Đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh bên của hình thang gọi là đường trung bình của hình thang. Về cách tìm đường giữa hình thang và mối liên hệ của nó với các phần tử khác của hình này, chúng tôi sẽ mô tả bên dưới.
Định lý đường tâm
Hãy vẽ một hình thang trong đó AD - cơ sở lớn hơn, BC - đáy nhỏ hơn, EF - đường giữa. Hãy kéo dài cạnh đáy AD ra ngoài điểm D. Vẽ một đường thẳng BF và tiếp tục vẽ nó cho đến khi nó cắt đoạn tiếp tục của đáy AD tại điểm O. Xét các tam giác ∆BCF và ∆DFO. Góc ∟BCF = ∟DFO thẳng đứng. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, vì VS // CTCP. Do đó tam giác ∆BCF = ∆DFO. Do đó các cạnh BF = FO.
Bây giờ xét ∆ABO và ∆EBF. ∟ABO chung cho cả hai tam giác. BE/AB = ½ theo điều kiện, BF/BO = ½, vì ∆BCF = ∆DFO. Do đó các tam giác ABO và EFB đồng dạng. Do đó tỷ lệ của các bên EF/AO = ½, cũng như tỷ lệ của các bên khác.
Ta tìm được EF = ½ AO. Hình vẽ cho thấy AO = AD + DO. DO = BC là các cạnh tam giác bằng nhau, có nghĩa là AO = AD + BC. Do đó EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Những thứ kia. độ dài đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy.
Đường trung bình của hình thang có luôn bằng nửa tổng hai đáy không?
Giả sử có như vậy trường hợp đặc biệt, khi EF ≠ ½ (AD + BC). Khi đó BC ≠ DO, do đó, ∆BCF ≠ ∆DCF. Nhưng điều này là không thể, vì giữa chúng có hai góc và hai cạnh bằng nhau. Do đó, định lý đúng trong mọi điều kiện.
Vấn đề ở đường giữa
Giả sử, trong hình thang ABCD AD // BC, ∟A = 90°, ∟C = 135°, AB = 2 cm, đường chéo AC vuông góc với cạnh. Tìm đường trung bình của hình thang EF.
Nếu ∟A = 90° thì ∟B = 90°, nghĩa là ∆ABC là hình chữ nhật.
∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° theo quy ước, do đó, ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°. 
Nếu trong tam giác vuông ∆ABC có một góc bằng 45° thì hai cạnh của tam giác đó bằng: AB = BC = 2 cm.
Cạnh huyền AC = √(AB² + BC²) = √8 cm.
Hãy xét ∆ACD. ∟ACD = 90° theo điều kiện. ∟CAD = ∟BCA = 45° là các góc tạo bởi đường chéo của hai đáy song song của hình thang. Do đó chân AC = CD = √8.
Cạnh huyền AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 cm.
Đường trung bình hình thang EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 cm.
Trong bài này, chúng tôi đã đưa ra một tuyển tập các bài toán khác về hình thang cho bạn. Các điều kiện bằng cách nào đó có liên quan đến đường giữa của nó. Các loại nhiệm vụ được lấy từ mở ngân hàng nhiệm vụ điển hình. Nếu muốn, bạn có thể làm mới kiến thức lý thuyết. Blog cũng đã thảo luận về các nhiệm vụ có điều kiện liên quan. Nói ngắn gọn về đường giữa:
Đường giữa của hình thang nối trung điểm của các cạnh bên. Nó song song với các cơ sở và bằng nửa tổng của chúng.
Trước khi giải quyết vấn đề, chúng ta hãy xem một ví dụ lý thuyết.
Cho hình thang ABCD. Đường chéo AC cắt đường trung tuyến tạo thành điểm K, đường chéo BD điểm L. Chứng minh đoạn KL bằng một nửa sự khác biệt cơ bản.
Đầu tiên chúng ta hãy lưu ý rằng đường trung bình của hình thang chia đôi bất kỳ đoạn nào có hai đầu nằm trên đáy của nó. Kết luận này tự nó gợi ý. Hãy tưởng tượng một đoạn nối hai điểm của căn cứ, nó sẽ phân chia hình thang nàyđến hai người còn lại. Hóa ra là phân khúc song song với các căn cứ hình thang đi qua giữa cạnh bên kia sẽ đi qua chính giữa cạnh đó.
Điều này cũng dựa trên định lý Thales:
Nếu trên một trong hai đường thẳng ta vẽ nhiều phân đoạn bằng nhau và qua đầu của chúng vẽ các đường thẳng song song cắt đường thẳng thứ hai, sau đó chúng sẽ cắt các đoạn bằng nhau trên đường thẳng thứ hai.
Nghĩa là, trong trong trường hợp này K là trung điểm của AC và L là trung điểm của BD. Do đó EK là đường giữa tam giác ABC, LF là đường trung bình của tam giác DCB. Theo tính chất đường trung bình của tam giác:
Bây giờ chúng ta có thể biểu diễn đoạn KL theo cơ số:
Đã được chứng minh!
Ví dụ này được đưa ra là có lý do. Trong nhiệm vụ cho quyết định độc lập chỉ có một nhiệm vụ như vậy. Chỉ có điều nó không nói rằng đoạn nối trung điểm của các đường chéo nằm trên đường giữa. Hãy xem xét các nhiệm vụ:
27819. Tìm đường trung bình của hình thang nếu hai đáy của nó là 30 và 16.
Chúng tôi tính toán bằng công thức:
27820. Đường giữa của hình thang là 28 và đáy nhỏ là 18. Tìm đáy lớn hơn của hình thang.
Hãy thể hiện cơ sở lớn hơn:
Như vậy:
27836. Đường vuông góc rơi từ đỉnh góc tù trên cơ sở lớn hơn hình thang cân, chia nó thành các phần có độ dài 10 và 4. Tìm đường trung bình của hình thang này.
Để tìm được đường giữa bạn cần biết các căn cứ. Cơ sở AB dễ tìm: 10+4=14. Hãy tìm DC.
Hãy dựng DF vuông góc thứ hai:
Các đoạn AF, FE và EB sẽ lần lượt bằng 4, 6 và 4. Tại sao?
Trong một hình thang cân, các đường vuông góc hạ xuống đáy lớn hơn sẽ chia nó thành ba đoạn. Hai trong số đó đã bị chặt chân tam giác vuông, bằng nhau. Đoạn thứ ba bằng với đáy nhỏ hơn, vì khi xây dựng các chiều cao đã chỉ định sẽ tạo thành một hình chữ nhật và trong hình chữ nhật phe đối lậpđều bình đẳng. Trong nhiệm vụ này:
Do đó DC=6. Chúng tôi tính toán:
27839. Hai đáy của hình thang tỉ lệ với 2:3 và đường giữa bằng 5. Tìm đáy nhỏ hơn.
Hãy giới thiệu hệ số tỉ lệ x. Khi đó AB=3x, DC=2x. Chúng ta có thể viết:
Do đó, cơ số nhỏ hơn là 2∙2=4.
27840. Chu vi của một hình thang cân là 80, đường giữa của nó bằng cạnh bên. Tìm thấy bên hình thang.
Dựa vào điều kiện ta có thể viết:
Nếu chúng ta biểu thị đường giữa thông qua giá trị x, chúng ta sẽ nhận được:
Phương trình thứ hai có thể được viết là:
27841. Đường giữa của hình thang là 7, và một trong hai đáy của nó lớn hơn đáy kia là 4.
Chúng ta ký hiệu cơ số nhỏ hơn (DC) là x, khi đó cơ số lớn hơn (AB) sẽ bằng x+4. Chúng ta có thể viết nó ra
Chúng tôi thấy rằng cơ số nhỏ hơn là số 5 sớm, có nghĩa là cơ số lớn hơn bằng 9.
27842. Đường giữa của hình thang là 12. Một trong các đường chéo chia nó thành hai đoạn, hiệu của chúng bằng 2. Tìm đáy lớn hơn của hình thang.
Chúng ta có thể dễ dàng tìm được đáy lớn hơn của hình thang nếu tính đoạn EO. Đây là đường trung bình của tam giác ADB và AB=2∙EO.
Chúng ta có gì? Người ta nói rằng đường giữa bằng 12 và hiệu giữa các đoạn EO và ОF bằng 2. Ta có thể viết hai phương trình và giải hệ:
Rõ ràng là trong trường hợp này, bạn có thể chọn một cặp số mà không cần tính toán, đó là 5 và 7. Tuy nhiên, hãy giải hệ:
Vậy EO=12–5=7. Do đó, cơ sở lớn hơn bằng AB=2∙EO=14.
27844. Trong một hình thang cân, các đường chéo vuông góc. Chiều cao của hình thang là 12. Tìm đường giữa của nó.
Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng chiều cao vẽ qua điểm giao nhau của các đường chéo trong hình thang cân nằm trên trục đối xứng và chia hình thang thành hai hình bằng nhau hình thang chữ nhật, tức là các đáy có chiều cao này được chia làm đôi.
Dường như để tính được đường giữa chúng ta phải tìm ra lý do. Ở đây nảy sinh một ngõ cụt nhỏ... Làm thế nào để biết chiều cao, trong trường hợp này, tính được các căn cứ? Không đời nào! Có nhiều hình thang như vậy với chiều cao cố định và các đường chéo cắt nhau một góc 90 độ. Tôi nên làm gì?
Hãy xem công thức đường trung bình của hình thang. Rốt cuộc, chúng ta không cần biết lý do; chỉ cần biết tổng (hoặc một nửa tổng) của chúng là đủ. Chúng ta có thể làm điều này.
Vì các đường chéo cắt nhau vuông góc nên các tam giác vuông cân được tạo thành với chiều cao EF:
Từ kết quả trên suy ra FO=DF=FC, và OE=AE=EB. Bây giờ hãy viết chiều cao bằng bao nhiêu, được biểu thị qua các đoạn DF và AE:
Vậy đường giữa là 12.
*Nói chung, đây là một nhiệm vụ, như bạn hiểu, dành cho tính nhẩm. Nhưng tôi chắc chắn rằng phần trình bày giải thích chi tiết cần thiết. Và vì vậy... Nếu bạn nhìn vào hình (với điều kiện là góc giữa các đường chéo được quan sát trong quá trình dựng hình), đẳng thức FO=DF=FC và OE=AE=EB ngay lập tức thu hút sự chú ý của bạn.
Các nguyên mẫu cũng bao gồm các loại nhiệm vụ có hình thang. Nó được xây dựng trên một tờ giấy theo hình vuông và bạn cần tìm đường ở giữa; cạnh của ô thường bằng 1, nhưng nó có thể là một giá trị khác.
27848. Tìm đường trung bình của hình thang ABCD, nếu các cạnh của ô vuông bằng 1.
Rất đơn giản, hãy tính cơ số theo ô và sử dụng công thức: (2+4)/2=3
Nếu các căn cứ được xây dựng theo một góc với lưới ô thì có hai cách. Ví dụ!
Đường trung bình của hình thang bằng một nửa tổng căn cứ. Nó nối trung điểm các cạnh của hình thang và luôn song song với các đáy.
Nếu hai đáy của hình thang bằng a và b thì đường giữa m bằng m=(a+b)/2.
Nếu biết diện tích hình thang thì đường giữa có thể được tìm thấy và cách khác chia diện tích hình thang S cho chiều cao hình thang h:
Đó là, đường giữa của hình thang m=S/h
Có nhiều cách tính độ dài đường trung bình của hình thang. Việc lựa chọn phương pháp phụ thuộc vào dữ liệu ban đầu.
Đây công thức tính độ dài đường trung bình của hình thang:
Để tìm đường trung bình của hình thang, bạn có thể sử dụng một trong năm công thức (tôi sẽ không viết chúng ra vì chúng đã có trong các câu trả lời khác), nhưng điều này chỉ xảy ra trong trường hợp chúng ta cần giá trị của dữ liệu ban đầu được biết đến.
Trong thực tế, chúng ta phải giải quyết nhiều vấn đề khi không đủ dữ liệu và đúng kích cỡ vẫn cần tìm nó.
Có những lựa chọn như vậy ở đây
giải pháp từng bước để đưa mọi thứ theo đúng công thức;
sử dụng các công thức khác, soạn và giải các phương trình cần thiết.
tìm độ dài giữa của hình thang bằng công thức chúng ta cần với sự trợ giúp của những kiến thức khác về hình học và cách sử dụng phương trình đại số:
Chúng ta có một hình thang cân, các đường chéo của nó cắt nhau vuông góc, chiều cao là 9 cm.
Chúng tôi vẽ ra và thấy rằng vấn đề này không thể giải quyết trực tiếp được (không có đủ dữ liệu)
Do đó, chúng ta sẽ đơn giản hóa một chút và vẽ chiều cao qua giao điểm của các đường chéo.
Đây là lần đầu tiên bước quan trọng dẫn đến một giải pháp nhanh chóng.
hãy chỉ định chiều cao bằng hai ẩn số, chúng ta sẽ thấy những cái chúng ta cần tam giác cân với các bên X Và Tại
và chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy nó tổng số căn cứ hình thang
nó bằng nhau 2х+2у
Và chỉ bây giờ chúng ta mới có thể áp dụng công thức trong đó
và nó bằng nhau x+y và theo điều kiện của bài toán thì đây là độ dài của chiều cao bằng 9cm.
Và bây giờ chúng ta đã suy ra một số khoảnh khắc cho một hình thang cân, các đường chéo của nó cắt nhau vuông góc
trong những hình thang như vậy
đường giữa luôn bằng chiều cao
diện tích luôn bằng bình phương chiều cao.
Đường trung bình của hình thang là đoạn nối trung điểm các cạnh của hình thang.
Đường giữa của bất kỳ hình thang nào cũng có thể dễ dàng tìm thấy nếu bạn sử dụng công thức:
m = (a + b)/2
m là chiều dài đường trung bình của hình thang;
a, b độ dài hai đáy của hình thang.
Vì thế, độ dài đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng độ dài hai đáy.
Công thức cơ bản của công thức đường trung bình của hình thang: độ dài đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy a và b: MN=(a+b)2. công thức tính đường trung bình của một hình tam giác. Bất kỳ hình thang nào cũng có thể được biểu diễn sau khi vẽ từ hai đầu một đáy có chiều cao nhỏ hơn đến một đáy lớn hơn. Sau đó, công thức tính đường trung bình của hình thang được xem xét. dễ dàng được chứng minh.
Để tìm đường trung bình của hình thang chúng ta cần biết giá trị của các căn cứ.
Sau khi chúng tôi tìm thấy những giá trị này hoặc có thể chúng tôi đã biết chúng, chúng tôi cộng các số này và chỉ cần chia chúng làm đôi.
Đây là điều sẽ xảy ra đường giữa của hình thang.
Theo như tôi nhớ những bài học hình học ở trường, để tìm độ dài đường trung bình của hình thang, bạn cần cộng chiều dài hai đáy và chia cho hai. Vậy độ dài đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy.