Hình bình hành là một lăng kính có đáy là hình bình hành. Trong trường hợp này, tất cả các cạnh sẽ hình bình hành.
Mỗi hình bình hành có thể được xem như một lăng kính theo ba cách khác nhau, vì mỗi hai mặt đối diện đều có thể được coi là đáy (trong Hình 5, các mặt ABCD và A"B"C"D", hoặc ABA"B" và CDC"D" , hoặc BCB "C" và ADA"D").
Cơ thể được đề cập có mười hai cạnh, bốn cạnh bằng nhau và song song với nhau.
Định lý 3
. Các đường chéo của một hình song song giao nhau tại một điểm, trùng với điểm giữa của mỗi đường chéo.
ABCDA"B"C"D" hình song song (Hình 5) có bốn đường chéo AC", BD", CA", DB". Chúng ta phải chứng minh rằng trung điểm của hai điểm bất kỳ trong số chúng, ví dụ AC và BD", trùng nhau. Điều này suy ra từ thực tế là hình ABC"D", có các cạnh AB và C"D bằng nhau và song song", là hình bình hành.
Định nghĩa 7
. Một hình bình hành bên phải là một hình bình hành cũng là một hình lăng trụ thẳng, nghĩa là một hình bình hành có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng của đáy.
Định nghĩa 8
. Một hình bình hành hình chữ nhật là một hình bình hành bên phải có đáy là hình chữ nhật. Trong trường hợp này, tất cả các mặt của nó sẽ là hình chữ nhật.
Một hình bình hành hình chữ nhật là một lăng kính vuông, bất kể mặt nào của nó được chúng ta lấy làm đáy, vì mỗi cạnh của nó vuông góc với các cạnh đi ra từ cùng một đỉnh và do đó sẽ vuông góc với các mặt phẳng được xác định. bởi các cạnh này. Ngược lại, một hình thẳng, chứ không phải hình chữ nhật, có thể được xem như một lăng kính thẳng chỉ theo một cách.
Định nghĩa 9
. Độ dài của ba cạnh của một hình bình hành hình chữ nhật, trong đó không có cạnh nào song song với nhau (ví dụ: ba cạnh cùng xuất hiện từ một đỉnh), được gọi là kích thước của nó. Hai hình bình hành hình chữ nhật có kích thước tương ứng bằng nhau hiển nhiên bằng nhau.
Định nghĩa 10
.Hình lập phương là một hình chữ nhật có hình song song, cả ba chiều đều bằng nhau nên tất cả các mặt của nó đều là hình vuông. Hai hình lập phương có cạnh bằng nhau thì bằng nhau. 
Định nghĩa 11
. Một hình song song nghiêng trong đó tất cả các cạnh bằng nhau và các góc của tất cả các mặt bằng nhau hoặc bổ sung được gọi là hình thoi.
Tất cả các mặt của hình thoi đều là hình thoi bằng nhau. (Một số tinh thể có tầm quan trọng lớn có hình dạng hình thoi, ví dụ, tinh thể thạch anh Iceland.) Trong một hình thoi, bạn có thể tìm thấy một đỉnh (và thậm chí là hai đỉnh đối diện) sao cho tất cả các góc liền kề với nó đều bằng nhau.
Định lý 4
. Các đường chéo của hình bình hành hình chữ nhật bằng nhau. Bình phương của đường chéo bằng tổng các bình phương của ba chiều.
Trong hình chữ nhật song song ABCDA"B"C"D" (Hình 6), các đường chéo AC" và BD" bằng nhau, vì tứ giác ABC"D" là hình chữ nhật (đường thẳng AB vuông góc với mặt phẳng ECB" C”, BC nằm trong đó”).
Ngoài ra, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 dựa trên định lý về bình phương cạnh huyền. Nhưng cũng dựa trên định lý đó AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; do đó chúng ta có:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.
Trong bài này mọi người sẽ được học chủ đề “Hình chữ nhật song song”. Mở đầu bài học, chúng ta sẽ nhắc lại thế nào là hình bình hành thẳng và tùy ý, nhớ tính chất các mặt đối diện và đường chéo của hình bình hành. Sau đó chúng ta sẽ xem hình khối là gì và thảo luận về các tính chất cơ bản của nó.
Đề tài: Độ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Bài học: Hình khối
Một mặt gồm hai hình bình hành bằng nhau ABCD và A 1 B 1 C 1 D 1 và bốn hình bình hành ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 được gọi là song song(Hình 1).
Cơm. 1 đường song song
Tức là: Ta có hai hình bình hành bằng nhau ABCD và A 1 B 1 C 1 D 1 (đáy), chúng nằm trên các mặt phẳng song song sao cho các cạnh AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 song song. Vì vậy, một mặt gồm các hình bình hành được gọi là song song.
Vì vậy, bề mặt của một hình bình hành là tổng của tất cả các hình bình hành tạo nên hình bình hành đó.
1. Các mặt đối diện của hình bình hành thì song song và bằng nhau.
(các hình bằng nhau, nghĩa là chúng có thể được kết hợp bằng cách chồng lên nhau)
Ví dụ:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (định nghĩa các hình bình hành bằng nhau),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (vì AA 1 B 1 B và DD 1 C 1 C là các mặt đối diện của hình bình hành),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (vì AA 1 D 1 D và BB 1 C 1 C là các mặt đối diện của hình bình hành).
2. Các đường chéo của một hình bình hành cắt nhau tại một điểm và bị chia đôi bởi điểm này.
Các đường chéo của các hình song song AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B cắt nhau tại một điểm O và mỗi đường chéo được chia đôi cho điểm này (Hình 2).
Cơm. 2 Các đường chéo của một hình song song giao nhau và được chia làm đôi bởi điểm giao nhau.
3. Có ba bộ tứ cạnh bằng nhau và song song của một hình bình hành: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Sự định nghĩa. Một hình bình hành được gọi là thẳng nếu các cạnh bên của nó vuông góc với các đáy.
Đặt cạnh bên AA 1 vuông góc với đáy (Hình 3). Điều này có nghĩa là đường thẳng AA 1 vuông góc với các đường thẳng AD và AB nằm trong mặt phẳng đáy. Điều này có nghĩa là các mặt bên chứa hình chữ nhật. Và các đáy chứa các hình bình hành tùy ý. Hãy ký hiệu ∠BAD = φ, góc φ có thể là bất kỳ.
Cơm. 3 Đường song song bên phải
Vì vậy, một hình bình hành bên phải là một hình bình hành trong đó các cạnh bên vuông góc với các đáy của hình bình hành.
Sự định nghĩa. Hình bình hành gọi là hình chữ nhật, nếu các cạnh bên của nó vuông góc với đáy. Các đế là hình chữ nhật.
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 hình song song là hình chữ nhật (Hình 4), nếu:
1. AA 1 ⊥ ABCD (cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy, tức là một đường thẳng song song).
2. ∠BAD = 90°, tức là đáy là hình chữ nhật.
Cơm. 4 Hình chữ nhật song song
Một hình bình hành hình chữ nhật có tất cả các đặc tính của một hình bình hành tùy ý. Nhưng có những tính chất bổ sung được rút ra từ định nghĩa về hình khối.
Vì thế, hình khối là một hình bình hành có các cạnh bên vuông góc với đáy. Đáy của hình lập phương là hình chữ nhật.
1. Trong một hình bình hành hình chữ nhật, tất cả sáu mặt đều là hình chữ nhật.
ABCD và A 1 B 1 C 1 D 1 theo định nghĩa là hình chữ nhật.
2. Các gân bên vuông góc với đáy. Điều này có nghĩa là tất cả các mặt bên của hình bình hành hình chữ nhật đều là hình chữ nhật.
3. Tất cả các góc nhị diện của hình bình hành hình chữ nhật đều vuông.
Ví dụ, chúng ta hãy xem xét góc nhị diện của một hình chữ nhật song song có cạnh AB, tức là góc nhị diện giữa các mặt phẳng ABC 1 và ABC.
AB là một cạnh, điểm A 1 nằm trên một mặt phẳng - trong mặt phẳng ABB 1 và điểm D nằm trong mặt phẳng kia - trong mặt phẳng A 1 B 1 C 1 D 1. Khi đó góc nhị diện đang xét cũng có thể được ký hiệu như sau: ∠A 1 ABD.
Lấy điểm A trên cạnh AB. AA 1 vuông góc với cạnh AB trong mặt phẳng АВВ-1, AD vuông góc với cạnh AB trong mặt phẳng ABC. Điều này có nghĩa là ∠A 1 AD là góc thẳng của một góc nhị diện cho trước. ∠A 1 AD = 90°, nghĩa là góc nhị diện ở cạnh AB là 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Tương tự, người ta chứng minh rằng mọi góc nhị diện của một hình bình hành hình chữ nhật đều đúng.
Bình phương đường chéo của một hình bình hành hình chữ nhật bằng tổng các bình phương ba chiều của nó.
Ghi chú. Độ dài của ba cạnh xuất phát từ một đỉnh của hình lập phương là số đo của hình lập phương đó. Chúng đôi khi được gọi là chiều dài, chiều rộng, chiều cao.
Cho: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - hình chữ nhật song song (Hình 5).
Chứng minh: .
Cơm. 5 Hình chữ nhật song song
Bằng chứng:
Đường thẳng CC1 vuông góc với mặt phẳng ABC và vuông góc với đường thẳng AC. Điều này có nghĩa là tam giác CC 1 A là vuông góc. Theo định lý Pythagore:
Xét tam giác vuông ABC. Theo định lý Pythagore:
Nhưng BC và AD là hai cạnh đối diện của hình chữ nhật. Vậy BC = AD. Sau đó:
Bởi vì , MỘT , Cái đó. Vì CC 1 = AA 1 nên đây là điều cần chứng minh.
Các đường chéo của hình bình hành hình chữ nhật bằng nhau.
Chúng ta hãy ký hiệu các kích thước của hình bình hành ABC là a, b, c (xem Hình 6), khi đó AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Hình bình hành là một hình hình học có 6 mặt đều là hình bình hành.
Tùy thuộc vào loại hình bình hành này, các loại hình bình hành sau đây được phân biệt:
- trực tiếp;
- nghiêng;
- hình chữ nhật.
Hình bình hành bên phải là hình lăng trụ tứ giác có các cạnh tạo một góc 90° với mặt phẳng đáy.
Hình bình hành hình chữ nhật là hình lăng trụ tứ giác có tất cả các mặt là hình chữ nhật. Hình lập phương là một loại hình lăng trụ tứ giác trong đó tất cả các mặt và các cạnh đều bằng nhau.
Các đặc điểm của một hình xác định trước các thuộc tính của nó. Trong đó có 4 câu sau:
Thật đơn giản để nhớ tất cả các tính chất trên, chúng dễ hiểu và được rút ra một cách hợp lý dựa trên loại và đặc điểm của vật thể hình học. Tuy nhiên, những câu lệnh đơn giản có thể cực kỳ hữu ích khi giải quyết các nhiệm vụ USE điển hình và sẽ tiết kiệm thời gian cần thiết để vượt qua bài kiểm tra.
Công thức song song
Để tìm câu trả lời cho bài toán, chỉ biết các tính chất của hình là chưa đủ. Bạn cũng có thể cần một số công thức để tìm diện tích và thể tích của một khối hình học.
Diện tích của các đáy được tìm theo cách tương tự như chỉ báo tương ứng của hình bình hành hoặc hình chữ nhật. Bạn có thể tự mình chọn đáy của hình bình hành. Theo quy định, khi giải quyết vấn đề, việc sử dụng lăng kính có đáy là hình chữ nhật sẽ dễ dàng hơn.
Công thức tìm bề mặt bên của hình bình hành cũng có thể cần thiết trong các bài kiểm tra.
Ví dụ giải các bài thi Thống nhất điển hình
Nhiệm vụ 1.
Được cho: một hình chữ nhật song song có kích thước 3, 4 và 12 cm.
Cần thiết tìm độ dài một trong các đường chéo chính của hình.
Giải pháp: Bất kỳ lời giải nào cho một bài toán hình học đều phải bắt đầu bằng việc xây dựng một bản vẽ chính xác và rõ ràng, trên đó sẽ chỉ ra “đã cho” và giá trị mong muốn. Hình dưới đây cho thấy một ví dụ về việc thực hiện đúng các điều kiện của nhiệm vụ.
Sau khi xem xét bản vẽ được thực hiện và ghi nhớ tất cả các tính chất của vật thể hình học, chúng ta đi đến phương pháp giải đúng duy nhất. Áp dụng tính chất thứ 4 của hình bình hành, ta thu được biểu thức sau:
Sau khi tính toán đơn giản, chúng ta nhận được biểu thức b2=169, do đó b=13. Câu trả lời cho nhiệm vụ đã được tìm thấy; bạn cần dành không quá 5 phút để tìm kiếm và vẽ nó.
Hình bình hành là một lăng trụ tứ giác có các hình bình hành ở đáy. Chiều cao của một hình bình hành là khoảng cách giữa các mặt phẳng của các đáy của nó. Trong hình, chiều cao được thể hiện bằng đoạn 
. Có hai loại hình song song: thẳng và nghiêng. Theo quy định, gia sư toán trước tiên đưa ra các định nghĩa thích hợp về lăng kính, sau đó chuyển chúng sang một hình bình hành. Chúng tôi sẽ làm như vậy.
Để tôi nhắc bạn rằng lăng kính được gọi là thẳng nếu các cạnh bên của nó vuông góc với các đáy; nếu không có sự vuông góc thì lăng kính được gọi là nghiêng. Thuật ngữ này cũng được kế thừa bởi đường song song. 
Hình bình hành bên phải không gì khác hơn là một loại hình lăng trụ thẳng, cạnh bên trùng với chiều cao. Các định nghĩa của các khái niệm như mặt, cạnh và đỉnh, những cái chung cho toàn bộ họ khối đa diện, vẫn được giữ nguyên. Khái niệm về những khuôn mặt đối diện xuất hiện. Hình bình hành có 3 cặp mặt đối diện, 8 đỉnh và 12 cạnh.
Đường chéo của hình bình hành (đường chéo của hình lăng trụ) là đoạn nối hai đỉnh của một khối đa diện và không nằm trên bất kỳ mặt nào của nó.
Phần chéo - một phần của một hình bình hành đi qua đường chéo của nó và đường chéo của đáy của nó.
Tính chất của hình song song nghiêng:
1) Tất cả các mặt của nó đều là hình bình hành, các mặt đối diện là hình bình hành bằng nhau.
2)
Các đường chéo của một hình bình hành cắt nhau tại một điểm và chia đôi tại điểm này.
3)
Mỗi hình song song bao gồm sáu hình chóp hình tam giác có thể tích bằng nhau. Để cho học sinh xem, gia sư toán phải cắt một nửa hình song song có tiết diện chéo của nó và chia riêng thành 3 hình chóp. Các đáy của chúng phải nằm trên các mặt khác nhau của hình bình hành ban đầu. Gia sư toán sẽ tìm thấy ứng dụng của tính chất này trong hình học giải tích. Nó được sử dụng để tính thể tích của hình chóp thông qua tích hỗn hợp của các vectơ.
Công thức tính thể tích của hình bình hành:
1) , đâu là diện tích đáy, h là chiều cao.
2) Thể tích của hình bình hành bằng tích của diện tích mặt cắt ngang và cạnh bên.
Gia sư toán: Như bạn đã biết, công thức này là chung cho tất cả các lăng kính và nếu gia sư đã chứng minh điều đó, thì việc lặp lại điều tương tự đối với một hình bình hành cũng chẳng ích gì. Tuy nhiên, khi làm việc với một học sinh có trình độ trung bình (công thức này không hữu ích với một học sinh yếu), giáo viên nên hành động ngược lại. Hãy để yên lăng kính và tiến hành chứng minh cẩn thận cho hình bình hành.
3) , đâu là thể tích của một trong sáu hình chóp tam giác tạo nên hình bình hành.
4) Nếu , thì
Diện tích bề mặt bên của hình bình hành là tổng diện tích của tất cả các mặt của nó:
Tổng bề mặt của một hình bình hành là tổng diện tích của tất cả các mặt của nó, tức là diện tích + hai diện tích đáy: .
Về công việc của một gia sư có hình song song nghiêng:
Một gia sư toán không thường xuyên giải các bài toán liên quan đến một hình bình hành nghiêng. Khả năng họ xuất hiện trong Kỳ thi Thống nhất là khá thấp, và phương pháp giảng dạy thì kém một cách không đứng đắn. Một bài toán ít nhiều hay về thể tích của một hình bình hành nghiêng đặt ra những bài toán nghiêm trọng liên quan đến việc xác định vị trí của điểm H - đáy của chiều cao của nó. Trong trường hợp này, gia sư toán có thể khuyên nên cắt hình bình hành thành một trong sáu hình chóp của nó (được thảo luận ở tính chất số 3), cố gắng tìm thể tích của nó và nhân nó với 6.
Nếu cạnh bên của hình bình hành có các góc bằng các cạnh của đáy thì H nằm trên phân giác của góc A của đáy ABCD. Và ví dụ, nếu ABCD là hình thoi thì
Nhiệm vụ của gia sư toán:
1) Các mặt của hình bình hành đều bằng nhau, có cạnh 2 cm và có một góc nhọn. Tìm thể tích của hình bình hành.
2) Trong một hình bình hành nghiêng có cạnh bên là 5 cm. Phần vuông góc với nó là một tứ giác có các đường chéo vuông góc với nhau có chiều dài 6 cm và 8 cm. Tính thể tích của hình bình hành.
3) Trong một hình bình hành nghiêng người ta biết rằng , và trong ABCD đáy là hình thoi có cạnh 2 cm và một góc . Xác định thể tích của hình bình hành.
Gia sư môn toán, Alexander Kolpkov