Chúng tôi tiếp tục xem xét các cách giải bất đẳng thức liên quan đến một biến. Chúng ta đã nghiên cứu các bất đẳng thức tuyến tính và bậc hai, đây là những trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức hữu tỉ. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ làm rõ loại bất đẳng thức nào được coi là hợp lý và chúng tôi sẽ cho bạn biết chúng được chia thành loại nào (số nguyên và phân số). Sau đó, chúng tôi sẽ chỉ ra cách giải chúng một cách chính xác, cung cấp các thuật toán cần thiết và phân tích các vấn đề cụ thể.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Khái niệm về sự bình đẳng hợp lý
Khi nghiên cứu chủ đề giải bất đẳng thức ở trường, các em liền tiếp thu bất đẳng thức hữu tỉ. Họ tiếp thu và mài giũa các kỹ năng làm việc với kiểu biểu đạt này. Hãy cùng chúng tôi đưa ra định nghĩa về khái niệm này:
Định nghĩa 1
Bất đẳng thức hữu tỉ là bất đẳng thức có các biến chứa biểu thức hữu tỉ ở cả hai phần.
Lưu ý rằng định nghĩa không ảnh hưởng đến câu hỏi về số lượng biến, có nghĩa là có thể có nhiều biến như mong muốn. Do đó, có thể xảy ra bất đẳng thức hữu tỉ với 1, 2, 3 biến trở lên. Thông thường, bạn phải xử lý các biểu thức chỉ chứa một biến, ít hơn là hai biến và các bất đẳng thức với số lượng lớn biến thường không được xem xét trong khóa học ở trường.
Vì vậy, chúng ta có thể nhận ra một bất đẳng thức hợp lý bằng cách nhìn vào cách viết của nó. Nó phải có các biểu thức hợp lý ở cả bên phải và bên trái. Dưới đây là một số ví dụ:
x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2
Nhưng đây là bất đẳng thức có dạng 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Tất cả các bất đẳng thức hợp lý được chia thành số nguyên và phân số.
Định nghĩa 2
Toàn bộ sự bình đẳng hợp lý bao gồm toàn bộ các biểu thức hợp lý (ở cả hai phần).
Định nghĩa 3
Bình đẳng hợp lý phân số là một đẳng thức chứa biểu thức phân số ở một hoặc cả hai phần của nó.
Ví dụ: bất đẳng thức dạng 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 và 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 là phân số hợp lý và 0, 5 x 3 (2 − 5 y) Và 1: x + 3 > 0- trọn.
Chúng tôi đã phân tích bất bình đẳng hợp lý là gì và xác định các loại chính của chúng. Chúng ta có thể chuyển sang xem xét các cách để giải quyết chúng.
Giả sử rằng chúng ta cần tìm giải pháp cho toàn bộ sự bất bình đẳng hợp lý r(x)< s (x) , chỉ bao gồm một biến x. Đồng thời r(x) Và s(x) biểu diễn bất kỳ số nguyên hoặc biểu thức hữu tỉ nào và dấu bất đẳng thức có thể khác nhau. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần biến đổi nó và có được đẳng thức tương đương.
Hãy bắt đầu bằng cách di chuyển biểu thức từ bên phải sang bên trái. Chúng tôi nhận được những điều sau đây:
có dạng r(x) − s(x)< 0 (≤ , > , ≥)
Chúng tôi biết điều đó r(x) − s(x) sẽ là một giá trị số nguyên và bất kỳ biểu thức số nguyên nào cũng có thể được chuyển đổi thành đa thức. Hãy biến đổi r(x) − s(x) trong h(x). Biểu thức này sẽ là một đa thức bằng nhau. Xét r(x) − s(x) và h(x) có cùng khoảng giá trị cho phép của x nên ta có thể chuyển sang các bất đẳng thức h(x)< 0 (≤ , >, ≥), sẽ tương đương với bản gốc.
Thông thường, một phép biến đổi đơn giản như vậy sẽ đủ để giải bất đẳng thức, vì kết quả có thể là bất đẳng thức tuyến tính hoặc bậc hai, giá trị của nó rất dễ tính toán. Hãy phân tích những vấn đề như vậy.
Ví dụ 1
Tình trạng: giải toàn bộ bất đẳng thức hợp lý x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.
Giải pháp
Hãy bắt đầu bằng cách di chuyển biểu thức từ bên phải sang bên trái với dấu ngược lại.
x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0
Bây giờ chúng ta đã hoàn thành tất cả các phép toán với đa thức ở bên trái, chúng ta có thể chuyển sang bất đẳng thức tuyến tính 3 x − 2 0, tương đương với những gì đã cho trong điều kiện. Thật dễ dàng để giải quyết:
3 x 2 x 2 3
Trả lời: x 2 3 .
Ví dụ 2
Tình trạng: tìm lời giải của bất đẳng thức (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 − x) (x 2 + x).
Giải pháp
Chúng tôi chuyển biểu thức từ bên trái sang bên phải và thực hiện các phép biến đổi tiếp theo bằng cách sử dụng các công thức nhân viết tắt.
(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0
Kết quả của các phép biến đổi, chúng ta nhận được một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị x, do đó, nghiệm của bất đẳng thức ban đầu có thể là bất kỳ số thực nào.
Trả lời: bất kỳ số nào thực sự.
Ví dụ 3
Tình trạng: giải quyết bất đẳng thức x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.
Giải pháp
Chúng tôi sẽ không chuyển bất cứ thứ gì từ phía bên phải vì có 0 ở đó. Hãy bắt đầu ngay bằng cách chuyển đổi vế trái thành đa thức:
x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .
Chúng ta đã rút ra được một bất đẳng thức bậc hai tương đương với bất đẳng thức ban đầu, có thể giải dễ dàng bằng một số phương pháp. Hãy sử dụng một phương pháp đồ họa.
Hãy bắt đầu bằng việc tính căn bậc ba của bình phương − 2 x 2 + 11 x + 6:
D = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6
Bây giờ trên sơ đồ, chúng tôi đánh dấu tất cả các số 0 cần thiết. Vì hệ số dẫn đầu nhỏ hơn 0 nên các nhánh của parabol trên đồ thị sẽ hướng xuống dưới.
Chúng ta sẽ cần vùng của parabol nằm phía trên trục x, vì chúng ta có dấu > trong bất đẳng thức. Khoảng thời gian cần thiết là (− 0 , 5 , 6) , do đó, phạm vi giá trị này sẽ là giải pháp chúng ta cần.
Trả lời: (− 0 , 5 , 6) .
Ngoài ra còn có những trường hợp phức tạp hơn khi thu được đa thức bậc ba hoặc cao hơn ở bên trái. Để giải bất đẳng thức đó, nên sử dụng phương pháp khoảng. Đầu tiên chúng ta tính toán tất cả các nghiệm của đa thức h(x), điều này thường được thực hiện bằng cách phân tích thành nhân tử một đa thức.
Ví dụ 4
Tình trạng: tính toán (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .
Giải pháp
Hãy bắt đầu, như mọi khi, bằng cách di chuyển biểu thức sang bên trái, sau đó chúng ta sẽ cần mở rộng dấu ngoặc và đưa ra các thuật ngữ tương tự.
(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
Kết quả của các phép biến đổi, chúng ta thu được đẳng thức tương đương với đẳng thức ban đầu, bên trái của đẳng thức đó là đa thức bậc ba. Hãy sử dụng phương pháp khoảng để giải nó.
Đầu tiên chúng ta tính toán gốc của đa thức, mà chúng ta cần giải phương trình bậc ba x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0. Liệu nó có nguồn gốc hợp lý? Chúng chỉ có thể nằm trong số các ước số của số hạng tự do, tức là giữa các số ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Hãy thay chúng lần lượt vào phương trình ban đầu và tìm ra rằng các số 1, 2 và 3 sẽ là nghiệm của nó.
Vậy đa thức x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 có thể được mô tả như một sản phẩm (x − 1) · (x − 2) · (x − 3), và bất đẳng thức x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 có thể được biểu diễn dưới dạng (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 . Với bất đẳng thức loại này, khi đó chúng ta sẽ dễ dàng xác định dấu trên các khoảng hơn.
Tiếp theo, chúng ta thực hiện các bước còn lại của phương pháp khoảng: vẽ trục số và điểm trên đó tọa độ 1, 2, 3. Họ chia đường thành 4 khoảng trong đó họ cần xác định các dấu hiệu. Hãy tô màu các khoảng bằng dấu trừ, vì bất đẳng thức ban đầu có dấu < .
Tất cả những gì chúng ta phải làm là viết ra câu trả lời có sẵn: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Trả lời: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Trong một số trường hợp, tiến hành từ bất đẳng thức r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) đến h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , ở đâu h(x)– đa thức có bậc lớn hơn 2, không phù hợp. Điều này mở rộng cho các trường hợp trong đó việc biểu thị r(x) − s(x) dưới dạng tích của nhị thức tuyến tính và tam thức bậc hai dễ dàng hơn việc phân tích h(x) thành các thừa số riêng lẻ. Hãy nhìn vào vấn đề này.
Ví dụ 5
Tình trạng: tìm lời giải của bất đẳng thức (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).
Giải pháp
Bất đẳng thức này áp dụng cho số nguyên. Nếu chúng ta di chuyển biểu thức từ bên phải sang bên trái, mở ngoặc và thực hiện rút gọn các số hạng, chúng ta nhận được x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .
Giải bất đẳng thức này không phải là điều dễ dàng, vì bạn phải tìm nghiệm của đa thức bậc bốn. Nó không có một nghiệm hữu tỉ duy nhất (ví dụ: 1, − 1, 19 hoặc − 19 không phù hợp), và rất khó để tìm kiếm các rễ khác. Điều này có nghĩa là chúng ta không thể sử dụng phương pháp này.
Nhưng có những giải pháp khác. Nếu chúng ta di chuyển các biểu thức từ vế phải của bất đẳng thức ban đầu sang trái, chúng ta có thể khoanh tròn nhân tử chung x 2 − 2 x − 1:
(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .
Chúng ta thu được bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức ban đầu và nghiệm của nó sẽ cho ta kết quả mong muốn. Hãy tìm các số 0 của biểu thức ở vế trái để chúng ta giải phương trình bậc hai x 2 − 2 x − 1 = 0 Và x 2 − 2 x − 19 = 0. Gốc của chúng là 1 ± 2, 1 ± 2 5. Ta chuyển sang phương trình x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0, có thể giải bằng phương pháp khoảng:
Theo hình vẽ, câu trả lời sẽ là - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞.
Trả lời: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Chúng ta hãy nói thêm rằng đôi khi không thể tìm được tất cả nghiệm của một đa thức h(x), do đó, chúng ta không thể biểu diễn nó dưới dạng tích của nhị thức tuyến tính và tam thức bậc hai. Sau đó giải bất đẳng thức dạng h (x)< 0 (≤ , >, ≥) không thể, nghĩa là cũng không thể giải được bất đẳng thức hữu tỉ ban đầu.
Giả sử chúng ta cần giải các bất đẳng thức hữu tỉ phân số có dạng r (x)< s (x) (≤ , >, ≥) , trong đó r (x) và s(x) là các biểu thức hữu tỉ, x là một biến. Ít nhất một trong các biểu thức được chỉ định sẽ là phân số. Thuật toán giải trong trường hợp này sẽ như sau:
- Chúng tôi xác định phạm vi giá trị cho phép của biến x.
- Chúng ta di chuyển biểu thức từ vế phải của bất đẳng thức sang trái và biểu thức thu được r(x) − s(x) biểu diễn nó dưới dạng phân số. Hơn nữa, ở đâu p(x) Và q(x) sẽ là các biểu thức số nguyên là tích của các nhị thức tuyến tính, các tam thức bậc hai không thể phân tích được, cũng như các lũy thừa có số mũ tự nhiên.
- Tiếp theo, chúng ta giải bất đẳng thức thu được bằng phương pháp khoảng.
- Bước cuối cùng là loại trừ các điểm thu được trong quá trình giải khỏi phạm vi giá trị chấp nhận được của biến x mà chúng ta đã xác định ở đầu.
Đây là thuật toán giải các bất đẳng thức hữu tỉ phân số. Hầu hết đều rõ ràng; chỉ cần giải thích một chút cho đoạn 2. Chúng ta di chuyển biểu thức từ bên phải sang bên trái và nhận được r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥), rồi làm cách nào để đưa nó về dạng p(x)q(x)< 0 (≤ , > , ≥) ?
Trước tiên, hãy xác định xem liệu phép chuyển đổi này có thể luôn được thực hiện hay không. Về mặt lý thuyết, khả năng như vậy luôn tồn tại, vì bất kỳ biểu thức hữu tỉ nào cũng có thể được chuyển đổi thành một phân số hữu tỉ. Ở đây chúng ta có một phân số có đa thức ở tử số và mẫu số. Chúng ta hãy nhớ lại định lý cơ bản của đại số và định lý Bezout và xác định rằng bất kỳ đa thức bậc n nào chứa một biến đều có thể chuyển đổi thành tích của các nhị thức tuyến tính. Do đó, về mặt lý thuyết, chúng ta luôn có thể biến đổi biểu thức theo cách này.
Trong thực tế, việc phân tích đa thức thường khá khó khăn, đặc biệt nếu bậc lớn hơn 4. Nếu chúng ta không thể thực hiện phép khai triển thì chúng ta sẽ không thể giải được bất đẳng thức này, nhưng những bài toán như vậy thường không được học trong các môn học ở trường.
Tiếp theo chúng ta cần quyết định xem bất đẳng thức thu được là p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) tương đương với r(x) − s(x)< 0 (≤ , >, ≥) và về bản gốc. Có khả năng là nó có thể trở nên không đồng đều.
Sự tương đương của bất đẳng thức sẽ được đảm bảo khi khoảng giá trị chấp nhận được p(x)q(x) sẽ phù hợp với phạm vi biểu thức r(x) − s(x). Khi đó điểm cuối cùng của hướng dẫn giải bất phương trình hữu tỉ phân số không cần phải tuân theo.
Nhưng phạm vi giá trị cho p(x)q(x) có thể rộng hơn r(x) − s(x), ví dụ, bằng cách giảm phân số. Một ví dụ sẽ đi từ x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 đến x · x - 1 x + 3 . Hoặc điều này có thể xảy ra khi đưa các thuật ngữ tương tự, ví dụ ở đây:
x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 đến 1 x + 3
Đối với những trường hợp như vậy, bước cuối cùng của thuật toán đã được thêm vào. Bằng cách thực hiện nó, bạn sẽ loại bỏ các giá trị biến không liên quan phát sinh do việc mở rộng phạm vi các giá trị có thể chấp nhận được. Hãy lấy một vài ví dụ để làm rõ hơn những gì chúng ta đang nói đến.
Ví dụ 6
Tình trạng: tìm nghiệm của đẳng thức hữu tỉ x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .
Giải pháp
Chúng tôi hành động theo thuật toán được chỉ ra ở trên. Đầu tiên chúng ta xác định phạm vi các giá trị có thể chấp nhận được. Trong trường hợp này, nó được xác định bởi hệ bất đẳng thức x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 , nghiệm của nó sẽ là tập hợp (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0
Sau đó, chúng ta cần biến đổi nó sao cho thuận tiện cho việc áp dụng phương pháp khoảng. Trước hết, chúng ta rút gọn các phân số đại số về mẫu số chung nhỏ nhất (x − 3) 2 (x + 1):
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)
Chúng ta thu gọn biểu thức ở tử số bằng cách sử dụng công thức tính bình phương của tổng:
x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1
Phạm vi giá trị được chấp nhận của biểu thức kết quả là (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Chúng ta thấy rằng nó tương tự với những gì đã được xác định cho đẳng thức ban đầu. Ta kết luận rằng bất đẳng thức x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 tương đương với bất đẳng thức ban đầu, nghĩa là không cần thực hiện bước cuối cùng của thuật toán.
Chúng tôi sử dụng phương pháp khoảng:
Ta thấy nghiệm ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞), sẽ là nghiệm của bất đẳng thức hữu tỉ ban đầu x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .
Trả lời: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Ví dụ 7
Tình trạng: tính nghiệm x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .
Giải pháp
Chúng tôi xác định phạm vi của các giá trị chấp nhận được. Trong trường hợp bất đẳng thức này, nó sẽ bằng tất cả các số thực ngoại trừ −2, −1, 0 và 1 .
Chúng ta di chuyển các biểu thức từ bên phải sang bên trái:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Có tính đến kết quả, chúng tôi viết:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1
Đối với biểu thức - 1 x - 1, phạm vi giá trị hợp lệ là tập hợp tất cả các số thực ngoại trừ một. Chúng tôi thấy rằng phạm vi giá trị đã mở rộng: − 2 , − 1 và 0 . Điều này có nghĩa là chúng ta cần thực hiện bước cuối cùng của thuật toán.
Vì chúng ta đã đến bất đẳng thức - 1 x - 1 > 0, nên chúng ta có thể viết tương đương của nó là 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Chúng tôi loại trừ các điểm không nằm trong phạm vi giá trị cho phép của đẳng thức ban đầu. Chúng ta cần loại trừ khỏi (− ∞ , 1) các số − 2 , − 1 và 0 . Như vậy, nghiệm của bất đẳng thức hữu tỉ x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 sẽ là các giá trị (- ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Trả lời: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Để kết luận, chúng tôi đưa ra một ví dụ khác về một vấn đề trong đó câu trả lời cuối cùng phụ thuộc vào phạm vi giá trị có thể chấp nhận được.
Ví dụ 8
Tình trạng: tìm nghiệm của bất đẳng thức 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0.
Giải pháp
Khoảng giá trị cho phép của bất đẳng thức xác định trong điều kiện được xác định bởi hệ x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.
Hệ này không có nghiệm vì
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0
Điều này có nghĩa là đẳng thức ban đầu 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 không có nghiệm, vì không có giá trị nào của biến mà nó sẽ tạo ra giác quan.
Trả lời: không có giải pháp nào
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
Phương pháp ngắt quãng- Một cách đơn giản để giải các bất đẳng thức hữu tỉ phân số. Đây là tên của các bất đẳng thức chứa các biểu thức hữu tỉ (hoặc phân số hữu tỉ) phụ thuộc vào một biến.
1. Ví dụ, hãy xem xét bất đẳng thức sau
Phương pháp ngắt quãng cho phép bạn giải quyết nó trong vài phút.
Ở vế trái của bất đẳng thức này là hàm hữu tỷ phân số. Hợp lý vì nó không chứa các căn, sin hoặc logarit - chỉ chứa các biểu thức hữu tỉ. Bên phải là số không.
Phương pháp khoảng dựa trên tính chất sau của hàm hữu tỉ phân số.
Hàm hữu tỉ phân số chỉ có thể đổi dấu tại những điểm mà tại đó nó bằng 0 hoặc không tồn tại.
Chúng ta hãy nhớ lại cách phân tích một tam thức bậc hai, tức là một biểu thức có dạng .
Ở đâu và là gốc của phương trình bậc hai.
Chúng ta vẽ một trục và đặt các điểm mà tại đó tử số và mẫu số tiến tới 0.
Các số 0 của mẫu số và là các điểm bị thủng, vì tại các điểm này, hàm ở vế trái của bất đẳng thức không được xác định (bạn không thể chia cho 0). Các số 0 của tử số và - được tô bóng vì bất đẳng thức không nghiêm ngặt. Khi và bất đẳng thức của chúng ta được thỏa mãn, vì cả hai vế của nó đều bằng 0.
Những điểm này chia trục thành các khoảng.
Chúng ta hãy xác định dấu của hàm số phân số ở vế trái của bất đẳng thức trên mỗi khoảng này. Chúng ta nhớ rằng hàm hữu tỷ phân số chỉ có thể đổi dấu tại những điểm mà tại đó nó bằng 0 hoặc không tồn tại.
Điều này có nghĩa là tại mỗi khoảng giữa các điểm mà tử số hoặc mẫu số tiến tới 0, dấu của biểu thức ở vế trái của bất đẳng thức sẽ không đổi - “cộng” hoặc “trừ”.
Và do đó, để xác định dấu của hàm số trên mỗi khoảng như vậy, chúng ta lấy bất kỳ điểm nào thuộc khoảng này. Một trong những thuận tiện cho chúng tôi.
Khoảng tiếp theo: . Hãy kiểm tra dấu hiệu tại . Ta thấy vế trái đã đổi dấu thành .
Hãy lấy nó. Khi biểu thức dương - do đó, nó dương trong toàn bộ khoảng từ đến.
Khi vế trái của bất đẳng thức âm.
Và cuối cùng, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}
Chúng tôi đã tìm thấy ở khoảng thời gian nào biểu thức là dương. Tất cả những gì còn lại là viết ra câu trả lời:
Trả lời: .
Xin lưu ý: các dấu hiệu xen kẽ giữa các khoảng thời gian. Điều này xảy ra bởi vì Khi đi qua mỗi điểm có đúng một thừa số tuyến tính đổi dấu, các thừa số còn lại giữ nguyên.
Chúng ta thấy rằng phương pháp khoảng rất đơn giản. Để giải bất đẳng thức phân số hữu tỷ bằng phương pháp khoảng, chúng ta rút gọn nó về dạng:
Hoặc class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, hoặc , hoặc .
(ở bên trái là hàm hữu tỷ phân số, ở bên phải bằng 0).
Sau đó, chúng ta đánh dấu trên trục số những điểm mà tử số hoặc mẫu số tiến tới 0.
Những điểm này chia toàn bộ trục số thành các khoảng, trên mỗi khoảng đó hàm phân số hữu tỉ vẫn giữ nguyên dấu của nó.
Tất cả những gì còn lại là tìm ra dấu của nó ở mỗi khoảng.
Chúng ta thực hiện điều này bằng cách kiểm tra dấu của biểu thức tại bất kỳ điểm nào thuộc một khoảng cho trước. Sau đó, chúng tôi viết ra câu trả lời. Thế thôi.
Nhưng câu hỏi đặt ra: các biển báo có luôn xen kẽ nhau không? Không, không phải lúc nào cũng vậy! Bạn phải cẩn thận và không đặt biển báo một cách máy móc và thiếu suy nghĩ.
2. Hãy xem xét một bất đẳng thức khác.
Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ trái(x-3 \right))>0"> !}
Đặt lại các điểm trên trục. Các dấu chấm và bị thủng vì chúng là số 0 của mẫu số. Điểm này cũng bị loại bỏ vì sự bất bình đẳng là nghiêm ngặt.
Khi tử số dương thì cả hai thừa số ở mẫu số đều âm. Điều này có thể dễ dàng kiểm tra bằng cách lấy bất kỳ số nào từ một khoảng nhất định, ví dụ: . Bên trái có ký hiệu:
Khi tử số dương; Yếu tố đầu tiên trong mẫu số là dương, yếu tố thứ hai là âm. Bên trái có ký hiệu:
Tình hình là như vậy! Tử số là dương, thừa số đầu tiên ở mẫu số là dương, thừa số thứ hai là âm. Bên trái có ký hiệu:
Cuối cùng, với class="tex" alt="x>3">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :!} 
Trả lời: .
Tại sao sự xen kẽ của các dấu hiệu bị gián đoạn? Vì khi đi qua một điểm thì hệ số nhân sẽ “chịu trách nhiệm” về điểm đó không đổi dấu. Do đó, toàn bộ vế trái của bất đẳng thức của chúng ta không đổi dấu.
Phần kết luận: nếu số nhân tuyến tính là lũy thừa chẵn (ví dụ: bình phương), thì khi đi qua một điểm, dấu của biểu thức ở vế trái không thay đổi. Trong trường hợp bậc lẻ, dấu tất nhiên sẽ thay đổi.
3. Hãy xem xét một trường hợp phức tạp hơn. Nó khác với cái trước ở chỗ bất đẳng thức không nghiêm ngặt:
Vế trái tương tự như bài toán trước. Hình ảnh biển báo sẽ giống nhau:
Có lẽ câu trả lời sẽ giống nhau? KHÔNG! Một nghiệm được thêm vào. Điều này xảy ra vì ở cả bên trái và bên phải của bất đẳng thức đều bằng 0 - do đó, điểm này là một nghiệm.
Trả lời: .
Tình trạng này thường xảy ra trong các bài toán trong kỳ thi Thống nhất môn Toán. Đây là lúc người nộp đơn rơi vào bẫy và mất điểm. Hãy cẩn thận!
4. Phải làm gì nếu tử số hoặc mẫu số không thể phân tích thành thừa số tuyến tính? Hãy xem xét sự bất bình đẳng này:
Một tam thức bình phương không thể phân tích thành thừa số: phân thức âm, không có nghiệm. Nhưng điều này là tốt! Điều này có nghĩa là dấu của biểu thức cho tất cả là như nhau và đặc biệt là dương. Bạn có thể đọc thêm về điều này trong bài viết về tính chất của hàm bậc hai.
Và bây giờ chúng ta có thể chia cả hai vế của sự bất bình đẳng cho một giá trị dương cho tất cả. Ta đi đến bất đẳng thức tương đương:
Điều này có thể dễ dàng giải quyết bằng phương pháp khoảng.
Xin lưu ý rằng chúng ta đã chia cả hai vế của bất đẳng thức cho một giá trị mà chúng ta biết chắc chắn là dương. Tất nhiên, nói chung, bạn không nên nhân hoặc chia bất đẳng thức cho một biến chưa biết dấu.
5 . Hãy xem xét một bất đẳng thức khác, có vẻ khá đơn giản:
Tôi chỉ muốn nhân nó với . Nhưng chúng tôi đã thông minh rồi và chúng tôi sẽ không làm điều này. Rốt cuộc, nó có thể là cả tích cực và tiêu cực. Và chúng ta biết rằng nếu nhân cả hai vế của bất đẳng thức với một giá trị âm thì dấu của bất đẳng thức sẽ thay đổi.
Chúng tôi sẽ làm điều đó theo cách khác - chúng tôi sẽ thu thập mọi thứ vào một phần và đưa nó về mẫu số chung. Vế phải sẽ vẫn bằng 0:
Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}
Và sau đó - áp dụng phương pháp khoảng.
- Phát triển năng lực giải các bất phương trình hữu tỉ bằng phương pháp khoảng nhân nghiệm, giúp học sinh phát triển nhu cầu, mong muốn khái quát hóa nội dung học;
- Phát triển khả năng so sánh các giải pháp và xác định câu trả lời đúng;
- phát triển trí tò mò, tư duy logic, hứng thú nhận thức đối với môn học
Rèn luyện tính chính xác khi đưa ra lời giải, khả năng khắc phục khó khăn khi giải bất phương trình.
Tiến trình của bài học
I. Thời điểm tổ chức
II. Cập nhật kiến thức
Khảo sát trước lớp về các câu hỏi sau:
Phân số có ý nghĩa ở giá trị nào của biến (Hình 1)?
Lặp lại thuật toán giải bất phương trình dạng (x - x 1)(x - x 2)…(x - x n) > 0 hoặc (x - x 1)(x - x 2)…(x - x n)< 0, где x 1 , x 2 , … x n не равные друг другу числа.
Thuật toán giải bất phương trình bằng phương pháp khoảng được hiển thị trên bảng trắng tương tác:
III. Học tài liệu mới. Giải bất đẳng thức hữu tỉ phân số có nhiều nghiệm bằng phương pháp khoảng.
Việc giải các bất đẳng thức với nhiều giá trị tới hạn của một biến thường gắn liền với những khó khăn lớn nhất. Nếu trước đây có thể đặt các dấu trên các khoảng chỉ bằng cách xen kẽ chúng thì bây giờ, khi đi qua một giá trị tới hạn, dấu của toàn bộ biểu thức có thể không thay đổi. Chúng ta sẽ làm quen với cái gọi là phương pháp "cánh hoa", phương pháp này sẽ giúp khắc phục những khó khăn liên quan đến việc sắp xếp các dấu của hàm số theo các khoảng.
Hãy xem xét một ví dụ: (x+3) 2 > 0/
Vế trái có một điểm tới hạn duy nhất x = - 3. Hãy đánh dấu nó trên trục số. Điểm này có bội số là 2, vì vậy chúng ta có thể coi rằng chúng ta có hai điểm tới hạn hợp nhất, giữa chúng cũng có khoảng thời gian bắt đầu và kết thúc tại cùng một điểm -3. Chúng tôi sẽ đánh dấu những khoảng thời gian như vậy bằng “cánh hoa”, như trong Hình 3. Do đó, chúng ta có ba khoảng: hai khoảng số (-∞; -3); (-3; +∞) và “cánh hoa” giữa chúng. Tất cả những gì còn lại là đặt các dấu hiệu. Để làm điều này, chúng tôi tính toán dấu trên khoảng chứa số 0 và sắp xếp các dấu trên phần còn lại, chỉ cần xen kẽ chúng. Kết quả đặt biển báo được thể hiện ở Hình 4
 |
 |
|
Cơm. 3 |
Cơm. 4 |
Trả lời: x € (-∞; -3) U (-3; +∞)
Bây giờ chúng ta hãy xem xét một bất đẳng thức phức tạp hơn (Hình 5):
Hãy giới thiệu chức năng (Hình 6):
Hãy đánh dấu các điểm quan trọng trên trục số, có tính đến bội số của chúng - đối với mỗi khung bổ sung có giá trị tới hạn nhất định, chúng ta sẽ vẽ thêm một “cánh hoa” bổ sung. Vì vậy, trong Hình 7, một “cánh hoa” sẽ xuất hiện tại điểm x=3, vì (x-3)?=(x-3)(x-3).
Vì (x - 6) 3 = (x - 6) (x - 6) (x - 6) nên điểm x = 6 có hai "cánh hoa". Số nhân đầu tiên được tính đến ở điểm 6 trên trục và hai số nhân bổ sung được tính đến bằng cách thêm hai “cánh hoa”. Tiếp theo, chúng ta xác định dấu trên một trong các khoảng và sắp xếp các dấu trên các khoảng còn lại, xen kẽ các dấu trừ và dấu cộng.
Tất cả các khoảng trống được đánh dấu bằng dấu “+” và các chấm đen đều cung cấp câu trả lời.
X € [-4;-1) U (3) U (6;+∞).
IV. Tổng hợp vật liệu mới
1. Giải bất đẳng thức:
Ta phân tích vế trái của bất đẳng thức thành nhân tử:
Đầu tiên, ta vẽ các điểm tới hạn của mẫu số trên trục tọa độ, ta được (Hình 10)
Cộng các điểm tử số, ta được (Hình 11)
Và bây giờ, chúng tôi xác định các dấu hiệu theo từng khoảng thời gian và theo “cánh hoa” (Hình 12)
Cơm. 12
Trả lời: x € (-1; 0) U (0; 1) U (2)
2. Chọn các khoảng số là nghiệm của bất đẳng thức bằng phương pháp khoảng, có tính đến bội số của nghiệm của đa thức (Hình 13).
V. Tóm tắt bài học
Trong quá trình trao đổi với cả lớp, chúng tôi rút ra kết luận:
1) Có thể đặt các biển báo cách nhau một cách đơn giản bằng cách xen kẽ chúng.
3) Với giải pháp này, các rễ đơn không bao giờ bị mất.
Trong bài học này chúng ta sẽ tiếp tục giải các bất đẳng thức hữu tỉ bằng phương pháp khoảng cho các bất đẳng thức phức tạp hơn. Chúng ta hãy xem xét giải pháp của bất đẳng thức bậc hai tuyến tính và phân số và các vấn đề liên quan.
Bây giờ chúng ta quay lại bất đẳng thức
Hãy xem xét một số nhiệm vụ liên quan.
Tìm nghiệm nhỏ nhất của bất đẳng thức.
Tìm số nghiệm tự nhiên của bất đẳng thức
Tìm độ dài các khoảng tạo thành tập nghiệm của bất đẳng thức.
2. Cổng thông tin khoa học tự nhiên ().
3. Tổ hợp phương pháp và giáo dục điện tử để chuẩn bị lớp 10-11 cho kỳ thi tuyển sinh các môn khoa học máy tính, toán, tiếng Nga ().
5. Trung tâm Giáo dục “Công nghệ giảng dạy” ().
6. Phần College.ru về toán học ().
1. Mordkovich A.G. và các cuốn khác Đại số lớp 9: Sách giải toán dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, v.v. - tái bản lần thứ 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 tr.: ốm. số 28(b,c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38(a).