Một dự án về đạo hàm của một hàm phức tạp. Đạo hàm của hàm

Nếu bạn làm theo định nghĩa thì đạo hàm của hàm số tại một điểm là giới hạn của tỉ số gia tăng của hàm Δ yđến mức tăng đối số Δ x:

Mọi thứ dường như đã rõ ràng. Nhưng hãy thử sử dụng công thức này để tính đạo hàm của hàm số f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x tội lỗi x. Nếu bạn làm mọi thứ theo định nghĩa, thì sau một vài trang tính toán, bạn sẽ chìm vào giấc ngủ. Vì vậy, có những cách đơn giản và hiệu quả hơn.

Để bắt đầu, chúng tôi lưu ý rằng trong toàn bộ các hàm, chúng ta có thể phân biệt cái gọi là hàm cơ bản. Nó tương đối biểu thức đơn giản, các đạo hàm đã được tính toán và liệt kê từ lâu trong bảng. Các hàm như vậy khá dễ nhớ - cùng với các dẫn xuất của chúng.

Đạo hàm của hàm cơ bản

Các chức năng cơ bản là tất cả những chức năng được liệt kê dưới đây. Đạo hàm của những hàm số này phải thuộc lòng. Hơn nữa, việc ghi nhớ chúng không hề khó khăn - đó là lý do tại sao chúng rất sơ cấp.

Vì vậy, các dẫn xuất hàm cơ bản:

Tên Chức năng phái sinh
Không thay đổi f(x) = C, C ∈ R 0 (vâng, không!)
Sức mạnh với số mũ hợp lý f(x) = x N N · x N − 1
xoang f(x) = tội lỗi x vì x
Cô sin f(x) = cos x −tội lỗi x(trừ sin)
Đường tiếp tuyến f(x) = tg x 1/cos 2 x
cotang f(x) = ctg x − 1/sin 2 x
logarit tự nhiên f(x) = nhật ký x 1/x
Logarit tùy ý f(x) = nhật ký Một x 1/(x ln Một)
hàm số mũ f(x) = e x e x(không có gì thay đổi)

Nếu nhân một hàm cơ bản với một hằng số tùy ý thì đạo hàm của hàm mới cũng dễ dàng tính được:

(C · f)’ = C · f ’.

Nói chung, các hằng số có thể được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm. Ví dụ:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Rõ ràng, các hàm cơ bản có thể được cộng với nhau, nhân, chia - và nhiều hơn thế nữa. Bằng cách này, các hàm mới sẽ xuất hiện, không còn đặc biệt cơ bản nữa mà còn có khả năng phân biệt đối với quy tắc nhất định. Những quy tắc này sẽ được thảo luận dưới đây.

Đạo hàm của tổng và hiệu

Hãy để các chức năng được đưa ra f(x) Và g(x), các dẫn xuất của chúng đã được chúng ta biết đến. Ví dụ: bạn có thể lấy các hàm cơ bản được thảo luận ở trên. Sau đó, bạn có thể tìm đạo hàm của tổng và hiệu của các hàm này:

  1. (f + g)’ = f ’ + g ’
  2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Vì vậy, đạo hàm của tổng (vi phân) của hai hàm số bằng tổng (vi phân) của các đạo hàm. Có thể có nhiều điều khoản hơn. Ví dụ, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Nói đúng ra, không có khái niệm “trừ” trong đại số. Có một khái niệm " yếu tố tiêu cực" Do đó sự khác biệt f − g có thể được viết lại dưới dạng tổng f+ (−1) g, và khi đó chỉ còn lại một công thức - đạo hàm của tổng.

f(x) = x 2 + tội x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Chức năng f(x) là tổng của hai hàm cơ bản, do đó:

f ’(x) = (x 2 + tội lỗi x)’ = (x 2)' + (tội lỗi x)’ = 2x+ cos x;

Chúng ta suy luận tương tự cho hàm g(x). Chỉ có ba số hạng (theo quan điểm của đại số):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Trả lời:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Dẫn xuất của sản phẩm

Toán học là một môn khoa học logic nên nhiều người cho rằng nếu đạo hàm của một tổng bằng tổng các đạo hàm thì đạo hàm của tích đánh đập">bằng tích của đạo hàm. Nhưng kệ bạn! Đạo hàm của một tích được tính bằng một công thức hoàn toàn khác. Cụ thể là:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Công thức rất đơn giản nhưng thường bị quên. Và không chỉ học sinh, mà cả học sinh. Kết quả là giải quyết vấn đề không chính xác.

Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Chức năng f(x) là tích của hai hàm cơ bản, nên mọi thứ đều đơn giản:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ vì x + x 3 (vì x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x tội lỗi x)

Chức năng g(x) yếu tố đầu tiên phức tạp hơn một chút, nhưng sơ đồ chungđiều này không thay đổi. Rõ ràng, thừa số đầu tiên của hàm g(x) là một đa thức và đạo hàm của nó là đạo hàm của tổng. Chúng tôi có:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Trả lời:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x tội lỗi x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Xin lưu ý rằng ở bước cuối cùng đạo hàm được phân tích thành thừa số. Về mặt hình thức, điều này không cần phải được thực hiện, nhưng hầu hết các đạo hàm không được tính toán riêng mà để kiểm tra hàm. Điều này có nghĩa là đạo hàm tiếp theo sẽ bằng 0, dấu của nó sẽ được xác định, v.v. Đối với trường hợp như vậy, tốt hơn là nên phân tích biểu thức thành nhân tử.

Nếu có hai hàm f(x) Và g(x), Và g(x) ≠ 0 trên tập cần quan tâm, chúng ta có thể xác định tính năng mới h(x) = f(x)/g(x). Đối với hàm như vậy, bạn cũng có thể tìm đạo hàm:

Không yếu đâu nhỉ? Điểm trừ đến từ đâu? Tại sao g 2? Và như vậy! Đây là một trong những công thức phức tạp- Bạn không thể tìm ra nó nếu không có chai. Vì vậy, tốt hơn là nên nghiên cứu nó ở ví dụ cụ thể.

Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số:

Tử số và mẫu số của mỗi phân số đều chứa các hàm cơ bản, vì vậy tất cả những gì chúng ta cần là công thức tính đạo hàm của thương:


Theo truyền thống, hãy phân tích tử số thành nhân tử - điều này sẽ đơn giản hóa rất nhiều câu trả lời:

Một hàm số phức không nhất thiết phải là một công thức dài nửa km. Ví dụ, chỉ cần lấy hàm f(x) = tội lỗi x và thay thế biến x, nói, trên x 2 + ln x. Nó sẽ thành công f(x) = tội lỗi ( x 2 + ln x) - đây là một hàm phức tạp. Nó cũng có đạo hàm, nhưng sẽ không thể tìm được nó bằng cách sử dụng các quy tắc đã thảo luận ở trên.

Tôi nên làm gì? Trong những trường hợp như vậy, việc thay thế biến và công thức đạo hàm sẽ giúp hàm phức tạp:

f ’(x) = f ’(t) · t', Nếu như xđược thay thế bởi t(x).

Theo quy định, tình huống hiểu công thức này thậm chí còn đáng buồn hơn so với việc hiểu đạo hàm của thương. Vì vậy, tốt hơn hết là nên giải thích nó bằng những ví dụ cụ thể, với mô tả chi tiết mỗi bước.

Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = tội lỗi ( x 2 + ln x)

Lưu ý rằng nếu trong hàm f(x) thay cho biểu thức 2 x+ 3 sẽ dễ dàng x, khi đó chúng ta nhận được một hàm cơ bản f(x) = e x. Vì vậy, chúng tôi thực hiện thay thế: hãy để 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Chúng ta tìm đạo hàm của hàm phức bằng công thức:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Và bây giờ - chú ý! Chúng tôi thực hiện thay thế ngược lại: t = 2x+ 3. Ta có:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào chức năng g(x). Rõ ràng là cần phải thay thế x 2 + ln x = t. Chúng tôi có:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (tội lỗi t)’ · t’ = vì t · t ’

Thay thế ngược lại: t = x 2 + ln x. Sau đó:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Thế thôi! Như có thể thấy từ biểu thức cuối cùng, toàn bộ vấn đề được rút gọn thành việc tính tổng đạo hàm.

Trả lời:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Rất thường xuyên trong các bài học của tôi, thay vì thuật ngữ “phái sinh”, tôi sử dụng từ “nguyên tố”. Ví dụ, một số nguyên tố từ số tiền bằng tổngđột quỵ. Điều đó có rõ ràng hơn không? Tốt đấy.

Do đó, việc tính đạo hàm nhằm loại bỏ các nét tương tự theo các quy tắc đã thảo luận ở trên. BẰNG ví dụ cuối cùng Hãy quay trở lại lũy thừa đạo hàm với số mũ hợp lý:

(x N)’ = N · x N − 1

Ít người biết rằng trong vai diễn N có thể hành động tốt số phân số. Ví dụ, gốc là x 0,5. Điều gì sẽ xảy ra nếu có thứ gì đó lạ mắt dưới gốc? Một lần nữa, kết quả sẽ là một hàm phức tạp - họ thích đưa ra những cách xây dựng như vậy cho kiểm traồ và các kỳ thi.

Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số:

Đầu tiên, hãy viết lại căn thức dưới dạng lũy ​​thừa với số mũ hữu tỉ:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Bây giờ chúng ta thực hiện thay thế: hãy để x 2 + 8x − 7 = t. Chúng ta tìm đạo hàm bằng công thức:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Hãy thực hiện thay thế ngược lại: t = x 2 + 8x− 7. Ta có:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Cuối cùng, quay trở lại cội nguồn:

Đạo hàm của hàm phức. Ví dụ về giải pháp

Trong bài học này chúng ta sẽ học cách tìm đạo hàm của hàm phức. Bài học là sự tiếp nối hợp lý của bài học Làm thế nào để tìm đạo hàm?, trên đó chúng ta đã xem xét các đạo hàm đơn giản nhất và cũng đã làm quen với các quy tắc vi phân và một số phương pháp kỹ thuật tìm đạo hàm. Vì vậy, nếu bạn không giỏi về đạo hàm của hàm số hoặc nếu một số điểm trong bài viết này không hoàn toàn rõ ràng, thì trước tiên hãy đọc bài học trên. Xin hãy có tâm trạng nghiêm túc - tài liệu không hề đơn giản nhưng tôi vẫn sẽ cố gắng trình bày một cách đơn giản và rõ ràng.

Trong thực tế, bạn phải thường xuyên xử lý đạo hàm của một hàm phức, tôi thậm chí có thể nói, hầu như luôn luôn, khi bạn được giao nhiệm vụ tìm đạo hàm.

Chúng ta nhìn vào bảng theo quy tắc (số 5) để phân biệt một hàm phức:

Hãy tìm ra nó. Trước hết, chúng ta hãy chú ý đến mục nhập. Ở đây chúng ta có hai hàm – và , và hàm này, nói theo nghĩa bóng, được lồng trong hàm . Hàm thuộc loại này (khi một hàm được lồng trong một hàm khác) được gọi là hàm phức.

Tôi sẽ gọi hàm chức năng bên ngoài, và hàm – hàm nội bộ (hoặc lồng nhau).

! Những định nghĩa này không mang tính lý thuyết và không nên xuất hiện trong thiết kế cuối cùng của bài tập. tôi nộp đơn cách diễn đạt không chính thức“Chức năng bên ngoài”, chức năng “nội bộ” chỉ để giúp bạn hiểu tài liệu dễ dàng hơn.

Để làm rõ tình hình, hãy xem xét:

Ví dụ 1

Tìm đạo hàm của một hàm số

Dưới sin, chúng ta không chỉ có chữ “X” mà còn có cả một biểu thức, vì vậy việc tìm đạo hàm ngay từ bảng sẽ không hiệu quả. Chúng ta cũng nhận thấy rằng không thể áp dụng bốn quy tắc đầu tiên ở đây, dường như có sự khác biệt, nhưng thực tế là sin không thể “xé thành từng mảnh”:

TRONG trong ví dụ này Bằng trực giác, những lời giải thích của tôi đã rõ ràng rằng một hàm là một hàm phức và đa thức là một hàm bên trong (nhúng) và một hàm bên ngoài.

Bước đầu tiênĐiều bạn cần làm khi tìm đạo hàm của hàm phức là hiểu chức năng nào là bên trong và chức năng nào là bên ngoài.

Trong trường hợp ví dụ đơn giản Có vẻ như rõ ràng là một đa thức được nhúng dưới sin. Nhưng nếu mọi thứ không rõ ràng thì sao? Làm thế nào để xác định chính xác chức năng nào là bên ngoài và chức năng nào là bên trong? Để làm điều này, tôi khuyên bạn nên sử dụng kỹ thuật sau, kỹ thuật này có thể được thực hiện trong đầu hoặc bằng bản nháp.

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta cần sử dụng máy tính để tính giá trị của biểu thức tại (thay vì một có thể có bất kỳ số nào).

Đầu tiên chúng ta sẽ tính gì? đầu tiên bạn sẽ cần thực hiện hành động sau: , do đó đa thức sẽ là một hàm nội tại:

Thứ hai sẽ cần phải được tìm thấy, vì vậy sin – sẽ là một hàm ngoài:

Sau khi chúng tôi BÁN HẾT Với các hàm bên trong và bên ngoài, đã đến lúc áp dụng quy tắc lấy vi phân của các hàm phức tạp.

Hãy bắt đầu quyết định. Từ lớp Làm thế nào để tìm đạo hàm? chúng tôi nhớ rằng việc thiết kế một giải pháp cho bất kỳ đạo hàm nào luôn bắt đầu như thế này - chúng tôi đặt biểu thức trong ngoặc và đặt một nét ở trên cùng bên phải:

Lúc đầu Ta tìm đạo hàm của hàm ngoài (sine), nhìn vào bảng đạo hàm của các hàm cơ bản và nhận thấy rằng . Tất cả các công thức bảng cũng có thể áp dụng được nếu “x” được thay thế bằng một biểu thức phức tạp, V trong trường hợp này:

Xin lưu ý rằng chức năng bên trong không thay đổi, chúng tôi không chạm vào nó.

Chà, điều đó khá rõ ràng

Kết quả cuối cùng của việc áp dụng công thức trông như thế này:

hệ số nhân không đổi thường được đặt ở đầu biểu thức:

Nếu có sự hiểu lầm, hãy viết lời giải ra giấy và đọc lại lời giải thích.

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ví dụ 3

Tìm đạo hàm của một hàm số

Như mọi khi, chúng tôi viết ra:

Hãy cùng tìm hiểu xem chúng ta có chức năng bên ngoài ở đâu và ở đâu chúng ta có chức năng bên trong. Để làm điều này, chúng tôi cố gắng (trong đầu hoặc trong bản nháp) tính giá trị của biểu thức tại . Bạn nên làm gì đầu tiên? Trước hết, bạn cần tính cơ số bằng bao nhiêu: do đó, đa thức là hàm bên trong:

Và chỉ khi đó phép lũy thừa mới được thực hiện, do đó, hàm lũy thừa là hàm ngoài:

Theo công thức, trước tiên bạn cần tìm đạo hàm của hàm ngoài, trong trường hợp này là độ. Tìm kiếm trong bảng công thức cần thiết: . Chúng tôi nhắc lại một lần nữa: bất kì công thức dạng bảng hợp lệ không chỉ với “x”, mà còn với các biểu thức phức tạp. Như vậy, kết quả của việc áp dụng quy tắc đạo hàm hàm phức như sau:

Tôi nhấn mạnh một lần nữa rằng khi chúng ta lấy đạo hàm của hàm ngoài thì hàm bên trong của chúng ta không thay đổi:

Bây giờ tất cả những gì còn lại là tìm một đạo hàm rất đơn giản của hàm nội và điều chỉnh kết quả một chút:

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là một ví dụ cho quyết định độc lập(trả lời ở cuối bài).

Để củng cố sự hiểu biết của các bạn về đạo hàm của một hàm phức, tôi sẽ đưa ra một ví dụ không cần nhận xét, các bạn thử tự tìm hiểu xem tại sao hàm bên ngoài và hàm bên trong nằm ở đâu, tại sao các nhiệm vụ lại được giải quyết theo cách này?

Ví dụ 5

a) Tìm đạo hàm của hàm số

b) Tìm đạo hàm của hàm số

Ví dụ 6

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ở đây chúng ta có một gốc, và để phân biệt được gốc thì nó phải được biểu diễn dưới dạng lũy ​​thừa. Vì vậy, trước tiên chúng ta đưa hàm về dạng thích hợp để lấy vi phân:

Phân tích hàm số, chúng ta đi đến kết luận rằng tổng của ba số hạng là hàm bên trong, còn lũy thừa là hàm bên ngoài. Chúng tôi áp dụng quy tắc phân biệt các hàm phức tạp:

Một lần nữa, chúng ta biểu diễn bậc dưới dạng căn (căn) và đối với đạo hàm của hàm nội, chúng ta áp dụng một quy tắc đơn giản để lấy đạo hàm tổng:

Sẵn sàng. Bạn cũng có thể đưa ra biểu thức trong ngoặc đơn cho mẫu số chung và viết mọi thứ dưới dạng một phân số. Tất nhiên là đẹp nhưng khi gặp những đạo hàm dài dòng, rườm rà thì tốt nhất bạn không nên làm điều này (dễ nhầm lẫn, mắc sai lầm không đáng có và giáo viên sẽ bất tiện khi kiểm tra).

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là ví dụ để các bạn tự giải (có đáp án ở cuối bài).

Thật thú vị khi lưu ý rằng đôi khi thay vì quy tắc lấy đạo hàm một hàm số phức, bạn có thể sử dụng quy tắc lấy đạo hàm một thương số. , nhưng giải pháp như vậy sẽ giống như một trò đồi trụy buồn cười. Đây là một ví dụ điển hình:



Ví dụ 8

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ở đây bạn có thể sử dụng quy tắc phân biệt thương số , nhưng sẽ có lợi hơn nhiều khi tìm đạo hàm thông qua quy tắc đạo hàm của hàm phức:

Chúng ta chuẩn bị hàm để phân biệt - chúng ta chuyển dấu trừ ra khỏi dấu đạo hàm và nâng cosin vào tử số:

Cosine là hàm bên trong, lũy thừa là hàm bên ngoài.
Hãy sử dụng quy tắc của chúng tôi:

Chúng ta tìm đạo hàm của hàm nội và đặt lại cosin:

Sẵn sàng. Trong ví dụ được xem xét, điều quan trọng là không bị nhầm lẫn giữa các dấu hiệu. Nhân tiện, hãy thử giải nó bằng cách sử dụng quy tắc , các câu trả lời phải trùng khớp.

Ví dụ 9

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là ví dụ để các bạn tự giải (có đáp án ở cuối bài).

Cho đến nay chúng ta đã xem xét các trường hợp trong đó chúng ta chỉ có một lần lồng trong một hàm phức tạp. Trong các nhiệm vụ thực tế, bạn thường có thể tìm thấy các dẫn xuất, trong đó, giống như những con búp bê lồng nhau, cái này bên trong cái kia, 3 hoặc thậm chí 4-5 hàm được lồng cùng một lúc.

Ví dụ 10

Tìm đạo hàm của một hàm số

Hãy hiểu các tệp đính kèm của chức năng này. Hãy thử tính biểu thức bằng cách sử dụng giá trị thực nghiệm. Làm sao chúng ta có thể đếm được trên một chiếc máy tính?

Trước tiên, bạn cần tìm , có nghĩa là arcsine là phần nhúng sâu nhất:

Arcsine này của một sẽ được bình phương:

Và cuối cùng, chúng ta nâng số 7 lên lũy thừa:

Nghĩa là, trong ví dụ này chúng ta có ba chức năng khác nhau và hai phần nhúng, với hàm trong cùng là arcsine và hàm ngoài cùng là hàm mũ.

Hãy bắt đầu quyết định

Theo quy tắc, trước tiên bạn cần lấy đạo hàm của hàm ngoài. Ta nhìn vào bảng đạo hàm và tìm đạo hàm hàm số mũ: Sự khác biệt duy nhất là thay vì “X” chúng ta có biểu hiện phức tạp, điều này không phủ nhận tính đúng đắn của công thức này. Vì vậy, kết quả của việc áp dụng quy tắc lấy đạo hàm của hàm phức như sau:

Dưới nét vẽ, chúng ta lại có một hàm phức tạp! Nhưng nó đã đơn giản hơn rồi. Dễ dàng xác minh rằng hàm bên trong là arcsine, hàm bên ngoài là bậc. Theo quy tắc lấy đạo hàm của hàm số phức, trước tiên bạn cần lấy đạo hàm lũy thừa.

Từ khi đến đây chắc hẳn các bạn đã nhìn thấy công thức này trong sách giáo khoa

và làm một khuôn mặt như thế này:

Bạn ơi, đừng lo lắng! Trong thực tế, mọi thứ chỉ đơn giản là thái quá. Bạn chắc chắn sẽ hiểu mọi thứ. Chỉ một yêu cầu - đọc bài viết dành thời gian của bạn, cố gắng hiểu từng bước. Tôi đã viết đơn giản và rõ ràng nhất có thể nhưng bạn vẫn cần hiểu ý. Và hãy chắc chắn để giải quyết các nhiệm vụ từ bài viết.

Một chức năng phức tạp là gì?

Hãy tưởng tượng rằng bạn đang chuyển đến một căn hộ khác và do đó đóng gói đồ đạc vào những chiếc hộp lớn. Giả sử bạn cần thu thập một số vật dụng nhỏ, chẳng hạn như tài liệu viết ở trường. Nếu bạn chỉ ném chúng vào một chiếc hộp lớn, chúng sẽ bị lạc giữa những thứ khác. Để tránh điều này, trước tiên, bạn hãy đặt chúng, chẳng hạn như vào một chiếc túi, sau đó bạn cho vào một chiếc hộp lớn, sau đó bạn niêm phong lại. Quá trình “phức tạp” này được trình bày trong sơ đồ dưới đây:

Có vẻ như toán học có liên quan gì đến nó? Có, mặc dù thực tế là một hàm phức tạp được hình thành theo cách CHÍNH XÁC CÙNG! Chỉ có điều chúng tôi “đóng gói” không phải sổ và bút mà là \(x\), trong khi “gói” và “hộp” là khác nhau.

Ví dụ: hãy lấy x và “đóng gói” nó thành một hàm:


Tất nhiên, kết quả là chúng ta nhận được \(\cos⁡x\). Đây chính là “túi đựng đồ” của chúng tôi. Bây giờ chúng ta hãy đặt nó vào một “chiếc hộp” - chẳng hạn như đóng gói nó thành một hàm bậc ba.


Điều gì sẽ xảy ra cuối cùng? Vâng, đúng vậy, sẽ có một “túi đựng đồ trong hộp”, tức là “cosine X lập phương”.

Thiết kế kết quả là một chức năng phức tạp. Nó khác với cái đơn giản ở chỗ MỘT SỐ “tác động” (gói) được áp dụng cho một X liên tiếp và hóa ra là “chức năng từ chức năng” - “đóng gói trong bao bì”.

TRONG khóa học Có rất ít loại “gói” này, chỉ có bốn loại:

Bây giờ chúng ta hãy “đóng gói” X trước tiên thành một hàm số mũ với cơ số 7, sau đó thành hàm lượng giác. Chúng tôi nhận được:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Bây giờ hãy “đóng gói” X hai lần vào hàm lượng giác, đầu tiên là trong , sau đó là trong:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Đơn giản phải không?

Bây giờ hãy tự viết các hàm, trong đó x:
- đầu tiên nó được “đóng gói” thành một cosin, sau đó thành một hàm số mũ với cơ số \(3\);
- đầu tiên là lũy thừa thứ năm, sau đó là tiếp tuyến;
- đầu tiên là logarit cơ số \(4\) , sau đó tới lũy thừa \(-2\).

Tìm câu trả lời cho nhiệm vụ này ở cuối bài viết.

Chúng ta có thể “đóng gói” X không phải hai mà là ba lần không? Vâng, không có vấn đề gì! Và bốn, năm và hai mươi lăm lần. Ví dụ, đây là một hàm trong đó x được “đóng gói” \(4\) lần:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Nhưng những công thức như vậy thực tập ở trường sẽ không gặp nhau (học sinh may mắn hơn - mọi thứ có thể khó khăn hơn với các em☺).

"Giải nén" một hàm phức tạp

Nhìn lại chức năng trước đó. Bạn có thể tìm ra trình tự “đóng gói” không? Cái gì X được nhét vào đầu tiên, cái gì sau đó, v.v. cho đến cuối cùng. Nghĩa là, hàm nào được lồng trong hàm nào? Hãy lấy một tờ giấy và viết ra những gì bạn nghĩ. Bạn có thể làm điều này với một chuỗi có mũi tên như chúng tôi đã viết ở trên hoặc theo bất kỳ cách nào khác.

Bây giờ câu trả lời đúng là: đầu tiên, x được “đóng gói” vào lũy thừa \(4\)th, sau đó kết quả được đóng gói vào sin, đến lượt nó, x được đặt vào logarit cơ số \(2\) , và cuối cùng toàn bộ công trình này đã bị đẩy vào vòng quyền lực.

Nghĩa là, bạn cần phải rút lại trình tự THEO TRÌNH TỰ ĐẢO NGƯỢC. Và đây là gợi ý về cách thực hiện dễ dàng hơn: ngay lập tức nhìn vào chữ X – bạn nên nhảy từ đó. Hãy xem xét một vài ví dụ.

Ví dụ: đây là hàm sau: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Chúng ta nhìn vào X – điều gì xảy ra với nó trước tiên? Lấy từ anh ấy. Và sau đó? Tiếp tuyến của kết quả được thực hiện. Trình tự sẽ giống nhau:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Một ví dụ khác: \(y=\cos⁡((x^3))\). Hãy phân tích - đầu tiên chúng ta lập phương X, sau đó lấy cosin của kết quả. Điều này có nghĩa là chuỗi sẽ là: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Hãy chú ý, chức năng này có vẻ giống với chức năng đầu tiên (có hình ảnh). Nhưng đây là một hàm hoàn toàn khác: ở đây trong khối là x (nghĩa là \(\cos⁡((x·x·x)))\), và trong khối có cosin \(x\) ( tức là \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Sự khác biệt này phát sinh từ trình tự "đóng gói" khác nhau.

Ví dụ cuối cùng (với thông tin quan trọng trong đó): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Rõ ràng họ đã làm gì ở đây đầu tiên các phép tính số học với x, sau đó lấy sin của kết quả: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Và cái này điểm quan trọng: mặc dù thực tế là bản thân các phép toán số học không phải là chức năng, nhưng ở đây chúng cũng hoạt động như một cách “đóng gói”. Chúng ta hãy đi sâu hơn một chút vào sự tinh tế này.

Như tôi đã nói ở trên, trong các hàm đơn giản x được “đóng gói” một lần và trong các hàm phức tạp - hai hoặc nhiều hơn. Hơn nữa, bất kỳ sự kết hợp nào của các hàm đơn giản (nghĩa là tổng, hiệu, nhân hoặc chia của chúng) cũng chức năng đơn giản. Ví dụ: \(x^7\) là một hàm đơn giản và \(ctg x\) cũng vậy. Điều này có nghĩa là tất cả các kết hợp của chúng đều là các hàm đơn giản:

\(x^7+ ctg x\) - đơn giản,
\(x^7· cot x\) – đơn giản,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – đơn giản, v.v.

Tuy nhiên, nếu thêm một hàm nữa được áp dụng cho tổ hợp như vậy thì nó sẽ trở thành một hàm phức tạp vì sẽ có hai “gói”. Xem sơ đồ:



Được rồi, tiếp tục đi. Viết trình tự các hàm “gói”:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Câu trả lời một lần nữa ở cuối bài viết.

Chức năng bên trong và bên ngoài

Tại sao chúng ta cần hiểu hàm lồng nhau? Điều này mang lại cho chúng ta điều gì? Thực tế là nếu không có sự phân tích như vậy, chúng ta sẽ không thể tìm ra đạo hàm của các hàm đã thảo luận ở trên một cách đáng tin cậy.

Và để tiếp tục, chúng ta sẽ cần thêm hai khái niệm nữa: chức năng bên trong và chức năng bên ngoài. Điều này rất điều đơn giản Hơn nữa, trên thực tế, chúng tôi đã phân tích chúng ở trên: nếu chúng ta nhớ lại sự tương tự của chúng ta ngay từ đầu, thì hàm bên trong là một “gói” và hàm bên ngoài là một “hộp”. Những thứ kia. cái mà X được “bao bọc” trước tiên là một hàm bên trong, và cái mà hàm bên trong được “bọc” vào đã là hàm bên ngoài. Chà, rõ ràng là tại sao - cô ấy ở bên ngoài, có nghĩa là bên ngoài.

Trong ví dụ này: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), hàm \(\log_2⁡x\) là hàm nội bộ và
- bên ngoài.

Và trong điều này: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) là nội bộ và
- bên ngoài.

Hoàn thành bài thực hành cuối cùng về phân tích các hàm phức tạp và cuối cùng chúng ta hãy chuyển sang những gì chúng ta đã bắt đầu - chúng ta sẽ tìm đạo hàm của các hàm phức:

Điền vào chỗ trống trong bảng:


Đạo hàm của hàm phức

Hoan hô chúng ta, cuối cùng chúng ta cũng đã hiểu được “ông trùm” của chủ đề này - trên thực tế, đạo hàm của một hàm phức, và cụ thể là của công thức rất khủng khiếp ở đầu bài viết.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Công thức này đọc như thế này:

Đạo hàm của một hàm phức bằng tích của đạo hàm của hàm ngoài đối với một hàm trong không đổi và đạo hàm của hàm trong.

Và nhìn ngay vào sơ đồ phân tích cú pháp, theo từng chữ để bạn hiểu phải làm gì với cái gì:

Tôi hy vọng thuật ngữ “phái sinh” và “sản phẩm” không gây khó khăn gì. “Chức năng phức tạp” - chúng tôi đã sắp xếp nó rồi. Việc nắm bắt nằm ở “đạo hàm của hàm bên ngoài đối với hàm không đổi bên trong”. Nó là gì vậy?

Trả lời: Đây là đạo hàm thông thường của hàm ngoài, trong đó chỉ có hàm ngoài thay đổi, còn hàm trong không đổi. Vẫn chưa rõ ràng? Được rồi, hãy sử dụng một ví dụ.

Chúng ta hãy có một hàm \(y=\sin⁡(x^3)\). Rõ ràng là hàm bên trong ở đây là \(x^3\) và hàm bên ngoài
. Bây giờ chúng ta hãy tìm đạo hàm của bên ngoài đối với hằng số bên trong.

Các dẫn xuất phức tạp. Đạo hàm logarit.
Đạo hàm của hàm số mũ

Chúng tôi tiếp tục cải thiện kỹ thuật khác biệt hóa của mình. Trong bài học này, chúng ta sẽ củng cố tài liệu đã trình bày, xem xét các đạo hàm phức tạp hơn, đồng thời làm quen với các kỹ thuật và thủ thuật mới để tìm đạo hàm, đặc biệt là với đạo hàm logarit.

Gửi tới những độc giả đã mức độ thấp chuẩn bị, bạn nên tham khảo bài viết Làm thế nào để tìm đạo hàm? Ví dụ về giải pháp, điều này sẽ cho phép bạn nâng cao kỹ năng của mình gần như ngay từ đầu. Tiếp theo, bạn cần nghiên cứu kỹ trang Đạo hàm của hàm phức, hiểu và giải quyết Tất cả những ví dụ tôi đã đưa ra. Về mặt logic, bài học này là bài học thứ ba và sau khi nắm vững nó, bạn sẽ tự tin phân tích các hàm số khá phức tạp. Việc đảm nhận vị trí “Còn đâu nữa? Thế là đủ rồi!”, vì tất cả các ví dụ và lời giải đều được lấy từ các thử nghiệm thực tế và thường gặp trong thực tế.

Hãy bắt đầu với sự lặp lại. trong lớp Đạo hàm của hàm phức Chúng tôi đã xem xét một số ví dụ với nhận xét chi tiết. Trong quá trình nghiên cứu phép tính vi phân và các phần khác phân tích toán học– bạn sẽ phải phân biệt rất thường xuyên và không phải lúc nào cũng thuận tiện (và không phải lúc nào cũng cần thiết) để mô tả các ví dụ một cách chi tiết. Vì vậy chúng ta sẽ luyện tập tìm đạo hàm bằng miệng. Các “ứng cử viên” phù hợp nhất cho việc này là dẫn xuất của các hàm phức tạp đơn giản nhất, ví dụ:

Theo quy tắc đạo hàm của hàm số phức :

Khi nghiên cứu các chủ đề matan khác trong tương lai, hầu hết không cần phải ghi lại chi tiết như vậy; người ta cho rằng học sinh biết cách tìm các dẫn xuất đó trên chế độ lái tự động. Hãy tưởng tượng vào lúc 3 giờ sáng có một cuộc gọi điện thoại, Và giọng nói dễ chịu hỏi: “Đạo hàm tiếp tuyến của hai X là bao nhiêu?” Tiếp theo đó là một phản ứng gần như ngay lập tức và lịch sự: .

Ví dụ đầu tiên sẽ được dùng ngay cho giải pháp độc lập.

Ví dụ 1

Tìm các đạo hàm sau bằng lời nói, trong một hành động, ví dụ: . Để hoàn thành nhiệm vụ bạn chỉ cần sử dụng bảng đạo hàm của các hàm cơ bản(nếu bạn chưa nhớ). Nếu bạn gặp khó khăn gì, tôi khuyên bạn nên đọc lại bài học Đạo hàm của hàm phức.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Đáp án ở cuối bài học

Các dẫn xuất phức tạp

Sau khi chuẩn bị pháo binh sơ bộ, các ví dụ có chức năng lồng nhau 3-4-5 sẽ bớt đáng sợ hơn. Có lẽ hai ví dụ sau đây có vẻ phức tạp đối với một số người, nhưng nếu bạn hiểu chúng (ai đó sẽ đau khổ), thì hầu hết mọi thứ khác trong phép tính vi phân Nó sẽ giống như một trò đùa của một đứa trẻ.

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của một hàm số

Như đã lưu ý, khi tìm đạo hàm của một hàm phức, trước hết cần phải Phải HIỂU khoản đầu tư của bạn. Trong trường hợp có nghi ngờ, tôi nhắc bạn thủ thuật hữu ích: chẳng hạn, chúng tôi lấy ý nghĩa thử nghiệm của “x” và cố gắng (trong đầu hoặc trong bản nháp) thay thế ý nghĩa này thành “biểu hiện khủng khiếp”.

1) Đầu tiên chúng ta cần tính biểu thức, nghĩa là tổng là nhúng sâu nhất.

2) Sau đó, bạn cần tính logarit:

4) Sau đó lập phương cosin:

5) Ở bước thứ năm sự khác biệt:

6) Và cuối cùng, chức năng bên ngoài nhất là căn bậc hai:

Công thức đạo hàm hàm phức sẽ được sử dụng trong thứ tự ngược lại, từ chức năng ngoài cùng đến chức năng trong cùng. Chúng tôi quyết định:

Dường như không có lỗi...

(1) Lấy đạo hàm của căn bậc hai.

(2) Chúng ta lấy đạo hàm của hiệu bằng quy tắc

(3) Đạo hàm của bộ ba bằng 0. Trong thuật ngữ thứ hai, chúng ta lấy đạo hàm của độ (khối lập phương).

(4) Lấy đạo hàm của cosin.

(5) Lấy đạo hàm logarit.

(6) Và cuối cùng, chúng ta lấy đạo hàm của mức nhúng sâu nhất.

Nó có vẻ quá khó khăn, nhưng đây không phải là ví dụ tàn bạo nhất. Lấy ví dụ, bộ sưu tập của Kuznetsov và bạn sẽ đánh giá cao tất cả vẻ đẹp và sự đơn giản của đạo hàm được phân tích. Tôi nhận thấy rằng họ thích đưa ra một điều tương tự trong một bài kiểm tra để kiểm tra xem học sinh có hiểu cách tìm đạo hàm của một hàm số phức hay không hiểu.

Ví dụ sau bạn tự giải nhé.

Ví dụ 3

Tìm đạo hàm của một hàm số

Gợi ý: Đầu tiên chúng ta áp dụng quy tắc tuyến tính và quy tắc phân biệt sản phẩm

Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Đã đến lúc chuyển sang thứ gì đó nhỏ hơn và đẹp hơn.
Không có gì lạ khi một ví dụ cho thấy tích của không phải hai mà là ba chức năng. Làm thế nào để tìm đạo hàm của sản phẩm của ba số nhân?

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đầu tiên chúng ta xem, có thể biến tích của ba hàm thành tích của hai hàm không? Ví dụ: nếu chúng ta có hai đa thức trong tích, chúng ta có thể mở ngoặc. Nhưng trong ví dụ đang xem xét, tất cả các hàm đều khác nhau: bậc, số mũ và logarit.

Trong những trường hợp như vậy cần thiết tuần tựáp dụng quy tắc phân biệt sản phẩm hai lần

Bí quyết là bằng “y” chúng ta biểu thị tích của hai hàm: , và với “ve” chúng ta biểu thị logarit: . Tại sao điều này có thể được thực hiện? Có thật vậy không – đây không phải là tích của hai yếu tố và quy tắc không đúng?! Không có gì phức tạp:

Bây giờ vẫn phải áp dụng quy tắc lần thứ hai để đóng khung:

Bạn cũng có thể vặn vẹo và lấy thứ gì đó ra khỏi ngoặc, nhưng trong trường hợp này, tốt hơn hết bạn nên để lại câu trả lời chính xác ở dạng này - sẽ dễ kiểm tra hơn.

Ví dụ đang xem xét có thể được giải theo cách thứ hai:

Cả hai giải pháp đều hoàn toàn tương đương.

Ví dụ 5

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là một ví dụ để tự giải; trong mẫu, nó được giải bằng phương pháp đầu tiên.

Hãy xem xét các ví dụ tương tự với phân số.

Ví dụ 6

Tìm đạo hàm của một hàm số

Có một số cách bạn có thể vào đây:

Hoặc như thế này:

Nhưng lời giải sẽ được viết gọn hơn nếu trước tiên chúng ta sử dụng quy tắc lấy đạo hàm của thương , lấy toàn bộ tử số:

Về nguyên tắc, ví dụ đã được giải quyết và nếu nó được giữ nguyên thì sẽ không có lỗi. Nhưng nếu có thời gian, bạn nên kiểm tra bản nháp để xem câu trả lời có thể đơn giản hóa được không? Chúng ta hãy rút gọn biểu thức của tử số thành mẫu số chung và chúng ta hãy loại bỏ phần ba tầng:

Nhược điểm của việc đơn giản hóa bổ sung là có nguy cơ mắc sai lầm không phải khi tìm đạo hàm mà trong các phép biến đổi trường phái tầm thường. Mặt khác, giáo viên thường từ chối bài tập và yêu cầu “ghi nhớ” đạo hàm.

Một ví dụ đơn giản hơn để bạn tự giải quyết:

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm của một hàm số

Chúng ta tiếp tục nắm vững các phương pháp tìm đạo hàm và bây giờ chúng ta sẽ xem xét một trường hợp điển hình khi đề xuất logarit “khủng” để lấy đạo hàm

Ví dụ 8

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ở đây bạn có thể đi một chặng đường dài bằng cách sử dụng quy tắc để lấy đạo hàm một hàm phức tạp:

Nhưng bước đầu tiên ngay lập tức khiến bạn rơi vào trạng thái chán nản - bạn phải chấp nhận đạo hàm khó chịu của sức mạnh phân số, và sau đó cũng từ phân số.

Đó là lý do tại sao trước cách lấy đạo hàm của logarit “tinh vi”, trước tiên nó được đơn giản hóa bằng cách sử dụng các tính chất trường học nổi tiếng:



! Nếu bạn có sẵn sổ ghi chép thực hành, hãy sao chép trực tiếp các công thức này vào đó. Nếu bạn không có vở, hãy chép chúng ra một tờ giấy, vì các ví dụ còn lại của bài học sẽ xoay quanh các công thức này.

Bản thân giải pháp có thể được viết như thế này:

Hãy biến đổi hàm:

Tìm đạo hàm:

Việc chuyển đổi trước chức năng đã đơn giản hóa giải pháp rất nhiều. Vì vậy, khi một logarit tương tự được đề xuất để lấy đạo hàm, thì luôn luôn nên “phá vỡ nó”.

Và bây giờ là một vài ví dụ đơn giản để bạn tự giải quyết:

Ví dụ 9

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ví dụ 10

Tìm đạo hàm của một hàm số

Mọi phép biến đổi và đáp án đều có ở cuối bài.

Đạo hàm logarit

Nếu đạo hàm của logarit là một bản nhạc ngọt ngào như vậy, thì câu hỏi được đặt ra: liệu trong một số trường hợp có thể tổ chức logarit một cách nhân tạo không? Có thể! Và thậm chí cần thiết.

Ví dụ 11

Tìm đạo hàm của một hàm số

Gần đây chúng tôi đã xem xét các ví dụ tương tự. Phải làm gì? Bạn có thể áp dụng tuần tự quy tắc phân biệt thương và sau đó là quy tắc phân biệt sản phẩm. Nhược điểm của phương pháp này là bạn sẽ phải đối mặt với một phần ba tầng khổng lồ mà bạn không muốn giải quyết chút nào.

Nhưng trong lý thuyết và thực hành có một điều tuyệt vời đó là đạo hàm logarit. Logarit có thể được tổ chức một cách nhân tạo bằng cách “treo” chúng ở cả hai phía:

Bây giờ bạn cần phải “chia nhỏ” logarit của vế phải càng nhiều càng tốt (các công thức trước mắt bạn?). Tôi sẽ mô tả quá trình này một cách chi tiết:

Hãy bắt đầu với sự khác biệt.
Chúng tôi kết luận cả hai phần dưới số nguyên tố:

Đạo hàm của vế phải khá đơn giản; tôi sẽ không bình luận về nó, bởi vì nếu bạn đang đọc văn bản này, bạn sẽ có thể xử lý nó một cách tự tin.

Còn phía bên trái thì sao?

Ở phía bên trái chúng ta có hàm phức tạp. Tôi thấy trước câu hỏi: “Tại sao lại có một chữ cái “Y” dưới logarit?”

Sự thật là “trò chơi một chữ cái” này - Bản thân nó là một chức năng(nếu chưa hiểu rõ lắm, tham khảo bài Đạo hàm hàm xác định ngầm). Do đó, logarit là hàm bên ngoài và “y” là hàm bên trong. Và chúng ta sử dụng quy tắc để lấy đạo hàm một hàm phức :

Ở phía bên trái, như thể có phép thuật cây đũa thần chúng ta có đạo hàm . Tiếp theo, theo quy tắc tỷ lệ, chúng ta chuyển chữ “y” từ mẫu số của vế trái lên trên cùng của vế phải:

Và bây giờ chúng ta hãy nhớ lại loại chức năng “người chơi” mà chúng ta đã nói đến trong quá trình phân biệt? Chúng ta hãy nhìn vào điều kiện:

Câu trả lời cuối cùng:

Ví dụ 12

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Ví dụ mẫu thiết kế thuộc loại nàyở cuối bài học.

Bằng cách sử dụng đạo hàm logarit, bạn có thể giải bất kỳ ví dụ nào từ số 4-7, một điều nữa là các hàm ở đó đơn giản hơn và có lẽ việc sử dụng đạo hàm logarit là không hợp lý cho lắm.

Đạo hàm của hàm số mũ

Chúng tôi chưa xem xét chức năng này. Hàm mũ lũy thừa là hàm mà cả mức độ và cơ sở đều phụ thuộc vào “x”. Ví dụ cổ điển, sẽ được cung cấp cho bạn trong bất kỳ sách giáo khoa hoặc bài giảng nào:

Làm thế nào để tìm đạo hàm của hàm số mũ?

Cần phải sử dụng kỹ thuật vừa thảo luận - đạo hàm logarit. Chúng tôi treo logarit ở cả hai bên:

Theo quy định, ở phía bên phải, mức độ được lấy ra từ logarit:

Kết quả là ở vế phải chúng ta có tích của hai hàm số này sẽ được đạo hàm bởi công thức chuẩn .

Chúng ta tìm đạo hàm; để làm điều này, chúng ta đặt cả hai phần dưới các nét:

Các hành động tiếp theo rất đơn giản:

Cuối cùng:

Nếu bất kỳ chuyển đổi nào không hoàn toàn rõ ràng, vui lòng đọc lại phần giải thích của Ví dụ #11 một cách cẩn thận.

TRONG nhiệm vụ thực tế Hàm mũ lũy thừa sẽ luôn phức tạp hơn ví dụ được thảo luận trong bài giảng.

Ví dụ 13

Tìm đạo hàm của một hàm số

Chúng tôi sử dụng đạo hàm logarit.

Ở phía bên phải, chúng ta có một hằng số và tích của hai thừa số - “x” và “logarit của logarit x” (một logarit khác được lồng dưới logarit). Khi lấy đạo hàm, như chúng ta nhớ, tốt hơn hết là chuyển ngay hằng số ra khỏi dấu đạo hàm để nó không gây cản trở; và tất nhiên, chúng tôi áp dụng quy tắc quen thuộc :


Như bạn có thể thấy, thuật toán sử dụng đạo hàm logarit không chứa bất kỳ thủ thuật hay thủ thuật đặc biệt nào và việc tìm đạo hàm của hàm mũ lũy thừa thường không liên quan đến “sự dày vò”.

Cấp độ đầu vào

Đạo hàm của một hàm. Hướng dẫn toàn diện (2019)

Hãy tưởng tượng một con đường thẳng đi qua một vùng đồi núi. Tức là nó đi lên đi xuống nhưng không rẽ phải hay trái. Nếu trục được định hướng theo chiều ngang dọc theo con đường và theo chiều dọc, thì đường đường sẽ rất giống với đồ thị của một hàm liên tục nào đó:

Trục là một mức độ cao bằng 0 nhất định; trong cuộc sống, chúng ta sử dụng mực nước biển làm nó.

Khi chúng ta tiến về phía trước dọc theo con đường như vậy, chúng ta cũng di chuyển lên hoặc xuống. Chúng ta cũng có thể nói: khi đối số thay đổi (chuyển động dọc theo trục hoành), giá trị của hàm thay đổi (chuyển động dọc theo trục tọa độ). Bây giờ chúng ta hãy nghĩ làm thế nào để xác định “độ dốc” của con đường của chúng ta? Đây có thể là loại giá trị gì? Rất đơn giản: độ cao sẽ thay đổi bao nhiêu khi di chuyển về phía trước một khoảng cách nhất định. Rốt cuộc, trên khu vực khác nhauđường, di chuyển về phía trước (dọc theo trục x) một km, chúng ta sẽ tăng hoặc giảm số lượng khác nhau mét so với mực nước biển (dọc theo trục hoành).

Hãy biểu thị sự tiến bộ (đọc “delta x”).

Chữ cái Hy Lạp (delta) thường được sử dụng trong toán học như một tiền tố có nghĩa là “sự thay đổi”. Nghĩa là - đây là sự thay đổi về số lượng, - sự thay đổi; vậy thì nó là gì? Đúng vậy, một sự thay đổi về độ lớn.

Quan trọng: một biểu thức là một tổng thể duy nhất, một biến. Không bao giờ tách “delta” khỏi “x” hoặc bất kỳ chữ cái nào khác!

Đó là, ví dụ, .

Vì vậy, chúng tôi đã tiến về phía trước, theo chiều ngang, bằng. Nếu chúng ta so sánh đường của con đường với đồ thị của hàm số thì chúng ta biểu thị độ cao như thế nào? Chắc chắn, . Nghĩa là, khi chúng ta tiến về phía trước, chúng ta sẽ vươn cao hơn. Giá trị rất dễ tính toán: nếu lúc đầu chúng ta ở trên một độ cao và sau khi di chuyển, chúng ta thấy mình ở độ cao đó. Nếu nhưđiểm cuối

hóa ra thấp hơn giá trị ban đầu, nó sẽ âm - điều này có nghĩa là chúng ta không đi lên mà đi xuống.

Hãy quay lại "độ dốc": đây là giá trị cho biết độ cao tăng (dốc) bao nhiêu khi di chuyển về phía trước một đơn vị khoảng cách:

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào đỉnh một ngọn đồi. Nếu bạn lấy phần đầu của đoạn đường cách đỉnh nửa km và đoạn cuối cách đỉnh nửa km, bạn có thể thấy rằng độ cao gần như giống nhau.

Nghĩa là, theo logic của chúng tôi, hóa ra độ dốc ở đây gần như bằng 0, điều này rõ ràng là không đúng. Chỉ cần vượt qua quãng đường km là có rất nhiều điều có thể thay đổi. Các khu vực nhỏ hơn cần được xem xét để phù hợp hơn và đánh giá chính xácđộ dốc. Ví dụ: nếu bạn đo sự thay đổi chiều cao khi bạn di chuyển một mét thì kết quả sẽ chính xác hơn nhiều. Nhưng ngay cả độ chính xác này cũng có thể không đủ đối với chúng ta - xét cho cùng, nếu có một cái cột ở giữa đường, chúng ta có thể đơn giản vượt qua nó. Khi đó chúng ta nên chọn khoảng cách nào? centimet? Milimet? Ít hơn là nhiều hơn!

TRONG cuộc sống thựcĐo khoảng cách đến từng milimet gần nhất là quá đủ. Nhưng các nhà toán học luôn phấn đấu cho sự hoàn hảo. Vì vậy, khái niệm này đã được phát minh vô cùng nhỏ, tức là giá trị tuyệt đối nhỏ hơn bất kỳ số nào mà chúng ta có thể đặt tên. Ví dụ, bạn nói: một phần nghìn tỷ! Ít hơn bao nhiêu? Và bạn chia con số này cho - và nó sẽ còn ít hơn nữa. Và vân vân. Nếu chúng ta muốn viết rằng một đại lượng là vô cùng nhỏ, chúng ta viết như sau: (chúng ta đọc là “x có xu hướng bằng 0”). Điều rất quan trọng là phải hiểu rằng con số này không phải là số không! Nhưng rất gần với nó. Điều này có nghĩa là bạn có thể chia cho nó.

Khái niệm ngược lại với vô cùng nhỏ là vô cùng lớn (). Có thể bạn đã từng gặp nó khi nghiên cứu các bất đẳng thức: con số này lớn hơn bất kỳ số nào bạn có thể nghĩ ra. Nếu bạn tìm ra số lớn nhất có thể, chỉ cần nhân nó với 2 và bạn sẽ nhận được số thậm chí còn lớn hơn. Và vẫn còn vô tận Hơn thế nữa chuyện gì sẽ xảy ra Trên thực tế, cái vô cùng lớn và cái vô cùng nhỏ là nghịch đảo của nhau, tức là tại và ngược lại: tại.

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại con đường của chúng ta. Độ dốc được tính toán lý tưởng là độ dốc được tính cho một đoạn cực nhỏ của đường đi, nghĩa là:

Tôi lưu ý rằng với một độ dịch chuyển vô cùng nhỏ, sự thay đổi về độ cao cũng sẽ rất nhỏ. Nhưng hãy để tôi nhắc bạn rằng cực nhỏ không có nghĩa là bằng 0. Nếu bạn chia các số vô cùng nhỏ cho nhau, bạn có thể nhận được khá nhiều số thường xuyên, Ví dụ, . Nghĩa là, một giá trị nhỏ có thể lớn hơn giá trị khác chính xác gấp nhiều lần.

Tất cả những điều này là để làm gì? Con đường, độ dốc... Chúng tôi không tổ chức một cuộc đua ô tô mà chúng tôi đang dạy toán. Và trong toán học, mọi thứ đều giống hệt nhau, chỉ được gọi khác nhau.

Khái niệm đạo hàm

Đạo hàm của một hàm là tỷ lệ giữa mức tăng của hàm và mức tăng của đối số đối với mức tăng vô hạn của đối số.

Tăng dần trong toán học họ gọi là sự thay đổi. Mức độ mà đối số () thay đổi khi nó di chuyển dọc theo trục được gọi là tăng đối số và được chỉ định. Hàm (chiều cao) đã thay đổi bao nhiêu khi di chuyển về phía trước dọc theo trục một khoảng cách được gọi là tăng hàm và được chỉ định.

Vì vậy, đạo hàm của một hàm số là tỉ số với thời điểm. Chúng ta biểu thị đạo hàm có cùng chữ cái với hàm, chỉ với số nguyên tố ở trên cùng bên phải: hoặc đơn giản. Vì vậy, hãy viết công thức đạo hàm bằng cách sử dụng các ký hiệu sau:

Tương tự như con đường, ở đây khi hàm tăng thì đạo hàm là dương, còn khi giảm thì đạo hàm là âm.

Đạo hàm có thể bằng 0 không? Chắc chắn. Ví dụ: nếu chúng ta đang lái xe trên một con đường nằm ngang bằng phẳng thì độ dốc bằng không. Và đó là sự thật, chiều cao không hề thay đổi. Đối với đạo hàm cũng vậy: đạo hàm của hàm hằng (hằng số) bằng 0:

vì mức tăng của hàm như vậy bằng 0 đối với bất kỳ hàm nào.

Hãy nhớ lại ví dụ về đỉnh đồi. Hóa ra là có thể sắp xếp các đầu của đoạn dọc theo các mặt khác nhau từ trên xuống sao cho chiều cao ở hai đầu bằng nhau, tức là đoạn thẳng song song với trục:

Nhưng những đoạn lớn là dấu hiệu của phép đo không chính xác. Chúng ta sẽ nâng đoạn của mình lên song song với chính nó, sau đó độ dài của nó sẽ giảm xuống.

Cuối cùng, khi chúng ta ở gần đỉnh vô cùng, độ dài của đoạn này sẽ trở nên vô cùng nhỏ. Nhưng đồng thời, nó vẫn song song với trục, tức là chênh lệch độ cao ở hai đầu của nó bằng 0 (nó không có xu hướng mà bằng). Vì vậy đạo hàm

Điều này có thể hiểu như sau: khi chúng ta đứng ở vị trí cao nhất, một sự dịch chuyển nhỏ sang trái hoặc phải sẽ làm thay đổi chiều cao của chúng ta không đáng kể.

Ngoài ra còn có một cách giải thích thuần túy đại số: hàm tăng ở bên trái đỉnh và giảm ở bên phải. Như chúng ta đã biết trước đó, khi một hàm tăng thì đạo hàm là dương và khi nó giảm thì đạo hàm là âm. Nhưng nó thay đổi trơn tru, không bị giật (vì đường không thay đổi độ dốc đột ngột ở bất cứ đâu). Vì vậy, giữa tiêu cực và giá trị tích cực chắc chắn phải có. Đó sẽ là nơi hàm không tăng cũng không giảm - tại điểm đỉnh.

Điều tương tự cũng đúng với máng (khu vực mà hàm bên trái giảm và bên phải tăng):

Nói thêm một chút về sự gia tăng.

Vì vậy, chúng tôi thay đổi đối số thành độ lớn. Chúng ta thay đổi từ giá trị nào? Bây giờ nó (lập luận) đã trở thành cái gì? Chúng ta có thể chọn bất kỳ điểm nào và bây giờ chúng ta sẽ nhảy từ điểm đó.

Hãy xem xét một điểm có tọa độ. Giá trị của hàm trong đó bằng nhau. Sau đó, chúng tôi thực hiện cùng một bước tăng: chúng tôi tăng tọa độ lên. Lập luận bây giờ là gì? Rất dễ dàng: . Giá trị của hàm lúc này là bao nhiêu? Đối số đi đến đâu thì hàm cũng vậy: . Còn việc tăng chức năng thì sao? Không có gì mới: đây vẫn là mức độ mà hàm đã thay đổi:

Luyện tập tìm số tăng:

  1. Tìm gia số của hàm tại một điểm khi gia số của đối số bằng.
  2. Điều tương tự cũng xảy ra với hàm tại một điểm.

Giải pháp:

TRONG điểm khác nhau với cùng một mức tăng đối số, mức tăng của hàm sẽ khác nhau. Điều này có nghĩa là đạo hàm tại mỗi điểm là khác nhau (chúng ta đã thảo luận vấn đề này ngay từ đầu - độ dốc của đường là khác nhau ở các điểm khác nhau). Vì vậy, khi viết đạo hàm, chúng ta phải chỉ ra điểm nào:

Chức năng điện.

Hàm lũy thừa là hàm trong đó đối số ở một mức độ nào đó (hợp lý, phải không?).

Hơn nữa - ở bất kỳ mức độ nào: .

Trường hợp đơn giản nhất- đây là khi số mũ:

Hãy tìm đạo hàm của nó tại một điểm. Hãy nhắc lại định nghĩa của đạo hàm:

Vì vậy, đối số thay đổi từ đến. Độ tăng của hàm là bao nhiêu?

Tăng là thế này. Nhưng một hàm tại bất kỳ điểm nào đều bằng đối số của nó. Đó là lý do tại sao:

Đạo hàm bằng:

Đạo hàm của bằng:

b) Bây giờ hãy xem xét hàm bậc hai (): .

Bây giờ chúng ta hãy nhớ điều đó. Điều này có nghĩa là giá trị của phần tăng thêm có thể bị bỏ qua vì nó vô cùng nhỏ và do đó không có ý nghĩa so với nền tảng của số hạng kia:

Vì vậy, chúng tôi đã đưa ra một quy tắc khác:

c) Tiếp tục chuỗi logic: .

Biểu thức này có thể được đơn giản hóa theo nhiều cách khác nhau: mở dấu ngoặc đầu tiên bằng cách sử dụng công thức nhân viết tắt của lập phương của tổng hoặc phân tích thành nhân tử của toàn bộ biểu thức bằng cách sử dụng công thức hiệu lập phương. Hãy thử tự làm điều đó bằng bất kỳ phương pháp được đề xuất nào.

Vì vậy, tôi đã nhận được những điều sau đây:

Và một lần nữa chúng ta hãy nhớ điều đó. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể bỏ qua tất cả các số hạng chứa:

Chúng tôi nhận được: .

d) Có thể rút ra quy tắc tương tự cho lũy thừa lớn:

e) Hóa ra quy tắc này có thể được khái quát hóa cho hàm lũy thừa với số mũ tùy ý, thậm chí không phải số nguyên:

(2)

Quy tắc này có thể được phát biểu như sau: “mức độ được đưa ra dưới dạng hệ số, sau đó được giảm đi .”

Chúng ta sẽ chứng minh quy tắc này sau (gần như ở phần cuối). Bây giờ chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số:

  1. (theo 2 cách: bằng công thức và dùng định nghĩa đạo hàm - bằng cách tính độ tăng của hàm số);
  1. . Dù bạn có tin hay không, đây là một chức năng quyền lực. Nếu bạn có những câu hỏi như “Việc này thế nào? Bằng cấp ở đâu?”, nhớ chủ đề “”!
    Vâng, vâng, căn cũng là một độ, chỉ là phân số: .
    Điều này có nghĩa là căn bậc hai của chúng ta chỉ là lũy thừa có số mũ:
    .
    Chúng tôi tìm đạo hàm bằng công thức đã học gần đây:

    Nếu tại thời điểm này nó lại trở nên không rõ ràng, hãy lặp lại chủ đề “”!!! (về bằng cấp với chỉ số tiêu cực)

  2. . Bây giờ là số mũ:

    Và bây giờ qua định nghĩa (bạn đã quên chưa?):
    ;
    .
    Bây giờ, như thường lệ, chúng ta bỏ qua số hạng chứa:
    .

  3. . Kết hợp các trường hợp trước: .

Các hàm lượng giác.

Ở đây chúng ta sẽ sử dụng một thực tế từ toán học cao hơn:

Với biểu hiện.

Bạn sẽ học bằng chứng trong năm đầu tiên học tại trường (và để đạt được điều đó, bạn cần phải vượt qua kỳ thi Thống nhất). Bây giờ tôi sẽ chỉ hiển thị nó bằng đồ họa:

Chúng ta thấy rằng khi hàm không tồn tại - điểm trên biểu đồ bị cắt đi. Nhưng càng gần giá trị thì hàm càng gần.

Ngoài ra, bạn có thể kiểm tra quy tắc này bằng máy tính. Vâng, vâng, đừng ngại, hãy cầm máy tính lên, chúng ta chưa tham gia Kỳ thi Thống nhất.

Vì vậy, hãy thử: ;

Đừng quên chuyển máy tính của bạn sang chế độ Radians!

vân vân. Chúng ta thấy rằng càng ít thì giá trị gần hơn mối quan hệ với

a) Xét hàm số. Như thường lệ, hãy tìm số gia của nó:

Hãy biến sự khác biệt của sin thành một sản phẩm. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng công thức (nhớ chủ đề “”): .

Bây giờ là đạo hàm:

Hãy thay thế: . Khi đó với số vô cùng nhỏ nó cũng là số vô cùng nhỏ: . Biểu thức của có dạng:

Và bây giờ chúng ta nhớ điều đó với biểu thức. Ngoài ra, điều gì sẽ xảy ra nếu một đại lượng vô cùng nhỏ có thể bị bỏ qua trong tổng (tức là tại).

Vì vậy chúng tôi nhận được quy tắc tiếp theo:đạo hàm của sin bằng cosin:

Đây là những dẫn xuất cơ bản (“dạng bảng”). Họ ở đây trong một danh sách:

Sau này chúng ta sẽ bổ sung thêm một số thứ nữa, nhưng đây là những thứ quan trọng nhất vì chúng được sử dụng thường xuyên nhất.

Luyện tập:

  1. Tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm;
  2. Tìm đạo hàm của hàm số.

Giải pháp:

  1. Đầu tiên, hãy tìm đạo hàm trong cái nhìn tổng quát, rồi thay thế giá trị của nó:
    ;
    .
  2. Ở đây chúng tôi có một cái gì đó tương tự như chức năng điện. Hãy thử đưa cô ấy đến
    xem bình thường:
    .
    Tuyệt vời, bây giờ bạn có thể sử dụng công thức:
    .
    .
  3. . Eeeeeee….. Cái gì thế này????

Được rồi, bạn nói đúng, chúng tôi vẫn chưa biết cách tìm ra các đạo hàm như vậy. Ở đây chúng ta có sự kết hợp của một số loại chức năng. Để làm việc với họ, bạn cần tìm hiểu thêm một số quy tắc:

Số mũ và logarit tự nhiên.

Có một hàm số trong toán học mà đạo hàm của nó với bất kỳ giá trị nào cũng bằng giá trị của chính hàm đó tại cùng một thời điểm. Nó được gọi là “số mũ” và là một hàm số mũ

Cơ sở của hàm này là một hằng số - nó là vô hạn số thập phân, tức là một số vô tỷ (chẳng hạn như). Nó được gọi là “số Euler”, đó là lý do tại sao nó được biểu thị bằng một chữ cái.

Vì vậy, quy tắc:

Rất dễ nhớ.

Nào, đừng đi đâu xa hãy nhìn vào nó ngay thôi hàm nghịch đảo. Hàm số nào là nghịch đảo của hàm số mũ? Logarit:

Trong trường hợp của chúng tôi, cơ sở là số:

Một logarit như vậy (nghĩa là logarit có cơ số) được gọi là "tự nhiên" và chúng tôi sử dụng một ký hiệu đặc biệt cho nó: thay vào đó chúng tôi viết.

Nó bằng gì? Tất nhiên rồi.

Đạo hàm logarit tự nhiên cũng rất đơn giản:

Ví dụ:

  1. Tìm đạo hàm của hàm số.
  2. Đạo hàm của hàm số là gì?

Câu trả lời: Nhà triển lãm và logarit tự nhiên- Hàm số đơn giản duy nhất xét theo đạo hàm. Các hàm số mũ và logarit với bất kỳ cơ số nào khác sẽ có đạo hàm khác nhau, chúng tôi sẽ phân tích sau chúng ta hãy đi qua các quy tắc sự khác biệt hóa.

Quy luật phân biệt

Quy tắc của cái gì? Lại thuật ngữ mới, lại?!...

Sự khác biệt là quá trình tìm đạo hàm.

Thế thôi. Bạn có thể gọi quá trình này bằng một từ nào khác? Không phải đạo hàm... Sự vi phân của các nhà toán học chính là sự gia tăng của một hàm số tại. Thuật ngữ này xuất phát từ tiếng Latin Differentia - sự khác biệt. Đây.

Khi rút ra tất cả các quy tắc này, chúng ta sẽ sử dụng hai hàm, ví dụ: và. Chúng ta cũng sẽ cần các công thức tính số gia của chúng:

Tổng cộng có 5 quy tắc.

Hằng số được lấy ra khỏi dấu đạo hàm.

Nếu - một số số không đổi(không đổi), sau đó.

Rõ ràng, quy tắc này cũng có tác dụng đối với sự khác biệt: .

Hãy chứng minh điều đó. Hãy để nó như vậy, hoặc đơn giản hơn.

Ví dụ.

Tìm đạo hàm của hàm số:

  1. tại một điểm;
  2. tại một điểm;
  3. tại một điểm;
  4. tại điểm.

Giải pháp:

  1. (đạo hàm giống nhau ở mọi điểm, vì đây hàm tuyến tính, nhớ?);

Dẫn xuất của sản phẩm

Mọi thứ ở đây đều tương tự: hãy giới thiệu một hàm mới và tìm phần tăng của nó:

Đạo hàm:

Ví dụ:

  1. Tìm đạo hàm của hàm số và;
  2. Tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm.

Giải pháp:

Đạo hàm của hàm số mũ

Bây giờ kiến ​​thức của bạn đã đủ để học cách tìm đạo hàm của bất kỳ hàm mũ nào chứ không chỉ số mũ (bạn đã quên đó là gì chưa?).

Vì vậy, một số số ở đâu.

Chúng ta đã biết đạo hàm của hàm số, vì vậy hãy thử đưa hàm số của chúng ta sang một cơ sở mới:

Đối với điều này chúng tôi sẽ sử dụng quy tắc đơn giản: . Sau đó:

Vâng, nó đã hoạt động. Bây giờ hãy thử tìm đạo hàm và đừng quên rằng hàm số này rất phức tạp.

Nó có hoạt động không?

Ở đây, hãy tự kiểm tra:

Công thức hóa ra rất giống với đạo hàm của số mũ: nó vẫn giữ nguyên, chỉ xuất hiện một thừa số, chỉ là một số chứ không phải một biến.

Ví dụ:
Tìm đạo hàm của hàm số:

Câu trả lời:

Đây chỉ là một con số không thể tính được nếu không có máy tính, tức là nó không thể viết ra được nữa ở dạng đơn giản. Vì vậy, chúng tôi để nó ở dạng này trong câu trả lời.

Đạo hàm của hàm logarit

Ở đây cũng tương tự: bạn đã biết đạo hàm của logarit tự nhiên:

Do đó, để tìm logarit tùy ý với cơ số khác, ví dụ:

Chúng ta cần giảm logarit này về cơ số. Làm thế nào để bạn thay đổi cơ số của logarit? Tôi hy vọng bạn nhớ công thức này:

Chỉ bây giờ chúng tôi sẽ viết thay thế:

Mẫu số chỉ đơn giản là một hằng số (một số không đổi, không có biến). Đạo hàm thu được rất đơn giản:

Đạo hàm của hàm mũ và hàm logarit hầu như không bao giờ xuất hiện trong Kỳ thi Thống nhất, nhưng sẽ không hại gì nếu biết chúng.

Đạo hàm của hàm phức.

"hàm phức hợp" là gì? Không, đây không phải là logarit hay arctang. Các hàm này có thể khó hiểu (mặc dù nếu bạn thấy logarit khó, hãy đọc chủ đề “Logarit” và bạn sẽ ổn thôi), nhưng theo quan điểm toán học, từ “phức tạp” không có nghĩa là “khó”.

Hãy tưởng tượng một băng chuyền nhỏ: hai người đang ngồi và thực hiện một số hành động với một số đồ vật. Ví dụ, cái đầu tiên bọc một thanh sô cô la trong giấy gói và cái thứ hai buộc nó bằng một dải ruy băng. Kết quả là một vật thể tổng hợp: một thanh sô cô la được gói và buộc bằng một dải ruy băng. Để ăn sô cô la, bạn cần phải làm hành động ngược lại theo thứ tự ngược lại.

Hãy tạo một quy trình toán học tương tự: đầu tiên chúng ta sẽ tìm cosin của một số, sau đó bình phương số kết quả. Vì vậy, chúng ta được cho một con số (sô cô la), tôi tìm cosin của nó (vỏ bọc), và sau đó bạn bình phương những gì tôi nhận được (buộc nó bằng một dải ruy băng). Chuyện gì đã xảy ra thế? Chức năng. Đây là một ví dụ về hàm phức tạp: khi, để tìm giá trị của nó, chúng ta thực hiện hành động đầu tiên trực tiếp với biến và sau đó là hành động thứ hai với kết quả của hành động đầu tiên.

Chúng ta có thể dễ dàng thực hiện các bước tương tự theo thứ tự ngược lại: đầu tiên bạn bình phương nó, sau đó tôi tìm cosin của số kết quả: . Thật dễ dàng để đoán rằng kết quả sẽ hầu như luôn khác nhau. Tính năng quan trọng hàm phức tạp: khi thứ tự các hành động thay đổi thì hàm cũng thay đổi.

Nói cách khác, một hàm phức tạp là một hàm có đối số là một hàm khác: .

Đối với ví dụ đầu tiên, .

Ví dụ thứ hai: (điều tương tự). .

Hành động chúng ta thực hiện cuối cùng sẽ được gọi chức năng "bên ngoài" và hành động được thực hiện đầu tiên - tương ứng chức năng "nội bộ"(đây là những tên không chính thức, tôi chỉ sử dụng chúng để giải thích tài liệu bằng ngôn ngữ đơn giản).

Hãy cố gắng tự mình xác định chức năng nào là bên ngoài và chức năng nào là bên trong:

Câu trả lời: Việc tách các hàm bên trong và bên ngoài rất giống với việc thay đổi các biến: ví dụ: trong một hàm

  1. Hành động nào chúng ta sẽ thực hiện đầu tiên? Đầu tiên, hãy tính sin và chỉ sau đó lập phương cho nó. Điều này có nghĩa là nó là một chức năng bên trong, nhưng là một chức năng bên ngoài.
    Và chức năng ban đầu là thành phần của chúng: .
  2. Nội bộ: ; bên ngoài: .
    Bài kiểm tra: .
  3. Nội bộ: ; bên ngoài: .
    Bài kiểm tra: .
  4. Nội bộ: ; bên ngoài: .
    Bài kiểm tra: .
  5. Nội bộ: ; bên ngoài: .
    Bài kiểm tra: .

Chúng tôi thay đổi các biến và nhận được một hàm.

Bây giờ chúng ta sẽ trích xuất thanh sô cô la của mình và tìm đạo hàm. Quy trình luôn đảo ngược: đầu tiên chúng ta tìm đạo hàm của hàm ngoài, sau đó chúng ta nhân kết quả với đạo hàm của hàm bên trong. Liên quan đến ví dụ ban đầu, nó trông như thế này:

Một ví dụ khác:

Vì vậy, cuối cùng chúng ta hãy xây dựng quy tắc chính thức:

Thuật toán tìm đạo hàm của hàm phức:

Nó có vẻ đơn giản, phải không?

Hãy kiểm tra với các ví dụ:

Giải pháp:

1) Nội bộ: ;

Bên ngoài: ;

2) Nội bộ: ;

(đừng cố cắt nó vào lúc này! Không có gì thoát ra từ dưới cosin, nhớ không?)

3) Nội bộ: ;

Bên ngoài: ;

Rõ ràng ngay rằng đây là một hàm phức tạp ba cấp: xét cho cùng, bản thân nó đã là một hàm phức tạp và chúng ta cũng trích xuất gốc từ nó, tức là chúng ta thực hiện hành động thứ ba (đặt sô cô la vào một lớp bọc và với một dải ruy băng trong cặp). Nhưng không có lý do gì phải sợ: chúng ta vẫn sẽ “giải nén” hàm này theo thứ tự như thường lệ: từ cuối.

Nghĩa là, đầu tiên chúng ta phân biệt căn bậc hai, sau đó là cosin và chỉ sau đó là biểu thức trong ngoặc. Và sau đó chúng tôi nhân tất cả.

Trong những trường hợp như vậy, việc đánh số các hành động sẽ thuận tiện hơn. Đó là, hãy tưởng tượng những gì chúng ta biết. Chúng ta sẽ thực hiện các hành động theo thứ tự nào để tính giá trị của biểu thức này? Hãy xem một ví dụ:

Hành động được thực hiện càng muộn thì chức năng tương ứng sẽ càng “bên ngoài”. Trình tự các hành động vẫn giống như trước:

Ở đây việc lồng ghép thường có 4 cấp độ. Hãy xác định quá trình hành động.

1. Biểu hiện cấp tiến. .

2. Gốc. .

3. Sin. .

4. Hình vuông. .

5. Kết hợp tất cả lại với nhau:

PHÁT SINH. GIỚI THIỆU VỀ NHỮNG ĐIỀU CHÍNH

Đạo hàm của hàm- tỷ lệ giữa mức tăng của hàm và mức tăng của đối số đối với mức tăng vô hạn của đối số:

Các dẫn xuất cơ bản:

Quy luật phân biệt:

Hằng số được lấy ra khỏi dấu đạo hàm:

Đạo hàm của tổng:

Dẫn xuất của sản phẩm:

Đạo hàm của thương:

Đạo hàm của hàm phức:

Thuật toán tìm đạo hàm của hàm phức:

  1. Chúng ta định nghĩa hàm “nội bộ” và tìm đạo hàm của nó.
  2. Chúng ta định nghĩa hàm “bên ngoài” và tìm đạo hàm của nó.
  3. Chúng tôi nhân kết quả của điểm đầu tiên và điểm thứ hai.