Diện tích bề mặt bên của lăng kính. Xin chào! Trong ấn phẩm này chúng tôi sẽ phân tích một nhóm các vấn đề về lập thể. Hãy xem xét sự kết hợp của các vật thể - lăng kính và hình trụ. Hiện tại, bài viết này đã hoàn thành toàn bộ loạt bài liên quan đến việc xem xét các loại nhiệm vụ trong phép đo lập thể.
Nếu những cái mới xuất hiện trong ngân hàng nhiệm vụ thì tất nhiên sẽ có những bổ sung cho blog trong tương lai. Nhưng những gì đã có là khá đủ để bạn học cách giải tất cả các vấn đề bằng một câu trả lời ngắn trong khuôn khổ kỳ thi. Sẽ có đủ tài liệu cho những năm tới (chương trình toán học là tĩnh).
Các nhiệm vụ được trình bày liên quan đến việc tính diện tích của lăng kính. Tôi lưu ý rằng dưới đây chúng ta xét một lăng kính thẳng (và theo đó là một hình trụ thẳng).
Không cần biết bất kỳ công thức nào, chúng ta hiểu rằng bề mặt bên của lăng kính là tất cả các mặt bên của nó. Một lăng kính thẳng có các mặt bên là hình chữ nhật.
Diện tích bề mặt bên của lăng kính như vậy bằng tổng diện tích của tất cả các mặt bên của nó (nghĩa là hình chữ nhật). Nếu chúng ta đang nói về một lăng kính đều có nội tiếp một hình trụ, thì rõ ràng là tất cả các mặt của lăng kính này đều là hình chữ nhật BẰNG CÁCH.
Về mặt hình thức, diện tích bề mặt bên của lăng kính đều có thể được phản ánh như sau:
27064. Một lăng trụ tứ giác đều ngoại tiếp một hình trụ có bán kính đáy và chiều cao bằng 1. Tìm diện tích xung quanh của lăng trụ.
Bề mặt bên của lăng kính này bao gồm bốn hình chữ nhật có diện tích bằng nhau. Chiều cao của mặt là 1, cạnh đáy của lăng kính là 2 (đây là hai bán kính của hình trụ) nên diện tích của mặt bên bằng:
Diện tích bề mặt bên:
73023. Tìm diện tích xung quanh của một hình lăng trụ tam giác đều ngoại tiếp một hình trụ có bán kính đáy là √0,12 và chiều cao là 3.
Diện tích bề mặt bên của một lăng kính nhất định bằng tổng diện tích của ba mặt bên (hình chữ nhật). Để tìm diện tích của mặt bên, bạn cần biết chiều cao của nó và chiều dài của cạnh đáy. Chiều cao là ba. Hãy tìm độ dài cạnh đáy. Hãy xem xét hình chiếu (nhìn từ trên xuống):
Chúng ta có một tam giác đều có nội tiếp một đường tròn có bán kính √0,12. Từ tam giác vuông AOC ta tìm được AC. Và sau đó là AD (AD=2AC). Theo định nghĩa tiếp tuyến:
Điều này có nghĩa là AD = 2AC = 1,2. Do đó, diện tích bề mặt xung quanh bằng:
27066. Tìm diện tích xung quanh của một lăng trụ lục giác đều ngoại tiếp một hình trụ có bán kính đáy là √75 và chiều cao là 1.
Diện tích yêu cầu bằng tổng diện tích của tất cả các mặt bên. Một lăng trụ lục giác đều có các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau.
Để tìm diện tích của một khuôn mặt, bạn cần biết chiều cao của nó và chiều dài của cạnh đáy. Chiều cao được biết đến, nó bằng 1.
Hãy tìm độ dài cạnh đáy. Hãy xem xét hình chiếu (nhìn từ trên xuống):
Chúng ta có một hình lục giác đều, trong đó có một hình tròn có bán kính √75.
Xét tam giác vuông ABO. Chúng ta biết chân OB (đây là bán kính của hình trụ). Ta còn có thể xác định được góc AOB bằng 300 (tam giác AOC đều, OB là phân giác).
Hãy sử dụng định nghĩa tiếp tuyến trong một tam giác vuông:
AC = 2AB, vì OB là đường trung tuyến nên AC = 10.
Do đó, diện tích của mặt bên là 1∙10=10 và diện tích của mặt bên là:
76485. Tìm diện tích xung quanh của một hình lăng trụ tam giác đều nội tiếp trong một hình trụ có bán kính đáy là 8√3 và chiều cao là 6.
Diện tích bề mặt bên của lăng kính xác định của ba mặt có kích thước bằng nhau (hình chữ nhật). Để tìm diện tích, bạn cần biết chiều dài cạnh đáy của lăng kính (chúng ta biết chiều cao). Nếu xét hình chiếu (nhìn từ trên xuống), chúng ta có một hình tam giác đều nội tiếp trong một vòng tròn. Cạnh của tam giác này được biểu thị theo bán kính là:
Chi tiết về mối quan hệ này. Vậy sẽ bằng nhau
Khi đó diện tích mặt bên là: 24∙6=144. Và diện tích cần thiết:
245354. Một lăng trụ tứ giác đều ngoại tiếp một hình trụ có bán kính đáy bằng 2. Diện tích xung quanh của lăng kính là 48. Tìm chiều cao của hình trụ.
Thông tin chung về lăng kính thẳng
Bề mặt bên của lăng kính (chính xác hơn là diện tích bề mặt bên) được gọi là tổng hợp diện tích của các mặt bên. Tổng bề mặt của lăng kính bằng tổng bề mặt bên và diện tích của các đáy.
Định lý 19.1. Bề mặt bên của một lăng kính thẳng bằng tích của chu vi đáy và chiều cao của lăng kính, tức là chiều dài của cạnh bên.
Bằng chứng. Các mặt bên của lăng trụ thẳng là hình chữ nhật. Đáy của các hình chữ nhật này là các cạnh của đa giác nằm ở đáy lăng kính và chiều cao bằng chiều dài của các cạnh bên. Suy ra bề mặt bên của lăng kính bằng
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
trong đó a 1 và n là độ dài của các cạnh đáy, p là chu vi đáy của lăng kính và I là độ dài của các cạnh bên. Định lý đã được chứng minh.
Nhiệm vụ thực tế
Vấn đề (22) . Trong lăng kính nghiêng nó được thực hiện phần, vuông góc với các gân bên và cắt tất cả các gân bên. Tìm bề mặt bên của lăng kính nếu chu vi của phần đó bằng p và các cạnh bên bằng l.
Giải pháp. Mặt phẳng của phần được vẽ chia lăng kính thành hai phần (Hình 411). Chúng ta hãy dịch song song một trong số chúng, kết hợp các cơ sở của lăng kính. Trong trường hợp này, chúng ta thu được một lăng kính thẳng, đáy của nó là tiết diện của lăng kính ban đầu và các cạnh bên bằng l. Lăng kính này có bề mặt bên giống như lăng kính ban đầu. Do đó, bề mặt bên của lăng kính ban đầu bằng pl.
Tóm tắt chủ đề được đề cập
Bây giờ chúng ta hãy tóm tắt chủ đề chúng ta đã đề cập về lăng kính và ghi nhớ những đặc tính của lăng kính.
Thuộc tính lăng kính
Thứ nhất, một lăng kính có tất cả các đáy là các đa giác bằng nhau;
Thứ hai, trong một lăng kính, tất cả các mặt bên của nó đều là hình bình hành;
Thứ ba, trong một hình nhiều mặt như lăng kính, tất cả các cạnh bên đều bằng nhau;
Ngoài ra, nên nhớ rằng các khối đa diện như lăng kính có thể thẳng hoặc nghiêng.
Lăng kính nào được gọi là lăng kính thẳng?
Nếu cạnh bên của lăng kính nằm vuông góc với mặt phẳng đáy của nó thì lăng kính đó được gọi là lăng kính thẳng.
Sẽ không thừa nếu nhắc lại rằng các mặt bên của lăng trụ thẳng là hình chữ nhật.
Loại lăng kính nào được gọi là xiên?
Nhưng nếu cạnh bên của lăng kính không vuông góc với mặt phẳng đáy của nó thì chúng ta có thể nói chắc chắn rằng đó là lăng kính nghiêng.
Lăng kính nào được gọi là đúng?
Nếu một đa giác đều nằm ở đáy của một hình lăng trụ thẳng thì lăng kính đó là hình lăng trụ đều.
Bây giờ chúng ta hãy nhớ lại các tính chất của lăng kính thông thường.
Tính chất của lăng kính đều
Thứ nhất, đa giác đều luôn đóng vai trò là đáy của lăng kính đều;
Thứ hai, nếu chúng ta xét các mặt bên của một lăng kính đều, chúng luôn là những hình chữ nhật bằng nhau;
Thứ ba, nếu so sánh kích thước của các gân bên thì trong lăng kính thông thường, chúng luôn bằng nhau.
Thứ tư, lăng kính đúng luôn thẳng;
Thứ năm, nếu trong một lăng kính đều các mặt bên có dạng hình vuông thì hình như vậy thường được gọi là đa giác bán đều.
Mặt cắt lăng kính
Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào mặt cắt ngang của lăng kính:
bài tập về nhà
Bây giờ chúng ta hãy cố gắng củng cố chủ đề chúng ta đã học bằng cách giải các bài toán.
Hãy vẽ một hình lăng trụ tam giác nghiêng, khoảng cách giữa các cạnh của nó sẽ bằng: 3 cm, 4 cm và 5 cm, và bề mặt bên của lăng kính này sẽ bằng 60 cm2. Có các thông số này hãy tìm cạnh bên của lăng kính này.
Bạn có biết rằng các hình hình học không ngừng vây quanh chúng ta, không chỉ trong các bài học hình học mà trong cuộc sống hàng ngày cũng có những đồ vật giống hình này hay hình hình học khác.
Mỗi gia đình, trường học hoặc nơi làm việc đều có một máy tính có bộ phận hệ thống có hình lăng trụ thẳng.
Nếu bạn chọn một cây bút chì đơn giản, bạn sẽ thấy phần chính của cây bút chì là một lăng kính.
Đi dọc con đường trung tâm thành phố, chúng ta thấy dưới chân mình là một tấm ngói có hình lăng trụ lục giác.
A. V. Pogorelov, Hình học lớp 7-11, Sách giáo khoa cho các cơ sở giáo dục
Khóa học video “Nhận điểm A” bao gồm tất cả các chủ đề cần thiết để vượt qua thành công Kỳ thi Thống nhất môn toán với 60-65 điểm. Hoàn thành tất cả các nhiệm vụ 1-13 của Kỳ thi Tiểu bang Thống nhất môn toán. Cũng thích hợp để vượt qua Kỳ thi Thống nhất Cơ bản về toán học. Nếu bạn muốn vượt qua Kỳ thi Thống nhất với 90-100 điểm, bạn cần phải giải phần 1 trong 30 phút và không mắc lỗi!
Khóa luyện thi cấp Nhà nước thống nhất dành cho lớp 10-11 cũng như dành cho giáo viên. Mọi thứ bạn cần để giải Phần 1 của Kỳ thi Thống nhất môn toán (12 bài đầu) và Bài 13 (lượng giác). Và đây là hơn 70 điểm trong Kỳ thi Thống nhất, và cả học sinh 100 điểm lẫn sinh viên nhân văn đều không thể làm được nếu không có chúng.
Tất cả các lý thuyết cần thiết. Lời giải nhanh, cạm bẫy và bí quyết của kỳ thi Thống Nhất. Tất cả các nhiệm vụ hiện tại của phần 1 từ Ngân hàng nhiệm vụ FIPI đã được phân tích. Khóa học hoàn toàn tuân thủ các yêu cầu của Kỳ thi Thống nhất năm 2018.
Khóa học bao gồm 5 chủ đề lớn, mỗi chủ đề kéo dài 2,5 giờ. Mỗi chủ đề được đưa ra từ đầu, đơn giản và rõ ràng.
Hàng trăm nhiệm vụ thi Thống nhất Nhà nước. Vấn đề từ ngữ và lý thuyết xác suất. Các thuật toán đơn giản và dễ nhớ để giải quyết vấn đề. Hình học. Lý thuyết, tài liệu tham khảo, phân tích các loại nhiệm vụ Kỳ thi Thống nhất. Lập thể. Những giải pháp khó khăn, những mánh gian lận hữu ích, phát triển trí tưởng tượng về không gian. Lượng giác từ đầu đến bài 13. Hiểu thay vì nhồi nhét. Giải thích rõ ràng về các khái niệm phức tạp. Đại số. Căn, lũy thừa và logarit, hàm số và đạo hàm. Là cơ sở để giải các bài toán phức tạp Phần 2 của Đề thi Thống nhất.
Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.
Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân
Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.
Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.
Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.
Chúng tôi thu thập những thông tin cá nhân nào:
- Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email, v.v.
Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:
- Thông tin cá nhân chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo cũng như các sự kiện khác và sự kiện sắp tới.
- Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
- Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất về dịch vụ của chúng tôi.
- Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.
Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba
Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.
Ngoại lệ:
- Nếu cần thiết - theo luật pháp, thủ tục tư pháp, thủ tục tố tụng và/hoặc trên cơ sở yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
- Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.
Bảo vệ thông tin cá nhân
Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.
Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty
Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.
Định nghĩa 1. Bề mặt lăng trụ
Định lý 1. Trên các mặt cắt song song của một mặt lăng trụ
Định nghĩa 2. Tiết diện vuông góc của mặt lăng trụ
Định nghĩa 3. Lăng kính
Định nghĩa 4. Chiều cao lăng kính
Định nghĩa 5. Lăng kính phải
Định lý 2. Diện tích bề mặt bên của lăng kính
Song song:
Định nghĩa 6. Song song
Định lý 3. Về giao điểm các đường chéo của hình bình hành
Định nghĩa 7. Song song bên phải
Định nghĩa 8. Hình chữ nhật song song
Định nghĩa 9. Phép đo hình bình hành
Định nghĩa 10. Khối lập phương
Định nghĩa 11. Hình thoi
Định lý 4. Trên các đường chéo của hình bình hành hình chữ nhật
Định lý 5. Thể tích lăng trụ
Định lý 6. Thể tích lăng trụ thẳng
Định lý 7. Thể tích hình bình hành hình chữ nhật
lăng kính là một khối đa diện có hai mặt (đáy) nằm trong các mặt phẳng song song và các cạnh không nằm trong các mặt này thì song song với nhau.
Các mặt không phải là đáy được gọi là bên.
Các cạnh của các mặt bên và đáy được gọi là xương sườn lăng kính, các đầu của cạnh được gọi là các đỉnh của lăng kính. Xương sườn bên các cạnh không thuộc cơ sở được gọi. Sự kết hợp của các mặt bên được gọi là bề mặt bên của lăng kính, và sự kết hợp của tất cả các mặt được gọi là toàn bộ bề mặt của lăng kính. Chiều cao lăng kính gọi là đường vuông góc rơi từ điểm của đáy trên đến mặt phẳng của đáy dưới hoặc chiều dài của đường vuông góc này. 
lăng kính trực tiếpđược gọi là lăng kính có các cạnh bên vuông góc với các mặt phẳng đáy. 
Chính xácđược gọi là lăng kính thẳng (Hình 3), ở đáy có một đa giác đều.
Chỉ định:
l - sườn bên;
P - chu vi đáy;
S o - diện tích nền;
H - chiều cao;
P^ - chu vi tiết diện vuông góc;
S b - diện tích bề mặt bên;
V - âm lượng;
S p là diện tích toàn phần của lăng kính.
|
V=SH |
*Giả sử hai mặt phẳng liên tiếp cắt nhau và mặt phẳng cuối cùng cắt mặt phẳng đầu tiên.
Định lý 1 . Các phần của một bề mặt lăng trụ có các mặt phẳng song song với nhau (nhưng không song song với các cạnh của nó) là các đa giác bằng nhau.
Cho ABCDE và A"B"C"D"E" là các mặt cắt của một mặt lăng trụ bởi hai mặt phẳng song song. Để chắc chắn rằng hai đa giác này bằng nhau, chỉ cần chứng minh rằng các tam giác ABC và A"B"C" là bằng nhau và có cùng hướng quay và điều đó đúng đối với các tam giác ABD và A"B"D", ABE và A"B"E". Nhưng các cạnh tương ứng của các tam giác này song song (ví dụ AC song song với AC) giống như giao tuyến của một mặt phẳng nào đó với hai mặt phẳng song song; Theo đó, các cạnh này bằng nhau (ví dụ: AC bằng A"C"), giống như các cạnh đối diện của hình bình hành và các góc tạo bởi các cạnh này bằng nhau và có cùng hướng.
Định nghĩa 2 . Tiết diện vuông góc của một bề mặt lăng trụ là tiết diện của bề mặt này bởi một mặt phẳng vuông góc với các cạnh của nó. Dựa trên định lý trước đó, tất cả các phần vuông góc của cùng một bề mặt lăng trụ sẽ là các đa giác bằng nhau.
Định nghĩa 3
. Lăng kính là một khối đa diện được giới hạn bởi một bề mặt lăng trụ và hai mặt phẳng song song với nhau (nhưng không song song với các cạnh của bề mặt lăng trụ)
Các khuôn mặt nằm trong những mặt phẳng cuối cùng này được gọi là cơ sở lăng kính; các mặt thuộc bề mặt lăng trụ - mặt bên; các cạnh của bề mặt lăng trụ - sườn bên của lăng kính. Theo định lý trước, đáy của lăng trụ là đa giác bằng nhau. Tất cả các mặt bên của lăng kính - hình bình hành; tất cả các gân bên đều bằng nhau.
Rõ ràng, nếu cho đáy lăng kính ABCDE và một trong các cạnh AA" về kích thước và hướng thì có thể dựng lăng kính bằng cách vẽ các cạnh BB", CC",... bằng và song song với cạnh AA" .
Định nghĩa 4 . Chiều cao của lăng kính là khoảng cách giữa các mặt phẳng đáy của nó (HH").
Định nghĩa 5
. Một lăng kính được gọi là thẳng nếu đáy của nó là các tiết diện vuông góc của bề mặt lăng trụ. Trong trường hợp này, chiều cao của lăng kính tất nhiên là sườn bên; các cạnh bên sẽ là hình chữ nhật.
Lăng kính có thể được phân loại theo số mặt bên bằng số cạnh của đa giác làm đáy của nó. Do đó, lăng kính có thể là hình tam giác, hình tứ giác, hình ngũ giác, v.v.
Định lý 2
. Diện tích bề mặt bên của lăng kính bằng tích của cạnh bên và chu vi của phần vuông góc.
Cho ABCDEA"B"C"D"E" là một hình lăng trụ cho trước và abcde tiết diện vuông góc của nó sao cho các đoạn ab, bc, .. vuông góc với các cạnh bên của nó. Mặt ABA"B" là hình bình hành, diện tích của nó bằng tích của đáy AA " với độ cao trùng với ab; diện tích mặt ВСВ "С" bằng tích của đáy ВВ" với chiều cao bc, v.v. Do đó, bề mặt bên (tức là tổng diện tích của các mặt bên) bằng tích của cạnh bên, nói cách khác là tổng chiều dài của các đoạn AA", ВВ", .., với lượng ab+bc+cd+de+ea.