Để tự tin và giải thành công các bài toán trong bài học hình học, việc học các công thức thôi là chưa đủ. Họ cần phải được hiểu đầu tiên. Sợ hãi và thậm chí còn ghét các công thức hơn là không hiệu quả. Bài viết này sẽ phân tích bằng ngôn ngữ dễ tiếp cận nhiều cách khác nhau để tìm diện tích hình thang. Để hiểu rõ hơn các quy tắc và định lý tương ứng, chúng ta sẽ chú ý một chút đến các tính chất của nó. Điều này sẽ giúp bạn hiểu cách thức hoạt động của các quy tắc và trong trường hợp nào nên áp dụng một số công thức nhất định.
Xác định hình thang
Nhìn chung đây là loại hình gì? Hình thang là một đa giác có bốn góc và hai cạnh song song. Hai cạnh còn lại của hình thang có thể nghiêng một góc khác nhau. Các cạnh song song của nó được gọi là đáy và đối với các cạnh không song song, tên gọi “cạnh” hoặc “hông” được sử dụng. Những con số như vậy khá phổ biến trong cuộc sống hàng ngày. Các đường viền của hình thang có thể được nhìn thấy trong hình bóng của quần áo, đồ nội thất, đồ đạc, bát đĩa và nhiều thứ khác. Có nhiều loại hình thang khác nhau: hình thang, hình đều và hình chữ nhật. Chúng ta sẽ xem xét các loại và thuộc tính của chúng chi tiết hơn ở phần sau của bài viết.
Tính chất của hình thang
Chúng ta hãy tập trung ngắn gọn vào các thuộc tính của hình này. Tổng các góc kề với một cạnh luôn bằng 180°. Cần lưu ý rằng tất cả các góc của hình thang có tổng bằng 360°. Hình thang có khái niệm về đường giữa. Nếu nối trung điểm của các cạnh bằng một đoạn thì đây sẽ là đường giữa. Nó được chỉ định là m. Đường giữa có các tính chất quan trọng: nó luôn song song với các cơ sở (chúng ta nhớ rằng các cơ sở cũng song song với nhau) và bằng nửa tổng của chúng:
Định nghĩa này phải được học và hiểu vì nó là chìa khóa để giải quyết nhiều vấn đề!
Với hình thang, bạn luôn có thể hạ chiều cao xuống đáy. Đường cao là đường vuông góc, thường được ký hiệu bằng ký hiệu h, được vẽ từ bất kỳ điểm nào của đáy này đến đáy khác hoặc phần kéo dài của nó. Đường giữa và chiều cao sẽ giúp bạn tìm được diện tích hình thang. Những bài toán như vậy thường gặp nhất trong môn hình học ở trường và thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi.
Các công thức đơn giản nhất về diện tích hình thang
Chúng ta hãy xem hai công thức phổ biến và đơn giản nhất được sử dụng để tìm diện tích hình thang. Chỉ cần nhân chiều cao với một nửa tổng các đáy là đủ để dễ dàng tìm thấy thứ bạn đang tìm kiếm:
S = h*(a + b)/2.
Trong công thức này, a, b biểu thị các đáy của hình thang, h - chiều cao. Để dễ nhận biết, trong bài viết này, dấu nhân được đánh dấu (*) trong các công thức, mặc dù trong các sách tham khảo chính thức dấu nhân thường bị bỏ qua.
Hãy xem một ví dụ.
Cho: một hình thang có hai đáy bằng 10 và 14 cm, chiều cao là 7 cm. Diện tích hình thang là bao nhiêu?
Chúng ta hãy xem giải pháp cho vấn đề này. Sử dụng công thức này, trước tiên bạn cần tìm nửa tổng của các cơ số: (10+14)/2 = 12. Vậy, nửa tổng bằng 12 cm. Bây giờ chúng ta nhân nửa tổng với chiều cao: 12*7 = 84. Những gì chúng ta đang tìm kiếm đã được tìm thấy. Trả lời: Diện tích hình thang là 84m2. cm.
Công thức nổi tiếng thứ hai cho biết: diện tích của hình thang bằng tích của đường giữa và chiều cao của hình thang. Nghĩa là, nó thực sự tuân theo khái niệm trước đây về đường giữa: S=m*h.
Sử dụng đường chéo để tính toán
Một cách khác để tìm diện tích hình thang thực ra không quá phức tạp. Nó được kết nối với các đường chéo của nó. Sử dụng công thức này, để tính diện tích, bạn cần nhân nửa tích của các đường chéo (d 1 d 2) với sin của góc giữa chúng:
S = ½ d 1 d 2 tội lỗi Một.
Hãy xem xét một vấn đề cho thấy ứng dụng của phương pháp này. Cho: một hình thang có chiều dài hai đường chéo lần lượt bằng 8 và 13 cm. Góc a giữa hai đường chéo là 30°. Tìm diện tích của hình thang.
Giải pháp. Sử dụng công thức trên, thật dễ dàng để tính toán những gì cần thiết. Như bạn đã biết, sin 30° là 0,5. Do đó, S = 8*13*0,5=52. Trả lời: diện tích là 52m2. cm.
Tìm diện tích hình thang cân
Hình thang có thể là hình cân (cân). Các cạnh của nó bằng nhau và các góc ở hai đáy bằng nhau, điều này được minh họa rõ ràng bằng hình vẽ. Một hình thang cân có các tính chất giống như hình thang thông thường, cộng thêm một số tính chất đặc biệt. Một vòng tròn có thể được bao quanh một hình thang cân và một vòng tròn có thể được ghi bên trong nó.
Có những phương pháp nào để tính diện tích của một hình như vậy? Phương pháp dưới đây sẽ yêu cầu rất nhiều tính toán. Để sử dụng nó, bạn cần biết các giá trị của sin (sin) và cosin (cos) của góc ở đáy hình thang. Để tính toán chúng, bạn cần có bảng Bradis hoặc máy tính kỹ thuật. Đây là công thức:
S= c*tội lỗi Một*(Một - c*vì Một),
Ở đâu Với- đùi bên, Một- góc ở đáy dưới.
Một hình thang đều có các đường chéo có độ dài bằng nhau. Điều ngược lại cũng đúng: nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình cân. Do đó, công thức sau đây giúp tìm diện tích hình thang - nửa tích bình phương của các đường chéo và sin của góc giữa chúng: S = ½ d 2 sin Một.
Tìm diện tích hình thang chữ nhật
Đã biết một trường hợp đặc biệt của hình thang chữ nhật. Đây là một hình thang, trong đó một cạnh (đùi của nó) tiếp giáp với các đáy theo một góc vuông. Nó có các tính chất của một hình thang đều. Ngoài ra, nó còn có một tính năng rất thú vị. Hiệu bình phương các đường chéo của một hình thang như vậy bằng hiệu bình phương các đáy của nó. Tất cả các phương pháp tính diện tích được mô tả trước đây đều được sử dụng cho nó.
Chúng tôi sử dụng sự khéo léo
Có một thủ thuật có thể hữu ích nếu bạn quên các công thức cụ thể. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn hình thang là gì. Nếu chúng ta tinh thần chia nó thành nhiều phần, chúng ta sẽ có được các hình dạng hình học quen thuộc và dễ hiểu: hình vuông hoặc hình chữ nhật và hình tam giác (một hoặc hai). Nếu biết chiều cao và các cạnh của hình thang, bạn có thể sử dụng công thức tính diện tích hình tam giác và hình chữ nhật, sau đó cộng tất cả các giá trị kết quả.
Hãy minh họa điều này bằng ví dụ sau. Cho một hình thang hình chữ nhật. Góc C = 45°, góc A, D là 90°. Cạnh trên của hình thang là 20 cm, chiều cao là 16 cm. Bạn cần tính diện tích của hình.
Hình này rõ ràng bao gồm một hình chữ nhật (nếu hai góc bằng 90°) và một hình tam giác. Vì hình thang là hình chữ nhật nên chiều cao của nó bằng cạnh của nó, tức là 16 cm. Chúng ta có một hình chữ nhật có cạnh lần lượt là 20 và 16 cm. Bây giờ hãy xem xét một tam giác có góc bằng 45°. Chúng ta biết rằng một cạnh của nó là 16 cm vì cạnh này cũng là chiều cao của hình thang (và chúng ta biết rằng chiều cao giảm dần xuống đáy một góc vuông), do đó, góc thứ hai của tam giác là 90°. Vậy góc còn lại của tam giác là 45°. Hậu quả của việc này là chúng ta có được một tam giác vuông cân, trong đó hai cạnh bằng nhau. Điều này có nghĩa là cạnh kia của hình tam giác bằng chiều cao, nghĩa là 16 cm. Vẫn phải tính diện tích của hình tam giác và hình chữ nhật và cộng các giá trị kết quả.
Diện tích của một tam giác vuông bằng một nửa tích hai chân của nó: S = (16*16)/2 = 128. Diện tích của hình chữ nhật bằng tích của chiều rộng và chiều dài của nó: S = 20*16 = 320. Chúng ta đã tìm được kết quả cần tìm: diện tích hình thang S = 128 + 320 = 448 sq. bạn có thể dễ dàng tự kiểm tra lại bằng cách sử dụng các công thức trên, câu trả lời sẽ giống nhau.
Chúng tôi sử dụng công thức Pick
Cuối cùng, chúng tôi trình bày một công thức ban đầu khác giúp tìm diện tích hình thang. Nó được gọi là công thức Pick. Nó thuận tiện để sử dụng khi hình thang được vẽ trên giấy ca rô. Nhiệm vụ tương tự thường được tìm thấy trong các tài liệu GIA. Nó trông như thế này:
S = M/2 + N - 1,
trong công thức này M là số nút, tức là giao điểm của các đường của hình với các đường của ô tại các ranh giới của hình thang (các chấm màu cam trong hình), N là số nút bên trong hình (các chấm màu xanh). Sẽ thuận tiện nhất khi sử dụng nó khi tìm diện tích của một đa giác không đều. Tuy nhiên, kho kỹ thuật được sử dụng càng lớn thì càng ít lỗi và kết quả càng tốt.
Tất nhiên, thông tin được cung cấp không làm hết các loại và tính chất của hình thang, cũng như các phương pháp tìm diện tích của nó. Bài viết này cung cấp một cái nhìn tổng quan về các đặc điểm quan trọng nhất của nó. Khi giải các bài toán hình học, điều quan trọng là phải hành động dần dần, bắt đầu với các công thức và bài toán dễ, củng cố sự hiểu biết của bạn một cách nhất quán và chuyển sang một mức độ phức tạp khác.
Được tổng hợp lại với nhau, các công thức phổ biến nhất sẽ giúp học sinh định hướng theo nhiều cách khác nhau để tính diện tích hình thang và chuẩn bị tốt hơn cho các bài kiểm tra và bài tập về chủ đề này.
Thực tiễn của Kỳ thi Thống nhất và Kỳ thi cấp Bang năm ngoái cho thấy các bài toán hình học gây khó khăn cho nhiều học sinh. Bạn có thể dễ dàng đối phó với chúng nếu bạn ghi nhớ tất cả các công thức cần thiết và thực hành giải quyết vấn đề.
Trong bài viết này, bạn sẽ thấy các công thức tính diện tích hình thang, cũng như các ví dụ về các bài toán có lời giải. Bạn có thể gặp những KIM tương tự trong kỳ thi chứng chỉ hoặc tại Olympic. Vì vậy, hãy đối xử với chúng một cách cẩn thận.
Những điều bạn cần biết về hình thang?
Để bắt đầu, chúng ta hãy nhớ rằng hình thangđược gọi là một tứ giác có hai cạnh đối diện, còn gọi là đáy, song song, còn hai cạnh kia thì không.
Trong hình thang, chiều cao (vuông góc với đáy) cũng có thể giảm xuống. Đường ở giữa được vẽ - đây là đường thẳng song song với các cơ sở và bằng một nửa tổng của chúng. Cũng như các đường chéo có thể giao nhau, tạo thành các góc nhọn và tù. Hoặc, trong một số trường hợp, ở một góc vuông. Ngoài ra, nếu hình thang là hình cân thì có thể nội tiếp một hình tròn trong đó. Và mô tả một vòng tròn xung quanh nó.
Công thức tính diện tích hình thang
Đầu tiên, chúng ta hãy xem các công thức tiêu chuẩn để tìm diện tích hình thang. Chúng ta sẽ xem xét các cách tính diện tích hình thang cân và hình thang cong dưới đây.
Vì vậy, hãy tưởng tượng rằng bạn có một hình thang có đáy a và b, trong đó chiều cao h được hạ xuống đáy lớn hơn. Tính diện tích của một hình trong trường hợp này dễ như bóc vỏ quả lê. Bạn chỉ cần chia tổng độ dài của các đáy cho 2 và nhân kết quả với chiều cao: S = 1/2(a + b)*h.
Xét một trường hợp khác: giả sử trong một hình thang, ngoài chiều cao còn có đường trung tuyến m. Chúng ta biết công thức tính độ dài đường giữa: m = 1/2(a + b). Do đó, chúng ta có thể đơn giản hóa một cách chính xác công thức tính diện tích hình thang về dạng sau: S = m* h. Nói cách khác, để tìm diện tích hình thang, bạn cần nhân đường tâm với chiều cao.
Hãy xem xét một phương án khác: hình thang chứa các đường chéo d 1 và d 2 không cắt nhau ở góc vuông α. Để tính diện tích của một hình thang như vậy, bạn cần chia tích của các đường chéo cho hai và nhân kết quả với sin của góc giữa chúng: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Bây giờ hãy xem xét công thức tính diện tích hình thang nếu không biết gì về nó ngoại trừ độ dài tất cả các cạnh của nó: a, b, c và d. Đây là một công thức rườm rà và phức tạp, nhưng sẽ rất hữu ích nếu bạn nhớ nó trong trường hợp: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Nhân tiện, các ví dụ trên cũng đúng cho trường hợp bạn cần công thức tính diện tích hình thang hình chữ nhật. Đây là một hình thang, cạnh của nó tiếp giáp với các đáy theo một góc vuông.
Hình thang cân
Hình thang có các cạnh bằng nhau được gọi là hình cân. Chúng ta sẽ xem xét một số phương án về công thức tính diện tích hình thang cân.
Phương án thứ nhất: trong trường hợp đường tròn có bán kính r nội tiếp bên trong một hình thang cân, cạnh và đáy lớn hơn tạo thành một góc nhọn α. Một hình tròn có thể nội tiếp trong một hình thang với điều kiện tổng độ dài hai đáy của nó bằng tổng độ dài các cạnh.
Diện tích của hình thang cân được tính như sau: nhân bình phương bán kính của hình tròn nội tiếp với 4 và chia tất cả cho sinα: S = 4r 2 /sinα. Một công thức tính diện tích khác là trường hợp đặc biệt cho phương án khi góc giữa đáy lớn và cạnh bên là 30 0: S = 8r2.
Tùy chọn thứ hai: lần này chúng ta lấy một hình thang cân, ngoài ra còn vẽ các đường chéo d 1 và d 2, cũng như chiều cao h. Nếu các đường chéo của hình thang vuông góc với nhau thì chiều cao bằng nửa tổng hai đáy: h = 1/2(a + b). Biết được điều này, bạn có thể dễ dàng chuyển công thức tính diện tích hình thang đã quen thuộc sang dạng này: S = h 2.
Công thức tính diện tích hình thang cong
Hãy bắt đầu bằng việc tìm hiểu hình thang cong là gì. Hãy tưởng tượng một trục tọa độ và đồ thị của hàm f liên tục và không âm không đổi dấu trong một đoạn cho trước trên trục x. Một hình thang cong được tạo bởi đồ thị của hàm y = f(x) - ở trên cùng, trục x ở dưới cùng (đoạn) và ở hai bên - các đường thẳng được vẽ giữa các điểm a và b và đồ thị của chức năng.
Không thể tính diện tích của một hình không chuẩn như vậy bằng các phương pháp trên. Ở đây bạn cần áp dụng phân tích toán học và sử dụng tích phân. Cụ thể: công thức Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Trong công thức này, F là nguyên hàm của hàm trên đoạn đã chọn. Và diện tích của hình thang cong tương ứng với độ tăng của nguyên hàm trên một đoạn đã cho.
Vấn đề mẫu
Để làm cho tất cả các công thức này dễ hiểu hơn trong đầu bạn, đây là một số ví dụ về các bài toán tìm diện tích hình thang. Sẽ tốt nhất nếu trước tiên bạn cố gắng tự mình giải quyết vấn đề và chỉ sau đó so sánh câu trả lời bạn nhận được với giải pháp làm sẵn.
Nhiệm vụ số 1: Cho một hình thang. Đế lớn của nó là 11 cm, đế nhỏ hơn là 4 cm. Hình thang có hai đường chéo, một hình dài 12 cm, hình thứ hai dài 9 cm.
Giải: Dựng hình thang AMRS. Vẽ đường thẳng РХ đi qua đỉnh P sao cho song song với đường chéo MC và cắt đường thẳng AC tại điểm X. Ta được tam giác APХ.
Chúng ta sẽ xem xét hai hình thu được nhờ các thao tác này: tam giác APX và hình bình hành CMRX.
Nhờ hình bình hành ta biết PX = MC = 12 cm và CX = MR = 4 cm. Từ đó tính được cạnh AX của tam giác ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Chúng ta cũng có thể chứng minh tam giác APX vuông (để làm được điều này, hãy áp dụng định lý Pythagore - AX 2 = AP 2 + PX 2). Và tính diện tích của nó: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
Tiếp theo bạn cần chứng minh rằng các tam giác AMP và PCX có kích thước bằng nhau. Cơ sở sẽ là sự bình đẳng của các bên MR và CX (đã được chứng minh ở trên). Và cả chiều cao mà bạn hạ xuống ở các cạnh này - chúng bằng chiều cao của hình thang AMRS.
Tất cả điều này sẽ cho phép bạn nói rằng S AMPC = S APX = 54 cm 2.
Nhiệm vụ số 2: KRMS hình thang đã cho. Trên các cạnh của nó có các điểm O và E, trong khi OE và KS song song. Người ta cũng biết rằng diện tích của hình thang ORME và OKSE có tỉ lệ 1:5. RM = a và KS = b. Bạn cần tìm OE.
Lời giải: Vẽ đường thẳng song song với RK đi qua điểm M và gọi giao điểm của nó với OE là T. A là giao điểm của đường thẳng đi qua điểm E song song với RK với đáy KS.
Hãy giới thiệu thêm một ký hiệu nữa - OE = x. Và cả chiều cao h 1 của tam giác TME và chiều cao h 2 của tam giác AEC (bạn có thể chứng minh độc lập sự giống nhau của các tam giác này).
Chúng ta sẽ giả sử rằng b > a. Diện tích của hình thang ORME và OKSE có tỷ lệ 1:5, cho phép chúng ta lập phương trình sau: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Hãy biến đổi và nhận được: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Vì hai tam giác TME và AEC đồng dạng nên ta có h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Hãy kết hợp cả hai phần tử và nhận được: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Do đó, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Phần kết luận
Hình học không phải là môn khoa học dễ nhất, nhưng bạn chắc chắn có thể giải quyết được các câu hỏi thi. Chỉ cần thể hiện một chút kiên trì trong quá trình chuẩn bị là đủ. Và tất nhiên, hãy nhớ tất cả các công thức cần thiết.
Chúng tôi đã cố gắng tập hợp tất cả các công thức tính diện tích hình thang vào một chỗ để các bạn có thể sử dụng khi chuẩn bị cho kỳ thi và ôn tập tài liệu.
Hãy nhớ nói với bạn cùng lớp và bạn bè trên mạng xã hội về bài viết này. Hãy để có nhiều điểm tốt hơn cho Kỳ thi Thống nhất và Kỳ thi cấp Bang!
trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết đến nguồn.
Máy tính này đã tính được 2192 bài toán về chủ đề “Diện tích hình thang”
DIỆN TÍCH HÌNH HÌNH
Chọn công thức tính diện tích hình thang mà em dự định sử dụng để giải bài toán được giao:
Lý thuyết chung về tính diện tích hình thang.
Hình thang - Đây là một hình phẳng gồm bốn điểm, trong đó ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng và có bốn đoạn thẳng (cạnh) nối bốn điểm này theo cặp, trong đó hai cạnh đối diện song song (nằm trên các đường thẳng song song) và hai cái còn lại không song song.
Các điểm được gọi các đỉnh của hình thang và được biểu thị bằng chữ Latinh in hoa.
Các phân đoạn được gọi các cạnh hình thang và được ký hiệu bằng một cặp chữ cái Latinh in hoa tương ứng với các đỉnh nối các đoạn.
Hai cạnh song song của hình thang gọi là các đáy hình thang .
Hai cạnh không song song của hình thang gọi là các cạnh của hình thang .
Hình số 1: Hình thang ABCD
Hình 1 thể hiện hình thang ABCD có các đỉnh A, B, C, D và các cạnh AB, BC, CD, DA.
AB ǁ DC - đáy của hình thang ABCD.
AD, BC - các cạnh bên của hình thang ABCD.
Góc tạo bởi tia AB và AD gọi là góc ở đỉnh A. Nó được ký hiệu là ĐA hoặc ĐBAD, hoặc ĐDAB.
Góc tạo bởi tia BA và BC gọi là góc ở đỉnh B. Nó được ký hiệu là ĐB hoặc ĐABC, hoặc ĐCBA.
Góc tạo bởi tia CB và CD gọi là góc ở đỉnh C. Nó được ký hiệu là ĐC hoặc ĐDCB, hoặc ĐBCD.
Góc tạo bởi tia AD và CD gọi là góc ở đỉnh D. Nó được ký hiệu là ÐD hoặc ĐADC, hoặc ĐCDA.
Hình số 2: Hình thang ABCD
Trong Hình 2, đoạn MN nối trung điểm các cạnh bên được gọi là đường giữa của hình thang.
Đường giữa của hình thang song song với các cơ sở và bằng nửa tổng của chúng. Đó là, 
.
Hình 3: Hình thang cân ABCD
Trong Hình 3, AD=BC.
Hình thang được gọi là cân (isosceles), nếu các cạnh của nó bằng nhau.
Hình số 4: Hình thang ABCD
Trong Hình 4, góc D thẳng (bằng 90°).
Hình thang được gọi là hình chữ nhật, nếu góc ở cạnh đó thẳng.
Căn hộ khu S các hình, trong đó có hình thang, được gọi là không gian kín hữu hạn trên một mặt phẳng. Diện tích của hình phẳng thể hiện kích thước của hình này.
Khu vực này có một số bất động sản:
1. Nó không thể âm.
2. Nếu cho một diện tích kín nhất định trên mặt phẳng, được tạo thành từ nhiều hình không cắt nhau (nghĩa là các hình không có điểm chung bên trong nhưng có thể tiếp xúc với nhau) thì diện tích đó diện tích đó bằng tổng diện tích của các hình cấu thành nó .
3. Nếu hai hình bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau.
4. Diện tích của hình vuông được xây dựng trên một đoạn đơn vị bằng một.
Vì đơn vị số đo khu vực lấy diện tích hình vuông có cạnh bằng đơn vị số đo phân đoạn.
Khi giải bài toán người ta thường sử dụng các công thức tính diện tích hình thang sau:
1. Diện tích hình thang bằng nửa tổng hai đáy nhân với chiều cao:
2. Diện tích hình thang bằng tích đường giữa và chiều cao của nó:
3. Khi đã biết chiều dài đáy và cạnh của hình thang, diện tích của hình thang có thể tính được theo công thức: 
4. Có thể tính diện tích của một hình thang cân khi biết chiều dài bán kính của hình tròn nội tiếp hình thang và giá trị đã biết của góc ở đáy bằng công thức sau:
Ví dụ 1: Tính diện tích hình thang có đáy a=7, b=3 và chiều cao h=15.
Giải pháp:
Trả lời:
Ví dụ 2: Tìm cạnh đáy của một hình thang có diện tích S = 35 cm 2, chiều cao h = 7 cm và đáy thứ hai b = 2 cm.
Giải pháp:
Để tìm cạnh đáy của hình thang, ta áp dụng công thức tính diện tích:
Chúng ta hãy biểu thị từ công thức này cạnh đáy của hình thang:
Vì vậy, chúng tôi có những điều sau đây:
Trả lời:
Ví dụ 3: Tìm chiều cao của hình thang có diện tích S = 17 cm 2 và đáy a = 30 cm, b = 4 cm.
Giải pháp:
Để tìm chiều cao của hình thang, ta áp dụng công thức tính diện tích:
Vì vậy, chúng tôi có những điều sau đây:
Trả lời:
Ví dụ 4: Tính diện tích hình thang có chiều cao h=24 và đường tâm m=5.
Giải pháp:
Để tìm diện tích hình thang, chúng ta sử dụng công thức tính diện tích sau:
Vì vậy, chúng tôi có những điều sau đây:
Trả lời:
Ví dụ 5: Tìm chiều cao của một hình thang có diện tích S = 48 cm 2 và đường tâm m = 6 cm.
Giải pháp:
Để tìm chiều cao của hình thang, ta sử dụng công thức tính diện tích hình thang:
Chúng ta hãy biểu thị chiều cao của hình thang từ công thức này:
Vì vậy, chúng tôi có những điều sau đây:
Trả lời:
Ví dụ 6: Tìm đường trung bình của hình thang có diện tích S = 56 và chiều cao h=4.
Giải pháp:
Để tìm đường trung bình của hình thang, ta sử dụng công thức tính diện tích hình thang:
Chúng ta hãy biểu thị đường giữa của hình thang từ công thức này:
Vì vậy, chúng tôi có những điều sau đây.
Hình thang là một loại tứ giác đặc biệt có hai cạnh đối diện song song với nhau, còn hai cạnh kia thì không. Nhiều vật thể thực khác nhau có dạng hình thang, vì vậy bạn có thể cần tính chu vi của một hình hình học như vậy để giải các bài toán hàng ngày hoặc ở trường.
Hình học hình thang
Hình thang (từ tiếng Hy Lạp "hình thang" - bảng) là một hình trên một mặt phẳng được giới hạn bởi bốn đoạn, trong đó có hai đoạn song song và hai đoạn không song song. Các đoạn thẳng song song được gọi là các đáy của hình thang và các đoạn không song song được gọi là các cạnh của hình. Các cạnh và góc nghiêng của chúng xác định loại hình thang, có thể là hình thang, hình cân hoặc hình chữ nhật. Ngoài các đáy và các cạnh, hình thang còn có hai phần tử nữa:
- chiều cao - khoảng cách giữa các đáy song song của hình;
- đường giữa - đoạn nối trung điểm của các cạnh.
Hình học này rất phổ biến trong đời thực.
Hình thang trong thực tế
Trong cuộc sống hàng ngày, nhiều vật thật có dạng hình thang. Bạn có thể dễ dàng tìm thấy hình thang trong các lĩnh vực hoạt động sau của con người:
- thiết kế và trang trí nội thất - ghế sofa, mặt bàn, tường, thảm, trần treo;
- thiết kế cảnh quan - ranh giới của bãi cỏ và hồ chứa nhân tạo, các dạng yếu tố trang trí;
- thời trang - dạng quần áo, giày dép và phụ kiện;
- kiến trúc - cửa sổ, tường, móng tòa nhà;
- sản xuất - các sản phẩm và bộ phận khác nhau.
Với việc sử dụng rộng rãi hình thang như vậy, các chuyên gia thường phải tính chu vi của một hình hình học.
Chu vi hình thang
Chu vi của một hình là một đặc tính số được tính bằng tổng chiều dài của tất cả các cạnh của n-giác. Hình thang là một tứ giác và nhìn chung tất cả các cạnh của nó có độ dài khác nhau nên chu vi được tính bằng công thức:
P = a + b + c + d,
trong đó a và c là các đáy của hình, b và d là các cạnh của nó.
Mặc dù chúng ta không cần biết chiều cao khi tính chu vi hình thang nhưng mã máy tính yêu cầu nhập biến này. Vì chiều cao không ảnh hưởng đến phép tính nên khi sử dụng máy tính trực tuyến của chúng tôi, bạn có thể nhập bất kỳ giá trị chiều cao nào lớn hơn 0. Hãy xem xét một vài ví dụ.
Ví dụ thực tế cuộc sống
Khăn tay
Giả sử bạn có một chiếc khăn hình thang và bạn muốn cắt nó bằng phần tua rua. Bạn sẽ cần biết chu vi của chiếc khăn để không mua thêm vật liệu hoặc đến cửa hàng hai lần. Hãy để chiếc khăn cân của bạn có các thông số sau: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm, chúng tôi nhập những dữ liệu này vào biểu mẫu trực tuyến và nhận được câu trả lời dưới dạng:
Như vậy, chu vi của chiếc khăn là 340 cm, và đây chính xác là chiều dài của bím tóc để hoàn thành nó.
Độ dốc
Ví dụ: bạn quyết định tạo độ dốc cho các cửa sổ nhựa kim loại không chuẩn có hình thang. Những cửa sổ như vậy được sử dụng rộng rãi trong thiết kế tòa nhà, tạo ra sự kết hợp của nhiều khung cửa. Thông thường, các cửa sổ như vậy được làm dưới dạng hình thang hình chữ nhật. Chúng ta hãy tìm hiểu xem cần bao nhiêu vật liệu để tạo độ dốc cho một cửa sổ như vậy. Một cửa sổ tiêu chuẩn có các tham số sau a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm. Chúng tôi sử dụng những dữ liệu này và nhận được kết quả dưới dạng.
Do đó, chu vi của cửa sổ hình thang là 390 cm, và đây chính xác là số tấm nhựa bạn cần mua để tạo thành các mái dốc.
Phần kết luận
Hình thang là một hình phổ biến trong cuộc sống hàng ngày, việc xác định các thông số của nó có thể cần thiết trong những tình huống bất ngờ nhất. Tính chu vi hình thang là cần thiết đối với nhiều chuyên gia: từ kỹ sư, kiến trúc sư đến nhà thiết kế và cơ khí. Danh mục máy tính trực tuyến của chúng tôi sẽ cho phép bạn thực hiện các phép tính cho bất kỳ hình dạng và vật thể hình học nào.
Trong toán học, người ta biết một số loại tứ giác: hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành. Trong số đó có hình thang - một loại tứ giác lồi có hai cạnh song song còn hai cạnh kia thì không. Các cạnh đối diện song song được gọi là các đáy, và hai cạnh còn lại được gọi là các cạnh bên của hình thang. Đoạn nối trung điểm của các cạnh gọi là đường giữa. Có một số loại hình thang: cân, hình chữ nhật, đường cong. Đối với mỗi loại hình thang đều có công thức tính diện tích.
Diện tích hình thang
Để tìm diện tích hình thang, bạn cần biết chiều dài đáy và chiều cao của nó. Chiều cao của hình thang là đoạn thẳng vuông góc với hai đáy. Gọi đáy trên là a, đáy dưới là b, chiều cao là h. Sau đó, bạn có thể tính diện tích S bằng công thức:
S = ½ * (a+b) * h
những thứ kia. lấy một nửa tổng số đáy nhân với chiều cao.
Cũng có thể tính diện tích của hình thang nếu biết chiều cao và đường tâm. Hãy biểu thị đường giữa - m. Sau đó
Hãy giải một bài toán phức tạp hơn: đã biết độ dài bốn cạnh của hình thang - a, b, c, d. Khi đó diện tích sẽ được tìm thấy bằng công thức:
Nếu biết độ dài các đường chéo và góc giữa chúng thì diện tích được tìm kiếm như sau:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
trong đó d với chỉ số 1 và 2 là các đường chéo. Trong công thức này, sin của góc được đưa ra trong phép tính.
Cho độ dài đã biết của các đáy a và b và hai góc ở đáy dưới, diện tích được tính như sau:
S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))
Diện tích hình thang cân
Hình thang cân là trường hợp đặc biệt của hình thang. Điểm khác biệt của nó là hình thang đó là một tứ giác lồi có trục đối xứng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện. Các cạnh của nó bằng nhau.
Có một số cách để tìm diện tích hình thang cân.
- Qua độ dài của ba cạnh. Trong trường hợp này, độ dài của các cạnh sẽ trùng nhau, do đó chúng được biểu thị bằng một giá trị - c, và a và b - độ dài của các đáy:
- Nếu biết chiều dài đáy trên, cạnh và góc đáy dưới thì diện tích được tính như sau:
S = c * sin α * (a + c * cos α)
trong đó a là đáy trên, c là cạnh.
- Nếu thay vì chiều dài đáy trên, chiều dài của đáy dưới - b, thì diện tích được tính bằng công thức:
S = c * sin α * (b – c * cos α)
- Nếu khi biết hai đáy và góc ở đáy dưới thì diện tích được tính qua tiếp tuyến của góc:
S = ½ * (b2 – a2) * tan α
- Diện tích cũng được tính thông qua các đường chéo và góc giữa chúng. Trong trường hợp này, các đường chéo có độ dài bằng nhau, vì vậy chúng ta biểu thị mỗi đường chéo bằng chữ d mà không có chỉ số dưới:
S = ½ * d2 * sin α
- Hãy tính diện tích hình thang khi biết độ dài cạnh, đường tâm và góc ở đáy.
Gọi cạnh bên là c, đường giữa là m và góc là a, khi đó:
S = m * c * sin α
Đôi khi bạn có thể nội tiếp một hình tròn trong một hình thang đều, bán kính của nó sẽ là r.
Người ta biết rằng một hình tròn có thể nội tiếp trong bất kỳ hình thang nào nếu tổng chiều dài các đáy bằng tổng chiều dài các cạnh của nó. Khi đó, diện tích có thể được tìm thông qua bán kính của đường tròn nội tiếp và góc ở đáy dưới:
S = 4r2 / sinα
Phép tính tương tự được thực hiện bằng cách sử dụng đường kính D của hình tròn nội tiếp (nhân tiện, nó trùng với chiều cao của hình thang):
Biết đáy và góc, diện tích hình thang cân được tính như sau:
S = a * b / sin α
(công thức này và các công thức tiếp theo chỉ đúng cho hình thang có đường tròn nội tiếp).
Dựa vào đáy và bán kính của hình tròn, diện tích được tìm thấy như sau:
Nếu chỉ biết các căn cứ thì diện tích được tính bằng công thức:
Qua các đáy và đường bên, diện tích hình thang có đường tròn nội tiếp và qua các đáy và đường giữa - m được tính như sau:
Diện tích hình thang chữ nhật
Một hình thang được gọi là hình chữ nhật nếu một trong các cạnh của nó vuông góc với đáy. Trong trường hợp này, chiều dài của cạnh trùng với chiều cao của hình thang.
Hình thang chữ nhật bao gồm một hình vuông và một hình tam giác. Sau khi tìm được diện tích của từng hình, hãy cộng các kết quả lại và được tổng diện tích của các hình.
Ngoài ra, các công thức chung để tính diện tích hình thang cũng phù hợp để tính diện tích hình thang hình chữ nhật.
- Nếu biết chiều dài của các đáy và chiều cao (hoặc cạnh vuông góc) thì diện tích được tính bằng công thức:
S = (a + b) * h / 2
Cạnh c có thể đóng vai trò là h (chiều cao). Sau đó, công thức trông như thế này:
S = (a + b) * c / 2
- Một cách khác để tính diện tích là nhân chiều dài của đường trung tâm với chiều cao:
hoặc theo chiều dài của cạnh vuông góc bên:
- Cách tính tiếp theo là tính bằng một nửa tích của các đường chéo và sin của góc giữa chúng:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
Nếu các đường chéo vuông góc thì công thức đơn giản hóa thành:
S = ½ * d1 * d2
- Một cách tính khác là thông qua bán chu vi (tổng chiều dài của hai cạnh đối diện) và bán kính của đường tròn nội tiếp.
Công thức này đúng cho các căn cứ. Nếu chúng ta lấy độ dài của các cạnh thì một trong số chúng sẽ bằng hai lần bán kính. Công thức sẽ trông như thế này:
S = (2r + c) * r
- Nếu một hình tròn được nội tiếp trong một hình thang thì diện tích được tính theo cách tương tự:
trong đó m là chiều dài của đường trung tâm.
Diện tích hình thang cong
Hình thang cong là một hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục không âm y = f(x), xác định trên đoạn thẳng, trục x và các đường thẳng x = a, x = b. Về cơ bản, hai cạnh của nó song song với nhau (các đáy), cạnh thứ ba vuông góc với các đáy và cạnh thứ tư là một đường cong tương ứng với đồ thị của hàm số.
Diện tích của hình thang cong được tìm thông qua tích phân sử dụng công thức Newton-Leibniz:
Đây là cách tính diện tích của các loại hình thang khác nhau. Nhưng, ngoài các tính chất của các cạnh, hình thang còn có các tính chất giống nhau về góc. Giống như tất cả các hình tứ giác hiện có, tổng các góc trong của hình thang là 360 độ. Và tổng các góc liền kề với cạnh đó là 180 độ.