Bất đẳng thức số và tính chất của chúng. Ví dụ về giải bất đẳng thức

Tuyên bố đã được chứng minh.

Thật vậy, ví dụ, 2< 3, но

Tính chất 4. Nếu a > b và c > d thì a + c > b+ d.

Bằng chứng. Vì a>b và c >d nên hiệu a-b và c-d là các số dương. Khi đó tổng của các số này cũng là một số dương (a-b)+(c-d). Hãy mở ngoặc và nhóm (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+c)-(b+ d). Theo quan điểm bình đẳng này, biểu thức thu được (a + c) - (b + d) sẽ là số dương. Do đó, a+c> b+d.

Bất đẳng thức có dạng a>b, c >d hoặc a< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b,c

Tính chất 5. Nếu a > b, c > d thì ac > bd, trong đó a, b, c, d là các số dương.

Bằng chứng. Vì a>b và c là số dương nên sử dụng tính chất 3, ta được ac > bc. Vì c >d và b là số dương nên bc > bd. Do đó, theo tính chất thứ nhất ac > bd. Ý nghĩa của tính chất đã được chứng minh như sau: “Nếu nhân các bất đẳng thức cùng nghĩa với các số hạng có vế trái và vế phải là số dương thì ta thu được bất đẳng thức cùng nghĩa”.

Ví dụ: 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35.

Tính chất 6. Nếu a< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число.

Bằng chứng. Nếu chúng ta nhân n bất đẳng thức với số hạng a< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства».

§ 3 Ứng dụng tính chất

Hãy xem xét một ví dụ về ứng dụng của các tính chất mà chúng ta đã xem xét.

Hãy để 33< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b.

1) Hãy ước tính tổng a + b. Sử dụng tính chất 4, chúng ta nhận được 33 + 3< a + b < 34 + 4 или

36 < a+ b <38.

2) Hãy ước tính sự khác biệt a - b. Vì không có tính chất trừ nên chúng ta thay hiệu a - b bằng tổng a + (-b). Đầu tiên hãy ước tính (- b). Để làm điều này, sử dụng tính chất 3, cả hai vế của bất đẳng thức 3< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). Chúng tôi nhận được -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31.

3) Hãy ước tính tích a ∙ b. Theo tính chất 5, chúng ta nhân các bất đẳng thức cùng dấu

Chúng ta đã học về bất đẳng thức ở trường, nơi chúng ta sử dụng bất đẳng thức số. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các tính chất của bất đẳng thức số, từ đó xây dựng các nguyên tắc làm việc với chúng.

Tính chất của bất đẳng thức tương tự như tính chất của bất đẳng thức số. Các tính chất, sự biện minh của nó sẽ được xem xét và các ví dụ sẽ được đưa ra.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bất đẳng thức số: định nghĩa, ví dụ

Khi giới thiệu khái niệm về bất đẳng thức, chúng ta thấy rằng định nghĩa của chúng được thực hiện theo loại bản ghi. Có những biểu thức đại số có dấu ≠,< , >, , , ≥ . Hãy đưa ra một định nghĩa.

Định nghĩa 1

Bất đẳng thức sốđược gọi là bất đẳng thức trong đó cả hai vế đều có số và biểu thức số.

Chúng tôi xem xét sự bất bình đẳng về số ở trường sau khi nghiên cứu các số tự nhiên. Các hoạt động so sánh như vậy được nghiên cứu từng bước. Những cái ban đầu trông giống như 1< 5 , 5 + 7 >3. Sau đó các quy tắc được bổ sung, các bất đẳng thức trở nên phức tạp hơn, ta thu được các bất đẳng thức có dạng 5 2 3 > 5, 1(2), ln 0. 73 - 17 2< 0 .

Tính chất của bất đẳng thức số

Để giải bất đẳng thức một cách chính xác, bạn phải sử dụng các tính chất của bất đẳng thức số. Chúng xuất phát từ khái niệm bất bình đẳng. Khái niệm này được xác định bằng cách sử dụng một câu lệnh được chỉ định là “nhiều hơn” hoặc “ít hơn”.

Định nghĩa 2

• số a lớn hơn b khi hiệu a - b là số dương;
• số a nhỏ hơn b khi hiệu a - b là số âm;
• số a bằng b khi hiệu a - b bằng 0.

Định nghĩa được sử dụng khi giải bất đẳng thức với các quan hệ “nhỏ hơn hoặc bằng”, “lớn hơn hoặc bằng”. Chúng tôi hiểu điều đó

Định nghĩa 3

• a lớn hơn hoặc bằng b khi a - b là số không âm;
• a nhỏ hơn hoặc bằng b khi a - b là số không dương.

Các định nghĩa sẽ được sử dụng để chứng minh tính chất của bất đẳng thức số.

Thuộc tính cơ bản

Hãy xem xét 3 bất đẳng thức chính. Sử dụng các dấu hiệu< и >đặc điểm của các tính chất sau:

Định nghĩa 4

• chống phản xạ, nói rằng bất kỳ số a nào từ các bất đẳng thức a< a и a >a được coi là không chính xác. Biết rằng với mọi a ta có đẳng thức a − a = 0, do đó ta thu được a = a. Vì vậy, một< a и a >a là không đúng. Ví dụ: 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 sai.
• sự bất đối xứng. Khi các số a và b sao cho a< b , то b >a, và nếu a > b thì b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >Một. Phần thứ hai được chứng minh theo cách tương tự.

Ví dụ 1

Ví dụ, với bất đẳng thức 5< 11 имеем, что 11 >5, nghĩa là bất đẳng thức số − 0, 27 > − 1, 3 sẽ được viết lại thành − 1, 3< − 0 , 27 .

Trước khi chuyển sang thuộc tính tiếp theo, hãy lưu ý rằng với sự trợ giúp của tính bất đối xứng, bạn có thể đọc bất đẳng thức từ phải sang trái và ngược lại. Bằng cách này, các bất đẳng thức số có thể được sửa đổi và hoán đổi.

Định nghĩa 5

• tính bắc cầu. Khi các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b và b > c , sau đó a > c .

Bằng chứng 1

Tuyên bố đầu tiên có thể được chứng minh. Điều kiện một< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Phần thứ hai với tính chất bắc cầu được chứng minh theo cách tương tự.

Ví dụ 2

Chúng tôi xem xét tính chất được phân tích bằng ví dụ về bất đẳng thức − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 và 1 8 > 1 32 suy ra 1 2 > 1 32.

Các bất đẳng thức số, được viết bằng dấu bất đẳng thức yếu, có tính chất phản xạ, vì a ≤ a và a ≥ a có thể xảy ra trường hợp đẳng thức a = a. Chúng được đặc trưng bởi sự bất đối xứng và tính bắc cầu.

Định nghĩa 6

Các bất đẳng thức có dấu ≤ và ≥ khi viết có các tính chất sau:

• tính phản xạ a ≥ a và a ≤ a được coi là các bất đẳng thức thực;
• phản đối xứng, khi a ≤ b thì b ≥ a, và nếu a ≥ b thì b ≤ a.
• tính bắc cầu, khi a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c, đồng thời, nếu a ≥ b và b ≥ c thì a ≥ c.

Việc chứng minh được thực hiện theo cách tương tự.

Các tính chất quan trọng khác của bất đẳng thức số

Để bổ sung cho các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, các kết quả có tầm quan trọng thực tiễn được sử dụng. Nguyên tắc của phương pháp được sử dụng để ước tính các giá trị của biểu thức, dựa trên nguyên tắc giải bất phương trình.

Đoạn này trình bày các tính chất của bất đẳng thức đối với một dấu của bất đẳng thức chặt. Điều tương tự cũng được thực hiện đối với những người không nghiêm ngặt. Hãy xem một ví dụ, xây dựng bất đẳng thức nếu a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• nếu a > b thì a + c > b + c;
• nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c;
• nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c.

Để trình bày thuận tiện, chúng tôi đưa ra tuyên bố tương ứng, được viết ra và đưa ra bằng chứng, đưa ra các ví dụ về việc sử dụng.

Định nghĩa 7

Cộng hoặc tính một số cho cả hai vế. Nói cách khác, khi a và b tương ứng với bất đẳng thức a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Bằng chứng 2

Để chứng minh điều này, phương trình phải thỏa mãn điều kiện a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Ví dụ 3

Ví dụ: nếu chúng ta tăng cả hai vế của bất đẳng thức 7 > 3 lên 15, thì chúng ta sẽ có 7 + 15 > 3 + 15. Số này bằng 22 > 18.

Định nghĩa 8

Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số c, chúng ta thu được bất đẳng thức thực. Nếu lấy số âm thì dấu sẽ đổi ngược lại. Ngược lại nó trông như thế này: với a và b bất đẳng thức đúng khi a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >b·c.

Bằng chứng 3

Khi có trường hợp c > 0 thì cần xây dựng hiệu giữa vế trái và vế phải của bất đẳng thức. Sau đó, chúng ta nhận được a · c − b · c = (a − b) · c . Từ điều kiện a< b , то a − b < 0 , а c >0 thì tích (a − b) · c sẽ âm. Theo đó a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Khi chứng minh, phép chia cho một số nguyên có thể được thay thế bằng phép nhân với nghịch đảo của số đã cho, tức là 1 c. Chúng ta hãy xem một ví dụ về tính chất trên một số số nhất định.

Ví dụ 4

Cả hai vế của bất đẳng thức 4 đều được phép< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Bây giờ chúng ta hãy xây dựng hai kết quả sau đây, được sử dụng để giải bất đẳng thức:

• Hệ quả 1. Khi thay đổi dấu các phần của bất đẳng thức số thì dấu của bất đẳng thức đó tự nó thay đổi theo chiều ngược lại.< b , как − a >− b . Điều này tuân theo quy tắc nhân cả hai vế với - 1. Nó được áp dụng cho quá trình chuyển đổi. Ví dụ: - 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Hệ quả 2. Khi thay thế các phần của bất đẳng thức số bằng số nghịch đảo, dấu của nó cũng thay đổi và bất đẳng thức vẫn đúng. Do đó ta có a và b là các số dương, a< b , 1 a >1b.

Khi chia cả hai vế của bất đẳng thức a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 chúng ta có cái đó 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b có thể sai.

Ví dụ 5

Ví dụ: - 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 là một phương trình sai.

Tất cả các điểm được thống nhất bởi thực tế là các hành động trên các phần của bất đẳng thức sẽ mang lại bất đẳng thức chính xác ở đầu ra. Hãy xem xét các thuộc tính trong đó ban đầu có một số bất đẳng thức số và kết quả của nó thu được bằng cách cộng hoặc nhân các phần của nó.

Định nghĩa 9

Khi các số a, b, c, d đúng với bất đẳng thức a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Chứng minh 4

Hãy chứng minh rằng (a + c) − (b + d) là một số âm, khi đó ta được a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Thuộc tính được sử dụng để cộng từng số hạng của ba, bốn hoặc nhiều bất đẳng thức số. Các số a 1 , a 2 , … , a n và b 1 , b 2 , … , b n thỏa mãn bất đẳng thức a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Ví dụ 6

Ví dụ, cho ba bất đẳng thức số cùng dấu − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Định nghĩa 10

Phép nhân theo chiều dọc của cả hai vế sẽ cho kết quả là số dương. Khi một< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Bằng chứng 5

Để chứng minh điều này, ta cần cả hai vế của bất đẳng thức a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Thuộc tính này được coi là hợp lệ đối với số lượng các số mà cả hai vế của bất đẳng thức phải được nhân với nhau. Sau đó a 1 , a 2 , … , a n Và b 1, b 2, …, b n là các số dương, trong đó a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Lưu ý rằng khi viết bất đẳng thức có số không dương thì phép nhân theo từng số hạng sẽ dẫn đến bất đẳng thức sai.

Ví dụ 7

Ví dụ: bất đẳng thức 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Kết quả: Nhân theo từng số hạng của bất đẳng thức a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Tính chất của bất đẳng thức số

Chúng ta hãy xem xét các tính chất sau đây của bất đẳng thức số.

1. Một< a , a >a - bất đẳng thức sai,
   a ≤ a, a ≥ a là các bất đẳng thức đúng.
2. Nếu một< b , то b >a - tính phản đối xứng.
3. Nếu một< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Nếu một< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Nếu một< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Nếu một< b и c - отрицательное число, то a · c >b·c.

Hệ quả 1: nếu một< b , то - a >-b.

Hệ quả 2: nếu a và b là số dương và a< b , то 1 a >1b.

1. Nếu là 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Nếu a 1 , a 2 , . . . , an , b 1 , b 2 , . . . , b n là các số dương và a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Hệ quả 1: Nếu như Một< b , a Và b là các số dương thì a n< b n .

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Các loại bất đẳng thức chính được trình bày bao gồm bất đẳng thức Bernoulli, Cauchy - Bunyakovsky, Minkowski, Chebyshev. Các tính chất của bất đẳng thức và tác động lên chúng được xem xét. Nêu các phương pháp cơ bản để giải bất đẳng thức.

Công thức cho các bất đẳng thức cơ bản

Công thức cho bất đẳng thức phổ quát

Các bất đẳng thức phổ quát được thỏa mãn với bất kỳ giá trị nào của các đại lượng có trong chúng. Các loại bất bình đẳng phổ quát chính được liệt kê dưới đây.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Sự đẳng thức chỉ xảy ra khi a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi α a k = β b k với mọi k = 1, 2, ..., n và một số α, β, |α| + |β| > 0 .

5) Bất đẳng thức Minkowski, với p ≥ 1

Công thức của bất đẳng thức thỏa mãn

Các bất đẳng thức thỏa mãn được thỏa mãn đối với các giá trị nhất định của các đại lượng có trong chúng.

1) Bất đẳng thức Bernoulli:
.
Tổng quát hơn:
,
ở đâu , các số cùng dấu và lớn hơn -1 : .
Bổ đề Bernoulli:
.
Xem "Chứng minh bất đẳng thức và bổ đề Bernoulli".

2)
với a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Bất đẳng thức Chebyshev
Tại 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Và 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Tại 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Và b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Bất đẳng thức Chebyshev tổng quát
Tại 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Và 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n và k tự nhiên
.
Tại 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Và b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Tính chất của bất đẳng thức

Tính chất của bất đẳng thức là tập hợp các quy tắc được thỏa mãn khi biến đổi chúng. Dưới đây là tính chất của các bất đẳng thức. Được hiểu rằng các bất đẳng thức ban đầu được thỏa mãn với các giá trị x i (i = 1, 2, 3, 4) thuộc khoảng xác định trước nào đó.

1) Khi thứ tự các cạnh thay đổi thì dấu bất đẳng thức thay đổi ngược lại.
Nếu x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Nếu x 1 ≤ x 2 thì x 2 ≥ x 1.
Nếu x 1 ≥ x 2 thì x 2 ≤ x 1.
Nếu x 1 > x 2 thì x 2< x 1 .

2) Một đẳng thức tương đương với hai bất đẳng thức không chặt chẽ khác dấu.
Nếu x 1 = x 2 thì x 1 ≤ x 2 và x 1 ≥ x 2.
Nếu x 1 ≤ x 2 và x 1 ≥ x 2 thì x 1 = x 2.

3) Tính chất chuyển tiếp
Nếu x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Nếu x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Nếu x 1 ≤ x 2 và x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Nếu x 1 ₫ x 2 và x 2 ₫ x 3 thì x 1 ₫ x 3.

4) Có thể cộng (trừ) cùng một số cho cả hai vế của bất đẳng thức.
Nếu x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Nếu x 1 ≤ x 2 thì x 1 + A ≤ x 2 + A.
Nếu x 1 ≥ x 2 thì x 1 + A ≥ x 2 + A.
Nếu x 1 > x 2 thì x 1 + A > x 2 + A.

5) Nếu có hai hoặc nhiều bất đẳng thức cùng dấu thì có thể cộng vế trái và vế phải của chúng.
Nếu x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Nếu x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Nếu x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Nếu x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4 thì x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Các biểu thức tương tự áp dụng cho các dấu ≥, >.
Nếu các bất đẳng thức ban đầu chứa dấu của bất đẳng thức không nghiêm ngặt và ít nhất một bất đẳng thức nghiêm ngặt (nhưng tất cả các dấu hiệu có cùng hướng), thì phép cộng sẽ tạo ra một bất đẳng thức nghiêm ngặt.

6) Cả hai vế của bất đẳng thức đều có thể nhân (chia) cho một số dương.
Nếu x 1< x 2 и A >0 thì A x 1< A · x 2 .
Nếu x 1 ≤ x 2 và A > 0 thì A x 1 ≤ A x 2.
Nếu x 1 ≥ x 2 và A > 0 thì A x 1 ≥ A x 2.
Nếu x 1 > x 2 và A > 0 thì A · x 1 > A · x 2.

7) Cả hai vế của bất đẳng thức có thể được nhân (chia) cho một số âm. Trong trường hợp này, dấu của bất đẳng thức sẽ đổi ngược lại.
Nếu x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >Ax2.
Nếu x 1 ≤ x 2 và A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Nếu x 1 ≥ x 2 và A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Nếu x 1 > x 2 và A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Nếu có hai hoặc nhiều bất đẳng thức có số hạng dương, cùng dấu cùng hướng thì vế trái và vế phải của chúng có thể nhân với nhau.
Nếu x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 thì x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Nếu x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 thì x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Nếu x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 thì x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Nếu x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 thì x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Các biểu thức tương tự áp dụng cho các dấu ≥, >.
Nếu các bất đẳng thức ban đầu chứa dấu của bất đẳng thức không nghiêm ngặt và ít nhất một bất đẳng thức nghiêm ngặt (nhưng tất cả các dấu có cùng hướng), thì phép nhân sẽ tạo ra một bất đẳng thức nghiêm ngặt.

9) Cho f(x) là hàm tăng đơn điệu. Nghĩa là, với mọi x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2).
Nếu x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Nếu x 1 ≤ x 2 thì f(x 1) ≤ f(x 2) .
Nếu x 1 ≥ x 2 thì f(x 1) ≥ f(x 2) .
Nếu x 1 > x 2 thì f(x 1) > f(x 2).

10) Cho f(x) là hàm số giảm đơn điệu, Nghĩa là với mọi x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Nếu x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x 2) .
Nếu x 1 ≤ x 2 thì f(x 1) ≥ f(x 2) .
Nếu x 1 ≥ x 2 thì f(x 1) ≤ f(x 2) .
Nếu x 1 > x 2 thì f(x 1)< f(x 2) .

Các phương pháp giải bất đẳng thức

Giải bất phương trình bằng phương pháp khoảng

Phương pháp khoảng có thể áp dụng nếu bất đẳng thức bao gồm một biến, được biểu thị là x và nó có dạng:
f(x) > 0
trong đó f(x) là hàm liên tục có số điểm gián đoạn hữu hạn. Dấu bất đẳng thức có thể là bất cứ thứ gì: >, ≥,<, ≤ .

Phương pháp ngắt quãng như sau.

1) Tìm miền định nghĩa của hàm f(x) và đánh dấu nó bằng các khoảng trên trục số.

2) Tìm các điểm gián đoạn của hàm f(x).

Ví dụ: nếu đây là một phân số thì chúng ta sẽ tìm các điểm mà tại đó mẫu số trở thành 0. Chúng tôi đánh dấu những điểm này trên trục số.
3) Giải phương trình
f(x) = 0 .

Chúng tôi đánh dấu các nghiệm của phương trình này trên trục số.

4) Kết quả trục số sẽ được chia thành các khoảng (đoạn) theo điểm. Trong mỗi khoảng có trong miền định nghĩa, chúng ta chọn bất kỳ điểm nào và tại thời điểm này chúng ta tính giá trị của hàm. Nếu giá trị này lớn hơn 0 thì chúng ta đặt dấu “+” phía trên đoạn (khoảng).
Nếu giá trị này nhỏ hơn 0 thì chúng ta đặt dấu “-” phía trên đoạn (khoảng).
5) Nếu bất đẳng thức có dạng: f(x) > 0 thì chọn các khoảng có dấu “+”.< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Giải pháp cho sự bất bình đẳng là kết hợp các khoảng này, không bao gồm ranh giới của chúng.

Nếu bất đẳng thức có dạng: f(x) ≥ 0 thì ta thêm các điểm tại đó f(x) = 0 vào nghiệm.

Nghĩa là, một số khoảng có thể có ranh giới đóng (ranh thuộc về khoảng). phần còn lại có thể có ranh giới mở (ranh giới không thuộc khoảng).

Tương tự, nếu bất đẳng thức có dạng: f(x)
Nếu bất đẳng thức có dạng: f(x) ≤ 0 thì ta thêm các điểm tại đó f(x) = 0 vào nghiệm.