frac(π)(2)
4. $cos(t) = \frac(12)(13)$, tìm $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ cho tất cả $t$.