Hệ tọa độ cực (tọa độ cực)

Hệ tọa độ cực (tọa độ cực)

Hệ tọa độ cực trên mặt phẳng là sự kết hợp của điểm O, gọi là cực và nửa đường thẳng OX, gọi là trục cực. Ngoài ra nó còn được quy định đoạn quy môđể đo khoảng cách từ các điểm của mặt phẳng đến cực. Theo quy luật, một vectơ \vec(i) được chọn trên trục cực, áp dụng cho điểm O, chiều dài của nó được lấy làm giá trị của đoạn tỷ lệ và hướng của vectơ xác định hướng dương trên cực trục (Hình 2.28a).



Vị trí của điểm M trong hệ thống cực tọa độ được xác định bởi khoảng cách r ( bán kính cực) từ điểm M đến cực (tức là r=\vert\overrightarrow(OM)\vert) và góc \varphi (góc cực) giữa trục cực và vectơ \overrightarrow(OM). Bán kính cực và góc cực là tọa độ cựcđiểm M, được viết là M(r,\varphi) . Góc cực được đo bằng radian và được đo từ trục cực:


Theo hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ), nếu giá trị góc dương;

Theo hướng âm (theo chiều kim đồng hồ) nếu giá trị góc âm.


Bán kính cực được xác định cho bất kỳ điểm nào trong mặt phẳng và nhận các giá trị không âm r\geqslant0 . Góc cực \varphi được xác định cho bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng, ngoại trừ cực O và nhận các giá trị -\pi<\varphi\leqslant\pi , gọi điện các giá trị chính của góc cực. Trong một số trường hợp, nên giả định rằng góc cực được xác định theo số hạng 2\pi n , trong đó n\in\mathbb(Z) . Trong trường hợp này, các giá trị \varphi+2\pi n của góc cực cho mọi n\in\mathbb(Z) tương ứng với cùng một hướng của vectơ bán kính.


Hệ tọa độ cực Or\varphi có thể được liên kết với hệ tọa độ chữ nhật O\vec(i)\vec(j), gốc O trùng với cực và trục abscissa (chính xác hơn là bán abscissa dương trục) trùng với trục cực. Trục tọa độ được hoàn thành vuông góc với trục hoành độ để thu được hệ tọa độ hình chữ nhật thuận tay phải (Hình 2.28, b). Độ dài của vectơ cơ sở được xác định bởi đoạn tỷ lệ trên trục cực.


Ngược lại, nếu cho hệ tọa độ hình chữ nhật thuận tay phải trên mặt phẳng, thì lấy bán trục dương của hoành độ làm trục cực, chúng ta thu được hệ tọa độ cực (liên kết với hệ tọa độ hình chữ nhật đã cho).


Chúng ta hãy rút ra công thức nối tọa độ chữ nhật x,y của một điểm M, khác với điểm O và tọa độ cực r,\varphi của nó. Theo hình 2.28,b ta có


\begin(case)x=r\cdot\cos\varphi,\\y=r\cdot\sin\varphi.\end(case)


Những công thức này cho phép bạn tìm tọa độ hình chữ nhật từ các tọa độ cực đã biết. Việc chuyển đổi ngược lại được thực hiện theo công thức:


\left\(\begin(aligned)r&= \sqrt(x^2+y^2),\\ \cos\varphi&= \frac(x)(r)=\frac(x)(\sqrt(x^ 2+y^2)),\\ \sin\varphi&= \frac(y)(r)=\frac(y)(\sqrt(x^2+y^2)).\end(aligned)\right .


Hai đẳng thức cuối cùng xác định góc cực lên tới số hạng 2\pi n , trong đó n\in\mathbb(Z) . Đối với x\ne0, họ suy ra rằng \operatorname(tg)\frac(y)(x)\varphi~(-\pi<\varphi\leqslant\pi) được tìm theo các công thức (Hình 2.29):


\varphi=\left\(\begin(aligned)\operatorname(arctg)\frac(y)(x),\quad&x>0,\\\pi+\operatorname(arctg)\frac(y)(x),\ bốn & x<0,\,y\geqslant0,\\-\pi+\operatorname{arctg}\frac{y}{x},\quad&x<0,\,y<0,\\\frac{\pi}{2},\quad&x=0,\,y>0,\\-\frac(\pi)(2),\quad&x=0,\,y<0.\end{aligned}\right.

Ví dụ 2.9. Trong hệ tọa độ cực Or\varphi :


a) vẽ đường tọa độ r=1,~r=2,~r=3,~\varphi=\frac(\pi)(4),~\varphi=\frac(\pi)(2);

b) vẽ các điểm M_1,~M_2 có tọa độ cực r_1=3,~\varphi_1=\frac(9\pi)(4),~r_2=3,~\varphi=-\frac(7\pi)(4). Tìm các giá trị chính của các góc cực của các điểm này;

c) Tìm tọa độ hình chữ nhật của các điểm M_1,~M_2.


Giải pháp. a) Các đường tọa độ r=1,~r=2,~r=3 biểu thị các đường tròn có bán kính tương ứng và các đường thẳng \varphi=\frac(\pi)(4), \varphi=\frac(\pi)(2) Và \varphi=\frac(3\pi)(4)- bán thẳng (Hình 2.30, a).


b) Hãy vẽ các điểm M_1\!\left(3,\frac(9\pi)(4)\right) Và M_2\!\left(3,-\frac(7\pi)(4)\right)(Hình 2.30, b, c). Tọa độ của chúng khác nhau ở góc cực, tuy nhiên chúng có cùng ý nghĩa chính \varphi=\frac(\pi)(4). Do đó, đây là cùng một điểm và trùng với điểm M\!\left(3,\frac(\pi)(4)\right), thể hiện ở hình 2.30, a.


c) Xét điểm “b”, hãy tìm tọa độ hình chữ nhật của điểm M. Sử dụng công thức (2.17) chúng ta thu được:


x=r\cdot\cos\varphi=3\cdot\cos\frac(\pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2);~y=r\cdot\sin\frac( \pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2),đó là M\!\left(\frac(3\sqrt(2))(2),\frac(3\sqrt(2))(2)\right).


Ghi chú 2.8


1. Giá trị chính của góc cực có thể được chọn khác nhau, ví dụ: 0\leqslant\varphi<2\pi .


2. Khoảng cách giữa hai điểm M_1(r_1,\varphi_1) Và M_2(r_2,\varphi_2)(độ dài đoạn M_1M_2) được tính theo công thức


M_1M_2=\sqrt(r_1^2+r_2^2-2\cdot r_1\cdot r_2\cdot\cos(\varphi_2-\varphi_1)),


suy ra từ định lý cosine (Hình 2.31).


3. Diện tích định hướng S_(\ast)^(\land) của hình bình hành (Hình 2.31), dựng trên các vectơ bán kính và , được tìm theo công thức


S_(\ast\overrightarrow(OM_1),\overrightarrow(OM_2))^(\land)=\overrightarrow(OM_1)\land\overrightarrow(OM_2)=r_1\cdot r_2\cdot\sin(\varphi_2-\varphi_1) .


Đó là tích cực nếu \varphi_1<\varphi_2 (trong trường hợp này, hướng của một cặp vectơ bán kính \overrightarrow(OM_1) Và \overrightarrow(OM_2) phải) và âm nếu \varphi_1>\varphi_2(hướng của một cặp vectơ bán kính \overrightarrow(OM_1) Và \overrightarrow(OM_2) bên trái).

Ví dụ 2.10. tọa độ cực được đưa ra \varphi_A=\frac(\pi)(3),~r_A=4 Và \varphi_B=\frac(2\pi)(3),~r_B=2điểm A và B (Hình 2.32). Cần tìm:


a) tích vô hướng \bigl\langle\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB)\bigl\rangle;

b) độ dài đoạn AB;

c) sản phẩm bên ngoài \overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB);

d) diện tích S_(OAB) của tam giác OAB;

e) tọa độ tâm C của đoạn AB trong hệ tọa độ hình chữ nhật gắn với một cực cho trước.


Giải pháp. a) Theo định nghĩa tích vô hướng ta tìm được


\left\langle\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB)\right\rangle=\left|\overrightarrow(OA)\right|(\cdot)\left|\overrightarrow(OB)\right|\!\cdot \cos\psi=r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A)=4\cdot2\cdot\cos\frac(\pi)(3)=4.


b) Tìm độ dài của đoạn (xem đoạn 2 nhận xét 2.8):


AB=\sqrt(r_A^2+r_B^2-2\cdot r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A))=\sqrt(4^2+2^2-2\cdot4\cdot2\ cdot\frac(1)(2))=2\sqrt(3).


c) Ta tìm tích ngoài là diện tích định hướng của hình bình hành dựng trên các vectơ và:


\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)=r_A\cdot r_B\cdot\sin(\varphi_B-\varphi_A)=2\cdot4\cdot\sin\frac(\pi)(3)=4\sqrt( 3).


Diện tích này là dương, vì các vectơ \overrightarrow(OA) Và \overrightarrow(OB) tạo thành một cặp đúng (\varphi_A<\varphi_B) .


d) Diện tích tam giác OAB bằng nửa diện tích hình bình hành dựng bằng vectơ bán kính \overrightarrow(OA) Và \overrightarrow(OB).


Bởi vì S_(\ast\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB))=\left|\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)\right|=4\sqrt(3)(xem đoạn "c"), sau đó S_(OAB)=\frac(1)(2)\cdot4\sqrt(3)=2\sqrt(3).


e) Sử dụng công thức (2.17) ta tìm được tọa độ hình chữ nhật của điểm A và B:


\begin(được tập hợp)x_A=r_A\cdot\cos\varphi_A=4\cdot\frac(1)(2)=2,\quad y_A=r_A\cdot\sin\varphi_A=4\cdot\frac(\sqrt( 3))(2)=2\sqrt(3);\\ x_B=r_B\cdot\cos\varphi_B=2\cdot\frac(-1)(2)=-1,\quad y_B=r_B\cdot\ sin\varphi_B=2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)=\sqrt(3).\end(tập hợp)


rồi tọa độ đoạn C giữa đoạn AB (xem đoạn 3 nhận xét 2.1):


x_C=\frac(x_A+x_b)(2)=\frac(2+(-1))(2)=\frac(1)(2);\quad y_C=\frac(y_A+y_B)(2) =\frac(2\sqrt(3)+\sqrt(3))(2)=\frac(3\sqrt(3))(2).

Ví dụ 2.11.Điểm A(4,-3) được đánh dấu trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm thấy:


a) tọa độ cực của điểm A”, ảnh của điểm A khi quay vectơ bán kính \overrightarrow(OA) bởi góc \frac(\pi)(3) xung quanh gốc tọa độ (Hình 2.33);


b) tọa độ cực của điểm A_1, ảnh của điểm A khi mặt phẳng đảo ngược so với đường tròn bán kính đơn vị có tâm là gốc (xem ví dụ b về các phép biến đổi mặt phẳng ở Mục 2.2.4).


Giải pháp. a) Tìm tọa độ cực của điểm A. Theo công thức (2.17), xét đến Hình 2.29, ta thu được:


r_A=\sqrt(x_A^2+y_A^2)=\sqrt(4^2+(-3)^2)=5;\quad\varphi_A=\operatorname(arctg)\frac(y_A)(x_A)= \operatorname(arctg)\frac(-3)(4)=-\operatorname(arctg)\frac(3)(4),


vì điểm A nằm ở phần tư \text(IV).


Khi quay vectơ bán kính \overrightarrow(OA) xung quanh cực một góc \frac(\pi)(3), bán kính cực không thay đổi nhưng góc cực tăng. Do đó, tọa độ cực của điểm A": r_(A")=r_(A)=5, \varphi_(A")=\varphi_(A)+\frac(\pi)(3)=\frac(\pi)(3)-\operatorname(arctg)\frac(3)(4), và \varphi_(A") là giá trị chính của góc cực (-\pi<\varphi_{A"}\leqslant\pi) .


b) Khi nghịch đảo đối với đường tròn bán kính R, tọa độ cực r”,\varphi” của ảnh được biểu thị qua tọa độ cực r,\varphi của ảnh nghịch đảo bằng các công thức sau:


r"=\frac(R^2)(r),\quad\varphi"=\varphi.


Do đó, xét đến điểm “a”, chúng ta tìm thấy (với R=1):


r_(A_1)=\frac(1)(r_A)=\frac(1)(5),\quad\varphi_(A_1)=\varphi_(A)=-\operatorname(arctg)\frac(3)(4 ).

Trang 1


Tọa độ y của bất kỳ điểm nào trong góc phần tư thứ nhất đều dương.  

Các điểm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư có tọa độ Y âm và trong góc phần tư thứ ba, tọa độ X của các điểm là âm.  

Bảng tọa độ hiển thị tọa độ X và Y chính xác của vị trí hiện tại của con trỏ ArchiCAD trong hệ tọa độ được sử dụng.  

Trong góc phần tư thứ hai, tọa độ X của các điểm là dương và tọa độ Y là âm.  


Khó khăn là vị trí của quân hậu chỉ được xác định bởi tọa độ Y của chúng và tọa độ X không hiện diện rõ ràng trong biểu diễn vị trí.  

Khi tìm kiếm giải pháp, chương trình hiển thị trong Hình. 4.7, kiểm tra các giá trị khác nhau của tọa độ Y của quân hậu. Thứ tự liệt kê các phương án thay thế được chỉ định ở đâu trong chương trình?  

Vì theo thông lệ, người ta thường ghi tọa độ X của một điểm trước, sau đó là tọa độ Y, nên biểu thức - r - / Q - P chưa xác định được giá trị cần thiết. Kết quả bằng thương số của chênh lệch tọa độ dọc theo trục X chia cho chênh lệch giá trị tọa độ dọc theo trục Y, theo định nghĩa, cho giá trị nghịch đảo của độ dốc của đường thẳng.  

GIÁ TRỊ PHỐI HỢP) và đặt nó vào bảng thông báo đầu ra và danh sách dữ liệu đầu ra. Sau đó, lệnh này chứa tọa độ X và Y của vị trí màn hình đã chọn sẽ được truyền đến máy tính chính.  

Vị trí của hệ mới XOt Y so với hệ cũ xOy sẽ được xác định nếu biết tọa độ a và b của gốc O mới theo hệ cũ và góc a giữa trục Ox và OtX. Chúng ta hãy biểu thị bằng x và y tọa độ của một điểm M tùy ý so với hệ thống cũ và bằng tọa độ X và Y của cùng một điểm so với hệ thống mới. Nhiệm vụ của chúng ta là biểu thị tọa độ cũ x và y thông qua tọa độ mới X và Y. Công thức biến đổi thu được rõ ràng phải bao gồm các hằng số a, b và oc. Chúng ta sẽ tìm được lời giải cho bài toán tổng quát này bằng cách xem xét hai trường hợp đặc biệt.  

Nó đề cập đến hai thành phần trong danh sách dữ liệu - X và Y. Bộ xử lý hiển thị của thiết bị đầu cuối của chúng tôi có các lệnh riêng biệt để di chuyển chùm tia đến vị trí mới trong tọa độ X và Y. Do đó, thủ tục lệnh SET ORIGIN phải tạo ra hai lệnh xử lý hiển thị. Ngoài ra, bạn phải xác định xem đối tượng đang được khởi tạo bằng lệnh SET ORIGIN là một phân đoạn hay một phần tử. Để thực hiện việc này, quy trình sẽ truy vấn bảng tương quan bằng cách sử dụng trường tham số lệnh. Trong trường hợp một đoạn, vị trí trên màn hình được chỉ định theo tọa độ tuyệt đối, trong trường hợp một phần tử - theo tọa độ tương đối. Thủ tục thực thi lệnh SET ORIGIN phải đặt hoặc xóa một bit đặc biệt cho các lệnh bộ xử lý hiển thị tương ứng.  


Chương trình sẽ không ngừng khám phá vùng không gian vô tận này và không bao giờ tiến gần hơn đến mục tiêu. Không gian trạng thái của bài toán tám con hậu, được định nghĩa như trong phần này, thoạt nhìn có chứa một cái bẫy thuộc loại này. Nhưng hóa ra nó vẫn hữu hạn, vì tọa độ Y được chọn từ một tập hợp giới hạn, và do đó không thể đặt quá tám quân hậu một cách an toàn trên bàn cờ.  

Thủ tục thực thi lệnh này cung cấp bốn loại phương tiện để tạo ra các đối tượng một cách tương tác. Công cụ đầu tiên là một quy trình tổng quát để vẽ các đường thẳng. Việc vẽ được thực hiện bằng cách di chuyển một dấu đặc biệt đến đầu dòng và sau đó di chuyển nó đến cuối dòng. Khi bạn di chuyển nhãn đến cuối dòng, một vectơ sẽ được tạo kết nối đầu dòng và vị trí hiện tại của nhãn. Bằng cách nhả phím trên thân bút đèn, bạn có thể di chuyển dấu từ đầu này của đường bạn đang vẽ sang đầu kia. Khi người dùng trỏ đến nút đèn CHẤP NHẬN, lệnh L4 sẽ được tạo, với sự trợ giúp của tọa độ X, Y của đường vẽ sẽ được truyền đến máy tính chính.  

Trang:      1

Hệ tọa độ chữ nhật trên mặt phẳng được tạo bởi hai trục tọa độ OX và OY vuông góc với nhau. Các trục tọa độ cắt nhau tại điểm O, được gọi là gốc tọa độ và chiều dương được chọn trên mỗi trục. Trong hệ tọa độ thuận tay phải, hướng dương của các trục được chọn sao cho khi trục OY hướng lên trên thì trục OX hướng sang phải.

Bốn góc (I, II, III, IV) tạo thành bởi trục tọa độ X"X và Y"Y được gọi là góc tọa độ hoặc góc phần tư

Vị trí điểm A trên mặt phẳng được xác định bởi hai tọa độ x và y. Tọa độ x bằng độ dài đoạn OB, tọa độ y bằng độ dài đoạn OC theo đơn vị đo đã chọn. Các đoạn OB và OC được xác định bởi các đường thẳng vẽ từ điểm A song song với trục Y"Y và X"X tương ứng. Tọa độ x gọi là hoành độ của điểm A, tọa độ y gọi là tọa độ điểm A. Nó được viết như sau: .

Nếu điểm A nằm trong góc tọa độ I thì điểm A có hoành độ và tọa độ dương. Nếu điểm A nằm trong tọa độ góc II thì điểm A có hoành độ âm và tọa độ dương. Nếu điểm A nằm trong góc tọa độ III thì điểm A có hoành độ và tọa độ âm. Nếu điểm A nằm trong góc tọa độ IV thì điểm A có hoành độ dương và tọa độ âm.

Hệ tọa độ hình chữ nhật trong không gianđược hình thành bởi ba trục tọa độ vuông góc với nhau OX, OY và OZ. Các trục tọa độ cắt nhau tại điểm O gọi là gốc tọa độ, trên mỗi trục chọn một hướng dương, biểu thị bằng các mũi tên và đơn vị đo các đoạn trên các trục. Đơn vị thường giống nhau cho tất cả các trục (không bắt buộc). OX - trục hoành, OY - trục tọa độ, OZ - trục ứng dụng.

Nếu lấy ngón cái của bàn tay phải theo hướng X, ngón trỏ theo hướng Y và ngón giữa theo hướng Z thì hình thành hệ tọa độ cho người thuận tay phải. Các ngón tay tương tự của bàn tay trái tạo thành hệ tọa độ bên trái. Nói cách khác, hướng dương của các trục được chọn sao cho khi trục OX quay ngược chiều kim đồng hồ một góc 90°, hướng dương của nó trùng với hướng dương của trục OY, nếu chiều quay này được quan sát từ hướng dương của OZ. trục. Không thể kết hợp hệ tọa độ phải và trái sao cho các trục tương ứng trùng nhau.

Vị trí của điểm A trong không gian được xác định bởi ba tọa độ x, y và z. Tọa độ x bằng độ dài đoạn OB, tọa độ y là độ dài đoạn OC, tọa độ z là độ dài đoạn OD theo đơn vị đo đã chọn. Các đoạn OB, OC và OD được xác định bởi các mặt phẳng vẽ từ điểm A song song với các mặt phẳng YOZ, XOZ và XOY tương ứng. Tọa độ x gọi là hoành độ của điểm A, tọa độ y gọi là tọa độ điểm A, tọa độ z gọi là ứng dụng của điểm A. Nó được viết như sau: .

ODA. Hệ tọa độ (O; , , ) được gọi. hình chữ nhật nếu: 1) các vectơ cơ sở có độ dài đơn vị: = = =1;

2) các vectơ cơ sở là cặp trực giao (vuông góc): ⏊ ⏊ .

Các vectơ cơ sở thường được gọi là các vectơ cơ sở và tọa độ là x, y, z. Các trục tọa độ được gọi là: Ox - trục abscissa, Oy - trục tọa độ, Oz - trục ứng dụng.

Định lý.Độ dài của vectơ =(X,Y,Z) bằng căn bậc hai của tổng bình phương tọa độ của nó: | |= .

Tài liệu. Vectơ được biểu diễn bằng đường chéo của hình chữ nhật song song có cạnh X, .

Độ dài các cạnh của hình bình hành bằng |X|,|Y|,|Z|. bằng tổng bình phương độ dài các cạnh của nó (bạn cần áp dụng định lý Pythagore hai lần). Từ đây chúng ta có được công thức mong muốn.

Kết quả. khoảng cách giữa các điểm A() và B() bằng AB=.

Tài liệu. AB=| |, a =().

13. Độ lớn của hình chiếu vectơ lên ​​trục. cosin định hướng.

Trục là một đường thẳng được chọn hướng. Cho hướng trên trục bằng vectơ đơn vị.

Cho là một vectơ tùy ý và gọi A΄ và B΄ là các hình chiếu trực giao của các điểm A và B lên đường thẳng l. Tên vectơ hình chiếu của vectơ lên ​​trục l.

ODA. Độ lớn của hình chiếu của vectơ lên ​​trục l được gọi là. tọa độ của vectơ trên đường thẳng l so với vectơ cơ sở, tức là một số như vậy = , .

Do đó, chúng ta phân biệt giữa hình chiếu của vectơ lên ​​một trục và độ lớn của hình chiếu của vectơ lên ​​một trục: vectơ thứ nhất là vectơ và vectơ thứ hai là một số. Khi một vectơ được truyền song song thì vectơ cũng được dịch chuyển song song trên trục l. Do đó, độ lớn của phép chiếu vectơ không phụ thuộc vào việc chọn đại diện vectơ. Ngoài ra, độ lớn hình chiếu của tổng các vectơ bằng tổng độ lớn hình chiếu của chúng.

Định lý.Độ lớn hình chiếu của vectơ lên ​​trục bằng tích của độ dài của vectơ này và cosin của góc giữa vectơ và trục: =| |cosφ,trong đó φ=<().

Bác sĩ. Xét hai trường hợp: 1) góc nhọn, 2) góc tù.

Từ tam giác vuông ΔABC trong mỗi trường hợp trên ta có: 1) =AC=| |cosφ. 2) =-AC=- |cos(П-φ)=- |(-cosφ)= |cosφ.

Cosin định hướng.

Gọi α, β, γ là các góc mà vectơ =(X,Y,Z) tạo với các trục tọa độ. Cosin của các góc này được gọi là cosα, cosβ, cosγ. cosin chỉ phương của vectơ.

α=<(Ox. ); β=<(Oy ); γ=<(Oz, .

Rõ ràng tọa độ của một vectơ bằng độ lớn hình chiếu của vectơ này trên các trục tọa độ. Do đó X= = |cosα; Y= = |cosβ; Z= = |cosγ.

Từ đây chúng ta có thể tìm được các cosin chỉ hướng: cos = = ; cosβ= ; cosγ=