Ba định nghĩa về tính liên tục của hàm số tại một điểm. Tính chất của hàm số liên tục trên một khoảng

Hàm liên tục là hàm không có "bước nhảy", nghĩa là hàm thỏa mãn điều kiện: những thay đổi nhỏ trong đối số được theo sau bởi những thay đổi nhỏ trong các giá trị tương ứng của hàm. Đồ thị của hàm số này là một đường cong trơn hoặc liên tục.

Tính liên tục tại một điểm giới hạn đối với một tập hợp nhất định có thể được xác định bằng cách sử dụng khái niệm giới hạn, cụ thể là: một hàm số phải có một giới hạn tại điểm này bằng giá trị của nó tại điểm giới hạn.

Nếu những điều kiện này bị vi phạm tại một thời điểm nhất định, người ta nói rằng hàm số tại thời điểm này bị gián đoạn, nghĩa là tính liên tục của nó bị vi phạm. Trong ngôn ngữ của giới hạn, điểm dừng có thể được mô tả là sự khác biệt giữa giá trị của hàm tại điểm dừng và giới hạn của hàm (nếu nó tồn tại).

Điểm dừng có thể được loại bỏ; đối với điều này, sự tồn tại của giới hạn của hàm là cần thiết, nhưng nó không trùng với giá trị của nó tại một điểm nhất định. Trong trường hợp này, nó có thể được “sửa” tại thời điểm này, nghĩa là nó có thể được xác định rõ hơn về tính liên tục.
Một bức tranh hoàn toàn khác sẽ xuất hiện nếu có giới hạn đối với hàm đã cho. Có hai tùy chọn điểm dừng có thể có:

thuộc loại thứ nhất - cả hai giới hạn một phía đều có sẵn và hữu hạn, và giá trị của một trong số chúng hoặc cả hai không trùng với giá trị của hàm tại một điểm nhất định;
thuộc loại thứ hai, khi một hoặc cả hai giới hạn một phía không tồn tại hoặc giá trị của chúng là vô hạn.

Tính chất của hàm liên tục

Hàm thu được là kết quả của các phép toán số học, cũng như sự chồng chất của các hàm liên tục trên miền định nghĩa của chúng, cũng là hàm liên tục.
Nếu bạn được cho một hàm liên tục dương tại một điểm nào đó, thì bạn luôn có thể tìm thấy một lân cận đủ nhỏ của hàm đó để nó giữ nguyên dấu.
Tương tự, nếu giá trị của nó tại hai điểm A và B lần lượt bằng a và b và a khác b thì đối với các điểm trung gian nó sẽ lấy tất cả các giá trị từ khoảng (a ; b). Từ đó chúng ta có thể rút ra một kết luận thú vị: nếu bạn để một sợi dây thun bị kéo căng nén lại để nó không bị chùng xuống (vẫn thẳng) thì một trong các điểm của nó sẽ không chuyển động. Và về mặt hình học, điều này có nghĩa là có một đường thẳng đi qua bất kỳ điểm trung gian nào giữa A và B cắt đồ thị của hàm số.

Chúng ta hãy lưu ý một số hàm cơ bản liên tục (trong phạm vi định nghĩa của chúng):

không thay đổi;
hợp lý;
lượng giác.

Có một mối liên hệ không thể tách rời giữa hai khái niệm cơ bản trong toán học - tính liên tục và tính vi phân. Chỉ cần nhớ rằng để một hàm khả vi thì nó cần phải là một hàm liên tục.

Nếu một hàm khả vi tại một điểm nào đó thì nó liên tục tại đó. Tuy nhiên, đạo hàm của nó không nhất thiết phải liên tục.

Hàm số có đạo hàm liên tục trên một tập hợp nhất định thuộc về một lớp hàm trơn riêng biệt. Nói cách khác, nó là một hàm khả vi liên tục. Nếu đạo hàm có số lượng điểm gián đoạn hữu hạn (chỉ thuộc loại thứ nhất), thì hàm như vậy được gọi là trơn từng phần.

Một khái niệm quan trọng khác là tính liên tục đều của một hàm số, nghĩa là khả năng nó liên tục như nhau tại bất kỳ điểm nào trong miền định nghĩa của nó. Vì vậy, đây là một tính chất được xem xét ở nhiều điểm chứ không phải ở một điểm nào.

Nếu chúng ta cố định một điểm, thì chúng ta không nhận được gì ngoài một định nghĩa về tính liên tục, nghĩa là, từ sự hiện diện của tính liên tục đều, suy ra rằng chúng ta có một hàm liên tục. Nói chung, điều ngược lại là không đúng. Tuy nhiên, theo định lý Cantor, nếu một hàm số liên tục trên một tập compact, tức là trên một khoảng đóng, thì nó liên tục đều trên tập đó.

Xác định tính liên tục của hàm số tại một điểm
hàm f (x) gọi điện liên tục tại điểm x 0 khu phố U (x0)điểm này, và nếu giới hạn khi x tiến tới x 0 tồn tại và bằng giá trị của hàm số tại x 0 :
.

Điều này ngụ ý rằng x 0 - đây là điểm cuối. Giá trị hàm trong nó chỉ có thể là một số hữu hạn.

Định nghĩa tính liên tục bên phải (trái)
hàm f (x) gọi điện liên tục bên phải (trái) tại điểm x 0 , nếu nó được xác định trên một số lân cận bên phải (bên trái) của điểm này và nếu bên phải (trái) giới hạn tại điểm x 0 bằng giá trị hàm tại x 0 :
.

Ví dụ

Ví dụ 1

Sử dụng định nghĩa Heine và Cauchy, chứng minh rằng hàm số liên tục với mọi x.

Cho một số tùy ý. Chứng minh hàm số đã cho liên tục tại điểm.

Hàm được xác định cho mọi x .

Do đó, nó được xác định tại một điểm và trong bất kỳ vùng lân cận nào của nó.
.
Chúng tôi sử dụng định nghĩa của Heine
.
Tính liên tục đã được chứng minh.

Chúng tôi sử dụng định nghĩa Cauchy

Hãy sử dụng .
Hãy xem xét trường hợp này.
Chúng ta có quyền xét hàm số trên bất kỳ lân cận nào của điểm. .

Vì vậy chúng ta sẽ giả định rằng
.
(A1.1)

;
Hãy áp dụng công thức: .

Có tính đến (A1.1), chúng tôi đưa ra ước tính sau:
;
(A1.2) .
.
Áp dụng (A1.2), chúng ta ước tính giá trị tuyệt đối của chênh lệch:

(A1.3)
.
.

.
Theo tính chất của bất đẳng thức, nếu (A1.3) thỏa mãn, nếu và nếu , thì .

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào điểm.

Trong trường hợp này

Điều này có nghĩa là hàm số liên tục tại điểm.

Theo cách tương tự, người ta có thể chứng minh rằng hàm số , trong đó n là số tự nhiên, liên tục trên toàn bộ trục thực.

Ví dụ 2
Chứng minh hàm số liên tục với mọi .
Hàm đã cho được xác định tại . .

Vì vậy chúng ta sẽ giả định rằng
Ta chứng minh nó liên tục tại điểm. .
Hãy xem xét trường hợp này.
.

Chúng ta có quyền xét hàm số trên bất kỳ lân cận nào của điểm.

.
Vì vậy chúng ta sẽ giả sử rằng
.

(A2.1)

.
Vì vậy chúng ta sẽ giả sử rằng
(A2.2) .

Hãy đặt nó.
.
Sau đó

Có tính đến (A2.1), chúng tôi đưa ra ước tính sau:
.
Theo tính chất của bất đẳng thức, nếu (A1.3) thỏa mãn, nếu và nếu , thì .

Vì thế,
.
Áp dụng bất đẳng thức này và sử dụng (A2.2), chúng tôi ước tính sự khác biệt:
.

(A2.3)
.
Chúng tôi giới thiệu các số dương và , kết nối chúng với các mối quan hệ sau:

Theo tính chất của bất đẳng thức, nếu (A2.3) thỏa mãn, nếu và nếu , thì .

Điều này có nghĩa là đối với bất kỳ số dương nào thì luôn có .
Khi đó với mọi x thỏa mãn bất đẳng thức thì bất đẳng thức sau tự động được thỏa mãn:
Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào điểm.
Chúng ta cần chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm này ở bên phải. Trong trường hợp này

Nhập số dương và:

Điều này cho thấy rằng đối với bất kỳ tích cực nào luôn có .

Khi đó với mọi x sao cho , bất đẳng thức sau đúng:

Điều này có nghĩa là .

Nghĩa là hàm số liên tục bên phải tại điểm.

Theo cách tương tự, người ta có thể chứng minh rằng hàm số , trong đó n là số tự nhiên, liên tục với .

Văn học đã qua sử dụng:

O.I. Besov. Bài giảng về phân tích toán học. Phần 1. Mátxcơva, 2004. L. D. Kudryavtsev. Giáo trình phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 2003. CM. Nikolsky. Giáo trình phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 1983. 1. Giới thiệu. 2. Xác định tính liên tục của hàm số. 3. Phân loại điểm dừng, tức là theo từng đợt. Tỷ giá tiền tệ mất giá hay giảm đều, có diễn biến từ từ hay bước nhảy vọt mang tính cách mạng? Để thống nhất các đánh giá định tính và định lượng về những gì đang xảy ra, người ta nên trừu tượng hóa nội dung cụ thể và nghiên cứu vấn đề dưới góc độ phụ thuộc chức năng. Điều này có thể được thực hiện bằng lý thuyết giới hạn mà chúng ta đã thảo luận trong bài giảng trước.

10.2. Định nghĩa tính liên tục của hàm số

Tính liên tục của một hàm số có liên quan trực quan đến thực tế là đồ thị của nó là một đường cong liên tục không bị đứt ở bất kỳ đâu. Chúng ta vẽ đồ thị của hàm số đó mà không cần nhấc bút khỏi giấy. Nếu một hàm được đưa ra trong một bảng thì nói đúng ra thì không thể đánh giá được tính liên tục của nó, bởi vì đối với một bước của bảng đã cho, hành vi của hàm trong các khoảng không được xác định.

Trong thực tế, với tính liên tục, trường hợp sau xảy ra: nếu các tham số đặc trưng cho tình huống Một chút thay đổi rồi Một chút tình hình sẽ thay đổi. Điều quan trọng ở đây không phải là tình hình sẽ thay đổi mà là nó sẽ thay đổi “một chút”.

Chúng ta hãy hình thành khái niệm về tính liên tục bằng ngôn ngữ của số gia. Giả sử một hiện tượng nào đó được mô tả bằng hàm và điểm Một thuộc miền định nghĩa của hàm số. Sự khác biệt được gọi là tăng đối số tại điểm Một, sự khác biệt - tăng hàm tại điểm Một.

Định nghĩa 10.1.Chức năng liên tục tại một điểm a, nếu nó được xác định tại thời điểm này và mức tăng vô hạn trong đối số tương ứng với mức tăng vô cùng nhỏ trong hàm:

Ví dụ 10.1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm.

Giải pháp. Hãy xây dựng đồ thị của hàm số và đánh dấu số gia D trên đó x và D y(Hình 10.1).

Biểu đồ cho thấy mức tăng D càng nhỏ x, càng ít D y. Hãy chứng minh điều này một cách phân tích. Gia số của đối số bằng , thì gia số của hàm tại thời điểm này sẽ bằng

Từ đây rõ ràng là nếu , thì và:

Chúng ta hãy đưa ra một định nghĩa khác về tính liên tục của hàm số.

Định nghĩa 10.2.Hàm này được gọi liên tục tại điểm a nếu:

1) nó được xác định tại điểm a và một số vùng xung quanh nó;

2) tồn tại các giới hạn một phía và bằng nhau:

;

3) giới hạn của hàm số tại x® a bằng giá trị của hàm tại thời điểm này:

Nếu ít nhất một trong các điều kiện này bị vi phạm thì hàm đó được gọi là trải qua khoảng cách.

Định nghĩa này có tính ứng dụng để thiết lập tính liên tục tại một điểm. Theo thuật toán của ông và lưu ý sự trùng hợp cũng như khác biệt giữa các yêu cầu của định nghĩa và một ví dụ cụ thể, chúng ta có thể kết luận rằng hàm này liên tục tại một điểm.

Ở Định nghĩa 2, ý tưởng về độ gần xuất hiện rõ ràng khi chúng ta đưa ra khái niệm giới hạn. Với sự xấp xỉ không giới hạn của đối số xđến giá trị giới hạn Một, liên tục tại một điểm Một chức năng f(x) tiến tới giá trị giới hạn tùy ý đóng f(Một).

10.3. Phân loại điểm dừng

Các điểm mà tại đó các điều kiện liên tục của hàm bị vi phạm được gọi là điểm dừng chức năng này. Nếu như x 0 là điểm dừng của hàm; ít nhất một trong các điều kiện về tính liên tục của hàm không được thỏa mãn. Hãy xem xét ví dụ sau.

1. Hàm số được xác định trong một lân cận nhất định của điểm Một, nhưng không được xác định tại chính điểm đó Một. Ví dụ: hàm không được xác định tại điểm Một=2, do đó trải qua sự gián đoạn (xem Hình 10.2).

Cơm. 10.2 Hình. 10.3

2. Hàm được xác định tại một điểm Một và ở một số lân cận của nó, các giới hạn một phía của nó tồn tại nhưng không bằng nhau: thì hàm số gián đoạn. Ví dụ, chức năng

được xác định tại điểm, nhưng tại hàm số có sự gián đoạn (xem Hình 10.3), bởi vì

Và ().

3. Hàm được xác định tại một điểm Một và trong một lân cận nào đó của nó tồn tại giới hạn của hàm tại , nhưng giới hạn này không bằng giá trị của hàm tại điểm Một:

Ví dụ: hàm (xem Hình 10.4)

Đây là điểm đột phá:

Tất cả các điểm gián đoạn được chia thành các điểm gián đoạn có thể tháo rời, các điểm gián đoạn loại một và loại thứ hai.

Định nghĩa 10.1.Điểm dừng được gọi là điểm khoảng cách có thể sửa chữa , nếu tại thời điểm này có các giới hạn hữu hạn của hàm số ở bên trái và bên phải, bằng nhau:

Giới hạn của hàm tại điểm giới hạn tồn tại nhưng không bằng giá trị của hàm tại điểm giới hạn (nếu hàm được xác định tại điểm giới hạn), hoặc hàm số tại điểm giới hạn không được xác định.

Trong hình. 10.4 tại thời điểm các điều kiện liên tục bị vi phạm và hàm số bị gián đoạn. Điểm trên đồ thị (0; 1) khoét ra. Tuy nhiên, khoảng cách này có thể được loại bỏ dễ dàng - chỉ cần xác định lại hàm này là đủ, đặt nó bằng giới hạn của nó tại thời điểm này, tức là. đặt . Vì vậy, những khoảng trống như vậy được gọi là có thể tháo rời.

Định nghĩa 10.2.Điểm phá vỡ được gọi là điểm gián đoạn loại 1 , nếu tại thời điểm này có các giới hạn hữu hạn của hàm số ở bên trái và bên phải, nhưng chúng không bằng nhau:

Tại thời điểm này, chức năng được cho là trải nghiệm bước nhảy vọt.

Trong hình. 10.3 hàm số có điểm gián đoạn loại 1 tại điểm. Giới hạn bên trái và bên phải tại thời điểm này bằng nhau:

Và .

Bước nhảy của hàm tại điểm gián đoạn bằng .

Không thể định nghĩa một hàm như vậy là liên tục. Biểu đồ bao gồm hai nửa đường cách nhau bằng một bước nhảy.

Định nghĩa 10.3.Điểm phá vỡ được gọi là điểm gián đoạn loại 2 , nếu ít nhất một trong các giới hạn một phía của hàm số (trái hoặc phải) không tồn tại hoặc bằng vô cùng.

Trong Hình 10.3, hàm số tại một điểm có tính gián đoạn loại 2. Hàm đang xét tại là vô cùng lớn và không có giới hạn hữu hạn ở bên phải hoặc bên trái. Vì vậy, không cần phải nói về tính liên tục ở thời điểm như vậy.

Ví dụ 10.2. Xây dựng đồ thị và xác định tính chất của các điểm dừng:

Giải pháp. Hãy vẽ đồ thị hàm số f(x) (Hình 10.5).

Hình vẽ cho thấy hàm số ban đầu có ba điểm gián đoạn: , x 2 = 1,
x 3 = 3. Hãy xem xét chúng theo thứ tự.

Do đó điểm có vỡ loại 2.

a) Hàm được xác định tại thời điểm này: f(1) = –1.

b) , ,

những thứ kia. tại điểm x 2 = 1 có sẵn khoảng cách có thể sửa chữa. Bằng cách xác định lại giá trị hàm tại thời điểm này: f(1) = 5, tính gián đoạn bị loại bỏ và hàm số tại điểm này trở nên liên tục.

a) Hàm được xác định tại thời điểm này: f(3) = 1.

Vì vậy, tại thời điểm x 1 = 3 có sẵn vỡ loại 1. Hàm tại thời điểm này trải qua một bước nhảy bằng D y= –2–1 = –3.

10.4. Tính chất của hàm liên tục

Nhớ lại các tính chất tương ứng của giới hạn, chúng ta kết luận rằng các hàm là kết quả của các phép toán số học trên các hàm liên tục tại cùng một điểm cũng liên tục. Ghi chú:

1) nếu các hàm số và liên tục tại điểm Một, thì các hàm số , và (với điều kiện là ) cũng liên tục tại điểm này;

2) nếu hàm số liên tục tại điểm Một và hàm số liên tục tại điểm thì hàm số phức liên tục tại điểm Một Và

những thứ kia. dấu giới hạn có thể đặt dưới dấu của hàm liên tục.

Họ nói rằng một hàm số liên tục trên một tập hợp nào đó nếu nó liên tục tại mọi điểm của tập hợp này. Đồ thị của hàm số này là một đường liên tục có thể bị gạch bỏ bằng một nét bút.

Tất cả chính các hàm cơ bản liên tục tại mọi điểm mà chúng được xác định.

Chức năng, liên tục trên phân khúc, có một số tính chất đặc biệt quan trọng. Chúng ta hãy xây dựng các định lý biểu diễn một số tính chất này.

Định lý 10.1 (Định lý Weierstrass ). Nếu một hàm liên tục trên một đoạn thì nó đạt giá trị tối thiểu và tối đa trên đoạn này.

Định lý 10.2 (Định lý Cauchy ). Nếu một hàm liên tục trên một khoảng thì trên khoảng này tất cả các giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.

Tính chất quan trọng sau đây rút ra từ định lý Cauchy.

Định lý 10.3. Nếu một hàm số liên tục trên một đoạn và nhận các giá trị khác dấu ở hai đầu của đoạn đó thì giữa a và b có một điểm c mà tại đó hàm số triệt tiêu:.

Ý nghĩa hình học của định lý này rất rõ ràng: nếu đồ thị của hàm số liên tục đi từ nửa mặt phẳng dưới đến nửa mặt phẳng trên (hoặc ngược lại) thì ít nhất có một điểm nó sẽ cắt trục Con bò đực(Hình 10.6).

Ví dụ 10.3. Tính gần đúng nghiệm của phương trình

, (tức là thay thế gần đúng) đa thức có bậc tương ứng.

Đây là một tính chất rất quan trọng của hàm số liên tục trong thực hành. Ví dụ, các hàm liên tục thường được xác định bằng bảng (dữ liệu quan sát hoặc thực nghiệm). Sau đó, bằng cách sử dụng một số phương pháp, bạn có thể thay thế hàm được lập bảng bằng đa thức. Theo Định lý 10.3, điều này luôn có thể được thực hiện với độ chính xác đủ cao. Làm việc với một hàm được xác định bằng giải tích (đặc biệt là đa thức) dễ dàng hơn nhiều.

10,5. Ý nghĩa kinh tế của tính liên tục

Hầu hết các hàm được sử dụng trong kinh tế học đều có tính liên tục và điều này cho phép người ta đưa ra những tuyên bố khá quan trọng về nội dung kinh tế.

Để minh họa, hãy xem xét ví dụ sau.

Thuế suất N có đồ thị gần giống như trong Hình. 10,7a.

Ở cuối các khoảng, nó không liên tục và những sự gián đoạn này thuộc loại thứ nhất. Tuy nhiên, số tiền thuế thu nhập P(Hình 10.7b) là hàm liên tục của thu nhập hàng năm Q. Cụ thể từ đây, theo đó, nếu thu nhập hàng năm của hai người chênh lệch không đáng kể thì chênh lệch về số thuế thu nhập mà họ phải nộp cũng không khác nhau đáng kể. Điều thú vị là hoàn cảnh này được đại đa số mọi người coi là hoàn toàn tự nhiên, điều mà họ thậm chí không nghĩ tới.

10.6. Phần kết luận

Ở phần cuối, chúng ta hãy cho phép mình có một khoảng thời gian tĩnh tâm nhỏ.

Đây là cách thể hiện bằng hình ảnh sự quan sát buồn bã của người xưa:

Sic quá cảnh Gloria mundi...

(Đây là cách vinh quang trần gian trôi qua …)

Kết thúc công việc -

Chủ đề này thuộc chuyên mục:

Khái niệm chức năng

Khái niệm về chức năng.. mọi thứ đều trôi chảy và mọi thứ đều thay đổi Heraclitus.. bảng x x x x y y y y y..

Nếu bạn cần thêm tài liệu về chủ đề này hoặc bạn không tìm thấy những gì bạn đang tìm kiếm, chúng tôi khuyên bạn nên sử dụng tìm kiếm trong cơ sở dữ liệu tác phẩm của chúng tôi:

Chúng ta sẽ làm gì với tài liệu nhận được:

Nếu tài liệu này hữu ích với bạn, bạn có thể lưu nó vào trang của mình trên mạng xã hội:

Việc nghiên cứu hàm liên tục tại một điểm được thực hiện theo sơ đồ thông thường đã được thiết lập, bao gồm việc kiểm tra ba điều kiện liên tục:

Ví dụ 1

Kiểm tra chức năng cho liên tục. Xác định bản chất của các điểm gián đoạn của hàm số, nếu chúng tồn tại. Thực hiện bản vẽ.

Giải pháp:

1) Điểm duy nhất trong phạm vi là nơi hàm không được xác định.

Giới hạn một phía là hữu hạn và bằng nhau.

Vì vậy, tại thời điểm hàm số bị gián đoạn có thể tháo rời được.

Đồ thị của hàm này trông như thế nào?

Tôi muốn đơn giản hóa , và có vẻ như thu được một parabol bình thường. NHƯNG hàm ban đầu không được xác định tại điểm, do đó cần có mệnh đề sau:

Hãy thực hiện bản vẽ:

Trả lời: hàm số liên tục trên toàn bộ trục số ngoại trừ điểm mà tại đó nó bị gián đoạn.

Chức năng này có thể được xác định thêm theo cách tốt hoặc không tốt, nhưng tùy theo điều kiện, điều này là không bắt buộc.

Bạn nói đây là một ví dụ xa vời? Không có gì. Điều này đã xảy ra hàng chục lần trong thực tế. Hầu như tất cả các nhiệm vụ của trang web đều đến từ các bài kiểm tra và công việc độc lập thực sự.

Hãy loại bỏ các mô-đun yêu thích của chúng tôi:

Ví dụ 2

Khám phá chức năng cho sự liên tục. Xác định bản chất của các điểm gián đoạn của hàm số, nếu chúng tồn tại. Thực hiện bản vẽ.

Giải pháp: Vì lý do nào đó, học sinh sợ và không thích các chức năng của một mô-đun, mặc dù chúng không có gì phức tạp. Chúng ta đã đề cập một chút về những điều như vậy trong bài học. Các phép biến đổi hình học của đồ thị. Vì mô-đun không âm nên nó được mở rộng như sau: , trong đó “alpha” là một biểu thức nào đó. Trong trường hợp này, hàm của chúng ta nên được viết từng phần:

Nhưng phân số của cả hai phần phải giảm đi . Việc cắt giảm, như trong ví dụ trước, sẽ không diễn ra mà không có hậu quả. Hàm ban đầu không được xác định tại điểm vì mẫu số tiến về 0. Vì vậy, hệ thống cần xác định thêm điều kiện và làm nghiêm ngặt bất đẳng thức thứ nhất:

Bây giờ về một kỹ thuật quyết định RẤT HỮU ÍCH: trước khi hoàn thiện nhiệm vụ trên bản nháp, nên vẽ một bản vẽ (bất kể điều kiện có yêu cầu hay không). Điều này trước hết sẽ giúp nhìn thấy ngay các điểm liên tục và các điểm gián đoạn, và thứ hai, nó sẽ bảo vệ bạn 100% khỏi sai sót khi tìm giới hạn một phía.

Hãy vẽ. Theo tính toán của chúng tôi, ở bên trái của điểm cần vẽ một đoạn parabol (màu xanh) và ở bên phải - một đoạn parabol (màu đỏ), trong khi hàm không được xác định tại điểm chính nó:

Nếu nghi ngờ, hãy lấy một vài giá trị x và cắm chúng vào hàm (hãy nhớ rằng mô-đun sẽ hủy dấu trừ có thể có) và kiểm tra biểu đồ.

Chúng ta hãy kiểm tra chức năng liên tục một cách phân tích:

1) Hàm số không được xác định tại điểm nên ta có thể nói ngay rằng hàm số không liên tục tại điểm đó.

2) Hãy thiết lập bản chất của sự gián đoạn; để làm điều này, chúng ta tính giới hạn một phía:

Các giới hạn một phía là hữu hạn và khác nhau, có nghĩa là hàm số bị gián đoạn loại 1 với bước nhảy tại điểm . Lưu ý rằng việc hàm tại điểm ngắt có được xác định hay không không quan trọng.

Bây giờ tất cả những gì còn lại là chuyển bản vẽ từ bản nháp (nó được thực hiện như thể với sự trợ giúp của nghiên cứu ;-)) và hoàn thành nhiệm vụ:

Trả lời: hàm số liên tục trên toàn bộ trục số ngoại trừ điểm mà tại đó nó bị gián đoạn loại một khi có một bước nhảy.

Đôi khi họ yêu cầu chỉ dẫn bổ sung về bước nhảy gián đoạn. Nó được tính toán đơn giản - từ giới hạn bên phải, bạn cần trừ giới hạn bên trái: , tức là tại điểm dừng, hàm của chúng ta đã nhảy xuống 2 đơn vị (như dấu trừ cho chúng ta biết).

Ví dụ 3

Khám phá chức năng cho sự liên tục. Xác định bản chất của các điểm gián đoạn của hàm số, nếu chúng tồn tại. Thực hiện một bản vẽ.

Đây là ví dụ để các bạn tự giải, có lời giải mẫu ở cuối bài.

Hãy chuyển sang phiên bản phổ biến và phổ biến nhất của nhiệm vụ, khi chức năng bao gồm ba phần:

Ví dụ 4

Kiểm tra tính liên tục của hàm số và vẽ đồ thị của hàm số

Giải pháp: rõ ràng là cả ba phần của hàm số đều liên tục trên các khoảng tương ứng, do đó chỉ cần kiểm tra hai điểm “giao nhau” giữa các phần. Đầu tiên chúng ta hãy vẽ một bản phác thảo; tôi đã nhận xét đầy đủ chi tiết về kỹ thuật xây dựng ở phần đầu của bài viết. Điều duy nhất là chúng ta cần theo dõi cẩn thận các điểm kỳ dị của mình: do bất đẳng thức nên giá trị thuộc về đường thẳng (chấm xanh), và do bất đẳng thức nên giá trị thuộc về parabol (chấm đỏ):

Về nguyên tắc thì mọi thứ đều rõ ràng =) Tất cả những gì còn lại là chính thức hóa quyết định. Đối với mỗi điểm trong số hai điểm “khớp”, chúng tôi kiểm tra tiêu chuẩn 3 điều kiện liên tục:

TÔI)

Các giới hạn một phía là hữu hạn và khác nhau, có nghĩa là hàm số bị gián đoạn loại 1 với bước nhảy tại điểm .

Chúng ta hãy tính bước nhảy gián đoạn là sự khác biệt giữa giới hạn bên phải và bên trái:
, tức là đồ thị bị giật lên một đơn vị.

II) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

1) - hàm được xác định tại một điểm nhất định.

2) Tìm giới hạn một phía:

- giới hạn một phía là hữu hạn và bằng nhau, tức là có giới hạn tổng quát.

Ở giai đoạn cuối, chúng tôi chuyển bản vẽ sang phiên bản cuối cùng, sau đó chúng tôi đặt hợp âm cuối cùng:

Trả lời: hàm số liên tục trên toàn bộ trục số, ngoại trừ điểm mà tại đó nó bị gián đoạn loại một khi có một bước nhảy.

Ví dụ 5

Kiểm tra tính liên tục của hàm số và xây dựng đồ thị của nó .

Đây là ví dụ về cách giải độc lập, cách giải ngắn và mẫu gần đúng của bài toán ở cuối bài.

Bạn có thể có ấn tượng rằng tại một thời điểm hàm số phải liên tục và tại một thời điểm khác phải có sự gián đoạn. Trong thực tế, điều này không phải lúc nào cũng đúng. Cố gắng đừng bỏ qua các ví dụ còn lại - sẽ có một số tính năng thú vị và quan trọng:

Ví dụ 6

Cho một hàm . Khảo sát hàm số liên tục tại các điểm. Xây dựng một biểu đồ.

Giải pháp: và một lần nữa thực hiện ngay bản vẽ trên bản nháp:

Điểm đặc biệt của đồ thị này là hàm từng phần được cho bởi phương trình của trục hoành. Ở đây, khu vực này được vẽ bằng màu xanh lá cây, nhưng trong sổ tay, nó thường được tô đậm bằng bút chì đơn giản. Và tất nhiên, đừng quên ram của chúng ta: giá trị thuộc về nhánh tiếp tuyến (chấm đỏ) và giá trị thuộc về đường thẳng.

Mọi thứ đều rõ ràng từ bản vẽ - hàm liên tục dọc theo toàn bộ dãy số, tất cả những gì còn lại là chính thức hóa giải pháp, được đưa đến tự động hóa hoàn toàn theo đúng nghĩa đen sau 3-4 ví dụ tương tự:

TÔI) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

2) Hãy tính giới hạn một phía:

, có nghĩa là có một giới hạn chung.

Một điều buồn cười nhỏ đã xảy ra ở đây. Thực tế là tôi đã tạo ra rất nhiều tài liệu về giới hạn của hàm số, và nhiều lần tôi muốn làm vậy nhưng nhiều lần tôi lại quên mất một câu hỏi đơn giản. Và thế là, với nỗ lực ý chí đáng kinh ngạc, tôi buộc mình không được mất suy nghĩ =) Rất có thể, một số độc giả “ngốc” nghi ngờ: giới hạn của hằng số là gì? Giới hạn của hằng số bằng chính hằng số đó. Trong trường hợp này, giới hạn của số 0 bằng chính số 0 (giới hạn thuận tay trái).

3) - giới hạn của hàm số tại một điểm bằng giá trị của hàm số đó tại một điểm cho trước.

Do đó, hàm số liên tục tại một điểm theo định nghĩa tính liên tục của hàm số tại một điểm.

II) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

1) - hàm được xác định tại một điểm nhất định.

2) Tìm giới hạn một phía:

Và ở đây, trong giới hạn bên phải, giới hạn đơn vị bằng chính sự đơn vị.

- có một giới hạn chung.

3) - giới hạn của hàm số tại một điểm bằng giá trị của hàm số đó tại một điểm cho trước.

Do đó, hàm số liên tục tại một điểm theo định nghĩa tính liên tục của hàm số tại một điểm.

Như thường lệ, sau khi nghiên cứu, chúng tôi chuyển bản vẽ của mình sang phiên bản cuối cùng.

Trả lời: hàm số liên tục tại các điểm.

Xin lưu ý rằng trong điều kiện chúng tôi không được hỏi bất cứ điều gì về việc nghiên cứu toàn bộ hàm về tính liên tục và nó được coi là dạng toán học tốt để xây dựng chính xác và rõ ràng câu trả lời cho câu hỏi đặt ra. Nhân tiện, nếu điều kiện không yêu cầu bạn xây dựng biểu đồ thì bạn có quyền không xây dựng biểu đồ đó (mặc dù sau này giáo viên có thể buộc bạn làm điều này).

Một trò “vặn lưỡi” toán học nhỏ để bạn tự giải:

Ví dụ 7

Cho một hàm .

Khảo sát hàm số liên tục tại các điểm. Phân loại điểm dừng, nếu có. Thực hiện bản vẽ.

Cố gắng “phát âm” chính xác tất cả các “từ” =) Và vẽ biểu đồ chính xác hơn, chính xác hơn, ở đâu cũng sẽ không thừa ;-)

Như bạn còn nhớ, tôi khuyên bạn nên hoàn thành ngay bản vẽ dưới dạng bản nháp, nhưng đôi khi bạn gặp phải những ví dụ mà bạn không thể hình dung ngay được biểu đồ trông như thế nào. Do đó, trong một số trường hợp, sẽ có lợi hơn nếu trước tiên tìm ra giới hạn một phía và chỉ sau đó, dựa trên nghiên cứu, mới mô tả các nhánh. Trong hai ví dụ cuối cùng, chúng ta cũng sẽ tìm hiểu kỹ thuật tính một số giới hạn một phía:

Ví dụ 8

Kiểm tra hàm số về tính liên tục và xây dựng sơ đồ của nó.

Giải pháp: những điểm xấu rất rõ ràng: (giảm mẫu số của số mũ về 0) và (giảm mẫu số của toàn bộ phân số về 0). Không rõ biểu đồ của hàm này trông như thế nào, điều đó có nghĩa là tốt hơn hết bạn nên thực hiện một số nghiên cứu trước:

TÔI) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

2) Tìm giới hạn một phía:

Xin lưu ý phương pháp điển hình để tính giới hạn một phía: thay vì “x” chúng ta thay thế . Không có tội phạm nào ở mẫu số: “cộng” “trừ 0” không đóng vai trò gì và kết quả là “bốn”. Nhưng ở tử số có một điều gì đó kinh dị đang diễn ra: đầu tiên chúng ta loại bỏ -1 và 1 ở mẫu số của chỉ báo, dẫn đến . Đơn vị chia cho , bằng “trừ vô cực”, do đó: . Và cuối cùng, “hai” trong độ âm vô cùng lớn bằng 0: . Hoặc, để cụ thể hơn nữa: .

Hãy tính giới hạn bên phải:

Và ở đây - thay vì “X”, chúng tôi thay thế . Ở mẫu số, “cộng” lại không đóng vai trò gì: . Trong tử số, các hành động tương tự như giới hạn trước đó được thực hiện: chúng ta hủy các số đối diện và chia cho :

Giới hạn bên phải là vô hạn, nghĩa là hàm số gián đoạn loại 2 tại điểm .

II) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

1) Chức năng không được xác định tại thời điểm này.

2) Hãy tính giới hạn bên trái:

Phương pháp này giống nhau: chúng tôi thay thế “X” vào hàm. Không có gì thú vị trong tử số - hóa ra nó là một số dương hữu hạn. Và ở mẫu số, chúng ta mở dấu ngoặc, loại bỏ “số ba” và “phụ gia” đóng vai trò quyết định.

Kết quả là số dương cuối cùng chia cho số dương vô hạn, cho “cộng vô cùng”: .

Giới hạn bên phải giống như anh em sinh đôi, ngoại trừ việc nó xuất hiện ở mẫu số số âm vô hạn:

Giới hạn một phía là vô hạn, nghĩa là hàm số gián đoạn loại 2 tại điểm .

Do đó, chúng ta có hai điểm ngắt và rõ ràng là có ba nhánh của biểu đồ. Đối với mỗi nhánh, nên thực hiện xây dựng từng điểm một, tức là. lấy một số giá trị “x” và thay thế chúng thành . Xin lưu ý rằng điều kiện cho phép xây dựng một bản vẽ sơ đồ và sự thoải mái như vậy là điều đương nhiên đối với công việc thủ công. Tôi xây dựng đồ thị bằng chương trình nên không gặp khó khăn như vậy, đây là hình ảnh khá chính xác:

Trực tiếp là tiệm cận đứng cho đồ thị của hàm số này.

Trả lời: hàm số liên tục trên toàn bộ trục số ngoại trừ các điểm mà tại đó nó có gián đoạn loại 2.

Một chức năng đơn giản hơn để tự giải quyết:

Ví dụ 9

Kiểm tra tính liên tục của hàm số và vẽ sơ đồ.

Một giải pháp mẫu gần đúng ở cuối mà không được chú ý.

Hẹn gặp lại bạn sớm!

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 3:Giải pháp : biến đổi hàm: . Xem xét quy tắc tiết lộ mô-đun và sự thật là , chúng ta viết lại hàm dưới dạng từng phần:

Chúng ta hãy kiểm tra chức năng cho liên tục.

1) Hàm không được xác định tại điểm .

Các giới hạn một phía là hữu hạn và khác nhau, có nghĩa là hàm số bị gián đoạn loại 1 khi có một bước nhảy tại điểm . Hãy thực hiện bản vẽ:

Trả lời: hàm số liên tục trên trục số trừ điểm , trong đó nó phải chịu sự gián đoạn loại đầu tiên khi có một bước nhảy. Nhảy khoảng cách: (tăng hai đơn vị).

Ví dụ 5:Giải pháp : Mỗi phần trong số ba phần của hàm số liên tục trên khoảng riêng của nó.
TÔI)
1)

2) Hãy tính giới hạn một phía:

, có nghĩa là có một giới hạn chung.
3) - giới hạn của hàm số tại một điểm bằng giá trị của hàm số đó tại một điểm cho trước.
Vì vậy chức năng liên tục tại một điểm bằng cách xác định tính liên tục của hàm số tại một điểm.
II) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

1) - hàm được xác định tại một điểm nhất định. hàm số bị gián đoạn loại 2 tại điểm

Làm thế nào để tìm miền của một hàm?

Ví dụ về giải pháp

Nếu thiếu thứ gì đó ở đâu đó, có nghĩa là có thứ gì đó ở đâu đó

Chúng ta tiếp tục nghiên cứu phần “Hàm số và Đồ thị”, và trạm tiếp theo trong hành trình của chúng ta là Miền chức năng. Một cuộc thảo luận tích cực về khái niệm này đã bắt đầu trong bài học đầu tiên. về đồ thị hàm số, trong đó tôi đã xem xét các hàm cơ bản và đặc biệt là các miền định nghĩa của chúng. Vì vậy, tôi khuyên những người giả nên bắt đầu với những điều cơ bản của chủ đề, vì tôi sẽ không tập trung vào một số điểm cơ bản nữa.

Giả sử rằng người đọc biết các lĩnh vực định nghĩa của các hàm cơ bản: tuyến tính, bậc hai, hàm bậc ba, đa thức, hàm mũ, logarit, sin, cosin. Chúng được xác định trên . Đối với các tiếp tuyến, cung, cũng vậy, tôi tha thứ cho bạn =) Đồ thị hiếm hơn không được ghi nhớ ngay lập tức.

Phạm vi định nghĩa tưởng chừng như là một điều đơn giản và một câu hỏi logic được đặt ra: bài viết sẽ nói về cái gì? Trong bài học này tôi sẽ xem xét các vấn đề thường gặp khi tìm miền xác định của hàm số. Hơn nữa, chúng tôi sẽ lặp lại bất đẳng thức một biến, kỹ năng giải của chúng cũng sẽ được yêu cầu trong các bài toán khác của toán học cao hơn. Nhân tiện, tài liệu này đều là tài liệu của trường nên sẽ hữu ích không chỉ cho học sinh mà còn cho cả học sinh. Tất nhiên, thông tin không mang tính chất bách khoa, nhưng đây không phải là những ví dụ “chết” xa vời mà là hạt dẻ rang, được lấy từ những công trình thực tế có thật.

Hãy bắt đầu với việc đi sâu vào chủ đề. Nói ngắn gọn về điều chính: chúng ta đang nói về hàm một biến. Miền định nghĩa của nó là nhiều ý nghĩa của "x", mà hiện hữu nghĩa của “người chơi”. Hãy xem xét một ví dụ giả định:

Miền định nghĩa của hàm này là hợp của các khoảng:
(dành cho ai quên: - biểu tượng thống nhất). Nói cách khác, nếu bạn lấy bất kỳ giá trị nào của “x” từ khoảng , hoặc từ , hoặc từ , thì với mỗi “x” như vậy sẽ có một giá trị “y”.

Nói một cách đại khái, ở đâu có miền định nghĩa thì ở đó có đồ thị của hàm số. Nhưng nửa quãng và điểm “tse” không được đưa vào vùng định nghĩa nên không có biểu đồ ở đó.

Có, nhân tiện, nếu có điều gì chưa rõ ràng về thuật ngữ và/hoặc nội dung của các đoạn đầu tiên, tốt hơn hết bạn nên quay lại bài viết Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản.

Sự định nghĩa
hàm f (x) gọi điện liên tục tại điểm x 0 lân cận của điểm này, và nếu giới hạn khi x tiến tới x 0 bằng giá trị hàm tại x 0 :
.

Sử dụng định nghĩa Cauchy và Heine về giới hạn của hàm số, chúng ta có thể đưa ra định nghĩa mở rộng về tính liên tục của hàm số tại một điểm .

Chúng ta có thể xây dựng khái niệm liên tục trong về mặt gia tăng. Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu một biến mới, được gọi là số gia của biến x tại điểm.
.
Khi đó hàm số liên tục tại điểm nếu
.
Hãy giới thiệu một chức năng mới: tăng hàm Họ gọi cô ấy
.

tại điểm .
Khi đó hàm số liên tục tại điểm nếu (x)Định lý về giới hạn của hàm số liên tục 0 Đặt hàm f (x0) liên tục tại điểm x

.
Khi đó có lân cận U
.
, trên đó chức năng bị hạn chế.
Định lý về bảo toàn dấu của hàm số liên tục

Cho hàm số liên tục tại điểm.
Và để nó có giá trị dương (âm) tại thời điểm này:
Khi đó có một lân cận của điểm mà hàm số có giá trị dương (âm):
Tại .

Tính chất liên tục trái phải
Hàm số liên tục tại một điểm khi và chỉ khi nó liên tục ở bên phải và bên trái.

Chứng minh các tính chất được đưa ra ở trang “Tính chất của hàm số liên tục tại một điểm”.

Tính liên tục của hàm phức

Định lý liên tục cho hàm phức
Cho hàm số liên tục tại điểm.
Và cho hàm số liên tục tại điểm.

Khi đó hàm phức liên tục tại điểm.

Giới hạn của hàm phức
Định lý về giới hạn hàm số liên tục của hàm số
.
Giả sử có giới hạn của hàm số tại , và nó bằng: 0 Đây là điểm t
có thể là hữu hạn hoặc vô cùng xa xôi: .
Và cho hàm số liên tục tại điểm.
.

Khi đó có giới hạn của hàm phức và nó bằng:
Định lý về giới hạn của hàm số phức
Đặt hàm có giới hạn và ánh xạ vùng lân cận bị thủng của một điểm lên vùng lân cận bị thủng của một điểm.
Hãy để hàm được xác định trên vùng lân cận này và có giới hạn cho nó.
.

Đây là những điểm cuối cùng hoặc xa vô tận: .

Các lân cận và giới hạn tương ứng của chúng có thể là hai phía hoặc một phía.
Khi đó có giới hạn của hàm phức và nó bằng: Điểm dừng Xác định điểm dừng
Hãy để hàm được xác định trên một số lân cận bị thủng của điểm.
Điểm đó được gọi là

điểm ngắt chức năng
, nếu một trong hai điều kiện được đáp ứng: 1) không được xác định trong ; 2) được xác định tại , nhưng không phải tại điểm này.
.

Xác định điểm gián đoạn loại 1
Điểm đó được gọi làđiểm gián đoạn loại một
.

, nếu là điểm dừng và có giới hạn một phía hữu hạn ở bên trái và bên phải:
, nếu một trong hai điều kiện được đáp ứng: Định nghĩa của bước nhảy hàm Chức năng nhảy Δ
,
tại một điểm là sự khác biệt giữa các giới hạn bên phải và bên trái

Xác định điểm dừng

điểm dừng có thể tháo rời
, nếu một trong hai điều kiện được đáp ứng: , nếu có giới hạn nhưng hàm số tại điểm không được xác định hoặc không bằng giá trị giới hạn: .

Như vậy, điểm gián đoạn bỏ được là điểm gián đoạn loại 1, tại đó bước nhảy của hàm số bằng 0.

Xác định điểm gián đoạn loại 2
điểm gián đoạn loại thứ hai

, nếu nó không phải là điểm gián đoạn loại 1.
Nếu hàm số liên tục trên một khoảng thì nó bị chặn trong khoảng này.

Xác định khả năng đạt được mức tối đa (tối thiểu)
Một hàm đạt giá trị cực đại (tối thiểu) trên tập hợp nếu có một đối số mà hàm đó
cho tất cả mọi người.

Xác định khả năng tiếp cận của mặt trên (dưới)
Một hàm đạt đến giới hạn trên (dưới) của nó trên tập hợp nếu có một đối số mà nó
.

Định lý thứ hai của Weierstrass về cực đại và cực tiểu của hàm liên tục
Một hàm liên tục trên một đoạn đạt đến giới hạn trên và dưới của nó trên đoạn đó hoặc tương tự, đạt cực đại và cực tiểu trên đoạn đó.

Định lý giá trị trung gian Bolzano-Cauchy
Cho hàm số liên tục trên đoạn.
.

Và cho C là một số tùy ý nằm giữa các giá trị của hàm ở hai đầu đoạn: và .
Thế thì có một điểm mà
.

Hệ quả 1
Cho hàm số liên tục trên đoạn.
Định lý về bảo toàn dấu của hàm số liên tục

Và cho các giá trị hàm ở cuối đoạn có dấu khác nhau: hoặc .

Khi đó có một điểm mà tại đó giá trị của hàm bằng 0:
Hệ quả 2
cho tất cả mọi người.
Cho hàm số liên tục trên đoạn. Và hãy để nó như vậy. Sau đó, hàm sẽ lấy khoảng tất cả các giá trị từ và chỉ các giá trị này:
.

Hàm nghịch đảo
;
Định nghĩa hàm nghịch đảo
cho tất cả mọi người.

Cho một hàm có miền xác định X và tập giá trị Y.
Và để nó có tài sản:

Sau đó, đối với bất kỳ phần tử nào từ tập hợp Y, người ta chỉ có thể liên kết một phần tử của tập hợp X mà .
Sự tương ứng này định nghĩa một hàm gọi là

hàm nghịch đảo
ĐẾN . Hàm nghịch đảo được ký hiệu như sau:

Từ định nghĩa suy ra rằng

cho mọi người;
Bổ đề về tính đơn điệu lẫn nhau của hàm trực tiếp và hàm nghịch đảo

Nếu một hàm tăng (giảm) nghiêm ngặt thì có một hàm nghịch đảo cũng tăng (giảm).
Tính chất đối xứng của đồ thị hàm số trực tiếp và hàm nghịch đảo

Theo cách tương tự, chúng ta có thể xây dựng định lý về sự tồn tại và liên tục của hàm nghịch đảo trên một nửa khoảng.

Tính chất và tính liên tục của các hàm cơ bản

Các hàm cơ bản và nghịch đảo của chúng là liên tục trong miền định nghĩa của chúng. Dưới đây chúng tôi trình bày các công thức của các định lý tương ứng và cung cấp các liên kết đến chứng minh của chúng.

hàm số mũ

hàm số mũ f (x) = rìu, với cơ sở a > 0 là giới hạn của dãy
,
đâu là một chuỗi tùy ý các số hữu tỷ có xu hướng x:
.

Định lý. Tính chất của hàm số mũ
Hàm số mũ có các tính chất sau:
(P.0)được xác định, cho , cho tất cả ;
(Tr.1) cho một ≠ 1 có nhiều ý nghĩa;
(Tr.2) tăng mạnh tại , giảm mạnh tại , không đổi tại ;
(Tr.3) ;
(P.3*) ;
(Tr.4) ;
(Tr.5) ;
(Tr.6) ;
(Tr.7) ;
(Tr.8) liên tục cho tất cả;
(Tr.9) Tại ;
Định lý về bảo toàn dấu của hàm số liên tục

logarit

Hàm logarit, hay logarit, y = ghi lại x, với cơ sở a là nghịch đảo của hàm số mũ cơ số a.

Định lý. Tính chất của logarit
Hàm logarit cơ số a, y = ghi lại x, có các tính chất sau:
(L.1)được xác định và liên tục, for và , cho các giá trị dương của đối số;
(L.2) có nhiều ý nghĩa;
(L.3) tăng dần theo , giảm dần theo ;
(L.4) Tại ;
Tại ;
(L.5) ;
(L.6) Tại ;
(L.7) Tại ;
(L.8) Tại ;
(L.9)Định lý về bảo toàn dấu của hàm số liên tục

Hàm mũ và logarit tự nhiên

Trong các định nghĩa của hàm số mũ và logarit, một hằng số xuất hiện, được gọi là cơ số lũy thừa hoặc cơ số logarit. Trong phân tích toán học, trong phần lớn các trường hợp, các phép tính đơn giản hơn sẽ đạt được nếu số e được sử dụng làm cơ sở:
.
Hàm mũ với cơ số e được gọi là số mũ: , và logarit với cơ số e được gọi là logarit tự nhiên: .

Các tính chất của số mũ và logarit tự nhiên được trình bày trên trang
"Số mũ, e lũy thừa của x",
"Logarit tự nhiên, hàm ln x"

Chức năng nguồn

Hàm lũy thừa với số mũ p là hàm f (x) = xp, giá trị của nó tại điểm x bằng giá trị của hàm số mũ cơ số x tại điểm p.
Ngoài ra, f (0) = 0 p = 0 cho p > 0 .

Ở đây chúng ta sẽ xem xét các thuộc tính của hàm lũy thừa y = x p đối với các giá trị không âm của đối số.
Đối với các số hữu tỷ, đối với m lẻ, hàm lũy thừa cũng được xác định cho x âm.

Trong trường hợp này, các thuộc tính của nó có thể thu được bằng cách sử dụng số chẵn hoặc số lẻ.
Hàm lũy thừa, y = x p, với số mũ p có các tính chất sau:
(C.1) xác định và liên tục trên tập hợp
Tại ,
Tại ".

Hàm lượng giác

Định lý về tính liên tục của hàm số lượng giác
Hàm lượng giác: sin ( tội lỗi x), cosin ( vì x), đường tiếp tuyến ( tg x) và cotang ( ctg x

Định lý về tính liên tục của hàm lượng giác nghịch đảo
Hàm lượng giác nghịch đảo: arcsine ( arcsin x), cung cosin ( arccos x), arctang ( arctan x) và cung tiếp tuyến ( arcctg x), liên tục trong miền định nghĩa của chúng.