Điều kiện để vectơ vuông góc
Các vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
Cho hai vectơ a(xa;ya) và b(xb;yb). Các vectơ này sẽ vuông góc nếu biểu thức xaxb + yayb = 0.
Các vectơ song song nếu tích chéo của chúng bằng 0
Phương trình đường thẳng trên mặt phẳng. Các bài toán cơ bản về đường thẳng trên mặt phẳng.
Bất kỳ đường thẳng nào trên mặt phẳng đều có thể được xác định bằng phương trình bậc nhất Ax + By + C = 0 và các hằng số A và B không bằng 0 cùng một lúc, tức là. A2 + B2 0. Phương trình bậc nhất này được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. Tùy thuộc vào giá trị của các hằng số A, B và C, có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt sau: - C = 0, A 0, B 0 – đường thẳng đi qua gốc tọa độ - A = 0, B 0 , C 0 ( Bởi
C = 0) - đường thẳng song song với trục Oy - B = 0, A 0, C 0 ( Ax + C = 0) - đường thẳng song song với trục Oy - B = C = 0, A 0 - đường thẳng trùng với trục Oy - A = C = 0, B 0 – đường thẳng trùng với trục Ox Phương trình đường thẳng có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau tùy theo điều kiện ban đầu cho trước.
Nếu ít nhất một trong các hệ số A, B, C của cấp Ax+By+C=0 bằng 0 thì cấp
gọi điện không đầy đủ. Dựa vào phương trình đường thẳng có thể xác định được vị trí của nó trên
độ phẳng OXU. Các trường hợp có thể xảy ra:
1 C=0 L: Ax+By=0 t O(0,0) thỏa mãn phương trình này, nghĩa là nó thẳng
đi qua gốc tọa độ
2 A=0 L: Ву+С=0 - góc quay bình thường n=(0,B) vuông góc với trục OX từ đây
suy ra đường thẳng đó song song với trục OX
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 - giá trị danh nghĩa n=(A,0) vuông góc với trục OY từ đây
theo đó đường thẳng song song với trục của op-amp
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A(0, B(0, C(0 L; - không đi qua gốc tọa độ và cắt nhau
cả hai trục.
Phương trình đường thẳng trên mặt phẳng đi qua hai điểm cho trước và: 
Góc giữa các mặt phẳng.
Tính toán các yếu tố quyết định
Việc tính toán các định thức dựa trên các thuộc tính đã biết của chúng, áp dụng cho các định thức của tất cả các bậc. Đây là những thuộc tính:
1. Nếu sắp xếp lại hai hàng (hoặc hai cột) của định thức thì định thức sẽ đổi dấu.
2. Nếu các phần tử tương ứng của hai cột (hoặc hai hàng) của định thức bằng nhau hoặc tỷ lệ thuận thì định thức đó bằng 0.
3. Giá trị của định thức sẽ không thay đổi nếu bạn hoán đổi hàng và cột, duy trì thứ tự của chúng.
4. Nếu tất cả các phần tử của một hàng (hoặc cột) có một ước chung thì có thể loại ra khỏi dấu định thức.
5. Giá trị của định thức không thay đổi nếu cộng các phần tử tương ứng của hàng (hoặc cột) khác với các phần tử của một hàng (hoặc cột) nhân với cùng một số.
Ma trận và các hành động phía trên chúng
Ma trận- một đối tượng toán học được viết dưới dạng một bảng số hình chữ nhật (hoặc các phần tử của một vòng) và cho phép thực hiện các phép toán đại số (cộng, trừ, nhân, v.v.) giữa nó và các đối tượng tương tự khác. Thông thường, ma trận được biểu diễn dưới dạng bảng hai chiều (hình chữ nhật). Đôi khi ma trận nhiều chiều hoặc ma trận không phải hình chữ nhật được xem xét.
Thông thường, ma trận được ký hiệu bằng chữ in hoa của bảng chữ cái Latinh và được đánh dấu bằng dấu ngoặc tròn “(…)” (cũng được đánh dấu bằng dấu ngoặc vuông “[…]” hoặc đường thẳng kép “||…||”) .
Các số tạo nên ma trận (các phần tử của ma trận) thường được ký hiệu bằng cùng một chữ cái với chính ma trận nhưng viết thường (ví dụ: a11 là một phần tử của ma trận A).
Mỗi phần tử ma trận có 2 chỉ số dưới (aij) - chữ “i” đầu tiên biểu thị số hàng chứa phần tử đó và chữ “j” thứ hai biểu thị số cột. Người ta nói “ma trận chiều”, nghĩa là ma trận có m hàng và n cột. Luôn trong cùng một ma trận
Các phép toán trên ma trận
Gọi aij là các phần tử của ma trận A và bij là các phần tử của ma trận B.
Hoạt động tuyến tính:
Nhân ma trận A với một số λ (ký hiệu: λA) bao gồm việc dựng một ma trận B, các phần tử của ma trận đó thu được bằng cách nhân từng phần tử của ma trận A với số này, nghĩa là mỗi phần tử của ma trận B bằng
Phép cộng ma trận A + B là phép tính tìm ma trận C có các phần tử của ma trận đó bằng tổng từng cặp tất cả các phần tử tương ứng của ma trận A và B, nghĩa là mỗi phần tử của ma trận C bằng
Phép trừ ma trận A − B được định nghĩa tương tự như phép cộng, đây là phép tìm ma trận C có các phần tử
Phép cộng và phép trừ chỉ được phép đối với các ma trận có cùng kích thước.
Tồn tại ma trận 0 Θ sao cho việc thêm nó vào ma trận A khác không làm thay đổi A, tức là
Tất cả các phần tử của ma trận 0 đều bằng 0.
Hoạt động phi tuyến:
Phép nhân ma trận (ký hiệu: AB, ít thường xuyên hơn với dấu nhân) là phép tính ma trận C, các phần tử của nó bằng tổng các tích của các phần tử ở hàng tương ứng của thừa số thứ nhất và cột của thừa số thứ hai .cij = ∑ aikbkj k
Yếu tố đầu tiên phải có cùng số cột với số hàng trong yếu tố thứ hai. Nếu ma trận A có thứ nguyên B - thì thứ nguyên của tích AB = C của chúng là. Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.
Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp. Chỉ có thể nâng ma trận vuông lên lũy thừa.
Chuyển vị ma trận (ký hiệu: AT) là phép toán trong đó ma trận được phản ánh so với đường chéo chính, tức là
Nếu A là ma trận kích thước thì AT là ma trận kích thước
Đạo hàm của hàm phức
Hàm phức có dạng: F(x) = f(g(x)), tức là là một hàm của một hàm. Ví dụ: y = sin2x, y = ln(x2+2x), v.v.
Nếu tại điểm x hàm số g(x) có đạo hàm g"(x), và tại điểm u = g(x) hàm số f(u) có đạo hàm f"(u), thì đạo hàm của hàm số phức f(g(x)) tại điểm x tồn tại và bằng f"(u)g"(x).
Đạo hàm hàm ẩn
Trong nhiều bài toán, hàm y(x) được xác định ngầm định. Ví dụ: đối với các chức năng dưới đây
không thể thu được sự phụ thuộc y(x) một cách rõ ràng.
Thuật toán tính đạo hàm y"(x) từ một hàm ẩn như sau:
Trước tiên, bạn cần vi phân cả hai vế của phương trình theo x, giả sử rằng y là hàm khả vi của x và sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm phức;
Giải phương trình thu được cho đạo hàm y"(x).
Hãy xem xét một vài ví dụ để minh họa.
Đạo hàm hàm y(x) cho bởi phương trình.
Hãy đạo hàm cả hai vế của phương trình đối với biến x:
điều gì dẫn đến kết quả
Quy tắc Lapital
Quy tắc L'Hopital. Đặt hàm f(x) và g(x) có trong môi trường. t-ki x0 pr-nye f' và g' loại trừ khả năng của chính điều này t-tu x0. Đặt lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 sao cho f(x)/g(x) tại x®x0 cho 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4), khi nó trùng với giới hạn tỉ số của hàm lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim(x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)
44
.1.(Tiêu chí tính đơn điệu của hàm số có đạo hàm trên đoạn) Đặt hàm 
liên tục trên
(a,b) và có đạo hàm f"(x) tại mỗi điểm. Khi đó
1)f tăng bởi (a,b) khi và chỉ khi
2) giảm đi (a,b) khi và chỉ khi
2. (Điều kiện đủ cho tính đơn điệu chặt chẽ của hàm số có đạo hàm trên đoạn) Giả sử hàm số 
liên tục trên (a,b) và có đạo hàm f"(x) tại mỗi điểm. Khi đó
1) nếu thì f tăng chặt chẽ trên (a,b);
2) nếu thì f giảm chặt chẽ trên (a,b).
Điều ngược lại, nói chung, là không đúng. Đạo hàm của hàm đơn điệu chặt chẽ có thể triệt tiêu. Tuy nhiên, tập hợp các điểm có đạo hàm khác 0 phải trù mật trên đoạn (a,b). Chính xác hơn là có.
3. (Tiêu chí tính đơn điệu chặt chẽ của hàm số có đạo hàm trên khoảng) Giả sử và đạo hàm f"(x) được xác định ở mọi nơi trên khoảng. Khi đó f tăng đúng trên khoảng (a,b) khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn:
Tích vô hướng của vectơ. Góc giữa các vectơ. Điều kiện song song hoặc vuông góc của vectơ.
Tích vô hướng của vectơ là tích độ dài của chúng và cosin của góc giữa chúng:
Các phát biểu sau đây được chứng minh theo cách tương tự như trong phép đo mặt phẳng:
Tích vô hướng của hai vectơ khác 0 bằng 0 khi và chỉ khi các vectơ vuông góc.
Bình phương vô hướng của một vectơ, tức là tích vô hướng của chính nó và chính nó, bằng bình phương chiều dài của nó.
Tích vô hướng của hai vectơ và được cho bởi tọa độ của chúng có thể được tính bằng công thức
Các vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0. Ví dụ. Cho hai vectơ và . Các vectơ này sẽ vuông góc nếu biểu thức x1x2 + y1y2 = 0. Góc giữa các vectơ khác 0 là góc giữa các đường thẳng mà các vectơ này là hướng dẫn. Theo định nghĩa, góc giữa bất kỳ vectơ nào và vectơ 0 được coi là bằng 0. Nếu góc giữa các vectơ là 90° thì các vectơ đó được gọi là vuông góc. Ta sẽ ký hiệu góc giữa các vectơ như sau:
Bài viết này trình bày ý nghĩa về sự vuông góc của hai vectơ trên một mặt phẳng trong không gian ba chiều và tìm tọa độ của vectơ vuông góc với một hoặc cả cặp vectơ. Đề tài áp dụng cho các bài toán liên quan đến phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
Chúng ta sẽ xét điều kiện cần và đủ cho sự vuông góc của hai vectơ, giải phương pháp tìm vectơ vuông góc với một vectơ cho trước và đề cập đến các tình huống tìm vectơ vuông góc với hai vectơ.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ vuông góc
Hãy áp dụng quy tắc vectơ vuông góc trên mặt phẳng và trong không gian ba chiều.
Định nghĩa 1
Với điều kiện góc giữa hai vectơ khác 0 bằng 90 ° (π 2 radian) được gọi là vuông góc.
Điều này có nghĩa là gì và trong những tình huống nào cần phải biết về độ vuông góc của chúng?
Có thể thiết lập độ vuông góc thông qua bản vẽ. Khi vẽ một vectơ trên mặt phẳng từ các điểm đã cho, bạn có thể đo góc hình học giữa chúng. Ngay cả khi độ vuông góc của các vectơ được thiết lập thì nó cũng sẽ không hoàn toàn chính xác. Thông thường, các tác vụ này không cho phép bạn thực hiện việc này bằng thước đo góc, vì vậy phương pháp này chỉ có thể áp dụng khi không biết gì khác về vectơ.
Hầu hết các trường hợp chứng minh sự vuông góc của hai vectơ khác 0 trên mặt phẳng hoặc trong không gian đều được thực hiện bằng cách sử dụng điều kiện cần và đủ để hai vectơ vuông góc.
Định lý 1
Tích vô hướng của hai vectơ khác 0 a → và b → bằng 0 để thỏa mãn đẳng thức a → , b → = 0 là đủ để chúng vuông góc.
Bằng chứng 1
Giả sử các vectơ a → và b → vuông góc thì ta sẽ chứng minh đẳng thức a ⇀, b → = 0.
Từ định nghĩa của tích số chấm của vectơ chúng tôi biết rằng nó bằng tích độ dài của các vectơ đã cho và cosin của góc giữa chúng. Theo điều kiện, a → và b → vuông góc và do đó, dựa trên định nghĩa, góc giữa chúng là 90 °. Khi đó ta có a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
Phần thứ hai của chứng minh
Với điều kiện a ⇀, b → = 0, chứng minh sự vuông góc của a → và b →.
Trên thực tế, chứng minh ngược lại với chứng minh trước. Biết rằng a → và b → khác 0, nghĩa là từ đẳng thức a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ ta tìm được cosin. Sau đó, chúng ta nhận được cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Vì cosin bằng 0 nên chúng ta có thể kết luận rằng góc a →, b → ^ của vectơ a → và b → bằng 90 °. Theo định nghĩa, đây là thuộc tính cần và đủ.
Điều kiện vuông góc trên mặt phẳng tọa độ
chương tích vô hướng trong tọa độ biểu diễn bất đẳng thức (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , hợp lệ với các vectơ có tọa độ a → = (a x , a y) và b → = (b x , b y), trên mặt phẳng và (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y đối với các vectơ a → = (a x , a y , a z) và b → = (b x , b y , b z) trong không gian. Điều kiện cần và đủ để hai vectơ vuông góc trong mặt phẳng tọa độ là a x · b x + a y · b y = 0, cho không gian ba chiều a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.
Hãy áp dụng nó vào thực tế và xem xét các ví dụ.
Ví dụ 1
Kiểm tra tính chất vuông góc của hai vectơ a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).
Giải pháp
Để giải quyết vấn đề này, bạn cần tìm tích vô hướng. Nếu theo điều kiện nó bằng 0 thì chúng vuông góc.
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Điều kiện được đáp ứng, có nghĩa là các vectơ đã cho vuông góc với mặt phẳng.
Trả lời:đúng, các vectơ đã cho a → và b → vuông góc.
Ví dụ 2
Các vectơ tọa độ i → , j → , k → đã cho. Kiểm tra xem các vectơ i → - j → và i → + 2 · j → + 2 · k → có thể vuông góc hay không.
Giải pháp
Để nhớ cách xác định tọa độ vectơ, bạn cần đọc bài viết về tọa độ vectơ trong hệ tọa độ chữ nhật. Như vậy, ta thấy các vectơ đã cho i → - j → và i → + 2 · j → + 2 · k → có tọa độ tương ứng (1, - 1, 0) và (1, 2, 2). Chúng ta thay thế các giá trị số và nhận được: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
Biểu thức không bằng 0, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, nghĩa là các vectơ i → - j → và i → + 2 j → + 2 k → không vuông góc vì không thỏa mãn điều kiện.
Trả lời: không, các vectơ i → - j → và i → + 2 · j → + 2 · k → không vuông góc.
Ví dụ 3
Cho vectơ a → = (1, 0, - 2) và b → = (λ, 5, 1). Tìm giá trị của λ tại đó các vectơ này vuông góc.
Giải pháp
Sử dụng điều kiện vuông góc của hai vectơ trong không gian dưới dạng hình vuông, ta có
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
Trả lời: các vectơ vuông góc tại giá trị λ = 2.
Có những trường hợp vấn đề vuông góc là không thể xảy ra ngay cả trong điều kiện cần và đủ. Với dữ liệu đã biết về ba cạnh của một tam giác trên hai vectơ, có thể tìm được góc giữa các vectơ và kiểm tra nó.
Ví dụ 4
Cho tam giác A B C có cạnh A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm. Kiểm tra các vectơ A B → và A C → vuông góc.
Giải pháp
Nếu các vectơ A B → và A C → vuông góc thì tam giác A B C được coi là hình chữ nhật. Sau đó, chúng ta áp dụng định lý Pythagore, trong đó B C là cạnh huyền của tam giác. Đẳng thức B C 2 = A B 2 + A C 2 phải đúng. Suy ra 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Điều này có nghĩa là A B và A C là hai chân của tam giác A B C nên A B → và A C → vuông góc.
Điều quan trọng là học cách tìm tọa độ của một vectơ vuông góc với một vectơ đã cho. Điều này có thể xảy ra cả trên mặt phẳng và trong không gian, với điều kiện là các vectơ vuông góc.
Tìm một vectơ vuông góc với một vectơ cho trước trong mặt phẳng.
Một vectơ khác 0 a → có thể có vô số vectơ vuông góc trên mặt phẳng. Hãy mô tả điều này trên đường tọa độ.
Cho vectơ khác 0 a → nằm trên đường thẳng a. Khi đó a b → cho trước, nằm trên bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng a, sẽ vuông góc với a →. Nếu vectơ i → vuông góc với vectơ j → hoặc bất kỳ vectơ λ · j → nào với λ bằng bất kỳ số thực nào khác 0 thì tìm tọa độ của vectơ b → vuông góc với a → = (a x , a y ) được rút gọn thành tập vô hạn nghiệm. Nhưng cần tìm tọa độ của vectơ vuông góc với a → = (a x , a y). Để làm được điều này, cần viết điều kiện vuông góc của vectơ dưới dạng: a x · b x + a y · b y = 0. Chúng ta có b x và b y, đây là tọa độ mong muốn của vectơ vuông góc. Khi a x ≠ 0, giá trị của b y khác 0 và b x có thể được tính từ bất đẳng thức a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Với a x = 0 và a y ≠ 0, chúng ta gán b x bất kỳ giá trị nào khác 0 và tìm b y từ biểu thức b y = - a x · b x a y .
Ví dụ 5
Cho một vectơ có tọa độ a → = (- 2 , 2) . Tìm một vectơ vuông góc với điều này.
Giải pháp
Chúng ta hãy biểu thị vectơ mong muốn là b → (b x , b y) . Tọa độ của nó có thể được tìm thấy từ điều kiện các vectơ a → và b → vuông góc. Khi đó chúng ta nhận được: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Hãy gán b y = 1 và thay thế: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Do đó, từ công thức chúng ta nhận được b x = - 2 - 2 = 1 2. Điều này có nghĩa là vectơ b → = (1 2 , 1) là vectơ vuông góc với a → .
Trả lời: b → = (1 2 , 1) .
Nếu câu hỏi được đặt ra về không gian ba chiều thì bài toán sẽ được giải theo nguyên tắc tương tự. Với một vectơ cho trước a → = (a x , a y , a z) có vô số vectơ vuông góc. Sẽ sửa lỗi này trên mặt phẳng tọa độ ba chiều. Cho a → nằm trên đường thẳng a. Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng a được ký hiệu là α. Trong trường hợp này, mọi vectơ b → khác 0 từ mặt phẳng α đều vuông góc với a →.
Cần tìm tọa độ của b → vuông góc với vectơ khác 0 a → = (a x , a y , a z) .
Cho b → có tọa độ b x , b y và b z . Để tìm chúng cần áp dụng định nghĩa điều kiện vuông góc của hai vectơ. Đẳng thức a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 phải được thỏa mãn. Từ điều kiện a → khác 0, nghĩa là một trong các tọa độ có giá trị khác 0. Giả sử a x ≠ 0, (a y ≠ 0 hoặc a z ≠ 0). Do đó, ta có quyền chia toàn bộ bất đẳng thức a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 theo tọa độ này, ta thu được biểu thức b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Ta gán giá trị bất kỳ cho tọa độ b y và b x, tính giá trị b x dựa trên công thức b x = - a y · b y + a z · b z a x. Vectơ vuông góc mong muốn sẽ có giá trị a → = (a x, a y, a z).
Hãy xem xét bằng chứng bằng một ví dụ.
Ví dụ 6
Cho một vectơ có tọa độ a → = (1, 2, 3) . Tìm một vectơ vuông góc với vectơ đã cho.
Giải pháp
Chúng ta hãy biểu thị vectơ mong muốn bằng b → = (b x , b y , b z) . Dựa vào điều kiện các vectơ vuông góc, tích vô hướng phải bằng 0.
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Nếu giá trị của b y = 1, b z = 1 thì b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Theo đó tọa độ của vectơ b → (- 5 , 1 , 1) . Vector b → là một trong các vectơ vuông góc với vectơ đã cho.
Trả lời: b → = (- 5 , 1 , 1) .
Tìm tọa độ của một vectơ vuông góc với hai vectơ đã cho
Chúng ta cần tìm tọa độ của vectơ trong không gian ba chiều. Nó vuông góc với các vectơ không thẳng hàng a → (a x , a y , a z) và b → = (b x , b y , b z) . Với điều kiện là các vectơ a → và b → thẳng hàng, chỉ cần tìm một vectơ vuông góc với a → hoặc b → trong bài toán là đủ.
Khi giải người ta sử dụng khái niệm tích vectơ của vectơ.
Tích vectơ của vectơ a → và b → là một vectơ vuông góc đồng thời với cả a → và b →. Để giải quyết vấn đề này, tích vectơ a → × b → được sử dụng. Đối với không gian ba chiều, nó có dạng a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Chúng ta hãy xem xét tích vectơ chi tiết hơn bằng cách sử dụng một bài toán ví dụ.
Ví dụ 7
Các vectơ b → = (0, 2, 3) và a → = (2, 1, 0) đã cho. Tìm tọa độ của bất kỳ vectơ nào vuông góc với dữ liệu cùng một lúc.
Giải pháp
Để giải, bạn cần tìm tích vectơ của vectơ. (Xin tham khảo đoạn tính định thức của ma trậnđể tìm vectơ). Chúng tôi nhận được:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 tôi → + (- 6) j → + 4k →
Trả lời: (3 , - 6 , 4) - tọa độ của một vectơ đồng thời vuông góc với a → và b → đã cho.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
om Để làm điều này, trước tiên chúng tôi giới thiệu khái niệm về một phân khúc.
Định nghĩa 1
Chúng ta sẽ gọi một đoạn là một phần của đường được giới hạn bởi các điểm ở cả hai phía.
Định nghĩa 2
Điểm cuối của một đoạn là những điểm giới hạn nó.
Để giới thiệu định nghĩa về vectơ, chúng ta gọi một trong các đầu của đoạn thẳng là điểm đầu của nó.
Định nghĩa 3
Chúng ta sẽ gọi một vectơ (đoạn có hướng) là một đoạn trong đó nó cho biết điểm biên nào là điểm đầu và điểm nào là điểm cuối của nó.
Ký hiệu: \overline(AB) là vectơ AB bắt đầu tại điểm A và kết thúc tại điểm B.
Ngược lại, bằng một chữ cái nhỏ: \overline(a) (Hình 1).
Định nghĩa 4
Chúng ta sẽ gọi vectơ 0 là bất kỳ điểm nào thuộc mặt phẳng.
Ký hiệu: \overline(0) .
Bây giờ chúng ta giới thiệu trực tiếp định nghĩa của vectơ thẳng hàng.
Chúng ta cũng sẽ giới thiệu định nghĩa của tích vô hướng mà chúng ta sẽ cần sau này.
Định nghĩa 6
Tích vô hướng của hai vectơ đã cho là một (hoặc số) vô hướng bằng tích độ dài của hai vectơ này với cosin của góc giữa các vectơ này.
Về mặt toán học nó có thể trông như thế này:
\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))
Tích số chấm cũng có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng tọa độ vectơ như sau
\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
Dấu hiệu vuông góc thông qua tỷ lệ
Định lý 1
Để các vectơ khác 0 vuông góc với nhau, điều cần thiết và đủ là tích vô hướng của chúng bằng 0.
Bằng chứng.
Sự cần thiết: Cho các vectơ \overline(α) và \overline(β) có tọa độ lần lượt là (α_1,α_2,α_3) và (β_1,β_2,β_3) và chúng vuông góc với nhau. Khi đó ta cần chứng minh đẳng thức sau
Vì các vectơ \overline(α) và \overline(β) vuông góc với nhau nên góc giữa chúng là 90^0. Hãy tìm tích vô hướng của các vectơ này bằng công thức từ Định nghĩa 6.
\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0
Đủ: Hãy để đẳng thức là đúng \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Hãy chứng minh rằng các vectơ \overline(α) và \overline(β) sẽ vuông góc với nhau.
Theo định nghĩa 6, đẳng thức sẽ đúng
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
Cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ
Do đó, các vectơ \overline(α) và \overline(β) sẽ vuông góc với nhau.
Định lý đã được chứng minh.
Ví dụ 1
Chứng minh rằng các vectơ có tọa độ (1,-5,2) và (2,1,3/2) vuông góc.
Bằng chứng.
Hãy tìm tích vô hướng cho các vectơ này bằng công thức đã cho ở trên
\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
Điều này có nghĩa là, theo Định lý 1, các vectơ này vuông góc.
Tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ đã cho bằng cách sử dụng tích chéo
Đầu tiên chúng ta hãy giới thiệu khái niệm về tích vector.
Định nghĩa 7
Tích vectơ của hai vectơ sẽ là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đã cho và chiều dài của nó sẽ bằng tích độ dài của các vectơ này với sin góc giữa các vectơ này và vectơ này với hai những cái ban đầu có cùng hướng với hệ tọa độ Descartes.
Chỉ định: \overline(α)х\overline(β) x.
Để tìm tích vectơ, chúng ta sẽ sử dụng công thức
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x
Vì vectơ tích chéo của hai vectơ vuông góc với cả hai vectơ này nên nó sẽ là vectơ. Nghĩa là, để tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ, bạn chỉ cần tìm tích vectơ của chúng.
Ví dụ 2
Tìm một vectơ vuông góc với các vectơ có tọa độ \overline(α)=(1,2,3) và \overline(β)=(-1,0,3)
Hãy tìm tích vectơ của các vectơ này.
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x
Hướng dẫn
Nếu vectơ ban đầu được mô tả trong hình vẽ theo hệ tọa độ hai chiều hình chữ nhật và cần xây dựng một vectơ vuông góc ở đó, hãy tiến hành định nghĩa độ vuông góc của vectơ trên mặt phẳng. Nó tuyên bố rằng góc giữa một cặp phân đoạn có hướng như vậy phải bằng 90°. Có thể xây dựng được vô số vectơ như vậy. Do đó, hãy vẽ một đường vuông góc với vectơ ban đầu ở bất kỳ vị trí thuận tiện nào trên mặt phẳng, đặt một đoạn trên đó bằng độ dài của một cặp điểm có thứ tự cho trước và gán một trong các đầu của nó làm điểm bắt đầu của vectơ vuông góc. Làm điều này bằng cách sử dụng thước đo góc và thước kẻ.
Nếu vectơ ban đầu được cho bởi tọa độ hai chiều ā = (X₁;Y₁), giả sử rằng tích vô hướng của một cặp vectơ vuông góc phải bằng 0. Điều này có nghĩa là bạn cần chọn vectơ mong muốn ō = (X₂,Y₂) sao cho đẳng thức (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 sẽ giữ nguyên. Điều này có thể được thực hiện như thế này: chọn bất kỳ. giá trị khác 0 cho tọa độ X₂ và tính tọa độ Y₂ bằng công thức Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Ví dụ: đối với vectơ ā = (15;5) sẽ có vectơ ō, với hoành độ bằng 1 và tọa độ bằng -(15*1)/5 = -3, tức là. ôi = (1;-3).
Đối với hệ tọa độ ba chiều và bất kỳ hệ tọa độ trực giao nào khác, điều kiện cần và đủ giống nhau cho độ vuông góc của vectơ là đúng - tích vô hướng của chúng phải bằng 0. Do đó, nếu đoạn có hướng ban đầu được cho bởi tọa độ ā = (X₁,Y₁,Z₁), hãy chọn cặp điểm có thứ tự ō = (X₂,Y₂,Z₂) vuông góc với nó sao cho tọa độ thỏa mãn điều kiện (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Cách dễ nhất là gán các giá trị đơn lẻ cho X₂ và Y₂, rồi tính Z₂ từ đẳng thức đơn giản Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. Ví dụ: đối với vectơ ā = (3,5,4), giá trị này sẽ có dạng sau: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Sau đó lấy hoành độ và tọa độ của vectơ vuông góc là một, và trong trường hợp này nó sẽ bằng -(3+5)/4 = -2.
Nguồn:
- tìm vectơ nếu nó vuông góc
Chúng được gọi là vuông góc vectơ, góc giữa chúng bằng 90°. Các vectơ vuông góc được xây dựng bằng các công cụ vẽ. Nếu tọa độ của chúng được biết thì độ vuông góc của vectơ có thể được kiểm tra hoặc tìm thấy bằng phương pháp phân tích.
Bạn sẽ cần
- - thước đo góc;
- - la bàn;
- - cái thước kẻ.
Hướng dẫn
Đặt nó ở điểm bắt đầu của vectơ. Vẽ một đường tròn có bán kính tùy ý. Sau đó xây dựng hai điểm có tâm tại các điểm mà đường tròn đầu tiên cắt đường thẳng mà vectơ nằm trên đó. Bán kính của các hình tròn này phải bằng nhau và lớn hơn hình tròn đầu tiên được tạo. Tại giao điểm của các đường tròn, dựng một đường thẳng vuông góc với vectơ gốc tại gốc của nó và vẽ trên đó một vectơ vuông góc với vectơ này.
Tìm một vectơ vuông góc với vectơ có tọa độ và bằng (x;y). Để làm điều này, hãy tìm một cặp số (x1;y1) thỏa mãn đẳng thức x x1+y y1=0. Trong trường hợp này, vectơ có tọa độ (x1;y1) sẽ vuông góc với vectơ có tọa độ (x;y).