Vào tháng 7 năm 2020, NASA triển khai chuyến thám hiểm tới Sao Hỏa. Tàu vũ trụ sẽ chuyển tới Sao Hỏa một phương tiện điện tử có tên của tất cả những người tham gia chuyến thám hiểm đã đăng ký.
Nếu bài đăng này giải quyết được vấn đề của bạn hoặc bạn chỉ thích nó, hãy chia sẻ liên kết tới bài đăng đó với bạn bè của bạn trên mạng xã hội.
Một trong các tùy chọn mã này cần được sao chép và dán vào mã trang web của bạn, tốt nhất là giữa các thẻ và/hoặc ngay sau thẻ. Theo tùy chọn đầu tiên, MathJax tải nhanh hơn và làm chậm trang ít hơn. Nhưng tùy chọn thứ hai sẽ tự động theo dõi và tải các phiên bản MathJax mới nhất. Nếu bạn chèn mã đầu tiên, nó sẽ cần được cập nhật định kỳ. Nếu bạn chèn mã thứ hai, các trang sẽ tải chậm hơn nhưng bạn sẽ không cần phải liên tục theo dõi các bản cập nhật MathJax.
Cách dễ nhất để kết nối MathJax là trong Blogger hoặc WordPress: trong bảng điều khiển trang web, thêm tiện ích được thiết kế để chèn mã JavaScript của bên thứ ba, sao chép phiên bản đầu tiên hoặc thứ hai của mã tải xuống được trình bày ở trên vào đó và đặt tiện ích đó gần hơn vào đầu mẫu (nhân tiện, điều này hoàn toàn không cần thiết vì tập lệnh MathJax được tải không đồng bộ). Thế thôi. Bây giờ hãy tìm hiểu cú pháp đánh dấu của MathML, LaTeX và ASCIIMathML và bạn đã sẵn sàng chèn các công thức toán học vào các trang web trên trang web của mình.
Lại một đêm giao thừa nữa... thời tiết băng giá và những bông tuyết trên kính cửa sổ... Tất cả những điều này thôi thúc tôi viết lại về... fractal, và những gì Wolfram Alpha biết về nó. Có một bài viết thú vị về chủ đề này, trong đó có các ví dụ về cấu trúc fractal hai chiều. Ở đây chúng ta sẽ xem xét các ví dụ phức tạp hơn về fractal ba chiều.
Fractal có thể được biểu diễn (mô tả) một cách trực quan dưới dạng hình hình học hoặc vật thể (có nghĩa là cả hai đều là một tập hợp, trong trường hợp này là một tập hợp các điểm), các chi tiết của chúng có hình dạng giống như hình ban đầu. Tức là đây là một cấu trúc tự tương tự, kiểm tra các chi tiết khi phóng to chúng ta sẽ thấy hình dạng giống như khi không phóng đại. Trong khi đó, trong trường hợp một hình hình học thông thường (không phải fractal), khi phóng đại chúng ta sẽ thấy các chi tiết có hình dạng đơn giản hơn chính hình ban đầu. Ví dụ: ở độ phóng đại đủ cao, một phần của hình elip trông giống như một đoạn thẳng. Điều này không xảy ra với fractal: với bất kỳ sự gia tăng nào của chúng, chúng ta sẽ lại thấy cùng một hình dạng phức tạp, hình dạng này sẽ được lặp đi lặp lại sau mỗi lần tăng.
Benoit Mandelbrot, người sáng lập ngành khoa học fractal, đã viết trong bài báo Fractals và Art in the Name of Science: “Fractal là những hình dạng hình học có độ phức tạp về chi tiết cũng như ở dạng tổng thể của chúng. sẽ được phóng to theo kích thước của tổng thể, nó sẽ xuất hiện như một tổng thể, chính xác hoặc có thể có một chút biến dạng."
Một đường thẳng trong không gian luôn có thể được định nghĩa là đường giao nhau của hai mặt phẳng không song song. Nếu phương trình của một mặt phẳng là phương trình của mặt phẳng thứ hai thì phương trình của đường thẳng có dạng
Đây 
không thẳng hàng 
. Những phương trình này được gọi là phương trình tổng quát thẳng trong không gian.
Phương trình chính tắc của đường thẳng
Bất kỳ vectơ nào khác 0 nằm trên một đường thẳng cho trước hoặc song song với nó được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng này.
Nếu biết điểm đó 
đường thẳng và vectơ chỉ phương của nó 
, thì phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:
.
(9)
Phương trình tham số của đường thẳng
Cho các phương trình chính tắc của đường thẳng
.
Từ đây ta thu được phương trình tham số của đường thẳng:
(10)
Những phương trình này rất hữu ích cho việc tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm 
Và 
có dạng:
.
Góc giữa các đường thẳng
Góc giữa các đường thẳng
Và 
bằng góc giữa các vectơ chỉ phương của chúng. Do đó, nó có thể được tính bằng công thức (4):
Điều kiện để có đường thẳng song song:
.
Điều kiện để mặt phẳng vuông góc:
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
P 
giả sử điểm được đưa ra 
và thẳng
.
Từ các phương trình chính tắc của đường thẳng ta biết điểm 
, thuộc một đường thẳng và vectơ chỉ phương của nó 
. Khi đó khoảng cách của điểm 
từ một đường thẳng bằng chiều cao của hình bình hành dựng trên vectơ 
Và 
. Kể từ đây,
.
Điều kiện giao nhau của đường
Hai đường thẳng không song song
,
cắt nhau khi và chỉ khi
.
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Cho đường thẳng 
và máy bay. Góc 
giữa chúng có thể được tìm thấy bằng công thức
.
Bài 73. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng
(11)
Giải pháp. Để viết được phương trình chính tắc của đường thẳng (9), cần phải biết điểm bất kỳ thuộc đường thẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Hãy tìm vectơ 
, song song với đường thẳng này. Vì nó phải vuông góc với các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng này, tức là
,
, Cái đó
.
Từ phương trình tổng quát của đường thẳng ta có 
,
. Sau đó
.
Kể từ thời điểm 
bất kỳ điểm nào trên một đường thẳng thì tọa độ của nó phải thỏa mãn các phương trình của đường thẳng và một trong số chúng có thể được chỉ định, ví dụ: 
, ta tìm được hai tọa độ còn lại của hệ (11):
Từ đây, 
.
Do đó, các phương trình chính tắc của đường thẳng mong muốn có dạng:
hoặc 
.
Vấn đề 74.
Và 
.
Giải pháp. Từ các phương trình chính tắc của dòng đầu tiên, tọa độ của điểm được biết đến 
thuộc đường thẳng và tọa độ của vectơ chỉ phương 
. Từ các phương trình chính tắc của đường thẳng thứ hai, tọa độ của điểm cũng được biết 
và tọa độ của vectơ chỉ phương 
.
Khoảng cách giữa các đường thẳng song song bằng khoảng cách của điểm 
từ đường thẳng thứ hai. Khoảng cách này được tính theo công thức
.
Hãy tìm tọa độ của vectơ 
.
Hãy tính tích vectơ 
:
.
Bài 75. Tìm điểm 
điểm đối xứng 
tương đối thẳng
.
Giải pháp. Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước và đi qua một điểm 
. Là vectơ pháp tuyến của nó 
bạn có thể lấy vectơ chỉ hướng của một đường thẳng. Sau đó 
. Kể từ đây,
Hãy tìm một điểm 
giao điểm của đường thẳng này và mặt phẳng P. Để làm điều này, chúng ta viết các phương trình tham số của đường thẳng bằng phương trình (10), chúng ta nhận được
Kể từ đây, 
.
Cho phép 
điểm đối xứng với điểm 
tương đối với dòng này. Sau đó chỉ 
điểm giữa 
. Để tìm tọa độ của một điểm 
chúng tôi sử dụng các công thức cho tọa độ của điểm giữa của đoạn:
,
,
.
Vì thế, 
.
Bài 76. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đường thẳng 
Và
a) qua một điểm 
;
b) vuông góc với mặt phẳng.
Giải pháp. Hãy viết các phương trình tổng quát của đường thẳng này. Để làm điều này, hãy xem xét hai đẳng thức:
Điều này có nghĩa là mặt phẳng mong muốn thuộc về một tập hợp các mặt phẳng có sinh và phương trình của nó có thể được viết dưới dạng (8):
a) Hãy tìm 
Và 
với điều kiện mặt phẳng đi qua điểm 
, do đó tọa độ của nó phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng. Hãy thay tọa độ của điểm 
vào phương trình của một tập hợp các mặt phẳng:
Giá trị tìm thấy 
Hãy thay thế nó vào phương trình (12). chúng ta thu được phương trình của mặt phẳng mong muốn:
b) Hãy tìm 
Và 
từ điều kiện mặt phẳng mong muốn vuông góc với mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng nhất định 
, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng mong muốn (xem phương trình của một loạt mặt phẳng (12).
Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0. Kể từ đây,
Hãy thay thế giá trị tìm thấy 
vào phương trình của một tập hợp các mặt phẳng (12). Chúng ta thu được phương trình của mặt phẳng mong muốn:
Vấn đề cần giải quyết độc lập
Bài toán 77. Rút gọn phương trình đường thẳng về dạng chính tắc:
1)
2)
Bài 78. Viết phương trình tham số của đường thẳng 
, Nếu như:
1)
,
;
2)
,
.
Vấn đề 79. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm 
vuông góc với một đường thẳng 
Bài 80. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm 
vuông góc với mặt phẳng.
Bài toán 81. Tìm góc giữa các đường thẳng:
1)
Và 
;
2)
Và 
Bài toán 82. Chứng minh sự song song của đường thẳng:
Và 
.
Bài toán 83. Chứng minh tính vuông góc của đường thẳng:
Và 
Bài 84. Tính khoảng cách của một điểm 
từ đường thẳng:
1)
;
2)
.
Bài toán 85. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng song song:
Và 
.
Vấn đề 86. Trong các phương trình của đường 
xác định tham số 
sao cho đường thẳng này cắt đường thẳng và tìm giao điểm của chúng.
Vấn đề 87. Chứng minh rằng nó thẳng 
song song với mặt phẳng 
, và đường thẳng 
nằm trong mặt phẳng này.
Vấn đề 88. Tìm một điểm 
điểm đối xứng 
so với mặt phẳng 
, Nếu như:
1)
,
;
2)
,
;.
Bài 89. Viết phương trình đường vuông góc hạ từ một điểm 
trực tiếp 
.
Vấn đề 90. Tìm một điểm 
điểm đối xứng 
tương đối thẳng 
.
Oh-oh-oh-oh-oh... à, khó quá, cứ như thể anh ấy đang đọc cho chính mình một câu vậy =) Tuy nhiên, thư giãn sẽ giúp ích sau này, đặc biệt là vì hôm nay tôi đã mua những phụ kiện thích hợp. Vì vậy, chúng ta hãy chuyển sang phần đầu tiên, tôi hy vọng rằng đến cuối bài viết tôi sẽ giữ được tâm trạng vui vẻ.
Vị trí tương đối của hai đường thẳngĐây là trường hợp khán giả hát theo đồng ca. Hai đường thẳng có thể:
1) khớp;
2) song song: ;
3) hoặc cắt nhau tại một điểm: .
Trợ giúp cho người giả : Hãy nhớ dấu giao nhau toán học, nó sẽ xuất hiện rất thường xuyên. Ký hiệu này có nghĩa là đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm .
Làm thế nào để xác định vị trí tương đối của hai dòng?Hãy bắt đầu với trường hợp đầu tiên:
Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi các hệ số tương ứng của chúng tỷ lệ thuận, nghĩa là tồn tại một số “lambda” sao cho các đẳng thức giữ nguyên
Hãy xét các đường thẳng và tạo ba phương trình từ các hệ số tương ứng: . Từ mỗi phương trình, do đó, các đường thẳng này trùng nhau.
Thật vậy, nếu tất cả các hệ số của phương trình 
nhân với –1 (đổi dấu) và tất cả các hệ số của phương trình 
giảm đi 2, bạn sẽ có được phương trình tương tự: .
Trường hợp thứ hai, khi các đường thẳng song song:
Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi hệ số biến của chúng tỷ lệ thuận: 
, Nhưng .
Ví dụ: Xét hai đường thẳng. Ta kiểm tra tính tương xứng của các hệ số tương ứng với các biến: 
Tuy nhiên, điều đó khá rõ ràng.
Và trường hợp thứ ba, khi các đường thẳng cắt nhau:
Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi các hệ số của chúng đối với các biến KHÔNG tỷ lệ, nghĩa là KHÔNG có giá trị “lambda” nào mà các đẳng thức giữ 
Vì vậy, đối với các đường thẳng, chúng ta sẽ tạo ra một hệ thống: 
Từ phương trình đầu tiên suy ra , và từ phương trình thứ hai: , có nghĩa là hệ không nhất quán (không có nghiệm). Như vậy, hệ số của các biến không tỷ lệ thuận.
Kết luận: đường thẳng cắt nhau
Trong các bài toán thực tế, bạn có thể sử dụng sơ đồ giải vừa trình bày. Nhân tiện, nó rất gợi nhớ đến thuật toán kiểm tra tính cộng tuyến của vectơ mà chúng ta đã thảo luận trong bài Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở của vectơ. Nhưng có một cách đóng gói văn minh hơn:
Ví dụ 1
Tìm vị trí tương đối của các đường thẳng: 
Lời giải dựa trên việc nghiên cứu các vectơ chỉ hướng của đường thẳng:
a) Từ các phương trình ta tìm được vectơ chỉ phương của các đường thẳng: 
.
, có nghĩa là các vectơ không thẳng hàng và các đường thẳng cắt nhau.
Để đề phòng, tôi sẽ đặt một hòn đá có biển báo ở ngã tư:
Những người còn lại nhảy qua đá và đi xa hơn, thẳng đến Kashchei the Immortal =)
b) Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng: 
Các đường thẳng có cùng vectơ chỉ phương, nghĩa là chúng song song hoặc trùng nhau. Không cần phải tính định thức ở đây.
Rõ ràng là các hệ số của ẩn số tỷ lệ thuận với nhau và .
Hãy tìm hiểu xem đẳng thức có đúng không: 
Như vậy,
c) Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng: 
Hãy tính định thức tạo thành từ tọa độ của các vectơ này: 
, do đó, các vectơ chỉ phương thẳng hàng. Các đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Hệ số tỉ lệ “lambda” dễ dàng nhận thấy trực tiếp từ tỉ số của các vectơ chỉ phương thẳng hàng. Tuy nhiên, nó cũng có thể được tìm thấy thông qua các hệ số của phương trình: 
.
Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu xem đẳng thức có đúng hay không. Cả hai điều khoản miễn phí đều bằng 0, vì vậy:
Giá trị kết quả thỏa mãn phương trình này (bất kỳ số nào nói chung đều thỏa mãn nó).
Như vậy, các đường thẳng trùng nhau.
Trả lời :
Bạn sẽ sớm học được (hoặc thậm chí đã học được) cách giải quyết vấn đề được thảo luận bằng lời nói theo đúng nghĩa đen chỉ trong vài giây. Về vấn đề này, tôi không thấy có ích gì khi đưa ra bất kỳ giải pháp độc lập nào; tốt hơn hết là đặt một viên gạch quan trọng khác vào nền tảng hình học:
Làm thế nào để dựng một đường thẳng song song với một đường thẳng đã cho?Vì thiếu hiểu biết về nhiệm vụ đơn giản nhất này, Nightingale the Robber đã trừng phạt nghiêm khắc.
Ví dụ 2
Đường thẳng được cho bởi phương trình. Viết phương trình đường thẳng song song đi qua một điểm.
Giải pháp: Hãy biểu thị dòng chưa biết bằng chữ cái . Tình trạng nói gì về cô ấy? Đường thẳng đi qua điểm. Và nếu các đường thẳng song song thì rõ ràng vectơ chỉ phương của đường thẳng “tse” cũng phù hợp để dựng đường thẳng “de”.
Chúng ta loại bỏ vectơ chỉ phương ra khỏi phương trình:
Trả lời :
Hình học của ví dụ trông đơn giản: 
Thử nghiệm phân tích bao gồm các bước sau:
1) Ta kiểm tra xem các đường thẳng có cùng vectơ chỉ phương hay không (nếu phương trình của đường thẳng không được đơn giản hóa đúng cách thì các vectơ sẽ thẳng hàng).
2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình thu được hay không.
Trong hầu hết các trường hợp, việc kiểm tra phân tích có thể được thực hiện dễ dàng bằng miệng. Nhìn vào hai phương trình, nhiều bạn sẽ nhanh chóng xác định được độ song song của các đường thẳng mà không cần vẽ hình.
Ví dụ về các giải pháp độc lập ngày nay sẽ rất sáng tạo. Bởi vì bạn vẫn sẽ phải cạnh tranh với Baba Yaga, và bạn biết đấy, cô ấy là người yêu thích đủ loại câu đố.
Ví dụ 3
Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm song song với đường thẳng nếu
Có một cách hợp lý và không quá hợp lý để giải quyết nó. Con đường ngắn nhất là ở cuối bài học.
Chúng ta đã làm việc một chút với các đường thẳng song song và sẽ quay lại với chúng sau. Trường hợp các đường thẳng trùng nhau ít được quan tâm, hãy xét một bài toán rất quen thuộc với các bạn trong chương trình học ở trường:
Làm thế nào để tìm giao điểm của hai đường thẳng?Nếu thẳng 
cắt nhau tại một điểm thì tọa độ của nó là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 
Làm thế nào để tìm điểm giao nhau của đường? Giải quyết hệ thống.
Đây là ý nghĩa hình học của một hệ gồm hai phương trình tuyến tính có hai ẩn số - đây là hai đường thẳng giao nhau (thường xuyên nhất) trên một mặt phẳng.
Ví dụ 4
Tìm giao điểm của đường
Giải pháp: Có hai cách giải - đồ họa và phân tích.
Phương pháp đồ họa chỉ đơn giản là vẽ các đường đã cho và tìm ra điểm giao nhau trực tiếp từ bản vẽ: 
Đây là quan điểm của chúng tôi: . Để kiểm tra, bạn thay tọa độ của nó vào từng phương trình của đường thẳng thì phải vừa chỗ này vừa chỗ kia. Nói cách khác, tọa độ của một điểm là nghiệm của hệ thống. Về cơ bản, chúng tôi đã xem xét một phương pháp đồ họa để giải một hệ phương trình tuyến tính với hai phương trình, hai ẩn số.
Tất nhiên, phương pháp đồ họa không tệ, nhưng có những nhược điểm đáng chú ý. Không, vấn đề không phải là học sinh lớp bảy quyết định theo cách này, vấn đề là sẽ mất thời gian để tạo ra một bức vẽ đúng và CHÍNH XÁC. Ngoài ra, một số đường thẳng không dễ xây dựng và bản thân điểm giao nhau có thể nằm ở đâu đó trong vương quốc thứ ba mươi bên ngoài trang sổ tay.
Vì vậy, sẽ tốt hơn nếu tìm kiếm điểm giao nhau bằng phương pháp phân tích. Hãy giải hệ phương trình: 
Để giải hệ phương trình, người ta sử dụng phương pháp cộng từng số hạng của phương trình. Để phát triển các kỹ năng liên quan, hãy tham khảo bài học Cách giải hệ phương trình?
Trả lời :
Việc kiểm tra rất đơn giản - tọa độ của điểm giao nhau phải thỏa mãn mọi phương trình của hệ thống.
Ví dụ 5
Tìm giao điểm của các đường nếu chúng cắt nhau.
Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Thật thuận tiện để chia nhiệm vụ thành nhiều giai đoạn. Phân tích tình trạng cho thấy rằng cần thiết:
1) Viết phương trình đường thẳng.
2) Viết phương trình đường thẳng.
3) Tìm vị trí tương đối của các đường thẳng.
4) Nếu các đường thẳng cắt nhau thì tìm giao điểm.
Sự phát triển của một thuật toán hành động là điển hình cho nhiều bài toán hình học và tôi sẽ tập trung nhiều lần vào vấn đề này.
Lời giải và đáp án đầy đủ ở cuối bài:
Thậm chí không một đôi giày nào bị mòn trước khi chúng ta bước sang phần thứ hai của bài học:
Các đường vuông góc. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.Góc giữa các đường thẳng
Hãy bắt đầu với một nhiệm vụ điển hình và rất quan trọng. Ở phần đầu tiên chúng ta đã học cách dựng một đường thẳng song song với đường thẳng này và bây giờ túp lều trên chân gà sẽ quay 90 độ:
Làm thế nào để dựng một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng đã cho?Ví dụ 6
Đường thẳng được cho bởi phương trình. Viết phương trình vuông góc với đường thẳng đi qua điểm đó.
Giải: Theo điều kiện ta biết rằng . Sẽ thật tuyệt nếu tìm được vectơ chỉ hướng của đường thẳng. Vì các đường thẳng vuông góc nên thủ thuật rất đơn giản:
Từ phương trình, chúng ta “loại bỏ” vectơ pháp tuyến: , đây sẽ là vectơ chỉ hướng của đường thẳng.
Viết phương trình đường thẳng sử dụng vectơ chỉ phương và điểm:
Trả lời : 
Hãy mở rộng bản phác thảo hình học:
Hmmm... Bầu trời màu cam, biển màu cam, lạc đà màu cam.
Phân tích xác minh giải pháp:
1) Chúng ta loại bỏ các vectơ chỉ phương từ các phương trình 
và sử dụng tích vô hướng của vectơ chúng ta đi đến kết luận rằng các đường thẳng thực sự vuông góc: .
Nhân tiện, bạn có thể sử dụng vectơ pháp tuyến, điều đó thậm chí còn dễ dàng hơn.
2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình thu được không 
.
Bài kiểm tra này, một lần nữa, rất dễ thực hiện bằng miệng.
Ví dụ 7
Tìm giao điểm của các đường vuông góc nếu biết phương trình 
và thời kỳ.
Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Trong bài toán có một số hành động nên việc xây dựng giải pháp theo từng điểm sẽ rất thuận tiện.
Cuộc hành trình thú vị của chúng tôi tiếp tục:
Khoảng cách từ điểm tới đườngTrước mặt chúng ta là một dải sông thẳng tắp và nhiệm vụ của chúng ta là đi đến đó bằng con đường ngắn nhất. Không có chướng ngại vật và con đường tối ưu nhất sẽ là di chuyển vuông góc. Nghĩa là, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài của đoạn vuông góc.
Khoảng cách trong hình học theo truyền thống được biểu thị bằng chữ cái Hy Lạp “rho”, ví dụ: – khoảng cách từ điểm “em” đến đường thẳng “de”.
Khoảng cách từ điểm tới đường 
được thể hiện bằng công thức 
Ví dụ 8
Tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 
Giải pháp: tất cả những gì bạn cần làm là cẩn thận thay thế các số vào công thức và thực hiện các phép tính:
Trả lời : 
Hãy thực hiện bản vẽ: 
Khoảng cách tìm được từ điểm đến đường thẳng chính xác là độ dài của đoạn màu đỏ. Nếu bạn vẽ một bức vẽ trên giấy ca-rô theo tỷ lệ 1 đơn vị. = 1 cm (2 ô) thì khoảng cách có thể đo được bằng thước thông thường.
Hãy xem xét một nhiệm vụ khác dựa trên cùng một bản vẽ:
Nhiệm vụ là tìm tọa độ của một điểm đối xứng với điểm đó so với đường thẳng 
. Tôi khuyên bạn nên tự mình thực hiện các bước, nhưng tôi sẽ phác thảo một thuật toán giải với kết quả trung gian:
1) Tìm đường thẳng vuông góc với đường thẳng đó.
2) Tìm giao điểm của các đường thẳng: 
.
Cả hai hành động đều được thảo luận chi tiết trong bài học này.
3) Điểm là trung điểm của đoạn thẳng. Chúng ta biết tọa độ của phần giữa và một phần cuối. Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng ta tìm được .
Sẽ là một ý tưởng tốt nếu kiểm tra xem khoảng cách cũng là 2,2 đơn vị.
Ở đây có thể nảy sinh khó khăn khi tính toán, nhưng máy tính vi mô là một trợ giúp đắc lực trong tháp, cho phép bạn tính các phân số thông thường. Mình đã khuyên bạn nhiều lần và sẽ giới thiệu lại cho bạn.
Làm thế nào để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song?Ví dụ 9
Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Đây là một ví dụ khác để bạn tự quyết định. Tôi sẽ cho bạn một gợi ý nhỏ: có vô số cách để giải quyết vấn đề này. Tóm tắt cuối bài nhưng tốt hơn hết bạn nên tự mình đoán xem, tôi nghĩ khả năng khéo léo của bạn đã phát triển tốt.
Góc giữa hai đường thẳngMỗi góc đều là một jamb: 
Trong hình học, góc giữa hai đường thẳng được lấy là góc NHỎ hơn, từ đó tự động suy ra không thể tù được. Trong hình, góc được biểu thị bằng cung màu đỏ không được coi là góc giữa các đường thẳng cắt nhau. Và người hàng xóm “xanh” của anh ấy hoặc định hướng trái ngược góc "quả mâm xôi".
Nếu các đường thẳng vuông góc thì bất kỳ góc nào trong 4 góc đều có thể coi là góc giữa chúng.
Các góc khác nhau như thế nào? Định hướng. Thứ nhất, hướng mà góc được “cuộn” về cơ bản là quan trọng. Thứ hai, góc định hướng âm được viết bằng dấu trừ, ví dụ nếu .
Tại sao tôi lại nói với bạn điều này? Có vẻ như chúng ta có thể hiểu được khái niệm thông thường về một góc. Thực tế là các công thức dùng để tìm góc có thể dễ dàng dẫn đến kết quả âm và điều này không làm bạn ngạc nhiên. Một góc có dấu trừ cũng không tệ hơn và có ý nghĩa hình học rất cụ thể. Trong bản vẽ, đối với góc âm, hãy đảm bảo chỉ ra hướng của nó bằng một mũi tên (theo chiều kim đồng hồ).
Làm thế nào để tìm góc giữa hai đường thẳng?
Có hai công thức làm việc:
Ví dụ 10
Tìm góc giữa các đường thẳng
Giải pháp và phương pháp một 
Xét hai đường thẳng được xác định bởi phương trình ở dạng tổng quát: Nếu các đường thẳng không vuông góc thìđịnh hướng 
Góc giữa chúng có thể được tính bằng công thức:
Chúng ta hãy chú ý đến mẫu số - đây chính xác là tích vô hướng của các vectơ chỉ phương của các đường thẳng:
Nếu , thì mẫu số của công thức sẽ bằng 0 và các vectơ sẽ trực giao và các đường thẳng sẽ vuông góc. Đó là lý do tại sao người ta bảo lưu tính không vuông góc của các đường thẳng trong công thức.
Dựa trên những điều trên, thật thuận tiện để chính thức hóa giải pháp theo hai bước:
1) Hãy tính tích vô hướng của các vectơ chỉ phương của các đường thẳng:
, có nghĩa là các đường thẳng không vuông góc.
2) Tìm góc giữa các đường thẳng bằng công thức: 
Trả lời : 
Sử dụng hàm nghịch đảo, bạn có thể dễ dàng tìm được góc đó. Trong trường hợp này, chúng tôi sử dụng độ lẻ của arctang (xem Đồ thị và tính chất của các hàm cơ bản):
Trong câu trả lời của bạn, chúng tôi chỉ ra giá trị chính xác cũng như giá trị gần đúng (tốt nhất là theo cả độ và radian), được tính bằng máy tính. 
Vâng, trừ, trừ, không có gì to tát cả. Đây là một minh họa hình học:
Không có gì đáng ngạc nhiên khi góc hóa ra có hướng âm, bởi vì trong câu lệnh bài toán, số đầu tiên là một đường thẳng và việc “tháo” góc bắt đầu chính xác từ nó. 
, và lấy các hệ số từ phương trình đầu tiên. Nói tóm lại, bạn cần bắt đầu bằng cách trực tiếp 
.