Tùy chọn 1-16.
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 6 và sườn bên bằng 9. Điểm M được đánh dấu trên cạnh SA sao cho SM=6. a) Dựng một phần hình chóp có mặt phẳng đi qua các điểm B, C và M. b) Tìm khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng VSM.
Giải pháp. Đáy của hình chóp ta là hình vuông ABCD có cạnh 6, đỉnh S chiếu vào tâm hình vuông - điểm O, các mặt bằng nhau tam giác cân có đáy 6 và cạnh 9.
a) Hãy xây dựng mặt cắt ngang của HSM. Nếu hai mặt phẳng có điểm chung, thì chúng cắt nhau dọc theo một đường thẳng đi qua điểm này. Mặt phẳng cắt sẽ cắt đáy hình chóp dọc theo đường thẳng BC, mặt SAB - dọc theo đường thẳng VM (xem Hình 1). Đường thẳng giao nhau của mặt phẳng cắt với mặt SAD sẽ đi qua điểm M. Bằng cách nào? Song song với AD. Tại sao? Nếu đường thẳng MN không song song với AD thì nó phải cắt AD tại một điểm thuộc đường thẳng BC (xét cho cùng, mọi giao điểm của mặt phẳng cắt với mặt phẳng đáy đều nằm trên đường thẳng BC), nhưng điều này là không thể, bởi vì AD II BC. Ta vẽ MN II AD và nối điểm N với điểm C. Một mặt cắt hình chóp có mặt phẳng đi qua các điểm B, C và M đã được dựng và biểu diễn hình thang cân BMNC có bazơ BC và MN.
b) Hãy tìm khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng HSM. Ta tiến hành dựng: vẽ EF II AB (lưu ý E là trung điểm AD, F là trung điểm BC). Chúng ta nối các điểm E và F với đỉnh S. Mặt phẳng SEF sẽ cắt hình thang BMNC dọc theo đường thẳng KF là trục đối xứng của hình thang (Hình 2). Khoảng cách từ điểm S đến mặt cắt sẽ là chiều cao của tam giác SKF vẽ cạnh KF. Việc xây dựng đường vuông góc này sẽ phụ thuộc vào giá trị của góc SKF (chúng ta ký hiệu là α). Nếu góc α nhọn thì đường cao của tam giác SKF sẽ nằm trong tam giác đó. Nếu góc α tù thì nó nằm ngoài tam giác. Sử dụng định lý cosin, ta xác định cosin của góc α trong tam giác SKF.
SF – chiều cao và đường trung bình của hình cân cân Δ SBC có cạnh SB=9 và đáy BC=6. SF 2 = SB 2 - BF 2 = 8 1- 9 = 72. Do đó các mặt SAD và SBC bằng nhau:
Hãy tìm SK (Hình 3). Hãy xác định góc φ.
Trong hình chữ nhật ΔMKS cạnh huyền là SM = 6 thì MK = SM ∙ cosφ; MK = 2. SK = SM ∙ sinφ (cũng có thể tìm được bằng định lý Pythagore).
Từ ΔMAB ta sử dụng định lý cosine để tìm MV.
MV 2 = MA 2 + AB 2 – 2 ∙ MA ∙ AB ∙ cos∠MAB; lưu ý rằng cos∠MAB=φ.
Xét hình thang BMNC (Hình 4). Hãy làm MP⟘BC. MK=2, BF=3, BP=1. Từ tam giác vuông BPM theo định lý Pythagore:
MP 2 = MV 2 – BP 2 = 33-1 = 32.
Do đó, góc α tù và đường cao ΔSKF sẽ nằm ngoài tam giác. Hãy dựng ST ⊥ KF và tìm độ dài ST - cạnh của tam giác vuông TKS đối diện với góc (π-α). ST = SK ∙ sin(π-α) = SK ∙ sinα. Biết cosin α, ta tìm được sin α.
Tùy chọn 1-17.
Giải bất phương trình: log 3 (9 x +16 x -9∙4 x +8) ≥2x.
Giải pháp. Hãy biểu diễn vế phải dưới dạng logarit cơ số 3:
log 3 (9 x +16 x -9∙4 x +8) ≥log 3 3 2x . Bất đẳng thức này sẽ đúng nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
9 x +16 x -9∙4 x +8 ≥3 2 x và 9 x +16 x -9∙4 x +8>0. Vì 3 2 x >0 nên chỉ có thể giải được bất đẳng thức đầu tiên. Hãy viết nó dưới dạng: 3 2 x +4 2 x -9∙4 x +8 ≥3 2 x ; biến đổi và nhận được: 4 2 x -9∙4 x +8 ≥0. Hãy thay thế: 4 x = y. Hãy giải bất đẳng thức: y 2 -9y+8 ≥0. Các số 0 của tam thức y 2 -9y+8 là y 1 =1, y 2 =8. Bất đẳng thức sẽ đúng với y<1 и y>8. Nhưng y=4 x và 4 x >0 với mọi x. Do đó, 4 x sẽ thuộc về hợp các khoảng (0; 1] và và, "en":["8-yYYSdzGpE"],"de":["WdBtNfapbHk","l4g4yGpfqIc"],"es":[ "fc4otil8UTE" ],"pt":["QruxFE8Ouno","eIt-AzICZrM","_EVKxSIiQHg"],"pl":["iplrpLjcmnw","TVgaedyu_zc"],"ro":["7COIPYhkWn8","7COIPYhkWn8 "], "lt":["xDsdCWxakxk","7ieqsOukivc","xBJq0QP6o0A","SvpFoOsSxjk","551rtBJyYe0"],"el":["KhipRx4bM4Y"])