Chúng tôi tiếp tục xem xét các nhiệm vụ có trong Kỳ thi Thống nhất về môn toán. Chúng ta đã nghiên cứu các bài toán trong đó điều kiện cho trước và cần tìm khoảng cách giữa hai điểm hoặc một góc cho trước.
Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét các vấn đề để giải kim tự tháp thông thường. Đây là những kim tự tháp ở đáy nằm đa giác đều(trong các bài toán đã trình bày tam giác đều hoặc hình vuông).
Bạn cần tìm một phần tử nào đó, diện tích bề mặt bên, thể tích, chiều cao. Tất nhiên, bạn cần biết định lý Pythagore, công thức tính diện tích bề mặt bên của kim tự tháp và công thức tính thể tích của kim tự tháp.
Trong bài viết " " trình bày tất cả các công thức cần thiết để giải. Vì vậy, các nhiệm vụ:
SABCD dấu chấm Ô- trung tâm của cơ sở,Sđỉnh, VÌ THẾ = 51, A.C.= 136. Tìm cạnh bênS.C..
TRONG trong trường hợp nàyđáy là hình vuông. Điều này có nghĩa là các đường chéo AC và BD bằng nhau, chúng cắt nhau và chia đôi bởi điểm giao nhau. Lưu ý rằng trong kim tự tháp đúng chiều cao rơi từ đỉnh của nó đi qua tâm của đáy kim tự tháp. Vậy SO là chiều cao và là hình tam giácSOChình chữ nhật. Khi đó theo định lý Pythagore:
Làm thế nào để trích xuất gốc từ số lượng lớn.
Đáp án: 85
Hãy tự mình quyết định:
Trong một kim tự tháp tứ giác đều SABCD dấu chấm Ô- trung tâm của cơ sở, Sđỉnh, VÌ THẾ = 4, A.C.= 6. Tìm cạnh bên S.C..
Trong một kim tự tháp tứ giác đều SABCD dấu chấm Ô- trung tâm của cơ sở, Sđỉnh, S.C. = 5, A.C.= 6. Tìm độ dài đoạn thẳng VÌ THẾ.
Trong một kim tự tháp tứ giác đều SABCD dấu chấm Ô- trung tâm của cơ sở, Sđỉnh, VÌ THẾ = 4, S.C.= 5. Tìm độ dài đoạn thẳng A.C..
SABC R- giữa xương sườn BC, S- đứng đầu. Người ta biết rằng AB= 7, một S.R.= 16. Tìm diện tích xung quanh.
Diện tích bề mặt bên của một hình chóp tam giác đều bằng một nửa tích của chu vi đáy và đường trung đoạn (điểm trung đoạn là chiều cao của mặt bên của một hình chóp đều được vẽ từ đỉnh của nó):
Hoặc chúng ta có thể nói thế này: diện tích bề mặt bên của kim tự tháp bằng tổng ba hình vuông các cạnh bên. Các mặt bên của hình chóp tam giác đều là những hình tam giác có diện tích bằng nhau. Trong trường hợp này:
Đáp án: 168
Hãy tự mình quyết định:
Trong một kim tự tháp tam giác đều SABC R- giữa xương sườn BC, S- đứng đầu. Người ta biết rằng AB= 1, một S.R.= 2. Tìm diện tích xung quanh.
Trong một kim tự tháp tam giác đều SABC R- giữa xương sườn BC, S- đứng đầu. Người ta biết rằng AB= 1, diện tích xung quanh là 3. Tìm độ dài đoạn thẳng S.R..
Trong một kim tự tháp tam giác đều SABC L- giữa xương sườn BC, S- đứng đầu. Người ta biết rằng SL= 2, diện tích xung quanh là 3. Tìm độ dài đoạn thẳng AB.
Nhiệm vụ 14. Trong một hình tứ giác đều kim tự tháp SABCD với đỉnh S thì cạnh đáy là 6. Điểm L là trung điểm của cạnh SC. Tiếp tuyến của góc giữa hai đường thẳng BL và SA bằng 2.
a) Gọi O là tâm đáy của hình chóp. Chứng minh rằng hai đường thẳng AS và OL song song.
b) Tìm diện tích bề mặt của kim tự tháp.
Giải pháp.
MỘT)Đáy của một hình chóp đều có hình vuông, tức là ABCD là hình vuông. Các đường chéo của hình vuông cắt nhau tại điểm O và bị chia đôi bởi điểm này. Điểm L là điểm giữa SC theo điều kiện bài toán. Suy ra OL là đường trung bình của tam giác SAC và do đó, và .
b)Đầu tiên, hãy tìm độ dài cạnh bên AS. Xét điểm a) chúng ta có thể kết luận rằng bài toán cho giá trị 
(xem hình). Xét tam giác cân DLB (vì DL=LB), trong đó điểm O nằm giữa BD nên LO là đường trung bình và đường cao của tam giác DLB, nghĩa là tam giác LOB vuông. Sau đó chúng ta có thể viết rằng
.
Lần lượt OB bằng một nửa BD và từ tam giác vuông BDC theo định lý Pythagore, ta có:
.
Ở điểm a) người ta đã chỉ ra rằng, đó là
Ngày 9 tháng 3 năm 2012
Khi giải bài C2 bằng phương pháp tọa độ, nhiều học sinh cũng gặp phải tình trạng tương tự. Họ không thể tính toán tọa độ của điểm có trong công thức sản phẩm chấm. Những khó khăn lớn nhất nảy sinh kim tự tháp. Và nếu các điểm cơ bản ít nhiều được coi là bình thường, thì phần ngọn thực sự là một địa ngục.
Hôm nay chúng ta sẽ làm việc trên một kim tự tháp tứ giác đều. Ngoài ra còn có một kim tự tháp hình tam giác (còn gọi là - tứ diện). Nó còn hơn thế nữa thiết kế phức tạp, vì vậy một bài học riêng sẽ được dành cho nó.
Đầu tiên chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa:
Một kim tự tháp thông thường là một kim tự tháp:
- Đáy là một đa giác đều: hình tam giác, hình vuông, v.v.;
- Độ cao kéo về căn cứ đi qua trung tâm của nó.
Đặc biệt, đáy của hình chóp tứ giác là quảng trường. Giống như Cheops, chỉ nhỏ hơn một chút.
Dưới đây là các phép tính cho hình chóp trong đó tất cả các cạnh đều bằng 1. Nếu bài toán của bạn không đúng như vậy thì các phép tính sẽ không thay đổi - chỉ các con số sẽ khác.
Các đỉnh của hình chóp tứ giác
Vì vậy, hãy cho một hình chóp tứ giác đều SABCD, trong đó S là đỉnh và đáy ABCD là hình vuông. Tất cả các cạnh đều bằng 1. Bạn cần nhập hệ tọa độ và tìm tọa độ của tất cả các điểm. Chúng tôi có:
Ta giới thiệu hệ tọa độ có gốc tọa độ tại điểm A:
- Trục OX song song với cạnh AB;
- Trục OY song song với AD. Vì ABCD là hình vuông nên AB ⊥ AD;
- Cuối cùng, chúng ta hướng trục OZ hướng lên trên, vuông góc với mặt phẳng ABCD.
Bây giờ chúng ta tính toán tọa độ. Thi công bổ sung: SH – chiều cao vẽ tới chân đế. Để thuận tiện, chúng ta sẽ đặt phần đáy của kim tự tháp vào một bản vẽ riêng. Vì các điểm A, B, C và D nằm trong mặt phẳng OXY nên tọa độ của chúng là z = 0. Ta có:
- A = (0; 0; 0) - trùng với gốc tọa độ;
- B = (1; 0; 0) - từng bước 1 dọc theo trục OX tính từ gốc;
- C = (1; 1; 0) - từng bước 1 dọc theo trục OX và 1 dọc theo trục OY;
- D = (0; 1; 0) - chỉ bước dọc theo trục OY.
- H = (0,5; 0,5; 0) - tâm hình vuông, chính giữa đoạn AC.
Việc còn lại là tìm tọa độ của điểm S. Lưu ý rằng tọa độ x và y của điểm S và H bằng nhau vì chúng nằm trên một đường thẳng, trục song song oz. Vẫn còn phải tìm tọa độ z cho điểm S.
Xét các tam giác ASH và ABH:
- AS = AB = 1 theo điều kiện;
- Góc AHS = AHB = 90°, vì SH là chiều cao và AH ⊥ HB là các đường chéo của hình vuông;
- Bên AH là phổ biến.
Do đó, tam giác vuông ASH và ABH bình đẳng mỗi chân một chân và một cạnh huyền. Điều này có nghĩa là SH = BH = 0,5 BD. Nhưng BD là đường chéo của hình vuông cạnh 1. Do đó ta có:
Tổng tọa độ điểm S:
Để kết luận, chúng tôi viết tọa độ của tất cả các đỉnh của một hình chóp hình chữ nhật đều:
Phải làm gì khi xương sườn khác nhau
Điều gì sẽ xảy ra nếu các cạnh bên của hình chóp không bằng các cạnh của đế? Trong trường hợp này, xét tam giác AHS:
Tam giác AHS - hình chữ nhật, và cạnh huyền AS cũng là cạnh bên của hình chóp SABCD ban đầu. Chân AH dễ dàng tính được: AH = 0,5 AC. Ta sẽ tìm chân còn lại SH theo định lý Pythagore. Đây sẽ là tọa độ z cho điểm S.
Nhiệm vụ. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, đáy của nó là hình vuông có cạnh 1. Cạnh BS = 3. Tìm tọa độ điểm S.
Chúng ta đã biết tọa độ x và y của điểm này: x = y = 0,5. Điều này xuất phát từ hai sự thật:
- Hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng OXY là điểm H;
- Đồng thời, điểm H là tâm của hình vuông ABCD có cạnh bằng 1.
Vẫn còn phải tìm tọa độ của điểm S. Xét tam giác AHS. Nó có hình chữ nhật, cạnh huyền AS = BS = 3, cạnh AH bằng nửa đường chéo. Để tính toán thêm, chúng ta cần độ dài của nó:
Định lý Pytago cho tam giác AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Chúng tôi có:
Vậy tọa độ điểm S là:
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, điểm O là tâm đáy, SD=26, AC=20. Tìm độ dài đoạn SO.
Giải pháp vấn đề
Bài học video trình bày một bài toán tính toán trong Bài thi Thống nhất nước (B13) để tìm cạnh bên của hình chóp tứ giác. Khi giải bài toán, hãy nhớ rằng chiều cao của một hình chóp tứ giác đều là đoạn nối đỉnh của hình chóp đó với tâm của đáy. Khái niệm hình chóp tứ giác đều được sử dụng. Đây là một kim tự tháp có đáy hình vuông và sườn bênđều bình đẳng. Người ta kết luận rằng điểm ở giữa hình vuông chia đường chéo thành hai phần bằng nhau. Một tam giác vuông được xem xét. Để tìm chân trong tam giác vuôngĐịnh lý Pytago được sử dụng: bình phương cạnh huyền bằng tổng hình vuông của chân. Số lượng mong muốn được thể hiện.
Lời giải của bài toán này dành cho học sinh lớp 10 khi nghiên cứu chủ đề: “Hình chóp đúng” (Khái niệm về hình chóp đều. Giải bài toán). Bài học video giáo dục sẽ hữu ích cho học sinh lớp 11 trong việc chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất.