Bài viết cung cấp những thông tin lý luận quan trọng nhất và các giải pháp cần thiết nhiệm vụ cụ thể công thức. Các câu lệnh và tính chất quan trọng của các hình được bày trên kệ.

Định nghĩa và sự thật quan trọng

Phép đo phẳng là một nhánh của hình học xử lý các vật thể trên bề mặt phẳng hai chiều. Một số ví dụ phù hợp có thể kể đến: hình vuông, hình tròn, hình thoi.

Trong số những thứ khác, cần làm nổi bật điểm và đường thẳng. Chúng là hai khái niệm chính của phép đo phẳng.

Mọi thứ khác đều được xây dựng trên chúng, ví dụ:

Tiên đề và định lý

Chúng ta hãy xem xét các tiên đề chi tiết hơn. Trong phép đo mặt phẳng, đây là những quy tắc quan trọng nhất, trên đó mọi khoa học đều hoạt động. Và không chỉ ở cô ấy. A-tu viện, Chúng ta đang nói về về những phát biểu không cần chứng minh.

Các tiên đề sẽ được thảo luận dưới đây được đưa vào cái gọi là hình học Euclide.

• Có hai điểm. Bạn luôn có thể vẽ một đường thẳng xuyên qua chúng.
• Nếu có một đường thẳng thì có những điểm nằm trên đường thẳng đó và những điểm không nằm trên đường thẳng đó.

Hai phát biểu này thường được gọi là tiên đề về thành viên, và những phát biểu sau đây được gọi là tiên đề về trật tự:

• Nếu có ba điểm thẳng hàng thì một trong ba điểm đó nhất thiết phải nằm giữa hai điểm còn lại.
• Một mặt phẳng được chia bởi một đường thẳng bất kỳ thành hai phần. Khi các đầu của một đoạn nằm trên một nửa thì toàn bộ vật thể sẽ thuộc về đoạn đó. Ngược lại, đường ban đầu và đoạn có giao điểm.

Tiên đề của các biện pháp:

• Mỗi đoạn có độ dài khác 0. Nếu một điểm chia nó thành nhiều phần thì tổng của chúng sẽ bằng tổng chiều dài của vật.
• Mỗi góc có một số đo độ nhất định, không bằng 0. Nếu dùng tia làm gãy nó thì góc ban đầu sẽ là bằng tổng có học thức.

Tính song song:

• Trên mặt phẳng có một đường thẳng. Qua một điểm không thuộc điểm đó chỉ vẽ được một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Các định lý trong phép đo phẳng không còn là những phát biểu hoàn toàn cơ bản nữa. Chúng thường được chấp nhận là sự thật, nhưng mỗi chúng đều có bằng chứng được xây dựng dựa trên các khái niệm cơ bản được đề cập ở trên. Bên cạnh đó, có rất nhiều trong số họ. Sẽ khá khó khăn để sắp xếp mọi thứ, nhưng một số trong số chúng sẽ có mặt trong tài liệu được trình bày.

Hai điều sau đây đáng để bạn làm quen sớm:

• Tổng các góc liền kề bằng 180 độ.
• Các góc đứng có cùng kích thước.

Hai định lý này có thể hữu ích trong việc giải quyết bài toán hình học liên kết với n-giác. Chúng khá đơn giản và trực quan. Thật đáng để nhớ đến họ.

Hình tam giác

Hình tam giác là một hình hình học gồm ba đoạn nối tiếp nhau. Chúng được phân loại theo một số tiêu chí.

Về các mặt (tỷ lệ xuất hiện từ tên):

Tại các góc:

• góc cạnh cấp tính;
• hình hộp chữ nhật;
• u mê.

Hai góc, bất kể tình huống nào, sẽ luôn gay gắt và góc thứ ba được xác định bởi phần đầu tiên của từ. Đó là, tam giác vuông một trong các góc là 90 độ.

Của cải:

• Góc càng lớn thì cạnh đối diện càng lớn.
• Tổng của tất cả các góc là 180 độ.
• Diện tích có thể được tính bằng công thức: S = ½ ⋅ h ⋅ a, trong đó a là cạnh, h là chiều cao vẽ lên nó.
• Bạn luôn có thể ghi một vòng tròn trong một hình tam giác hoặc mô tả nó xung quanh nó.

Một trong những công thức cơ bản của phép đo phẳng là định lý Pythagore. Nó chỉ hoạt động cho một tam giác vuông và phát ra âm thanh như thế này: bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai chân: AB 2 = AC 2 + BC 2.

Cạnh huyền có nghĩa là cạnh đối diện với góc 90° và hai chân có nghĩa là cạnh kề.

Tứ giác

Có một lượng lớn thông tin về chủ đề này. Dưới đây chỉ là những điều quan trọng nhất.

Một số giống:

1. Hình bình hành - cạnh đối diện bằng nhau và song song theo cặp.
2. Hình thoi là hình bình hành có các cạnh bằng cùng chiều dài.
3. Hình chữ nhật - hình bình hành có bốn góc vuông
4. Hình vuông vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật.
5. Hình thang - chỉ có hai cạnh đối diện song song.

Của cải:

• Suma góc bên trong bằng 360 độ.
• Diện tích luôn có thể được tính bằng công thức: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), trong đó p là một nửa chu vi, a, b, c, d là các cạnh của hình.
• Nếu có thể mô tả một đường tròn xung quanh một tứ giác thì tôi gọi nó là lồi, nếu không thì gọi là không lồi.

Khóa học video “Nhận điểm A” bao gồm tất cả các chủ đề cần thiết để thành công vượt qua kỳ thi quốc gia thống nhất môn toán đạt 60-65 điểm. Hoàn toàn mọi vấn đề 1-13 Hồ sơ thi thống nhất bang toán học. Cũng thích hợp để vượt qua Kỳ thi Thống nhất Cơ bản về toán học. Nếu bạn muốn vượt qua Kỳ thi Thống nhất với 90-100 điểm, bạn cần phải giải phần 1 trong 30 phút và không mắc lỗi!

Khóa luyện thi cấp Nhà nước thống nhất dành cho lớp 10-11 cũng như dành cho giáo viên. Mọi thứ bạn cần để giải Phần 1 của Kỳ thi Thống nhất môn toán (12 bài đầu) và Bài 13 (lượng giác). Và đây là hơn 70 điểm trong Kỳ thi Thống nhất, và cả học sinh 100 điểm lẫn sinh viên nhân văn đều không thể làm được nếu không có chúng.

Tất cả lý thuyết cần thiết. Cách nhanh chóng giải pháp, cạm bẫy và bí mật của Kỳ thi Thống nhất. Tất cả các nhiệm vụ hiện tại của phần 1 từ Ngân hàng nhiệm vụ FIPI đã được phân tích. Khóa học hoàn toàn tuân thủ các yêu cầu của Kỳ thi Thống nhất năm 2018.

Khóa học bao gồm 5 chủ đề lớn, mỗi bài 2,5 giờ. Mỗi chủ đề được đưa ra từ đầu, đơn giản và rõ ràng.

Hàng trăm nhiệm vụ thi Thống nhất. Các vấn đề từ ngữ và lý thuyết xác suất. Các thuật toán đơn giản và dễ nhớ để giải quyết vấn đề. Hình học. Lý thuyết, tài liệu tham khảo, phân tích các loại nhiệm vụ Kỳ thi Thống nhất. Lập thể. Các giải pháp phức tạp, bảng ghi nhớ hữu ích, phát triển trí tưởng tượng không gian. Lượng giác từ đầu đến bài 13. Hiểu thay vì nhồi nhét. Giải thích trực quan khái niệm phức tạp. Đại số học. Căn, lũy thừa và logarit, hàm số và đạo hàm. Cơ sở giải quyết nhiệm vụ phức tạp 2 phần của Kỳ thi Thống nhất.

Ghi chú giải thích

Vé được cung cấp là dành cho miệng lý thuyết kỳ thi chuyển tiếp hàng năm bằng phép đo mặt phẳng học sinh lớp 9 Trường cấp hai, cũng như lớp 10 và 11 để chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất. Tài liệu được cung cấp hoàn toàn phù hợp với chương trình toán và chương trình đào tạo chuyên ngành.

Vé bao gồm mười câu hỏi phản ánh các hướng chính của khóa học hình học.

Các câu hỏi được thiết kế để kiểm tra khả năng làm chủ bộ máy khái niệm môn học và xác định mức độ kiến ​​thức về các sự kiện lý thuyết quan trọng. Một số trong số chúng yêu cầu bằng chứng về tài liệu được trình bày, thể hiện kiến ​​thức về các nguyên tắc lý thuyết cơ bản của khóa học và khả năng chứng minh chúng.

Những câu hỏi này được lấy từ sách hướng dẫn:

Hình học. Vấn đề chứng minh. Smirnov V.A., Smirnova I.M.

Hình học. Sách giáo khoa lớp 7-9. Atanasyan, Butuzov, Kadomtsev và những người khác.

Hình học. Sách giáo khoa lớp 7-11 A.V.

TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ TRẢ LỜI CỦA HỌC SINH

Khi đánh giá phản hồi của học sinh, bạn có thể được hướng dẫn bởi các tiêu chí sau.

Để có câu trả lời đầy đủ và chính xác cho tất cả các câu hỏi trên phiếu, điểm “5” sẽ được đưa ra. Để đạt được điểm “3”, chỉ cần trả lời tám câu hỏi trên phiếu là đủ.

Trong tất cả các trường hợp khác, điểm là “4”.

Kiểm tra bằng phép đo mặt phẳng

lựa chọn 1

Dấu hiệu bằng nhau của các tam giác.

Tài sản đường giữa Tam giác.

Xác định chiều cao của một hình tam giác.

Bán kính của các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp trong một tam giác vuông là bao nhiêu?

Tính chất của các hình tương tự.

Góc ở tâm được đo như thế nào?

Tính chất dây của đường tròn.

Tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác vuông.

Tính chất của tam giác vuông có góc nhọn bằng 30 độ.

Xác định đường phân giác vuông góc.

Lựa chọn 2

Dấu hiệu bằng nhau của tam giác vuông.

Xác định đường trung bình của một tam giác.

Định lý Pythagore.

Tổng bình phương các đường chéo trong hình bình hành là bao nhiêu?

Công thức tính diện tích của một tam giác đều.

Diện tích của một hình thang.

Tính chất của góc nội tiếp.

Tính chất của một tứ giác ngoại tiếp.

Độ dài cung.

Sin, cosin, tiếp tuyến của một góc 30 độ.

Tùy chọn 3

Định lý về tổng các góc của một tam giác.

Tính chất các đường trung tuyến của một tam giác.

Xác định đường phân giác của một tam giác.

Định lý cosin.

Công thức phân giác của một tam giác.

Diện tích hình bình hành (3).

Tại sao góc bằng nhau giữa hai đường cắt nhau ở ngoài đường tròn.

Tính chất của một tứ giác nội tiếp.

Đường tròn.

Các tính chất cơ bản của hợp âm.

Tùy chọn 4

Tính chất của tam giác cân.

Tính chất của các đường phân giác.

Công thức tính đường trung tuyến của một tam giác.

Định lý sin.

Các yếu tố trong là gì Tam giác đều(chiều cao, bán kính, diện tích)?

Tính chất của hình thang cân.

Tính chất của tiếp tuyến và cát tuyến cùng xuất phát từ một điểm.

Góc giữa các hợp âm giao nhau là gì?

Sin, cosin, tiếp tuyến của một góc 60 độ.

Tâm của đường tròn nội tiếp trong một hình tam giác nằm ở đâu?

Tùy chọn 5

Bất đẳng thức tam giác.

Định lý về đường cao của một tam giác.

Diện tích của các hình tam giác đồng dạng.

Công thức tính diện tích tam giác (6).

Dấu hiệu của hình bình hành.

Định lý về đường trung bình của hình thang.

Công thức Heron cho tứ giác.

Góc giữa tiếp tuyến và dây cung vẽ từ điểm tiếp tuyến là bao nhiêu?

Khu vực ngành.

Sin, cosin, tiếp tuyến của một góc 45 độ.

Tùy chọn 6

Xác định đường trung bình của tam giác.

Định lý đường phân giác của tam giác.

Dấu hiệu đồng dạng của tam giác.

Định lý cosin.

Công thức Heron.

Tính chất của hình bình hành.

Diện tích của một hình thoi.

Tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp trong một tam giác.

Định nghĩa sin, cos, tang, cotang góc nhọn tam giác vuông

Mức độ trung bình

Các tiên đề cơ bản của phép đo phẳng. Hướng dẫn toàn diện (2019)

1. Những khái niệm cơ bản về phép đo mặt phẳng



Tại sao mọi thứ đều bằng hình ảnh và không có chữ? Có cần lời nói không? Đối với tôi, ban đầu có vẻ như chúng không cần thiết lắm. Trên thực tế, tất nhiên, các nhà toán học biết cách mô tả mọi thứ bằng lời và bạn có thể tìm thấy những mô tả như vậy ở các cấp độ lý thuyết sau đây, nhưng bây giờ chúng ta hãy tiếp tục với hình ảnh.







Còn gì nữa? Ồ vâng, chúng ta cần học cách đo các đoạn và góc.

Mỗi đoạn có độ dài - một số được gán cho đoạn này (vì lý do nào đó...). Chiều dài thường được đo ... bằng thước, tất nhiên, tính bằng cm, milimet, mét và thậm chí cả km.

Và bây giờ là đo góc. Vì lý do nào đó, các góc thường được đo bằng độ. Tại sao? Có cái gì đó cho việc đó lý do lịch sử, nhưng bây giờ chúng ta không đề cập đến lịch sử. Vì vậy, chúng ta sẽ phải coi thỏa thuận sau đây là điều hiển nhiên.



Ở một góc độ phát triển.

Để cho ngắn gọn họ viết: . Tất nhiên, trong trường hợp này, độ lớn của tất cả các góc khác có thể được tìm thấy nếu bạn tìm ra phần nào của góc không gấp góc đã cho. Dụng cụ để đo góc gọi là thước đo góc. Tôi nghĩ bạn đã gặp anh ấy hơn một lần trong đời.

2. Hai sự thật cơ bản về góc

I. Các góc liền kề cộng lại.



Điều này là hoàn toàn tự nhiên phải không? Xét cho cùng, các góc kề nhau tạo thành một góc ngược!

II. Các góc đứng đều bằng nhau.



Tại sao? Và nhìn xem:

Giờ thì sao? Vâng, tất nhiên, nó theo sau đó. (Ví dụ, chỉ cần trừ số thứ hai khỏi đẳng thức thứ nhất là đủ. Nhưng trên thực tế, bạn chỉ cần nhìn vào bức tranh).

Giá trị là gì góc phải?

Tất nhiên, ! Rốt cuộc.

4. Góc nhọn và góc tù.

Về cơ bản đó là tất cả những gì bạn cần biết để bắt đầu. Tại sao chúng ta không nói một lời nào về tiên đề?

Tiên đề là các quy tắc hành động với các đối tượng cơ bản của phép đo mặt phẳng, những phát biểu đầu tiên về điểm và đường thẳng. Những tuyên bố này được lấy làm cơ sở, không được chứng minh.

Tại sao chúng ta không xây dựng và thảo luận về chúng? Bạn thấy đấy, các tiên đề của phép đo phẳng, theo một nghĩa nào đó, chỉ đơn giản mô tả các mối quan hệ rõ ràng bằng trực giác bằng ngôn ngữ toán học khá dài. Sự hiểu biết rõ ràng về tiên đề là cần thiết sau này, khi bạn đã quen với khái niệm hình họcở mức độ thông thường. Sau đó - chào mừng bạn đến - ở đó có một cuộc thảo luận khá chi tiết về các tiên đề. Trong khi chờ đợi, hãy cố gắng hành động giống như người Hy Lạp cổ đại, trước thời Euclid - chỉ cần giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng lẽ thường. Tôi đảm bảo với bạn rằng bạn sẽ có thể thực hiện được nhiều nhiệm vụ!

MỨC TRUNG BÌNH

Hãy tưởng tượng rằng bạn đột nhiên thấy mình đang ở một hành tinh khác, hoặc... trong một trò chơi trên máy tính.

Trước mặt bạn là một bộ sản phẩm chưa rõ tên, và nhiệm vụ của bạn là chuẩn bị càng nhiều món ăn ngon từ bộ sản phẩm này càng tốt. Bạn sẽ cần gì? Tất nhiên, các quy tắc, hướng dẫn - những gì có thể làm được với một số sản phẩm nhất định. Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn đột nhiên nấu một món gì đó chỉ để ăn sống hoặc ngược lại, cho vào món salad thứ mà chắc chắn cần phải luộc hoặc chiên? Vì vậy, không có hướng dẫn - không ở đâu cả!

Được rồi, nhưng tại sao lại giới thiệu như vậy? Hình học có liên quan gì đến nó? Bạn thấy đấy, rất nhiều phát biểu về đủ loại hình trong hình học chính là rất nhiều “món ăn” mà chúng ta phải học nấu. Nhưng từ cái gì? Từ những đối tượng cơ bản của hình học! Nhưng hướng dẫn “sử dụng” chúng được gọi là bằng lời nói thông minh "hệ tiên đề".

Vì vậy, hãy chú ý!

Các đối tượng và tiên đề cơ bản của phép đo phẳng.

Điểm và đường

Đây là những khái niệm quan trọng nhất của phép đo phẳng. Các nhà toán học cho rằng đây là “những khái niệm không thể xác định được”. Làm sao vậy? Nhưng vì vậy, bạn phải bắt đầu từ đâu đó.

Bây giờ là các quy tắc đầu tiên để xử lý điểm và đường. Những quy tắc toán học này được gọi là "tiên đề"- những tuyên bố được lấy làm cơ sở, từ đó mọi thứ cơ bản sẽ được suy ra (bạn có nhớ rằng chúng ta có một sứ mệnh ẩm thực lớn là “nấu” hình học không?). Vì vậy, chuỗi tiên đề đầu tiên được gọi là

I. Tiên đề thuộc về.

Xin lưu ý, tiên đề này cho phép bạn vẽ như thế này:



Như thế này: có hai điểm:



Và sau đó một đường thẳng đã được tìm thấy:

Nhưng cái kia thì không!



Nếu tất cả những điều này có vẻ quá rõ ràng đối với bạn, thì hãy nhớ rằng bạn đang ở một hành tinh khác và cho đến bây giờ bạn hoàn toàn không biết phải làm gì với các đồ vật. "chấm" Và "thẳng".

Tia, đoạn, góc.

Bây giờ chúng ta đã học cách đặt các điểm trên các đường và vẽ các đường qua các điểm, vì vậy chúng ta đã có thể chuẩn bị những “món ăn” đơn giản đầu tiên -, đoạn đường,góc.

1) CHÙM

Anh ta đây rồi,





2) CẮT



Bây giờ chúng ta hãy sắp xếp mọi thứ theo thứ tự. Chuỗi tiên đề tiếp theo được gọi là:

II. Tiên đề của trật tự.



Bây giờ - cấp độ tiếp theo. Chúng tôi cần hướng dẫn về đo đạc các đoạn và các góc. Những tiên đề này được gọi là

III. Tiên đề đo các đoạn và các góc.

Và bây giờ nó hoàn toàn kỳ lạ.

IV. Các tiên đề về sự tồn tại của một tam giác bằng một tam giác đã cho.

Hai hệ quả tất yếu của tiên đề này rõ ràng hơn:





Ờ cái cuối cùng là huyền thoại tiên đề song song!

Nhưng trước tiên sự định nghĩa:

V. Tiên đề song song.

Thôi xong rồi tiên đề của phép đo phẳng! Có quá nhiều trong số họ? Nhưng hãy tưởng tượng, tất cả chúng đều cần thiết. Đối với mỗi người trong số họ đều có một lý luận xảo quyệt, xảo quyệt, điều này cho thấy rằng nếu loại bỏ tiên đề này, thì toàn bộ tòa lâu đài hình học sẽ sụp đổ! Chà, hoặc sẽ có điều gì đó hoàn toàn khác với những gì chúng ta đã quen.

Bây giờ, có hai sự thật cơ bản về góc!

Các góc liền kề và thẳng đứng.

Các tia tạo thành một góc gọi là các cạnh của góc đó và sự khởi đầu chung- đứng đầu

Điều này hoàn toàn định lý đơn giản, Sự thật?

Rốt cuộc mặt chung các góc kề nhau chỉ đơn giản là chia một góc thẳng thành hai góc và do đó (CHÚ Ý: Tiên đề 3.2 hoạt động!) tức là tổng các góc liền kề bằng kích thước của góc chưa mở.

Vẽ dễ hơn mô tả - xem hình.



Đây cũng là một định lý dễ dàng. Bảo đảm:

Góc nhọn và góc tù.

MÔ TẢ TÓM TẮT VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢN

Tiên đề về sự thuộc về:

• Tiên đề 1. Dù là đường nào thì cũng có những điểm thuộc đường này và có những điểm không thuộc đường đó.
• Tiên đề 2. Qua hai điểm bất kỳ bạn có thể vẽ một đường thẳng và chỉ có một.

Tiên đề về trật tự:

• Tiên đề 3. Trong ba điểm thẳng hàng, có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
• Tiên đề 4. Một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng chia mặt phẳng này thành hai nửa mặt phẳng. Nếu các đầu của một đoạn thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì đoạn đó không cắt đường thẳng. Nếu hai đầu của một đoạn thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau thì đoạn đó cắt một đường thẳng.

Tiên đề đo các đoạn và các góc:

• Tiên đề 5. Mỗi đoạn có độ dài nhất định, lớn hơn 0. Độ dài của một đoạn bằng tổng độ dài của các phần mà nó được chia cho bất kỳ điểm nào của nó.
• Tiên đề 6. Mỗi góc có số đo nhất định lớn hơn 0. Góc thẳng bằng nhau. Số đo của một góc bằng tổng thước đo mức độ góc mà nó được chia cho bất kỳ tia nào đi qua giữa các cạnh của nó.

Các tiên đề về sự tồn tại của một tam giác bằng một tam giác đã cho:

Tiên đề song song:

• Tiên đề 8. Trên một mặt phẳng, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có thể vẽ nhiều nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Những kiến ​​thức cơ bản về góc:

• Định lý.

Tổng các góc kề nhau bằng nhau.

Vâng, chủ đề đã kết thúc. Nếu bạn đang đọc những dòng này nghĩa là bạn rất tuyệt vời.

Bởi vì chỉ có 5% số người có thể tự mình thành thạo một thứ gì đó. Và nếu bạn đọc đến cuối thì bạn nằm trong 5% này!

Bây giờ là điều quan trọng nhất.

Bạn đã hiểu lý thuyết về chủ đề này. Và tôi nhắc lại, điều này... điều này thật tuyệt vời! Bạn đã giỏi hơn đại đa số bạn bè cùng trang lứa rồi.

Vấn đề là điều này có thể không đủ...

Để làm gì? Vì hoàn thành thành công

Kỳ thi Thống nhất Tiểu bang, để được nhận vào đại học với ngân sách tiết kiệm và QUAN TRỌNG NHẤT là suốt đời.

Tôi sẽ không thuyết phục bạn bất cứ điều gì, tôi chỉ nói một điều... Những người đã nhận được một nền giáo dục tốt

, kiếm được nhiều tiền hơn những người không nhận được nó. Đây là số liệu thống kê.

Nhưng đây không phải là điều chính.

Điều chính là họ HẠNH PHÚC HƠN (có những nghiên cứu như vậy). Có lẽ vì có nhiều cơ hội hơn mở ra trước mắt họ và cuộc sống trở nên tươi sáng hơn chăng? Không biết...

Nhưng hãy tự mình suy nghĩ...

Cần phải làm gì để chắc chắn mình giỏi hơn những người khác trong Kỳ thi Thống nhất và cuối cùng là... hạnh phúc hơn?

Bạn sẽ không được yêu cầu lý thuyết trong kỳ thi.

Bạn sẽ cần giải quyết vấn đề theo thời gian.

Và, nếu bạn chưa giải quyết được chúng (RẤT NHIỀU!), chắc chắn bạn sẽ mắc sai lầm ngu ngốc ở đâu đó hoặc đơn giản là không có thời gian.

Giống như trong thể thao - bạn cần lặp lại nhiều lần để chắc chắn giành chiến thắng.

Tìm bộ sưu tập bất cứ nơi nào bạn muốn, nhất thiết phải có giải pháp, phân tích chi tiết và quyết định, quyết định, quyết định!

Bạn có thể sử dụng các nhiệm vụ của chúng tôi (tùy chọn) và tất nhiên chúng tôi sẽ đề xuất chúng.

Để sử dụng tốt hơn các nhiệm vụ của chúng tôi, bạn cần giúp kéo dài tuổi thọ của cuốn sách giáo khoa YouClever mà bạn hiện đang đọc.

Làm sao? Có hai lựa chọn:

1. Mở khóa tất cả các nhiệm vụ ẩn trong bài viết này - 299 chà.
2. Mở khóa quyền truy cập vào tất cả các nhiệm vụ ẩn trong tất cả 99 bài viết của sách giáo khoa - 999 chà.

Có, chúng tôi có 99 bài viết như vậy trong sách giáo khoa của mình và có thể mở ngay lập tức quyền truy cập vào tất cả các nhiệm vụ cũng như tất cả các văn bản ẩn trong đó.

Trong trường hợp thứ hai chúng tôi sẽ cung cấp cho bạn mô phỏng “6000 bài toán có lời giải và đáp án, cho từng chủ đề, ở mọi mức độ phức tạp.” Chắc chắn sẽ đủ để bạn có thể giải quyết các vấn đề về bất kỳ chủ đề nào.

Trên thực tế, nó không chỉ là một trình mô phỏng - toàn bộ chương trình sự chuẩn bị. Nếu cần, bạn cũng có thể sử dụng nó MIỄN PHÍ.

Quyền truy cập vào tất cả các văn bản và chương trình được cung cấp trong TOÀN BỘ thời gian tồn tại của trang web.

Tóm lại là...

Nếu bạn không thích nhiệm vụ của chúng tôi, hãy tìm người khác. Đừng dừng lại ở lý thuyết.

“Đã hiểu” và “Tôi có thể giải quyết” là những kỹ năng hoàn toàn khác nhau. Bạn cần cả hai.

Tìm vấn đề và giải quyết chúng!

Trang này chứa các định lý đo phẳng mà gia sư toán có thể sử dụng để chuẩn bị cho một học sinh có năng lực tham gia một kỳ thi nghiêm túc: Olympic hoặc kỳ thi tại Đại học Tổng hợp Moscow (để chuẩn bị cho Cơ học và Toán học của Đại học Quốc gia Moscow, VMC), cho kỳ thi Olympic tại Trường Cao Đẳng Kinh tế, cho Thế vận hội Học viện tài chính và tại MIPT. Kiến thức về những sự thật này mở ra trước mặt gia sư cơ hội tuyệt vời về việc xây dựng nhiệm vụ thi đua. Chỉ cần “diễn ra” một số định lý đã đề cập về các con số hoặc bổ sung các phần tử của nó bằng các mối quan hệ đơn giản với các số khác là đủ. đối tượng toán học, và bạn sẽ gặp được một bài toán Olympic khá hay. Nhiều thuộc tính hiện diện mạnh mẽ sách giáo khoa trường học như nhiệm vụ chứng minh và không được đưa vào các tiêu đề và phần của đoạn văn một cách cụ thể. Tôi đã cố gắng khắc phục khuyết điểm này.

Toán học là một môn học rộng lớn và số lượng sự kiện có thể được coi là định lý là vô tận. Một gia sư toán không thể biết và nhớ mọi thứ về mặt vật lý. Vì vậy, một số mối quan hệ rắc rối giữa đối tượng hình học mỗi lần chúng được tiết lộ lại cho giáo viên. Việc thu thập tất cả chúng trên một trang cùng một lúc là điều không thể. Vì vậy, tôi sẽ điền dần dần trang khi sử dụng các định lý trong bài học của mình.

Tôi khuyên những người dạy kèm toán mới bắt đầu nên cẩn thận khi sử dụng các kiến ​​thức bổ sung những tài liệu tham khảo, vì học sinh không biết hầu hết những sự thật này.

Gia sư toán về tính chất của các hình hình học

1) Đường phân giác của một cạnh của tam giác cắt đường phân giác của góc đối diện với nó trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho. Điều này suy ra từ sự bằng nhau của các cung mà đường trung trực chia cung dưới và từ định lý về góc nội tiếp trong một đường tròn.

2)Nếu một đường phân giác b, đường trung tuyến m và đường cao h được vẽ từ một đỉnh trong một tam giác thì đường phân giác sẽ nằm giữa hai đoạn còn lại và độ dài của tất cả các đoạn thẳng tuân theo bất đẳng thức kép.

3) TRONG tam giác tùy ý khoảng cách từ bất kỳ đỉnh nào của nó đến trực tâm của nó (điểm giao nhau của các độ cao) là 2 lần khoảng cách hơn từ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác này đến cạnh đối diện với đỉnh này. Để chứng minh điều này, bạn có thể vẽ các đường thẳng đi qua các đỉnh của tam giác song song với các đường cao của nó. Sau đó sử dụng sự giống nhau của tam giác ban đầu và kết quả.

4) Giao điểm của các đường trung tuyến M của một tam giác bất kỳ (trọng tâm của nó) cùng với trực tâm của tam giác H và tâm của đường tròn ngoại tiếp (điểm O) nằm trên cùng một đường thẳng, và . Điều này tiếp nối tính chất trước đó và tính chất giao điểm của các đường trung tuyến.

5) Phần kéo dài dây chung của hai đường tròn cắt nhau chia tiếp tuyến chung của chúng thành hai phần bằng nhau. Thuộc tính này đúng bất kể bản chất của giao điểm này (nghĩa là vị trí của tâm của các vòng tròn). Để chứng minh điều này, bạn có thể sử dụng tính chất bình phương của đoạn tiếp tuyến.

6) Nếu một tam giác chứa một đường phân giác của một góc thì hình vuông của nó bằng hiệu giữa tích các cạnh của góc và các đoạn mà đường phân giác đó chia cạnh đối diện.

Tức là đẳng thức sau đây đúng

7) Bạn có quen với tình huống vẽ chiều cao từ đỉnh của một góc vuông đến cạnh huyền không? Chắc chắn. Bạn có biết rằng tất cả các hình tam giác thu được đều giống nhau không? Chắc chắn bạn biết. Khi đó, bạn có thể không biết rằng bất kỳ phần tử tương ứng nào của các tam giác này tạo thành một đẳng thức lặp lại định lý Pythagore, ví dụ, ở đâu và là bán kính của các đường tròn nội tiếp trong các tam giác nhỏ, và là bán kính của một đường tròn nội tiếp trong một hình tam giác lớn.

8)Nếu bạn gặp một bộ bốn ngẫu nhiên có tất cả các bên đã biết a, b, c và d thì diện tích của nó có thể được tính dễ dàng bằng cách sử dụng công thức gợi nhớ đến công thức Heron:
, trong đó x là tổng của hai số bất kỳ góc đối diện tứ giác. Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì công thức có dạng:
và được gọi là công thức Brahmagupta

9)Nếu tứ giác của bạn ngoại tiếp một hình tròn (nghĩa là hình tròn nội tiếp trong đó), thì diện tích của hình tứ giác được tính theo công thức