Đối với câu hỏi đơn giản “Làm thế nào để tìm chiều cao của hình thang?” Có một số câu trả lời, tất cả là do các giá trị bắt đầu khác nhau có thể được đưa ra. Vì vậy, các công thức sẽ khác nhau.
Những công thức này có thể được ghi nhớ nhưng không khó để rút ra. Bạn chỉ cần áp dụng các định lý đã học trước đó.
Các ký hiệu được sử dụng trong công thức
Trong tất cả các ký hiệu toán học dưới đây, cách đọc các chữ cái này đều đúng.
Trong dữ liệu nguồn: tất cả các bên
Để tìm chiều cao của hình thang trong trường hợp tổng quát, bạn cần sử dụng công thức sau:
n = √(c 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2). Số 1.
Không phải là ngắn nhất nhưng cũng khá hiếm khi gặp vấn đề. Thông thường bạn có thể sử dụng dữ liệu khác.
Công thức cho bạn biết cách tìm chiều cao của một hình thang cân trong cùng một tình huống ngắn hơn nhiều:
n = √(c 2 - (a - c) 2/4). Số 2.
Bài toán đưa ra: các cạnh bên và các góc ở đáy dưới
Giả sử góc α kề với cạnh có ký hiệu “c”, góc β kề với cạnh d. Khi đó công thức tìm chiều cao của hình thang sẽ có dạng tổng quát:
n = c * sin α = d * sin β. Số 3.
Nếu hình là hình cân, thì bạn có thể sử dụng tùy chọn này:
n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α. Số 4.
Đã biết: đường chéo và góc giữa chúng
Thông thường, những dữ liệu này được kèm theo các đại lượng đã biết khác. Ví dụ, các căn cứ hoặc đường giữa. Nếu các lý do được đưa ra, thì để trả lời câu hỏi làm thế nào để tìm chiều cao của hình thang, công thức sau sẽ hữu ích:
n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a + b) hoặc n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a + b). Số 5.
Đây là sự xuất hiện chung của hình. Nếu cho một hình cân thì ký hiệu sẽ thay đổi như sau:
n = (d 1 2 * sin γ) / (a + b) hoặc n = (d 1 2 * sin δ) / (a + b). Số 6.
Khi giải bài toán về đường trung bình của hình thang, công thức tìm chiều cao của nó như sau:
n = (d 1 * d 2 * sinγ) / 2m hoặc n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Số 5a.
n = (d 1 2 * sin γ) / 2m hoặc n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Số 6a.
Trong số các đại lượng đã biết: diện tích có đáy hoặc đường giữa
Đây có lẽ là công thức ngắn nhất và đơn giản nhất để tìm chiều cao của hình thang. Đối với một con số tùy ý, nó sẽ như thế này:
n = 2S / (a + b). Số 7.
Nó giống nhau, nhưng có đường giữa đã biết:
n = S/m. Số 7a.
Thật kỳ lạ, nhưng đối với một hình thang cân thì các công thức sẽ giống nhau.
Nhiệm vụ
Số 1. Để xác định các góc ở đáy dưới của hình thang.
Tình trạng. Cho một hình thang cân có cạnh 5 cm, đáy của nó là 6 và 12 cm. Bạn cần tìm sin của một góc nhọn.
Giải pháp.Để thuận tiện, bạn nên nhập một chỉ định. Đặt đỉnh dưới bên trái là A, tất cả các đỉnh còn lại theo chiều kim đồng hồ: B, C, D. Như vậy, đáy dưới sẽ được ký hiệu là AD, đáy trên - BC.
Cần phải vẽ độ cao từ các đỉnh B và C. Các điểm chỉ ra điểm cuối của độ cao sẽ lần lượt được ký hiệu là H 1 và H 2. Vì tất cả các góc trong hình BCH 1 H 2 đều là góc vuông nên hình BCH 1 H 2 là hình chữ nhật. Điều này có nghĩa là đoạn H 1 H 2 là 6 cm.
Bây giờ chúng ta cần xem xét hai hình tam giác. Chúng bằng nhau vì chúng là hình chữ nhật có cùng cạnh huyền và chân thẳng đứng. Từ đó mà đôi chân nhỏ hơn của chúng bằng nhau. Do đó, chúng có thể được định nghĩa là thương số của sự khác biệt. Cái sau có được bằng cách trừ phần trên khỏi phần dưới. Nó sẽ chia cho 2. Tức là 12 - 6 phải chia cho 2. AN 1 = N 2 D = 3 (cm).
Bây giờ, từ định lý Pythagore, bạn cần tìm chiều cao của hình thang. Cần phải tìm sin của một góc. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (cm).
Sử dụng kiến thức về cách tìm sin của một góc nhọn trong một tam giác có góc vuông, chúng ta có thể viết biểu thức sau: sin α = ВН 1 / AB = 0,8.
Trả lời. Sin cần thiết là 0,8.
Số 2. Để tìm chiều cao của hình thang bằng cách sử dụng một tiếp tuyến đã biết.
Tình trạng.Đối với hình thang cân, bạn cần tính chiều cao. Được biết, các đáy của nó là 15 và 28 cm. Tiếp tuyến của góc nhọn là: 11/13.
Giải pháp. Việc chỉ định các đỉnh giống như trong bài toán trước. Một lần nữa bạn cần vẽ hai chiều cao từ các góc trên. Bằng cách tương tự với lời giải của bài toán đầu tiên, bạn cần tìm AN 1 = N 2 D, được định nghĩa là hiệu của 28 và 15 chia cho hai. Sau khi tính toán, kết quả là: 6,5 cm.
Vì tiếp tuyến là tỉ số của hai chân nên ta có thể viết đẳng thức sau: tan α = AH 1 / VN 1 . Hơn nữa, tỷ lệ này bằng 11/13 (theo điều kiện). Vì đã biết AN 1 nên chiều cao có thể tính được: BH 1 = (11 * 6,5) / 13. Các phép tính đơn giản cho kết quả là 5,5 cm.
Trả lời. Chiều cao yêu cầu là 5,5 cm.
Số 3. Để tính chiều cao bằng cách sử dụng các đường chéo đã biết.
Tình trạng. Người ta biết về hình thang có đường chéo là 13 và 3 cm. Bạn cần tìm chiều cao của nó nếu tổng hai đáy là 14 cm.
Giải pháp. Hãy để tên của hình giống như trước. Giả sử AC là đường chéo nhỏ hơn. Từ đỉnh C bạn cần vẽ chiều cao mong muốn và chỉ định nó là CH.
Bây giờ bạn cần phải thực hiện một số công trình bổ sung. Từ góc C bạn cần vẽ một đường thẳng song song với đường chéo lớn hơn và tìm điểm giao nhau của nó với phần tiếp theo của cạnh AD. Đây sẽ là D 1. Kết quả là một hình thang mới có hình tam giác ASD 1 bên trong. Đây là những gì cần thiết để tiếp tục giải quyết vấn đề.
Chiều cao mong muốn cũng sẽ nằm trong hình tam giác. Vì vậy, bạn có thể sử dụng các công thức đã học ở chủ đề khác. Chiều cao của một hình tam giác được định nghĩa là tích của số 2 và diện tích chia cho cạnh mà nó được vẽ. Và cạnh này bằng tổng các đáy của hình thang ban đầu. Điều này xuất phát từ quy tắc xây dựng bổ sung được thực hiện.
Trong tam giác đang xét, tất cả các cạnh đều đã biết. Để thuận tiện, chúng tôi đưa ra ký hiệu x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.
Bây giờ bạn có thể tính diện tích bằng định lý Heron. Bán chu vi sẽ bằng p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm). Khi đó công thức tính diện tích sau khi thay thế các giá trị sẽ như sau: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm 2).
Trả lời. Chiều cao là 6√10 / 7 cm.
Số 4. Để tìm chiều cao ở các cạnh.
Tình trạng. Cho một hình thang có ba cạnh là 10 cm, cạnh thứ tư là 24 cm. Bạn cần tìm chiều cao của nó.
Giải pháp. Vì hình này là hình cân nên bạn sẽ cần công thức số 2. Bạn chỉ cần thay tất cả các giá trị vào đó và đếm. Nó sẽ trông như thế này:
n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (cm).
Trả lời. n = √51 cm.
Các góc của hình thang cân. Xin chào! Bài viết này sẽ tập trung vào việc giải quyết các vấn đề với hình thang. Nhóm nhiệm vụ này là một phần của bài thi; Chúng ta sẽ tính các góc của hình thang, đáy và chiều cao. Việc giải quyết một số vấn đề bắt nguồn từ việc giải quyết, như người ta nói: chúng ta sẽ ở đâu nếu không có định lý Pythagore?
Chúng ta sẽ làm việc với một hình thang cân. Nó có các cạnh và góc bằng nhau ở đáy. Có một bài viết về hình thang trên blog.
Chúng ta hãy lưu ý một sắc thái nhỏ và quan trọng mà chúng ta sẽ không mô tả chi tiết trong quá trình giải quyết các nhiệm vụ. Hãy nhìn xem, nếu chúng ta có hai đáy, thì đáy lớn hơn với chiều cao thấp hơn nó được chia thành ba đoạn - một đoạn bằng đáy nhỏ hơn (đây là các cạnh đối diện của hình chữ nhật), hai đoạn còn lại bằng nhau khác (đây là chân của các hình tam giác vuông bằng nhau):
Một ví dụ đơn giản: Cho hai đáy của hình thang cân 25 và 65. Đáy lớn hơn được chia thành các đoạn như sau:
* Và hơn thế nữa! Các ký hiệu chữ cái không được bao gồm trong các vấn đề. Điều này được thực hiện có chủ ý để không làm quá tải lời giải với các sàng lọc đại số. Tôi đồng ý rằng điều này là mù chữ về mặt toán học, nhưng mục tiêu là để hiểu rõ vấn đề. Và bạn luôn có thể tự mình đặt tên cho các đỉnh và các phần tử khác và viết ra một giải pháp đúng về mặt toán học.
Hãy xem xét các nhiệm vụ:
27439. Hai đáy của một hình thang cân là 51 và 65. Hai cạnh là 25. Tìm sin của góc nhọn của hình thang.
Để tìm góc, bạn cần xây dựng độ cao. Trong bản phác thảo, chúng tôi biểu thị dữ liệu ở trạng thái số lượng. Đế dưới là 65, có chiều cao được chia thành các đoạn 7, 51 và 7:
Trong một tam giác vuông, chúng ta biết cạnh huyền và cạnh góc, ta có thể tìm cạnh thứ hai (chiều cao của hình thang) rồi tính sin của góc.
Theo định lý Pythagore, chân được chỉ định bằng:
Như vậy:
Đáp án: 0,96
27440. Hai đáy của hình thang cân là 43 và 73. Cosin của một góc nhọn của hình thang là 5/7. Tìm một bên.
Hãy xây dựng các độ cao và lưu ý dữ liệu ở điều kiện độ lớn; cơ sở dưới được chia thành các đoạn 15, 43 và 15:
27441. Đáy lớn của hình thang cân là 34. Cạnh là 14. Sin của một góc nhọn là (2√10)/7. Tìm cơ sở nhỏ hơn.
Hãy xây dựng những đỉnh cao. Để tìm đáy nhỏ hơn, chúng ta cần tìm đoạn chân trong tam giác vuông bằng bao nhiêu (được biểu thị bằng màu xanh lam):
Chúng ta có thể tính chiều cao của hình thang và sau đó tìm chân:
Sử dụng định lý Pythagore chúng ta tính chân:
Vậy cơ sở nhỏ hơn là:
27442. Hai đáy của hình thang cân là 7 và 51. Tiếp tuyến của một góc nhọn là 5/11. Tìm chiều cao của hình thang.
Hãy xây dựng độ cao và đánh dấu dữ liệu trong điều kiện độ lớn. Phần đế dưới được chia thành các phân đoạn:
Phải làm gì? Chúng ta biểu thị tiếp tuyến của góc mà chúng ta biết ở đáy trong một tam giác vuông:
27443. Đáy nhỏ của hình thang cân là 23. Chiều cao của hình thang là 39. Tiếp tuyến của một góc nhọn là 13/8. Tìm một cơ sở lớn hơn.
Chúng tôi xây dựng chiều cao và tính toán chân bằng:
Do đó cơ sở lớn hơn sẽ bằng:
27444. Hai đáy của hình thang cân là 17 và 87. Chiều cao của hình thang là 14. Tìm tang của góc nhọn.
Chúng tôi xây dựng độ cao và đánh dấu các giá trị đã biết trên bản phác thảo. Phần đế dưới được chia thành các đoạn 35, 17, 35:
Theo định nghĩa tiếp tuyến:
77152. Hai đáy của hình thang cân là 6 và 12. Sin của một góc nhọn của hình thang là 0,8. Tìm một bên.
Hãy xây dựng một bản phác thảo, xây dựng chiều cao và đánh dấu các giá trị đã biết, phần đế lớn hơn được chia thành các phân đoạn 3, 6 và 3:
Hãy biểu thị cạnh huyền, được ký hiệu là x, thông qua cosin:
Từ đồng nhất thức lượng giác chính ta tìm được cosα
Như vậy:
27818. Góc lớn hơn của một hình thang cân là bao nhiêu nếu biết hiệu giữa hai góc đối diện là 50 0? Đưa ra câu trả lời của bạn theo độ.
Từ môn hình học, chúng ta biết rằng nếu chúng ta có hai đường thẳng song song và một đường thẳng ngang thì tổng các góc một bên bằng 180 0. Trong trường hợp của chúng tôi nó là
Điều kiện nói lên rằng hiệu giữa các góc đối diện là 50 0, tức là
Hướng dẫn
Nếu biết độ dài của cả hai đáy (b và c) và giống nhau theo định nghĩa các cạnh bên (a) của một hình cân, thì có thể sử dụng tam giác vuông để tính giá trị của một trong các góc nhọn của nó (γ). Để thực hiện việc này, hãy hạ thấp độ cao từ bất kỳ góc nào gần với đế ngắn. Một tam giác vuông sẽ được hình thành bởi chiều cao (), một cạnh (cạnh huyền) và một đoạn đáy dài giữa chiều cao và cạnh gần (cạnh thứ hai). Độ dài của đoạn này có thể được tìm bằng cách lấy chiều dài của cạnh lớn trừ đi độ dài của đoạn nhỏ hơn và chia kết quả thành một nửa: (c-b)/2.
Sau khi có được độ dài hai cạnh liền kề của một tam giác vuông, chúng ta tiến hành tính góc giữa chúng. Tỷ lệ giữa độ dài cạnh huyền (a) với chiều dài cạnh ((c-b)/2) cho ra giá trị cosin của góc này (cos(γ)), và hàm arccosine sẽ giúp chuyển nó thành góc tính bằng độ: γ=arccos(2*a/(c-b )). Bằng cách này, bạn sẽ nhận được giá trị của một trong các góc nhọn và vì nó là góc cân nên góc nhọn thứ hai sẽ có cùng giá trị. Tổng của tất cả các góc phải là 360°, có nghĩa là tổng của hai góc sẽ bằng hiệu của góc này và hai lần góc nhọn. Vì cả hai góc tù cũng sẽ bằng nhau, nên để tìm giá trị của mỗi góc (α), hiệu này phải được chia làm đôi: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2* a/(c-b)) . Bây giờ bạn đã tính được tất cả các góc của một hình thang cân khi biết độ dài các cạnh của nó.
Nếu không biết độ dài các cạnh của hình nhưng cho trước chiều cao (h), thì bạn cần tiến hành theo sơ đồ tương tự. Trong trường hợp này, trong một tam giác vuông gồm có , một cạnh và một đoạn ngắn của đáy dài, bạn sẽ biết độ dài của hai cạnh. Tỷ lệ của chúng xác định tiếp tuyến của góc bạn cần và hàm lượng giác này cũng có phản cực riêng, giúp chuyển đổi giá trị tiếp tuyến thành giá trị góc - arctang. Biến đổi công thức góc nhọn và góc tù thu được ở bước trước cho phù hợp: γ = arctg(2*h/(c-b)) và α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).
Để giải bài toán này bằng phương pháp đại số vectơ, bạn cần biết các khái niệm sau: tổng vectơ hình học và tích vô hướng của vectơ, đồng thời bạn cũng nên nhớ tính chất tổng các góc trong của một tứ giác.
Bạn sẽ cần
- - giấy;
- - cái bút;
- - cái thước kẻ.
Hướng dẫn
Vectơ là một đoạn có hướng, nghĩa là một đại lượng được coi là xác định đầy đủ nếu chiều dài và hướng (góc) của nó đối với một trục nhất định được cho trước. Vị trí của vectơ không còn bị giới hạn bởi bất cứ điều gì. Hai vectơ có độ dài và cùng hướng được coi là bằng nhau. Vì vậy, khi sử dụng tọa độ, vectơ được biểu diễn bằng vectơ bán kính các điểm cuối của nó (gốc tọa độ).
Theo định nghĩa: vectơ kết quả của tổng hình học của vectơ là vectơ bắt đầu từ đầu của vectơ thứ nhất và có điểm cuối của vectơ thứ hai, với điều kiện là phần cuối của vectơ thứ nhất được kết hợp với đầu của vectơ thứ hai. Điều này có thể được tiếp tục hơn nữa, xây dựng một chuỗi các vectơ có vị trí tương tự nhau.
Vẽ ABCD đã cho với các vectơ a, b, c và d như hình vẽ. 1. Rõ ràng, với sự sắp xếp này, vectơ kết quả là d=a+ b+c.
Trong trường hợp này, tích vô hướng sẽ thuận tiện hơn dựa trên vectơ a và d. Tích chấm, ký hiệu là (a, d)= |a||d|cosф1. Ở đây φ1 là góc giữa vectơ a và d.
Tích vô hướng của vectơ cho bởi tọa độ được xác định như sau:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, thì
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).