Các mảnh được cho chức năng là gì. Hàm từng phần

Cơ sở giáo dục ngân sách thành phố

trung bình trường trung học №13

"Chức năng từng phần"

Sapogova Valentina và

Donskaya Alexandra

Trưởng phòng tư vấn:

Berdsk

1. Xác định mục tiêu, mục tiêu chủ yếu.

2. Bảng câu hỏi.

2.1. Xác định mức độ phù hợp của công việc

2.2. Ý nghĩa thực tiễn.

3. Lịch sử chức năng.

4. Đặc điểm chung.

5. Các phương pháp xác định chức năng.

6. Thuật toán xây dựng.

8. Văn học sử dụng.

1. Xác định mục tiêu, mục tiêu chủ yếu.

Mục tiêu:

Tìm ra cách giải các hàm từng phần và dựa trên đó, tạo ra một thuật toán để xây dựng chúng.

Nhiệm vụ:

Làm quen khái niệm chung về các hàm từng phần;

Tìm hiểu lịch sử của thuật ngữ “chức năng”;

Tiến hành một cuộc khảo sát;

Xác định các cách để xác định các hàm từng phần;

Tạo một thuật toán để xây dựng chúng;

2. Bảng câu hỏi.

Một cuộc khảo sát đã được thực hiện giữa các học sinh trung học về khả năng xây dựng các hàm từng phần. Tổng số người được hỏi là 54 người. Trong đó có 6% hoàn thành công việc một cách hoàn chỉnh. 28% có thể hoàn thành công việc nhưng mắc một số lỗi nhất định. 62% không thể hoàn thành công việc mặc dù họ đã cố gắng một số lần và 4% còn lại không hề bắt đầu công việc.

Từ khảo sát này chúng tôi có thể kết luận rằng học sinh trường chúng tôi theo học chương trình này chưa có nền tảng kiến thức đầy đủ vì tác giả này không chú ý đến đặc biệt chú ý cho những nhiệm vụ thuộc loại này. Chính từ điều này mà sự liên quan và ý nghĩa thực tiễn công việc của chúng tôi.

2.1. Xác định mức độ phù hợp của công việc.

Mức độ liên quan:

Các chức năng từng phần được tìm thấy cả trong GIA và trong Kỳ thi Thống nhất; các nhiệm vụ có chứa các chức năng thuộc loại này được ghi từ 2 điểm trở lên. Và do đó, đánh giá của bạn có thể phụ thuộc vào quyết định của họ.

2.2. Ý nghĩa thực tiễn.

Kết quả công việc của chúng tôi sẽ là một thuật toán để giải các hàm từng phần, điều này sẽ giúp hiểu được cách xây dựng của chúng. Và nó sẽ tăng cơ hội đạt được điểm bạn mong muốn trong kỳ thi.

3. Lịch sử chức năng.

“Đại số lớp 9”, v.v.;

Tính liên tục và đồ thị của các hàm xác định từng phần – chủ đề phức tạp. Tốt hơn là bạn nên học cách xây dựng đồ thị trực tiếp trong bài học thực tế. Đây chủ yếu là một nghiên cứu liên tục.

Người ta biết rằng hàm cơ bản(xem trang 16) là liên tục tại mọi điểm mà nó được xác định. Vì vậy, sự gián đoạn trong hàm cơ bản chỉ có thể xảy ra ở hai loại điểm:

a) tại các điểm mà chức năng được “xác định lại”;

b) tại các điểm mà hàm số không tồn tại.

Theo đó, chỉ những điểm như vậy mới được kiểm tra tính liên tục trong quá trình nghiên cứu, như được trình bày trong các ví dụ.

Đối với các chức năng không cơ bản, việc nghiên cứu phức tạp hơn. Ví dụ: một hàm (phần nguyên của một số) được xác định trên toàn bộ dòng số, nhưng bị ngắt ở mỗi số nguyên x. Những câu hỏi như vậy nằm ngoài phạm vi của sách hướng dẫn.

Trước khi nghiên cứu tài liệu, bạn nên nhắc lại trong bài giảng hoặc sách giáo khoa những điểm ngắt (loại nào).

Nghiên cứu các hàm xác định từng phần cho tính liên tục

Bộ chức năng từng phần nếu cô ấy ở trên khu vực khác nhau miền định nghĩa đã cho công thức khác nhau.

Ý tưởng chính khi kiểm tra các hàm như vậy là tìm hiểu xem hàm có được xác định hay không và bằng cách nào tại các điểm mà tại đó nó được xác định lại. Sau đó nó sẽ kiểm tra xem giá trị hàm ở bên trái và bên phải của các điểm đó có giống nhau hay không.

Ví dụ 1. Hãy chứng tỏ rằng hàm
liên tục.

Chức năng
là cơ bản và do đó liên tục tại những điểm mà nó được xác định. Nhưng rõ ràng là nó được xác định ở mọi điểm. Do đó, nó liên tục tại mọi điểm, kể cả tại
, theo yêu cầu của điều kiện.

Điều này cũng đúng với hàm
, và tại
nó liên tục.

Trong những trường hợp như vậy, tính liên tục chỉ có thể bị phá vỡ khi chức năng bị ghi đè. Trong ví dụ của chúng tôi đây là một điểm
. Hãy kiểm tra xem chúng tôi tìm thấy các giới hạn ở bên trái và bên phải:

Các giới hạn ở bên trái và bên phải là như nhau. Nó vẫn còn phải được nhìn thấy:

a) hàm số có được xác định tại chính điểm đó không?
;

b) nếu có, nó có khớp không
với các giá trị giới hạn ở bên trái và bên phải.

Theo điều kiện, nếu
, Cái đó
. Đó là lý do tại sao
.

Ta thấy rằng (tất cả đều bằng số 2). Điều này có nghĩa là tại thời điểm
chức năng là liên tục. Vì vậy, hàm số liên tục dọc theo toàn bộ trục, kể cả điểm
.

Nhận xét về quyết định

a) Nó không đóng vai trò gì trong việc tính toán, thay thế chúng tôi có một công thức số cụ thể
hoặc
. Điều này thường quan trọng khi chia cho một số vô cùng nhỏ vì nó ảnh hưởng đến dấu vô cực. Ngay tại đây
Và
chỉ chịu trách nhiệm về lựa chọn chức năng;

b) theo quy định, các ký hiệu
Và
bằng nhau, áp dụng tương tự cho các chỉ định
Và
(và có giá trị cho bất kỳ điểm nào, không chỉ cho
). Dưới đây, để cho ngắn gọn, chúng tôi sử dụng ký hiệu có dạng
;

c) khi các giới hạn ở bên trái và bên phải bằng nhau, để kiểm tra tính liên tục, thực tế cần phải xem liệu một trong các bất đẳng thức có đúng hay không không nghiêm ngặt. Trong ví dụ, đây hóa ra là bất đẳng thức thứ 2.

Ví dụ 2. Chúng tôi kiểm tra chức năng cho liên tục
.

Vì những lý do tương tự như trong ví dụ 1, tính liên tục chỉ có thể bị phá vỡ tại điểm
. Hãy kiểm tra:

Các giới hạn ở bên trái và bên phải đều bằng nhau, nhưng tại chính điểm đó
hàm không được xác định (sự bất đẳng thức rất nghiêm ngặt). Điều này có nghĩa là
- điểm khoảng cách có thể sửa chữa.

“Khoảng trống có thể tháo rời” có nghĩa là chỉ cần làm cho bất kỳ bất đẳng thức nào trở nên không chặt chẽ hoặc phát minh ra một bất đẳng thức cho một điểm riêng biệt là đủ
một hàm có giá trị tại
bằng –5 hoặc đơn giản chỉ ra rằng
sao cho toàn bộ hàm
đã trở nên liên tục.

Trả lời: dấu chấm
- điểm ngắt có thể tháo rời.

Lưu ý 1. Trong tài liệu, khoảng trống có thể tháo rời thường được coi là trường hợp đặc biệt của khoảng trống loại 1, nhưng thường được học sinh hiểu là loại riêng biệt vỡ. Để tránh những khác biệt, chúng tôi sẽ tuân theo quan điểm thứ nhất và đặc biệt quy định khoảng cách “không thể tháo rời” của loại thứ nhất.

Ví dụ 3. Hãy kiểm tra xem hàm số có liên tục không

Tại điểm

Các giới hạn ở bên trái và bên phải là khác nhau:
. Bất kể chức năng được xác định tại
(có) và nếu vậy thì nó bằng bao nhiêu (bằng 2), điểm
–điểm gián đoạn không thể loại bỏ được loại 1.

Tại điểm
đang xảy ra bước nhảy vọt cuối cùng(từ 1 đến 2).

Trả lời: dấu chấm

Lưu ý 2. Thay vì
Và
thường viết
Và
tương ứng.

Khả thi câu hỏi: các chức năng khác nhau như thế nào

Và
,

và cả đồ thị của họ? Chính xác trả lời:

a) Hàm số thứ 2 không được xác định tại điểm
;

b) trên đồ thị của điểm hàm số 1
“bóng mờ”, trên biểu đồ thứ 2 – không phải (“điểm thủng”).

chấm
, nơi đồ thị bị đứt đoạn
, không được tô bóng trong cả hai biểu đồ.

Việc kiểm tra các hàm được định nghĩa khác nhau trên ba các khu vực.

Ví dụ 4. Hàm số có liên tục không?
?

Giống như trong ví dụ 1 – 3, mỗi hàm
,
Và liên tục dọc theo toàn bộ trục số, bao gồm cả vùng mà nó được chỉ định. Sự phá vỡ chỉ có thể xảy ra tại điểm
và/hoặc tại thời điểm
, trong đó hàm bị ghi đè.

Nhiệm vụ được chia thành 2 nhiệm vụ nhỏ: kiểm tra tính liên tục của chức năng

Và
,

và thời kỳ
không quan tâm đến chức năng
, và chỉ
- đối với chức năng
.

Bước 1. Kiểm tra điểm
và chức năng
(chúng tôi không viết chỉ mục):

Các giới hạn là như nhau. Theo điều kiện,
(nếu các giới hạn ở bên trái và bên phải bằng nhau thì trên thực tế hàm số liên tục khi một trong các bất đẳng thức không nghiêm ngặt). Vì vậy, tại thời điểm
chức năng này là liên tục.

Bước thứ 2. Kiểm tra điểm
và chức năng
:

Bởi vì
, điểm
– điểm gián đoạn loại 1 và giá trị
(và liệu nó có tồn tại hay không) không còn đóng vai trò gì nữa.

Trả lời: hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm
, nơi có sự gián đoạn không thể loại bỏ được thuộc loại 1 - bước nhảy từ 6 lên 4.

Ví dụ 5. Tìm điểm dừng chức năng
.

Chúng tôi tiến hành theo sơ đồ tương tự như trong ví dụ 4.

Bước 1. Kiểm tra điểm
:

MỘT)
, vì ở bên trái của
hàm số không đổi và bằng 0;

b) (
- hàm chẵn).

Các giới hạn là như nhau, nhưng khi
hàm này không được xác định bởi điều kiện, và hóa ra là
- điểm ngắt có thể tháo rời.

Bước thứ 2. Kiểm tra điểm
:

MỘT)
;

b)
- Giá trị của hàm không phụ thuộc vào biến.

Giới hạn khác nhau: , điểm
- điểm gián đoạn không thể loại bỏ được loại 1.

Trả lời:
- điểm ngắt có thể tháo rời,
là điểm gián đoạn không thể loại bỏ được loại 1; tại các điểm khác hàm số là liên tục.

Ví dụ 6. Hàm số có liên tục không?
?

Chức năng
xác định tại
, vậy điều kiện
biến thành một điều kiện
.

Mặt khác, chức năng
xác định tại
, tức là Tại
. Vậy điều kiện
biến thành một điều kiện
.

Hóa ra điều kiện phải được đáp ứng
và miền định nghĩa của toàn bộ hàm là một đoạn
.

Bản thân các chức năng
Và
là cơ bản và do đó liên tục tại mọi điểm mà chúng được xác định - cụ thể, và tại
.

Vẫn còn phải kiểm tra xem điều gì xảy ra tại thời điểm đó
:

MỘT)
;

Bởi vì
, hãy xem hàm có được xác định tại điểm không
. Đúng, bất đẳng thức thứ nhất tương đối yếu
, và thế là đủ.

Trả lời: hàm được xác định trên khoảng
và liên tục trên đó.

Các trường hợp phức tạp hơn, khi một trong các chức năng thành phần không phải là cơ bản hoặc không được xác định tại bất kỳ điểm nào trong phân đoạn của nó, nằm ngoài phạm vi của sổ tay.

NF1. Xây dựng đồ thị hàm số. Lưu ý xem hàm có được xác định tại thời điểm nó được xác định lại hay không và nếu có thì giá trị của hàm là bao nhiêu (từ " Nếu như" được bỏ qua trong định nghĩa hàm cho ngắn gọn):

1) một)
b)
V)
G)

2) a)
b)
V)
G)

3) a)
b)
V)
G)

4) a)
b)
V)
G)

Ví dụ 7. Cho phép
. Sau đó tại địa điểm
xây dựng một đường ngang
, và trên trang web
xây dựng một đường ngang
. Trong trường hợp này, điểm có tọa độ
"đâm thủng" và thời kỳ
"sơn đè lên". Tại điểm
thu được sự gián đoạn thuộc loại thứ nhất (“nhảy”), và
.

NF2. Kiểm tra tính liên tục của các hàm được xác định khác nhau trên 3 khoảng. Xây dựng đồ thị:

1) một)
b)
V)

G)
d)
đ)

2) a)
b)
V)

G)
d)
đ)

3) a)
b)
V)

G)
d)
đ)

Ví dụ 8. Cho phép
. Trên trang web
xây dựng một đường thẳng
, tại sao chúng tôi tìm thấy
Và
. Kết nối các dấu chấm
Và
phân khúc. Chúng tôi không bao gồm các điểm, bởi vì khi
Và
chức năng không được xác định bởi điều kiện.

Trên trang web
Và
khoanh tròn trục OX (trên đó
), tuy nhiên các điểm
Và
"bị khoét ra." Tại điểm
chúng tôi có được một khoảng cách có thể tháo rời và tại thời điểm
– sự gián đoạn loại 1 (“nhảy”).

NF3. Vẽ đồ thị các hàm số và đảm bảo chúng liên tục:

1) một)
b)
V)

G)
d)
đ)

2) a)
b)
V)

G)
d)
đ)

NF4.Đảm bảo các hàm số liên tục và vẽ đồ thị cho chúng:

1) một)
b)
V)

2 a)
b)
V)

3) a)
b)
V)

NF5. Xây dựng đồ thị hàm số. Lưu ý tính liên tục:

1) một)
b)
V)

G)
d)
đ)

2) a)
b)
V)

G)
d)
đ)

3) a)
b)
V)

G)
d)
đ)

4) a)
b)
V)

G)
d)
đ)

5) a)
b)
V)

G)
d)
đ)

NF6. Xây dựng đồ thị của hàm số không liên tục. Lưu ý giá trị hàm tại thời điểm hàm bị ghi đè (và liệu nó có tồn tại hay không):

1) một)
b)
V)

G)
d)
đ)

2) a)
b)
V)

G)
d)
đ)

3) a)
b)
V)

G)
d)
đ)

4) a)
b)
V)

G)
d)
đ)

5) a)
b)
V)

G)
d)
đ)

NF7. Nhiệm vụ tương tự như trong NF6:

1) một)
b)
V)

G)
d)
đ)

2) a)
b)
V)

G)
d)
đ)

3) a)
b)
V)

G)
d)
đ)

4) a)
b)
V)

G)
d)
đ)

Biểu đồ được đưa ra từng phần chức năng

Murzalieva T.A. giáo viên nhà toán học MBOU"Trường trung học Bor" quận Boksitogorsky Vùng Leningrad

Mục tiêu:

nắm vững phương pháp spline tuyến tính để xây dựng đồ thị chứa mô-đun;
học cách áp dụng nó trong những tình huống đơn giản.

Dưới đường dẫn(từ tiếng Anh spline - plank, ray) thường được hiểu là hàm số cho trước từng phần.

Những hàm số như vậy đã được các nhà toán học biết đến từ lâu, bắt đầu từ Euler (1707-1783, Thụy Sĩ, Đức và nhà toán học Nga), nhưng của họ nghiên cứu chuyên sâu trên thực tế chỉ bắt đầu vào giữa thế kỷ 20.

Năm 1946, Isaac Schoenberg (1903-1990, nhà toán học người Romania và Mỹ) lần đầu tiên sử dụng thuật ngữ này. Từ năm 1960 với sự phát triển công nghệ máy tính bắt đầu sử dụng splines trong đồ họa máy tính và làm người mẫu.

1. Giới thiệu

2. Định nghĩa đường spline tuyến tính

3. Định nghĩa mô-đun

4. Vẽ đồ thị

5. Công việc thực tế

Một trong những mục đích chính của hàm là mô tả quá trình thực tế xảy ra trong tự nhiên.

Nhưng từ lâu, các nhà khoa học - triết gia và nhà khoa học tự nhiên - đã xác định được hai loại quá trình: dần dần ( liên tục ) Và co thắt.

Khi một vật rơi xuống đất, điều đầu tiên xảy ra tăng liên tục tốc độ lái xe và tại thời điểm va chạm với bề mặt trái đất tốc độ thay đổi đột ngột , trở thành bằng 0 hoặc thay đổi hướng (dấu hiệu) khi cơ thể “nảy lên” khỏi mặt đất (ví dụ: nếu cơ thể là một quả bóng).

Nhưng vì có những quá trình không liên tục nên cần có phương tiện mô tả chúng. Với mục đích này, các chức năng được giới thiệu có vỡ .

a - theo công thức y = h(x), và chúng ta sẽ giả sử rằng mỗi hàm g(x) và h(x) được xác định cho tất cả các giá trị của x và không có điểm gián đoạn. Khi đó, nếu g(a) = h(a), thì hàm f(x) có bước nhảy tại x=a; nếu g(a) = h(a) = f(a), thì hàm f “tổ hợp” không có điểm gián đoạn. Nếu cả hai hàm g và h đều cơ bản thì f được gọi là cơ bản từng phần. "chiều rộng="640"

Một cách để giới thiệu sự gián đoạn như vậy là Kế tiếp:

Cho phép chức năng y = f(x)

Tại x được xác định bởi công thức y = g(x),

và khi nào xa - công thức y = h(x), và chúng ta sẽ xem xét rằng mỗi chức năng g(x) Và h(x) được xác định cho tất cả các giá trị của x và không có điểm gián đoạn.

Sau đó , Nếu như g(a) = h(a), thì hàm f(x) có lúc x=a nhảy;

nếu như g(a) = h(a) = f(a), sau đó là chức năng "kết hợp" f không có thời gian nghỉ. Nếu cả hai chức năng g Và h tiểu học, Cái đó f được gọi là từng phần cơ bản.

Biểu đồ hàm liên tục

Vẽ đồ thị hàm số:

Y = |X-1| + 1

X=1 – điểm thay đổi công thức

Từ "mô-đun"đến từ từ Latinh"mô-đun", có nghĩa là "đo lường".

Mô-đun số MỘT gọi điện khoảng cách (trong các phân đoạn đơn) từ gốc đến điểm A ( MỘT) .

Định nghĩa này bộc lộ ý nghĩa hình học mô-đun.

mô-đun (giá trị tuyệt đối ) số thực MỘT cùng một số được gọi MỘT≥ 0, và số đối diện -MỘT, nếu một

0 hoặc x=0 y = -3x -2 tại x "width="640"

Vẽ đồ thị hàm số y = 3|x|-2.

Theo định nghĩa mô đun ta có: 3x – 2 tại x0 hoặc x=0

-3x -2 tại x

xn) "chiều rộng="640"

. Cho x 1 X 2 X N – các điểm thay đổi của công thức trong các hàm cơ bản từng phần.

Hàm f xác định cho mọi x được gọi là tuyến tính từng phần nếu nó tuyến tính trên mỗi khoảng

và bên cạnh đó, điều kiện phối hợp được đáp ứng, tức là tại các điểm thay đổi công thức, hàm không bị đứt.

Hàm tuyến tính từng phần liên tục gọi điện đường trục tuyến tính . Cô ấy lịch trình có đa tuyến với hai vô cực liên kết cực đoan – trái (tương ứng với các giá trị x N ) và phải ( giá trị tương ứng x x N )

Một hàm cơ bản từng phần có thể được xác định bởi nhiều hơn hai công thức

Lịch trình - đường gãy với hai liên kết cực kỳ vô hạn - trái (x1).

Y=|x| - |x – 1|

Điểm thay đổi công thức: x=0 và x=1.

Y(0)=-1, y(1)=1.

Thật thuận tiện khi vẽ đồ thị của hàm tuyến tính từng đoạn, chỉ tay TRÊN mặt phẳng tọa độ các đỉnh của đường đứt nét.

Ngoài việc xây dựng N đỉnh nên xây dựng Cũng hai điểm : một ở bên trái của đỉnh MỘT 1 ( x 1; y ( x 1)), cái còn lại - ở bên phải trên cùng MỘT ( xn ; y ( xn )).

Lưu ý rằng hàm tuyến tính từng phần không liên tục không thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các mô đun nhị thức .

Vẽ đồ thị hàm số y = x+ |x -2| - |X|.

Hàm tuyến tính từng phần liên tục được gọi là đường spline tuyến tính

1.Điểm đổi công thức: X-2=0, X=2 ; X=0

2. Hãy lập một bảng:

bạn( 0 )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2 ;

y( 2 )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0 ;

Tại (-1 )= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1= 1 ;

y( 3 )=3+|3-2| - |3|=3+1-3= 1 .

Xây dựng đồ thị của hàm số y = |x+1| +|x| – |x -2|.

1 .Điểm đổi công thức:

x+1=0, x=-1 ;

x=0 ; x-2=0, x=2.

2 . Hãy lập một bảng:

y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;

y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;

y(0)=1+0-2=-1;

y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;

y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.

|x – 1| = |x + 3|

Giải phương trình:

Giải pháp. Xét hàm y = |x -1| - |x +3|

Hãy xây dựng đồ thị của hàm /sử dụng phương pháp spline tuyến tính/

Điểm thay đổi công thức:

x -1 = 0, x = 1; x + 3 =0, x = - 3.

2. Hãy lập một bảng:

y(- 4) =|- 4–1| - |- 4+3| =|- 5| - | -1| = 5-1=4;

y( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4;

y( 1 )=|1-1| - |1+3| = - 4 ;

y(-1) = 0.

y(2)=|2-1| - |2+3|=1 – 5 = - 4.

Trả lời: -1.

1. Xây dựng đồ thị hàm tuyến tính từng phần bằng phương pháp tuyến tính spline:

y = |x – 3| + |x|;

1). Điểm thay đổi công thức:

2). Hãy lập một bảng:

2. Xây dựng đồ thị hàm số bằng đồ dùng dạy học “Toán học trực tiếp” »

MỘT) y = |2x – 4| + |x +1|

1) Điểm thay đổi công thức:

2) y() =

B) Xây dựng đồ thị hàm số, thiết lập mô hình :

a) y = |x – 4| b) y = |x| +1

y = |x + 3| y = |x| - 3

y = |x – 3| y = |x| - 5

y = |x + 4| y = |x| + 4

Sử dụng các công cụ Point, Line và Arrow trên thanh công cụ.

1. Menu “Biểu đồ”.

2. Tab “Xây dựng biểu đồ”.

.3. Trong cửa sổ “Máy tính”, nhập công thức.

Vẽ đồ thị hàm số:

1) Y = 2x + 4

1. Kozina M.E. Toán học. Lớp 8-9: sưu tầm các khóa học tự chọn. – Volgograd: Giáo viên, 2006.

2. Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova. Đại số: sách giáo khoa. Dành cho lớp 7. giáo dục phổ thông tổ chức / ed. S. A. Telyakovsky. – tái bản lần thứ 17. – M.: Giáo dục, 2011

3. Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova. Đại số: sách giáo khoa. Dành cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / ed. S. A. Telyakovsky. – tái bản lần thứ 17. – M.: Giáo dục, 2011

4. Wikipedia, bách khoa toàn thư miễn phí

http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline

Trở lại Tiến lên

Chú ý! Bản xem trước trang chiếu chỉ nhằm mục đích cung cấp thông tin và có thể không thể hiện tất cả các tính năng của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm công việc này, vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.

Sách giáo khoa:Đại số lớp 8, do A. G. Mordkovich biên soạn.

Loại bài học: Khám phá kiến thức mới.

Mục tiêu:

cho giáo viên mục tiêu được cố định ở từng giai đoạn của bài học;

cho học sinh:

Mục tiêu cá nhân:

Học cách diễn đạt suy nghĩ của bạn một cách rõ ràng, chính xác và thành thạo bằng lời nói và viết, hiểu ý nghĩa của nhiệm vụ;
Học cách áp dụng kiến thức và kỹ năng đã học để giải quyết các vấn đề mới;
Học cách kiểm soát quá trình và kết quả hoạt động của bạn;

Mục tiêu siêu chủ đề:

Trong hoạt động nhận thức:

Phát triển tư duy logic và lời nói, khả năng chứng minh một cách hợp lý các phán đoán của mình và thực hiện các hệ thống hóa đơn giản;
Học cách đưa ra các giả thuyết khi giải quyết vấn đề, hiểu sự cần thiết phải kiểm tra chúng;
Áp dụng kiến thức vào tình huống chuẩn, học cách thực hiện nhiệm vụ một cách độc lập;
Chuyển kiến thức sang một tình huống đã thay đổi, xem nhiệm vụ trong bối cảnh tình huống có vấn đề;

Trong hoạt động thông tin và truyền thông:

Học cách tiến hành đối thoại, thừa nhận quyền có quan điểm khác;

Trong hoạt động phản ánh:

Học cách dự đoán hậu quả có thể xảy ra hành động của bạn;
Học cách loại bỏ nguyên nhân của khó khăn.

Mục tiêu đề tài:

Tìm hiểu hàm từng phần là gì;
Tìm hiểu cách xác định một hàm đã cho theo phương pháp phân tích từ biểu đồ của nó;

Tiến độ bài học

1. Quyền tự quyết hoạt động giáo dục

Mục đích của sân khấu:

đưa học sinh tham gia vào các hoạt động học tập;
xác định nội dung bài: chúng ta tiếp tục nhắc lại chủ đề hàm số.

Tổ chức quá trình giáo dụcở giai đoạn 1:

T: Tiết trước chúng ta đã làm gì?

D: Chúng ta lặp lại chủ đề về hàm số.

U: Hôm nay chúng ta tiếp tục nhắc lại chủ đề của các bài học trước và hôm nay chúng ta phải tìm hiểu xem chúng ta có thể học được những điều gì mới trong chủ đề này.

2. Cập nhật kiến thức và ghi nhận những khó khăn trong hoạt động

Mục đích của sân khấu:

cập nhật nội dung giáo dục, cần và đủ để nhận thức bài mới: nhớ các công thức hàm số, tính chất và phương pháp thi công của chúng;
cập nhật hoạt động tinh thần, cần và đủ để nhận thức nội dung mới: so sánh, phân tích, khái quát hóa;
ghi lại một khó khăn cá nhân trong một hoạt động thể hiện nó một cách cá nhân mức độ đáng kể sự thiếu hụt kiến thức hiện có: xác định một hàm đã cho từng phần một cách phân tích, cũng như xây dựng biểu đồ của nó.

Tổ chức quá trình giáo dục ở giai đoạn 2:

T: Slide trình bày năm hàm số. Xác định loại của họ.

1) phân số hợp lý;

2) bậc hai;

3) vô lý;

4) chức năng với mô-đun;

5) thuốc an thần.

T: Nêu tên các công thức tương ứng.

3) ;

4) ;

U: Chúng ta hãy thảo luận xem mỗi hệ số đóng vai trò gì trong các công thức này?

D: Các biến “l” và “m” có nhiệm vụ dịch chuyển đồ thị của các hàm này lần lượt sang trái - phải và lên - xuống, hệ số “k” ở hàm đầu tiên xác định vị trí các nhánh của hyperbol: k> 0 - các nhánh thuộc quý I và III, k< 0 - во II и IV четвертях, а коэффициент “а” определяет направление ветвей параболы: а>0 - các nhánh hướng lên trên và< 0 - вниз).

2. Trang trình bày 2

U: Xác định bằng phương pháp giải tích các hàm số có đồ thị như hình vẽ. (coi rằng chúng di chuyển y=x2). Giáo viên viết câu trả lời lên bảng.

Đ: 1) );

2);

3. Trang trình bày 3

U: Xác định bằng phương pháp giải tích các hàm số có đồ thị như hình vẽ. (vì họ đang chuyển động). Giáo viên viết câu trả lời lên bảng.

4. Trang trình bày 4

U: Sử dụng các kết quả trước đó, hãy xác định một cách phân tích các hàm số có đồ thị được hiển thị trong các hình.

3. Xác định nguyên nhân khó khăn và đặt mục tiêu cho hoạt động

Mục đích của sân khấu:

tổ chức sự tương tác giao tiếp, trong đó tài sản đặc biệt một nhiệm vụ gây khó khăn cho hoạt động học tập;
thống nhất về mục đích và chủ đề của bài học.

Tổ chức quá trình giáo dục ở giai đoạn 3:

T: Điều gì khiến bạn gặp khó khăn?

D: Các mảnh đồ thị được cung cấp trên màn hình.

T: Mục đích bài học của chúng ta là gì?

D: Học cách xác định các phần chức năng bằng phương pháp phân tích.

T: Xây dựng chủ đề bài học. (Trẻ cố gắng xây dựng chủ đề một cách độc lập. Giáo viên làm rõ. Đề tài: Piecewise hàm đã cho.)

4. Xây dựng phương án thoát khó

Mục đích của sân khấu:

tổ chức tương tác giao tiếp để xây dựng một thế giới mới phương thức hành động, loại bỏ nguyên nhân khó khăn đã xác định;
sửa chữa cách mới hành động.

Tổ chức quá trình giáo dục ở giai đoạn 4:

T: Chúng ta hãy đọc lại bài tập một cách cẩn thận. Những kết quả nào được yêu cầu sử dụng để trợ giúp?

D: Những cái trước đó, tức là những chữ viết trên bảng.

U: Có lẽ những công thức này đã là câu trả lời cho nhiệm vụ này rồi?

Đ: Không, bởi vì những công thức này xác định phương trình bậc hai và hàm hợp lý và trang trình bày hiển thị các phần của họ.

U: Chúng ta hãy thảo luận về những khoảng nào của trục x tương ứng với các phần của hàm số đầu tiên?

U: Thế thì phương pháp phân tích việc gán hàm đầu tiên trông như sau: nếu

T: Cần phải làm gì để hoàn thành nhiệm vụ tương tự?

D: Viết công thức và xác định các khoảng của trục hoành tương ứng với các phần của hàm số này.

5. Củng cố sơ cấp trong lời nói bên ngoài

Mục đích của sân khấu:

ghi lại nội dung giáo dục đã học bằng lời nói bên ngoài.

Tổ chức quá trình giáo dục ở giai đoạn 5:

7. Hòa nhập hệ thống kiến thức và lặp lại

Mục đích của sân khấu:

rèn luyện kỹ năng sử dụng nội dung mới kết hợp với nội dung đã học trước đó.

Tổ chức quá trình giáo dục ở giai đoạn 7:

U: Xác định bằng giải tích hàm số có đồ thị như hình vẽ.

8. Suy ngẫm về các hoạt động trong bài

Mục đích của sân khấu:

ghi lại những nội dung mới đã học trong bài;
đánh giá hoạt động của bản thân trong bài;
cảm ơn các bạn cùng lớp đã giúp đỡ để có được kết quả bài học;
ghi nhận những khó khăn chưa giải quyết được để làm phương hướng cho hoạt động giáo dục sau này;
thảo luận và viết bài tập về nhà.

Tổ chức quá trình giáo dục ở giai đoạn 8:

T: Hôm nay lớp chúng ta học gì?

D: Với hàm số đã cho từng phần.

T: Hôm nay chúng ta học để làm công việc gì?

D: Hỏi loại này có chức năng phân tích.

T: Ai hiểu được chủ đề bài học hôm nay giơ tay nào? (Thảo luận về bất kỳ vấn đề nào nảy sinh với những đứa trẻ khác).

bài tập về nhà

số 21.12(a, c);
số 21.13(a, c);
№22.41;
№22.44.

Các quá trình thực tế xảy ra trong tự nhiên có thể được mô tả bằng các hàm. Vì vậy, chúng ta có thể phân biệt hai loại quy trình chính đối lập nhau - đó là dần dần hoặc liên tục Và co thắt(ví dụ như quả bóng rơi và nảy lên). Nhưng nếu có những quá trình không liên tục thì sẽ có phương tiện đặc biệtđể mô tả chúng. Với mục đích này, các hàm có điểm gián đoạn và bước nhảy được đưa vào, nghĩa là ở các phần khác nhau của trục số, hàm này hoạt động theo các quy luật khác nhau và do đó, được xác định bằng các công thức khác nhau. Các khái niệm về điểm gián đoạn và điểm gián đoạn có thể tháo rời được giới thiệu.

Chắc chắn bạn đã từng gặp các hàm được xác định bởi một số công thức, tùy thuộc vào giá trị của đối số, chẳng hạn:

y = (x – 3, với x > -3;
(-(x – 3), tại x< -3.

Những chức năng như vậy được gọi là từng phần hoặc quy định từng phần. Các phần của trục số với công thức khác nhau nhiệm vụ, hãy gọi chúng là thành phần miền định nghĩa. Sự kết hợp của tất cả các thành phần là miền định nghĩa của hàm từng phần. Những điểm chia miền định nghĩa của hàm thành các thành phần được gọi là điểm ranh giới. Các công thức xác định hàm từng phần trên mỗi thành phần của miền định nghĩa được gọi là chức năng đến. Đồ thị của các hàm đã cho từng phần có được bằng cách kết hợp các phần của đồ thị được xây dựng trên mỗi khoảng phân vùng.

Bài tập.

Xây dựng đồ thị của các hàm từng phần:

1) (-3, với -4 ≤ x< 0,
f(x) = (0, với x = 0,
(1, lúc 0< x ≤ 5.

Đồ thị của hàm số thứ nhất là đường thẳng đi qua điểm y = -3. Nó bắt nguồn từ một điểm có tọa độ (-4; -3), chạy song song với trục x đến một điểm có tọa độ (0; -3). Đồ thị của hàm số thứ hai là một điểm có tọa độ (0; 0). Đồ thị thứ ba tương tự đồ thị thứ nhất - đó là một đường thẳng đi qua điểm y = 1, nhưng nằm trong vùng từ 0 đến 5 dọc theo trục Ox.

Trả lời: Hình 1.

2) (3 nếu x ≤ -4,
f(x) = (|x 2 – 4|x| + 3|, if -4< x ≤ 4,
(3 – (x – 4) 2 nếu x > 4.

Hãy xem xét từng hàm riêng biệt và xây dựng biểu đồ của nó.

Vậy f(x) = 3 là đường thẳng song song với trụcỒ, nhưng bạn chỉ cần mô tả nó trong vùng x ≤ -4.

Đồ thị của hàm số f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| có thể thu được từ parabol y = x 2 – 4x + 3. Sau khi xây dựng được đồ thị của nó, phần hình nằm phía trên trục Ox phải được giữ nguyên và phần nằm dưới trục hoành phải được biểu diễn đối xứng tương đối. tới trục Ox. Sau đó hiển thị đối xứng phần của biểu đồ trong đó
x ≥ 0 so với trục Oy đối với x âm. Chúng tôi để lại biểu đồ thu được là kết quả của tất cả các phép biến đổi chỉ trong vùng từ -4 đến 4 dọc theo trục abscissa.

Đồ thị của hàm thứ ba là một parabol, các nhánh của nó hướng xuống dưới và đỉnh nằm tại điểm có tọa độ (4; 3). Chúng tôi chỉ mô tả bản vẽ trong khu vực có x > 4.

Trả lời: Hình 2.

3) (8 – (x + 6) 2 nếu x ≤ -6,
f(x) = (|x 2 – 6|x| + 8|, nếu -6 ≤ x< 5,
(3 nếu x ≥ 5.

Xây dựng đề xuất chức năng được chỉ định từng phần tương tự điểm trước. Ở đây đồ thị của hai hàm đầu tiên thu được từ các phép biến đổi của parabol và đồ thị của hàm thứ ba là một đường thẳng song song với Ox.

Trả lời: Hình 3.

4) Vẽ đồ thị hàm số y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

Giải pháp. Phạm vi của chức năng này là tất cả số thực, ngoại trừ số không. Hãy mở rộng mô-đun. Để làm điều này, hãy xem xét hai trường hợp:

1) Với x > 0, ta thu được y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2.

2) Tại x< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

Vì vậy, chúng ta có một hàm được xác định từng phần:

y = ((x – 2) 2, với x > 0;
( x 2 + 2x, tại x< 0.

Đồ thị của cả hai hàm đều là parabol, các nhánh của chúng hướng lên trên.

Trả lời: Hình 4.

5) Vẽ đồ thị của hàm số y = (x + |x|/x – 1) 2.

Giải pháp.

Dễ dàng thấy miền xác định của hàm số đều là các số thực ngoại trừ số 0. Sau khi mở rộng mô-đun, chúng ta thu được một hàm đã cho từng phần:

1) Với x > 0 ta được y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 .

2) Tại x< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

Hãy viết lại nó.

y = (x 2, với x > 0;
((x – 2) 2 , tại x< 0.

Đồ thị của các hàm này là parabol.

Trả lời: Hình 5.

6) Có hàm số nào mà đồ thị trên mặt phẳng tọa độ có điểm chung từ bất kỳ đường thẳng nào?

Giải pháp.

Vâng, nó tồn tại.

Một ví dụ là hàm f(x) = x 3 . Thật vậy, đồ thị parabol lập phương cắt đường thẳng đứng x = a tại điểm (a; a 3). Giả sử đường thẳng được cho bởi phương trình y = kx + b. Khi đó phương trình
x 3 – kx – b = 0 có gốc thật x 0 (vì đa thức bậc lẻ luôn có ít nhất một nghiệm thực). Do đó, đồ thị của hàm số cắt đường thẳng y = kx + b, chẳng hạn tại điểm (x 0; x 0 3).

trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết đến nguồn.