Mục tiêu bài học:
- Nêu khái niệm mặt phẳng song song.
- Xem xét và chứng minh các định lý biểu thị dấu song song của các mặt phẳng và tính chất của các mặt phẳng song song.
- Nêu ứng dụng của các định lý này trong việc giải các bài toán.
Giáo án (viết lên bảng):
I. Bài tập chuẩn bị bằng miệng.
II. Học tài liệu mới:
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian.
2. Xác định mặt phẳng song song.
3. Dấu hiệu các mặt phẳng song song.
4. Tính chất của các mặt phẳng song song.
III. Tóm tắt bài học.
IV. Bài tập về nhà.
TIẾN ĐỘ BÀI HỌC
I. Công việc truyền miệng
Tôi xin bắt đầu bài học bằng một trích dẫn trong bức thư triết học của Chaadaev:
“Sức mạnh phân tích kỳ diệu này trong toán học đến từ đâu? Vấn đề là tâm trí ở đây hành động hoàn toàn tuân theo quy tắc này.”
Chúng ta sẽ xem xét sự tuân theo quy tắc này trong nhiệm vụ tiếp theo. Để học tài liệu mới, bạn cần lặp lại một số câu hỏi. Để làm điều này, bạn cần thiết lập một tuyên bố tiếp theo từ những tuyên bố này và biện minh cho câu trả lời của bạn:
II. Học tài liệu mới
1. Làm thế nào hai mặt phẳng có thể được định vị trong không gian? Tập hợp các điểm thuộc cả hai mặt phẳng là gì?
Trả lời:
a) trùng nhau (khi đó chúng ta sẽ xử lý một mặt phẳng, điều đó không thỏa đáng);
b) giao nhau, ;
c) không cắt nhau ( điểm chung không có gì).
2. Sự định nghĩa: Hai mặt phẳng không cắt nhau thì gọi là song song
3. Chỉ định:
4. Cho ví dụ về các mặt phẳng song song từ môi trường
5. Làm thế nào để biết hai mặt phẳng trong không gian có song song với nhau không?
Trả lời:
Bạn có thể sử dụng định nghĩa, nhưng điều này không phù hợp, bởi vì Không phải lúc nào cũng có thể thiết lập giao điểm của các mặt phẳng. Vì vậy cần xét điều kiện đủ để khẳng định các mặt phẳng song song.
6. Hãy xem xét các tình huống:
b) nếu 
?
c) nếu 
?
Tại sao câu trả lời ở a) và b) là “không phải luôn luôn”, nhưng lại ở c) là “có”? (Các đường giao nhau xác định một mặt phẳng theo một cách duy nhất, có nghĩa là chúng được xác định duy nhất!)
Trường hợp 3 là dấu hiệu song song của hai mặt phẳng.
7. Định lý: Nếu hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng kia thì các mặt phẳng đó song song.
Được cho:
Chứng minh:
Bằng chứng:
(Học sinh áp dụng các ký hiệu cho bản vẽ.)
1. Lưu ý: . Tương tự:
2. Đặt: .
3. Ta có: Tương tự:
4. Ta nhận được: qua M mâu thuẫn với tiên đề phẳng.
5. Vậy: không đúng, có nghĩa là , v.v.
8. Giải câu 51 (Học sinh áp dụng ký hiệu vào hình vẽ).
Được cho:
Chứng minh:
Bằng chứng:
1 chiều
1. Hãy xây dựng 
Phương pháp 2
Nhập qua qua .
9. Xét hai tính chất của mặt phẳng song song:
Định lý: Nếu hai mặt phẳng song song cắt nhau bởi một mặt phẳng thứ ba thì các đường giao nhau của chúng song song.
(Học sinh tự xây dựng và đánh dấu trên hình vẽ).
Được cho:
Mối quan hệ song song của các mặt phẳng, tính chất và ứng dụng của nó được xem xét.
Hình ảnh trực quan về vị trí của hai
các mặt phẳng cung cấp mô hình bằng cách sử dụng các mặt phẳng của bề mặt của các bức tường liền kề, trần và sàn của phòng, giường tầng, hai tờ giấy được buộc chặt
pháp sư, v.v. (Hình 242–244).
Mặc dù có tập vô hạn các tùy chọn sắp xếp tương đối của các mặt phẳng khác nhau, để thiết lập và mô tả các phép đo góc và khoảng cách nào sẽ được sử dụng trong tương lai, trước tiên chúng ta sẽ tập trung vào những mặt mà việc phân loại (cũng như các đường thẳng với mặt phẳng) dựa trên số lượng điểm chung của chúng.
1. Hai mặt phẳng có ít nhất ba điểm chung những điểm không nằm trên cùng một đường thẳng. Những mặt phẳng như vậy trùng nhau (tiên đề C 2, §7).
2. Điểm chung của hai mặt phẳng cùng nằm trên một đường thẳng là giao điểm của hai mặt phẳng đó (tiên đề C 3, §7). Những mặt phẳng như vậy giao nhau.
3. Hai mặt phẳng không có điểm chung.
TRONG trong trường hợp này chúng được gọi là song song-
Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.
Sự song song của các mặt phẳng được biểu thị bằng dấu ||: α || β.
Như mọi khi, khi giới thiệu khái niệm hình học nảy sinh
Không có vấn đề gì với sự tồn tại của họ. Sự tồn tại của giao điểm-
Hạ máy bay là tính năng đặc trưng không gian,
và chúng tôi đã sử dụng điều này nhiều lần. Ít rõ ràng hơn là
Sự tồn tại của các mặt phẳng song song được tiết lộ. không có
nghi ngờ rằng, ví dụ, các mặt phẳng của đồ thị đối diện
Các hình khối song song, nghĩa là chúng không giao nhau. Nhưng trực tiếp
Thật vậy, theo định nghĩa, điều này không thể được thiết lập. Để giải quyết
hiểu rõ câu hỏi đặt ra cũng như các vấn đề khác liên quan đến
sự song song của các mặt phẳng thì cần phải có dấu của sự song song.
Để tìm kiếm một dấu hiệu, nên xem xét một mặt phẳng,
“dệt” từ những đường thẳng. Rõ ràng mỗi đường thẳng là một trong
các mặt phẳng song song phải song song với mặt phẳng kia.
TRONG nếu không thì các mặt phẳng sẽ có một điểm chung. Đủ
Mặt phẳng β có song song với đường thẳng α không
sao cho hai mặt phẳng α và β song song với nhau? Tuyệt đối
nhưng, không (biện minh cho điều này!). Kinh nghiệm thực tế cho thấy
hai đường giao nhau như vậy là đủ. Để bảo đảm
trên cột buồm có một bệ song song với mặt đất, chỉ cần đặt nó
trên hai dầm gắn vào cột, song song |
||
trần thế (Hình 245). Còn nhiều nữa |
||
ví dụ về việc sử dụng kỹ thuật cung cấp này |
||
sự song song của các mặt phẳng thực |
||
đồ vật (hãy thử cái này!). |
||
Những cân nhắc ở trên cho phép chúng ta xây dựng |
||
giải thích câu sau đây. |
||
(dấu hiệu của các mặt phẳng song song). |
||
các đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng |
||
Nếu các mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ hai thì các mặt phẳng này song song.
Giả sử các đường thẳng a và b cắt nhau của mặt phẳng α song song với mặt phẳng β. Hãy chứng minh rằng hai mặt phẳng α và β song song bằng sự mâu thuẫn. Để làm điều này, chúng ta giả sử rằng các mặt phẳng α và β cắt nhau dọc theo một đường thẳng
t (Hình 246). Hai đường thẳng a và b không thể cắt nhau theo điều kiện. Tuy nhiên, khi đó trong mặt phẳng α hai đường thẳng được vẽ đi qua một điểm không cắt đường thẳng đó, tức là song song với nó. Đây là một sự mâu thuẫn
và hoàn thành việc chứng minh định lý.
Dấu hiệu song song của các mặt phẳng được sử dụng khi đặt các kết cấu phẳng theo chiều ngang (tấm bê tông, sàn, đĩa của thiết bị đo góc, v.v.) bằng cách sử dụng hai cao độ đặt trong mặt phẳng của kết cấu trên các đường thẳng giao nhau. Dựa vào đặc điểm này có thể dựng được một mặt phẳng song song với mặt phẳng này.
Bài 1. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước vẽ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Cho mặt phẳng β và điểm M nằm ngoài mặt phẳng (Hình 247, a). Qua điểm M vẽ hai đường thẳng a và b cắt nhau song song với mặt phẳng β. Để làm điều này, bạn cần lấy hai đường thẳng cắt nhau c và d trong mặt phẳng β (Hình 247, b). Sau đó qua điểm M vẽ các đường thẳng a và b lần lượt song song với các đường thẳng c và d.
nhưng (Hình 247, c).
Giao nhau của đường thẳng a và b song song với mặt phẳng β, dựa trên sự song song của đường thẳng và mặt phẳng (Định lý 1 §11). Chúng xác định duy nhất mặt phẳng α. Theo tiêu chí đã được chứng minh, α || β.
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, các điểm M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , B 1 C 1 , A 1 D 1 . Cài đặt vị trí tương đối mặt phẳng: 1)ABV 1 và PNM; 2) NMA và A 1 C 1 C ; 3) Một 1 NM
và PC 1 C; 4) MAD 1 và DB 1 C.
1) Các mặt phẳng ABB 1 và РNM (Hình 248) song song, dựa trên tính song song của các mặt phẳng (Định lý 1). Thật vậy, các đường thẳng РN và NM cắt nhau và song song với mặt phẳng ABB 1, dựa trên sự song song của đường thẳng và mặt phẳng (Định lý 1 §11), vì các đoạn РN và NM nối trung điểm các mặt đối diện hình vuông nên chúng song song với các cạnh của hình vuông:
РN ||A 1 B 1 ,NM ||В 1 B.
2) Mặt phẳng NMA và A 1 C 1 C cắt nhau dọc theo đường thẳng AA 1 (Hình 249). Thật vậy, các đường thẳng AA 1 và CC 1 song song nhau, dựa trên sự song song của các đường thẳng (AA 1 ||ВB 1,ВB 1 ||СC 1). Do đó, đường thẳng AA 1 nằm trong mặt phẳng A 1 C 1 C. Việc đường thẳng AA 1 thuộc mặt phẳng NMA cũng được chứng minh tương tự.
3) Các mặt phẳng A 1 NM và РС 1 C (Hình 250) song song với nhau, dựa trên tính song song của các mặt phẳng. Thật vậy, NM ||С 1 C . Do đó, đường thẳng NM song song với mặt phẳng PC 1 C. Các đoạn PC 1 và A 1 N cũng song song vì tứ giác PC 1 NA 1 là hình bình hành (A 1 P ||NC 1, A 1 P = NC 1). Do đó, đường thẳng A 1 N song song với mặt phẳng PC 1 C. Đường thẳng A 1 N và NM cắt nhau.
4) Các mặt phẳng MAD 1 và DB 1 C giao nhau (Hình 251). Mặc dù đường giao nhau của chúng không dễ xây dựng nhưng cũng không khó để chỉ ra một điểm của đường này. Thật vậy, các đường thẳng A 1 D và B 1 C song song vì tứ giác A 1 B 1 CD là hình bình hành (A 1 B 1 = AB = CD , A 1 B 1 || AB , AB || CD ). Do đó, đường thẳng A 1 D thuộc mặt phẳng DB 1 C. Đường thẳng A 1 D và AD 1 cắt nhau tại một điểm chung của các mặt phẳng MAD 1 và DB 1 C.
Dấu hiệu đã cho của sự song song của các mặt phẳng |
||
đôi khi sẽ thuận tiện hơn nếu sử dụng theo cách khác một chút |
||
1′ (dấu của các mặt phẳng song song). |
||
Nếu hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng kia thì các mặt phẳng đó song song.
Sử dụng tiêu chí về sự song song của một đường thẳng và một mặt phẳng (Định lý 1 §11), dễ dàng chứng minh rằng điều kiện của Định lý 1 tuân theo các điều kiện của Định lý 1. Việc áp dụng định lý nghịch đảo vào tiêu chí về sự song song của một đường thẳng và một mặt phẳng (Định lý 2 §11) hoàn thành việc chứng minh sự tương đương của các điều kiện của Định lý 1 và 1 ′.
Đương nhiên, câu hỏi đặt ra là tính duy nhất của cách xây dựng được đưa ra trong Bài toán 1. Vì chúng ta sẽ phải sử dụng tính chất này nhiều lần nên chúng ta sẽ đánh dấu nó như một định lý riêng biệt. Tuy nhiên, trước tiên chúng ta hãy xem xét một tuyên bố khác.
Định lý 2 (về giao điểm của hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ ba).
Nếu hai mặt phẳng song song cắt một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng song song.
Cho các mặt phẳng song song α, β và mặt phẳng γ cắt nhau (Hình 252). Hãy biểu thị các đường giao nhau
qua a và b. Những đường thẳng này nằm trong mặt phẳng γ và không cắt nhau vì mặt phẳng α và β không có điểm chung. Vì vậy, trực tiếp
a và b song song.
Định lý 3 (về sự tồn tại và duy nhất của một mặt phẳng song song với mặt phẳng này).
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước, người ta vẽ được một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Việc dựng một mặt phẳng như vậy được thực hiện ở bài toán 1. Ta sẽ chứng minh tính duy nhất của cách dựng mặt phẳng đó bằng phản chứng. Giả sử hai mặt phẳng α và γ khác nhau được vẽ qua điểm M, pa-
các mặt phẳng song song β (Hình 253), và đường thẳng t là giao điểm của chúng. Vẽ mặt phẳng δ đi qua điểm M cắt đường thẳng
m và mặt phẳng β (làm thế nào điều này có thể được thực hiện?). Hãy ký hiệu là a và b
đường giao nhau của mặt phẳng δ với các mặt phẳng α và γ, và qua c - đường giao nhau của các mặt phẳng δ và β (Hình 253). Theo Định lý 2,a ||c
và b ||s. Nghĩa là, trong mặt phẳng δ qua
Hai đường thẳng song song với đường thẳng đi qua điểm M. Một mâu thuẫn chỉ ra rằng giả định là không chính xác.
Mối quan hệ song song của các mặt phẳng có một số tính chất tương tự trong phép đo mặt phẳng.
Định lý 4 (về các đoạn thẳng song song giữa các mặt phẳng song song).
Các đoạn thẳng song song bị cắt bởi các mặt phẳng song song thì bằng nhau.
Cho hai mặt phẳng song song α và β và có các đoạn thẳng AB
và CD gồm các đường thẳng song song a và d, bị cắt bởi các mặt phẳng này (Hình 254, a). Chúng ta hãy vẽ mặt phẳng γ đi qua các đường thẳng a và d (Hình 254, b). Nó cắt các mặt phẳng α và β dọc theo các đường thẳng AC và BD, theo Định lý 2, chúng song song. Do đó tứ giác ABCD là hình bình hành có các cạnh đối diện AC và BD bằng nhau.
Từ tính chất trên, nếu chúng ta vẽ đồ thị từ tất cả các điểm của mặt phẳng
ở một bên của máy bay đường song song cùng chiều dài thì hai đầu của các đoạn này tạo thành hai mặt phẳng song song. Chính trên đặc tính này mà việc xây dựng một đường ống song song bằng cách sử dụng sự sắp xếp của các đoạn được dựa trên (Hình 255).
Định lý 5 (về tính bắc cầu của hệ thức song song của các mặt phẳng).
Nếu hai mặt phẳng này song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.
Cho các mặt phẳng α và β song song với mặt phẳng γ. Hãy giả sử rằng
α và β không song song. Khi đó hai mặt phẳng α và β có một điểm chung và qua điểm này có hai mặt phẳng khác nhau song song với mặt phẳng γ, điều này mâu thuẫn với Định lý 3. Do đó, hai mặt phẳng α và β không có điểm chung, tức là chúng song song .
Định lý 5 là một dấu hiệu khác của tính song song của các mặt phẳng. Nó được sử dụng rộng rãi trong cả hình học và hoạt động thực tế. Ví dụ, trong một tòa nhà nhiều tầng, độ song song của mặt phẳng sàn và trần trên mỗi tầng đảm bảo tính song song của chúng trên các tầng khác nhau.
Bài 2. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng cắt mặt phẳng α thì nó cũng cắt mọi mặt phẳng song song với mặt phẳng α.
Cho hai mặt phẳng α và β song song và đường thẳng a cắt mặt phẳng α tại điểm A. Hãy chứng minh rằng nó cũng cắt mặt phẳng
β. Hãy giả sử rằng đây không phải là trường hợp. Khi đó đường thẳng a song song với mặt phẳng β. Vẽ mặt phẳng γ qua đường thẳng và điểm tùy ý mặt phẳng β (Hình 256).
Mặt phẳng này cắt các mặt phẳng song song α và β dọc theo đường thẳng b. đồng-
theo Định lý 2, b || c, tức là trong mặt phẳng γ có hai đường thẳng a và b đi qua điểm A, song song với đường thẳng c . Sự mâu thuẫn này chứng minh khẳng định.
Hãy thử tự chứng minh rằng nếu mặt phẳng α cắt mặt phẳng β thì nó cũng cắt mọi mặt phẳng song song với mặt phẳng β.
Ví dụ 2. Trong tứ diện ABCD, các điểm K, F, E lần lượt là trung điểm của các cạnh DA, DC, DB, aM và P - là tâm khối của các mặt ABD và ВСD.
1) Xác lập vị trí tương đối của các mặt phẳng KEF và ABC;
DEF và ABC.
2) Vẽ giao tuyến của các mặt phẳng AFB và KEC.
3) Tìm diện tích mặt cắt ngang của tứ diện bằng một mặt phẳng song song với mặt phẳng ABD và đi qua điểm P nếu tất cả các cạnh của tứ diện đều bằng nhau.
Hãy vẽ hình thỏa mãn điều kiện (Hình 257, a). 1) Hai mặt phẳng KEF và ABC song song, dựa trên tính song song của các mặt phẳng (Định lý 1'): các đường thẳng cắt nhau KE và KF của mặt phẳng KEF song song với các đường thẳng cắt AB và AC của mặt phẳng ABC (các đường trung tuyến của tương ứng
các hình tam giác hiện có).
Các mặt phẳng DEF và ABC cắt nhau dọc theo đường thẳng BC vì đường thẳng BC thuộc cả hai mặt phẳng và chúng không thể trùng nhau - các điểm A, B, C, D không nằm trong cùng một mặt phẳng.
2) Mặt phẳng AFB cắt mặt phẳng KEC dọc theo đường thẳng chứa điểm P, vì các đường thẳng CE và BF nằm trong các mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng BCD và cắt nhau tại điểm P. Một điểm nữa là giao điểm Q của các đường thẳng AF và CK trong mặt phẳng ACD (Hình 257, b). Rõ ràng điểm này là tâm khối của mặt ACD. Giao điểm cần thiết là đường PQ.
3) Dựng mặt cắt xác định trong điều kiện, sử dụng dấu song song của các mặt phẳng. Chúng ta hãy vẽ các đường thẳng đi qua các điểm P và Q song song với các đường thẳng DB và DA tương ứng (Hình 257, c). Những đường thẳng này cắt đoạn CD tại điểm L. Cái sau xuất phát từ tính chất khối tâm của một tam giác - nó chia các đường trung tuyến của tam giác theo tỷ lệ 2: 1, tính từ đỉnh. Việc còn lại là áp dụng định lý Thales. Như vậy, các mặt phẳng PLQ và BDA song song. Tiết diện cần tìm là tam giác LSN.
Theo cách xây dựng, các tam giác BCD và SCL đồng dạng với hệ số tương tự CE CP =3 2. Do đó LS =3 2 BD . Tương tự như đã thành lập
các đẳng thức sau được thêm vào: LN =3 2 AD,NS =3 2 AB. Suy ra rằng các tam giác LSN và ABD đồng dạng với hệ số đồng dạng là 3 2. Theo tính chất diện tích của các tam giác đồng dạng,
S LNS =4 9 S ABD . Vẫn còn phải tìm diện tích tam giác ABD. Qua-
vì, theo điều kiện, tất cả các cạnh của tứ diện đều bằng a, nên S ABD =4 3 a 2.
Diện tích cần tìm là 3 1 3 a 2 .
Cần lưu ý rằng câu trả lời chỉ phụ thuộc vào diện tích khuôn mặt ABD. Vì vậy, sự bằng nhau của tất cả các cạnh chỉ là phương tiện để tìm diện tích này. Như vậy, nhiệm vụ này có thể được khái quát hóa đáng kể.
Trả lời. 1)KEF ||ABC ; 3)3 1 3 a 2 .
Câu hỏi kiểm tra
1. Hai mặt phẳng có song song không nếu mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia?
2. Các mặt phẳng α và β song song. Có đường xiên nào nằm trong những mặt phẳng này không?
3. Hai cạnh của một tam giác song song với một mặt phẳng nhất định. Cạnh thứ ba của tam giác có song song với mặt phẳng này không?
4. Hai cạnh của hình bình hành song song với một mặt phẳng nhất định. Có đúng là mặt phẳng của hình bình hành song song với mặt phẳng đã cho không?
5. Các đoạn thẳng bị cắt bởi hai mặt phẳng song song có thể bằng nhau không?
6. Tiết diện của hình lập phương có thể là hình thang cân? Tiết diện của hình lập phương có thể là ngũ giác đều? Có phải hai mặt phẳng song song với cùng một đường thẳng thì song song với nhau?
Giao tuyến của các mặt phẳng α và β với mặt phẳng γ là song song với nhau. Hai mặt phẳng α và β có song song không?
Ba mặt của hình lập phương có thể song song với cùng một mặt phẳng không?
Bài tập đồ họa
1. Hình 258 thể hiện khối lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, các điểm M, N, K, L, P là trung điểm của các cạnh tương ứng. Điền vào bảng theo ví dụ đã cho bằng cách chọn vị trí cần thiết mặt phẳng α và β.
Qua lại
vị trí
α || β α = β
α × β α || β α = β
A1 B1 C1 | D 1 KP |
||
và ADC | và BB1 D | và MNP | và BMN |
B 1 KP | A1 DC1 | A1 C1 C |
|
và PLN | và DMN | và AB1C | và MKP |
2. Trong hình. Hình 259 cho tứ diện ABCD, các điểm K, F, M, N, Q là trung điểm các cạnh tương ứng. Hãy cho biết:
1) mặt phẳng đi qua điểm K song song với mặt phẳng ABC;
2) mặt phẳng đi qua đường thẳng BD song song với mặt phẳng MNQ.
3. Xác định phần của một hình bằng mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước như trong hình.
kah 260, a)–e) và 261, a)–d).
4. Xây dựng bản vẽ dựa trên dữ liệu đã cho.
1) Từ các đỉnh của hình bình hành ABCD nằm trên một trong hai mặt phẳng song song vẽ các đường thẳng song song cắt mặt phẳng thứ hai lần lượt tại các điểm A 1 , B 1 , C 1 , D 1 .
2) Tam giác A 1 B 1 C 1 là hình chiếu của tam giác ABC lên mặt phẳng α song song với nó. Điểm M là tâm của mặt trời, M 1 là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng α.
207. Cho hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 điểm O, O 1 lần lượt là tâm của các mặt ABCD và A 1 B 1 C 1 D 1, M là trung điểm của cạnh AB.
1°) Xác định vị trí tương đối của các mặt phẳng MO 1 O
và THÊM 1, ABD 1 và CO 1 C 1.
2°) Xây dựng giao điểm của mặt phẳng DCC 1 và đường thẳng MO 1 và giao điểm của các mặt phẳng MCC 1 và A 1 D 1 C 1.
3) Tìm diện tích mặt cắt ngang của hình lập phương bằng một mặt phẳng song song với mặt phẳng AD 1 C 1 và đi qua điểm O 1 nếu cạnh của hình lập phương bằng a.
208. Trong tứ diện ABCD, các điểm K, L, P lần lượt là trọng tâm của các mặt ABD, BDC, ABC và aM là trung điểm của cạnh AD.
1°) Xác định vị trí tương đối của các mặt phẳng ACD
và KLP;
2°) Vẽ giao điểm của mặt phẳng ABC và đường thẳng ML và giao điểm của hai mặt phẳng MKL và ABC.
3) Tìm diện tích mặt cắt của tứ diện bằng một mặt phẳng đi qua các điểm K, L và M song song với đường thẳng AD, nếu tất cả các cạnh của tứ diện đều bằng nhau.
209. Cho hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Các điểm L, M, M 1 lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và A 1 D 1.
1°) Xác định vị trí tương đối của các mặt phẳng B 1 D 1 D
và LMM1.
2) Dựng mặt phẳng đi qua điểm M song song với mặt phẳng ACC 1.
3) Vẽ một phần hình lập phương có mặt phẳng đi qua điểm M 1 song song với mặt phẳng CDD 1.
4) Xác định vị trí tương đối của các mặt phẳng MA 1 B 1
và CDM1.
5) Dựng mặt phẳng đi qua đường thẳng C 1 D 1 song song với mặt phẳng CDM 1.
210. Trong hình chóp tứ giác đềuSABCD, tất cả các cạnh đều bằng nhau. Các điểm L, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AS, BS, CS.
1°) Xác định vị trí tương đối của: các đường thẳng LM và BC; đường thẳng LN và mặt phẳng ABD; mặt phẳng LMN và BDC.
2°) Chứng minh hai tam giác ABC và LMN đồng dạng.
3) Dựng một phần hình chóp bằng mặt phẳng AMN; mặt phẳng LMN; máy bayLBC.
4*) Phần nào của hình chóp đi qua đỉnh S có diện tích lớn nhất?
Sự song song của đường thẳng và mặt phẳng
Trong tứ diện SABC tất cả các mặt đều hình tam giác đều. Các điểm L, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AS, BS, CS. 1°) Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng LM và BC. 2°) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng LN và mặt phẳng ABC.
3) Chứng minh hai tam giác LMN và ABC đồng dạng.
Từ các đỉnh của hình bình hành ABCD nằm trên một trong |
|||
hai mặt phẳng song song vẽ thành từng cặp song song |
|||
các đường thẳng tuyến tính cắt mặt phẳng thứ hai tương ứng |
|||
cụ thể tại các điểm A 1, B 1, C 1, D 1. | |||
1°) Chứng minh tứ giác A 1 B 1 C 1 D 1 song song |
|||
2°) Chứng minh rằng hình bình hành ABCD và A 1 B 1 C 1 D 1 |
|||
là bình đẳng với nhau. | |||
3°) Xác định vị trí tương đối của các mặt phẳng ABC 1 |
|||
và DD1 C1. | |||
4) Vẽ mặt phẳng 1 đi qua giữa đoạn AA sao cho |
|||
sao cho nó cắt những đường này tại những điểm |
|||
các đỉnh của hình bình hành bằng hình bình hành |
|||
bạn ABCD. | |||
Cho hai mặt phẳng song song và một điểm O không thuộc |
|||
ép vào bất kỳ mặt phẳng nào trong số này và không nằm giữa |
|||
họ. Từ điểm O | vẽ ba tia cắt nhau trong mặt phẳng |
||
xương lần lượt tại các điểm A, B, C và A 1, B 1, C 1 và không nằm |
|||
nằm trong cùng một mặt phẳng. | |||
1°) Xác định vị trí tương đối của các mặt phẳng này |
|||
và mặt phẳng đi qua trung điểm của các đoạn AA 1, BB 1, CC 1. |
|||
2) Tìm chu vi tam giác A 1 B 1 C 1 nếuOA = m, |
|||
AA 1 = n, AB = c, AC = b, BC = a. | |||
Tam giác A 1 B 1 C 1 là hình chiếu của tam giác ABC |
|||
lên mặt phẳng α song song với nó. Điểm M - giữa trăm |
|||
ron BC ;M 1 - hình chiếu của điểm M | trên mặt phẳng α. Điểm N |
||
chia cạnh AB | theo tỷ lệ 1:2. | mặt phẳng M 1 MN và đường thẳng |
|
1) Xây dựng giao điểm N 1 |
|||
A 1 B 1 của tôi. | |||
2) Xác định hình dạng của tứ giác M 1 N 1 NM. |
|||
M nằm ngoài mặt phẳng hình thang ABCB tính từ đáy |
|||
mi AD | và BC Xây dựng giao tuyến của các mặt phẳng: |
||
1°) ABM và CDM; | 2) CBM và ADM. |
||
Xây dựng một phần của khối lập phương đó là: 1°) tam giác đều; 2) một hình ngũ giác.
217. Xây dựng một phần của một tứ diện là hình bình hành.
218°. Chứng minh rằng các mặt đối diện của một hình bình hành thì song song.
219. Chứng minh rằng tập hợp tất cả các đường thẳng đi qua điểm này và song song với một mặt phẳng đã cho tạo thành một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
220. Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng thuộc một mặt phẳng. Chứng minh rằng mỗi mặt phẳng song song với các đường thẳng AB và CD cắt các đường thẳng AC, AD, BD, BC tại các đỉnh của hình bình hành.
221. Chứng minh rằng một mặt phẳng và một đường thẳng không thuộc mặt phẳng này song song với nhau nếu cả hai đều song song với cùng một mặt phẳng.
222. Qua điểm O là giao điểm của các đường chéo của hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 vẽ một mặt phẳng song song với mặt ABCD. Mặt phẳng này cắt các cạnh BB 1 và CC 1 lần lượt tại các điểm M và N. Chứng minh góc MON là góc vuông.
223. Chứng minh rằng hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi mọi đường thẳng cắt một trong các mặt phẳng này cũng cắt mặt phẳng thứ hai.
224*. Cho hình chóp tam giác SABC, qua các đoạn AD và CE, trong đó D là trung điểm SB và E là trung điểm SA, vẽ các đoạn thẳng của hình chóp song song với nhau.
225. Tìm địa điểm hình học:
1) điểm giữa của tất cả các phân đoạn có điểm cuối trên hai dữ liệu mặt phẳng song song; 2*) trung điểm của các đoạn có điểm cuối nằm trên hai đường thẳng giao nhau cho trước.
226*. Cạnh AB của tam giác ABC nằm trong mặt phẳng α song song với mặt phẳng β. Tam giác đều 1 B 1 C 1 là phép chiếu song song tam giác ABC trên mặt phẳng β;AB = 5, BC = 6, AC = 9.
1) Thiết lập vị trí tương đối của các đường thẳng AB và A 1 B 1,
BC và B1 C1, A1 C1 và AC.
2) Tìm diện tích tam giác A 1 B 1 C 1.
227*. Cho hai đường thẳng cắt nhau. Cho biết tập hợp tất cả các điểm trong không gian qua đó vẽ được một đường thẳng cắt nhau trong hai đường thẳng cho trước.
Định nghĩa cơ bản
Hai mặt phẳng được gọi là
song song,
nếu chúng không có điểm chung.
Báo cáo chính
Dấu hiệu song song - Nếu hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng và lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng thứ hai thì các mặt phẳng đó
xương song song.
Định lý về giao nhau Nếu hai mặt phẳng không song song cắt nhau bởi một mặt phẳng thứ ba thì các đường thẳng giao nhau thứ ba của mặt phẳng đó
chúng song song.
a α,b α,a ×b ,c β,d β,a ||c ,b ||d α || β
α || β, a = γ∩α,b = γ∩βa ||b
M α
β: α || β,M β
Chuẩn bị đi vào chuyên đề
đánh giá chủ đề “Sự song song của đường thẳng và mặt phẳng”
Nhiệm vụ tự kiểm soát
1. Bốn điểm không thuộc cùng một mặt phẳng. Ba người trong số họ có thể nằm trên cùng một đường thẳng không?
2. Ba mặt phẳng khác nhau có thể có đúng hai điểm chung không?
3. Hai đường thẳng chéo có thể song song với đường thẳng thứ ba cùng một lúc không?
4. Có đúng là thẳng không a và b không song song nếu không có đường thẳng c song song với a và b?
5. Liệu họ có thể phân đoạn bằng nhau có những hình chiếu không bằng nhau?
6. Tia có thể là hình chiếu song song của một đường thẳng không?
7. Hình vuông có thể là ảnh của hình lập phương không?
8. Có đúng là qua một điểm cho trước trong không gian chỉ có thể vẽ được một mặt phẳng song song với một đường thẳng đã cho?
9. Có phải luôn luôn có thể vẽ một đường thẳng qua một điểm cho trước song song với hai mặt phẳng cho trước không chứa điểm này?
10. Có thể vẽ các mặt phẳng song song qua hai đường thẳng cắt nhau không?
Trả lời các nhiệm vụ để tự kiểm soát
Mẫu thử nghiệm
Hai hình bình hành ABCD và ABC 1 D 1 nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.
1°) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng CD và C 1 D 1.
2°) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng C 1 D 1 và mặt phẳng
3°) Vẽ giao tuyến của các mặt phẳng DD 1 C 1 và ВСС 1.
4°) Xác định vị trí tương đối của các mặt phẳng ADD 1 và BCC 1.
5) Qua điểm M, chia đoạn thẳng AB theo tỉ lệ 2:1, tính từ điểm A kẻ mặt phẳng α song song với mặt phẳng C 1 BC. 6) Xây dựng giao điểm của đường thẳng AC với mặt phẳng α và tìm tỉ số để điểm này chia đoạn AC.
Sự song song của đường thẳng và mặt phẳng |
|||
Vị trí tương đối của các đường thẳng trong không gian |
|||
Bảng 21 |
|||
Số điểm chung | |||
Ít nhất hai | |||
nằm trong một | đừng nằm trong một |
||
máy bay | máy bay |
||
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Bảng 22 |
||||
Số điểm chung | ||||
Ít nhất hai | Không có |
|||
a nằm trong α | và cắt α | và i α - song song |
(một α) | (a × α) | này (a || α) |
Sự sắp xếp lẫn nhau của các mặt phẳng trong không gian |
||
Bảng 23 |
||
Số điểm chung | ||
Ít nhất ba | Ít nhất một, nhưng | Không có |
không nằm trên | không có điểm chung, không có điểm chung |
|
một đường thẳng | nhấn vào một đường thẳng | |
lượng giác
Bạn đã giải các hàm lượng giác trong bài học hình học. Cho đến nay, ứng dụng của chúng chủ yếu chỉ giới hạn trong việc giải các tam giác, tức là chúng ta đang nói về việc tìm ra một số phần tử của một tam giác từ những phần tử khác. Từ lịch sử toán học, người ta biết rằng sự xuất hiện của lượng giác gắn liền với việc đo độ dài và góc. Tuy nhiên hiện nay quả cầu
cô ấy ứng dụng rộng hơn nhiều so với thời cổ đại.
Từ "lượng giác" xuất phát từ tiếng Hy Lạp τριγωνον
(lượng giác) – tam giác và µετρεω (meteo) – đo, đo-
Tôi sủa. Theo nghĩa đen nó có nghĩa là đo hình tam giác.
TRONG Chương này hệ thống hóa những tài liệu bạn đã biết từ khóa học hình học và tiếp tục nghiên cứu hàm lượng giác và các ứng dụng của chúng để mô tả các quy trình hàng loạt, đặc biệt chuyển động quay, quá trình dao động vân vân.
Hầu hết các ứng dụng của lượng giác đều liên quan cụ thể đến các quá trình tuần hoàn, tức là các quá trình lặp lại theo những khoảng thời gian đều đặn. Bình minh và hoàng hôn, sự thay đổi các mùa, vòng quay của bánh xe - đây là những ví dụ đơn giản nhất về các quá trình như vậy. Cơ khí và rung động điện từ cũng là những ví dụ quan trọng của các quá trình tuần hoàn. Vì vậy, việc nghiên cứu các quá trình tuần hoàn là một nhiệm vụ quan trọng. Và vai trò của toán học trong việc giải quyết nó mang tính quyết định.
chuẩn bị nghiên cứu chủ đề “Hàm lượng giác”
Nên bắt đầu nghiên cứu chủ đề “Hàm lượng giác” bằng cách ôn lại định nghĩa và tính chất của hàm lượng giác của các góc trong tam giác và ứng dụng của chúng để giải cả tam giác vuông và tam giác tùy ý.
Sin, cosin, tiếp tuyến, cotang của các góc hình chữ nhật
tam giác
Bảng 24
Sin của góc nhọn là tỉ số chân đối diệnđến cạnh huyền:
tội lỗi α = a c .
Cosin của một góc nhọn là tỉ số chân liền kềđến cạnh huyền:
cosα = b c .
Tiếp tuyến của góc nhọn là tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh kề:
tg α =a b .
Cotang của góc nhọn là tỉ số giữa cạnh kề với cạnh đối diện:
ctgα = a b .
Sin, cosin, tiếp tuyến, côtang của các góc từ 0° đến 180°
Bảng 25
sin α = R y ; cosα = R x ;
tg α = x y ; cotgα = x y.
(X;Tại) - tọa độ điểm MỘT nằm ở hình bán nguyệt phía trên, α - góc tạo bởi bán kính viêm khớpđường tròn có trục X.
Các giá trị của sin, cos, tang, cotang
một số góc
Bảng 26
Góc t
0° | 90° | 180° |
||||||||||
tội lỗi t | ||||||||||||
vì t | ||||||||||||
tg t | ||||||||||||
ctg t | ||||||||||||
Hàm lượng giác |
Giải các tam giác tùy ý
Bảng 27
Định lý sin
Các cạnh của một tam giác tỉ lệ với sin của các góc đối diện:
tội lỗi Mộtα = tội lỗi bβ = tội lỗi cγ .
Định lý cosin
Bình phương của một cạnh tùy ý của một tam giác bằng tổng bình phương của hai cạnh kia mà không gấp đôi tích của các cạnh này với cosin của góc giữa chúng:
c2 = Một2 + b2 − 2 bụng vì γ ,b2 = Một2 + c2 − 2 ac vì β , Một2 = b2 + c2 − 2 bc vì α .
Diện tích của một hình tam giác bằng một nửa tích hai cạnh của nó và sin của góc giữa chúng:
S=1 2 bụngtội lỗiγ = 1 2 actội lỗiβ = 1 2 bctội lỗiα .
Nhận dạng lượng giác cơ bản
Bảng 28 |
||||||||||||||||
0 ° ≤ α ≤ 180° | tội lỗi 2 α + vì 2 α = 1 |
|||||||||||||||
0 ° ≠ 180°, α ≠ 90° | ||||||||||||||||
1 +tgα = vì2 α |
||||||||||||||||
0 ° < α < 180° | 1 + ctg 2 α = | |||||||||||||||
tội lỗi 2 α |
||||||||||||||||
Cho một hình tam giác ABC,VỚI= 90°, Mặt trời=3 ,AB= 2. Cái gì bằng |
||||||||||||||||
TRONG ? | B. 45 °. | TRONG. 60 °. | ||||||||||||||
MỘT. 30 °. | ||||||||||||||||
G. Không thể tính toán nếu không có công cụ tính toán. |
||||||||||||||||
Cho một hình tam giác | ABC , VỚI | Mặt trời= 3, | TRONG= 60°. Cái gì bằng |
|||||||||||||
AB ? | ||||||||||||||||
MỘT. 3 | B. 6. | 3 . |
||||||||||||||
Theo các bên này tam giác vuông tìm thấy |
||||||||||||||||
cosin của góc nhỏ hơn: MỘT= 3,b= 4,c | ||||||||||||||||
MỘT. 0,8. | ||||||||||||||||
Giá trị nào trong số các giá trị đã cho không thể bị lệch |
||||||||||||||||
nu của một góc nhọn? | ||||||||||||||||
7 − 1 | 7 2 | |||||||||||||||
MỘT. | ||||||||||||||||
5. So sánh tổng các sin góc nhọn tam giác vuông tùy ý (chúng ta biểu thị nó bằngMỘT) với một.
< 1. B.MỘT= 1.
> 1. G. Thật không thể so sánh được. Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần: MỘT= tội lỗi 30°, b= cos 30°,
= tg 30°.
<
b<c.B.Một<c<b Hàm lượng giác Với góc nhọn nào thì sin nhỏ hơn cosin? Dành cho tất cả mọi người. Đối với những cái nhỏ hơn 45°. Đối với lớn 45°. G. Không dành cho bất cứ ai. cos bằng bao nhiêu? α, nếu α là góc nhọn của tam giác vuông hình vuông và tội lỗiα = 12
.
Chiều dài của bóng cây là 15 m. Các tia sáng mặt trời tạo thành một góc. 30° với bề mặt Trái Đất. Chiều cao gần đúng là bao nhiêu? cây? Chọn kết quả chính xác nhất. B. 13m. TRONG. 7m. Giá trị của biểu thức là gì 1 −
x2
Tại X= – 0,8? B. –0,6. G.≈ 1,34. Từ công thức Một2
+b2
=4
thể hiện b< 0 черезMột. MỘT.b=4
−Một2
. B.b=Một2
−4
. b= −Một2
− 4
. b= −4
−Một2
. chấm MỘT nằm ở khu vực 3 cách trục 3 X Và ở một khoảng cách 10
từ nguồn gốc. Tọa độ là gì? có một điểm MỘT?
B.(−1; 3). TRONG.(−1; −3). G.(−3; −1). điểm tiếp theo thuộc về vòng tròn x 2+
y 2 =
1? B.(0,5; 0,5). . G. 15.
Xác định tọa độ của điểmMỘT, nằm trên đường tròn bán kính 1 (xem hình). (−1; 0).B.(1; 0). (0; − 1). G.(0; 1).MỘT.TRONG.
Trong bài học này chúng ta sẽ xem xét ba tính chất của các mặt phẳng song song: giao điểm của hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ ba; về các đoạn thẳng song song nằm giữa các mặt phẳng song song; và về việc cắt các cạnh của một góc bằng các mặt phẳng song song. Tiếp theo, chúng ta sẽ giải quyết một số vấn đề bằng cách sử dụng các thuộc tính này.
Đề tài: Sự song song của đường thẳng và mặt phẳng
Bài học: Tính chất của mặt phẳng song song
Nếu hai mặt phẳng song song cắt nhau bởi một mặt phẳng thứ ba thì các đường giao nhau của chúng song song.
Bằng chứng
Cho các mặt phẳng song song và một mặt phẳng cắt các mặt phẳng đó và dọc theo các đường thẳng MỘT Và b tương ứng (Hình 1.).
Trực tiếp MỘT Và b nằm trong cùng một mặt phẳng, tức là trong mặt phẳng γ. Hãy chứng minh rằng các đường thẳng MỘT Và b không giao nhau.
Nếu thẳng MỘT Và b cắt nhau, nghĩa là sẽ có một điểm chung, thì điểm chung này sẽ thuộc hai mặt phẳng và , và , điều này không thể xảy ra, vì chúng song song theo điều kiện.
Vì vậy, thẳng MỘT Và b song song với nhau, đó là điều cần chứng minh.
Các đoạn thẳng song song nằm giữa các mặt phẳng song song thì bằng nhau.
Bằng chứng
Cho mặt phẳng song song và đường thẳng song song AB Và VỚID, giao nhau với các mặt phẳng này (Hình 2.). Hãy chứng minh rằng các đoạn AB Và VỚIDđều bình đẳng.
Hai đường thẳng song song AB Và VỚID tạo thành một mặt phẳng duy nhất γ, γ = ABDVỚI. Mặt phẳng γ cắt các mặt phẳng song song và dọc theo các đường thẳng song song (theo tính chất thứ nhất). Vậy là nó thẳng AC Và TRONGD song song.
Trực tiếp AB Và VỚID cũng song song (theo điều kiện). Vậy nó là một tứ giác ABDVỚI- là hình bình hành vì các cạnh đối diện của nó song song với nhau.
Từ tính chất của hình bình hành suy ra rằng các đoạn AB Và VỚID bằng nhau, cần chứng minh.
Các mặt phẳng song song cắt các cạnh của một góc thành các phần tỉ lệ.
Bằng chứng
Cho chúng ta những mặt phẳng song song và cắt các cạnh của góc MỘT(Hình 3.). Cần phải chứng minh điều đó.
Các mặt phẳng song song và được cắt bởi một mặt phẳng góc MỘT. Gọi đường giao nhau của mặt phẳng góc MỘT và máy bay - mặt trời, và giao tuyến của mặt phẳng góc MỘT và máy bay - B 1 C 1. Theo tính chất thứ nhất, giao tuyến Mặt trời Và B 1 C 1 song song.
Vậy hình tam giác ABC Và AB 1 C 1 tương tự. Chúng tôi nhận được:
3. Trang web toán học của Vitaly Stanislavovich Tsegelny ()
4. Ngày hội tư tưởng sư phạm “Bài học mở” ()
1. Điểm VỀ- trung điểm chung của mỗi đoạn AA 1, BB 1, SS 1, không nằm trong cùng một mặt phẳng. Chứng minh rằng các mặt phẳng ABC Và A 1 B 1 C 1 song song.
2. Chứng minh có thể vẽ được các mặt phẳng song song qua hai đường thẳng xiên.
3. Chứng minh rằng một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song cũng cắt mặt phẳng thứ hai.
4. Hình học. Lớp 10-11: Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông (cấp độ cơ bản và chuyên ngành) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Tái bản lần thứ 5, có sửa chữa và mở rộng - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 tr.: ill.
Nhiệm vụ 6, 8, 9 tr.
Sự song song của các mặt phẳng.
Nếu hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng khác thì các mặt phẳng đó song song. Bằng chứng. Cho phép Và Một b - dữ liệu mặt phẳng, Và một 1 một 2 Bằng chứng. Cho phép- Đường thẳng trong mặt phẳng , cắt nhau tại điểm A, Và
b 1 b 2 Một tương ứng, các đường thẳng song song với chúng trong mặt phẳng Bằng chứng. Cho phép Và Một. Chúng ta hãy giả sử rằng các mặt phẳng không song song, nghĩa là chúng cắt nhau dọc theo một đường thẳng nào đó Với MỘT. Thẳng Một 1 song song với đường thẳng Một 1, có nghĩa là nó song song với chính mặt phẳng đó MỘT(dấu hiệu sự song song giữa đường thẳng và mặt phẳng). Thẳng 2 song song với đường thẳng b 2, Mộtđiều này có nghĩa là nó song song với chính mặt phẳng không song song, nghĩa là chúng cắt nhau dọc theo một đường thẳng nào đó(dấu hiệu sự song song giữa đường thẳng và mặt phẳng). Thẳng Bằng chứng. Cho phép thuộc về máy bay , thì ít nhất một trong các đường thẳng một 1 một 1 hoặc cắt một đường Với, không song song, nghĩa là chúng cắt nhau dọc theo một đường thẳng nào đó tức là nó có điểm chung với nó. Nhưng thẳng Một cũng thuộc về máy bay , có nghĩa là vượt qua ranh giới Với, thẳng một 1 một 1 một 1 Một cắt mặt phẳng thẳng Và một 1, điều này không thể xảy ra, vì chúng thẳng Một song song với mặt phẳng Bằng chứng. Cho phép. Từ đó suy ra rằng các máy bay Một Và
không cắt nhau, tức là chúng song song.
Định lý 1 
Nếu hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng khác thì các mặt phẳng đó song song. Bằng chứng. Cho phép Và Một. Nếu hai mặt phẳng song song cắt nhau một phần ba thì các đường thẳng giao nhau là song song. - các mặt phẳng song song và
g Bằng chứng. Cho phép- mặt phẳng cắt chúng. Máy bay - các mặt phẳng song song và
giao nhau với mặt phẳng theo một đường thẳng MỘT. Một Máy bay - các mặt phẳng song song và giao nhau với mặt phẳng theo một đường thẳng b. MỘTĐường giao nhau Một Và - các mặt phẳng song song và
nằm trong cùng một mặt phẳng
và do đó có thể là các đường thẳng cắt nhau hoặc song song. Tuy nhiên, cùng thuộc hai mặt phẳng song song nên chúng không có điểm chung. Vì thế chúng song song.
Định lý 2. 
Nếu hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng khác thì các mặt phẳng đó song song. Bằng chứng. Cho phép Và Một. Nếu hai mặt phẳng song song cắt nhau một phần ba thì các đường thẳng giao nhau là song song. MỘT
. Từ đó suy ra rằng các máy bay Một Các đoạn thẳng song song nằm giữa hai mặt phẳng song song thì bằng nhau. MỘTĐường giao nhau Một- Các đường thẳng song song cắt nhau. Qua những đường thẳng chúng tôi sẽ tiến hành - các mặt phẳng song song và
máy bay(các đường thẳng này song song, nghĩa là Bằng chứng. Cho phép- mặt phẳng cắt chúng. Máy bay - các mặt phẳng song song và
xác định một mặt phẳng và chỉ một mặt phẳng). Máy bay .
trên đường thẳng AB Một Máy bay - các mặt phẳng song song và giao nhau với mặt phẳng không song song, nghĩa là chúng cắt nhau dọc theo một đường thẳng nào đó dọc theo đường thẳng SD. Theo định lý trước đó, đường thẳng d. Trực tiếp MỘT,b, AB
Và
SD thuộc về máy bay - các mặt phẳng song song và Tứ giác giới hạn bởi các đường thẳng này là hình bình hành (các cạnh đối song song). Và vì đây là hình bình hành nên các cạnh đối diện của nó bằng nhau, tức là AD = BC
tài sản điện tử đường thẳng song song, gọi là bắc cầusự song song:
- Nếu hai đường thẳng a và b song song với đường thẳng thứ ba c thì chúng song song chúng ta với nhau.
Nhưng việc chứng minh tính chất này bằng phép lập thể thì khó khăn hơn. Trên một mặt phẳng, các đường thẳng không song song phải cắt nhau và do đó không thể cùng lúc song song với đường thẳng thứ ba (nếu không thì tiên đề song song sẽ bị vi phạm). Trong chuyên nghiệptrong không gian có những điểm không song song vàthể tích của các đường rời nhaunếu chúng nằm trong các mặt phẳng khác nhau. Những đường thẳng như vậy được gọi là cắt nhau.
Trong hình. 4 thể hiện một hình lập phương; đường thẳng AB và BC cắt nhau, AB và CDsong song với AB và B VỚI lai giống. Trong tương lai, chúng ta thường sử dụng sự trợ giúp của hình khối để minh họaphân loại các khái niệm và sự kiện của phép đo lập thể. Khối lập phương của chúng ta được dán lại với nhau từ sáu mặt vuông. Dựa vào đó chúng ta sẽ rút ra được các tính chất khác của nó. Chẳng hạn, ta có thể nói đường thẳng AB song song với CD,vì cả hai đều song song với mặt chung của đĩa CD vớihình vuông giữ chúng.
Trong phép đo lập thể, mối quan hệ song song cũng được xem xét cho các mặt phẳng: hai mặt phẳngMột đường thẳng hoặc một đường thẳng và một mặt phẳng song song nếu chúng không có điểm chung. Thật thuận tiện khi coi một đường thẳng và một mặt phẳng song song ngay cả khi nó nằm trong mặt phẳng. Đối với mặt phẳng và đường thẳng, các định lý sau về tính bắc cầu là đúng:
- Nếu hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
- Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng song song với một đường thẳng (hoặc mặt phẳng nào đó) thì chúng song song với nhau.
Trường hợp đặc biệt quan trọng nhất của định lý thứ hai là dấu song song giữa đường thẳng và mặt phẳng:
- Một đường thẳng song song với một mặt phẳng nếu nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng đó.
Và đây là dấu hiệu của các mặt phẳng song song:
- Nếu hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song.
Định lý đơn giản sau đây thường được sử dụng:
- Các đường thẳng mà hai mặt phẳng song song cắt nhau với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Chúng ta hãy nhìn lại khối lập phương (Hình 4). Ví dụ, từ dấu song song giữa một đường thẳng và một mặt phẳng, suy ra đường thẳng A TRONG song song với mặt phẳng ABCD (vì nó song song với đường thẳng AB trong mặt phẳng này) và các mặt đối diện của hình lập phương, đặc biệt là A TRONG VỚI D và ABCD, song song dựa trên sự song song của các mặt phẳng: đường thẳng A B và B VỚI một mặt lần lượt song song với các đường thẳng AB và BC ở mặt kia. Và một ví dụ ít đơn giản hơn một chút. Mặt phẳng chứa đường thẳng song song AA và SS, cắt các mặt phẳng song song ABCD và A B C D dọc theo các đường thẳng AC và A VỚI, điều này có nghĩa là những đường thẳng này song song: tương tự, đường thẳng B song song C và A D. Do đó mặt phẳng song song AB C và A DC cắt khối lập phương theo hình tam giác.
III. Hình ảnh của các hình không gian.
Có một câu cách ngôn như vậy Hình họcđó là một sự cám dỗkhả năng suy luận chính xác trên một bản vẽ không chính xác. Thật vậy, nếu chúng ta quay trở lạiDựa trên lý luận trên, hóa ra:
Lợi ích duy nhất mà chúng tôi nhận được từ hình vẽ khối lập phương đi kèm là nó giúp chúng tôi tiết kiệm được không gian trong việc giải thíchký hiệu NI. Nó có thể được mô tả dễ dàng như phần thân trong Hình. 4, Tôi, mặc dù rõ ràng, thứ được thể hiện trên đó không những không phải là hình lập phương mà còn không phải là khối đa diện. Chưa hết, câu cách ngôn trên chỉ chứa đựng một phần sự thật. Rốt cuộc, trước khi thảo luậnđưa ra bằng chứng đầy đủ thì phảinghĩ. Và để làm được điều này, bạn cần hình dung rõ ràng về hình đã cho, mối quan hệ giữa các phần tử của nó. Một bản vẽ tốt giúp phát triển một ý tưởng như vậy. Hơn nữa, như chúng ta sẽ thấy, trong phép đo lập thể, một bức vẽ thành công có thểcó thể không chỉ trở thành một minh họa mà còn là cơ sở để giải quyết vấn đề.
Một nghệ sĩ (hay đúng hơn là một nghệ sĩ hiện thực) trênvẽ khối lập phương theo cách chúng ta nhìn thấy (Hình 5, b), tức là theo phối cảnh hoặc ở giữakhông có hình chiếu. Với phép chiếu tâm từ điểm O (tâm chiếu) lên mặt phẳng a,một điểm X tùy ý được biểu thị bằng một điểm X tại đó a giao với đường thẳng OX (Hình 6). Hình chiếu trung tâm duy trì độ thẳngsắp xếp tuyến tính các điểm, nhưng theo quy luật, biến các đường song song thành các giao điểmthay đổi, chưa kể đến việc nó thay đổi khoảng cách và góc độ. Nghiên cứu tính chất của nó tạidẫn đến sự xuất hiện của một phần quan trọng của hình học (xem bài Hình học xạ ảnh).
Nhưng trong các bản vẽ hình học, một hình chiếu khác được sử dụng. Có thể nói rằng nó thu được từ tâm khi tâm O di chuyển ra xa vô cực và đường thẳng OX trở thành pasong song.
Ta chọn mặt phẳng a và đường thẳng l cắt nhau. Vẽ đường thẳng đi qua điểm X, pasong song l. Điểm X nơi đường thẳng này gặp a là hình chiếu song song của X lên mặt phẳng, a dọc theo đường thẳng l (Hình 7). Vềhình chiếu của một hình bao gồm các hình chiếu của tất cả các điểm của nó. Trong hình học, ảnh của một hình là hình chiếu song song của nó.
Cụ thể là ảnh một đường thẳngnó là một đường thẳng hay (trong trường hợp đặc biệt)trà, khi đường thẳng song song với hướng chiếu). Có sự tương đồng trong hình ảnh