Lý thuyết xác suất là một môn khoa học toán học nghiên cứu các mô hình trong các hiện tượng ngẫu nhiên. Sự xuất hiện của lý thuyết này bắt nguồn từ giữa thế kỷ 17 và gắn liền với tên tuổi của Huygens, Pascal, Fermat, J. Bernoulli.

Chúng ta sẽ gọi các kết quả không thể phân tách được,..., của một số sự kiện thử nghiệm cơ bản và tổng thể của chúng

không gian (hữu hạn) của các sự kiện cơ bản, hoặc không gian của các kết quả.

Ví dụ 21. a) Khi ném xúc xắc, không gian các biến cố sơ cấp gồm sáu điểm:

b) Gieo một đồng xu hai lần liên tiếp thì

trong đó G là “huy hiệu”, P là “mạng lưới” và tổng số kết quả

c) Tung đồng xu cho đến khi “huy hiệu” xuất hiện lần đầu tiên, sau đó

Trong trường hợp này nó được gọi là không gian rời rạc của các biến cố sơ cấp.

Người ta thường không quan tâm đến kết quả cụ thể nào xảy ra sau một thử nghiệm mà quan tâm đến việc liệu kết quả đó có thuộc về tập hợp con này hay tập hợp con khác của tất cả các kết quả hay không. Tất cả những tập hợp con mà theo điều kiện thử nghiệm, có thể xảy ra phản hồi thuộc một trong hai loại: “kết quả” hoặc “kết quả”, chúng ta sẽ gọi là sự kiện.

Trong ví dụ 21 b) tập = (GG, GR, RG) là sự kiện có ít nhất một “huy hiệu” xuất hiện. Sự kiện bao gồm ba kết quả cơ bản của không gian, do đó

Tổng của hai sự kiện là sự kiện bao gồm việc hoàn thành một sự kiện hoặc sự kiện.

Việc tạo ra các sự kiện là một sự kiện bao gồm việc thực hiện chung một sự kiện và một sự kiện.

Đối lập của một sự kiện là một sự kiện bao gồm sự không xuất hiện và do đó bổ sung cho nó.

Tập hợp được gọi là biến cố đáng tin cậy, tập rỗng được gọi là biến cố không thể.

Nếu mỗi lần xảy ra một sự kiện đều kèm theo một lần xảy ra thì họ viết và nói những gì xảy ra trước hoặc kéo theo.

Biến cố và được gọi là tương đương nếu và.

Sự định nghĩa. Xác suất của một sự kiện là một con số bằng tỷ số giữa số kết quả cơ bản tạo nên sự kiện đó với số tất cả các kết quả cơ bản

Trường hợp các sự kiện có khả năng xảy ra như nhau (được gọi là “cổ điển”, do đó xác suất

gọi là “cổ điển”.

Các sự kiện cơ bản (kết quả của kinh nghiệm) có trong sự kiện này được gọi là “thuận lợi”.

Tính chất của xác suất cổ điển:

Nếu (và là những sự kiện không tương thích).

Ví dụ 22 (Bài toán Huygens). Trong bình có 2 bi trắng và 4 bi đen. Một người đánh bạc đặt cược với một người khác rằng trong số 3 quả bóng được rút ra sẽ có đúng một quả màu trắng. Cơ hội của các bên tranh chấp có liên quan như thế nào?

Giải pháp 1 (truyền thống). Trong trường hợp này, phép thử = (lấy ra 3 quả bóng), và diễn biến có lợi cho một trong các bên tranh chấp:

= (lấy đúng một bi trắng).

Vì thứ tự rút ba quả bóng không quan trọng nên

Trong các trường hợp có thể nhận được một quả bóng trắng và hai quả bóng đen - và sau đó theo quy tắc cơ bản của tổ hợp. Do đó, và theo tính chất thứ năm của xác suất

Giải pháp 2. Hãy tạo cây xác suất của kết quả:

Ví dụ 23. Hãy xem xét một con heo đất trong đó còn lại bốn đồng xu - ba trong số 2 rúp mỗi đồng. và một cái có giá 5 rúp. Chúng tôi lấy ra hai đồng xu.

Giải pháp. a) Hai lần chiết liên tiếp (có quay lại) có thể dẫn đến kết quả sau:

Xác suất của mỗi kết quả này là bao nhiêu?

Bảng hiển thị tất cả 16 trường hợp có thể xảy ra.

Kể từ đây,

Cây sau đây dẫn đến kết quả tương tự:

b) Hai lần chiết liên tiếp (không lặp lại) có thể dẫn đến ba kết quả sau:

Bảng hiển thị tất cả các kết quả có thể xảy ra:

Kể từ đây,

Cây tương ứng dẫn đến kết quả tương tự:

Ví dụ 24 (bài toán Mere). Hai người chơi trò tung lên có tới năm người thắng. Trò chơi dừng lại khi người thứ nhất thắng được bốn ván và người thứ hai thắng được ba ván. Số tiền đặt cược ban đầu nên được chia như thế nào trong trường hợp này?

Giải pháp. Đặt sự kiện = (là người chơi đầu tiên giành được giải thưởng). Khi đó cây phần thưởng xác suất cho người chơi đầu tiên như sau:

Do đó, ba phần đặt cược nên được trao cho người chơi đầu tiên và một phần cho người chơi thứ hai.

Chúng ta hãy chứng minh tính hiệu quả của việc giải các bài toán xác suất bằng cách sử dụng biểu đồ bằng ví dụ sau, mà chúng ta đã xem xét trong §1 (ví dụ 2).

Ví dụ 25. Việc lựa chọn sử dụng “bảng đếm” có công bằng không?

Giải pháp. Hãy tạo một cây xác suất của kết quả:

và do đó, khi chơi “trò chơi đếm” thì đứng thứ hai sẽ có lợi hơn.

Giải pháp cuối cùng sử dụng cách diễn giải đồ thị của định lý cộng và nhân xác suất:

và đặc biệt

Nếu và là các sự kiện không tương thích

và, nếu và - các sự kiện độc lập.

Xác suất tĩnh

Định nghĩa cổ điển, khi xem xét các vấn đề phức tạp, gặp phải những khó khăn có tính chất không thể vượt qua. Đặc biệt, trong một số trường hợp có thể không xác định được các trường hợp có khả năng xảy ra như nhau. Ngay cả trong trường hợp của một đồng xu, như chúng ta biết, rõ ràng có khả năng không bằng nhau về khả năng rơi ra “cạnh”, điều này không thể đánh giá được từ những cân nhắc về mặt lý thuyết (người ta chỉ có thể nói rằng điều đó khó xảy ra và việc xem xét này khá đúng đắn). thực tế). Do đó, ngay từ buổi bình minh của sự hình thành lý thuyết xác suất, một định nghĩa xác suất “tần số” thay thế đã được đề xuất. Cụ thể, về mặt hình thức, xác suất có thể được định nghĩa là giới hạn về tần suất quan sát sự kiện A, giả sử tính đồng nhất của các quan sát (nghĩa là sự giống nhau của tất cả các điều kiện quan sát) và sự độc lập của chúng với nhau:

ở đâu là số lượng quan sát và là số lần xuất hiện của sự kiện.

Mặc dù thực tế là định nghĩa này chỉ ra một cách để ước tính một xác suất chưa biết - thông qua một số lượng lớn các quan sát đồng nhất và độc lập - tuy nhiên, định nghĩa này phản ánh nội dung của khái niệm xác suất. Cụ thể, nếu một xác suất nhất định được gán cho một sự kiện như một thước đo khách quan về khả năng xảy ra của nó, thì điều này có nghĩa là trong những điều kiện cố định và sự lặp lại lặp đi lặp lại, chúng ta sẽ đạt được tần suất xuất hiện của nó gần bằng (càng gần thì càng có nhiều quan sát). Thực ra đây chính là ý nghĩa ban đầu của khái niệm xác suất. Nó dựa trên quan điểm khách quan về các hiện tượng tự nhiên. Dưới đây chúng ta sẽ xem xét cái gọi là quy luật số lớn, cung cấp cơ sở lý thuyết (trong khuôn khổ của phương pháp tiếp cận tiên đề hiện đại được nêu dưới đây), bao gồm cả việc ước tính tần suất xác suất.

CƠ SỞ GIÁO DỤC THÀNH PHỐ

SÂN TẬP SỐ 6

về chủ đề “Định nghĩa cổ điển về xác suất”.

Hoàn thành bởi học sinh lớp 8 “B”

Klimantova Alexandra.

Giáo viên toán: Videnkina V. A.

Voronezh, 2008

Nhiều trò chơi sử dụng xúc xắc. Khối lập phương có 6 mặt, mỗi mặt có số chấm khác nhau được đánh dấu trên đó, từ 1 đến 6. Người chơi tung xúc xắc và xem có bao nhiêu chấm ở mặt bị rơi (ở mặt nằm trên cùng) . Khá thường xuyên, các điểm trên mặt khối lập phương được thay thế bằng số tương ứng và sau đó họ nói về việc tung ra 1, 2 hoặc 6. Ném xúc xắc có thể coi là một trải nghiệm, một thử nghiệm, một bài kiểm tra và kết quả thu được là kết quả của một bài kiểm tra hoặc một sự kiện cơ bản. Mọi người quan tâm đến việc đoán sự xuất hiện của sự kiện này hay sự kiện kia và dự đoán kết quả của nó. Họ có thể đưa ra dự đoán gì khi tung xúc xắc? Ví dụ:

1) sự kiện A - số 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6 được tung ra;

2) sự kiện B - số 7, 8 hoặc 9 xuất hiện;

3) sự kiện C - số 1 xuất hiện.

Sự kiện A được dự đoán trong trường hợp đầu tiên chắc chắn sẽ xảy ra. Nói chung, một sự kiện chắc chắn xảy ra trong một trải nghiệm nhất định được gọi là sự kiện đáng tin cậy .

Sự kiện B, được dự đoán trong trường hợp thứ hai, sẽ không bao giờ xảy ra, điều đó đơn giản là không thể xảy ra. Nói chung, một sự kiện không thể xảy ra trong một trải nghiệm nhất định được gọi là sự kiện không thể .

Và liệu sự kiện C dự đoán trong trường hợp thứ ba có xảy ra hay không? Chúng ta không thể trả lời câu hỏi này một cách hoàn toàn chắc chắn, vì 1 có thể sai hoặc không. Một sự kiện có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra trong một trải nghiệm nhất định được gọi là sự kiện ngẫu nhiên .

Khi nghĩ về sự xuất hiện của một sự kiện đáng tin cậy, rất có thể chúng ta sẽ không sử dụng từ “có lẽ”. Ví dụ: nếu hôm nay là thứ Tư thì ngày mai là thứ Năm, đây là một sự kiện đáng tin cậy. Vào thứ Tư, chúng ta sẽ không nói: “Có lẽ ngày mai là thứ Năm”, chúng ta sẽ nói ngắn gọn và rõ ràng: “Ngày mai là thứ Năm”. Đúng vậy, nếu chúng ta thiên về những cụm từ đẹp đẽ, chúng ta có thể nói thế này: “Với xác suất một trăm phần trăm, tôi nói rằng ngày mai là thứ Năm.” Ngược lại, nếu hôm nay là thứ Tư thì việc bắt đầu thứ Sáu vào ngày mai là một sự kiện không thể xảy ra. Đánh giá sự kiện này vào thứ Tư, chúng ta có thể nói thế này: “Tôi chắc chắn rằng ngày mai không phải là thứ Sáu”. Hoặc thế này: “Thật không thể tin được ngày mai lại là thứ Sáu”. Chà, nếu chúng ta thiên về những cụm từ hay, chúng ta có thể nói thế này: "Xác suất ngày mai là thứ Sáu là bằng không." Vì vậy, một sự kiện đáng tin cậy là một sự kiện xảy ra trong những điều kiện nhất định với xác suất một trăm phần trăm(tức là xảy ra ở 10 trường hợp trên 10 trường hợp, 100 trường hợp trên 100 trường hợp, v.v.). Biến cố không thể xảy ra là biến cố không bao giờ xảy ra trong những điều kiện nhất định, biến cố với xác suất bằng không .

Nhưng thật không may (và có lẽ may mắn thay), không phải mọi thứ trong cuộc sống đều rõ ràng và chính xác như vậy: nó sẽ luôn như vậy (sự kiện nhất định), nó sẽ không bao giờ như vậy (sự kiện không thể xảy ra). Thông thường chúng ta phải đối mặt với những sự kiện ngẫu nhiên, một số trong đó có nhiều khả năng xảy ra hơn, những sự kiện khác ít có khả năng xảy ra hơn. Thông thường, mọi người sử dụng những từ “có nhiều khả năng hơn” hoặc “ít có khả năng xảy ra hơn”, như họ nói, theo ý thích bất chợt, dựa vào những gì được gọi là lẽ thường. Nhưng những ước tính như vậy thường không đủ vì điều quan trọng là phải biết trong bao lâu phần trăm có thể là một sự kiện ngẫu nhiên hoặc bao nhiêu lần một sự kiện ngẫu nhiên có nhiều khả năng xảy ra hơn một sự kiện ngẫu nhiên khác. Nói cách khác, chúng ta cần chính xác định lượngđặc điểm, bạn cần có khả năng mô tả xác suất bằng một con số.

Chúng tôi đã thực hiện những bước đầu tiên theo hướng này. Chúng ta đã nói rằng xác suất xảy ra một sự kiện nào đó được mô tả là một trăm phần trăm và xác suất để xảy ra một sự kiện không thể xảy ra là số không. Cho rằng 100% bằng 1, mọi người đồng ý như sau:

1) xác suất của một sự kiện đáng tin cậy được coi là bằng nhau 1;

2) xác suất của một sự kiện không thể được coi là bằng nhau 0.

Làm thế nào để tính xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên? Rốt cuộc thì chuyện đó đã xảy ra vô tình, có nghĩa là nó không tuân theo luật, thuật toán hoặc công thức. Hóa ra là trong thế giới ngẫu nhiên có một số luật nhất định được áp dụng cho phép người ta tính toán xác suất. Đây là nhánh của toán học được gọi là - lý thuyết xác suất .

Toán học đề cập đến người mẫu hiện tượng nào đó của thực tế xung quanh chúng ta. Trong số tất cả các mô hình được sử dụng trong lý thuyết xác suất, chúng ta sẽ giới hạn ở những mô hình đơn giản nhất.

Sơ đồ xác suất cổ điển

Để tìm xác suất của sự kiện A khi tiến hành một số thí nghiệm, bạn nên:

1) tìm số N của tất cả các kết quả có thể xảy ra của thí nghiệm này;

2) chấp nhận giả định về xác suất như nhau (khả năng như nhau) của tất cả các kết quả này;

3) tìm số N(A) của các kết quả thử nghiệm trong đó sự kiện A xảy ra;

4) tìm thương số ; nó sẽ bằng xác suất của biến cố A.

Người ta thường biểu thị xác suất của sự kiện A: P(A). Lời giải thích cho cách gọi này rất đơn giản: từ “xác suất” trong tiếng Pháp là có thể xảy ra, bằng tiếng Anh- xác suất.Việc chỉ định sử dụng chữ cái đầu tiên của từ.

Sử dụng ký hiệu này, có thể tìm thấy xác suất của sự kiện A theo sơ đồ cổ điển bằng công thức

P(A)=.

Thông thường tất cả các điểm của sơ đồ xác suất cổ điển ở trên được thể hiện bằng một cụm từ khá dài.

Định nghĩa cổ điển về xác suất

Xác suất của sự kiện A trong một thử nghiệm nhất định là tỷ lệ giữa số kết quả do sự kiện A xảy ra với tổng số tất cả các kết quả có thể xảy ra như nhau của thử nghiệm này.

ví dụ 1. Tìm xác suất để sau một lần ném xúc xắc, kết quả sẽ là: a) 4; b) 5; c) số điểm chẵn; d) số điểm lớn hơn 4; e) số điểm không chia hết cho ba.

Giải pháp. Tổng cộng có N=6 kết quả có thể xảy ra: rơi ra khỏi một mặt lập phương có số điểm bằng 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6. Chúng tôi tin rằng không có kết quả nào có lợi thế hơn những điểm còn lại, tức là chúng tôi chấp nhận giả định rằng khả năng trang bị của những kết quả này.

a) Trong đúng một trong các kết quả, sự kiện A mà chúng ta quan tâm sẽ xảy ra—số 4 sẽ xuất hiện. Điều này có nghĩa là N(A)=1 và

P ( MỘT )= =.

b) Cách giải và đáp án giống như đoạn trước.

c) Sự kiện B mà chúng ta quan tâm sẽ xảy ra trong đúng ba trường hợp khi số điểm là 2, 4 hoặc 6. Điều này có nghĩa là

N ( B )=3 và P ( B )==.

d) Biến cố C mà chúng ta quan tâm sẽ xảy ra trong đúng hai trường hợp khi số điểm là 5 hoặc 6. Điều này có nghĩa là

N ( C ) =2 và Р(С)=.

e) Trong sáu số có thể rút ra, bốn (1, 2, 4 và 5) không phải là bội số của ba và hai số còn lại (3 và 6) chia hết cho ba. Điều này có nghĩa là sự kiện mà chúng ta quan tâm xảy ra ở đúng bốn trong số sáu kết quả có thể xảy ra và có xác suất ngang nhau và có xác suất ngang nhau của thí nghiệm. Vì vậy câu trả lời hóa ra là

. ; b) ; V) ; G); đ).

Một con xúc xắc thật có thể khác với một khối (mô hình) lý tưởng, do đó, để mô tả hành vi của nó, cần có một mô hình chi tiết và chính xác hơn, có tính đến ưu điểm của mặt này so với mặt kia, sự hiện diện có thể có của nam châm, v.v. “ma quỷ nằm ở chi tiết,” và độ chính xác cao hơn có xu hướng dẫn đến độ phức tạp cao hơn và việc nhận được câu trả lời trở thành một vấn đề. Chúng tôi giới hạn việc xem xét mô hình xác suất đơn giản nhất, trong đó tất cả các kết quả có thể xảy ra đều có khả năng xảy ra như nhau.

Lưu ý 1. Hãy xem một ví dụ khác. Câu hỏi được đặt ra: “Xác suất nhận được xúc xắc ba trên một là bao nhiêu?” Học sinh trả lời: “Xác suất là 0,5”. Và anh ấy giải thích câu trả lời của mình: “Ba sẽ lên hoặc không. Điều này có nghĩa là có tổng cộng hai kết quả và đúng một trong số đó xảy ra sự kiện mà chúng ta quan tâm. Sử dụng sơ đồ xác suất cổ điển, chúng ta nhận được câu trả lời là 0,5.” Có sai sót nào trong cách lập luận này không? Thoạt nhìn thì không. Tuy nhiên, nó vẫn tồn tại, và một cách cơ bản. Đúng, thực sự, số ba sẽ xuất hiện hoặc không, tức là với định nghĩa này về kết quả của lần tung N=2. Điều N(A) = 1 cũng đúng và tất nhiên cũng đúng

= 0,5, tức là ba điểm của sơ đồ xác suất đã được tính đến, nhưng việc thực hiện điểm 2) vẫn còn nghi ngờ. Tất nhiên, từ quan điểm thuần túy pháp lý, chúng ta có quyền tin rằng việc tung được số ba có khả năng không rơi ra ngoài như nhau. Nhưng liệu chúng ta có thể nghĩ như vậy mà không vi phạm các giả định tự nhiên của mình về sự “giống nhau” của các cạnh không? Dĩ nhiên là không! Ở đây chúng ta đang giải quyết vấn đề lý luận chính xác trong một mô hình nhất định. Nhưng bản thân mô hình này đã “sai”, không tương ứng với hiện tượng thực tế.

Lưu ý 2. Khi thảo luận về xác suất, đừng bỏ qua tình huống quan trọng sau đây. Nếu chúng ta nói rằng khi ném một con súc sắc, xác suất để có được một điểm là

, điều này không có nghĩa là bằng cách tung xúc xắc 6 lần, bạn sẽ nhận được đúng một điểm, bằng cách ném xúc xắc 12 lần, bạn sẽ nhận được một điểm đúng hai lần, bằng cách ném xúc xắc 18 lần, bạn sẽ nhận được đúng ba điểm một điểm lần, v.v. Từ này có lẽ mang tính suy đoán. Chúng tôi giả định những gì có nhiều khả năng xảy ra nhất. Có lẽ nếu chúng ta tung xúc xắc 600 lần thì một điểm sẽ tăng lên 100 lần, hoặc khoảng 100.

Để so sánh một cách định lượng các sự kiện với nhau theo mức độ khả năng xảy ra của chúng, rõ ràng cần phải liên kết một con số nhất định với mỗi sự kiện, con số nào càng lớn thì sự kiện đó càng có khả năng xảy ra. Chúng ta sẽ gọi con số này là xác suất của một sự kiện. Như vậy, xác suất của một sự kiện là thước đo bằng số về mức độ có thể xảy ra khách quan của sự kiện này.

Định nghĩa đầu tiên về xác suất nên được coi là định nghĩa cổ điển, nảy sinh từ việc phân tích cờ bạc và ban đầu được áp dụng bằng trực giác.

Phương pháp cổ điển để xác định xác suất dựa trên khái niệm các sự kiện có thể xảy ra như nhau và không tương thích, là kết quả của một trải nghiệm nhất định và tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích.

Ví dụ đơn giản nhất về các sự kiện có thể xảy ra như nhau và không tương thích để tạo thành một nhóm hoàn chỉnh là sự xuất hiện của một hoặc một quả bóng khác từ một chiếc bình chứa nhiều quả bóng có cùng kích thước, trọng lượng và các đặc điểm hữu hình khác, chỉ khác nhau về màu sắc, được trộn kỹ trước khi lấy ra.

Do đó, một thử nghiệm mà kết quả của nó tạo thành một nhóm hoàn chỉnh gồm các sự kiện không tương thích và có khả năng xảy ra như nhau được cho là có thể rút gọn thành một mẫu bình đựng nước, hoặc một mẫu các trường hợp, hoặc phù hợp với mẫu cổ điển.

Các sự kiện có thể xảy ra và không tương thích như nhau tạo nên một nhóm hoàn chỉnh sẽ được gọi đơn giản là các trường hợp hoặc cơ hội. Hơn nữa, trong mỗi thí nghiệm, cùng với các trường hợp, những sự kiện phức tạp hơn có thể xảy ra.

Ví dụ: Khi tung xúc xắc, cùng với các trường hợp A i - mất điểm i ở mặt trên, ta có thể xét các sự kiện như B - mất số điểm chẵn, C - mất một số điểm số điểm là bội số của ba...

Liên quan đến từng sự kiện có thể xảy ra trong quá trình thí nghiệm, các trường hợp được chia thành thuận lợi, trong đó sự kiện này xảy ra, và bất lợi, trong đó sự kiện không xảy ra. Trong ví dụ trước, sự kiện B được ưu ái bởi các trường hợp A 2, A 4, A 6; sự kiện C - trường hợp A 3, A 6.

Xác suất cổ điển sự xuất hiện của một sự kiện nhất định được gọi là tỷ lệ giữa số trường hợp thuận lợi cho sự xuất hiện của sự kiện này với tổng số trường hợp có thể xảy ra như nhau, không tương thích tạo nên nhóm hoàn chỉnh trong một thí nghiệm nhất định:

Ở đâu P(A)- xác suất xảy ra sự kiện A; tôi- số trường hợp thuận lợi cho sự kiện A; N- tổng số trường hợp.

Ví dụ:

1) (xem ví dụ ở trên) P(B)= , P(C) =.

2) Chiếc bình chứa 9 quả bóng màu đỏ và 6 quả bóng màu xanh. Tìm xác suất để một hoặc hai quả bóng được lấy ngẫu nhiên sẽ có màu đỏ.

MỘT- lấy ngẫu nhiên một quả bóng màu đỏ:

tôi= 9, N= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- lấy ngẫu nhiên 2 bi đỏ:

Các thuộc tính sau đây tuân theo định nghĩa cổ điển về xác suất (hãy thể hiện):

1) Xác suất xảy ra sự kiện không thể xảy ra là 0;

2) Xác suất của sự kiện đáng tin cậy là 1;

3) Xác suất của bất kỳ sự kiện nào nằm trong khoảng từ 0 đến 1;

4) Xác suất của một sự kiện ngược lại với sự kiện A,

Định nghĩa cổ điển về xác suất giả định rằng số lượng kết quả của một phép thử là hữu hạn. Trong thực tế, rất thường xuyên có những bài kiểm tra, số trường hợp có thể xảy ra là vô hạn. Ngoài ra, điểm yếu của định nghĩa cổ điển là thường không thể biểu diễn kết quả của một phép thử dưới dạng một tập hợp các sự kiện cơ bản. Thậm chí còn khó khăn hơn để chỉ ra lý do coi các kết quả cơ bản của một bài kiểm tra là có thể xảy ra như nhau. Thông thường, tính khả thi của các kết quả kiểm tra cơ bản được kết luận từ việc xem xét tính đối xứng. Tuy nhiên, những nhiệm vụ như vậy rất hiếm trong thực tế. Vì những lý do này, cùng với định nghĩa cổ điển về xác suất, các định nghĩa khác về xác suất cũng được sử dụng.

xác suất thống kê sự kiện A là tần suất xuất hiện tương đối của sự kiện này trong các thử nghiệm được thực hiện:

xác suất xảy ra sự kiện A là bao nhiêu;

Tần suất xuất hiện tương đối của sự kiện A;

Số lần thử trong đó sự kiện A xuất hiện;

Tổng số lần thử nghiệm.

Không giống như xác suất cổ điển, xác suất thống kê là một đặc tính thực nghiệm.

Ví dụ: Để kiểm soát chất lượng sản phẩm trong một lô, chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm bị lỗi. Xác định xác suất kết hôn.

.

Phương pháp thống kê xác định xác suất chỉ được áp dụng cho những sự kiện có các đặc tính sau:

Các sự kiện đang được xem xét chỉ là kết quả của những thử nghiệm có thể được sao chép không giới hạn số lần trong cùng một bộ điều kiện.

Các sự kiện phải có độ ổn định về mặt thống kê (hoặc độ ổn định của tần số tương đối). Điều này có nghĩa là trong các loạt thử nghiệm khác nhau, tần suất tương đối của sự kiện thay đổi rất ít.

Số lần thử dẫn đến sự kiện A phải khá lớn.

Có thể dễ dàng kiểm chứng rằng các tính chất của xác suất phát sinh từ định nghĩa cổ điển cũng được bảo toàn trong định nghĩa thống kê về xác suất.

Định nghĩa cổ điển về xác suất.

Như đã đề cập ở trên, với số lượng lớn N tần số kiểm tra P*(A)=m/ N sự xuất hiện của một sự kiện MỘT ổn định và đưa ra giá trị gần đúng về xác suất của một sự kiện MỘT , I E. .

Tình huống này cho phép chúng ta tìm ra xác suất gần đúng của một sự kiện bằng thực nghiệm. Trong thực tế, phương pháp tìm xác suất của một sự kiện này không phải lúc nào cũng thuận tiện. Rốt cuộc, chúng ta cần biết trước xác suất của một sự kiện nào đó, ngay cả trước khi thử nghiệm. Đây là vai trò mang tính suy nghiệm và tiên đoán của khoa học. Trong một số trường hợp, xác suất của một sự kiện có thể được xác định trước khi thử nghiệm bằng cách sử dụng khái niệm khả năng trang bị của các sự kiện (hoặc khả năng trang bị).

Hai sự kiện đó được gọi là có thể xảy ra như nhau (hoặc đều có thể ), nếu không có lý do khách quan nào để tin rằng một trong số chúng có thể xảy ra thường xuyên hơn cái kia.

Vì vậy, ví dụ, sự xuất hiện của quốc huy hoặc dòng chữ khi ném đồng xu là những sự kiện có thể xảy ra như nhau.

Hãy xem một ví dụ khác. Hãy để họ ném xúc xắc. Do tính đối xứng của hình lập phương, chúng ta có thể giả sử rằng hình dáng của bất kỳ số nào 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6 có thể xảy ra như nhau (khả năng như nhau).

Sự kiện trong thí nghiệm này chúng hình thành nhóm đầy đủ , nếu ít nhất một trong số chúng xảy ra do kết quả của thí nghiệm. Vì vậy, trong ví dụ cuối cùng, nhóm sự kiện hoàn chỉnh bao gồm sáu sự kiện - sự xuất hiện của các con số 1, 2, 3, 4, 5 Và 6.

Rõ ràng, bất kỳ sự kiện nào MỘT và sự kiện ngược lại của nó tạo thành một nhóm hoàn chỉnh.

Sự kiện B gọi điện thuận lợi sự kiện MỘT , nếu xảy ra sự kiện B kéo theo sự xuất hiện của một sự kiện MỘT . Do đó, nếu MỘT - sự xuất hiện của số điểm chẵn khi ném xúc xắc, sau đó là sự xuất hiện của số 4 đại diện cho một sự kiện ủng hộ một sự kiện MỘT.

Hãy để sự kiện trong thí nghiệm này tạo thành một nhóm hoàn chỉnh gồm các sự kiện có thể xảy ra như nhau và không tương thích theo từng cặp. Hãy gọi họ kết quả các bài kiểm tra. Hãy giả sử rằng sự kiện MỘT ủng hộ kết quả thử nghiệm. Khi đó xác suất của sự kiện MỘT trong thí nghiệm này được gọi là thái độ. Vì vậy chúng ta đi đến định nghĩa sau.

Xác suất P(A) của một sự kiện trong một thử nghiệm nhất định là tỷ lệ giữa số kết quả thử nghiệm thuận lợi cho sự kiện A trên tổng số kết quả thử nghiệm có thể tạo thành một nhóm hoàn chỉnh gồm các sự kiện không tương thích theo từng cặp có xác suất như nhau: .

Định nghĩa xác suất này thường được gọi là cổ điển. Có thể chứng minh rằng định nghĩa cổ điển thỏa mãn các tiên đề xác suất.

Ví dụ 1.1. Một lô từ 1000 vòng bi. Mình vô tình vào được đợt này 30 vòng bi không đạt tiêu chuẩn. Xác định xác suất P(A) rằng ổ trục được lấy ngẫu nhiên sẽ trở thành ổ trục tiêu chuẩn.

Giải pháp: Số lượng vòng bi tiêu chuẩn là 1000-30=970 . Chúng ta sẽ giả định rằng mỗi ổ trục có xác suất được chọn như nhau. Khi đó, nhóm sự kiện hoàn chỉnh bao gồm các kết quả có thể xảy ra như nhau, trong đó sự kiện MỘT ủng hộ kết quả. Đó là lý do tại sao .

Ví dụ 1.2. Trong bình 10 những quả bóng: 3 trắng và 7 đen. Hai quả bóng được lấy từ bình cùng một lúc. Xác suất là gì R rằng cả hai quả bóng đều có màu trắng?

Giải pháp: Số lượng tất cả các kết quả thử nghiệm có khả năng xảy ra như nhau bằng số cách mà trong đó 10 lấy ra hai quả bóng, tức là số lượng kết hợp từ 10 các yếu tố bởi 2 (nhóm sự kiện đầy đủ):

Số kết quả thuận lợi (có bao nhiêu cách có thể chọn từ 3 chọn quả bóng 2) : . Do đó, xác suất yêu cầu .

Nhìn về phía trước, vấn đề này có thể được giải quyết theo cách khác.

Giải pháp: Xác suất để trong lần thử thứ nhất (rút bi) lấy được bi trắng là (tổng số bi 10 , của họ 3 trắng). Xác suất để trong lần thử thứ hai lấy ra bi trắng lần nữa là bằng (tổng số bi lúc này là 9, bởi vì họ lấy một cái ra, nó trở thành màu trắng 2, bởi vì Họ lấy ra cái màu trắng). Do đó, xác suất kết hợp các sự kiện bằng tích của xác suất của chúng, tức là .

Ví dụ 1.3. Trong bình 2 màu xanh lá, 7 màu đỏ, 5 màu nâu và 10 những quả bóng trắng. Xác suất để một quả bóng màu xuất hiện là bao nhiêu?

Giải pháp: Chúng tôi lần lượt tìm thấy xác suất xuất hiện của các quả bóng màu xanh lá cây, đỏ và nâu: ; ; . Vì các sự kiện đang xem xét rõ ràng là không tương thích với nhau, nên bằng cách sử dụng tiên đề phép cộng, chúng ta tìm thấy xác suất xuất hiện một quả bóng màu:

Hoặc, theo một cách khác. Xác suất để xuất hiện bi trắng là . Khi đó xác suất xuất hiện của một quả bóng không phải màu trắng (tức là có màu), tức là. xác suất của sự kiện ngược lại là bằng .

Định nghĩa hình học của xác suất. Để khắc phục nhược điểm của định nghĩa xác suất cổ điển (không áp dụng được cho các thử nghiệm có số lượng kết quả vô hạn), một định nghĩa hình học về xác suất được đưa ra - xác suất của một điểm rơi vào một vùng (đoạn, một phần của mặt phẳng, vân vân.).

Hãy để phân khúc là một phần của phân khúc. Một điểm được đặt ngẫu nhiên trên một đoạn, có nghĩa là đáp ứng các giả định sau: điểm được đặt có thể ở bất kỳ điểm nào trên đoạn đó, xác suất một điểm rơi trên đoạn đó tỷ lệ thuận với độ dài của đoạn đó và không phụ thuộc vào vị trí của nó so với đoạn đó. Theo các giả định này, xác suất của một điểm rơi trên một đoạn được xác định bởi đẳng thức