Đạo hàm của hàm phức là gì? Quy tắc tính đạo hàm

Trong sách giáo khoa “cũ”, nó còn được gọi là quy tắc “chuỗi”. Vậy nếu y = f (u), và u = φ (x), đó là

y = f(φ(x))

    phức tạp - hàm ghép (thành phần của hàm) sau đó

Ở đâu , sau khi tính toán được xét tại u = φ(x).



Lưu ý rằng ở đây chúng tôi đã lấy các bố cục “khác nhau” từ cùng một chức năng và kết quả của sự khác biệt hóa ra phụ thuộc vào thứ tự “trộn” một cách tự nhiên.

Quy tắc dây chuyền mở rộng một cách tự nhiên đến sự kết hợp của ba hàm trở lên. Trong trường hợp này, sẽ có ba “mắt xích” trở lên trong “chuỗi” tạo nên đạo hàm. Đây là một phép tương tự với phép nhân: “chúng ta có” một bảng đạo hàm; “ở đó” - bảng cửu chương; “với chúng tôi” là quy tắc dây chuyền và “ở đó” là quy tắc nhân “cột”. Tất nhiên, khi tính toán các đạo hàm “phức tạp” như vậy, không có đối số phụ trợ (u¸v, v.v.) nào được đưa ra, nhưng, sau khi tự lưu ý số lượng và trình tự các hàm liên quan đến thành phần, các liên kết tương ứng được “xâu chuỗi” theo thứ tự đã chỉ định.

. Ở đây, với chữ “x” để hiểu ý nghĩa của chữ “y”, năm phép toán được thực hiện, tức là có sự kết hợp của năm hàm: “bên ngoài” (hàm cuối cùng trong số chúng) - hàm mũ - e  ; hơn nữa trong thứ tự ngược lại nghiêm trang. (♦) 2 ;

tội lỗi lượng giác

(); nghiêm trang. () 3 và cuối cùng là logarit ln.().Đó là lý do tại sao

Với các ví dụ sau chúng ta sẽ “một mũi tên trúng hai con chim”: chúng ta sẽ thực hành vi phân các hàm phức tạp và thêm vào bảng đạo hàm của các hàm cơ bản. Vì thế: 4. Đối với hàm lũy thừa - y = x α - viết lại nó bằng cách sử dụng “cơ bản” nổi tiếng nhận dạng logarit

" - b=e ln b - ở dạng x α = x α ln x chúng ta có

.

5. Miễn phí

hàm số mũ

sử dụng kỹ thuật tương tự chúng ta sẽ có

6. Đối với hàm logarit tùy ý, sử dụng công thức nổi tiếng để chuyển sang cơ số mới, chúng ta luôn thu được

7. Để đạo hàm tiếp tuyến (cotang), ta dùng quy tắc đạo hàm thương:
,

Cuối cùng, chúng ta hãy tóm tắt những điều này và một số dẫn xuất khác cũng có thể dễ dàng thu được trong bảng sau.

Nếu bạn làm theo định nghĩa thì đạo hàm của hàm số tại một điểm là giới hạn của tỉ số gia tăng của hàm Δ yđến mức tăng đối số Δ x:

Mọi thứ dường như đã rõ ràng. Nhưng hãy thử sử dụng công thức này để tính đạo hàm của hàm số f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x tội lỗi x. Nếu bạn làm mọi thứ theo định nghĩa, thì sau một vài trang tính toán, bạn sẽ chìm vào giấc ngủ. Vì vậy, có những cách đơn giản và hiệu quả hơn.

Để bắt đầu, chúng tôi lưu ý rằng trong toàn bộ các hàm, chúng ta có thể phân biệt cái gọi là hàm cơ bản. Nó tương đối biểu thức đơn giản, các đạo hàm đã được tính toán và liệt kê từ lâu trong bảng. Các hàm như vậy khá dễ nhớ - cùng với các dẫn xuất của chúng.

Đạo hàm của hàm cơ bản

Các chức năng cơ bản là tất cả những chức năng được liệt kê dưới đây. Đạo hàm của những hàm số này phải thuộc lòng. Hơn nữa, việc ghi nhớ chúng không hề khó khăn - đó là lý do tại sao chúng rất sơ cấp.

Do đó, đạo hàm của các hàm cơ bản:

Tên Chức năng phái sinh
Không thay đổi f(x) = C, C ∈ R 0 (vâng, không!)
Sức mạnh với số mũ hợp lý f(x) = x N N · x N − 1
xoang f(x) = tội lỗi x vì x
Cô sin f(x) = cos x −tội lỗi x(trừ sin)
Đường tiếp tuyến f(x) = tg x 1/cos 2 x
cotang f(x) = ctg x − 1/sin 2 x
logarit tự nhiên f(x) = nhật ký x 1/x
Logarit tùy ý f(x) = nhật ký Một x 1/(x ln Một)
hàm số mũ f(x) = e x e x(không có gì thay đổi)

Nếu nhân một hàm cơ bản với một hằng số tùy ý thì đạo hàm của hàm mới cũng dễ dàng tính được:

(C · f)’ = C · f ’.

Nói chung, các hằng số có thể được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm. Ví dụ:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Rõ ràng, các hàm cơ bản có thể được cộng với nhau, nhân, chia - và nhiều hơn thế nữa. Bằng cách này, các hàm mới sẽ xuất hiện, không còn đặc biệt cơ bản nữa mà còn có khả năng phân biệt đối với quy tắc nhất định. Những quy tắc này sẽ được thảo luận dưới đây.

Đạo hàm của tổng và hiệu

Hãy để các chức năng được đưa ra f(x) Và g(x), các dẫn xuất của chúng đã được chúng ta biết đến. Ví dụ: bạn có thể lấy các hàm cơ bản được thảo luận ở trên. Sau đó, bạn có thể tìm đạo hàm của tổng và hiệu của các hàm này:

  1. (f + g)’ = f ’ + g ’
  2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Vì vậy, đạo hàm của tổng (chênh lệch) của hai hàm số bằng tổng (chênh lệch) của các đạo hàm. Có thể có nhiều điều khoản hơn. Ví dụ, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Nói đúng ra, không có khái niệm “trừ” trong đại số. Có một khái niệm " yếu tố tiêu cực" Do đó sự khác biệt f − g có thể được viết lại dưới dạng tổng f+ (−1) g, và khi đó chỉ còn lại một công thức - đạo hàm của tổng.

f(x) = x 2 + tội x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Chức năng f(x) là tổng của hai hàm cơ bản, do đó:

f ’(x) = (x 2 + tội lỗi x)’ = (x 2)' + (tội lỗi x)’ = 2x+ cos x;

Chúng ta suy luận tương tự cho hàm g(x). Chỉ có ba số hạng (theo quan điểm của đại số):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Trả lời:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Dẫn xuất của sản phẩm

Toán học là một môn khoa học logic nên nhiều người cho rằng nếu đạo hàm của một tổng bằng tổng các đạo hàm thì đạo hàm của tích đánh đập">bằng tích của đạo hàm. Nhưng kệ bạn! Đạo hàm của một tích được tính bằng một công thức hoàn toàn khác. Cụ thể là:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Công thức rất đơn giản nhưng thường bị quên. Và không chỉ học sinh, mà cả học sinh. Kết quả là giải quyết vấn đề không chính xác.

Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Chức năng f(x) là tích của hai hàm cơ bản, nên mọi thứ đều đơn giản:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ vì x + x 3 (vì x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (- tội lỗi x) = x 2 (3cos x − x tội lỗi x)

Chức năng g(x) yếu tố đầu tiên phức tạp hơn một chút, nhưng sơ đồ chungđiều này không thay đổi. Rõ ràng, thừa số đầu tiên của hàm g(x) là một đa thức và đạo hàm của nó là đạo hàm của tổng. Chúng tôi có:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Trả lời:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x tội lỗi x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Xin lưu ý rằng ở bước cuối cùng đạo hàm được phân tích thành thừa số. Về mặt hình thức, điều này không cần phải được thực hiện, nhưng hầu hết các đạo hàm không được tính toán riêng mà để kiểm tra hàm. Điều này có nghĩa là đạo hàm tiếp theo sẽ bằng 0, dấu của nó sẽ được xác định, v.v. Đối với trường hợp như vậy, tốt hơn là nên phân tích biểu thức thành nhân tử.

Nếu có hai hàm f(x) Và g(x), Và g(x) ≠ 0 trên tập cần quan tâm, chúng ta có thể xác định tính năng mới h(x) = f(x)/g(x). Đối với hàm như vậy, bạn cũng có thể tìm đạo hàm:

Không yếu đâu nhỉ? Điểm trừ đến từ đâu? Tại sao g 2? Và như vậy! Đây là một trong những công thức phức tạp- Bạn không thể tìm ra nó nếu không có chai. Vì vậy, tốt hơn là nghiên cứu nó trên ví dụ cụ thể.

Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số:

Tử số và mẫu số của mỗi phân số đều chứa các hàm cơ bản, vì vậy tất cả những gì chúng ta cần là công thức tính đạo hàm của thương:


Theo truyền thống, hãy phân tích tử số thành nhân tử - điều này sẽ đơn giản hóa rất nhiều câu trả lời:

Một hàm số phức không nhất thiết phải là một công thức dài nửa km. Ví dụ, chỉ cần lấy hàm f(x) = tội lỗi x và thay thế biến x, nói, trên x 2 + ln x. Nó sẽ thành công f(x) = tội lỗi ( x 2 + ln x) - đây là một hàm phức tạp. Nó cũng có đạo hàm, nhưng sẽ không thể tìm được nó bằng cách sử dụng các quy tắc đã thảo luận ở trên.

Tôi nên làm gì? Trong những trường hợp như vậy, việc thay thế biến và công thức đạo hàm sẽ giúp hàm phức tạp:

f ’(x) = f ’(t) · t', Nếu như xđược thay thế bởi t(x).

Theo quy định, tình huống hiểu công thức này thậm chí còn đáng buồn hơn so với việc hiểu đạo hàm của thương. Vì vậy, tốt hơn hết là nên giải thích nó bằng những ví dụ cụ thể, với mô tả chi tiết mỗi bước.

Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = tội lỗi ( x 2 + ln x)

Lưu ý rằng nếu trong hàm f(x) thay cho biểu thức 2 x+ 3 sẽ dễ dàng x, rồi nó sẽ thành công hàm cơ bản f(x) = e x. Vì vậy, chúng tôi thực hiện thay thế: hãy để 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Chúng ta tìm đạo hàm của hàm phức bằng công thức:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Và bây giờ - chú ý! Chúng tôi thực hiện thay thế ngược lại: t = 2x+ 3. Ta có:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào chức năng g(x). Rõ ràng là cần phải thay thế x 2 + ln x = t. Chúng tôi có:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (tội lỗi t)’ · t’ = vì t · t ’

Thay thế ngược lại: t = x 2 + ln x. Sau đó:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Thế thôi! Như có thể thấy từ biểu thức cuối cùng, toàn bộ vấn đề được rút gọn thành việc tính tổng đạo hàm.

Trả lời:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Rất thường xuyên trong các bài học của tôi, thay vì thuật ngữ “phái sinh”, tôi sử dụng từ “nguyên tố”. Ví dụ, một số nguyên tố từ số tiền bằng tổngđột quỵ. Điều đó có rõ ràng hơn không? Tốt đấy.

Do đó, việc tính đạo hàm nhằm loại bỏ các nét tương tự theo các quy tắc đã thảo luận ở trên. BẰNG ví dụ cuối cùng Hãy quay trở lại lũy thừa đạo hàm với số mũ hợp lý:

(x N)’ = N · x N − 1

Ít người biết rằng trong vai diễn N có thể hoạt động tốt số phân số. Ví dụ, gốc là x 0,5. Điều gì sẽ xảy ra nếu có thứ gì đó lạ mắt dưới gốc? Một lần nữa, kết quả sẽ là một hàm phức tạp - họ thích đưa ra những cách xây dựng như vậy cho kiểm tra và các kỳ thi.

Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số:

Đầu tiên, hãy viết lại căn thức dưới dạng lũy ​​thừa với số mũ hữu tỉ:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Bây giờ chúng ta thực hiện thay thế: hãy để x 2 + 8x − 7 = t. Chúng ta tìm đạo hàm bằng công thức:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Hãy thực hiện thay thế ngược lại: t = x 2 + 8x− 7. Ta có:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Cuối cùng, quay trở lại cội nguồn:

Sau khi chuẩn bị pháo binh sơ bộ, các ví dụ có chức năng lồng nhau 3-4-5 sẽ bớt đáng sợ hơn. Có lẽ hai ví dụ sau đây có vẻ phức tạp đối với một số người, nhưng nếu bạn hiểu chúng (ai đó sẽ đau khổ), thì hầu hết mọi thứ khác trong phép tính vi phân Nó sẽ giống như một trò đùa của một đứa trẻ.

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của một hàm số

Như đã lưu ý, khi tìm đạo hàm của một hàm phức, trước hết cần phải Phải HIỂU khoản đầu tư của bạn. Trong trường hợp có nghi ngờ, tôi nhắc bạn thủ thuật hữu ích: ví dụ: chúng tôi lấy giá trị thử nghiệm của “x” và thử (trong đầu hoặc trong bản nháp) để thay thế giá trị đã cho thành một "biểu hiện khủng khiếp".

1) Đầu tiên chúng ta cần tính biểu thức, nghĩa là tổng là nhúng sâu nhất.

2) Sau đó, bạn cần tính logarit:

4) Sau đó lập phương cosin:

5) Ở bước thứ năm sự khác biệt:

6) Và cuối cùng, hàm ngoài cùng là căn bậc hai:

Công thức đạo hàm hàm phức sẽ được áp dụng theo thứ tự ngược lại, từ phần lớn nhất chức năng bên ngoài, đến tận cùng. Chúng tôi quyết định:

Có vẻ như không có lỗi:

1) Lấy đạo hàm của căn bậc hai.

2) Lấy đạo hàm của hiệu bằng quy tắc

3) Đạo hàm của bộ ba bằng 0. Trong thuật ngữ thứ hai, chúng ta lấy đạo hàm của độ (khối lập phương).

4) Lấy đạo hàm của cosin.

6) Và cuối cùng, chúng tôi lấy đạo hàm của mức nhúng sâu nhất.

Nó có vẻ quá khó khăn, nhưng đây không phải là ví dụ tàn bạo nhất. Lấy ví dụ, bộ sưu tập của Kuznetsov và bạn sẽ đánh giá cao tất cả vẻ đẹp và sự đơn giản của đạo hàm được phân tích. Tôi nhận thấy rằng họ thích đưa ra một điều tương tự trong một bài kiểm tra để kiểm tra xem học sinh có hiểu cách tìm đạo hàm của một hàm số phức hay không hiểu.

Ví dụ sau đây dành cho quyết định độc lập.

Ví dụ 3

Tìm đạo hàm của một hàm số

Gợi ý: Đầu tiên chúng ta áp dụng quy tắc tuyến tính và quy tắc phân biệt sản phẩm

Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Đã đến lúc chuyển sang thứ gì đó nhỏ hơn và đẹp hơn.
Không có gì lạ khi một ví dụ cho thấy tích của không phải hai mà là ba chức năng. Làm thế nào để tìm đạo hàm của sản phẩm của ba số nhân?

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đầu tiên chúng ta xem, có thể biến tích của ba hàm số thành tích của hai hàm số không? Ví dụ: nếu chúng ta có hai đa thức trong tích, chúng ta có thể mở ngoặc. Nhưng trong ví dụ đang xem xét, tất cả các hàm đều khác nhau: bậc, số mũ và logarit.

Trong những trường hợp như vậy cần thiết tuần tựáp dụng quy tắc phân biệt sản phẩm hai lần

Bí quyết là bằng “y” chúng ta biểu thị tích của hai hàm: , và với “ve” chúng ta biểu thị logarit: . Tại sao điều này có thể được thực hiện? Có thật vậy không - đây không phải là tích của hai yếu tố và quy luật không có tác dụng?! Không có gì phức tạp:


Bây giờ vẫn phải áp dụng quy tắc lần thứ hai để đóng khung:

Bạn vẫn có thể bị biến thái và lấy điều gì đó ra khỏi ngoặc, nhưng trong trong trường hợp này Tốt hơn hết bạn nên để lại câu trả lời ở dạng này - sẽ dễ kiểm tra hơn.

Ví dụ đang xem xét có thể được giải theo cách thứ hai:

Cả hai giải pháp đều hoàn toàn tương đương.

Ví dụ 5

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập; trong mẫu, nó được giải quyết bằng phương pháp đầu tiên.

Hãy xem xét các ví dụ tương tự với phân số.

Ví dụ 6

Tìm đạo hàm của một hàm số

Có một số cách bạn có thể vào đây:

Hoặc như thế này:

Nhưng lời giải sẽ được viết gọn hơn nếu trước tiên chúng ta sử dụng quy tắc lấy đạo hàm của thương , lấy toàn bộ tử số:

Về nguyên tắc, ví dụ đã được giải quyết và nếu nó được giữ nguyên thì sẽ không có lỗi. Nhưng nếu có thời gian, bạn nên kiểm tra bản nháp để xem câu trả lời có thể đơn giản hóa được không?

Chúng ta hãy rút gọn biểu thức của tử số thành mẫu số chung và loại bỏ phần ba tầng:

Nhược điểm của việc đơn giản hóa bổ sung là có nguy cơ mắc lỗi không phải khi tìm đạo hàm mà trong các phép biến đổi trường phái tầm thường. Mặt khác, giáo viên thường từ chối bài tập và yêu cầu “ghi nhớ” đạo hàm.

Một ví dụ đơn giản hơn để bạn tự giải quyết:

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm của một hàm số

Chúng ta tiếp tục nắm vững các phương pháp tìm đạo hàm và bây giờ chúng ta sẽ xem xét một trường hợp điển hình khi đề xuất logarit “khủng” để lấy đạo hàm

Cấp độ đầu vào

Đạo hàm của một hàm. Hướng dẫn toàn diện (2019)

Hãy tưởng tượng một con đường thẳng đi qua một vùng đồi núi. Tức là nó đi lên đi xuống nhưng không rẽ phải hay trái. Nếu trục được định hướng theo chiều ngang dọc theo con đường và theo chiều dọc, thì đường đường sẽ rất giống với đồ thị của một hàm liên tục nào đó:

Trục là một mức độ cao bằng 0 nhất định; trong cuộc sống, chúng ta sử dụng mực nước biển làm nó.

Khi chúng ta tiến về phía trước dọc theo con đường như vậy, chúng ta cũng di chuyển lên hoặc xuống. Chúng ta cũng có thể nói: khi đối số thay đổi (chuyển động dọc theo trục hoành), giá trị của hàm thay đổi (chuyển động dọc theo trục hoành). Bây giờ chúng ta hãy nghĩ làm thế nào để xác định “độ dốc” của con đường của chúng ta? Đây có thể là loại giá trị gì? Rất đơn giản: độ cao sẽ thay đổi bao nhiêu khi di chuyển về phía trước một khoảng cách nhất định. Rốt cuộc, trên khu vực khác nhauđường, di chuyển về phía trước (dọc theo trục x) một km, chúng ta sẽ tăng hoặc giảm số lượng khác nhau mét so với mực nước biển (dọc theo trục tọa độ).

Hãy biểu thị sự tiến bộ (đọc “delta x”).

Chữ cái Hy Lạp (delta) thường được sử dụng làm tiền tố trong toán học, có nghĩa là "sự thay đổi". Nghĩa là - đây là sự thay đổi về số lượng, - sự thay đổi; vậy thì nó là gì? Đúng vậy, một sự thay đổi về độ lớn.

Quan trọng: một biểu thức là một tổng thể duy nhất, một biến. Không bao giờ tách “delta” khỏi “x” hoặc bất kỳ chữ cái nào khác!

Đó là, ví dụ, .

Vì vậy, chúng tôi đã tiến về phía trước, theo chiều ngang, bằng. Nếu chúng ta so sánh đường của con đường với đồ thị của hàm số thì chúng ta biểu thị độ cao như thế nào? Chắc chắn, . Nghĩa là, khi chúng ta tiến về phía trước, chúng ta sẽ vươn cao hơn. Giá trị rất dễ tính toán: nếu lúc đầu chúng ta ở trên một độ cao và sau khi di chuyển, chúng ta thấy mình ở độ cao đó. Nếu nhưđiểm cuối

hóa ra thấp hơn giá trị ban đầu, nó sẽ âm - điều này có nghĩa là chúng ta không đi lên mà đi xuống.

Giả sử ở một đoạn đường nào đó, khi di chuyển về phía trước một km thì đường dâng cao thêm một km. Khi đó độ dốc ở nơi này bằng nhau. Và nếu đường đi về phía trước m mà giảm km? Khi đó độ dốc bằng nhau.

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào đỉnh một ngọn đồi. Nếu bạn lấy phần đầu của đoạn đường cách đỉnh nửa km và đoạn cuối cách đỉnh nửa km, bạn có thể thấy rằng độ cao gần như giống nhau.

Nghĩa là, theo logic của chúng tôi, hóa ra độ dốc ở đây gần như bằng 0, điều này rõ ràng là không đúng. Chỉ cần vượt qua quãng đường km là có rất nhiều điều có thể thay đổi. Các khu vực nhỏ hơn cần được xem xét để phù hợp hơn và đánh giá chính xácđộ dốc. Ví dụ: nếu bạn đo sự thay đổi chiều cao khi bạn di chuyển một mét thì kết quả sẽ chính xác hơn nhiều. Nhưng ngay cả độ chính xác này cũng có thể không đủ đối với chúng ta - xét cho cùng, nếu có một cái cột ở giữa đường, chúng ta có thể đơn giản vượt qua nó. Khi đó chúng ta nên chọn khoảng cách nào? centimet? Milimet? Ít hơn là nhiều hơn!

TRONG cuộc sống thựcĐo khoảng cách đến từng milimet gần nhất là quá đủ. Nhưng các nhà toán học luôn phấn đấu cho sự hoàn hảo. Vì vậy, khái niệm này đã được phát minh vô cùng nhỏ, tức là giá trị tuyệt đối nhỏ hơn bất kỳ số nào mà chúng ta có thể đặt tên. Ví dụ, bạn nói: một phần nghìn tỷ! Ít hơn bao nhiêu? Và bạn chia con số này cho - và nó sẽ còn ít hơn nữa. Và vân vân. Nếu chúng ta muốn viết rằng một đại lượng là vô cùng nhỏ, chúng ta viết như sau: (chúng ta đọc là “x có xu hướng bằng 0”). Điều rất quan trọng là phải hiểu rằng con số này không phải là số không! Nhưng rất gần với nó. Điều này có nghĩa là bạn có thể chia cho nó.

Khái niệm ngược lại với vô cùng nhỏ là vô cùng lớn (). Có thể bạn đã từng gặp nó khi nghiên cứu các bất đẳng thức: con số này lớn hơn bất kỳ số nào bạn có thể nghĩ ra. Nếu bạn tìm ra số lớn nhất có thể, chỉ cần nhân nó với 2 và bạn sẽ nhận được số thậm chí còn lớn hơn. Và vẫn còn vô tận Hơn thế nữa chuyện gì sẽ xảy ra Trên thực tế, cái vô cùng lớn và cái vô cùng nhỏ là nghịch đảo của nhau, tức là tại và ngược lại: tại.

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại con đường của chúng ta. Độ dốc được tính toán lý tưởng là độ dốc được tính cho một đoạn cực nhỏ của đường đi, nghĩa là:

Tôi lưu ý rằng với một độ dịch chuyển vô cùng nhỏ, sự thay đổi về độ cao cũng sẽ rất nhỏ. Nhưng hãy để tôi nhắc bạn rằng cực nhỏ không có nghĩa là bằng 0. Nếu bạn chia các số vô cùng nhỏ cho nhau, bạn có thể nhận được khá nhiều số thường xuyên, Ví dụ, . Nghĩa là, một giá trị nhỏ có thể lớn hơn giá trị khác chính xác gấp nhiều lần.

Tất cả những điều này là để làm gì? Con đường, độ dốc... Chúng tôi không tổ chức một cuộc đua ô tô mà chúng tôi đang dạy toán. Và trong toán học, mọi thứ đều giống hệt nhau, chỉ được gọi khác nhau.

Khái niệm đạo hàm

Đạo hàm của hàm là tỷ lệ giữa mức tăng của hàm và mức tăng của đối số đối với mức tăng vô hạn của đối số.

Tăng dần trong toán học họ gọi là sự thay đổi. Mức độ mà đối số () thay đổi khi nó di chuyển dọc theo trục được gọi là tăng đối số và được chỉ định. Hàm (chiều cao) đã thay đổi bao nhiêu khi di chuyển về phía trước dọc theo trục một khoảng cách được gọi là tăng hàm và được chỉ định.

Vì vậy, đạo hàm của một hàm số là tỉ số với thời điểm. Chúng ta biểu thị đạo hàm có cùng chữ cái với hàm, chỉ với số nguyên tố ở trên cùng bên phải: hoặc đơn giản. Vì vậy, hãy viết công thức đạo hàm bằng cách sử dụng các ký hiệu sau:

Tương tự như con đường, ở đây khi hàm tăng thì đạo hàm là dương, còn khi giảm thì đạo hàm là âm.

Đạo hàm có thể bằng 0 không? Chắc chắn. Ví dụ: nếu chúng ta đang lái xe trên một con đường nằm ngang bằng phẳng thì độ dốc bằng không. Và đó là sự thật, chiều cao không hề thay đổi. Đối với đạo hàm cũng vậy: đạo hàm của hàm hằng (hằng số) bằng 0:

vì mức tăng của hàm như vậy bằng 0 đối với bất kỳ hàm nào.

Hãy nhớ lại ví dụ về đỉnh đồi. Hóa ra là có thể sắp xếp các đầu của đoạn dọc theo các mặt khác nhau từ trên xuống sao cho chiều cao ở hai đầu bằng nhau, tức là đoạn thẳng song song với trục:

Nhưng những đoạn lớn là dấu hiệu của phép đo không chính xác. Chúng ta sẽ nâng đoạn của mình lên song song với chính nó, sau đó độ dài của nó sẽ giảm xuống.

Cuối cùng, khi chúng ta ở gần đỉnh vô cùng, độ dài của đoạn này sẽ trở nên vô cùng nhỏ. Nhưng đồng thời, nó vẫn song song với trục, tức là chênh lệch độ cao ở hai đầu của nó bằng 0 (nó không có xu hướng mà bằng). Vì vậy đạo hàm

Điều này có thể hiểu như sau: khi chúng ta đứng ở vị trí cao nhất, một sự dịch chuyển nhỏ sang trái hoặc phải sẽ làm thay đổi chiều cao của chúng ta không đáng kể.

Ngoài ra còn có một cách giải thích thuần túy đại số: hàm tăng ở bên trái đỉnh và giảm ở bên phải. Như chúng ta đã biết trước đó, khi một hàm tăng thì đạo hàm là dương và khi nó giảm thì đạo hàm là âm. Nhưng nó thay đổi trơn tru, không bị giật (vì đường không thay đổi độ dốc đột ngột ở bất cứ đâu). Vì vậy, giữa tiêu cực và giá trị tích cực chắc chắn phải có. Đó sẽ là nơi hàm không tăng cũng không giảm - tại điểm đỉnh.

Điều tương tự cũng đúng với máng (khu vực mà hàm bên trái giảm và bên phải tăng):

Nói thêm một chút về sự gia tăng.

Vì vậy, chúng tôi thay đổi đối số thành độ lớn. Chúng ta thay đổi từ giá trị nào? Bây giờ nó (lập luận) đã trở thành cái gì? Chúng ta có thể chọn bất kỳ điểm nào và bây giờ chúng ta sẽ nhảy từ điểm đó.

Hãy xem xét một điểm có tọa độ. Giá trị của hàm trong đó bằng nhau. Sau đó, chúng tôi thực hiện cùng một bước tăng: chúng tôi tăng tọa độ lên. Lập luận bây giờ là gì? Rất dễ dàng: . Giá trị của hàm lúc này là bao nhiêu? Đối số đi đến đâu thì hàm cũng vậy: . Còn việc tăng chức năng thì sao? Không có gì mới: đây vẫn là mức độ mà hàm đã thay đổi:

Luyện tập tìm số tăng:

  1. Tìm số gia của hàm tại một điểm khi số gia của đối số bằng.
  2. Điều tương tự cũng xảy ra với hàm tại một điểm.

Giải pháp:

TRONG điểm khác nhau với cùng một mức tăng đối số, mức tăng của hàm sẽ khác nhau. Điều này có nghĩa là đạo hàm tại mỗi điểm là khác nhau (chúng ta đã thảo luận vấn đề này ngay từ đầu - độ dốc của đường là khác nhau ở các điểm khác nhau). Vì vậy, khi viết đạo hàm, chúng ta phải chỉ ra điểm nào:

Chức năng điện.

Hàm lũy thừa là hàm trong đó đối số ở một mức độ nào đó (hợp lý, phải không?).

Hơn nữa - ở bất kỳ mức độ nào: .

Trường hợp đơn giản nhất- đây là khi số mũ:

Hãy tìm đạo hàm của nó tại một điểm. Hãy nhắc lại định nghĩa của đạo hàm:

Vì vậy, đối số thay đổi từ đến. Độ tăng của hàm là bao nhiêu?

Tăng là thế này. Nhưng một hàm tại bất kỳ điểm nào đều bằng đối số của nó. Đó là lý do tại sao:

Đạo hàm bằng:

Đạo hàm của bằng:

b) Bây giờ hãy xem xét hàm bậc hai (): .

Bây giờ chúng ta hãy nhớ điều đó. Điều này có nghĩa là giá trị của phần tăng thêm có thể bị bỏ qua vì nó vô cùng nhỏ và do đó không có ý nghĩa so với nền tảng của số hạng kia:

Vì vậy, chúng tôi đã đưa ra một quy tắc khác:

c) Tiếp tục chuỗi logic: .

Biểu thức này có thể được đơn giản hóa theo nhiều cách khác nhau: mở dấu ngoặc đầu tiên bằng cách sử dụng công thức nhân viết tắt của lập phương của tổng hoặc phân tích thành nhân tử của toàn bộ biểu thức bằng cách sử dụng công thức hiệu lập phương. Hãy thử tự làm điều đó bằng bất kỳ phương pháp được đề xuất nào.

Vì vậy, tôi đã nhận được những điều sau đây:

Và một lần nữa chúng ta hãy nhớ điều đó. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể bỏ qua tất cả các số hạng chứa:

Chúng tôi nhận được: .

d) Có thể rút ra quy tắc tương tự cho lũy thừa lớn:

e) Hóa ra quy tắc này có thể được khái quát hóa cho hàm lũy thừa với số mũ tùy ý, thậm chí không phải số nguyên:

(2)

Quy tắc này có thể được phát biểu như sau: “mức độ được đưa ra dưới dạng hệ số, sau đó được giảm đi ”.

Chúng ta sẽ chứng minh quy tắc này sau (gần như ở phần cuối). Bây giờ chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số:

  1. (theo 2 cách: bằng công thức và dùng định nghĩa đạo hàm - bằng cách tính độ tăng của hàm số);
  1. . Dù bạn có tin hay không, đây là một chức năng quyền lực. Nếu bạn có những câu hỏi như “Việc này thế nào? Bằng cấp ở đâu?”, nhớ chủ đề “”!
    Có, có, căn cũng là bậc, chỉ là phân số: .
    Điều này có nghĩa là căn bậc hai của chúng ta chỉ là lũy thừa có số mũ:
    .
    Chúng tôi tìm đạo hàm bằng công thức đã học gần đây:

    Nếu tại thời điểm này nó lại trở nên không rõ ràng, hãy lặp lại chủ đề “”!!! (về bằng cấp với chỉ số tiêu cực)

  2. . Bây giờ là số mũ:

    Và bây giờ qua định nghĩa (bạn đã quên chưa?):
    ;
    .
    Bây giờ, như thường lệ, chúng ta bỏ qua số hạng chứa:
    .

  3. . Kết hợp các trường hợp trước: .

Các hàm lượng giác.

Ở đây chúng ta sẽ sử dụng một thực tế từ toán học cao hơn:

Với biểu hiện.

Bạn sẽ học bằng chứng trong năm đầu tiên học tại trường (và để đạt được điều đó, bạn cần phải vượt qua kỳ thi Thống nhất). Bây giờ tôi sẽ chỉ hiển thị nó bằng đồ họa:

Chúng ta thấy rằng khi hàm không tồn tại - điểm trên biểu đồ bị cắt đi. Nhưng càng gần giá trị thì hàm càng gần.

Ngoài ra, bạn có thể kiểm tra quy tắc này bằng máy tính. Vâng, vâng, đừng ngại, hãy cầm máy tính lên, chúng ta chưa tham gia Kỳ thi Thống nhất.

Vì vậy, hãy thử: ;

Đừng quên chuyển máy tính của bạn sang chế độ Radian!

vân vân. Chúng ta thấy rằng càng ít thì giá trị gần hơn mối quan hệ với

a) Xét hàm số. Như thường lệ, hãy tìm số gia của nó:

Hãy biến sự khác biệt của sin thành một sản phẩm. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng công thức (nhớ chủ đề “”): .

Bây giờ là đạo hàm:

Hãy thay thế: . Khi đó với số vô cùng nhỏ nó cũng là số vô cùng nhỏ: . Biểu thức của có dạng:

Và bây giờ chúng ta nhớ điều đó với biểu thức. Ngoài ra, điều gì sẽ xảy ra nếu một đại lượng vô cùng nhỏ có thể bị bỏ qua trong tổng (tức là tại).

Vì vậy chúng tôi nhận được quy tắc tiếp theo:đạo hàm của sin bằng cosin:

Đây là những dẫn xuất cơ bản (“dạng bảng”). Họ ở đây trong một danh sách:

Sau này chúng ta sẽ bổ sung thêm một số thứ nữa, nhưng đây là những thứ quan trọng nhất vì chúng được sử dụng thường xuyên nhất.

Luyện tập:

  1. Tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm;
  2. Tìm đạo hàm của hàm số.

Giải pháp:

  1. Đầu tiên, hãy tìm đạo hàm trong cái nhìn tổng quát, rồi thay thế giá trị của nó:
    ;
    .
  2. Ở đây chúng tôi có một cái gì đó tương tự như chức năng điện. Hãy thử đưa cô ấy đến
    xem bình thường:
    .
    Tuyệt vời, bây giờ bạn có thể sử dụng công thức:
    .
    .
  3. . Eeeeeee….. Cái gì thế này????

Được rồi, bạn nói đúng, chúng tôi vẫn chưa biết cách tìm ra các đạo hàm như vậy. Ở đây chúng ta có sự kết hợp của một số loại chức năng. Để làm việc với họ, bạn cần tìm hiểu thêm một số quy tắc:

Số mũ và logarit tự nhiên.

Có một hàm số trong toán học mà đạo hàm của nó với bất kỳ giá trị nào cũng bằng giá trị của chính hàm đó tại cùng một thời điểm. Nó được gọi là “số mũ” và là một hàm số mũ

Cơ sở của hàm này là một hằng số - nó là vô hạn số thập phân, tức là một số vô tỷ (chẳng hạn như). Nó được gọi là “số Euler”, đó là lý do tại sao nó được biểu thị bằng một chữ cái.

Vì vậy, quy tắc:

Rất dễ nhớ.

Nào, đừng đi đâu xa hãy nhìn vào nó ngay thôi hàm nghịch đảo. Hàm số nào là nghịch đảo của hàm số mũ? Logarit:

Trong trường hợp của chúng tôi, cơ sở là số:

Một logarit như vậy (nghĩa là logarit có cơ số) được gọi là "tự nhiên" và chúng tôi sử dụng một ký hiệu đặc biệt cho nó: thay vào đó chúng tôi viết.

Nó bằng gì? Tất nhiên rồi.

Đạo hàm logarit tự nhiên cũng rất đơn giản:

Ví dụ:

  1. Tìm đạo hàm của hàm số.
  2. Đạo hàm của hàm số là gì?

Câu trả lời: Nhà triển lãm và logarit tự nhiên- Hàm số đơn giản duy nhất xét theo đạo hàm. Các hàm số mũ và logarit với bất kỳ cơ số nào khác sẽ có đạo hàm khác nhau, chúng tôi sẽ phân tích sau chúng ta hãy đi qua các quy tắc sự khác biệt hóa.

Quy luật phân biệt

Quy tắc của cái gì? Lại thuật ngữ mới, lại?!...

Sự khác biệt là quá trình tìm đạo hàm.

Thế thôi. Bạn có thể gọi quá trình này bằng một từ nào khác? Không phải đạo hàm... Các nhà toán học gọi vi phân là cùng một số gia của hàm số. Thuật ngữ này xuất phát từ tiếng Latin Differentia - sự khác biệt. Đây.

Khi rút ra tất cả các quy tắc này, chúng ta sẽ sử dụng hai hàm, ví dụ: và. Chúng ta cũng sẽ cần các công thức tính số gia của chúng:

Tổng cộng có 5 quy tắc.

Hằng số được lấy ra khỏi dấu đạo hàm.

Nếu - một số số không đổi(không đổi), sau đó.

Rõ ràng, quy tắc này cũng có tác dụng đối với sự khác biệt: .

Hãy chứng minh điều đó. Hãy để nó như vậy, hoặc đơn giản hơn.

Ví dụ.

Tìm đạo hàm của hàm số:

  1. tại một điểm;
  2. tại một điểm;
  3. tại một điểm;
  4. tại điểm.

Giải pháp:

  1. (đạo hàm giống nhau ở mọi điểm, vì đây hàm tuyến tính, nhớ?);

Dẫn xuất của sản phẩm

Mọi thứ ở đây đều tương tự: hãy giới thiệu một hàm mới và tìm phần tăng của nó:

Đạo hàm:

Ví dụ:

  1. Tìm đạo hàm của hàm số và;
  2. Tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm.

Giải pháp:

Đạo hàm của hàm số mũ

Bây giờ kiến ​​thức của bạn đã đủ để học cách tìm đạo hàm của bất kỳ hàm mũ nào chứ không chỉ số mũ (bạn đã quên đó là gì chưa?).

Vì vậy, một số số ở đâu.

Chúng ta đã biết đạo hàm của hàm số, vì vậy hãy thử đưa hàm số của chúng ta sang một cơ sở mới:

Đối với điều này chúng tôi sẽ sử dụng quy tắc đơn giản: . Sau đó:

Vâng, nó đã hoạt động. Bây giờ hãy thử tìm đạo hàm và đừng quên rằng hàm số này rất phức tạp.

Nó có hoạt động không?

Ở đây, hãy tự kiểm tra:

Công thức hóa ra rất giống với đạo hàm của số mũ: nó vẫn giữ nguyên, chỉ xuất hiện một thừa số, chỉ là một số chứ không phải một biến.

Ví dụ:
Tìm đạo hàm của hàm số:

Câu trả lời:

Đây chỉ là một con số không thể tính được nếu không có máy tính, tức là nó không thể viết ra được nữa ở dạng đơn giản. Vì vậy, chúng tôi để nó ở dạng này trong câu trả lời.

Đạo hàm của hàm logarit

Ở đây cũng tương tự: bạn đã biết đạo hàm của logarit tự nhiên:

Do đó, để tìm logarit tùy ý với cơ số khác, ví dụ:

Chúng ta cần giảm logarit này về cơ số. Làm thế nào để bạn thay đổi cơ số của logarit? Tôi hy vọng bạn nhớ công thức này:

Chỉ bây giờ chúng tôi sẽ viết thay thế:

Mẫu số chỉ đơn giản là một hằng số (một số không đổi, không có biến). Đạo hàm thu được rất đơn giản:

Đạo hàm của hàm mũ và hàm logarit hầu như không bao giờ xuất hiện trong Kỳ thi Thống nhất, nhưng sẽ không hại gì nếu biết chúng.

Đạo hàm của hàm phức.

"hàm phức tạp" là gì? Không, đây không phải là logarit và cũng không phải là arctang. Các hàm này có thể khó hiểu (mặc dù nếu bạn thấy logarit khó, hãy đọc chủ đề “Logarit” và bạn sẽ ổn thôi), nhưng theo quan điểm toán học, từ “phức tạp” không có nghĩa là “khó”.

Hãy tưởng tượng một băng chuyền nhỏ: hai người đang ngồi và thực hiện một số hành động với một số đồ vật. Ví dụ, cái đầu tiên bọc một thanh sô cô la trong giấy gói và cái thứ hai buộc nó bằng một dải ruy băng. Kết quả là một vật thể tổng hợp: một thanh sô cô la được gói và buộc bằng một dải ruy băng. Để ăn sô cô la, bạn cần phải làm hành động ngược lại theo thứ tự ngược lại.

Hãy tạo một quy trình toán học tương tự: đầu tiên chúng ta sẽ tìm cosin của một số, sau đó bình phương số kết quả. Vì vậy, chúng ta được cho một con số (sô cô la), tôi tìm cosin của nó (vỏ bọc), và sau đó bạn bình phương những gì tôi nhận được (buộc nó bằng một dải ruy băng). Chuyện gì đã xảy ra thế? Chức năng. Đây là một ví dụ về hàm phức tạp: khi, để tìm giá trị của nó, chúng ta thực hiện hành động đầu tiên trực tiếp với biến và sau đó là hành động thứ hai với kết quả của hành động đầu tiên.

Chúng ta có thể dễ dàng thực hiện các bước tương tự theo thứ tự ngược lại: đầu tiên bạn bình phương nó, sau đó tôi tìm cosin của số kết quả: . Thật dễ dàng để đoán rằng kết quả sẽ hầu như luôn khác nhau. Tính năng quan trọng hàm phức tạp: khi thứ tự các hành động thay đổi thì hàm cũng thay đổi.

Nói cách khác, một hàm phức tạp là một hàm có đối số là một hàm khác: .

Đối với ví dụ đầu tiên, .

Ví dụ thứ hai: (điều tương tự). .

Hành động chúng ta thực hiện cuối cùng sẽ được gọi chức năng "bên ngoài" và hành động được thực hiện đầu tiên - tương ứng chức năng "nội bộ"(đây là những tên không chính thức, tôi chỉ sử dụng chúng để giải thích tài liệu bằng ngôn ngữ đơn giản).

Hãy cố gắng tự mình xác định chức năng nào là bên ngoài và chức năng nào là bên trong:

Câu trả lời: Việc tách các hàm bên trong và bên ngoài rất giống với việc thay đổi các biến: ví dụ: trong một hàm

  1. Hành động nào chúng ta sẽ thực hiện đầu tiên? Đầu tiên, hãy tính sin và chỉ sau đó lập phương cho nó. Điều này có nghĩa là nó là một chức năng bên trong, nhưng là một chức năng bên ngoài.
    Và chức năng ban đầu là thành phần của chúng: .
  2. Nội bộ: ; bên ngoài: .
    Bài kiểm tra: .
  3. Nội bộ: ; bên ngoài: .
    Bài kiểm tra: .
  4. Nội bộ: ; bên ngoài: .
    Bài kiểm tra: .
  5. Nội bộ: ; bên ngoài: .
    Bài kiểm tra: .

Chúng tôi thay đổi các biến và nhận được một hàm.

Bây giờ chúng ta sẽ trích xuất thanh sô cô la của mình và tìm đạo hàm. Quy trình luôn đảo ngược: đầu tiên chúng ta tìm đạo hàm của hàm ngoài, sau đó chúng ta nhân kết quả với đạo hàm chức năng nội tại. Liên quan đến ví dụ ban đầu, nó trông như thế này:

Một ví dụ khác:

Vì vậy, cuối cùng chúng ta hãy xây dựng quy tắc chính thức:

Thuật toán tìm đạo hàm của hàm phức:

Nó có vẻ đơn giản, phải không?

Hãy kiểm tra với các ví dụ:

Giải pháp:

1) Nội bộ: ;

Bên ngoài: ;

2) Nội bộ: ;

(Chỉ cần đừng cố cắt nó vào lúc này! Không có gì thoát ra từ dưới cosin, nhớ không?)

3) Nội bộ: ;

Bên ngoài: ;

Rõ ràng ngay rằng đây là một hàm phức tạp ba cấp: xét cho cùng, bản thân nó đã là một hàm phức tạp và chúng ta cũng trích xuất gốc từ nó, tức là chúng ta thực hiện hành động thứ ba (đặt sô cô la vào một cái bọc và với một dải ruy băng trong cặp). Nhưng không có lý do gì phải sợ: chúng ta vẫn sẽ “giải nén” hàm này theo thứ tự như thường lệ: từ cuối.

Nghĩa là, đầu tiên chúng ta phân biệt căn bậc hai, sau đó là cosin và chỉ sau đó là biểu thức trong ngoặc. Và sau đó chúng tôi nhân tất cả.

Trong những trường hợp như vậy, việc đánh số các hành động sẽ thuận tiện hơn. Đó là, hãy tưởng tượng những gì chúng ta biết. Chúng ta sẽ thực hiện các hành động theo thứ tự nào để tính giá trị của biểu thức này? Hãy xem một ví dụ:

Hành động được thực hiện càng muộn thì chức năng tương ứng sẽ càng “bên ngoài”. Trình tự các hành động vẫn giống như trước:

Ở đây việc lồng ghép thường có 4 cấp độ. Hãy xác định quá trình hành động.

1. Biểu hiện cấp tiến. .

2. Gốc. .

3. Sin. .

4. Hình vuông. .

5. Kết hợp tất cả lại với nhau:

PHÁT SINH. GIỚI THIỆU VỀ NHỮNG ĐIỀU CHÍNH

Đạo hàm của hàm- tỷ lệ giữa mức tăng của hàm và mức tăng của đối số đối với mức tăng vô hạn của đối số:

Các dẫn xuất cơ bản:

Quy luật phân biệt:

Hằng số được lấy ra khỏi dấu đạo hàm:

Đạo hàm của tổng:

Dẫn xuất của sản phẩm:

Đạo hàm của thương:

Đạo hàm của hàm phức:

Thuật toán tìm đạo hàm của hàm phức:

  1. Chúng ta định nghĩa hàm “nội bộ” và tìm đạo hàm của nó.
  2. Chúng ta định nghĩa hàm “bên ngoài” và tìm đạo hàm của nó.
  3. Chúng tôi nhân kết quả của điểm đầu tiên và điểm thứ hai.

Ví dụ được đưa ra về cách tính đạo hàm bằng cách sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm phức.

Sau đây chúng tôi đưa ra ví dụ về tính đạo hàm của chức năng sau đây:
; ; ; ; .

Nếu một hàm có thể được biểu diễn dưới dạng hàm phức trong mẫu sau:
,
thì đạo hàm của nó được xác định theo công thức:
.
Trong các ví dụ dưới đây, chúng ta sẽ viết công thức này như sau:
.
Ở đâu .
Ở đây, các chỉ số dưới hoặc , nằm dưới dấu đạo hàm, biểu thị các biến dùng để thực hiện phép vi phân.

Thông thường, trong bảng đạo hàm sẽ cho trước đạo hàm của hàm số theo biến x.

Tuy nhiên, x là một tham số hình thức. Biến x có thể được thay thế bằng bất kỳ biến nào khác. Do đó, khi vi phân một hàm số với một biến, chúng ta chỉ cần đổi biến x thành biến u trong bảng đạo hàm.

Ví dụ đơn giản

Ví dụ 1
.

Tìm đạo hàm của hàm phức

Giải pháp Hãy viết nó ra hàm đã cho
.
ở dạng tương đương:
;
.

Trong bảng đạo hàm ta thấy:
.
Theo công thức đạo hàm của hàm số phức, ta có:

Đây .

Trả lời

Ví dụ 2
.

Tìm đạo hàm của hàm phức

Tìm đạo hàm
.


.
Theo công thức đạo hàm của hàm số phức, ta có:

Đây .

Ta lấy hằng số 5 ra khỏi dấu đạo hàm và từ bảng đạo hàm ta tìm được:

Ví dụ 3
.

Tìm đạo hàm của hàm phức

Tìm đạo hàm -1 Chúng tôi lấy ra một hằng số
;
đối với dấu của đạo hàm và từ bảng đạo hàm ta tìm được:
.

Từ bảng đạo hàm ta tìm được:
.
Theo công thức đạo hàm của hàm số phức, ta có:

Đây .

Chúng ta áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm phức:

Ví dụ phức tạp hơn Trong hơn ví dụ phức tạp chúng ta áp dụng quy tắc lấy đạo hàm một hàm phức nhiều lần. Trong trường hợp này, chúng tôi tính đạo hàm từ cuối. Nghĩa là, chúng ta chia hàm thành các phần thành phần của nó và tìm đạo hàm của các phần đơn giản nhất bằng cách sử dụng bảng dẫn xuất . Chúng tôi cũng sử dụng quy tắc phân biệt tổng

, sản phẩm và phân số. Sau đó, chúng ta thực hiện phép thay thế và áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm phức.

Ví dụ 3
.

Tìm đạo hàm của hàm phức

Ví dụ 4 Hãy làm nổi bật nhất phần đơn giản



.
công thức và tìm đạo hàm của nó. .
.

Ở đây chúng tôi đã sử dụng ký hiệu
.

Chúng ta tìm đạo hàm của phần tiếp theo của hàm ban đầu bằng cách sử dụng kết quả thu được. Ta áp dụng quy tắc đạo hàm tổng:

.
Theo công thức đạo hàm của hàm số phức, ta có:

Đây .

Một lần nữa chúng ta áp dụng quy tắc lấy vi phân của các hàm phức.

Ví dụ 5
.

Tìm đạo hàm của hàm phức

Tìm đạo hàm của hàm số

Hãy chọn phần đơn giản nhất của công thức và tìm đạo hàm của nó từ bảng đạo hàm. .
.
Chúng tôi áp dụng quy tắc phân biệt các hàm phức tạp.
.