TOÁN HỌC
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ HÌNH HỌC PHÂN TÍCH
(tính toán tiêu chuẩn)
Nhiệm vụ hướng dẫn và kiểm soát
Vì làm việc độc lập sinh viên
đặc sản miền núi toàn thời gianđào tạo
Biên soạn bởi M. K. Kurchin
Phê duyệt tại cuộc họp bộ phận
Ủy ban giáo dục và phương pháp
đặc sản 130403
Nghị định thư số 10 ngày 27/04/2009
Một bản sao điện tử được lưu trữ
trong thư viện tòa nhà chính
GU KuzGTU
| |
Công việc này phục vụ việc thực hiện các phép tính tiêu chuẩn có chất lượng cao của sinh viên năm thứ nhất trong năm đầu tiên học kỳ học theo chủ đề" đại số tuyến tính" Và " hình học giải tích" “Kurchin M.K. Đại số và Hình học dành cho Kỹ sư: Sách giáo khoa” được khuyến khích làm sách giáo khoa chính. phụ cấp / Đại học bang KuzGTU. – Kemerovo, 2004. – 158 tr. Cụ thể, theo cuốn sách giáo khoa này, các đoạn văn dành cho công việc độc lập được chỉ ra trong các giải pháp đưa ra cho các vấn đề. Hướng dẫn bao gồm một ví dụ về cách thực hiện phép tính điển hình (trong sáu nhiệm vụ) và kiểm soát các nhiệm vụ với số lượng 36 tùy chọn. Cuối cùng hướng dẫn phương pháp Câu trả lời cho tất cả các vấn đề được đưa ra.
Ví dụ về tính toán điển hình
Vấn đề 1. Giải quyết hệ thống
a) phương pháp loại bỏ tuần tự chưa biết;
b) phương pháp xác định; c) phương pháp ma trận.
Giải pháp. a) Chúng ta nên (§1) viết ra một ma trận từ các hệ số của hệ thống, gắn vào đó một cột các thuật ngữ tự do, được phân tách bằng thanh dọc để thuận tiện và thực hiện tất cả các phép biến đổi trên các hàng của ma trận mở rộng này.
Chúng ta hãy biến đổi ma trận mở rộng của hệ thống này: 
. Không cần chuyển đổi thêm ma trận mở rộng.
Do đó ta đi đến hệ phương trình
hoặc 
sở hữu giải pháp duy nhất X = –1, y = -2, z = 1.
Hệ thống ban đầu hóa ra là xác định.
b). Đối với hệ thống của chúng tôi (§5 và §6), chúng tôi tính toán tất cả các yếu tố quyết định cần thiết. Đây:
,
,
,
,
Bây giờ chúng tôi tìm thấy nó.
c) Ma trận các hệ số của ẩn số sẽ là:
. Định thức của nó D = | MỘT| = 2, vậy ma trận nghịch đảo MỘT- 1 tồn tại (§44 và §45), và
Ma trận cột của các số hạng tự do của hệ phương trình sẽ là: . Nghiệm của hệ sẽ là ma trận:
, tức là
|
Vấn đề 2. Các đỉnh của tam giác đều tại các điểm MỘT(–5; 1; 3), B(–5; 4; 7) và C(5; –4; –7). Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác, độ lớn của góc MỘT và cosin chỉ phương của phân giác của góc này.
Giải pháp. Để tìm tọa độ của một điểm F là trọng tâm của tam giác, lưu ý rằng nó chia đường trung tuyến BD theo tỉ lệ 2:1 tính từ trên xuống B, và chỉ D chia đôi bên QUẢNG CÁO một nửa (§§7-15). Tìm tọa độ của điểm D, mà chúng tôi sử dụng các công thức để chia một đoạn:
Vì thế, 
và thời kỳ F chia một đoạn BD về
.
Tìm tọa độ của điểm F:
Và trọng tâm của tam giác nằm ở điểm 
Để tìm được góc MỘT, chúng tôi chỉ ra các vectơ (Hình 1)
Và 
(trừ tọa độ đầu khỏi tọa độ cuối) và tìm độ dài của chúng:
Sau đó 
,
và chính góc đó MỘT sẽ bằng "37,17 độ.
cosin chỉ phương của các đường phân giác của góc MỘT có thể được tìm thấy theo hai cách. Hãy nhìn vào chúng.
1 chiều. Phân giác góc trong tam giác chia phía đối diện thành các phần tỉ lệ với các cạnh liền kề. Dựa trên điều này, chúng tôi kết luận rằng điểm K chia một đoạn ĐB về 
Tìm tọa độ của điểm K:
|
như vậy, và vectơ phân giác
chiều dài của nó 
Phương pháp 2. Theo hướng của vectơ chúng ta sẽ xem xét vectơ đơn vị
Và 
.
Nếu chúng ta cộng các vectơ này thì hình bình hành AMLN sẽ đồng thời là một hình thoi và đường chéo của nó AL sẽ là phân giác của góc MỘT. Kể từ đây, 
Hãy tìm độ dài của vectơ này: 
Vấn đề 3. Tính khoảng cách từ điểm K(2; –1; –2) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 1(3; –3; –5) và đường thẳng 
R từ điểm K.
Giải pháp. Đường thẳng đã cho đi qua điểm M 0 (6; 1; 2) song song với vectơ = (6; 8; –5) (§27, bài toán 4). Hãy tìm vectơ =(–3; –4; –7). Vectơ mặt phẳng chuẩn R vuông góc với các vectơ và , vì vậy chúng ta có thể coi là một vectơ pháp tuyến sản phẩm vector vectơ và .
|
.
Sẽ thuận tiện hơn cho chúng ta khi lấy làm vectơ, vectơ ngắn hơn –19 lần, tức là = (4; –3; 0). Bây giờ hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 1 vuông góc với vectơ:
4(x – 3) – 3(y + 3) = 0, P: 4x – 3y – 21 = 0.
Vẫn còn phải tính khoảng cách của điểm K từ máy bay R:
.
Và viết phương trình đường vuông góc hạ từ điểm K lên máy bay R:
.
Vấn đề 4. phương trình đã cho X – 2Tại – 1 = 0, X + 3Tại– 6 = 0 và 3 X – Tại+ 2 = 0 của hai cạnh của tam giác và đường trung tuyến. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác và độ cao của nó giảm xuống cạnh này.
Giải pháp. Hãy lập phương trình các cạnh
AB: X – 2Tại– 1 = 0 và BC: X + 3Tại – 6 = 0.
Tìm (§28) tọa độ của đỉnh B: 
B(3; 1).
Tọa độ đỉnh B phương trình trung vị không thỏa mãn: 3 3 – 1 – 6 ¹ 0. Vẽ đường trung tuyến từ đỉnh MỘT sang một bên BC. Tìm tọa độ của đỉnh
|
MỘT: 
MỘT(–1; –1).
Bây giờ chúng ta hãy tìm tọa độ của điểm K nút giao giữa A.K. với bên BC:
K: 
K(0; 2).
chấm C chia một đoạn B.K. bên ngoài liên quan đến 
.
Kể từ đây, C(–3; 3).
Vectơ 
, và phương trình của cạnh A.C. khi đi qua một điểm MỘT, song song với vectơ, sẽ được viết:
hoặc 2 x + y + 3 = 0.
Chiều cao B.H. vượt lên trên B và như một vectơ pháp tuyến, bạn có thể lấy vectơ . Khi đó phương trình của nó sẽ được viết:
–2(x – 3) + 4(y– 1) = 0 hoặc x – 2y – 1 = 0.
Vấn đề 5. Thông qua điểm TRONG(8; -3) vẽ một đường thẳng sao cho diện tích của tam giác tạo bởi nó và các trục tọa độ bằng một đơn vị vuông.
Giải pháp. Ta xét phương trình đường thẳng dưới dạng phương trình đường thẳng trong các đoạn thẳng, trong đó MỘT Và b– giá trị của các đoạn bị cắt bởi một đường thẳng tại trục tọa độ(§28).
|
Vấn đề có 2 giải pháp. Một thẳng L 1 cắt góc tọa độ đầu tiên mà Một > 0, b> 0 và bụng> 0. Một đường thẳng khác L 2 cắt góc tọa độ thứ ba, trong đó Một < 0, b < 0 и bụng > 0.
Diện tích của tam giác và vì chúng ta có trong mọi trường hợp
Ngoài ra, đường thẳng mong muốn đi qua điểm TRONG và tọa độ của chúng thỏa mãn phương trình đường thẳng.
Như vậy, theo điều kiện của bài toán ta có hệ
Hãy giải hệ này:
Hoặc 
Giải pháp cho hệ thống này sẽ là hai cặp giá trị:
Và
Do đó, các đường thẳng cần tìm có phương trình sau:
|
hoặc x + 2y – 2 = 0;
hoặc 9 x + 32y – 24 = 0.
Trả lời: X + 2Tại -2 = 0; 9X +32Tại –24 = 0.
Vấn đề 6. Từ điểm B(4; 0) chùm tia hướng một góc cung với đường thẳng x – 2y
Giải pháp. 1). Cho tia tới truyền theo đường thẳng B.A., vậy góc BAC x – 2y B.A., thu được bằng cách quay vectơ ngược chiều kim đồng hồ một góc φ. Hãy sử dụng các công thức tính tọa độ của vectơ thu được khi quay ngược chiều kim đồng hồ vectơ đã choở một góc độ nào đó (§20):
(1)
Là một vectơ, bạn có thể lấy một vectơ kéo dài, tức là Khi đó công thức (1) sẽ có dạng:
hoặc với dữ liệu nhiệm vụ 
.
Hãy tìm phương trình của đường thẳng AB, đi qua điểm B và có một vectơ pháp tuyến (§28):
4(x – 4) –3(y–0) = 0 hoặc 4 x – 3y = 16.
Tìm tọa độ của điểm MỘT: 
Đối với tia phản xạ, có thể thu được vectơ pháp tuyến bằng cách quay vectơ pháp tuyến một góc φ như nhau, nhưng bây giờ theo chiều kim đồng hồ. Thay góc φ bằng góc –φ trong các công thức tính tọa độ của vectơ biến đổi, ta thu được hệ:
hoặc với dữ liệu nhiệm vụ 
Để chỉ định tọa độ vectơ là số nguyên, hãy lấy vectơ 
. Khi đó phương trình tia phản xạ sẽ được viết:
0(x – 10) – 5(y– 8) = 0 hoặc y = 8.
2). Bây giờ cho tia tới truyền theo đường thẳng BC, vậy góc B.C.A. bằng φ = arctan. Vectơ pháp tuyến của một đường thẳng cho trước x – 2y+ 6 = 0 cũng sẽ có một vectơ, vectơ pháp tuyến của tia tới là thẳng BC, thu được bằng cách quay vectơ ngược chiều kim đồng hồ một góc π – φ, tương đương – theo sự lựa chọn hướng – để quay vectơ theo chiều kim đồng hồ một góc φ. Nhưng đây sẽ chỉ là một vector . Phương trình tia tới BC sẽ đăng ký: 0( x – 4) – 5(y– 0) = 0 hoặc y= 0. Khi đó VỚI(–6; 0) và đối với tia phản xạ, vectơ pháp tuyến sẽ là . Cuối cùng, phương trình tia phản xạ sẽ được viết: 4( x + 6) – 3(y– 0) = 0 hoặc 4 x – 3y + 24 = 0.
Trả lời: 1) y = 8; 2) 4x – 3y + 24 = 0.
1. Đại số tuyến tính.
Giải quyết hệ thống phương trình tuyến tính a) bằng phương pháp loại trừ tuần tự các ẩn số; b) phương pháp xác định; c) phương pháp ma trận.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 23. 24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
32. 
33. 
34. 
35. 
36. 
2. Đại số vectơ.
Các đỉnh của tam giác đều tại các điểm MỘT, TRONG Và VỚI. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác, cosin chỉ phương của phân giác của góc MỘT và độ lớn của góc này.
| lựa chọn | ||||||
| MỘT | –4;–2;–4 | –4; 2; –2 | –1; 2; –8 | –6; 3; –2 | –8; 2; –4 | –3; –2; –2 |
| B | –3; 2; 4 | 4; –6; 2 | –3; –6; 8 | –6; 6; 2 | –7; 6; 4 | 4; 2; 2 |
| C | 4; 2; 4 | –2; 6; 2 | 3; 6; –1 | 6; –6; –2 | 8; –6; –2 | –1; 2; 2 |
| lựa chọn | ||||||
| MỘT | 2; –1; –1 | –5; 3; –2 | 7; 2; 0 | –1; 3; –5 | –8; 2; –3 | 5; –6; –4 |
| B | 1; –3; –3 | 6; –7; –4 | –7; –6; –8 | 1; 7; –1 | –4; 6; 4 | –5; 5; –6 |
| C | –2; 3; –3 | –2; 9; 4 | 8; 6; 8 | 1; –7; 6 | 8; –6; –5 | 5; 0; 4 |
| lựa chọn | ||||||
| MỘT | 4; –1; 4 | –6; –4; 2 | –2; 1; –1 | 6; –3; –4 | 4; 5; 0 | 3; –2; –1 |
| B | –4;–3;–12 | –8; 0; 6 | 2; –3; 1 | –10;–5; 4 | 5; 9; 8 | 5; 2; 3 |
| C | 5; 3; 12 | 8; 4; –6 | –1; 3; 1 | 10; 5; 4 | –4;–9;–8 | –5; 2; –2 |
| lựa chọn | ||||||
| MỘT | 5; 2; 1 | –6;–6;–3 | 1; –8; –4 | –6; 1; –2 | –1;–4;–8 | –7;–4;–3 |
| B | –9;–6;–7 | –3; 0; 3 | –1; 8; 4 | –4; 5; 2 | 1; 4; 8 | –3; 4; 5 |
| C | 9; 6; 8 | 6; 6; 3 | 2; –4; 4 | 6; –5; 2 | 0;–2;–6 | 7; 4; 5 |
| lựa chọn | ||||||
| MỘT | 4; 2; –7 | –1;–4;–8 | 0;–3;–4 | 5; –1; 4 | –1; –8; 1 | 3; –3; 1 |
| B | 5; 6; 1 | 1; 4; 8 | 3; –3; 0 | 6; 1; 6 | –3; 8; –7 | 7; 5; 9 |
| C | –4; –6; 7 | 1; 0; –4 | 0; 3; 4 | –6; 1; –6 | 3; –4; 8 | –7;–5;–10 |
| lựa chọn | ||||||
| MỘT | –5;–6;–4 | –1; 4; 3 | 4; –8; –4 | 3; 1; –2 | –2; 2; –6 | –8;–1;–4 |
| B | 4; 6; –4 | 1; –7; –7 | 5; –4; 4 | –4; –3; 2 | 2; 6; 1 | –7; 3; 4 |
| C | –4; –2; 4 | –1; 7; 7 | –4; 8; –2 | 4; 3; 0 | –2; –7; 6 | 8; –3; 4 |
3. Mặt phẳng và đường thẳng trong không gian.
1. Tính khoảng cách từ điểm K(–5; 3; –2) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (3; 2; 4) song song với vectơ 
và vuông góc với mặt phẳng 4 x + y – 3z – 7 = 0, R từ điểm K.
2. Tính khoảng cách từ điểm K(1; –1; 4) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (–2; –5; 3) vuông góc với đường thẳng 
và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
3. Tính khoảng cách từ điểm K(–3; 0; 1) lên mặt phẳng R, đi qua đường thẳng 
song song với vectơ 
, và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
4. Tính khoảng cách từ điểm K(1; 1; 5) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (2;–1;–3) vuông góc với hai mặt phẳng 5 x – 2y + 12z+ 4 = 0 và 10 x + 7y + 24z R từ điểm K.
5. Tính khoảng cách từ điểm K(2; 5; 3) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (–4; 3; –1) song song với hai đường thẳng 
Và 
, và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
6. Tính khoảng cách từ điểm K(4; –1; –2) lên mặt phẳng R, đi qua đường thẳng 
vuông góc với mặt phẳng -4 x + 7z+ 3 = 0 và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
7. Tính khoảng cách từ điểm K(4; 1; 3) lên mặt phẳng Rđi qua hai điểm M 1 (5; 3; –4) và M 2 (–8; 4; 8) R từ điểm K.
8. Tính khoảng cách từ điểm K(4; –5; –2) lên mặt phẳng R 
Và 
, và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
9. Tính khoảng cách từ điểm K(1; –2; 3) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (4; –3; 1) song song với hai vectơ 
R từ điểm K.
10. Tính khoảng cách từ điểm K(1; –1; 0) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (5; 2; –2) và đường thẳng rồi viết phương trình đường vuông góc rơi trên mặt phẳng R từ điểm K.
11. Tính khoảng cách từ điểm K(2; –1; –2) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (2; –4; 0) song song với vectơ 
và vuông góc với mặt phẳng y + 3z R từ điểm K.
12. Tính khoảng cách từ điểm K(3; 1; 2) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (–4; –5; 1) vuông góc với đường thẳng 
và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
13. Tính khoảng cách từ điểm K(2; –3; 4) lên mặt phẳng R, đi qua đường thẳng 
song song với vectơ 
, và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
14. Tính khoảng cách từ điểm K(–3; 4; –8) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (–1; 3; –5) vuông góc với hai mặt phẳng 4 x – 2y + 3z– 1 = 0 và 5 x + z+ 9 = 0 và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
15. Tính khoảng cách từ điểm K(7; 2; 5) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (3; –2; 11) song song với hai đường thẳng 
Và 
, và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
16. Tính khoảng cách từ điểm K(3; 1; 6) lên mặt phẳng R, đi qua đường thẳng 
vuông góc với mặt phẳng -8 x + 3y + 5z– 1 = 0 và viết phương trình đường vuông góc rơi trên mặt phẳng R từ điểm K.
17. Tính khoảng cách từ điểm K(3; 6; –6) lên mặt phẳng Rđi qua hai điểm M 1 (2; 4; –5) và M 2 (2; 5; –6) song song với vectơ 
, và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
18. Tính khoảng cách từ một điểm K(–2; –1; 7) lên mặt phẳng Rđi qua hai đường thẳng song song 
Và 
, và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
19. Tính khoảng cách từ điểm K(2; 1; 6) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (–1; –4; 8) song song với hai vectơ 
Và 
, và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
20. Tính khoảng cách từ một điểm K(1; 3; 1) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (5;2;–2) và đường thẳng 
, và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
21. Tính khoảng cách từ một điểm K(6; 3; 3) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (4; –3; 5) song song với vectơ 
và vuông góc với mặt phẳng 7 x + 4y + 3z– 2 = 0 và viết phương trình đường vuông góc rơi trên mặt phẳng R từ điểm K.
22. Tính khoảng cách từ một điểm K(–3; 5; 3) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (–3; 1; 2) vuông góc với đường thẳng 
và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
23. Tính khoảng cách từ một điểm K(1; –2; 4) lên mặt phẳng R, đi qua đường thẳng 
song song với vectơ và viết phương trình đường vuông góc rơi trên mặt phẳng R từ điểm K.
24. Tính khoảng cách từ một điểm K(7; 2; 5) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M x + 3y – 4z+ 8 = 0 và y + z R từ điểm K.
25. Tính khoảng cách từ một điểm K(–1; 4; –3) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0(4; –5; –2) song song với hai đường thẳng 
Và 
, và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
26. Tính khoảng cách từ một điểm K(–1; –1; –9) lên mặt phẳng R, đi qua đường thẳng 
vuông góc với mặt phẳng 3 x + z+ 4 = 0 và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
27. Tính khoảng cách từ một điểm K(–6; –1; –4) lên mặt phẳng Rđi qua hai điểm M 1 (–1; 2; –6) và M 2 (4; –1; 2) song song với vectơ 
, và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
28. Tính khoảng cách từ một điểm K(2; 3; –3) lên mặt phẳng Rđi qua hai đường thẳng song song 
Và 
, và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
29. Tính khoảng cách từ một điểm K(–2; 3; –1) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (1; –2; 3) song song với hai vectơ 
và , và viết phương trình đường vuông góc hạ xuống mặt phẳng R từ điểm K.
30. Tính khoảng cách từ một điểm K(0; –1; –2) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (3; –3; –5) và trực tiếp 
, và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
31. Tính khoảng cách từ một điểm K(0; 2; –1) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (–1; 1; –2) song song với vectơ 
và vuông góc với mặt phẳng 2 x + 5y+ 6 = 0 và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
32. Tính khoảng cách từ một điểm K(2; 4; 1) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (5; 2; –4) vuông góc với đường thẳng 
và viết phương trình đường vuông góc hạ trên mặt phẳng R từ điểm K.
33. Tính khoảng cách từ một điểm K(4; –2; 3) lên mặt phẳng R, đi qua đường thẳng 
song song với vectơ và viết phương trình đường vuông góc rơi trên mặt phẳng R từ điểm K.
34. Tính khoảng cách từ một điểm K(7; 2; –4) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (2; –4; 1) vuông góc với hai mặt phẳng 4 x + 3y – 4z+ 8 = 0 và y + z– 3 = 0 và viết phương trình đường vuông góc rơi trên mặt phẳng R từ điểm K.
35. Tính khoảng cách từ một điểm K(–3; –2; –5) lên mặt phẳng R, đi qua điểm M 0 (1; 4; –3) song song với hai đường thẳng 
và , và viết phương trình đường vuông góc hạ xuống mặt phẳng R từ điểm K.
36. Tính khoảng cách từ một điểm K(2; –4; 1) lên mặt phẳng R, đi qua đường thẳng 
vuông góc với mặt phẳng 7 x – 4y– 3 = 0 và viết phương trình đường vuông góc rơi trên mặt phẳng R từ điểm K.
4. Thẳng trên máy bay.
1. Cho phương trình 2 X + 7Tại– 4 = 0 và 4 X – 5Tại+ 30 = 0 của hai cạnh kề nhau của hình bình hành và một điểm M(–6; 5) giao điểm của các đường chéo của nó. Viết phương trình hai cạnh và đường chéo còn lại của hình bình hành.
2. Lập phương trình các cạnh và tính tọa độ các đỉnh của hình thoi khi biết một trong các đỉnh của nó MỘT(6; –1), điểm ồ(0; 1) giao điểm của đường chéo và điểm F(2; 3) ở một trong các bên.
3. Trong hình chữ nhật ABCD phương trình được cho X + 3Tại– 17 = 0 và X + 3Tại+ 3 = 0 hai cạnh của nó và phương trình X + 7Tại– 37 = 0 đường chéo. Tìm phương trình hai cạnh còn lại và đường chéo thứ hai của hình chữ nhật.
4. Cho hai VỚI(–3; 2) và D(1; 4) các đỉnh liền kề của hình bình hành ABCD và thời kỳ Q(0; –1) giao điểm của các đường chéo của nó. Viết phương trình các cạnh và đường cao tính từ đỉnh MỘT sang một bên Mặt trời hình bình hành.
5. Tính tọa độ các đỉnh và viết phương trình các cạnh của hình thoi nếu biết các phương trình X – 7Tại+ 38 = 0 và X – 7Tại+ 8 = 0 hai cạnh của nó và phương trình X – 2Tại+ 8 = 0 của một trong các đường chéo của nó.
6. Cho hai đỉnh TRONG(3; 7) và VỚI(–11; –7) tam giác và điểm R(4; 3) giao điểm của độ cao của nó. Viết phương trình các cạnh và đường trung tuyến tại đỉnh thứ ba của tam giác.
7. Trong một hình tam giác ABCđã cho: phương trình phụ AB: X + Tại+ 1 = 0 và phương trình hai độ cao: MỘT: 3X – 8Tại+ 3 = 0 và VK: 3X + 2Tại+ 9 = 0. Viết phương trình đường trung tuyến vẽ từ đỉnh đối diện với cạnh đã cho.
8. Tìm tọa độ các đỉnh và lập phương trình các cạnh của tam giác khi biết một trong các đỉnh của nó MỘT(1; 3) và phương trình 4 X + 7Tại– 1 = 0 và X – 4Tại– 13 = 0 hai chiều cao. Viết phương trình chiều cao thứ ba của nó.
9. Cho phương trình X – 2Tại – 4 = 0, 5X – Tại+ 7 = 0 và X + Tại– 1 = 0 của hai cạnh của tam giác và đường trung tuyến. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác và độ cao của nó giảm xuống cạnh này.
10. Viết phương trình các cạnh của một tam giác khi biết một đỉnh của nó TRONG(–1; 5), cũng như phương trình chiều cao 3 X + Tại+ 5 = 0 và trung vị 3 X + 2Tại+ 4 = 0 rút ra từ một đỉnh.
11. Lập phương trình các cạnh và tính tọa độ các đỉnh của hình thoi khi biết một trong các đỉnh của nó TRONG(2; 1), điểm S(3; 3) giao điểm của đường chéo và điểm R(1; 2) ở một trong các cạnh (đi qua đỉnh TRONG).
12. Cho phương trình X + 3Tại + 7 = 0, 3X – 8Tại+ 4 = 0 và 4 X – 5Tại– 6 = 0 của hai cạnh của tam giác và đường trung tuyến. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác và độ cao của nó giảm xuống cạnh này.
13. Trong hình chữ nhật ABCDđã cho phương trình 4 X – Tại+ 34 = 0 và 4 X – Tại– 17 = 0 hai cạnh của nó và phương trình 7 X + 11Tại– 17 = 0 đường chéo. Tìm phương trình hai cạnh còn lại và đường chéo thứ hai của hình chữ nhật.
14. Cho hai đỉnh VỚI(–4; –4) và MỘT(3; –3) tam giác và điểm Q(–1; 5) giao điểm của độ cao của nó. Viết phương trình các cạnh và đường trung tuyến tại đỉnh thứ ba của tam giác.
15. Cho hai D(4; 1) và MỘT(–2; 3) các đỉnh liền kề của hình bình hành ABCD và thời kỳ R(1; 0) giao điểm của các đường chéo của nó. Viết phương trình các cạnh và đường cao tính từ đỉnh TRONG sang một bên đĩa CD hình bình hành.
16. Tìm tọa độ các đỉnh và lập phương trình các cạnh của một tam giác khi biết một trong các đỉnh của nó TRONG(–3; 4) và các phương trình X – 5Tại+ 4 = 0 và 4 X – 3Tại+ 5 = 0 hai chiều cao. Viết phương trình chiều cao thứ ba của nó.
17. Tính tọa độ các đỉnh và viết phương trình các cạnh của hình thoi nếu biết phương trình 13 X – Tại+ 28 = 0 và 13 X – Tại– 108 = 0 hai cạnh của nó và phương trình 3 X + 5Tại– 4 = 0 của một trong các đường chéo của nó.
18. Lập phương trình các cạnh của một tam giác khi biết một trong các đỉnh của nó VỚI(5; 2), cũng như phương trình chiều cao 2 X – Tại– 2 = 0 và số trung vị X – Tại= 0, được vẽ từ một đỉnh.
19. Cho phương trình 2 X + Tại+ 5 = 0 và 4 X + 7Tại= 0 của hai cạnh kề nhau của hình bình hành và một điểm M(1; –2) giao điểm của các đường chéo của nó. Viết phương trình hai cạnh và đường chéo còn lại của hình bình hành.
20. Trong một hình tam giác ABCđã cho: phương trình phụ Mặt trời: 7X – 2Tại+ 13 = 0 và phương trình hai độ cao: SR: 5X + 2Tại– 1 = 0 và BR: 3X – 5Tại– 11 = 0. Viết phương trình đường trung tuyến vẽ từ đỉnh đối diện với cạnh đã cho.
21. Trong hình chữ nhật ABCD phương trình được cho X – Tại+ 2 = 0 và X – Tại+ 6 = 0 hai cạnh của nó và phương trình 3 X – 7Tại+ 26 = 0 đường chéo. Tìm phương trình hai cạnh còn lại và đường chéo thứ hai của hình chữ nhật.
22. Cho hai đỉnh MỘT(–10; 8) và TRONG(11; 1) tam giác và điểm N(5; –7) giao điểm của độ cao của nó. Viết phương trình các cạnh và đường trung tuyến tại đỉnh thứ ba của tam giác.
23. Cho hai MỘT(2; –4) và TRONG(4; 2) các đỉnh kề nhau của hình bình hành ABCD và thời kỳ ồ(1; –1) giao điểm của các đường chéo của nó. Viết phương trình các cạnh và đường cao tính từ đỉnh VỚI sang một bên QUẢNG CÁO hình bình hành.
24. Tìm tọa độ các đỉnh và lập phương trình các cạnh của một tam giác khi biết một và các đỉnh của nó VỚI(–2; –4) và phương trình 6 X + 5Tại– 16 = 0 và X + 2Tại– 6 = 0 hai chiều cao. Viết phương trình chiều cao thứ ba của nó.
25. Tính tọa độ các đỉnh và viết phương trình các cạnh của hình thoi nếu biết các phương trình X + 4Tại+ 9 = 0 và X + 4Tại– 21 = 0 hai cạnh của nó và phương trình X – Tại– 1 = 0 của một trong các đường chéo của nó.
26. Lập phương trình các cạnh của một tam giác khi biết một trong các đỉnh của nó MỘT(3; –7), cũng như phương trình chiều cao 2 X + 3Tại+ 5 = 0 và trung vị X + 3Tại+ 7 = 0 rút ra từ một đỉnh.
27. Cho phương trình 3 X – 5Tại+ 7 = 0 và X + 5Tại+ 9 = 0 của hai cạnh kề của hình bình hành và một điểm R(1; 0) giao điểm của các đường chéo của nó. Viết phương trình hai cạnh và đường chéo còn lại của hình bình hành.
28. Trong một hình tam giác ABCđã cho: phương trình phụ AC: X – 3Tại– 10 = 0 và phương trình hai độ cao: AQ: 3 X + Tại= 0 và CM: X – 5Tại– 4 = 0. Viết phương trình đường trung tuyến vẽ từ đỉnh đối diện với cạnh đã cho.
29. Lập phương trình các cạnh và tính tọa độ các đỉnh của hình thoi khi biết một trong các đỉnh của nó D(–4; 1), điểm N( 2; – 1) giao điểm của đường chéo và điểm T(–5; –1) ở một trong các bên.
30. Cho phương trình X – Tại + 4 = 0, 2X + 3Tại– 17 = 0 và Tại– 3 = 0 của hai cạnh của tam giác và đường trung tuyến. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác và độ cao của nó giảm xuống cạnh đó.
31. Cho hai TRONG(–3; 1) và VỚI(1; –4) các đỉnh liền kề của hình bình hành ABCD và thời kỳ N(2; 2) giao điểm của các đường chéo của nó. Viết phương trình các cạnh và đường cao tính từ đỉnh D sang một bên AB hình bình hành.
32. Tìm tọa độ các đỉnh và lập phương trình các cạnh của một tam giác khi biết một trong các đỉnh của nó MỘT(3; –3) và phương trình 7 X – 4Tại+ 2 = 0 và X – 7Tại+ 11 = 0 hai chiều cao. Viết phương trình chiều cao thứ ba của nó.
33. Tính tọa độ các đỉnh và viết phương trình các cạnh của hình thoi nếu biết các phương trình X – 8Tại+ 11 = 0 và X – 8Tại– 49 = 0 hai cạnh của nó và phương trình 2 X – Tại– 8 = 0 của một trong các đường chéo của nó.
34. Viết phương trình các cạnh của một tam giác khi biết một đỉnh của nó TRONG(–9; –6), cũng như phương trình chiều cao 4 X + Tại+ 13 = 0 và trung vị 2 X – Tại+ 5 = 0 rút ra từ một đỉnh.
35. Cho phương trình 7 X + 4Tại+ 63 = 0 và 3 X + 10Tại+ 27 = 0 của hai cạnh kề nhau của hình bình hành và một điểm K(–2; –5) giao điểm của các đường chéo của nó. Viết phương trình hai cạnh và đường chéo còn lại của hình bình hành.
36. Trong một hình tam giác ABCđã cho: phương trình phụ AB: X + Tại+ 2 = 0 và phương trình hai độ cao: MỘT: 4X + Tại+ 11 = 0 và ВD: 6X – Tại+ 5 = 0. Viết phương trình đường trung tuyến vẽ từ đỉnh đối diện với cạnh đã cho.
5. Phương trình đường thẳng trong các đoạn thẳng.
Thông qua điểm VỚI vẽ một đường thẳng sao cho diện tích tam giác tạo bởi nó và các trục tọa độ bằng Sđơn vị vuông.
| lựa chọn | |||||||||
| VỚI | –8; –9 | 2; –2 | 8; 3 | –4; 2 | 1; 2 | 6; 1 | –4; –5 | 9; –4 | –8; 6 |
| S, vuông. đơn vị | 1,5 | ||||||||
| lựa chọn | |||||||||
| VỚI | 4; 3 | 2; –3 | 2; –9 | –3; 8 | 6; 6 | 5; –6 | –2; 2 | 4; 4 | –3; 2 |
| S, vuông. đơn vị | 1,5 | 7,5 | 1,5 | ||||||
| lựa chọn | |||||||||
| VỚI | 2; 4 | –8; 1 | –6; –2 | 8; –5 | 1; –4 | 4; 6 | 4; –1 | 6; 8 | –2; –6 |
| S, vuông. đơn vị | |||||||||
| lựa chọn | |||||||||
| VỚI | 8; –1 | –4; 3 | –8; –2 | 5; –4 | 6; 5 | –5; –8 | 3; 2 | 8; 3 | 4; –2 |
| S, vuông. đơn vị | 7,5 |
6. Xoay vectơ một góc.
1. Cho phương trình hai cạnh của hình vuông: x – 3y+ 8 = 0 và x – 3y– 2 = 0. Viết phương trình hai cạnh còn lại của nó với điều kiện là điểm MỘT(–6, –6) nằm trên cạnh của hình vuông này.
2. Điểm B(1; 4) là đỉnh của hình vuông có đường chéo nằm trên đường thẳng thứ 3 x – 4y– 12 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.
3. B tam giác vuôngở trên cùng VỚI(4; –1) góc nhọn bằng arctan 3 và phương trình. chân đối diện 2x + y– 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật.
4. Cho hai đỉnh đối diện quảng trường MỘT(5; 1) và VỚI(–4; 2). Tìm tọa độ hai đỉnh còn lại và viết phương trình đường chéo của hình vuông.
5. Từ một điểm F(0; –4) chùm tia hướng một góc arctan2 tới đường thẳng 2 x – y+ 6 = 0. Tìm phương trình tia phản xạ qua đường thẳng đó.
6. Điểm VỚI(–4, –5) là đỉnh của hình vuông có một cạnh nằm trên một đường thẳng x – 2y+ 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.
7. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật tam giác cân, biết phương trình cạnh huyền 2 x – 3y– 5 = 0 và trên cùng góc vuông MỘT(–1; 2).
8. Cho phương trình hai cạnh của hình vuông x + 2y– 9 = 0 và x + 2y+ 6 = 0. Viết phương trình hai cạnh còn lại của nó với điều kiện là điểm F(–4; 4) nằm trên cạnh của hình vuông này.
9. Điểm VỚI(2; 5) là đỉnh của hình vuông có đường chéo nằm trên đường thẳng thứ 2 x + 3y– 6 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.
10. Trong tam giác vuông ở đỉnh MỘT(–9; 5) góc nhọn bằng arctan5 và phương trình của cạnh đối diện x + 2y+ 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật.
11. Cho hai đỉnh đối diện của hình vuông TRONG(–3; 1) và D(3; 3). Tìm tọa độ hai đỉnh còn lại và viết phương trình đường chéo của hình vuông.
12. Từ một điểm N(–8; 8) tạo một góc arctan4 với đường thẳng 3 x – 2y– 12 = 0 chùm tia có hướng. Tìm phương trình của tia phản xạ từ đường này.
13. Điểm D(–5; 1) là đỉnh của hình vuông có một cạnh nằm trên đường thẳng x + 2y– 7 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.
14. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác vuông cân khi biết phương trình cạnh huyền 2 x + 3y= 0 và đỉnh của góc vuông TRONG(3; 5).
15. Cho phương trình hai cạnh của hình vuông 4 x + y+ 33 = 0 và 4 x + y– 18 = 0. Viết phương trình hai cạnh còn lại của nó với điều kiện là điểm N(–1; 5) nằm trên cạnh của hình vuông này.
16. Điểm D(–8, –5) là đỉnh của hình vuông có đường chéo nằm trên đường thẳng thứ 3 x + 5y+ 15 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.
17. Trong tam giác vuông ở đỉnh TRONG(5; 1) góc nhọn bằng arctan2 và phương trình của cạnh đối diện là 2 x – y+ 6 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác.
18. Cho hai đỉnh đối diện của hình vuông VỚI(6; 2) và MỘT(–5; 3). Tìm tọa độ hai đỉnh còn lại và viết phương trình đường chéo của hình vuông.
19. Từ một điểm R(1; 4) chùm tia hướng một góc với đường thẳng x + 3y– 3 = 0. Tìm phương trình tia phản xạ qua đường thẳng này.
20. Điểm MỘT(2; 4) là đỉnh của hình vuông có một cạnh nằm trên đường thẳng thứ 7 x + 5y+ 40 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.
21. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác vuông cân khi biết phương trình cạnh huyền 11 x – 5y– 13 = 0 và đỉnh của góc vuông VỚI(6; –4).
22. Cho phương trình hai cạnh của hình vuông 2 x – 5y– 45 = 0 và 2 x – 5y+ 13 = 0. Viết phương trình hai cạnh còn lại của nó với điều kiện là điểm R(3; –2) nằm trên cạnh của hình vuông này.
23. Điểm MỘT(–1, –4) là đỉnh của hình vuông có đường chéo nằm
1. 137 mét vuông đơn vị 2,10; 20. 3. 4. 
,
,
.
5. 
Và 
6. 
,
,
.
7. 
,
,
,
.
8. 
,
,
. 9.1) một đường tròn có tâm ở cực và bán kính 6. 2) một tia ló ra từ cực, nghiêng với trục cực một góc . 3) một đường thẳng vuông góc với trục cực, cắt một đoạn trên đó, tính từ cực 
. 4) một đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng trên, song song với trục cực, cách nó một khoảng bằng 6. 5) một đường tròn có tâm 
và bán kính 3. 6) đường tròn có tâm 
và bán kính 1. 10. hình elip 
,
,
,
,
. 11. cường điệu 
.
,
,
. 12. cường điệu 
. 
13. parabol: b) c) 
.
16. 
.
17. 
,
,
,
.
18. -2. 19. -2. 20. 
.
21. 
.
22. 
,
.
23. 
,
.
24. 
,
.
25.
.
26. 
.
27. -29. 28. 
14. a) -7, b) -21, c) -139, d) –2. 15. 
- đúng ba. 29.
31. .
32. .
33. .
34. 
.
35. 
.
36. 
.
37. 
Và 
..
38. 
.
39. 
.
40. 
.
41. 
.
42. 
.
43. 
.
44. 
.
45. 1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) ,
5) 
.
47. 
,
.
48. 
khối lập phương đơn vị 30. - 6. 
.
49. 
,
,
,
, Ở đâu 
. 50. a) 
.
51. 
,
,
.
, b) 
- bất kỳ số nào. 54. vâng. 55. a) hình chiếu lên mặt phẳng bạn
, b) phản xạ so với trục 
. 56. Người điều hành 
tuyến tính;
–ma trận của nó trong cơ sở 
.
57. 
,
,
.
58. Giá trị riêng: 
,
,
, vectơ riêng: cho 
,
khối lập phương đơn vị 30. - 6. 
; Vì 
,
khối lập phương đơn vị 30. - 6. 
; 
,
Vì 
.
Ở đâu
PHƯƠNG ÁN SỐ 23
HÌNH HỌC PHÂN TÍCH TRÊN MÁY BAY: NHIỆM VỤ ĐƠN GIẢN CỦA HÌNH HỌC PHÂN TÍCH TRÊN MÁY BAY; ĐI THẲNG TRÊN MÁY BAY; DÒNG HÀNG THỨ HAI TRÊN MÁY BAY MỘT 1. Cho hai đỉnh kề nhau của hình vuông TRONG(2, 1) và
(6, -1). Tính diện tích của nó. MỘT(4, -6), TRONG(6, -6), VỚI 2. Cho ba đỉnh ABCD(-1, 6) hình bình hành D, đỉnh thứ tư TRONGđối diện
. Xác định độ dài các đường chéo của hình bình hành này. M 1 , 3. Tìm tọa độ điểm M 2 điểm đối xứng MỘT(8, 2), TRONG(5, 0).
(0, 1) so với đường thẳng đi qua các điểm MỘT(4, 1), TRONG(1, –1), VỚI 4. Cho các đỉnh của một tam giác
(5, 2). Viết phương trình tính độ cao của nó. MỘT 5. Đoạn giới hạn bởi điểm TRONG(7, 10) và
(13, 13), chia thành ba phần bằng nhau. Xác định tọa độ các điểm chia. MỘT 6. Cho hai đỉnh TRONG(–5, 2) và ABC(3, –2) tam giác N và thời kỳ
(2, 2) giao điểm của độ cao của nó. Viết phương trình các cạnh của tam giác này. MỘT 7. Điểm 
(–2, 5) là đỉnh của hình vuông có đường chéo nằm trên đường thẳng
. Viết phương trình các cạnh của hình vuông này. ABC,
8. Lập phương trình các cạnh của một tam giác MỘT nếu một trong các đỉnh được cho trước 
,
.
(2, 8) và phương trình hai đường trung tuyến MỘT
Ghi chú. Đảm bảo điểm MỘT
và thời kỳ 
Và 
. Cho phép 
Và 
- các đỉnh của tam giác nằm trên các đường trung tuyến 
Và 
tương ứng và các điểm AB Và AC- Trung điểm của các đoạn TRONG Và VỚI tương ứng. Tiếp theo bạn cần tìm tọa độ các đỉnh M Và VỚI tam giác. Vì các điểm 
nằm trên đường trung tuyến 
, Cái đó 
. Sau đó từ mối quan hệ 
tìm thấy 
; thay thế thêm giá trị số 
vào phương trình cho 
, tìm thấy 
Và 
vào phương trình cho 
. Sau đó, biết 
theo công thức 
; thay thế thêm giá trị số 
vào phương trình cho 
. Tiếp theo, thay thế giá trị số 
Và 
. Biết 
. Sau đó từ mối quan hệ 
, từ mối quan hệ
. Cuối cùng, biết tọa độ của tất cả các đỉnh của tam giác, tìm phương trình tổng quát của các cạnh của nó.
9. Xác định các đường thẳng được xác định trong tọa độ cực bằng các phương trình sau (xây dựng trên hình vẽ): 
MỘT) 
; 
b) 
;
; 
V) 
.
;
G) 
d) 
.
; MỘTđ) 
10. Xác định đường thẳng nào được xác định bởi phương trình. Tìm tọa độ tâm, bán trục, độ lệch tâm của nó. Thực hiện một bản vẽ.
11. Viết phương trình hyperbol và tìm tọa độ tâm và nửa trục của nó, biết đỉnh trái của hyperbol là tiêu điểm bên phải của elip: , còn đỉnh phải của hyperbol là tại đỉnh của parabol 
, độ lệch tâm của hyperbol bằng 12. Lập phương trình đường thẳng, ứng với mỗi điểm mà khoảng cách từ điểm đó(1, 2) cách đường thẳng gấp đôi
Yêu cầu: a) dựng đường thẳng sử dụng các điểm bắt đầu từ 
ĐẾN 
và cho đi 
các giá trị trong khoảng 
;
b) tìm phương trình của đường thẳng này trong hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes, trong đó gốc trùng với cực và bán trục dương trùng với trục cực;
c) sử dụng phương trình thu được, xác định đó là đường thẳng nào.
Các yếu tố quyết định.
Cơ sở trong không gian. Tọa độ vectơ
14. Tính định thức:
a) theo quy tắc tam giác;
b) mở rộng thành các phần tử của hàng đầu tiên;
c) mở rộng thành các phần tử của cột thứ hai;
d) rút gọn về dạng tam giác: 
MỘT) 
, b) 
, V) 
.
, G) 
1 =(3,
-2, 1);
2 =(0,
-1, 3);
3 =(2,
4, 0);
15. Các vectơ đã cho: 
=(-9, 4, 3) trên cơ sở nào đó. Chứng minh rằng ba vectơ đầu tiên tự tạo thành cơ sở và tìm tọa độ của vectơ
trong cơ sở này.
3. Các phép toán tuyến tính trên vectơ. Chiếu một vectơ lên một trục. Vô hướng, vectơ và tích hỗn hợp của vectơ. 
16. Tìm tọa độ của vectơ đơn vị (orta) 
=(7,
-4, 4).
, cùng hướng với vectơ 
17. Hai vectơ 
=(6, 2, -3) và
=(-1, –2, 2) được áp dụng cho một điểm. Tìm tọa độ: 
a) ortov 
Và 
a) ortov 
;
vectơ 
+
;
b) vectơ 
c) vectơ 
a) ortov 
, hướng dọc theo đường phân giác của góc giữa các vectơ 
.
miễn là 
18. Tìm hình chiếu của vectơ 
.
=(2, 4, 3) theo hướng của vectơ 
19. Tìm hình chiếu của vectơ 
trên mỗi trục, thành phần có trục tọa độ 
Và 
góc độ 
và với một trục 
.
góc tù 20. Cho một hình vuông
ABCD (ký hiệu các đỉnh được lấy theo chiều kim đồng hồ), độ dài cạnh của nó là 8. Điểm VỀ 
,
được chọn trong mặt phẳng vuông sao cho 
.
. Tìm thấy 
a) giới thiệu hệ tọa độ chữ nhật Descartes (ký hiệu các đỉnh được lấy theo chiều kim đồng hồ), độ dài cạnh của nó là 8. Điểm bắt đầu từ một điểm 
sao cho trục 
được hướng dọc theo vectơ 
, và trục
hướng về vị trí của hình vuông; 
b) tính chiều dài 
đường chéo của hình vuông, hãy đảm bảo (sử dụng định lý Pythagore) rằng 
- hình chữ nhật ( 
;
), và do đó 
c) tìm tọa độ của vectơ 
trên mỗi trục, thành phần có trục tọa độ 
, tìm tọa độ của các vectơ 
(rõ ràng 
), sử dụng đẳng thức 
;
, tìm tọa độ của vectơ 
trên mỗi trục, thành phần có trục tọa độ 
d) biết tọa độ của vectơ 
, tìm thấy 
, Ở đâu 
.
, Và 
21. Vectơ 
(0, -2, -4) và là các cạnh của hình bình hành OASV Mặt trờiđược chọn trong mặt phẳng vuông sao cho 
.
. Điểm N – giữa cạnh 
2,
3,
được chọn trong mặt phẳng vuông sao cho 
22. Đã cho 
trên mỗi trục, thành phần có trục tọa độ 
và độ lớn của góc giữa các vectơ 
.
, Nếu như 
23. Tính tọa độ của tích vector 
và chiều dài của nó 
=(1,
3, 0), 
.
, Nếu như 24. Cho các đỉnh của một tam giác MỘT(1, -1, 2),TRONG ABC: VỚI(2, 1, 0) và MỘT.
(6, 3, 4). Tìm diện tích tam giác và độ dài đường cao hạ xuống từ đỉnh 
25. Vectơ 
, vuông góc với trục 
và vectơ 
(-3, 4, 1) và hình thành với trục 
và độ lớn của góc giữa các vectơ 
15.
góc nhọn. Tìm tọa độ vectơ 
Và 
và chiều dài của nó 
,
Và 
.
26. Tìm diện tích hình bình hành dựng trên vectơ 
,
(1,
-2, 0), 
(-1,
0, 2).
27. Tính tích hỗn hợp của vectơ 
28. Trên cơ sở đúng đắn 
,
,
. Chứng minh rằng ba vectơ này không đồng phẳng; thiết lập hướng của bộ ba vector 
.
29. Tính thể tích của hình chóp có các đỉnh MỘT(1, 2, 1), TRONG(–2, 3, –3), VỚI(1, 3, 3), D(2, 1, -3).
30. Vectơ 
vuông góc với các vectơ 
Và 
. Tính toán 
và độ lớn của góc giữa các vectơ 
,
,
1,
4, và ba là vectơ 
- bên trái.
4. Hình học giải tích trong không gian: mặt phẳng và đường thẳng trong không gian; bề mặt bậc hai
31. Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 0 (1, 2, -1), song song với mặt phẳng 
.
32. Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 0 (3, 4, 0) và đường thẳng 
.
33. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đường thẳng 
vuông góc với mặt phẳng 
.
34. Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 0 (3, 0, 2) vuông góc với hai mặt phẳng 
Và .
35. Tìm khoảng cách 
từ điểm M 0(2, 2, -1) ra mặt phẳng.
36. Cho các đỉnh của một tam giác MỘT(2, 2, -1), TRONG(4, 3, 1), VỚI(2, –3, –2). Viết phương trình chính tắc của đường phân giác của góc trong tại đỉnh TRONG.
37. Trên trục 
tìm tọa độ các điểm cách mặt phẳng một khoảng 
=2.
38. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M 0 (1, 2, –1), song song với đường thẳng, 
,
,
.
39. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng 
và máy bay 
.
40. Tìm hình chiếu của một điểm R(3, 3, 0) thành đường thẳng 
,
+1,
.
41. Tìm tọa độ của một điểm Q, điểm đối xứng R(3, 3, 4) so với mặt phẳng 
.
42. Tìm tọa độ của một điểm Q, điểm đối xứng R(5, 2, 4) so với đường thẳng 
.
43. Tính khoảng cách 
từ điểm R(1, -2, –2) thành đường thẳng 
.
44. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng 
, đi qua điểm M 0 (5, 1, 7) song song với mặt phẳng và cắt đường thẳng 
.
Ghi chú. Sử dụng chuỗi hành động:
a) Lập phương trình mặt phẳng 
, đi qua điểm M 0, song song với mặt phẳng 
;
b) tìm tọa độ điểm M 1 của giao điểm của đường thẳng 
với máy bay 
(xem vấn đề 39);
c) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua các điểm M 0 và M 1.
45. Cho tọa độ các đỉnh của hình chóp MỘT 1 (–1, 3, 3), MỘT 2 (4, 2, 4), MỘT 3 (2, 0, 1), A 4 (3, 3, 5). Tìm thấy:
góc giữa các xương sườn MỘT 1 MỘT 2 Và MỘT 1 MỘT 4 ;
góc cạnh MỘT 1 MỘT 4 và cạnh MỘT 1 MỘT 2 MỘT 3 ;
phương trình của một đường thẳng MỘT 1 MỘT 2 ;
phương trình mặt phẳng MỘT 1 MỘT 2 MỘT 3 ;
5) phương trình độ cao rơi từ đỉnh MỘT 4 đến bờ vực MỘT 1 MỘT 2 MỘT 3 .
46. Xây dựng một bản phác thảo của một cơ thể được giới hạn bởi các bề mặt:
MỘT) 
,
,
(
).
b) 
,
,
.
5. Các phần tử của đại số tuyến tính: hệ phương trình tuyến tính; ma trận; không gian vectơ tuyến tính; toán tử tuyến tính
47. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss
48. Tìm tất cả các ma trận thực giao hoán với ma trận 
.
49. Tìm ma trận nơi
A= 
, V= 
, C= 
.
50. Tìm hạng của ma trận:
MỘT) 
MỘT) 
.
51. Cho hệ phương trình tuyến tính
Chứng minh khả năng tương thích của nó và giải quyết nó theo ba cách:
a) Phương pháp Gaussian;
b) bằng phép tính ma trận;
c) theo công thức Cramer.
52. Là không gian tuyến tính thực:
a) tập hợp tất cả các ma trận thực bậc hai có dạng 
, Ở đâu 
;
b) tập hợp tất cả các ma trận thực bậc hai có dạng 
, Ở đâu 
.
53. Tìm tất cả các giá trị 
, trong đó vectơ 
biểu diễn tuyến tính theo vectơ 
và chiều dài của nó 
=(1,
–2, 
),
=(-1,
-1, -1), 
=(1,
1, 2), 
=(2,
4, 6).
54. Tìm hiểu xem hệ thống này vectơ từ 
phụ thuộc tuyến tính? 
=(1,
2, 0, 1), 
=(2,
1, -1, -1), 
=(1,
2, 2, 2), 
=(3,
3, -1, 0).
55. Tìm ý nghĩa hình học của tác dụng của các toán tử tuyến tính cho trong không gian thường ôiz, ma trận của chúng liên quan đến cơ sở trực chuẩn 
có dạng:
MỘT) 
MỘT) 
.
56. Trong không gian R 2
mọi đa thức bậc 
loại 
, Ở đâu 
toán tử 
hoạt động như thế này: 
. Chứng minh rằng người vận hành 
là tuyến tính và tìm ma trận của nó trong cơ sở 
,
,
.
57. Trong không gian thông thường, toán tử tuyến tính 
vectơ gương đối với đường thẳng 
và toán tử tuyến tính 
chiếu các vectơ trực giao lên một mặt phẳng 
. Tìm ma trận của các toán tử tuyến tính 
,
,
trong cơ sở 
.
58. Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của một phép biến đổi tuyến tính được xác định theo cơ sở nhất định bởi ma trận 
.
§ 14. Phương trình chuẩn của đường thẳng. Bài toán xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Hãy lên máy bay xOy một đường thẳng được cho. Chúng ta hãy vẽ đường vuông góc với đường này qua gốc tọa độ và gọi nó là pháp tuyến. Hãy biểu thị
bởi vì Rđiểm giao nhau của pháp tuyến với một đường cho trước và đặt hướng dương của pháp tuyến từ điểm (ký hiệu các đỉnh được lấy theo chiều kim đồng hồ), độ dài cạnh của nó là 8. Điểmđến mức R.
Nếu a là góc cực của pháp tuyến, P- chiều dài của đoạn (Hình 10) thì phương trình của đường thẳng này có thể viết dưới dạng
xcosα + tội lỗi α - p = 0;
một phương trình thuộc loại này được gọi là bình thường.
Cho một số điểm thẳng và tùy ý
Tệ thật. 10 M*; chúng ta hãy biểu thị bằng d khoảng cách của điểm M* từ dòng này. Độ lệch điểm M* từ một dòng được gọi là số +d , Nếu như điểm nhất định và gốc tọa độ nằm dọc theo các mặt khác nhau từ một dòng nhất định và - Và, nếu một điểm cho trước và gốc tọa độ nằm ở cùng một phía của một đường thẳng cho trước. (Đối với các điểm nằm trên đường thẳng nhất = 0.)
Nếu cho tọa độ x*, y*điểm M* và phương trình chuẩn của đường thẳng xcosα + tội lỗiα -p = 0; thì độ lệch https://pandia.ru/text/79/428/images/image003_21.gif" width="15" Height="19"> = X*vìα một + y*tội lỗi α - r.
Vì vậy, để tìm độ lệch của bất kỳ điểm M* nào so với một đường thẳng cho trước, bạn cần phải bên trái phương trình thông thường của đường này, thay tọa độ hiện tại, thay tọa độ điểm M*. Số kết quả sẽ bằng độ lệch mong muốn.
Để tìm khoảng cách d từ một điểm đến một đường thẳng, chỉ cần tính độ lệch và lấy mô đun của nó: d =
Nếu được phương trình tổng quátđường thẳng Аx+Bу+С=0, sau đó để đưa nó về dạng chuẩn tắc, bạn cần nhân tất cả các số hạng của phương trình này với hệ số chuẩn hóa μ ., được xác định bởi công thức
Dấu của hệ số chuẩn hóa được chọn dấu hiệu ngược lại số hạng tự do của phương trình chuẩn hóa.
309. Xác định phương trình nào sau đây là chuẩn tắc:
1) x- y-3=0; 2) EN-US style="color:black">x - y-1 = 0;
3) https://pandia.ru/text/79/428/images/image010_3.gif" width="21" Height="41 src="> Tại + 2 = 0; 4) -color:black">+color:black">- 2 = 0;
5) - X + 2 = 0; 6) X - 2 = 0; 7) Tại + 2 = 0; 8) - Tại - 2 = 0.
310. Đưa phương trình tổng quát của đường thẳng về dạng chuẩn tắc trong các trường hợp sau:
1) 4X -3Tại-10 = 0; 2) x -y+10 = 0;
3) 12X - 5Tại + 13 = 0; 4) X + 2 = 0; 5) 2X - Tại -= 0.
311. Các phương trình của đường thẳng được cho:
1) X-2 = 0; 2) X + 2 = 0; 3) Tại -3 = 0; 4) Tại + 3 = 0;
5) x + Tại-6 = 0; 6) X-Tại+2 = 0; 7) X + Tại+2 = 0;
8) x cos b -y tội lỗi b - q = 0, q >0; b - góc nhọn;
9) x cos b + y sin b + q = 0, q > 0; b - góc nhọn.
Xác định góc cực của pháp tuyến Một và phân khúc r cho mỗi dòng này; dựa trên các giá trị tham số thu được Một Và r vẽ những đường này trên bản vẽ ( trong hai trường hợp cuối, hãy dựng đường thẳng bằng cách đếm b = 30° và q = 2).
312. Tính toán độ lệch d và khoảng cách d chỉ đường thẳng trong các trường hợp sau:
1)MỘT(2;-1)) 4X + 3Tại+10 = 0;
2) TRONG(0; - 3), 5X-12Tại-23=0;
3) R(-2; 3), 3X -4Tại -2 = 0;
4) Q(l; -2), X-2Tại -5 = 0.
313. Xác định xem một điểm có nằm không M(1; -3) và gốc tọa độ trên một hoặc hai cạnh đối diện của mỗi đường thẳng sau:
1) 2X-Tại + 5 = 0; 2) X -3Tại -5 = 0; 3) 3X+2Tại-1 = 0;
2) X-3Tại+ 2 = 0; 5) 10X + 24Tại+15 = 0.
314. điểm MỘT(2; -5) là chiều dài của hình vuông có một cạnh nằm trên một đường thẳng
X - 2Tại- 7 = 0.
Tính diện tích của hình vuông này.
315. Cho phương trình hai cạnh của hình chữ nhật
3X -2Tại - 5 = 0, 2X + 3Tại + 7 = 0
và một trong những đỉnh cao của nó MỘT(-2; 1). Tính diện tích của hình chữ nhật này.
316. Chứng minh rằng nó thẳng
2X+Tại+3 = 0
cắt một đoạn được giới hạn bởi các điểm MỘT(-5; 1) và TRONG(3; 7).
317. Chứng minh rằng nó thẳng
2X -3Tại+6 = 0
không cắt đoạn thẳng giới hạn bởi điểm M1(- 2; -3) và M2(1; -2).
318. Các đỉnh liên tiếp của tứ giác là điểm MỘT(-3; 5), TRONG(- 1; -4), C(7;- 1) và D(2; 9). Hãy xác định xem tứ giác này có lồi hay không.
319. Các đỉnh liên tiếp của tứ giác là điểm MỘT(-1; 6), B(1; -3), VỚI(4; 10) và D(9; 0). Hãy xác định xem tứ giác này có lồi hay không.
320. Cho các đỉnh của một tam giác: MỘT(-10; -13), TRONG(- 2; 3) và VỚI(2; 1). Tính độ dài đường vuông góc rơi từ một đỉnh TRONGđến đường trung tuyến vẽ từ đỉnh VỚI.
321. Cạnh AB, Mặt trời Và SA tam giác ABC lần lượt được cho bởi các phương trình
X+ 21Tại - 22 = 0, 5X- 12Tại+ 7 = 0, 4X - 33Tại+ 146 = 0.
Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác này đến cạnh Mặt trời.
322. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng song song trong các trường hợp sau:
1) 3X -4Tại-10 = 0, 2) 5X-12Tại + 26 = 0,
6X -8Tại+ 5 = 0; 5X-12Tại-13 = 0;
3) 4X - 3Tại+ 15 = 0, 4) 24X-10Tại + 39 = 0,
8X-6Tại+ 25 = 0; 12X -2Tại -26 = 0.
323. Hai cạnh của hình vuông nằm trên đường thẳng
5X- 12Tại - 65 = 0, 5X- 12Tại + 26 = 0.
Tính diện tích của nó.
324. Chứng minh rằng đường thẳng
5X- 2Tại- 1 = 0
Song song với các đường thẳng
5X -2Tại + 7 = 0, 5X -2Tại-9 = 0
và chia khoảng cách giữa chúng làm đôi.
325. Cho ba đường thẳng song song
10X+15Tại -3 = 0, 2X+3Tại + 5 = 0, 2X+3Tại -9 = 0.
Chứng minh rằng cái đầu tiên nằm giữa hai cái còn lại và tính tỉ số giữa chúng.
326. Chứng minh qua điểm P(2; 7) bạn có thể vẽ hai đường thẳng sao cho khoảng cách của chúng với điểm Q(l; 2) bằng 5. Viết phương trình của các đường thẳng này.
327. Chứng minh qua điểm R(2; 5) có thể vẽ hai đường thẳng sao cho khoảng cách của chúng tới điểm Q(5; 1) bằng 3. Viết phương trình của các đường thẳng này.
328. Chứng minh qua điểm VỚI(7; - 2) chỉ có thể vẽ một đường thẳng sao cho khoảng cách của nó với điểm A(4; - 6) bằng 5. Lập phương trình của nó.
329. Chứng minh điều đó qua một điểm TRONG(4; -5) không thể vẽ một đường thẳng sao cho khoảng cách của nó với điểm VỚI(- 2; 3) bằng 12.
330. Suy ra phương trình quỹ tích những điểm có độ lệch so với đường thẳng là 8 X-15Tại- 25 = 0 bằng -2.
331. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng 3 X-4Tại- 10 = 0 và nằm cách nó một khoảng d=3.
332. Cho hai đỉnh kề nhau của hình vuông MỘT(2; 0) và TRONG(-1; 4). Viết phương trình các cạnh của nó.
333. Điểm MỘT(5; -1) là đỉnh của hình vuông có một cạnh nằm trên đường thẳng
4X - 3Tại - 7 = 0.
Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh còn lại của hình vuông đó.
334. Cho phương trình hai cạnh của hình vuông
4X -3Tại + 3 = 0, 4X-3Tại-17 = 0
và một trong những đỉnh cao của nó MỘT(2; -3). Viết phương trình hai cạnh còn lại của hình vuông này.
335. Cho phương trình hai cạnh của hình vuông
5X+12Tại-10 = 0, 5X+12Tại+29 = 0.
Viết phương trình cho hai cạnh còn lại của nó với điều kiện là điểm M 1(-3; 5) nằm trên cạnh của hình vuông này.
336. Điểm lệch M từ trực tiếp
5X-12Tại-13=0 và 3 X -4Tại-19 = 0
lần lượt bằng - 3 và - 5. Xác định tọa độ của điểm. M.
337. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm P(-2; 3) ở khoảng cách bằng nhau từ các điểm MỘT(5; - 1) và TRONG(3; 7).
338. Viết phương trình quỹ tích các điểm cách đều hai đường thẳng song song:
1) 3X- Tại+ 7 = 0, 2) X - 2Tại + 3 = 0, 3) 5X - 2Tại - 6 = 0,
3X- Tại- 3 = 0; X -2Tại + 7 = 0; X-4у + 3 = 0.
339. Viết phương trình phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau:
1) X - 3Tại + 5 = 0, 2) X - 2Tại - 3 = 0, 3) 3X + 4Tại - 1 = 0,
3X-Tại -2 = 0; 2X + 4Tại + 7 = 0; 5X+ 12Tại - 2 = 0.
340. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm R(2; -1) và cùng với các đường thẳng
2X- Tại + 5 = 0, 3X + 6Tại - 1 = 0
tạo thành các tam giác cân.
341. Xác định xem một điểm có nằm không M(1; -2) và gốc tọa độ trong một, liền kề hoặc góc dọc, được tạo bởi giao điểm của hai đường thẳng:
1) 2X-Tại -5 = 0, 2) 4X+3Tại-10 = 0, 3) X - 2Tại- 1=0,
3X+Tại+10 = 0; 12X-5Tại -5 = 0; 3X-Tại -2 = 0.
342. Xác định xem các điểm có nằm không M(2; 3) và N(5; -1) thành một, ở các góc liền kề hoặc thẳng đứng được hình thành bởi giao điểm của hai đường thẳng:
1) X-3Tại-5 = 0, 2)2X+7Tại -5 = 0, 3) 12X+Tại- 1=0,
2X+9Tại -2 = 0; X + 3Tại + 7 = 0; 13X + 2Tại-5 = 0.
343. Xác định xem gốc tọa độ nằm bên trong hay bên ngoài tam giác có các cạnh được cho bởi phương trình
7X -5Tại-11=0, 8X+ 3Tại+ 31=0, X + 8Tại-19 = 0.
344. Xác định xem một điểm có nằm không M(- 3; 2) bên trong hoặc bên ngoài một tam giác có các cạnh được cho bởi phương trình
X + Tại -4 = 0, 3X - 7Tại + 8 = 0, 4X - Tại - 31 = 0.
345. Xác định góc nhọn hay góc tù tạo bởi hai đường thẳng
3X - 2Tại + 5 = 0 và 2 X + Tại - 3 = 0,
chứa nguồn gốc.
346. Xác định góc nhọn hay góc tù tạo bởi hai đường thẳng
3X -5Tại-4 = 0 và X + 2Tại + 3 = 0,
chứa một dấu chấm M(2; - 5).
347. Viết phương trình phân giác của góc giữa hai đường thẳng 3 X-y- 4= 0 và 2 X+6Tại+3 = 0, đó là gốc tọa độ.
348.
X-7y+5= 0, 5x+ 5y- 3 = 0,
kề với góc chứa gốc tọa độ.
349. Viết phương trình phân giác của góc giữa hai đường thẳng X + 2Tại-11 = 0 và 3 X - 6Tại- 5 = 0, điểm nằm ở đâu M(1;-3).
350. Viết phương trình phân giác của góc giữa hai đường thẳng
2X - 3Tại - 5 = 0, 6X - 4Tại+ 7 = Ôi,
kề với góc chứa điểm C (2;-1).
351. Viết phương trình đường phân giác góc nhọn, tạo bởi hai đường thẳng
3x+4y -5 = 0, 5X-12Tại+3 = 0.
352. Viết phương trình đường phân giác góc tù, tạo bởi hai đường thẳng X- 3Tại+ 5 = 0, 3X- Tại+15 = 0.