Trong các ví dụ đã cho, các trục đi qua tâm quán tính của vật. Mômen quán tính so với các trục quay khác được xác định bằng định lý Steiner: mômen quán tính của vật đối với một trục quay tùy ý bằng tổng mômen quán tínhjcso với một trục song song đi qua tâm quán tính của vật và giá trị của tích khối lượng của vật với bình phương khoảng cách giữa chúng. Ở đâutôitrọng lượng cơ thể, và - khoảng cách từ tâm quán tính của vật đến trục quay đã chọn, những thứ kia.
,Ở đâutôi- trọng lượng cơ thể, và - khoảng cách từ trung tâm
quán tính của vật đối với trục quay đã chọn.
Chúng ta hãy sử dụng một ví dụ để chứng minh việc áp dụng định lý Steiner. Hãy tính mômen quán tính của một thanh mỏng đối với một trục đi qua cạnh của nó vuông góc với thanh. Phép tính trực tiếp được rút gọn về cùng một tích phân (*), nhưng được thực hiện trong các giới hạn khác nhau: 
Khoảng cách đến trục đi qua khối tâm bằng MỘT = ℓ/2. Sử dụng định lý Steiner chúng ta thu được kết quả tương tự.
.
§22.Định luật cơ bản về động lực học của chuyển động quay.
Tuyên bố của pháp luật: Tốc độ thay đổi của mô men động lượng đối với cực bằng mô men chính của lực đối với cùng một cực, những thứ kia.
.
Trong các hình chiếu trên trục tọa độ: 
.
Nếu vật quay tương đối với một trục cố định thì định luật cơ bản của động lực học chuyển động quay sẽ có dạng: . Trong trường hợp này, xung lượng góc có thể được biểu diễn dễ dàng thông qua vận tốc góc và mô men quán tính của vật so với trục đang xét: 
. Khi đó định luật cơ bản của động lực học của chuyển động quay sẽ có dạng: 
. Nếu cơ thể không bị vỡ vụn hay biến dạng thì
, kết quả là 
. Nếu với mọi thứ 
, Cái đó 
và, nó bằng: 
.
Công cơ bản được thực hiện bởi mômen lực trong chuyển động quay so với một trục cố định được tính theo công thức: 
(*). toàn bộ công việc 
. Nếu như 
, Cái đó 
.
Dựa vào công thức (*), ta thu được biểu thức động năng của chuyển động quay của một vật rắn so với một trục cố định. Bởi vì 
, Cái đó. Sau khi tích phân ta thu được kết quả cuối cùng về động năng của chuyển động quay so với một trục cố định 
.
§23. Định luật bảo toàn động lượng góc.
Như đã chỉ ra, các định luật bảo toàn năng lượng và động lượng lần lượt gắn liền với tính đồng nhất của thời gian và không gian. Nhưng không gian ba chiều, không giống như thời gian một chiều, có một tính đối xứng khác. Bản thân không gian đẳng hướng, không có hướng dẫn cụ thể. Liên kết với sự đối xứng này định luật bảo toànkhoảnh khắc thôi thúc. Mối liên hệ này được thể hiện ở chỗ động lượng góc là một trong những đại lượng chính mô tả chuyển động quay.
Theo định nghĩa, động lượng góc của một hạt riêng lẻ bằng 
.
hướng vectơ Lđược xác định theo quy tắc gimlet (xoắn nút chai) và giá trị của nó bằng L = r P tội lỗi , Ở đâu
góc giữa hướng của vectơ bán kính của hạt và động lượng của nó. Kích cỡ ℓ = r tội lỗi bằng khoảng cách từ gốc VỀ theo đường thẳng hướng động lượng của hạt. Đại lượng này được gọi là vai xung lực. Vectơ L phụ thuộc vào việc lựa chọn gốc tọa độ nên khi nói đến nó người ta thường chỉ ra: “động lượng góc đối với điểm VỀ".
Chúng ta hãy xét đạo hàm theo thời gian của xung lượng góc:
.
Số hạng đầu tiên bằng 0, vì . Trong số hạng thứ hai, theo định luật thứ hai của Newton, đạo hàm theo động lượng có thể được thay thế bằng lực tác dụng lên vật. Tích vectơ của vectơ bán kính và lực được gọi là khoảnh khắc của lực lượng so với điểm VỀ:
.
Hướng của mômen lực được xác định theo cùng quy tắc gimlet. Kích thước của nó M = r F tội lỗi , Ở đâu
góc giữa vectơ bán kính và lực. Tương tự như cách thực hiện ở trên, chúng ta cũng định nghĩa
ℓ =
r
tội lỗi
sức mạnh của vai VỀ- khoảng cách từ điểm 
.
vào đường tác dụng của lực. Kết quả là chúng ta thu được phương trình chuyển động của mô men động lượng của hạt: 
Dạng của phương trình này tương tự như định luật thứ hai của Newton: thay vì động lượng của hạt thì có mô men động lượng, và thay vì lực thì có mô men lực. Nếu như 
,
,Cái đó
những thứ kia. mômen động lượng không đổi khi không có mô men bên ngoài. Tuyên bố của pháp luật:
Động lượng góc của một hệ kín so với cực không thay đổi theo thời gian. 
Trong trường hợp quay quanh một trục cố định, ta có:
, Ở đâu
- mômen quán tính ban đầu và vận tốc góc của vật so với trục đang xét, và
- mômen quán tính cuối cùng và vận tốc góc của vật so với trục đang xét. Định luật bảo toàn cơ năng có xét đến chuyển động quay:
tổng cơ năng của một hệ bảo toàn không đổi: .
Ví dụ: Tìm vận tốc của hệ khi đi được quãng đường h.
Cho: m, M, h. Tìm: V - ?
Định lý Steiner - công thức Theo định lý Steiner, người ta khẳng định rằng của một vật khi tính một trục tương đối tùy ý tương ứng với tổng mô men quán tính của vật đó đối với một trục đi qua khối tâm và song song với trục này, đồng thời cộng với tích bình phương của khoảng cách giữa các trục và khối lượng của cơ thể, theo công thức sau (1):
Bài học: Các vật va chạm. Va chạm tuyệt đối đàn hồi và va chạm tuyệt đối không đàn hồi
Giới thiệu
Để nghiên cứu cấu trúc của vật chất, bằng cách này hay cách khác, nhiều va chạm khác nhau được sử dụng. Ví dụ, để kiểm tra một vật thể, nó được chiếu xạ bằng ánh sáng hoặc một dòng điện tử và bằng cách tán xạ ánh sáng này hoặc một dòng điện tử, một bức ảnh hoặc tia X hoặc hình ảnh của vật thể này trong một số trường hợp. thiết bị vật lý thu được. Như vậy, sự va chạm của các hạt là thứ bao quanh chúng ta trong cuộc sống hàng ngày, trong khoa học, công nghệ và trong tự nhiên.
Ví dụ, một va chạm duy nhất của hạt nhân chì trong máy dò ALICE của Máy Va chạm Hadron Lớn tạo ra hàng chục nghìn hạt, từ sự chuyển động và phân bố của chúng người ta có thể tìm hiểu về những tính chất sâu sắc nhất của vật chất. Xem xét các quá trình va chạm bằng cách sử dụng các định luật bảo toàn mà chúng ta đang nói đến cho phép chúng ta thu được kết quả bất kể điều gì xảy ra tại thời điểm va chạm. Chúng ta không biết điều gì xảy ra khi hai hạt nhân chì va chạm nhau, nhưng chúng ta biết năng lượng và động lượng của các hạt bay ra xa nhau sau những va chạm này sẽ là bao nhiêu.
Hôm nay chúng ta sẽ xem xét sự tương tác của các vật thể trong một vụ va chạm, hay nói cách khác là chuyển động của các vật thể không tương tác, chỉ thay đổi trạng thái khi tiếp xúc mà chúng ta gọi là va chạm hoặc va chạm.
Khi các vật va chạm, trong trường hợp chung, động năng của các vật va chạm không nhất thiết phải bằng động năng của các vật thể bay. Thật vậy, trong khi va chạm, các vật tương tác với nhau, ảnh hưởng lẫn nhau và thực hiện công. Công việc này có thể dẫn đến sự thay đổi động năng của mỗi cơ thể. Ngoài ra, công mà vật thứ nhất thực hiện trên vật thứ hai có thể không bằng công mà vật thứ hai thực hiện trên vật thứ nhất. Điều này có thể khiến năng lượng cơ học biến thành nhiệt, bức xạ điện từ hoặc thậm chí tạo ra các hạt mới.
Những va chạm trong đó động năng của các vật va chạm không bảo toàn được gọi là không đàn hồi.
Trong số tất cả các va chạm không đàn hồi có thể xảy ra, có một trường hợp ngoại lệ khi các vật va chạm dính vào nhau sau va chạm và sau đó chuyển động như một. Tác động không đàn hồi này được gọi là hoàn toàn không đàn hồi (Hình 1).
MỘT) 
b)
Cơm. 1. Va chạm không đàn hồi tuyệt đối
Hãy xem xét một ví dụ về một tác động hoàn toàn không đàn hồi. Cho một viên đạn có khối lượng bay theo phương ngang với tốc độ và va chạm với một hộp cát có khối lượng đứng yên treo lơ lửng trên một sợi dây. Viên đạn mắc kẹt trong cát, sau đó chiếc hộp chứa viên đạn bắt đầu chuyển động. Trong quá trình va chạm của viên đạn và hộp, ngoại lực tác dụng lên hệ này là trọng lực hướng thẳng đứng xuống dưới và lực căng của sợi dây hướng thẳng đứng hướng lên trên nếu thời gian tác dụng của viên đạn quá ngắn rằng sợi chỉ không có thời gian để chệch hướng. Do đó, chúng ta có thể giả sử rằng động lượng của các lực tác dụng lên vật khi va chạm bằng 0, nghĩa là định luật bảo toàn động lượng là đúng:
.
Tình trạng viên đạn kẹt trong hộp là dấu hiệu của sự va chạm hoàn toàn không đàn hồi. Chúng ta hãy kiểm tra xem điều gì đã xảy ra với động năng do tác động này. Động năng ban đầu của viên đạn:
Động năng cuối cùng của viên đạn và hộp:
đại số đơn giản cho chúng ta thấy rằng trong quá trình va chạm động năng đã thay đổi:
Vì vậy, động năng ban đầu của viên đạn nhỏ hơn viên đạn cuối cùng một giá trị dương nào đó. Làm thế nào điều này xảy ra? Trong quá trình va chạm, lực cản tác dụng giữa cát và viên đạn. Sự chênh lệch động năng của viên đạn trước và sau va chạm đúng bằng công của các lực cản. Nói cách khác, động năng của viên đạn đã làm nóng viên đạn và cát.
Nếu do va chạm của hai vật mà động năng được bảo toàn thì va chạm đó gọi là va chạm tuyệt đối đàn hồi.
Một ví dụ về va chạm hoàn toàn đàn hồi là sự va chạm của các quả bi-a. Chúng ta sẽ xem xét trường hợp đơn giản nhất của va chạm như vậy - va chạm trung tâm.
Một va chạm trong đó vận tốc của một quả bóng đi qua khối tâm của quả bóng kia được gọi là va chạm tâm. (Hình 2.)
Cơm. 2. Tấn công bóng vào giữa
Để một quả bóng đứng yên, và quả bóng thứ hai bay về phía nó với một tốc độ nào đó, theo định nghĩa của chúng ta, vận tốc này đi qua tâm của quả bóng thứ hai. Nếu va chạm là va chạm trung tâm và đàn hồi thì va chạm tạo ra lực đàn hồi tác dụng dọc theo đường va chạm. Điều này dẫn đến sự thay đổi thành phần động lượng nằm ngang của quả bóng thứ nhất và dẫn đến sự xuất hiện thành phần động lượng nằm ngang của quả bóng thứ hai. Sau khi va chạm, quả bóng thứ hai sẽ nhận được một xung lực hướng về bên phải và quả bóng thứ nhất có thể di chuyển cả sang phải và sang trái - điều này sẽ phụ thuộc vào tỷ số giữa khối lượng của các quả bóng. Trong trường hợp tổng quát, hãy xem xét tình huống trong đó khối lượng của các quả bóng là khác nhau.
Định luật bảo toàn động lượng được thỏa mãn khi hai quả bóng va chạm:
Trong trường hợp va chạm tuyệt đối đàn hồi thì định luật bảo toàn năng lượng cũng được thỏa mãn:
Ta thu được hệ hai phương trình với hai đại lượng chưa biết. Giải quyết xong chúng ta sẽ có câu trả lời.
Vận tốc của quả bóng thứ nhất sau va chạm là
,
Lưu ý rằng tốc độ này có thể dương hoặc âm, tùy thuộc vào quả bóng nào có khối lượng lớn hơn. Ngoài ra, chúng ta có thể phân biệt trường hợp các quả bóng giống hệt nhau. Trong trường hợp này, sau khi đánh quả bóng đầu tiên sẽ dừng lại. Vận tốc của quả bóng thứ hai, như chúng ta đã lưu ý trước đó, hóa ra lại dương với bất kỳ tỷ lệ khối lượng nào của các quả bóng:
Cuối cùng, chúng ta hãy xem xét trường hợp va chạm lệch tâm ở dạng đơn giản hóa - khi khối lượng của các quả bóng bằng nhau. Khi đó, từ định luật bảo toàn động lượng ta có thể viết:
Và từ sự bảo toàn động năng:
Một tác động lệch tâm sẽ là trong đó tốc độ của quả bóng đang tới sẽ không đi qua tâm của quả bóng đứng yên (Hình 3). Từ định luật bảo toàn động lượng, rõ ràng vận tốc của các quả bóng sẽ tạo thành hình bình hành. Và từ việc động năng được bảo toàn, rõ ràng nó sẽ không phải là hình bình hành mà là hình vuông.
Cơm. 3. Va chạm lệch tâm với khối lượng bằng nhau
Như vậy, với tác động lệch tâm tuyệt đối đàn hồi, khi khối lượng của các quả bóng bằng nhau, chúng luôn bay ra vuông góc với nhau.
Mô hình này là một minh chứng minh họa định luật bảo toàn động lượng. Xét các va chạm đàn hồi và không đàn hồi của các quả bóng.
Khi các cơ thể tương tác, xung lực của cơ thể này có thể được truyền một phần hoặc toàn bộ sang cơ thể khác. Nếu một hệ vật thể không chịu tác dụng của ngoại lực từ các vật thể khác thì hệ đó gọi là hệ kín.
Trong một hệ thống khép kín, tổng vectơ xung của tất cả các vật thể có trong hệ thống không đổi đối với bất kỳ tương tác nào của các vật thể trong hệ thống này với nhau.
Định luật cơ bản này của tự nhiên được gọi là định luật bảo toàn động lượng. Đó là hệ quả của Định luật thứ hai và thứ ba của Newton .
Chúng ta hãy xem xét hai vật thể tương tác bất kỳ là một phần của một hệ thống khép kín. Chúng ta biểu thị lực tương tác giữa các vật thể này bằng và Theo định luật thứ ba của Newton Nếu các vật thể này tương tác theo thời gian t, khi đó xung của các lực tương tác có độ lớn bằng nhau và hướng ngược nhau:
Chúng ta hãy áp dụng định luật thứ hai của Newton cho các vật thể này:
Sự bằng nhau này có nghĩa là do sự tương tác của hai vật nên tổng động lượng của chúng không thay đổi. Bây giờ xem xét tất cả các tương tác cặp có thể có của các vật thể có trong một hệ kín, chúng ta có thể kết luận rằng nội lực của một hệ kín không thể thay đổi tổng động lượng của nó, tức là tổng vectơ động lượng của tất cả các vật thể có trong hệ thống này.
b) Định luật bảo toàn năng lượng
Lực lượng bảo thủ – các lực mà công của nó không phụ thuộc vào quỹ đạo mà chỉ được xác định bởi tọa độ đầu và cuối của điểm.
Trong một hệ chỉ có các lực bảo toàn tác dụng thì tổng năng lượng của hệ không đổi. Chỉ có sự biến đổi thế năng thành động năng và ngược lại là có thể thực hiện được.
Thế năng của một điểm vật chất chỉ là hàm số của tọa độ (điểm) của nó, nghĩa là các lực có thể được định nghĩa như sau: . – thế năng của một điểm vật chất. 
Nhân cả hai vế và nhận được 
. Hãy biến đổi và nhận biểu thức chứng minh định luật bảo toàn năng lượng
.
c) Tổn thất cơ năng
Định lý Bernoulli, cùng với định lý Euler, nêu trong 110, có thể được sử dụng để rút ra định lý Borda (1733-1792)-Carnot về sự mất năng lượng cơ học của dòng chất lỏng trong quá trình giãn nở đột ngột của nó (Hình 328). Định lý này đóng vai trò tương tự như định lý Kar-
Sự mất năng lượng cơ học trong một cú sốc phía trước có thể được đặc trưng bởi tỷ lệ giữa áp suất tổng phía sau cú sốc và tổng áp suất Poi ở phía trước nó. Các công thức xác định mối quan hệ này có dạng
Phương trình này chỉ ra rằng khi một môi trường lỏng chuyển động, năng lượng bên trong của nó thay đổi do luồng nhiệt từ bên ngoài truyền vào và do sự tiêu tán năng lượng cơ học. Quá trình tiêu tán, như biểu thức (5-84) cho thấy, có liên quan đến độ nhớt p và không diễn ra đối với chất lỏng lý tưởng (p = 0). Vì quá trình này là không thể đảo ngược nên năng lượng tiêu tán Ed có thể được coi là lượng năng lượng cơ học bị mất đi.
Vì tổn thất năng lượng cơ học là không thể tránh khỏi trong bất kỳ máy nào nên công suất mà động cơ tiêu thụ để dẫn động máy bơm (công suất tiêu thụ L) luôn lớn hơn công suất hữu ích N - Những tổn thất này được ước tính bằng hiệu suất tổng thể của máy bơm
Khi rút ra phương trình (136), độ nhớt của chất lỏng và sự mất mát năng lượng cơ học liên quan trong quá trình chuyển động của hạt chất lỏng không được tính đến.
Khi chất lỏng di chuyển trong đường ống sẽ làm mất đi năng lượng cơ học, do đó phải có những vùng mà độ nhớt ảnh hưởng đáng kể. Do chất lỏng bám vào thành ống nên vận tốc tức thời và trung bình của chất lỏng trên thành ống bằng không. Do đó, không thể có sự trộn lẫn mạnh của chất lỏng ở vùng lân cận thành ống. Điều này làm cơ sở cho kết luận rằng ngay gần các bức tường, sự thay đổi mạnh về tốc độ phải được xác định bởi đặc tính nhớt của chất lỏng và một lớp có chuyển động tầng sẽ tồn tại gần các bức tường. Dữ liệu thực nghiệm cũng xác nhận kết luận này.
Công của lực nhớt được thực hiện giữa hai phần của dòng chảy và trên một đơn vị khối lượng, trọng lượng hoặc thể tích của chất lỏng chuyển động được gọi là tổn thất năng lượng cơ học hoặc tổn thất thủy lực. Nếu công này liên quan đến một đơn vị trọng lượng thì tổn thất thủy lực được gọi là tổn thất áp suất L.
Mô hình chất lỏng không nhớt không thể giải thích được nguồn gốc của sự tổn thất năng lượng cơ học khi chất lỏng di chuyển qua đường ống và lực cản nói chung. Để mô tả những hiện tượng này, người ta sử dụng một mô hình chất lỏng nhớt phức tạp hơn. Mô hình đơn giản và được sử dụng phổ biến nhất của chất lỏng nhớt là chất lỏng Newton.
Công của các lực ép p dùng để thắng các lực cản gây tổn thất cơ năng. Những tổn thất này tỷ lệ thuận với chiều dài của đường chuyển động, do đó chúng được gọi là tổn thất năng lượng riêng dọc theo chiều dài. Nếu tổn thất được biểu thị bằng đơn vị áp suất thì chúng được gọi là tổn thất áp suất dọc theo chiều dài và được ký hiệu là pi. Nếu tổn thất năng lượng được biểu thị bằng đơn vị tuyến tính EJg), chúng được gọi là tổn thất cột áp dọc theo chiều dài và được ký hiệu là /g.
Việc thu được dòng chảy đều đặn với tổn thất thấp trong quá trình phanh ở bộ khuếch tán là một nhiệm vụ khó khăn hơn nhiều so với việc thu được dòng chảy tăng tốc với tổn thất thấp ở vòi phun. Trong bộ khuếch tán, các chuyển động thuận nghịch lý tưởng bị vi phạm do các lý do và tính chất tương tự của môi trường như trong vòi phun, tuy nhiên, khi dòng chảy chậm lại, ảnh hưởng của các yếu tố trên thể hiện ở mức độ mạnh hơn. Trong các bộ khuếch tán, do chuyển động chống lại áp suất ngày càng tăng nên điều kiện tách dòng khỏi thành thuận lợi hơn so với trong các vòi phun, trong đó
MỘT) Ma sát−− một trong những loại tương tác giữa các vật thể. Nó xảy ra khi hai cơ thể tiếp xúc. Ma sát, giống như tất cả các loại tương tác khác, tuân theo định luật thứ ba của Newton: nếu lực ma sát tác dụng lên một trong hai vật, thì một lực có cùng độ lớn, nhưng hướng ngược lại, cũng tác dụng lên vật thứ hai. Lực ma sát, giống như lực đàn hồi, có bản chất điện từ. Chúng phát sinh do sự tương tác giữa các nguyên tử và phân tử của các vật thể tiếp xúc hoặc sự hiện diện của sự bất thường và gồ ghề.
Lực ma sát khô là lực phát sinh khi hai vật rắn tiếp xúc nhau trong điều kiện không có lớp chất lỏng hoặc khí giữa chúng. Chúng luôn hướng tiếp tuyến với các bề mặt tiếp xúc.
Ma sát khô xảy ra khi các vật đứng yên tương đối được gọi là ma sát tĩnh. Lực ma sát tĩnh luôn có độ lớn bằng ngoại lực và hướng ngược lại.
Lực ma sát tĩnh không thể vượt quá một giá trị tối đa nhất định (Ftr)max(Ftr)max. Nếu ngoại lực lớn hơn (Ftr)max(Ftr)max thì xảy ra hiện tượng trượt tương đối. Lực ma sát trong trường hợp này được gọi là lực ma sát trượt. Nó luôn hướng theo hướng ngược lại với hướng chuyển động và nói chung phụ thuộc vào tốc độ tương đối của vật thể. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, lực ma sát trượt có thể được coi là gần như độc lập với vận tốc tương đối của các vật thể và bằng lực ma sát tĩnh cực đại. Mô hình lực ma sát khô này được sử dụng để giải nhiều bài toán vật lý đơn giản.
b) Lực ma sát trượt- lực phát sinh giữa các vật tiếp xúc trong quá trình chuyển động tương đối của chúng.
Người ta đã chứng minh bằng thực nghiệm rằng lực ma sát phụ thuộc vào lực ép của các vật lên nhau (lực phản lực hỗ trợ), vào vật liệu của các bề mặt cọ xát và vào tốc độ chuyển động tương đối. Vì không có vật nào là phẳng tuyệt đối nên lực ma sát Không phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc và diện tích tiếp xúc thực nhỏ hơn nhiều so với diện tích quan sát được; Ngoài ra, bằng cách tăng diện tích, chúng ta giảm áp lực riêng của các vật thể lên nhau.
Đại lượng đặc trưng cho bề mặt cọ xát được gọi là hệ số ma sát, và thường được biểu thị bằng một chữ cái Latinh (\displaystyle k) hoặc một chữ cái Hy Lạp (\displaystyle \mu ). Nó phụ thuộc vào tính chất và chất lượng xử lý của các bề mặt cọ xát. Ngoài ra, hệ số ma sát còn phụ thuộc vào tốc độ. Tuy nhiên, hầu hết sự phụ thuộc này thường được thể hiện yếu và nếu không yêu cầu độ chính xác đo cao hơn thì (\displaystyle k) có thể được coi là không đổi. Theo phép tính gần đúng đầu tiên, độ lớn của lực ma sát trượt có thể được tính bằng công thức:
(\displaystyle F=kN)
(\displaystyle k) - hệ số ma sát trượt,
(\displaystyle N) - lực phản lực bình thường của mặt đất.
V) Hệ số ma sát thiết lập sự tỷ lệ giữa lực ma sát và lực áp suất bình thường ép cơ thể vào giá đỡ. Hệ số ma sát là đặc tính tích lũy của một cặp vật liệu tiếp xúc và không phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc giữa các vật.
Các loại ma sát
Ma sát tĩnh biểu hiện khi một vật đang đứng yên chuyển động. Hệ số ma sát tĩnh được ký hiệu μ 0 .
Ma sát trượt biểu hiện ở sự có mặt của chuyển động của cơ thể và nó nhỏ hơn đáng kể so với ma sát tĩnh.
Lực ma sát lăn phụ thuộc vào bán kính của vật lăn. Trong các trường hợp điển hình (khi tính ma sát lăn của bánh xe lửa hoặc ô tô), khi biết bán kính bánh xe không đổi thì được tính trực tiếp vào hệ số ma sát lăn. μ chất lượng.
Hệ số ma sát tĩnh
cơ thể bắt đầu di chuyển
(hệ số ma sát tĩnh μ 0
)
A) 5.6. Động lượng của một chất điểm và một vật rắn
Tích vectơ của vectơ bán kính của một điểm vật chất và động lượng của nó: gọi là xung lượng góc của điểm này so với điểm O (Hình 5.4)
Một vectơ đôi khi còn được gọi là xung lượng góc của một điểm vật chất. Nó hướng dọc theo trục quay vuông góc với mặt phẳng vẽ qua các vectơ và tạo thành bộ ba vectơ bên phải với chúng (khi quan sát từ đỉnh của vectơ, rõ ràng phép quay dọc theo khoảng cách ngắn nhất từ k xảy ra ngược chiều kim đồng hồ).
Tổng vectơ mômen động lượng của tất cả các điểm vật chất của hệ được gọi là mômen động lượng (động lượng của chuyển động) của hệ so với điểm O:
Các vectơ và vuông góc với nhau và nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay của vật. Đó là lý do tại sao . Có tính đến mối quan hệ giữa đại lượng tuyến tính và góc
và hướng dọc theo trục quay của vật cùng hướng với vectơ.
Như vậy.
Động lượng của vật so với trục quay
| (5.9) |
Do đó, xung lượng góc của một vật đối với một trục quay bằng tích của mômen quán tính của vật đối với trục đó và tốc độ góc quay của vật quanh trục này.
« 5.5. Định luật thứ hai của Newton về chuyển động quay và phân tích của nó
5.7. Phương trình cơ bản của động lực học của chuyển động quay »
Mục: Động lực học chuyển động quay của vật rắn, Cơ sở vật lý của cơ học
B) Phương trình động học của chuyển động quay của vật rắn
Momen của lực đối với một điểm cố định Ô được gọi là đại lượng vectơ giả bằng tích vectơ của vectơ bán kính , rút ra từ điểm Ô tại thời điểm áp dụng vũ lực, vào thời điểm vũ lực
Mô đun mô men lực:
- vectơ giả, hướng của nó trùng với hướng của mặt phẳng chuyển động của cánh quạt bên phải khi quay từ tới. Hướng của thời điểm lực Cũng có thể xác định theo quy tắc của bàn tay trái: đặt bốn ngón tay của bàn tay trái theo chiều của yếu tố thứ nhất, yếu tố thứ hai đi vào lòng bàn tay, ngón cái cong một góc vuông sẽ chỉ hướng của mô men lực. . Vectơ mô men lực luôn vuông góc với mặt phẳng chứa vectơ và vectơ mô men lực.
Khoảng cách ngắn nhất giữa đường tác dụng của lực và điểm VỀ gọi là vai lực.
Momen lực đối với một trục cố định Zđược gọi là đại lượng vô hướng bằng hình chiếu lên trục này của vectơ mô men lực, được xác định tương ứng với một điểm O tùy ý của một trục Z cho trước. Nếu trục Z vuông góc với mặt phẳng chứa các vectơ và nằm, tức là trùng với hướng của vectơ thì mômen lực 
được biểu diễn dưới dạng vectơ trùng trục.
Trục có vị trí không đổi trong không gian khi quay quanh vật thể khi không có ngoại lực gọi là trục tự do của vật thể.
Đối với một vật có hình dạng bất kỳ và có khối lượng phân bố tùy ý, có 3 trục vuông góc với nhau đi qua tâm quán tính của vật, có thể đóng vai trò là trục tự do: chúng được gọi là trục quán tính chính của vật.
Hãy tìm biểu thức của công việc luân phiên thi thể. Hãy để nó đi đến đại chúng tôi vật rắn chịu tác dụng của ngoại lực. Khi đó công do lực này thực hiện trong thời gian d t bằng
Chúng ta hãy tiến hành sắp xếp lại các thừa số theo chu kỳ trong một tích hỗn hợp các vectơ bằng cách sử dụng quy tắc
Công thực hiện khi một vật quay bằng tích của mômen tác dụng của lực và góc quay. Khi một vật quay, công sẽ hướng tới sự tăng động năng của nó:
Kể từ đây,
- phương trình động lực học của chuyển động quay
Nếu trục quay trùng với trục quán tính chính đi qua khối tâm thì thỏa mãn đẳng thức vectơ
І - mô men quán tính chính (mômen quán tính đối với trục chính)
Dao động xoắn
Rung động xoắn- cơ khí dao động, trong đó các phần tử đàn hồi bị biến dạng cắt. Chúng diễn ra ở những nơi khác nhau máy có trục quay: trong động cơ piston, tua bin, máy phát điện, hộp số, hộp số của các phương tiện vận tải.
K. phát sinh do tính tuần hoàn không đồng đều. mômen của cả lực dẫn động và lực cản. Sự không đồng đều của mô-men xoắn gây ra những thay đổi không đồng đều về vận tốc góc của trục, tức là tăng tốc hoặc giảm tốc độ quay. Thông thường trục bao gồm sự xen kẽ của các phần có khối lượng thấp và độ đàn hồi phù hợp với các phần cứng hơn, có nghĩa là chúng được cố định vào chúng. quần chúng. Mỗi phần của trục sẽ có mức độ quay không đều riêng, vì trong cùng một khoảng thời gian, các khối lượng chuyển động theo các góc khác nhau và do đó chuyển động với tốc độ khác nhau, tạo ra độ xoắn và động lực thay đổi của trục. ứng suất xen kẽ, ch. Array. tiếp tuyến.
Khi tần số tự nhiên trùng nhau. dao động điều hòa của hệ có tần số tuần hoàn. mô men xoắn của lực dẫn động và lực cản, xuất hiện dao động cộng hưởng. Trong trường hợp này, mức động tăng lên. điện áp xoay chiều; âm thanh tăng tiếng ồn do máy đang chạy phát ra. Năng động các ứng suất xen kẽ với kích thước trục được chọn không chính xác (được đánh giá thấp), độ bền của vật liệu không đủ và sự xuất hiện cộng hưởng có thể vượt quá giới hạn độ bền, điều này sẽ dẫn đến mỏi vật liệu trục và phá hủy nó.
Khi tính mô men xoắn của các trục máy, người ta thường sử dụng sơ đồ tính toán hai đĩa nối với nhau bằng một thanh đàn hồi tác dụng xoắn. Trong trường hợp này, sở hữu. Tính thường xuyên
Ở đâu TÔI 1 - mô men quán tính của đĩa thứ nhất, TÔI 2 - mômen quán tính của đĩa thứ 2, VỚI- độ cứng xoắn của thanh, đối với thanh tròn có đường kính d và chiều dài l C trong đó G là mô đun cắt. Các sơ đồ tính toán phức tạp hơn chứa số lượng đĩa lớn hơn được kết nối bằng các thanh và tạo thành một chuỗi. chuỗi, đôi khi là chuỗi phân nhánh và chuỗi vòng. Tính toán riêng tần số của các hình dạng và sóng kết hợp cưỡng bức theo các sơ đồ tính toán này được thực hiện trên máy tính.
Tiến sĩ Một ví dụ về con lắc xoắn là con lắc xoắn, là một đĩa được gắn ở một đầu của thanh xoắn và được bịt kín cứng ở đầu kia. Sở hữu tần số của con lắc đó 
Ở đâu TÔI- Momen quán tính của đĩa. Dụng cụ sử dụng con lắc xoắn được sử dụng để xác định mô đun đàn hồi cắt, hệ số. nội bộ ma sát của vật liệu rắn khi cắt, hệ số. độ nhớt của chất lỏng.
K. phát sinh trong nhiều hệ thống đàn hồi; trong một số trường hợp, có thể xảy ra dao động khớp với sự phân hủy. các loại biến dạng của các phần tử hệ thống, ví dụ. dao động uốn - xoắn. Vì vậy, ở một thời điểm nhất định điều kiện bay dưới ảnh hưởng của khí động học. Lực đôi khi gây ra dao động uốn-xoắn tự kích thích của cánh máy bay (gọi là dao động), có thể gây ra sự phá hủy cánh.
Lít.: Den-Hartog D. P., Rung động cơ học, trans. từ tiếng Anh, M., 1960; Maslov G.S., Tính toán dao động của trục. Thư mục, tái bản lần thứ 2, M., 1980; Rung động trong công nghệ. Sổ tay, biên tập. V.V. Bolotina, tập 1, M., 1978; Truyền lực của phương tiện vận tải, L., 1982. A. V. Sinev
Biên độ dao động(lat. biên độ- độ lớn) là độ lệch lớn nhất của vật dao động so với vị trí cân bằng.
Đối với một con lắc, đây là khoảng cách tối đa mà quả bóng di chuyển ra khỏi vị trí cân bằng của nó (hình bên dưới). Đối với các dao động có biên độ nhỏ, khoảng cách như vậy có thể được lấy bằng độ dài của cung 01 hoặc 02, cũng như độ dài của các đoạn này.
Biên độ dao động được đo bằng đơn vị chiều dài - mét, cm, v.v. Trên biểu đồ dao động, biên độ được xác định là tọa độ cực đại (modulo) của đường cong hình sin (xem hình bên dưới).
Chu kỳ dao động.
Chu kỳ dao động- đây là khoảng thời gian ngắn nhất mà qua đó một hệ dao động trở lại trạng thái cũ tại thời điểm ban đầu, được chọn tùy ý.
Nói cách khác, chu kì dao động ( T) là thời gian để thực hiện một dao động toàn phần. Ví dụ, trong hình bên dưới, đây là thời gian để con lắc chuyển động từ điểm ngoài cùng bên phải đến điểm cân bằng VỀđến điểm ngoài cùng bên trái và quay lại điểm VỀ một lần nữa về phía bên phải.
Do đó, trong toàn bộ chu kỳ dao động, vật truyền được một đường có biên độ bằng bốn. Chu kỳ dao động được đo bằng đơn vị thời gian - giây, phút, v.v. Chu kỳ dao động có thể được xác định từ biểu đồ dao động nổi tiếng (xem hình bên dưới).
Nói đúng ra, khái niệm “chu kỳ dao động” chỉ có hiệu lực khi các giá trị của đại lượng dao động được lặp lại chính xác sau một khoảng thời gian nhất định, tức là đối với các dao động điều hòa. Tuy nhiên, khái niệm này cũng áp dụng cho các trường hợp có đại lượng gần như lặp lại, ví dụ, đối với dao động tắt dần.
Tần số dao động.
Tần số dao động- đây là số dao động được thực hiện trong một đơn vị thời gian, ví dụ: trong 1 s.
Đơn vị tần số SI được đặt tên hertz(Hz) để vinh danh nhà vật lý người Đức G. Hertz (1857-1894). Nếu tần số dao động ( v) bằng 1Hz, điều này có nghĩa là mỗi giây có một dao động. Tần số và chu kỳ dao động liên hệ với nhau bởi hệ thức:
Trong lý thuyết dao động họ cũng sử dụng khái niệm mang tính chu kỳ, hoặc tần số tròn ω . Nó liên quan đến tần số bình thường v và chu kỳ dao động T tỷ lệ:
.
Tần số tuần hoàn là số lượng dao động được thực hiện mỗi 2π giây
a) Dao động. Giảm chấn và không giảm chấn
Các quá trình lặp đi lặp lại xác định cuộc sống của chúng ta. Mùa đông nối tiếp mùa hạ, ngày nối tiếp đêm, hít vào nối tiếp thở ra. Thời gian trôi nhanh và chúng tôi cũng đo lường nó bằng cách lặp lại các quy trình. Các quá trình lặp đi lặp lại là biến động.
Dao động những thay đổi về đại lượng vật lý lặp lại theo thời gian được gọi là.
Nếu những thay đổi này được lặp lại sau một khoảng thời gian nhất định thì dao động được gọi là "định kỳ". Khoảng thời gian ngắn nhất T, qua đó các giá trị của một đại lượng vật lý được lặp lại Tại), gọi điện Giai đoạn sự do dự của cô ấy A(t + T) =Tại). Số dao động trong một đơn vị thời gian v gọi điện tần số rung. Tần số và chu kỳ dao động có liên hệ với nhau bởi mối quan hệ v = 1/T. Dao động của hệ xảy ra khi không có tác động từ bên ngoài gọi là dao động miễn phí. Tác động bên ngoài là cần thiết để kích thích dao động. Hệ thống được cung cấp năng lượng từ bên ngoài, do đó xảy ra dao động. Tác động bên ngoài này đưa hệ ra khỏi vị trí cân bằng, và sau đó nó di chuyển xung quanh vị trí cân bằng, rời đi và quay trở lại vị trí cân bằng, vượt quá vị trí cân bằng do quán tính. Và điều này được lặp đi lặp lại nhiều lần. Chuyển động trong bối cảnh này có nghĩa là một sự thay đổi trạng thái. TRONG hệ thống cơ khíđây có thể là một chuyển động trong không gian hoặc một sự thay đổi áp suất, trong điện- thay đổi giá trị điện tích hoặc cường độ trường. Có vô số chuyển động khác nhau và các quá trình dao động tương ứng.
Bất kỳ hệ thống nào thực hiện chuyển động dao động đều được gọi là"dao động" (dịch từ lat.dao động- “dao động”), do đó, từ “dao động” thường được thay thế bằng thuật ngữ “dao động”.
Nếu biên độ dao động không thay đổi theo thời gian thì dao động điều hòa được gọi làkhông bị ẩm .
Mô tả phương trình vi phân dao động điều hòa không suy giảm, có dạng:
d 2 A(t) /dt 2+ ω 0 2 A(t) = 0.
Ȧ +ω 0 2 A = 0.
Nếu biên độ giảm dần theo thời gian thì dao động gọi làmờ dần .
Chung ví dụ về dao động tắt dần- dao động có biên độ giảm theo định luật
A 0 (t) =a 0 e -βt .
hệ số suy giảm β > 0.
Trong hệ SI, thời gian được đo bằng s và tần số tương ứng tính bằng giây nghịch đảo (s -1). Đơn vị đo này có tên đặc biệt"hertz" , 1 Hz = 1 s -1 . Nhà vật lý người Đức Heinrich Rudolf Gehr
Mômen quán tính được định nghĩa là, nếu khối lượng phân bố đồng đều thì nó được thay thế bằng – thể tích cơ bản, – mật độ của chất. .
Định lý Steiner: Mômen quán tính đối với một trục tùy ý bằng tổng mômen quán tính đối với một trục song song với trục cho trước và đi qua tâm quán tính của vật và tích của khối lượng của vật đó bằng bình phương khoảng cách a giữa các trục: .
Momen quán tính:
1) một thanh mỏng đồng nhất có khối lượng, chiều dài so với trục đi qua khối tâm và vuông góc với thanh:
2) một thanh mỏng đồng nhất có khối lượng, chiều dài so với trục đi qua một đầu của thanh:
3) một vòng mỏng có khối lượng, bán kính R so với trục đối xứng vuông góc với mặt phẳng của vòng:
4) một đĩa đồng nhất (hình trụ) có khối lượng, bán kính R, chiều cao h so với trục đối xứng vuông góc với đáy: .
21. Động năng của một vật rắn đang quay.
Khi một vật quay với vận tốc góc, tất cả các khối lượng cơ bản của nó chuyển động với tốc độ mà chúng có động năng - đối với một vật quay quanh một trục cố định. Trong quá trình quay, cả ngoại lực và nội lực đều tác dụng lên các điểm vật chất có khối lượng tạo thành một vật rắn. Trong một khoảng thời gian, nó trải qua sự dịch chuyển trong khi các lực vẫn thực hiện công. Công việc được thực hiện bởi tất cả các lực lượng sẽ bằng nhau. Khi cộng thêm định luật 3 Newton thì tổng công của các nội lực = 0. Do đó, . Theo định lý động năng thì độ tăng động năng = công của mọi lực tác dụng lên vật.
Hãy tính động năng của một vật rắn thực hiện chuyển động phẳng tùy ý. mọi điểm đều chuyển động trong mặt phẳng song song. Chuyển động quay xảy ra xung quanh một trục, vuông góc với các mặt phẳng và chuyển động cùng với một điểm O nhất định. Chúng ta hãy biểu diễn tốc độ của một điểm vật chất có khối lượng dưới dạng . Do đó, vật chuyển động tịnh tiến, là biểu hiện của động năng của vật thực hiện chuyển động phẳng tùy ý. Nếu chọn khối tâm là điểm O thì .
Con quay hồi chuyển.
Con quay hồi chuyển(hoặc trên cùng) là một vật rắn khổng lồ, đối xứng với một trục nhất định, quay xung quanh nó với tốc độ góc cao. Do tính đối xứng của con quay hồi chuyển, . Khi cố gắng quay một con quay hồi chuyển quanh một trục nhất định, hiệu ứng con quay hồi chuyển– dưới tác dụng của các lực dường như gây ra sự quay trục của con quay hồi chuyển OO quanh đường thẳng O'O', trục của con quay hồi chuyển quay quanh đường thẳng O''O'' ( trục OO và đường thẳng O'O' coi như nằm trong mặt phẳng hình vẽ, còn đường thẳng O''O'' và các lực f1, f2 vuông góc với mặt phẳng này). Việc giải thích hiệu ứng này dựa trên việc sử dụng phương trình mô men. Động lượng góc quay quanh trục OX do mối liên hệ. Cùng với OX, con quay hồi chuyển cũng quay. Do hiệu ứng con quay, ổ trục mà con quay quay trên đó bắt đầu hoạt động lực hồi chuyển. Dưới tác dụng của lực con quay, trục con quay có xu hướng chiếm vị trí song song với vận tốc góc quay của Trái đất.
Hành vi được mô tả của con quay hồi chuyển là cơ sở la bàn con quay hồi chuyển. Ưu điểm của con quay hồi chuyển: cho biết hướng chính xác về cực Bắc địa lý, hoạt động của nó không bị ảnh hưởng bởi các vật kim loại.
Tuế sai con quay hồi chuyển– một loại chuyển động đặc biệt của con quay hồi chuyển xảy ra nếu mômen của ngoại lực tác dụng lên con quay hồi chuyển, trong khi có độ lớn không đổi, quay đồng thời với trục con quay hồi chuyển, luôn tạo thành một góc vuông với nó. Ta xét chuyển động của một con quay hồi chuyển có một điểm cố định trên trục dưới tác dụng của trọng lực, là khoảng cách từ điểm cố định đến tâm quán tính của con quay hồi chuyển và là góc giữa con quay hồi chuyển và phương thẳng đứng. mô men có hướng vuông góc với mặt phẳng thẳng đứng đi qua trục của con quay hồi chuyển. Phương trình chuyển động: tăng động lượng = Do đó, thay đổi vị trí của nó trong không gian sao cho đầu của nó mô tả một đường tròn trong mặt phẳng nằm ngang. Trong một khoảng thời gian, con quay quay một góc 
Trục con quay hồi chuyển mô tả một hình nón quanh một trục thẳng đứng với vận tốc góc - vận tốc góc của tuế sai.
Kính gửi những vị khách ghé thăm trang web, tôi mang đến cho bạn sự chú ý một tác phẩm về toán học về chủ đề này , trong đó trình bày các tài liệu mang tính chất lý thuyết và thực tiễn, các khuyến nghị để giải quyết các vấn đề sử dụng định lý này.
Định lý Steiner, hay, như được gọi trong các nguồn khác, định lý Huygens-Steiner, được đặt tên để vinh danh tác giả của nó, Jakob Steiner (nhà toán học Thụy Sĩ), và cũng nhờ sự bổ sung của Christian Huygens (nhà vật lý, thiên văn học và toán học người Hà Lan). Chúng ta hãy xem xét ngắn gọn những đóng góp của họ cho các ngành khoa học khác.
Định lý Steiner - về các tác giả của định lý
Jacob Steiner
(1796—1863)
Jacob Steiner (1796-1863) là một trong những nhà khoa học được coi là người sáng lập ra cả hình học tổng hợp của đường cong và bề mặt bậc hai trở lên.
Về phần Christiaan Huygens, đóng góp của ông cho các ngành khoa học khác nhau cũng không hề nhỏ. Ông đã cải thiện đáng kể (độ phóng đại hình ảnh lên tới 92 lần), phát hiện ra các vành đai của Sao Thổ và vệ tinh của nó, Titan, và vào năm 1673, trong tác phẩm khá nhiều thông tin của mình “Đồng hồ quả lắc”, ông đã trình bày công trình về động học gia tốc.
Định lý Steiner - công thức
Định lý Steiner - công thức Theo định lý Steiner, người ta khẳng định rằng của một vật khi tính một trục tương đối tùy ý tương ứng với tổng mô men quán tính của vật đó đối với một trục đi qua khối tâm và song song với trục này, đồng thời cộng với tích bình phương của khoảng cách giữa các trục và khối lượng của cơ thể, theo công thức sau (1):
J=J0+md 2 (1)
Trong công thức chúng ta lấy các giá trị sau: d
– khoảng cách giữa các trục OO 1 ║О’O 1 ’;
J 0
– mômen quán tính của vật, tính tương đối với trục đi qua khối tâm và sẽ được xác định theo hệ thức (2):
J 0 =J d =mR 2 /2(2)
Vì d = R nên mô men quán tính đối với trục đi qua điểm A như hình vẽ sẽ được xác định theo công thức (3):
J=mR2 +mR 2/2 = 3/2mR2(3)
Thông tin chi tiết hơn về định lý được trình bày trong phần tóm tắt và trình bày, có thể tải xuống từ các liên kết trước bài viết.
Định lý Steiner. Momen quán tính - nội dung công việc
Giới thiệu
Phần 1. Động lực quay của vật rắn
1.1. Momen quán tính của quả cầu và đĩa
1.2. Định lý Huygens-Steiner
1.3. Động lực học chuyển động quay của vật rắn - cơ sở lý thuyết
Động lực
khoảnh khắc của lực lượng
Momen quán tính đối với trục quay
Định luật cơ bản của chuyển động quay của vật rắn so với trục cố định
Khi mô tả chuyển động quay bằng toán học, điều quan trọng là phải biết mô men quán tính của hệ so với trục. Trong trường hợp tổng quát, quy trình tìm đại lượng này liên quan đến việc thực hiện quy trình tích phân. Cái gọi là định lý Steiner cho phép chúng ta đơn giản hóa các phép tính. Chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn trong bài viết.
Momen quán tính là gì?
Trước khi trình bày công thức của định lý Steiner, cần phải hiểu rõ khái niệm mô men quán tính. Giả sử có một vật thể có khối lượng nhất định và hình dạng tùy ý. Cơ thể này có thể là một điểm vật chất hoặc bất kỳ vật thể hai chiều hoặc ba chiều nào (thanh, hình trụ, quả bóng, v.v.). Nếu vật đang chuyển động tròn quanh một trục nào đó với gia tốc góc không đổi α thì có thể viết phương trình sau:
Ở đây giá trị M đại diện cho tổng mô men xoắn truyền gia tốc α cho toàn bộ hệ thống. Hệ số tỉ lệ giữa chúng là I, gọi là mô men quán tính. Đại lượng vật lý này được tính bằng công thức tổng quát sau:
Ở đây r là khoảng cách giữa một phần tử có khối lượng dm và trục quay. Biểu thức này có nghĩa là cần phải tìm tổng các tích bình phương của các khoảng cách r 2 với khối lượng cơ bản dm. Nghĩa là, mômen quán tính không phải là đặc tính thuần túy của vật, giúp phân biệt nó với quán tính tuyến tính. Nó phụ thuộc vào sự phân bố khối lượng khắp vật đang quay, cũng như khoảng cách đến trục và hướng của vật so với nó. Ví dụ, một thanh sẽ có I khác nếu nó quay tương ứng với khối tâm và so với đầu thanh.
Momen quán tính và định lý Steiner
Nhà toán học nổi tiếng người Thụy Sĩ, Jakob Steiner, đã chứng minh định lý về các trục song song và mômen quán tính, định lý ngày nay mang tên ông. Định lý này phát biểu rằng mômen quán tính của một vật rắn có hình học tùy ý đối với một trục quay nào đó bằng tổng mômen quán tính đối với trục cắt khối tâm của vật đó và song song với trục thứ nhất. và tích của khối lượng vật thể với bình phương khoảng cách giữa các trục này. Về mặt toán học, công thức này được viết như sau:
I Z và I O là mômen quán tính đối với trục Z và trục O song song với nó đi qua khối tâm của vật, l là khoảng cách giữa hai đường thẳng Z và O.
Định lý cho phép, khi biết giá trị của I O, tính được bất kỳ mômen I Z nào khác so với trục song song với O.
Chứng minh định lý
Bạn có thể dễ dàng tự mình tìm ra công thức của định lý Steiner. Để làm điều này, hãy xem xét một vật thể tùy ý trên mặt phẳng xy. Để gốc tọa độ đi qua khối tâm của vật này. Hãy tính mômen quán tính IO đi qua gốc tọa độ vuông góc với mặt phẳng xy. Vì khoảng cách đến một điểm bất kỳ trên vật thể được biểu thị bằng công thức r = √ (x 2 + y 2), nên ta thu được tích phân:
I O = ∫ m (r 2 *dm) = ∫ m ((x 2 +y 2) *dm)
Bây giờ chúng ta di chuyển trục song song với trục x một khoảng l, chẳng hạn theo chiều dương, khi đó phép tính mômen quán tính cho trục mới sẽ như sau:
I Z = ∫ m (((x+l) 2 +y 2)*dm)
Hãy mở hình vuông hoàn chỉnh trong ngoặc và chia các số nguyên, chúng ta nhận được:
I Z = ∫ m ((x 2 +l 2 +2*x*l+y 2)*dm) = ∫ m ((x 2 +y 2)*dm) + 2*l*∫ m (x*dm) + l 2 *∫ m dm
Số hạng đầu tiên trong số này là giá trị của I O, số hạng thứ ba, sau khi lấy tích phân, cho số hạng l 2 *m, nhưng số hạng thứ hai bằng 0. Điểm 0 của tích phân này là do nó được lấy từ tích của x và các phần tử khối lượng dm, trung bình cho kết quả bằng 0, vì khối tâm nằm ở gốc tọa độ. Kết quả là thu được công thức của định lý Steiner.
Trường hợp đang xét trên một mặt phẳng có thể được khái quát hóa thành một vật thể tích.
Kiểm tra công thức Steiner bằng ví dụ về một cây gậy
Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ đơn giản để chứng minh cách sử dụng định lý được xem xét.
Biết rằng đối với một thanh có chiều dài L, khối lượng m thì mômen quán tính IO (trục đi qua khối tâm) bằng m*L 2/12, mô men quán tính I Z (trục đi qua điểm cuối của thanh) bằng m*L 2/3. Hãy kiểm tra những dữ liệu này bằng định lý Steiner. Vì khoảng cách giữa hai trục là L/2 nên ta có mômen I Z:
I Z = I O + m*(L/2) 2 = m*L 2 /12 + m*L 2 /4 = 4*m*L 2 /12 = m*L 2 /3
Nghĩa là, chúng tôi đã kiểm tra công thức Steiner và thu được cùng một giá trị cho I Z như trong nguồn.
Các tính toán tương tự có thể được thực hiện cho các vật thể khác (hình trụ, quả bóng, đĩa), trong khi thu được mômen quán tính cần thiết và không cần thực hiện tích phân.
Momen quán tính và các trục vuông góc
Định lý thảo luận về các trục song song. Để hoàn thiện thông tin, việc trình bày định lý về trục vuông góc cũng rất hữu ích. Nó được phát biểu như sau: đối với một vật phẳng có hình dạng tùy ý thì mômen quán tính đối với trục vuông góc với nó sẽ bằng tổng hai mô men quán tính đối với hai trục vuông góc với nhau nằm trong mặt phẳng của vật, trong khi tất cả ba trục phải đi qua một điểm. Về mặt toán học nó được viết như thế này:
Ở đây z, x, y là ba trục quay vuông góc với nhau.
Sự khác biệt đáng kể giữa định lý này và định lý Steiner là nó chỉ áp dụng cho vật rắn phẳng (hai chiều). Tuy nhiên, trong thực tế, nó được sử dụng khá rộng rãi, cắt cơ thể thành các lớp riêng biệt, sau đó cộng các mômen quán tính thu được.