Khi một người đã thực hiện những bước độc lập đầu tiên trong việc nghiên cứu phân tích toán học và bắt đầu đặt những câu hỏi khó chịu, thì không còn dễ dàng bỏ qua cụm từ “phép tính vi phân được tìm thấy trong bắp cải”. Vì vậy, đã đến lúc phải xác định và tiết lộ bí mật về sự ra đời của bảng đạo hàm và quy tắc đạo hàm. Bắt đầu trong bài viết về ý nghĩa của đạo hàm, điều mà tôi thực sự khuyên bạn nên nghiên cứu, vì ở đó chúng ta chỉ xem xét khái niệm đạo hàm và bắt đầu nhấp vào các bài toán trong chủ đề này. Bài học này cũng có tính định hướng thực tiễn rõ rệt, hơn nữa,
về nguyên tắc, các ví dụ được thảo luận dưới đây có thể được nắm vững hoàn toàn về mặt hình thức (ví dụ: khi không có thời gian/mong muốn đi sâu vào bản chất của đạo hàm). Cũng rất mong muốn (nhưng cũng không cần thiết) có thể tìm đạo hàm bằng phương pháp “thông thường” - ít nhất ở cấp độ của hai bài học cơ bản: Làm thế nào để tìm đạo hàm và đạo hàm của hàm số phức.
Nhưng có một điều chúng ta chắc chắn không thể làm được nếu không có bây giờ, đó là giới hạn chức năng. Bạn phải HIỂU giới hạn là gì và có thể giải quyết chúng ít nhất ở trình độ trung cấp. Và tất cả là do đạo hàm
hàm số tại một điểm được xác định theo công thức:
Hãy để tôi nhắc bạn về các chỉ định và thuật ngữ: họ gọi tăng đối số;
- tăng chức năng;
– đây là các ký hiệu ĐƠN (“delta” không thể bị “xé rời” khỏi “X” hoặc “Y”).
Rõ ràng, biến “động” là một hằng số và là kết quả của việc tính giới hạn 
- con số (đôi khi - “cộng” hoặc “trừ” vô cùng).
Tại một thời điểm, bạn có thể xem xét BẤT KỲ giá trị nào thuộc về miền định nghĩa hàm trong đó đạo hàm tồn tại.
Lưu ý: mệnh đề “trong đó đạo hàm tồn tại” là nói chung là đáng kể! Vì vậy, ví dụ, mặc dù một điểm được bao gồm trong miền định nghĩa của hàm số, đạo hàm của nó
không tồn tại ở đó. Do đó công thức
không áp dụng tại điểm
và một công thức rút gọn mà không đặt trước sẽ không chính xác. Thực tế tương tự cũng đúng với các hàm khác có “điểm ngắt” trong biểu đồ, đặc biệt là đối với arcsine và arccosine.
Như vậy, sau khi thay thế , chúng ta thu được công thức làm việc thứ hai:
Hãy chú ý đến một tình huống xảo quyệt có thể gây nhầm lẫn cho ấm trà: trong giới hạn này, “x”, bản thân nó là một biến độc lập, đóng vai trò là một thống kê và “động lực học” một lần nữa được thiết lập theo mức tăng. Kết quả tính giới hạn
là hàm đạo hàm.
Dựa vào những điều trên, ta xây dựng điều kiện của hai bài toán điển hình:
- Tìm thấy đạo hàm tại một điểm, sử dụng định nghĩa đạo hàm.
- Tìm thấy hàm đạo hàm, sử dụng định nghĩa đạo hàm. Phiên bản này, theo quan sát của tôi, phổ biến hơn nhiều và sẽ được chú ý nhiều hơn.
Sự khác biệt cơ bản giữa các nhiệm vụ là trong trường hợp đầu tiên bạn cần tìm số (tùy chọn, vô cùng), và trong lần thứ hai –
chức năng Ngoài ra, đạo hàm có thể không tồn tại.
Làm sao ?
Tạo tỉ số và tính giới hạn.
Nó đến từ đâu? bảng đạo hàm và quy tắc đạo hàm ? Nhờ giới hạn duy nhất
Nó có vẻ giống như phép thuật, nhưng
trong thực tế - khéo léo và không có gian lận. trong lớp Một dẫn xuất là gì? Tôi bắt đầu xem xét các ví dụ cụ thể trong đó, bằng cách sử dụng định nghĩa, tôi đã tìm thấy đạo hàm của hàm tuyến tính và hàm bậc hai. Với mục đích khởi động nhận thức, chúng tôi sẽ tiếp tục làm phiền bảng dẫn xuất, hoàn thiện thuật toán và giải pháp kỹ thuật:
Về cơ bản, bạn cần chứng minh một trường hợp đặc biệt của đạo hàm hàm lũy thừa, trường hợp này thường xuất hiện trong bảng: .
Giải pháp được chính thức hóa về mặt kỹ thuật theo hai cách. Hãy bắt đầu với cách tiếp cận đầu tiên, vốn đã quen thuộc: bậc thang bắt đầu bằng một tấm ván và hàm đạo hàm bắt đầu bằng đạo hàm tại một điểm.
Hãy xem xét một số điểm (cụ thể) thuộc về miền định nghĩa hàm trong đó có đạo hàm. Chúng ta hãy đặt mức tăng tại thời điểm này (tất nhiên là trong phạm vi o/o -ya) và soạn phần tăng tương ứng của hàm:
Hãy tính giới hạn:
Độ không đảm bảo 0:0 được loại bỏ bằng một kỹ thuật tiêu chuẩn, được xem xét từ thế kỷ thứ nhất trước Công nguyên. Hãy nhân lên
tử số và mẫu số của biểu thức liên hợp 
:
Kỹ thuật giải giới hạn như vậy sẽ được thảo luận chi tiết trong bài học giới thiệu. về giới hạn của hàm.
Vì bạn có thể chọn BẤT KỲ điểm nào của khoảng thời gian như
Sau đó, khi thực hiện thay thế, chúng tôi nhận được:
Một lần nữa chúng ta hãy vui mừng với logarit:
Tìm đạo hàm của hàm số bằng cách sử dụng định nghĩa đạo hàm
Giải pháp: Hãy xem xét một cách tiếp cận khác để thúc đẩy cùng một nhiệm vụ. Nó hoàn toàn giống nhau nhưng hợp lý hơn về mặt thiết kế. Ý tưởng là để thoát khỏi
chỉ số dưới và sử dụng một chữ cái thay vì một chữ cái.
Xét một điểm tùy ý thuộc miền định nghĩa hàm (khoảng) và đặt mức tăng trong đó. Nhưng ở đây, nhân tiện, như trong hầu hết các trường hợp, bạn có thể thực hiện mà không cần đặt trước, vì hàm logarit có khả vi tại bất kỳ điểm nào trong miền định nghĩa.
Khi đó mức tăng tương ứng của hàm là:
Hãy tìm đạo hàm:
Sự đơn giản của thiết kế được cân bằng bởi sự nhầm lẫn có thể
xảy ra giữa những người mới bắt đầu (và không chỉ). Rốt cuộc, chúng ta đã quen với việc chữ “X” thay đổi trong giới hạn! Nhưng ở đây mọi thứ đều khác: - một bức tượng cổ, và - một du khách còn sống đang bước nhanh dọc hành lang của bảo tàng. Nghĩa là, “x” là “giống như một hằng số”.
Tôi sẽ bình luận về việc loại bỏ sự không chắc chắn từng bước:
(1)
Sử dụng thuộc tính logarit
.
(2) Trong ngoặc đơn, chia tử số cho số hạng mẫu số cho số hạng.
(3) Ở mẫu số, chúng ta nhân và chia một cách giả tạo cho “x” sao cho
tận dụng giới hạn tuyệt vời 
, trong khi như vô cùng nhỏ hành động.
Trả lời: theo định nghĩa đạo hàm:
Hay nói ngắn gọn là:
Tôi đề xuất tự mình xây dựng thêm hai công thức bảng:
Tìm đạo hàm theo định nghĩa
Trong trường hợp này, sẽ thuận tiện hơn nếu giảm ngay số gia đã biên dịch xuống mẫu số chung. Mẫu bài tập gần đúng ở cuối bài (phương pháp đầu tiên).
Tìm đạo hàm theo định nghĩa
Và ở đây mọi thứ phải được giảm xuống một giới hạn đáng chú ý. Giải pháp được chính thức hóa theo cách thứ hai.
Một số khác dẫn xuất dạng bảng. Danh sách đầy đủ có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa của trường, hoặc, ví dụ, tập 1 của Fichtenholtz. Tôi không thấy có ích gì khi sao chép bằng chứng về quy tắc vi phân từ sách - chúng cũng được tạo ra
công thức
Hãy chuyển sang các nhiệm vụ thực tế gặp phải: Ví dụ 5
Tìm đạo hàm của một hàm số 
, sử dụng định nghĩa đạo hàm
Giải pháp: sử dụng phong cách thiết kế đầu tiên. Hãy xem xét một số điểm thuộc về nó và đặt mức tăng của đối số tại đó. Khi đó mức tăng tương ứng của hàm là:
Có lẽ một số độc giả vẫn chưa hiểu hết nguyên tắc cần phải tăng dần. Lấy một điểm (số) và tìm giá trị của hàm số trong đó: 
, tức là vào hàm
thay vì "X" bạn nên thay thế. Bây giờ chúng ta hãy lấy nó
Tăng hàm được biên dịch Việc đơn giản hóa ngay lập tức có thể có ích. Để làm gì? Tạo điều kiện thuận lợi và rút ngắn giải pháp đến một giới hạn hơn nữa.
Chúng tôi sử dụng công thức, mở ngoặc và giảm mọi thứ có thể giảm:
Gà tây rút ruột, nướng không vấn đề gì:
Kết quả là: 
Vì chúng ta có thể chọn bất kỳ số thực nào làm giá trị nên chúng ta thực hiện thay thế và nhận được 
.
Trả lời : 
theo định nghĩa.
Để xác minh, hãy tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc
sự khác biệt và bảng:
Việc biết trước câu trả lời chính xác luôn hữu ích và dễ chịu, vì vậy tốt hơn hết bạn nên phân biệt chức năng được đề xuất một cách “nhanh chóng”, trong đầu hoặc trong bản nháp, ngay khi bắt đầu giải pháp.
Tìm đạo hàm của hàm số theo định nghĩa đạo hàm
Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Kết quả là hiển nhiên:
Hãy quay lại kiểu số 2: Ví dụ 7
Chúng ta hãy tìm hiểu ngay điều gì sẽ xảy ra. Qua quy tắc đạo hàm của hàm phức:
Giải pháp: Xét một điểm tùy ý thuộc về nó, thiết lập mức tăng của đối số tại điểm đó và tạo thành mức tăng
Hãy tìm đạo hàm:
(1) Chúng tôi sử dụng công thức lượng giác
(2) Dưới sin chúng ta mở ngoặc, dưới cos chúng ta trình bày các thuật ngữ tương tự.
(3) Theo sin chúng ta hủy bỏ các số hạng, dưới cosin chúng ta chia tử số cho số hạng mẫu số cho số hạng.
(4) Do sự kỳ lạ của sin, chúng tôi loại bỏ dấu trừ. Dưới cosin
chúng tôi chỉ ra rằng thuật ngữ .
(5) Chúng ta thực hiện phép nhân nhân tạo ở mẫu số để sử dụng giới hạn tuyệt vời đầu tiên. Vì vậy, sự không chắc chắn đã được loại bỏ, hãy thu thập kết quả.
Trả lời: theo định nghĩa Như bạn có thể thấy, khó khăn chính của vấn đề đang được xem xét nằm ở chỗ
độ phức tạp đến giới hạn + tính độc đáo của bao bì. Trong thực tế, cả hai phương pháp thiết kế đều xảy ra, vì vậy tôi mô tả cả hai phương pháp càng chi tiết càng tốt. Chúng tương đương nhau, nhưng theo ấn tượng chủ quan của tôi, những người giả nên chọn phương án 1 với “X-zero” sẽ tốt hơn.
Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của hàm số
Đây là một nhiệm vụ để bạn tự giải quyết. Mẫu được thiết kế theo tinh thần tương tự như ví dụ trước.
Hãy xem xét một phiên bản hiếm hơn của vấn đề:
Tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng cách sử dụng định nghĩa đạo hàm.
Đầu tiên, điểm mấu chốt nên là gì? Số Hãy tính đáp số theo cách chuẩn:
Giải pháp: từ quan điểm rõ ràng, nhiệm vụ này đơn giản hơn nhiều, vì trong công thức, thay vì
một giá trị cụ thể được xem xét.
Chúng ta hãy đặt mức tăng tại điểm và soạn mức tăng tương ứng của hàm:
Hãy tính đạo hàm tại điểm:
Chúng tôi sử dụng một công thức hiệu tiếp tuyến rất hiếm 
và một lần nữa chúng ta giảm giải pháp xuống giải pháp đầu tiên
giới hạn đáng chú ý:
Trả lời: theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm.
Vấn đề không quá khó để giải quyết “nói chung” - chỉ cần thay đinh là đủ, hoặc đơn giản là tùy thuộc vào phương pháp thiết kế. Trong trường hợp này, rõ ràng kết quả sẽ không phải là số mà là hàm dẫn xuất.
Ví dụ 10 Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của hàm số 
tại điểm
Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết.
Nhiệm vụ thưởng cuối cùng chủ yếu dành cho những sinh viên nghiên cứu chuyên sâu về phân tích toán học, nhưng nó cũng sẽ không gây tổn hại cho bất kỳ ai khác:
Hàm số có khả vi không? 
tại điểm?
Giải: Rõ ràng là hàm số đã cho từng phần là liên tục tại một điểm, nhưng liệu nó có khả vi tại đó không?
Thuật toán giải, không chỉ cho các hàm từng phần, như sau:
1) Tìm đạo hàm bên trái tại một điểm cho trước: .
2) Tìm đạo hàm bên phải tại một điểm cho trước: .
3) Nếu đạo hàm một phía hữu hạn và trùng nhau:
thì hàm số khả vi tại điểm
Về mặt hình học ở đây có một tiếp tuyến chung (xem phần lý thuyết của bài Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm).
Nếu nhận được hai giá trị khác nhau: 
(một trong số đó có thể là vô hạn), thì hàm số không khả vi tại điểm đó.
Nếu cả hai đạo hàm một phía đều bằng vô cùng
(ngay cả khi chúng có dấu hiệu khác nhau) thì hàm số không
khả vi tại điểm nhưng có đạo hàm vô hạn và tiếp tuyến chung theo chiều dọc của đồ thị (xem ví dụ bài 5phương trình bình thường) .
Trong bài học này chúng ta sẽ học cách áp dụng các công thức và quy tắc lấy vi phân.
Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Áp dụng quy tắc TÔI, công thức 4, 2 và 1. Chúng tôi nhận được:
y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x 6 -2x+5. Chúng tôi giải quyết tương tự, sử dụng cùng một công thức và công thức 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
Áp dụng quy tắc TÔI, công thức 3, 5
Và 6
Và 1.
Áp dụng quy tắc IV, công thức 5
Và 1
.
Trong ví dụ thứ năm, theo quy tắc TÔIđạo hàm của tổng bằng tổng của các đạo hàm và ta vừa tìm được đạo hàm của số hạng thứ nhất (ví dụ 4 ), do đó ta sẽ tìm đạo hàm thứ 2 Và thứ 3điều khoản và cho ngày đầu tiên triệu tập chúng ta có thể viết ngay kết quả.
Hãy phân biệt thứ 2 Và thứ 3 thuật ngữ theo công thức 4
. Để làm điều này, chúng ta biến đổi căn bậc ba và lũy thừa thứ tư trong mẫu số thành lũy thừa có số mũ âm, và sau đó, theo 4
công thức, chúng ta tìm được đạo hàm của lũy thừa.
Nhìn vào ví dụ này và kết quả. Bạn đã nắm bắt được mô hình? Khỏe. Điều này có nghĩa là chúng ta có một công thức mới và có thể thêm nó vào bảng đạo hàm.
Hãy giải ví dụ thứ sáu và rút ra một công thức khác.
Hãy sử dụng quy tắc IV và công thức 4
. Hãy giảm các phân số kết quả.
Chúng ta hãy xem hàm này và đạo hàm của nó. Tất nhiên, bạn hiểu mẫu và sẵn sàng đặt tên cho công thức:
Học công thức mới!
Ví dụ.
1. Tìm gia số của đối số và gia số của hàm y= x 2, nếu giá trị ban đầu của đối số bằng 4 , và mới - 4,01 .
Giải pháp.
Giá trị đối số mới x=x 0 +Δx. Hãy thay thế dữ liệu: 4,01=4+Δx, do đó đối số sẽ tăng lên Δх=4,01-4=0,01. Theo định nghĩa, mức tăng của hàm bằng chênh lệch giữa giá trị mới và giá trị trước đó của hàm, tức là. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Vì chúng ta có một hàm y=x2, Cái đó Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Trả lời: tăng đối số Δх= 0,01; tăng hàm Δу=0,0801.
Sự gia tăng hàm có thể được tìm thấy khác nhau: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.
2. Tìm góc nghiêng của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm x 0, Nếu như f"(x 0) = 1.
Giải pháp.
Giá trị của đạo hàm tại điểm tiếp tuyến x 0 và là giá trị tiếp tuyến của góc tiếp tuyến (ý nghĩa hình học của đạo hàm). Chúng tôi có: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, bởi vì tg45°=1.
Trả lời: tiếp tuyến của đồ thị hàm số này tạo thành một góc có hướng dương của trục Ox bằng 45°.
3. Suy ra công thức đạo hàm của hàm số y=xn.
Sự khác biệt là hành động tìm đạo hàm của một hàm số.
Khi tìm đạo hàm, hãy sử dụng các công thức được suy ra dựa trên định nghĩa của đạo hàm, giống như cách chúng ta tìm ra công thức cho bậc đạo hàm: (x n)" = nx n-1.
Đây là những công thức.
Bảng dẫn xuất Sẽ dễ dàng hơn để ghi nhớ bằng cách phát âm các công thức bằng lời nói:
1. Đạo hàm của một đại lượng không đổi bằng không.
2. X nguyên tố bằng một.
3. Hệ số không đổi có thể được loại bỏ khỏi dấu của đạo hàm.
4. Đạo hàm của một bậc bằng tích của số mũ của bậc này với một bậc có cùng cơ số, nhưng số mũ nhỏ hơn một đơn vị.
5. Đạo hàm của một căn bằng một chia cho hai căn bằng nhau.
6. Đạo hàm của một chia cho x bằng trừ một chia cho x bình phương.
7. Đạo hàm của sin bằng cosin.
8. Đạo hàm của cosin bằng sin âm.
9. Đạo hàm của tiếp tuyến bằng một chia cho bình phương cosin.
10. Đạo hàm của cotang bằng trừ một chia cho bình phương của sin.
Chúng tôi dạy quy tắc phân biệt.
1.
Đạo hàm của một tổng đại số bằng tổng đại số của các đạo hàm của các số hạng.
2. Đạo hàm của một tích bằng tích của đạo hàm của thừa số thứ nhất và thừa số thứ hai cộng với tích của thừa số thứ nhất và đạo hàm của thừa số thứ hai.
3. Đạo hàm của “y” chia cho “ve” bằng một phân số trong đó tử số là “y prime nhân với “ve” trừ “y nhân với ve prime” và mẫu số là “ve bình phương”.
4. Trường hợp đặc biệt của công thức 3.
Hãy cùng nhau tìm hiểu nhé!
Trang 1 trên 1 1
Sự định nghĩa. Giả sử hàm \(y = f(x)\) được xác định trong một khoảng nhất định chứa điểm \(x_0\) bên trong nó. Hãy tăng đối số \(\Delta x \) sao cho nó không rời khỏi khoảng này. Hãy tìm mức tăng tương ứng của hàm \(\Delta y \) (khi di chuyển từ điểm \(x_0 \) đến điểm \(x_0 + \Delta x \)) và soạn mối quan hệ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Nếu có giới hạn cho tỷ lệ này tại \(\Delta x \rightarrow 0\), thì giới hạn đã chỉ định được gọi đạo hàm của hàm\(y=f(x) \) tại điểm \(x_0 \) và biểu thị \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Ký hiệu y thường được dùng để biểu thị đạo hàm. Lưu ý rằng y" = f(x) là một hàm số mới, nhưng đương nhiên liên quan đến hàm y = f(x), được xác định tại mọi điểm x mà tại đó tồn tại giới hạn trên. Chức năng này được gọi như thế này: đạo hàm của hàm y = f(x).
Ý nghĩa hình học của đạo hàm như sau. Nếu có thể vẽ một tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm hoành độ x=a không song song với trục y thì f(a) biểu thị hệ số góc của tiếp tuyến :
\(k = f"(a)\)
Vì \(k = tg(a) \), nên đẳng thức \(f"(a) = tan(a) \) là đúng.
Bây giờ chúng ta hãy giải thích định nghĩa đạo hàm từ quan điểm về các đẳng thức gần đúng. Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại một điểm cụ thể \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Điều này có nghĩa là gần điểm x đẳng thức gần đúng \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), tức là \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Đồng bằng x\). Ý nghĩa có ý nghĩa của đẳng thức gần đúng thu được như sau: độ tăng của hàm “gần như tỷ lệ” với độ tăng của đối số và hệ số tỷ lệ là giá trị của đạo hàm tại một điểm x cho trước. Ví dụ: đối với hàm \(y = x^2\) đẳng thức gần đúng \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) là hợp lệ. Nếu chúng ta phân tích cẩn thận định nghĩa của đạo hàm, chúng ta sẽ thấy rằng nó chứa một thuật toán để tìm nó.
Hãy xây dựng nó.
Làm thế nào để tìm đạo hàm của hàm số y = f(x)?
1. Cố định giá trị \(x\), tìm \(f(x)\)
2. Đưa ra đối số \(x\) một gia số \(\Delta x\), đi đến điểm mới \(x+ \Delta x \), tìm \(f(x+ \Delta x) \)
3. Tìm số gia của hàm số: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Tạo mối quan hệ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Tính $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Giới hạn này là đạo hàm của hàm số tại điểm x.
Nếu hàm y = f(x) có đạo hàm tại điểm x thì nó được gọi là khả vi tại điểm x. Thủ tục tìm đạo hàm của hàm y = f(x) được gọi là sự khác biệt hàm số y = f(x).
Chúng ta hãy thảo luận câu hỏi sau: tính liên tục và khả vi của một hàm số tại một điểm có liên quan với nhau như thế nào?
Giả sử hàm y = f(x) khả vi tại điểm x. Khi đó, có thể vẽ một tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(x; f(x)), và nhớ lại, hệ số góc của tiếp tuyến bằng f "(x). Đồ thị như vậy không thể “phá vỡ” tại điểm M, tức là hàm số phải liên tục tại điểm x.
Đây là những lập luận “thực tế”. Hãy để chúng tôi đưa ra một lý luận chặt chẽ hơn. Nếu hàm y = f(x) khả vi tại điểm x thì đẳng thức gần đúng \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) đúng. Nếu trong đẳng thức này \(\Delta x \) có xu hướng về 0 thì \(\Delta y \) sẽ có xu hướng về 0 và đây là điều kiện cho tính liên tục của hàm số tại một điểm.
Vì thế, Nếu hàm số khả vi tại điểm x thì nó liên tục tại điểm đó.
Tuyên bố ngược lại là không đúng sự thật. Ví dụ: hàm y = |x| là liên tục ở mọi nơi, đặc biệt tại điểm x = 0, nhưng tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại “điểm giao nhau” (0; 0) không tồn tại. Nếu tại một điểm nào đó không thể vẽ được tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì đạo hàm không tồn tại tại điểm đó.
Một ví dụ khác. Hàm số \(y=\sqrt(x)\) liên tục trên toàn bộ trục số, kể cả tại điểm x = 0. Và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tồn tại tại bất kỳ điểm nào, kể cả tại điểm x = 0 Nhưng tại điểm này tiếp tuyến trùng với trục y, tức là nó vuông góc với trục hoành, phương trình của nó có dạng x = 0. Đường thẳng như vậy không có hệ số góc, nghĩa là \(f). "(0)\) không tồn tại.
Vì vậy, chúng ta đã làm quen với một tính chất mới của hàm số - tính khả vi. Làm thế nào người ta có thể kết luận từ đồ thị của một hàm số rằng nó khả vi?
Câu trả lời thực sự được đưa ra ở trên. Nếu tại một điểm nào đó có thể vẽ một tiếp tuyến của đồ thị của một hàm không vuông góc với trục hoành, thì tại điểm này hàm số khả vi. Nếu tại một điểm nào đó tiếp tuyến của đồ thị hàm số không tồn tại hoặc vuông góc với trục hoành thì tại điểm này hàm số không khả vi.
Quy luật phân biệt
Phép toán tìm đạo hàm được gọi là sự khác biệt. Khi thực hiện thao tác này, bạn thường phải làm việc với thương, tổng, tích của các hàm, cũng như “hàm của hàm”, tức là các hàm phức tạp. Dựa vào định nghĩa đạo hàm, chúng ta có thể rút ra các quy tắc vi phân giúp công việc này trở nên dễ dàng hơn. Nếu C là một số không đổi và f=f(x), g=g(x) là một số hàm khả vi thì những điều sau đây là đúng quy tắc phân biệt:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Bảng đạo hàm của một số hàm số
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $Bài toán tìm đạo hàm của một hàm số cho trước là một trong những bài toán chủ yếu trong các môn toán phổ thông và ở các cơ sở giáo dục đại học. Không thể khám phá đầy đủ một hàm số và xây dựng đồ thị của nó mà không lấy đạo hàm của nó. Đạo hàm của một hàm số có thể dễ dàng tìm được nếu bạn biết các quy tắc đạo hàm cơ bản, cũng như bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản. Hãy cùng tìm hiểu cách tìm đạo hàm của một hàm số.
Đạo hàm của hàm là giới hạn của tỷ lệ giữa mức tăng của hàm và mức tăng của đối số khi mức tăng của đối số có xu hướng bằng 0.
Hiểu định nghĩa này khá khó khăn vì khái niệm giới hạn không được nghiên cứu đầy đủ ở trường. Nhưng để tìm đạo hàm của các hàm số khác nhau, không cần thiết phải hiểu định nghĩa; hãy để việc đó cho các nhà toán học và chuyển thẳng sang việc tìm đạo hàm.
Quá trình tìm đạo hàm được gọi là vi phân. Khi lấy đạo hàm một hàm ta sẽ thu được một hàm mới.
Để chỉ định chúng, chúng ta sẽ sử dụng các chữ cái Latinh f, g, v.v.
Có nhiều ký hiệu khác nhau cho đạo hàm. Chúng ta sẽ sử dụng nét vẽ. Ví dụ viết g” nghĩa là ta sẽ tìm được đạo hàm của hàm g.
Bảng phái sinh
Để trả lời câu hỏi làm thế nào để tìm đạo hàm, cần đưa ra bảng đạo hàm của các hàm số chính. Để tính đạo hàm của các hàm cơ bản, không cần thực hiện các phép tính phức tạp. Chỉ cần nhìn vào giá trị của nó trong bảng đạo hàm là đủ.
- (sin x)"=cos x
- (cos x)"= –sin x
- (x n)"=n x n-1
- (e x)"=e x
- (ln x)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/sin 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của hàm số y=500.
Chúng ta thấy rằng đây là một hằng số. Từ bảng đạo hàm, người ta biết đạo hàm của một hằng số bằng 0 (công thức 1).
Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của hàm số y=x 100.
Đây là hàm lũy thừa có số mũ là 100 và để tìm đạo hàm của nó, bạn cần nhân hàm số với số mũ và giảm nó đi 1 (công thức 3).
(x 100)"=100 x 99
Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của hàm số y=5 x
Đây là hàm số mũ, hãy tính đạo hàm của nó bằng công thức 4.
Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của hàm số y= log 4 x
Chúng ta tìm đạo hàm của logarit bằng công thức 7.
(log 4 x)"=1/x ln 4
Quy luật phân biệt
Bây giờ chúng ta hãy tìm cách tìm đạo hàm của một hàm nếu nó không có trong bảng. Hầu hết các hàm được nghiên cứu không phải là hàm cơ bản mà là sự kết hợp của các hàm cơ bản sử dụng các phép toán đơn giản (cộng, trừ, nhân, chia và nhân với một số). Để tìm đạo hàm của chúng, bạn cần biết quy tắc lấy đạo hàm. Dưới đây, các chữ cái f và g biểu thị các hàm và C là hằng số.
1. Hệ số hằng có thể rút ra khỏi dấu của đạo hàm
Ví dụ 5. Tìm đạo hàm của hàm số y= 6*x 8
Chúng ta lấy thừa số không đổi là 6 và chỉ lấy vi phân x 4. Đây là một hàm lũy thừa, đạo hàm của nó được tìm bằng công thức 3 của bảng đạo hàm.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. Đạo hàm của một tổng bằng tổng của các đạo hàm
(f + g)"=f" + g"
Ví dụ 6. Tìm đạo hàm của hàm số y= x 100 +sin x
Hàm là tổng của hai hàm, đạo hàm mà chúng ta có thể tìm thấy từ bảng. Vì (x 100)"=100 x 99 và (sin x)"=cos x. Đạo hàm của tổng sẽ bằng tổng của các đạo hàm sau:
(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x
3. Đạo hàm của chênh lệch bằng hiệu của đạo hàm
(f – g)"=f" – g"
Ví dụ 7. Tìm đạo hàm của hàm số y= x 100 – cos x
Hàm này là sự khác biệt của hai hàm, các đạo hàm mà chúng ta cũng có thể tìm thấy trong bảng. Khi đó đạo hàm của hiệu bằng hiệu của đạo hàm và đừng quên đổi dấu, vì (cos x)"= – sin x.
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x
Ví dụ 8. Tìm đạo hàm của hàm số y=e x +tg x– x 2.
Hàm này có cả tổng và hiệu;
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Khi đó đạo hàm của hàm số ban đầu bằng:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Công cụ phái sinh của sản phẩm
(f * g)"=f" * g + f * g"
Ví dụ 9. Tìm đạo hàm của hàm số y= cos x *e x
Để làm điều này, trước tiên chúng ta tìm đạo hàm của từng thừa số (cos x)"=–sin x và (e x)"=e x. Bây giờ hãy thay thế mọi thứ vào công thức sản phẩm. Chúng ta nhân đạo hàm của hàm thứ nhất với hàm thứ hai và cộng tích của hàm thứ nhất với đạo hàm của hàm thứ hai.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. Đạo hàm của thương
(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2
Ví dụ 10. Tìm đạo hàm của hàm số y= x 50 /sin x
Để tìm đạo hàm của một thương, trước tiên chúng ta tìm riêng đạo hàm của tử số và mẫu số: (x 50)"=50 x 49 và (sin x)"= cos x. Thay đạo hàm của thương vào công thức, ta được:
(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x
Đạo hàm của hàm phức
Hàm phức là hàm được biểu diễn bằng sự kết hợp của nhiều hàm. Ngoài ra còn có quy tắc tìm đạo hàm của hàm phức:
(u (v))"=u"(v)*v"
Chúng ta hãy tìm cách tìm đạo hàm của hàm như vậy. Giả sử y= u(v(x)) là một hàm phức. Hãy gọi hàm u bên ngoài và v - nội bộ.
Ví dụ:
y=sin (x 3) là một hàm phức.
Khi đó y=sin(t) là hàm ngoài
t=x 3 - nội bộ.
Hãy thử tính đạo hàm của hàm này. Theo công thức, bạn cần nhân đạo hàm của hàm bên trong và bên ngoài.
(sin t)"=cos (t) - đạo hàm của hàm ngoài (trong đó t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - đạo hàm của hàm nội
Khi đó (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 là đạo hàm của hàm số phức.
Chứng minh và rút ra công thức tính đạo hàm của hàm mũ (e lũy thừa x) và hàm mũ (a lũy thừa x). Ví dụ về tính đạo hàm của e^2x, e^3x và e^nx. Công thức đạo hàm bậc cao hơn.
Đạo hàm của một số mũ bằng chính số mũ đó (đạo hàm của e lũy thừa x bằng e lũy thừa x):
(1)
(e x )′ = e x.
Đạo hàm của hàm mũ cơ số a bằng chính hàm đó nhân với logarit tự nhiên của a:
(2)
.
Đạo hàm công thức đạo hàm của hàm mũ e mũ x
Hàm mũ là hàm số mũ có cơ số bằng số e, là giới hạn sau:
.
Ở đây nó có thể là số tự nhiên hoặc số thực. Tiếp theo, chúng ta rút ra công thức (1) cho đạo hàm của hàm mũ.
Đạo hàm của công thức đạo hàm mũ
Xét hàm mũ, e lũy thừa x:
y = e x .
Chức năng này được xác định cho tất cả mọi người.
(3)
.
Hãy tìm đạo hàm của nó theo biến x.
Theo định nghĩa, đạo hàm là giới hạn sau: Hãy biến đổi biểu thức này để rút gọn nó thành các thuộc tính và quy tắc toán học đã biết. Để làm được điều này, chúng ta cần những sự thật sau:
(4)
;
MỘT) Thuộc tính số mũ:
(5)
;
B) Tính chất của logarit:
(6)
.
TRONG)
Tính liên tục của logarit và tính chất giới hạn của hàm số liên tục:Đây là một hàm có giới hạn và giới hạn này là dương.
(7)
.
G)
;
.
Ý nghĩa của giới hạn đáng chú ý thứ hai:
Hãy áp dụng những sự thật này vào giới hạn của chúng ta (3). Chúng ta sử dụng tính chất (4):
.
Hãy thực hiện một sự thay thế.
.
Sau đó ; .
.
Do tính liên tục của hàm mũ,
Vì vậy, khi , .
.
Kết quả là chúng tôi nhận được:
.
Hãy thực hiện một sự thay thế.
.
Sau đó . Tại , . Và chúng tôi có:
Hãy áp dụng tính chất logarit (5):
.
(8)
Sau đó
Áp dụng tính chất (6). Vì có giới hạn dương và logarit liên tục nên: Ở đây chúng tôi cũng sử dụng giới hạn đáng chú ý thứ hai (7). Sau đó Như vậy, chúng ta thu được công thức (1) cho đạo hàm của hàm mũ.
;
.
Đạo hàm của công thức đạo hàm của hàm số mũ
.
Bây giờ chúng ta rút ra công thức (2) cho đạo hàm của hàm số mũ với cơ số bậc a.
Chúng tôi tin điều đó và .
(14)
.
(1)
.
Khi đó hàm số mũ
;
.
Được xác định cho tất cả mọi người.
.
Hãy biến đổi công thức (8). Đối với điều này chúng tôi sẽ sử dụng
tính chất của hàm số mũ
.
và logarit.
(15)
.
Vì vậy, chúng tôi đã chuyển đổi công thức (8) sang dạng sau:
;
.
Đạo hàm bậc cao của e lũy thừa x
.