TRONG khóa học trong hình học, trong số các nhiệm vụ chính, người ta đặc biệt chú ý đến các ví dụ tính diện tích và chu vi của hình thoi. Hãy nhớ rằng hình thoi thuộc về lớp riêng biệt hình tứ giác và nổi bật giữa chúng bởi các cạnh bằng nhau. Hình thoi cũng là trường hợp đặc biệt của hình bình hành nếu hình bình hành có tất cả các cạnh bằng AB=BC=CD=AD. Dưới đây là hình ảnh cho thấy một hình thoi.
Tính chất của hình thoi
Vì hình thoi chiếm một phần của hình bình hành nên các tính chất của chúng sẽ giống nhau.
- Các góc đối diện của hình thoi, giống như hình bình hành, bằng nhau.
- Tổng các góc của hình thoi kề với một cạnh là 180°.
- Các đường chéo của hình thoi cắt nhau một góc 90 độ.
- Các đường chéo của hình thoi cũng là phân giác của các góc của nó.
- Các đường chéo của hình thoi được chia làm đôi tại giao điểm.
Dấu hiệu của một viên kim cương
Tất cả các đặc điểm của hình thoi đều xuất phát từ các đặc tính của nó và giúp phân biệt nó giữa các hình tứ giác, hình chữ nhật và hình bình hành.
- Hình bình hành có các đường chéo cắt nhau vuông góc là hình thoi.
- Hình bình hành có các đường chéo là đường phân giác là hình thoi.
- Hình bình hành có các cạnh bằng nhau là hình thoi.
- Tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau là hình thoi.
- Tứ giác có các đường chéo là đường phân giác của các góc và cắt nhau ở các góc vuông là hình thoi.
- Hình bình hành có cùng chiều cao là hình thoi.
Công thức tính chu vi hình thoi
Chu vi theo định nghĩa bằng tổng mọi phía. Vì tất cả các cạnh của hình thoi đều bằng nhau nên chúng ta tính chu vi của nó bằng công thức
Chu vi được tính theo đơn vị chiều dài.
Bán kính của hình tròn nội tiếp trong hình thoi
Một trong những vấn đề thường gặp khi nghiên cứu hình thoi là tìm bán kính hoặc đường kính của đường tròn nội tiếp. Hình dưới đây thể hiện một số công thức phổ biến nhất tính bán kính của đường tròn nội tiếp trong hình thoi.
Công thức đầu tiên cho thấy bán kính của hình tròn nội tiếp hình thoi tương đương với sản phẩmđường chéo chia cho tổng các cạnh (4a).
Một công thức khác cho thấy bán kính của hình tròn nội tiếp hình thoi bằng một nửa chiều cao hình thoi
Công thức thứ hai trong hình là một sửa đổi của công thức thứ nhất và được sử dụng khi tính bán kính của hình tròn nội tiếp hình thoi khi biết các đường chéo của hình thoi, tức là các cạnh chưa biết.
Công thức thứ ba tính bán kính của một đường tròn nội tiếp thực sự tìm thấy một nửa chiều cao của hình tam giác nhỏ được hình thành bởi giao điểm của các đường chéo.
Trong số các công thức tính bán kính của hình tròn nội tiếp hình thoi ít phổ biến hơn, bạn cũng có thể đưa ra công thức sau:
ở đây D là đường chéo của hình thoi, alpha là góc cắt đường chéo.
Nếu biết diện tích (S) của hình thoi và độ lớn góc nhọn(alpha) thì để tính bán kính đường tròn nội tiếp bạn cần tìm căn bậc hai từ một phần tư tích của diện tích và sin của một góc nhọn: 
Từ các công thức trên, bạn có thể dễ dàng tìm thấy bán kính của hình tròn nội tiếp hình thoi nếu các điều kiện trong ví dụ chứa tập hợp dữ liệu cần thiết.
Công thức tính diện tích hình thoi
Công thức tính diện tích được thể hiện trong hình.
Đơn giản nhất được tính bằng tổng diện tích của hai hình tam giác mà hình thoi được chia cho đường chéo của nó.
Công thức diện tích thứ hai áp dụng cho các bài toán trong đó các đường chéo của hình thoi đã biết. Khi đó diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo
Nó đủ đơn giản để nhớ và cũng dễ tính toán.
Công thức diện tích thứ ba có ý nghĩa khi biết góc giữa các cạnh. Theo đó, diện tích của hình thoi bằng tích của bình phương cạnh và sin của góc. Cho dù nó có cấp tính hay không thì cũng không thành vấn đề vì sin của cả hai góc đều có cùng giá trị.
Toán học - môn học, được mọi người nghiên cứu, bất kể hồ sơ lớp học. Tuy nhiên, cô ấy không phải là người được mọi người yêu thích. Đôi khi không đáng có. Khoa học này liên tục đưa ra cho học sinh những thử thách giúp trí não của các em phát triển. Toán học có tác dụng rất lớn trong việc duy trì kỹ năng tư duy của trẻ. Một trong những phần của nó đặc biệt phù hợp với điều này - hình học.
Bất kỳ chủ đề nào được nghiên cứu trong đó đều đáng được quan tâm và tôn trọng. Hình học là một phương pháp phát triển trí tưởng tượng không gian. Một ví dụ là chủ đề về diện tích các hình, đặc biệt là hình thoi. Những câu đố này có thể dẫn đến ngõ cụt nếu bạn không hiểu chi tiết. Bởi vì chúng có thể cách tiếp cận khác nhauđể tìm câu trả lời. Một số người thấy dễ nhớ hơn tùy chọn khác nhau các công thức được viết dưới đây và ai đó có thể tự lấy chúng từ tài liệu đã học trước đó. Dù sao tình huống vô vọng không xảy ra. Nếu bạn suy nghĩ một chút, chắc chắn bạn sẽ tìm ra giải pháp.
Cần phải trả lời câu hỏi này để hiểu được nguyên tắc rút ra công thức và cách suy luận trong các bài toán. Rốt cuộc, để hiểu cách tìm diện tích của hình thoi, bạn cần hiểu rõ nó là loại hình gì và tính chất của nó là gì.
Để thuận tiện, hãy xem xét một hình bình hành, là một tứ giác có các cặp các cạnh song song, hãy coi nó là "cha mẹ". Anh ta có hai “đứa con”: một hình chữ nhật và một hình thoi. Cả hai đều là hình bình hành. Nếu chúng ta tiếp tục song song thì đây là “họ”. Điều này có nghĩa là để tìm diện tích hình thoi, bạn có thể sử dụng công thức đã được nghiên cứu cho hình bình hành.
Nhưng, giống như mọi đứa trẻ, hình thoi cũng có cái gì đó riêng của nó. Điều này làm cho nó hơi khác so với "hình gốc" và cho phép nó được xem như một hình riêng biệt. Xét cho cùng, hình chữ nhật không phải là hình thoi. Trở lại song song - họ giống như anh chị em. Họ có nhiều điểm chung, nhưng họ vẫn khác nhau. Những khác biệt này là tính chất đặc biệt của chúng cần được sử dụng. Sẽ thật lạ lùng nếu biết về chúng mà không áp dụng chúng vào việc giải quyết vấn đề.
Nếu chúng ta tiếp tục phép tương tự và nhớ lại một hình khác - hình vuông, thì nó sẽ là phần tiếp theo của hình thoi và hình chữ nhật. Con số này kết hợp tất cả các thuộc tính của cả hai.
Tính chất của hình thoi
Có năm trong số họ và chúng được liệt kê dưới đây. Hơn nữa, một số trong số chúng lặp lại các tính chất của hình bình hành, trong khi một số chỉ có trong hình được đề cập.
- Hình thoi là một hình bình hành có hình thức đặc biệt. Từ đó suy ra rằng các cạnh của nó song song và bằng nhau. Hơn nữa, chúng không bằng nhau theo cặp, nhưng chỉ vậy thôi. Như nó sẽ dành cho một hình vuông.
- Các đường chéo của tứ giác này cắt nhau một góc 90°. Điều này thuận tiện và đơn giản hóa rất nhiều luồng lý luận khi giải quyết vấn đề.
- Một tính chất khác của các đường chéo: mỗi đường chéo được chia tại điểm giao nhau thành các đoạn bằng nhau.
- Các góc của hình này nằm đối diện nhau thì bằng nhau.
- Và tính chất cuối cùng: các đường chéo của hình thoi trùng với các đường phân giác của các góc.
Các ký hiệu được áp dụng trong các công thức được xem xét
Trong toán học, bạn phải giải các bài toán bằng cách sử dụng các phương pháp tổng quát biểu thức nghĩa đen, được gọi là công thức. Chủ đề về hình vuông cũng không ngoại lệ.
Để chuyển sang các ghi chú sẽ cho bạn biết cách tìm diện tích hình thoi, bạn cần thống nhất các chữ cái thay thế tất cả giá trị số các phần tử của hình.
Bây giờ là lúc viết công thức.
Dữ liệu bài toán chỉ bao gồm các đường chéo của hình thoi
Quy tắc nêu rõ rằng để tìm một đại lượng chưa biết, bạn cần nhân độ dài các đường chéo rồi chia kết quả làm đôi. Kết quả của phép chia là diện tích hình thoi qua các đường chéo.
Công thức cho trường hợp này sẽ như sau:
Hãy để công thức này là số 1.
Bài toán cho cạnh của hình thoi và chiều cao của nó
Để tính diện tích, bạn sẽ cần tìm tích của hai đại lượng này. Có lẽ đây là điều nhất công thức đơn giản. Hơn nữa, người ta còn biết đến chủ đề về diện tích hình bình hành. Một công thức như vậy đã được nghiên cứu ở đó.
Ký hiệu toán học:
Số của công thức này là 2.
Cạnh đã biết và góc nhọn
Trong trường hợp này, bạn cần bình phương kích thước của cạnh hình thoi. Sau đó tìm sin của góc. Và với hành động thứ ba, hãy tính tích của hai đại lượng thu được. Đáp án sẽ là diện tích hình thoi.
Biểu thức nghĩa đen:
Của anh ấy số seri — 3.
Cho trước các đại lượng: bán kính đường tròn nội tiếp và góc nhọn
Để tính diện tích hình thoi, bạn cần tìm bình phương của bán kính và nhân với 4. Xác định giá trị sin của góc. Sau đó chia sản phẩm cho số lượng thứ hai.
Công thức có dạng sau:
Nó sẽ được đánh số 4.
Bài toán liên quan đến cạnh và bán kính của một đường tròn nội tiếp
Để xác định cách tìm diện tích hình thoi, bạn sẽ cần tính tích của các đại lượng này và số 2.
Công thức cho vấn đề này sẽ như sau:
Số sê-ri của nó là 5.
Ví dụ về các nhiệm vụ có thể
Vấn đề 1
Một trong các đường chéo của hình thoi là 8 cm, và đường chéo kia là 14 cm. Bạn cần tìm diện tích của hình và chiều dài cạnh của nó.
Giải pháp
Để tìm đại lượng đầu tiên, bạn sẽ cần công thức 1, trong đó D 1 = 8, D 2 = 14. Khi đó diện tích được tính như sau: (8 * 14) / 2 = 56 (cm 2).
Các đường chéo chia hình thoi thành 4 hình tam giác. Mỗi người trong số họ chắc chắn sẽ có hình chữ nhật. Điều này phải được sử dụng để xác định giá trị của ẩn số thứ hai. Cạnh của hình thoi sẽ trở thành cạnh huyền của tam giác và hai chân sẽ là một nửa đường chéo.
Khi đó a 2 = (D 1/2) 2 + (D 2/2) 2. Sau khi thay thế tất cả các giá trị, chúng ta nhận được: a 2 = (8/2) 2 + (14/2) 2 = 16 + 49 = 65. Nhưng đây là bình phương của một cạnh. Điều này có nghĩa là chúng ta cần lấy căn bậc hai của 65. Khi đó chiều dài cạnh sẽ xấp xỉ 8,06 cm.
Trả lời: diện tích là 56 cm2 và cạnh là 8,06 cm.
Vấn đề 2
Cạnh của hình thoi có giá trị bằng 5,5 dm và chiều cao của nó là 3,5 dm. Tìm diện tích của hình.
Giải pháp
Để tìm được đáp án, bạn sẽ cần đến công thức 2. Trong đó a = 5,5, H = 3,5. Sau đó, thay thế các chữ cái trong công thức bằng số, chúng ta thấy giá trị mong muốn là 5,5 * 3,5 = 19,25 (dm 2).
Trả lời: Diện tích hình thoi là 19,25 dm2.
Vấn đề 3
Góc nhọn của một hình thoi nhất định là 60° và đường chéo nhỏ hơn của nó là 12 cm. Bạn cần tính diện tích của nó.
Giải pháp
Để có được kết quả, bạn sẽ cần công thức số 3. Trong đó, thay vì MỘT sẽ là 60 và giá trị MỘT không rõ.
Để tìm cạnh của hình thoi, bạn cần nhớ định lý về sin. Trong một tam giác vuông MỘT sẽ là cạnh huyền, cạnh ngắn bằng một nửa đường chéo và góc được chia làm đôi (được biết từ tính chất mà đường phân giác được đề cập).
Sau đó bên cạnh MỘT sẽ bằng tích của chân và sin của góc.
Chân cần được tính là D/2 = 12/2 = 6 (cm). Sin (A/2) sẽ bằng giá trị của nó đối với góc 30°, tức là 1/2.
Sau khi thực hiện các phép tính đơn giản, chúng ta thu được giá trị sau của cạnh hình thoi: a = 3 (cm).
Bây giờ diện tích là tích của 3 2 và sin của 60°, nghĩa là, 9 * (√3)/2 = (9√3)/2 (cm 2).
Trả lời: giá trị cần tìm là (9√3)/2 cm 2.
Kết quả: mọi thứ đều có thể
Ở đây chúng ta đã xem xét một số lựa chọn về cách tìm diện tích hình thoi. Nếu bài toán không rõ nên sử dụng công thức nào thì bạn cần suy nghĩ một chút và cố gắng kết nối các chủ đề đã nghiên cứu trước đó. Chắc chắn sẽ có gợi ý ở các chủ đề khác giúp bạn kết nối số lượng đã biết với những gì có trong công thức. Và vấn đề sẽ được giải quyết. Điều quan trọng cần nhớ là mọi thứ đã học trước đây đều có thể và nên được sử dụng.
Ngoài những nhiệm vụ đã đề ra, còn có thể vấn đề nghịch đảo, khi bạn cần tính giá trị của bất kỳ phần tử nào của hình thoi từ diện tích của hình. Sau đó, bạn cần sử dụng phương trình gần nhất với điều kiện. Sau đó biến đổi công thức, để lại một đại lượng chưa biết ở vế trái của đẳng thức.
Mặc dù toán học là nữ hoàng của các môn khoa học và số học là nữ hoàng của toán học nhưng hình học lại là môn học khó học nhất đối với học sinh. Phép đo phẳng là một nhánh của hình học nghiên cứu hình phẳng. Một trong những hình dạng này là hình thoi. Hầu hết các vấn đề khi giải tứ giác đều liên quan đến việc tìm diện tích của chúng. Hãy hệ thống hóa công thức nổi tiếng Và nhiều cách khác nhau tính diện tích của hình thoi.
Hình thoi là hình bình hành có tất cả bốn cạnh bằng nhau. Nhắc lại rằng hình bình hành có bốn góc và bốn cặp đường thẳng song song các cạnh bằng nhau. Giống như bất kỳ tứ giác nào, hình thoi có một số tính chất như sau: khi các đường chéo cắt nhau, chúng tạo thành một góc bằng 90 độ (AC ⊥ BD), giao điểm chia mỗi đường thành hai bằng với đoạn. Các đường chéo của hình thoi cũng là phân giác của các góc của nó (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, v.v.). Theo đó họ chia hình thoi thành bốn phần bằng nhau tam giác vuông. Tổng độ dài của các đường chéo lũy thừa bậc hai bằng chiều dài cạnh lũy thừa bậc hai nhân với 4, tức là BD2 + AC2 = 4AB 2. Có nhiều phương pháp được sử dụng trong phép đo phẳng để tính diện tích hình thoi, việc áp dụng phương pháp này phụ thuộc vào dữ liệu nguồn. Nếu biết chiều dài cạnh và góc bất kỳ, bạn có thể sử dụng công thức sau : Diện tích hình thoi bằng bình phương cạnh nhân với sin của góc. Từ khóa học lượng giác, chúng ta biết rằng sin (π – α) = sin α, có nghĩa là trong tính toán, bạn có thể sử dụng sin của bất kỳ góc nào - cả góc nhọn và góc tù. Trường hợp đặc biệt là hình thoi, trong đó mọi góc đều vuông. Đây là một hình vuông. Được biết, sin góc vuông bằng một
Như bạn có thể thấy, có nhiều cách để tìm diện tích hình thoi. Tất nhiên, để ghi nhớ từng điều đó sẽ đòi hỏi sự kiên nhẫn, sự chú ý và tất nhiên là cả thời gian. Nhưng trong tương lai, bạn có thể dễ dàng lựa chọn phương pháp phù hợp với nhiệm vụ của mình và bạn sẽ thấy rằng hình học không hề khó.
Hình thoi là trường hợp đặc biệt hình bình hành. Đó là một căn hộ hình tứ giác, trong đó tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tài sản này xác định rằng hình thoi là song song các mặt đối diện và các góc đối diện bằng nhau. Các đường chéo của hình thoi cắt nhau ở các góc vuông, điểm giao nhau của chúng nằm ở giữa mỗi đường chéo và các góc mà chúng xuất hiện được chia làm đôi. Nghĩa là các đường chéo của hình thoi là phân giác của các góc. Dựa vào các định nghĩa trên và tài sản được liệt kêĐối với hình thoi, diện tích của chúng có thể được xác định theo nhiều cách khác nhau.
1. Nếu biết cả hai đường chéo của hình thoi AC và BD thì diện tích của hình thoi có thể được xác định bằng một nửa tích của các đường chéo.
S = ½ ∙ A.C. ∙ BD
trong đó AC, BD là độ dài các đường chéo của hình thoi.
Để hiểu lý do tại sao lại như vậy, bạn có thể tưởng tượng ghép một hình chữ nhật thành một hình thoi sao cho các cạnh của hình chữ nhật vuông góc với các đường chéo của hình thoi. Rõ ràng là diện tích của hình thoi sẽ bằng một nửa diện tích của hình chữ nhật được ghi theo cách này vào hình thoi, chiều dài và chiều rộng của nó sẽ tương ứng với kích thước các đường chéo của hình thoi.
2. Bằng cách tương tự với một hình bình hành, diện tích của hình thoi có thể được tính bằng tích của cạnh của nó và chiều cao của đường vuông góc từ cạnh đối diện hạ xuống một cạnh cho trước.
S = một ∙ h
trong đó a là cạnh của hình thoi;
h là chiều cao của đường vuông góc hạ xuống một cạnh cho trước.
3. Diện tích của hình thoi cũng bằng bình phương cạnh của nó nhân với sin của góc α.
S = a 2 ∙ tội lỗi α
trong đó a là cạnh của hình thoi;
α là góc giữa hai cạnh.
4. Ngoài ra, diện tích của một hình thoi có thể được tính qua cạnh của nó và bán kính của hình tròn nội tiếp trong đó.
S=2 ∙ Một ∙ r
trong đó a là cạnh của hình thoi;
r là bán kính của đường tròn nội tiếp hình thoi.
Từ hình thoi xuất phát từ tiếng Hy Lạp cổ rombus, có nghĩa là “tambourine”. Vào thời đó, tambourines thực sự có hình dạng kim cương chứ không phải hình tròn như chúng ta thường thấy bây giờ. Cũng từ đó, tên của bộ bài “kim cương” ra đời. Kim cương rất rộng nhiều loạiđược sử dụng trong huy hiệu.
Hình thoi (từ tiếng Hy Lạp cổ ῥόμβος và từ tiếng Latin rombus “tambourine”) là một hình bình hành, được đặc trưng bởi sự hiện diện của các cạnh có độ dài bằng nhau. Khi các góc bằng 90 độ (hoặc góc vuông), hình hình học như vậy được gọi là hình vuông. Kim cương - hình hình học, một loại hình tứ giác. Nó có thể là hình vuông và hình bình hành.
Nguồn gốc của thuật ngữ này
Chúng ta hãy nói một chút về lịch sử của nhân vật này, điều này sẽ giúp chúng ta tiết lộ một chút bí mật bí ẩn thế giới cổ đại. Một từ quen thuộc với chúng ta, thường thấy trong văn học học đường, “hình thoi,” bắt nguồn từ từ “tambourine” trong tiếng Hy Lạp cổ đại. TRONG Hy Lạp cổ đại những cái này nhạc cụđược sản xuất theo hình kim cương hoặc hình vuông (không giống như các thiết bị hiện đại). Chắc chắn bạn đã nhận thấy rằng bộ bài - kim cương - có hình thoi. Sự hình thành của bộ đồ này bắt nguồn từ thời mà những viên kim cương tròn chưa được sử dụng trong cuộc sống hàng ngày. Vì vậy hình thoi là hình thoi lâu đời nhất nhân vật lịch sử, được nhân loại phát minh ra từ rất lâu trước khi bánh xe ra đời.
Lần đầu tiên một từ như "hình thoi" được sử dụng như vậy nhân vật nổi tiếng, giống như Heron và Giáo hoàng của Alexandria.
Tính chất của hình thoi
- Vì các cạnh của hình thoi đối diện nhau và song song thành từng cặp nên hình thoi chắc chắn là hình bình hành (AB || CD, AD || BC).
- Các đường chéo hình thoi cắt nhau ở các góc vuông (AC ⊥ BD) và do đó vuông góc. Do đó, giao điểm chia đôi các đường chéo.
- Các đường phân giác của các góc hình thoi là các đường chéo của hình thoi (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, v.v.).
- Từ sự đồng nhất của các hình bình hành, suy ra rằng tổng các bình phương của các đường chéo của hình thoi là số bình phương của cạnh, nhân với 4.
Dấu hiệu của một viên kim cương
Hình thoi là hình bình hành khi thoả mãn các điều kiện sau:
- Tất cả các cạnh của hình bình hành đều bằng nhau.
- Các đường chéo của hình thoi cắt nhau một góc vuông, nghĩa là chúng vuông góc với nhau (AC⊥BD). Điều này chứng tỏ quy luật ba cạnh (các cạnh bằng nhau và vuông góc 90 độ).
- Các đường chéo của hình bình hành chia các góc bằng nhau vì các cạnh bằng nhau.
Diện tích hình thoi
- Diện tích của hình thoi bằng số bằng một nửa tích của tất cả các đường chéo của nó.
- Vì hình thoi là một loại hình bình hành nên diện tích của hình thoi (S) là tích của cạnh hình bình hành và chiều cao của nó (h).
- Ngoài ra, diện tích của hình thoi có thể được tính bằng công thức là tích của bình phương cạnh hình thoi và sin của góc. Sin của góc là alpha - góc nằm giữa hai cạnh của hình thoi ban đầu.
- Khá chấp nhận được đối với quyết định đúng đắn công thức được coi là tích của hai lần góc alpha và bán kính của đường tròn nội tiếp (r).